时杨中学2009届高三数学《数列》单元检测卷

苏州市2009届高三教学调研测试数 学（正题） 2009．1注意事项：1．本试卷分填空题和解答题两部分，共160分．考试用时120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时，填空题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．．本卷考试结束后，上交答题纸．3．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 4．文字书写题统一使用0.5毫米及0.5毫米以上签字笔． 5．作图题可使用2B 铅笔，不需要用签字笔描摹．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 集合{1,0,1}-的所有子集个数为_________．82． 已知复数112i z =+，21i z a =+（i 是虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则实数a ＝_________．123． 直线x ＋ay ＋3＝0与直线ax ＋4y ＋6＝0平行的充要条件是_________．a ＝－2．4． 函数11()2x y -=的值域是_________．（0，＋∞）5． 如图，程序执行后输出的结果为_________．64．6． 椭圆2214x y m+=的一条准线方程为m y =，则=m ________．5 7． 已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面， 有下列四个命题：①若βα⊥⊥n m ,，m ⊥n ，则βα⊥； ②若n m n m ⊥,//,//βα，则βα//； ③若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα//；④若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．①④8． 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，D 为BC 的中点，则AD BC ⋅＝_________．32-9． 一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数之和等于16的概率为_________．13610．设等差数列{}n a 的公差为d ，若7654321,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =_________．12± 11．已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_________．12m ≥12．已知一个正三棱锥P －ABC 的主视图如图所示，若AC ＝BC ＝32，PC＝，则此正三棱锥的全面积为_________．13．在锐角△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，sin 2sin()sin 0A A C B +--=，则△ABC 的面积为_________14．已知命题：“在等差数列{}n a 中，若()210424a a a ++=，则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_________．18CBAP二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数()22sin cos 3cos f x x x x x =++． （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ）已知()3fα=，且()0,πα∈，求α的值．15．解：（Ⅰ）()2cos22f x x x =++＝π2sin(2)26x ++．………… 4分 由πππ2π22π262k x k -+++≤≤，得ππππ36k x k -++≤≤．∴函数()f x 的单调增区间为 ()ππ[π,π]36k k k -++∈Z ．………… 7分 （Ⅱ）由()3f α=，得π2sin(2)236α++=．∴π1sin(2)62α+=． ………………………………………… 10分∴1ππ22π66k α+=+，或2π5π22π66k α+=+()12,k k ∈Z ， 即1πk α=或2ππ3k α=+()12,k k ∈Z ．∵()0,πα∈，∴π3α=． …………………………………………… 14分16．（本小题满分14分）已知数列(){}f n 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+． （Ⅰ）求数列(){}f n 通项公式；（Ⅱ）若()11a f =，()()1*n n a f a n +=∈N ，求证数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的前n 项和n T ．16．解：（Ⅰ）n ≥2时，1()21n n f n S S n -=-=+． ………………… 4分n ＝1时，1(1)3f S ==，适合上式，∴1()21n n f n S S n -=-=+()*n ∈N ． ………………… 5分 （Ⅱ）()113a f ==，()121*n n a a n +=+∈N ． ………………… 8分即112(1)n n a a ++=+．∴数列{}1n a +是首项为4、公比为2的等比数列． ………………… 10分1111(1)22n n n a a -++=+⋅=，∴121n n a +=-()*n ∈N ．……………… 12分T n ＝231(222)n n ++++-＝224n n +--． ………………… 14分17．（本小题满分15分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求证CE ∥平面P AB ． 17．解：（Ⅰ）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，∴BCAC ＝2． 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝AD ＝4．∴S ABCD ＝1122AB BC AC CD ⋅+⋅111222=⨯⨯⨯ 3分 则V＝123= ……………… 5分（Ⅱ）∵P A ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ． ……………… 7分 ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． ……… 9分 ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…… 10分 （Ⅲ）证法一：MF EDCB APPABCDE F取AD 中点M ，连EM ，CM ．则EM ∥P A ． ∵EM ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴EM ∥平面P AB ． ……… 12分 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，∴MC ∥平面P AB ． ……… 14分 ∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面P AB ． ∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面P AB ． ……… 15分证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ．∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ， ∴C 为ND 的中点． ……12分 ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ．