福建省厦门双十中学2021届高三上学期中考试数学试题 Word版含答案

20XX年中学测试中学试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：2021届福建源省厦门市双十中学高三年级上学期期中试卷一、本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。

1．A、B两个点电荷在真空中所产生电场的电场线（方向未标出）如图所示。

图中C点为两点电荷连线的中点，MN为两点电荷连线的中垂线，D为中垂线上的一点，电场线的分布关于MN左右对称。

则下列说法中正确的是（）A．这两个点电荷一定是等量异种电荷B．这两个点电荷一定是等量同种电荷C．D、C两点的电势一定相等D．C点的电场强度比D点的电场强度大2．如图所示，a、b和c分别表示点电荷的电场中的三个等势面，它们的电势分别为6V、4V 和1.5V。

一质子（H）从等势面a上某处由静止释放，仅受电场力作用而运动，已知它经过等势面b时的速率为v，则对质子的运动有下列判断，正确的是（）A．质子从a等势面运动到c等势面电势能增加4.5eVB．质子从a等势面运动到c等势面动能增加4.5eVC．质子经过等势面c时速率为2.25vD．质子经过等势面c时速率为1.5v3．如图所示，在水平放置的平行板电容器之间，有一带电油滴P处于静止状态。

若从某时刻起，油滴所带的电荷开始缓慢减少，为维持该油滴仍处于静止状态，可采取下列哪些措施（）A．其他条件不变，使电容器两极板缓慢靠近B．其他条件不变，使电容器两极板缓慢远离C．其他条件不变，将变阻器的滑片缓慢向左移动D．其他条件不变，使变阻器的滑片缓慢向右移动4．如下图所示，两根无限长的平行导线a和b水平放置，两导线中通以流向相反、大小不等的恒定电流，且I a> I b。

当加一个垂直于a、b所在平面的匀强磁场时；导线a 恰好不再受安培力的作用。

则跟加磁场B以前相比较（）A．b也恰好不再受安培力的作用B．b受的安培力小于原来安培力的2倍，方向竖直向下C．b受的安培力等于原来安培力的2倍，方向竖直向下D．b受的安培力小于原来安培力的大小，方向竖直向下5．如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。

2020-2021厦门市双十中学高中必修三数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为an D ．这组新数据的标准差为a n3．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<4．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程220x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为（ ） A ．23B ．13C ．12D ．5126．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数120,140的人数占大半．则说法正确的是（）为60；④分数在区间[)A．①②B．①③C．②③D．②④7．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，88．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（）A．1.19B．1.23C．1.26D．1.319．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是()A．336B．510C．1326D．360310．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．？B ．？C ．？D ．？11．已知函数()cos3xf xπ=，根据下列框图，输出S的值为()A．670B．16702C．671D．67212．已知平面区域()2,4yx yy x⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m=+和曲线24y x=-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为()P M．若01m≤≤，则()P M的取值范围为（）A．22,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B．22,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦二、填空题13．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．14．执行如下图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出S的值为__________．15．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为________．16．用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x 4-x 3+3x 2+7,在求x=2时对应的值时,v 3的值为___. 17．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=.(3) 若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.18．已知样本数据12345,,,,a a a a a 的方差222222123451(20)5s a a a a a =++++-，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为__________．19．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区400名年年龄为17岁～18岁的男生体重()kg ，得到频率分布直方图如图5所示：根据图2可得这200名学生中体重在[64.5,76.5]的学生人数是__________． 20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 2 3 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：（1）画出散点图；（2）如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？22．某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了6次试验，得到数据如下：（1）试对上述变量x 与y 的关系进行相关性检验，如果x 与y 具有线性相关关系，求出y 对x 的回归直线方程；（2）根据（1）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？附：相关性检验的临界值表()()nniii ix x y y x y nx yr ---==∑∑()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑$，$$y abx =+$42.0≈27.5≈23．现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10分制)，用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:100分制),用相关的特征量x 表示，数据如下表:（1）求y 关于x 的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1).