一、利用向量处理平行与垂直问题
例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。求证：AM B A ⊥1
练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？
例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 3
1,31==,求证：//MN 平面CDE
练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE
2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，
,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点
F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.
二、利用空间向量求空间的角的问题
例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=4
1A 1B 1，D 1F 1=4
1D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且
=
11E D 41
D 1C 1,试求直线
E 1
F 与平面D 1AC
例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。
z
x
1
C
F
D C
B
A
例4 已知E,F分别是正方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；
（3）二面角B
B
D
C-
-
1
1
的大小。
三、利用空间向量求空间的距离的问题
例1 直三棱柱AB C-A1B1C1的侧棱AA1，底面ΔAB C
求点B1到平面A1B C的距离。
例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2
=
=
=
=BD
CD
CB
CA
2
=
=AD
AB
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD
（III）求点E到平面ACD的距离。
例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，
F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。
空间向量与立体几何考点系统复习
一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）
例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。求证：AM B A ⊥1
证明：如图，建立空间坐标系
)2
6
,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),6,0,3(1M A B A )6,1,3(),2
6
,0,3(1--=-=A AM 01=⋅A
练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？
解：以D 为原点建立如图所示的坐标系，
设存在点P （0，0，z ），
AP u u u r =(-a ,0,z )，AC u u u r =(-a ,a ,0)，1DB u u u u r =(a ,a ,a )， ∵B 1D ⊥面
P AC ，∴01=⋅DB ，
01=⋅DB
∴－a 2+az =0∴z =a ，即点P 与D 1重合 ∴点P 与D 1重合时，DB 1⊥面P AC
例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 3
1,31==,求证：//MN 平面CDE 证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF 长分别为3a ,3b ,3c
),0,2(c a BM AB NA NM -=++=
又平面CDE 的一个法向量)0,3,0(b = 由0=⋅ 得到⊥
因为MN 不在平面CDE 内
所以NM//平面CDE
练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE
证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D -xyz
)0,0,1(=,)2
1
,,1,1(=
因为)1,2
1
,0(1-=D
所以0,011=⋅=⋅D D
D D ⊥⊥11,
D DA D
E =I 所以2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，
,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点
F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.
解答：根据题设条件，结合图形容易得到：
)3,32,0(,),,0(,)0,2,23(
a
a E a a D a a B - ),0,0(,)0,2
,23(a P a a C
),2,23(a a
a CP --=
假设存在点F
λ=),2
,23(a a
a λλλ--=。
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=+=a a a CF BC BF λλλ,)21(,23 又)3
,32,
0(a
a AE =，)0,2,23(
a a AC = 则必存在实数21,λλ使得21λλ+=，把以上向量得坐标形式代入得
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
=-==⇒⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=+=
-=-2321213322)21(2323212211λλλλλλλλλλa a a a a a a 即有23
21+-= 所以，在棱PC 存在点F ，即PC 中点，能够使BF ∥平面AEC 。