……14分 ∵EC ⊄平面P AB ，PN ⊂平面P AB ，∴EC ∥平面P AB ． ……… 15分18．（本小题满分15分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t （件），价格近似满足1()20|10|2f t t =--（元）． （Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式； （Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 18．解：（Ⅰ）1()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =⋅=-⋅--=--- …… 4分＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-<⎧⎨--⎩≤≤≤ …………………… 8分（Ⅱ）当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1200，1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225； …………………… 11分 当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600，1200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600． …………………… 14分 （答）总之，第5天，日销售额y 取得最大为1225元；第20天，日销售额y 取得最小为600元． …………………… 15分NF E D C BA P19．（本小题满分16分）已知点P （4，4），圆C ：22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．（Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程；（Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的取值范围．19．解：（Ⅰ）点A 代入圆C 方程，得2(3)15m -+=．∵m ＜3，∴m ＝1． …… 2分 圆C ：22(1)5x y -+=． 设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：(4)4y k x =-+， 即440kx y k --+=． ∵直线PF 1与圆C 相切，解得111,22k k ==或． …………………… 4分 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去． 当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴c ＝4．F 1（－4，0），F 2（4，0）． …………………… 6分 2a ＝AF 1＋AF 2＝=a =，a 2＝18，b 2＝2．椭圆E 的方程为：221182x y +=． …………………… 8分 （Ⅱ）(1,3)AP =，设Q （x ，y ），(3,1)A Q x y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-． …………………… 10分 ∵221182x y +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18． …………………… 12分则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]． ……… 14分 3x y +的取值范围是[－6，6]．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[－12，0]． …………………… 16分20．（本小题满分16分）已知函数()2ln bx x a x f -=图象上一点P （2，f (2)）处的切线方程为22ln 23++-=x y ．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若方程()0=+m x f 在1[,e]e内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底，e 2.7≈）；（Ⅲ）令()()g x f x nx =-，如果()x g 图象与x 轴交于()()()21210,,0,x x x B x A <，AB 中点为()0,0x C ，求证：()00g x '≠．20．解：（Ⅰ）()2a f x bx x '=-，()242af b '=-，()2ln 24f a b =-． ∴432ab -=-，且ln 2462ln 22a b -=-++． …………………… 2分 解得a ＝2，b ＝1． …………………… 4分 （Ⅱ）()22ln f x x x =-，令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+，则()222(1)2x h x x x x -'=-=，令()0h x '=，得x ＝1（x ＝－1舍去）．在1[,e]e内，当x ∈1[,1)e 时，()0h x '>，∴h (x )是增函数；当x ∈(1,e]时，()0h x '<，∴h (x )是减函数． …………………… 7分则方程()0h x =在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤……10分即21e 2m <-≤．…………………… 12分（Ⅲ）()22ln g x x x nx =--，()22g x x n x'=--． 假设结论成立，则有2111222212002ln 0,2ln 0,2,220.x x nx x x nx x x x x n x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④①－②，得221121222ln()()0x x x n x x x ----=． ∴12012ln22x x n x x x =--．由④得0022n x x =-，∴12120ln1x x x x x =-．即121212ln 2x x x x x x =-+． 即11212222ln 1x x x x x x -=+．⑤…………………… 14分令12x t x =，22()ln 1t u t t t -=-+（0＜t ＜1)， 则22(1)()(1)t u t t t -'=+＞0．∴()u t 在0＜t ＜1上增函数．()(1)0u t u <=，∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴()00g x '≠． ………………………………… 16分数 学（附加题）21．（选做题）从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分．A ．选修4—1 几何证明选讲如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的圆 交AC 于D ．求证：22BC CD AC =⋅．B ．选修4—2 矩阵与变换已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求A 特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2．C ．选修4—4 参数方程与极坐标已知直线cos()14πρθ-=和圆)4πρθ=+，判断直线和圆的位置关系．D ．选修4—5 不等式证明选讲若21,32x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭<。