参考公式及数据:回归直线方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121(x x)(y y)ˆˆˆ,(x x)niii nii ba y bx ==--==--∑∑，其中72193,9.3,()()9.9i ii x y x x y y ===--=∑. 24．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位:千元）与月储蓄i y （单位:千元）的数据资料，计算得10180i i x ==∑，101120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720ii x==∑.（1）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程y bx a =+$$$中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑$，其中x ，y 为样本平均值.）25．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率； (Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.26．[2019·朝鲜中学]在如图所示的程序框图中，有这样一个执行框1()i i x f x -=，其中的函数关系式为42()1x f x x -=+，程序框图中的D 为函数()f x 的定义域．（1）若输入04965x =，请写出输出的所有x 的值； （2）若输出的所有i x 都相等，试求输入的初始值0x ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式．2．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n ，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n . 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．4．D解析：D 【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队很少不失球，故（4）正确. 故选：D ．5．A解析：A 【解析】分析：可以按照等可能时间的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式求解.详解：因为a 是抛掷一枚骰子得到的点数，所以试验发生包含的事件总数为6， 方程220x ax ++=有两个不等实根，所以280a ->， 以为a 为正整数，所以3,4,5,6a =，即满足条件的事件有4种结果，所以所求的概率为4263P ==，故选A. 点睛：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式()()n A P n =Ω.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图8．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.9．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.10．A【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为， 第1次循环，，， 第2次循环，，，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=， ∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．D解析：D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题13．【解析】14．15【解析】程序执行过程为：当i=1s=1i<6s=1当i=3i<6s=3当i=5i<6s=15当i=7i>6退出s=15填15解析：15 【解析】 程序执行过程为：当i=1,s=1,i<6,s=1,当i=3,i<6,s=3,当i=5,i<6，s=15,当i=7，i>6，退出s=15.填15.15．30【解析】时继续时继续时停止输出点睛:本题考查的是算法与流程图算法与流程图的的考查侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念包括选择结构循环结构伪代码其次要重视循环起点条件循环次数循解析：30 【解析】3i =时，0236S =+⨯=，继续， 5i =时，62516S =+⨯=，继续，7i =时，162730S =+⨯=，停止， 输出30S =．点睛:本题考查的是算法与流程图.算法与流程图的的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.16．【解析】f(x)=2x4-x3+3x2+7=(((2x-1)x+3)x)x+7∴v0=2v1=2×2-1=3v2=3×2+3=9v3=9×2=18故答案为：18解析：【解析】f (x )=2x 4-x 3+3x 2+7=(((2x -1)x +3)x )x +7， ∴v 0=2,v 1=2×2-1=3,v 2=3×2+3=9,v 3=9×2=18. 故答案为：18.17．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4） 【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-Q ：（）．，， 又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----Q ，，，又200|33k y x x x ='==-Q ，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=Q ，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错；对于(3)，若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..18．或【解析】设样本数据的平均数为则方差：结合可得：即样本数据的平均数为2或-2则样本数据的平均数为：或故答案为或点睛：平均数与方差都是重要的数字特征是对总体的一种简明的描述它们所反映的情况有着重要的实解析：5或3- 【解析】设样本数据的平均数为a ，则方差：()()522152215522115221522115125125512555155i i i i i i i i i i i i i s a a a aa a a a a a a a a a a a =======-=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 结合()222222123451205s a a a a a =++++-可得：2520,2a a =∴=±， 即样本数据12345,,,,a a a a a 的平均数为2或-2，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为：2215⨯+=或()2213⨯-+=-.故答案为5或3-．点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．要注意其区别与联系.19．232【解析】由图可知：段的频率为则频数为人解析：232 【解析】由图可知：64.576.5~段的频率为1(0.010.030.050.050.07)20.58-++++⨯=， 则频数为4000.58232⨯=人．20．【解析】由题意∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(154) 解析：()1.5,4【解析】由题意,()()110123 1.5,1357444x y =+++==+++= ∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(1.5,4)三、解答题21．（1）见解析；（2）ˆ0.72860.8575yx =-；（3）机器的转速应控制在14.9转/秒以下 【解析】 【分析】（1）由表中数据做图（2）根据线性回归方程中公式求ˆ,ba 即可写出方程（3）利用线性回归方程建立不等式求解. 【详解】（1）画出散点图，如图所示：（2）4421112.5,8.25,438,660,i ii i i x y x yx ======∑∑41422214438412.58.250.7286660412.ˆ54i i i i i x y xy bx x ==--⨯⨯∴==≈-⨯-∑∑，8.250.728612.50.857ˆˆ5ay bx =-≈-⨯=-. 故回归直线方程为0.72860.8575ˆyx =-. （3）要使100.72860.857510y x ≤-≤，则，14.9019x ≤.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下. 【点睛】本题主要考查了散点图，线性回归方程，利用线性回归方程解决问题，属于中档题. 22．（1）答案见解析.（2）96 【解析】 【分析】（1）根据表中所给数据，计算出||r ，即可求得答案.（2）每小时加工零件的数量，即60x =，将60x =代入ˆ0.65757yx =+，即可求得答案. 【详解】（1）由表中数据得：6117950i ii x y==∑，6219100i i x ==∑，62139158i i y ==∑，35,80x y ==∴0.05||0.997r r ==>从而有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系，∴此求回归直线方程是有意义的．计算得：ˆˆ0.657,57ba== ∴ˆ0.65757yx =+ （2）Q 每小时加工零件的数量，即60x =将60x =代入ˆ0.65757y x =+ ˆ96.42y= 故每小时加工零件的数量额定为96比较合理 【点睛】本题考查回归直线方程以及应用，考查基本分析与求解能力，属基本题.23．(1) ˆ0.12 1.93yx =-. (2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心。

福建省厦门市双十中学2020-2021学年高三上学期期中数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}|12,|03,A x x B x x =-<<=<<则AB =（ ） A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3 2．已知11a bi i =-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则a bi -=（ ） A ．3 B ．2 CD ．53．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S 等于A ．18B ．36C ．54D ．724．设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（ ）A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥B ．存在唯一直线l ，使得l a //，且l b ⊥C ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且//b αD ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥5．设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =+=-，则AM =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1 7．化简：︒=（）A ．1 BC D ．2 8．已知函数f （x ）=|lgx|.若0<a<b,且f （a ）=f （b ）,则a+2b 的取值范围是（ ） A．)+∞ B ．)+∞ C ．(3,)+∞ D ．[3,)+∞9．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的单调递减区间是（ ） A ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B ．22,263k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ C ．42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．52,21212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．(43π+ B ．(42π+C D ．(4π+11．已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点，那么PA PB ⋅的最小值为A ．3-+B ．3-C ．4-+D ．42-+ 12．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上点M 异于点B ，C ，点N 在线段1CC 上，且13CN =，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 长的取值范围为（ ）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题 13．设变量x ，y 满足约束条件0{1030y x y x y ≥-+≥+-≤，则2z x y =+的最大值为 ．14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f 的值为______.15．已知正项等比数列{}n a 的前n 项积为n ∏，已知11212,2048m m m m a a a -+-⋅=∏=，则m =_______.16．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ︒∠=，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得45DBC ︒∠=，根据以上数据得cos θ=_________．三、解答题17．在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且(1)2n n n S +=记n T 为等比数列{}n b 的前n 项和，且2420b b +=，430T =（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记1212n n na a a Hb b b ++⋅⋅⋅+=，是否存在*,m n ∈N ，使得n m H a =，若存在，求出所有满足题意的m ，n 若不存在，请说明理由.18．如图：在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AB =D 在BC 边上，且90DAC ∠=︒，（1）若BD =，求AD 的长；（2）若DC =，求角C19．如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，090ACB ∠=，点1B 在底面内的射影恰好是BC 的中点，且2BC CA ==.