09届高三理科数学月考检测卷内容《立几、概率、极限、导数、复数》 选编：徐发美 18.9.16一、选择题（5′×12=60′）1、复数(2)12i i i+-等于（ D ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-2、下列命题不正确．．．的是（ D ） A ．如果 f (x ) =1x，则 lim x →+ ∞ f (x ) = 0B ．如果 f (x ) = 2 x －1，则 lim x →0f (x ) = 0 C ．如果 f (n ) = n 2－2nn + 2 ，则 lim n →∞f (n ) 不存在D ．如果 f (x ) = ⎩⎨⎧ x ， x ≥0x + 1，x < 0，则 lim x →0 f (x ) = 03、函数b ax x y ++=3在区间(1,1)-上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，则（ D ） A ．1,1==b a B ．R b a ∈=,1 C ．3,3=-=b a D ．R b a ∈-=,3 4、cos 2y x =在点(,0)4P π处的切线方程是（ A ）A ．202x y π+-= B ．202x y π-+= C ．04x y π+-= D ．04x y π-+=5、已知函数321()22f x x x m =-+ (m 为常数)图像上点A 处的切线与直线230x y -+=的夹角为45o。

则点A 的横坐标为（ C ）A ．0B ．1C ．0或61 D ．l 或61 6、下列函数在0=x 连续的是（ A ） A ．⎩⎨⎧>-≤-=)0(1)0(1)(x x x x f B ．x yln =C ．xx y ||=D ．⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=)0(1)0(0)0(1)(x x x x f7、设)(x f 为可导函数，且满足12)21()1(lim 0-=--→xx f f x ，则过曲线)(x f y =上点(1,(1))f 处的切线斜率为（ B ）A ．2B ．－1C ．1D ．－28、点P 的曲线323y x x =-+上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（B ） A ．[0,]2πB ．3[0,)[,)24πππC ．3[,)4ππD ．3(,]24ππ9、如果函数()y f x =的图象如右图，那么导函数()y f x '=的图象可能是( A )10、已知函数32()f x x bx cx d =+++在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +（ B ） A ．有最大值152 B ．有最大值152- C ．有最小值152 D ．有最小值152- 11、lim[(21)]2n n n a →∞-=，则lim n n na →∞=（ A ）A ．1B ．12 C ．13D ．0 12、设数列{}n a 的前n 项和n S 满足53()n n a S n N +=-∈，那么1321l i m ()n n a a a -→∞+++= （ C ）A ．15 B ．15- C ．45 D ．34 二、填空题（5′×4=20′）13．3)11(lim 2=++++∞→b an n n n ，则a b += 3 。

2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷汇编数列部分1．（全国1/20）在数列{}n a 中， 1111112n nn a a a n⎛⎫⎪⎝⎭’＋’＋＝＝＋＋. （1）设nn a b n＝，求数列}{n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n s .2．（全国1/14）设等差数列{}n a 的前n 项和为n s .若9s =72,则249a a a ++= . 3．（全国2/14） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则45S S =. 4．（全国2/19）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式。

5．（山东20）等比数列{}n a 的前n 项和为，已知对任意的,n N ∈，点(.)n n S 均在函数(01,,y bx r b b b r ==>≠且均为常数的图象上。

（Ⅰ）求r 的值。

（Ⅱ）当b=2时，记22(log 1)()n bn a n n ==∈证明：对任意的，不等式成立1212111n nb b b b b b +++∙∙>…6．（北京14）已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =____________。

7．（北京20）已知数集1212{,,}(1,2)n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的,(1)i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A 。

（I ）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）证明：11a =，且1211112;nn na a a a a a a ---+++=+++（Ⅲ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列。

全国大调研数学试题（一）注：1.本卷总分150分，考试时间120分钟；2.考试范围：高考考试大纲规定的考试内容。

第I卷（选择题共60分）选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A={x||x-1 Y2}, N为自然数集，则AplN为A. 〈—1,0,1,21B.「0,1,2? C/1, 2,3 DS- 1, 0,1, 32. （文）一个容量为20的样本，数据的分组与几个组的频数如下：1.10, 20 ,2 120, 30 ,3 130, 40 ,4 1.40,50 ,在区间［10, 50 1上的频率为51.50, 60 , 4 1.60, 70 , 2,则样本A. 0.5B.0.7C. 0.25D. 0.05理若复数z满足iz =2订.则z二A.2-iB.-2 iC.1 2iD.1-2i3. 定义A ” B, B ” C,C ” D, D ” A,的运算分别对应图中的①②③④，那么图中的⑤⑥所对4•命题“若a >b,则a -1 > b -1"的否命题是A. 若a > b,则a T 一b TB.若a >b,则a -V>, b -1C 若a -b，则aT—bT D.若a%b，则aT%b-15.函数f n计K（其中n，N ）, K是-2的小数点后第n位数，2 =1.41421356237… 则fA. B D, A DB. B D, A CC. B C, A DD. C D, A D应的运算结果可能是f 8等于A. 1B.3C.4D.6x6设 Ca n ?是等差数列，a 1a 3a^18,a^12则 a 2 =7由12,3,4这四个数字，组成个位数字不为 2的没有重复数字的四位数，共有11如图，在 ABC 中，.CAB =/CBA =30°, AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE,则 以A B 为焦点，且过D 、E 的双曲线的离心率为A .、、3B .、、3-1C. 3 1D.212.（文）函数f x =x 2-2ax ，a 在区间〔一“，上有最小值，则函数g x =f x在A. 2B.3C.4D.5 'B.9个C.18 个D.19 个8.关于x 的不等式ax-b>0的解集为1, +：：，则关于x 的不等式 竺丄卜0的解集为x — 2A. -1,2B. -：：，-1 U 2,::C. 1,29若0 ,sin t ，cos ： - m,sin ： cos ：二 n,贝U4A. mYnB. m>nC. mnY 110.过点P 4,2作圆x 2 y 2 =4的两条切线，切点分别为 的 D. mn> 2A 、B 、O 为坐标原点，贝UOAB2 2A. x-2 y -1=5 — 2B. x -4 y -2[; =20 2 2C. (x+2) +(y +1) =52 2D. x 4 I 亠 i y 220区间1,：：A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数x理f x是定义在0, •上的非负可导函数，且满足xf x <f x ,对任意的正数a、b.若aYb,则必有A. af a _ bf b B. af a _ bf bC. af b < bf aD. af b \ ■■■bf a题号123456789101112答案第u卷（非选择题共90分）填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。