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2）若二面角11B AB C --的余弦值为57-，求斜三棱柱111ABC A B C -的高. 20．已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++，[,]x ππ∈-. （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0a >，讨论()f x 的零点个数；21．已知动圆P 与定圆F ：22(1)1x y -+=外切，且与y 轴相切.（1）求动圆圆心P 的轨迹Γ的方程；（2）过(1,0)F 作直线l 与Γ在y 轴右侧的部分相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（ⅰ）求直线BD 与x 轴的交点K 的坐标； （ⅱ）若64||9AB =，求ABK ∆的内切圆方程. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：12cos {4sin x y θθ==（参数R θ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3cos()3ρπθ=+，点Q的极坐标为)4π． （1）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q 的直角坐标；（2）设P 为曲线1C 上的点，求PQ 中点M 到曲线2C 上的点的距离的最小值．23．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三条边.（1）求证：332251a b a b ab +++≥-；（2）若1abc =，求()()()a b c b c a c a b +-+-+-的最大值.参考答案1．A【详解】因为{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13.AB x x =-<< 故选A.2．C【解析】 试题分析：由题；11a bi i=-+，则(1)1(1)(1)2a i a ai bi i i --==-+-．即；2,1a b ==所以；2a bi i -=-=考点：复数的运算及复数的模.3．D【分析】利用等差数列的性质：下标之和相等的两项的和相等，由451718a a a a +==+,结合等差数列的求和公式可求得8S .【详解】数列{}n a 为等差数列，4518a a +=,∴由等差数列的性质得：451818a a a a +=+= ,又其前n 项和为n S ,()()1884584722a a S a a +∴==+=，故选D .【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式的应用，属于中档题. 解答与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质2p q m n ra a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.4．C【详解】试题分析：过直线a 上任意一点P ，作b 的平行线c ，由,a c 相交确定一个平面α.直线l 只需垂直于平面α，就会与b 垂直，这样的直线有无数条，故A 错误.因为,a b 不一定垂直，根据平面两条直线所成角的定义，排除B.根据线面垂直的概念，排除D.所以选C. 考点：空间点线面位置关系.5．B【分析】由x 的范围得到0sin 1x <＜，则由sin 1x x <能得到2sin sin 1x x x x <<，反之不成立，从而可求得结果.【详解】 02x ＜＜π，∴ 0sin 1x <＜，故2sin sin x x x x <，若“sin 1x x <”，则“2sin 1x x ＜”，若“2sin 1x x ＜”，则11sin ,1sin sin x xx x ，此时sin 1x x <可能不成立， 例如,sin 1,sin 12x x x x π→→>，由此可知，“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x <”的必要不充分条件，故选B.【点睛】判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．C【分析】由||||AB AC AB AC +=-可得0AB AC ⋅=，AB AC ⊥，结合2||16BC =即可得结果.【详解】因为2||16BC =，所以||4BC =，又因为22||||||||0AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC +=-⇒+=-⇒⋅=，所以AB AC ⊥,又因为M 是BC 的中点， 所以1||||22AM BC ==, 故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 7．C【分析】根据二倍角公式以及两角差的余弦公式进行化简即可.【详解】 原式22cos 20sin 20cos 25(cos 20sin 20)︒-︒=︒︒-︒02020cos 20sin 20-2522==cos 25cos 25cos 25︒+︒︒+︒︒=︒︒︒（）（45） 25=cos 25︒=︒故选C.【点睛】这个题目考查了二倍角公式的应用，涉及两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数值的应用属于基础题.8．C【解析】试题分析：0,()()a b f a f b <<=，01,a b ∴<<<所以()lg ,()lgb f a a lga f b lgb ==-==，所以由()()f a f b =得lg lg a b -=，即lg lg lg()0+==a b ab ，所以1ab =，1b a =，令2()2h a a b a a=+=+，因为函数()h a 在区间(0,1)上是减函数，故()(1)3h a h >=，故选C ．考点：对数函数性质，函数单调性与最值．9．A【分析】根据()f x 在2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，得到T π≥，从而得到2ω≤，根据1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到1121212T k ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，k Z ∈，从而得到k ω=，k Z ∈，再分别研究1ω=和2ω=的情况，根据1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合T 的值，得到()f x 的最值，判断出1ω=时不成立，再验证2ω=符合要求，从而得到()f x 的单调递减区间，得到答案.【详解】.解：函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 则22362T πππ≥-=，得到T π≥， 所以2ππω≥，得到2ω≤， 因为1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1121212T k ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，k Z ∈ 而2T πω=，从而得到k ω=，k Z ∈当1ω=，2T π=， 因为1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且111212πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以12x π=-和512x π=为相邻的两个零点，所以1151212212x πππ-+==时，()f x 取最大值或最小值， 而已知中()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，52,1263πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以矛盾，故1ω=不成立. 当2ω=，T π=， 因为1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且111212πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 则()f x 在1246x πππ=-+=和1121243x πππ=-=取最值， 而已知条件中恰有()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以可得()f x 的单调递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据正弦函数的周期性求参数的值，求正弦型函数的单调区间，属于中档题. 10．C 【解析】试题分析：由三视图可知几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成，所以体积为211111222332π⋅⋅⋅⋅⋅=. 考点：三视图. 11．A 【详解】 试题分析：如图所示：设()0OP x x =>，则1,2,sin ,PA PB APO APB xααα==∠=∠==()()()4222222222322.cos 2112sin 1133x x PA PB PA PB x x x x x x αα-+⎛⎫⋅==--=--==+-≥ ⎪⎝⎭所以当且仅当2x =“=”，故最小值为3-+考点：向量的数量积的应用 12．D 【分析】易知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，找到平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形的临界位置，得到BM 的长度，从而得到所求的BM 的取值范围. 【详解】因为正方体1111ABCD A B C D -的体积为1， 所以其棱长为1，如图所示，平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形的临界位置 因为平面11AA D D 平面11BB C C 平面AMN 平面111AA D D AD =, 平面AMN平面11BB C C MN =,所以1AD MN ∥， 易得1MNBC所以13CN CM ==， 所以23BM =所以，当203BM ≤<时，截面为四边形，当23BM >时，截面为五边形， 故所求的线段BM 的取值范围为203⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 故选：D.【点睛】本题考查截面图形问题，面面平行的性质，属于中档题. 13．6 【详解】根据题意画出约束条件对应的可行域，可知目标函数在点(3,0)处取得最大值，所以带入得6，即答案为6． 14．13- 【分析】利用换底公式得出42log 9log 30=>，先计算出()2log 3f -，然后利用函数()y f x =为奇函数，得出()4log 9f 的值. 【详解】224222log 9log 3log 3log 10==>=，由题意得()221log log 3321log 3223f --===，由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数， 因此，()()()4221log 9log 3log 33f f f ==--=-. 故答案为13-. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，同时也考查利用换底公式化简以及对数的运算，在求函数值时，要注意根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题. 15．6 【详解】试题分析：根据等比数列的性质，有2112m m m m a a a a -+⋅==，解得2m a =，依题意21211121122221220482m m m m m m a a a a a -----∏=⋅⋅⋅⋅====，所以2111,6m m -==.考点：等比数列. 161 【分析】根据题意，得到30BDA ︒∠=，由正弦定理计算BD =，求出sin 1BCD ∠=，进而可求出结果.【详解】∵45DBC ︒∠=，15DAC ︒∠=，∴30BDA ︒∠=， 在ABD △中，由正弦定理有sin sin AB BDADB BAD=∠∠，即50sin 30sin15BD =，即100sin15100BD ===，在BCD 中，由正弦定理有sin sin CD BD DBC BCD =∠∠，即2525sin 45sin BCD=∠，所以sin 1BCD ∠=，因此cos sin()sin 1BCD BCD θπ=-∠=∠=.1. 【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，熟记正弦定理即可，属于常考题型.17．（1）n a n =，2nn b =（2）存在，1m =，2n =【分析】）（1）利用1n n n a S S -=-，并验证1n =时的情况，得到数列{}n a 的通项，利用等比数列中的基本量计算，得到{}n b 的通项；（2）利用错位相减法求和，得到n H ，判断出n H 的范围，从而得到m 和n 的值. 【详解】解.（1）当1n =时，111a S ==； 当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=， 经验证，11a =满足上式，故数列{}n a 的通项公式n a n =. 设{}n b 的公比为q ，当1q =时，1220b =，1430b =不成立；当1q ≠时，依题意()()21411201301b q q b q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得：12b =，2q ，所以2nn b =（2）231232222n n nH =++++， 2311122222n n nH +=+++， 两式相减，得23111111222222n n n nH +=++++-，即1111222n n n n H +=-- 所以222n n n H +=-.因为22n n +>0，所以2n H <， 所以222n n m +-=，得2m <且*m N ∈ ∴1m = 即2212nn +-= 解得，2n =，所以满足题意的m ，n 存在，1m =，2n =. 【点睛】本题考查求等差、等比数列的通项，等比数列的基本量计算，错位相减法求和，属于中档题.18．（1）AD =2）20︒【分析】（1）AD x =，利用余弦定理，得到关于x 的方程，解得答案；（2）设C α=，在Rt ADC ∆中，AD α=，再表示出ABD ∠，利用余弦定理，得到()sin 2sin 60αα=︒-，结合α为锐角，得到α的值，即所求角C 的值. 【详解】（1）30BAD ∠=︒在ABD ∆中，设AD x =，由余弦定理得，2222cos BD AB AD ABAD BAD =+-∠ 则2222cos BD AB x x AB BAD =+-⨯∠(2222x x =+-⨯2120x -+=所以x =x =又AB AD >，所以AD =（2）设C α=在Rt ADC ∆中，AD α= 又90BAD α∠=︒+所以()180309060ABD αα∠=︒-︒-︒+=︒-在ABD ∆中，sin sin AD ABABD BDA=∠∠=得()sin 2sin 60αα=︒- ∵α为锐角∴260αα=︒-或218060αα=︒-︒- 得20α=︒或120α=︒（舍） 所以角C 的值为20︒. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，余弦定理解三角形，属于简单题.19．（1）证明见解析；（2. 【详解】试题分析：（1）取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥平面ACB ，所以1B M AC ⊥，结合AC BC ⊥有AC ⊥平面11B C CB ，从而有平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2）以CA 为ox 轴，CB 为oy 轴，过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴，建立空间直角坐标系，设1B M t =，利用二面角11B AB C --的余弦值为57-和向量法建立方程，求得t =，即斜三棱柱的高试题解析：(1)取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥平面ACB ∴1B M AC ⊥ 又AC BC ⊥，且1B M BC M AC ⋂=∴⊥平面11B C CB 因为AC ⊂平面11ACC A ,所以平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；(2)以CA 为ox 轴，CB 为oy 轴，过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴，建立空间直角坐标系2CA BC ==,设1B M t =，则11(200),(020),(010),(01,),(0,1,)A B M B t C t -，，，，，，， 即111(21,),(2,2,0),(0,2,0)AB t AB BC =-=-=-， 设面1AB B 法向量111(,,)(1,1,)n x y z n t=∴= 面11AB C 法向量21(,,)(,0,1)2t n x y z n =∴=125cos ,7n n t =-∴=考点：空间向量与立体几何. 20．（1）()f x 单调递减区间为,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据函数奇偶性，只研究()f x 在[]0,π上单调性，利用导数根据其函数值的正负，即可求得函数的单调区间；（2）对参数a 进行分类讨论，根据函数的单调性以及最值，即可求得函数的零点个数. 【详解】∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数，只需先研究[0,]x π∈,()sin cos f x x x x =+,()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≥，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≤， 所以()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减, 所以根据偶函数图象关于y 轴对称， 得()f x 在,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递增，在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π单调递减， 故()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）()cos (cos )f x x x ax x x a '=+=+,①1a ≥时，()(cos )0f x x x a '=+≥在[0,]x π∈恒成立, ∴()f x 在[0,]x π∈单调递增又(0)1f =，所以()f x 在[,]x ππ∈-上无零点 ②01a <<时，0(0,)x π∃∈，使得()00cos 0x x a +=，即0cos x a =-. 又cos x 在(0,)π单调递减，所以()00,x x ∈，()0f x '>，()0,x x π∈，()0f x '<所以()00,x x ∈，()f x 单调递增，()0,x x π∈，()f x 单调递减，又(0)1f =，21()12f a ππ=- （i ）21102a π->，即221a π<<时()f x 在[0,]π上无零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上无零点， （ii ）21102a π-≤，即220a π<≤. ()f x 在[0,]π上有1个零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上有2个零点， 综上所述，当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点个数，属综合中档题.21．（1）24(0)y x x =>或0(0)y x =<（2）（ⅰ）(1,0)K -（ⅱ）221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【分析】（1）设(,)P x y ，根据题目要求得到||1||PD x =+||1x =+，整理化简得到P 的轨迹方程；（2）（ⅰ）设直线AB ：1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()11,D x y -，直线与抛物线联立得到12y y +，12y y ，利用两点式表示出直线BD ，令0y =得到x 的值，从而得到K 的坐标；（ⅱ）由64||9AB =结合弦长公式，从而得到t 的值，从而得到直线AB 和BD ，利用内切圆圆心(),0M m 到AB 与BD 的距离相等，得到关于m 的方程，从而解出m ，得到所求的圆的方程. 【详解】解：设(,)P x y 依题意||1||PD x =+||1x =+222(1)(||1)x y x -+=+ 22||2y x x =+所以24(0)y x x =>或0(0)y x =<（2）（ⅰ）依题意：设直线AB ：1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()11,D x y -，2214404x ty y ty y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ ()221616161t t ∆=+=+124y y t +=，124y y =-直线BD ：121121y y y y x x x x ++=-- 即BD ：11214y y x x y y +=-- ()222112114y y y y y y x y -+-=-()2144y y y x --=令0y =，得1x =-，所以(1,0)K - （ⅱ）因为64||9AB =649= 解得279t =，即t =所以AB ：1x y =+，即330x ±-= 直线BD ：413x y =±-，即3430x y ±+= 依题意可知内切圆的圆心M 在x 轴上，设(,0)M m (11)m -<<所以M 到AB 与BD 的距离相等，即|33||33|45m m -+= 得19m =或9m =（舍） 又|33|253m r +==， 所以内切圆方程为：221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，直线与抛物线的交点，弦长公式，求内切圆的方程，属于中档题.22．（1）曲线2C的直角坐标方程为60x -=，点Q 的直角坐标为(4,4)．（2）2【分析】（1）根据公式cos ,sin x y ρθρθ==，代入得到曲线2C 的直角坐标方程，(),Q ρθ ，同样根据转化公式，得到点Q 的直角坐标；（2）将两点连线的最小值转化为点M 到直线2C 的距离，所以根据参数方程和中点坐标公式得到点M 的坐标，代入点到直线的距离公式，根据三角函数的有界性求距离的最小值.【详解】试题解析：（1）3cos 3ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得1cos sin 32ρθρθ=， 故曲线2C的直角坐标方程为60x -=，点Q 的直角坐标为()4,4．（2）设()12cos ,4sin P θθ，故PQ 中点()26cos ,22sin M θθ++，2C的直线方程为60x --=，点M 到2C 的距离3cos 2d θθ==-2226πθ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ PQ 中点M 到曲线2C上的点的距离的最小值是2．23．（1）证明见解析（2）1【分析】（1）利用基本不等式，得到3313a b ab ++≥，222a b ab +≥，从而进行证明；（2）根据基本不等式，得()()a b c b c a +-+-22()()2a b c b c a b +-++-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，同理2()()c b c a c a b ≤+-+-，2()()a a b c c a b ≤+-+-，三式相乘，整理化简后可得所求式子的最大值为1.【详解】（1）只需证：332215a b a b ab ++++≥∵3313a b ab ++≥=222a b ab +≥所以332215a b a b ab ++++≥.当且仅当1a b ==时，等号成立.（2）设()()()S a b c b c a c a b =+-+-+-()()a b c b c a +-+-22()()2a b c b c a b +-++-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭()()b c a c a b +-+-22()()2b c a c a b c +-++-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭()()a b c c a b +-+-22()()2a b c c a b a +-++-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭所以22()1S abc ≤=当且仅当()()()a b c b c a c a b +-=+-=+-即a b c ==时，()()()a b c b c a c a b +-+-+-的最大值为1.【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，利用基本不等式求最大值，属于中档题.。

2020-2021学年厦门市双十中学高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−16<0}，B ={−4,−2,0，1}，则( )A. B ⊆AB. A ∩B =⌀C. A ∩B ={0,1}D. A ∩B ={−2,0，1} 2. 等差数列中的是函数的极值点，则( ) A. B. C. D. 3. 图为几何体的三视，则该何体的表积为( )A. 20+2πB. 20+3πC. 24+2πD. 24+3π 4. 若函数f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(0≤φ≤π)为偶函数，则φ的取值为( )A. 0B. π2C. π4D. π 5. 某林场计划第一年造林1000公顷，以后每年比前一年多造林20%，则第四年该林场造林( )A. 1440公顷B. 17280公顷C. 1728公顷D. 2073.6公顷 6. 圆x 2+y 2=4上各点到直线L ：4x +3y −12=0的最小距离是( )A. 25B. 125C. 27D. 127 7. 在△ABC 中，D 为BC 边上一点，DC =2BD ，AD =√2，∠ADC =60°，若 AC =√2AB ，则BD 等于( )A. 2+√3B. 2+√2C. √2+√3D. 1+√2 8. 已知在△ABC 中，AB =BC =3，AC =4，设O 是△ABC 的内心，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m ：n =( )A. 5：3B. 4：3C. 2：3D. 3：49. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 2021>0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，四棱锥S −ABCD 的底面为正方形，SA ⊥底面ABCD ，且SA =AD ，则异面直线DC 与SB所成的角为( )A. 60°B. 30°C. 45°D. 90°11. 已知直棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC ，点P 是侧面ABB 1A 1内的动点，点P 到棱AC 的距离等于到平面BCC 1B 1的距离，则动点P 的轨迹是( )A. 抛物线的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 直线的一部分12. 已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f(x)g′(x)>f′(x)g(x)，且f(x)=a x g(x)(a >0且a ≠1，f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52，对于有穷数列{f(n)g(n)}(n =1,2,…)，任取正整数k(1≤k ≤10)，则前k 项和大于1516的概率是( ) A. 310 B. 25 C. 12 D. 35 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. △ABC 的外接圆圆心为O ，已知|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______． 14. 已知函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx ，则f(x)的最小正周期为______ ；若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，则m 的最小值为______ ．15. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是椭圆的上下顶点，B 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，直线AF 与BC 相交于点D 。

福建省厦门双十中学 20XX 届高三上学期期中考试数 学 试 题（文）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．若2{|40},{|3,0},A A x x x B x x B =-<=-则=（ ）A ．（0，3）B ．（0，4）C ．（1，3）D ．（3，4）2．已知向量(1,),(1,),a n b n a b b ==--若2与垂直，则||a = （ ）A ．1BC ．2D ．43．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立的是 （ ）A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面 4．23sin6π等于 （ ）A ．2- B ．12-C ．12D ．25．已知数列{}n a 的通项公式*2log ()1n na n N n =∈+，设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的自然数n 有（ ）A ．最大值15B ．最小值15C ．最大值16D ．最小值166．函数|21|xy =-在区间(1,1)k k -+内不单调，则k 的取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．(,1)-∞C ．（-1，1）D ．（0，2）7．已知函数()sin()cos()f x a x a b x ππβ=+++，且(2011)3f =，则(2012)f 的值是（ ）A ．-1B ．-2C ．-3D ．18．若命题:|1|4p x +≤，命题2:56q x x <-，则p q ⌝⌝是的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()21xf x =-，则2(log 12)f 的值为（ ）A ．13B ．43C ．2D ．1110．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知211210,38,m m m m a a a S m -+-+-==则=（ ）A ．38B ．20C ．10D ．911．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，*(,1),n b n n n N =+∈，下列命题中真命题是（ ）A ．若*//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若*n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若*n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列12．已知函数22()f x x bx cx =++的图像如图所示，则2212x x +等于（ ）A ．23B ．43C ．83D ．163二、填空题：（每小题4分，共16分） 13．已知3(,0),sin ,25πααπα∈-=--则cos()= 。

福建省厦门市双十中学【最新】高一上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2230,M x x x x Z =--<∈，则集合M 的真子集个数为（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．3 2．已知集合{}{}2|4,|1A x y x B x a x a ==-=≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值范围为（ ）A ．(][),32,-∞-⋃+∞B ．C ．D ．3．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足：()()x f x g x e +=，则（ ）A ．()2x x e e f x -+=B ．()2x x e e f x --=C ．()2x xe e g x --= D ．()2x xe e g x --= 4．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．3x y =-B ．12y x =C ．23log y x =D ．2y x x 5．已知()f x 的图象恒过点()1,1-，则函数()3f x -的图象恒过点（ ） A ．()2,1-- B ．()41-,C ．()1,4-D ．()1,2- 6．已知2212221log ,,log 333a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．已知幂函数()f x 图象过点(，则()9f =（ ）A ．3B ．9C ．-3D ．1 8．函数()()2log 2f x x =的最小值为（ ）A ．0B ．12-C ．14-D ．129．已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<D ．1101a b --<<<10．函数()()()2f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,∞+单调递增，则()20f x ->的解集为A ．{}|22x x -<<B ．{|2x x >或 }2x <-C ．{}|04x x <<D ．{|4x x >或}0x <11．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题12．若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________． 13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =+，则(),0x ∈-∞时，()f x =__________．14．已知函数2()1f x x x a =-+-有四个零点，则a 的取值范围是_________．三、解答题15．已知集合3212x A x x ⎧⎫-=-⎨⎬+⎩⎭， （Ⅰ）若B A ⊆，{|121}B x m x m =+<<-，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若A B ⊆，{|621}B x m x m =-<<-，求实数m 的取值范围．16．计算：（1）121 1.533211(0.001)27()()49---++-； （2）231lg 25lg 2log 9log 22+-⨯. 17．已知函数()1ln 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为M . （1）求M ； （2）当x M ∈时，求()122421x x g x ++=-+的值域.18．在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是0T ,经过一定时间t 后,温度T 将满足a T T -=()012t ha T T ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中a T 是环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用195F 热水冲的速溶咖啡,放在75F 的房间内,如果咖啡降到105F 需要20分钟,问降温到95F 需要多少分钟?(F 为华氏温度单位,答案精确到0.1，参考数据:20.3010,30.4771lg lg ==）19．定义在()0,∞+的函数()f x 满足：①当1x >时，()2f x <-；②对任意(),0,x y ∈+∞，总有()()()2f xy f x f y =++.（1）求出()1f 的值；（2）解不等式()()14f x f x +->-；（3）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）. 20．已知()()()2log 41x f x kx k R =+-∈. （1）设()()g x f x a =-，2k =，若函数()g x 存在零点，求a 的取值范围； （2）若()f x 是偶函数，设()24log 23x h x b b ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求实数b 的取值范围.参考答案1．B【分析】解不等式得到集合M ，然后根据集合元素的个数得到真子集的个数．【详解】 由题意得{}{}13,0,1,2M x x x Z =-<<∈=，所以集合M 的真子集的个数为3217-=个．故选B ．【点睛】解答本题时要注意结论：含有n 个元素的集合的子集的个数为2n 个，真子集的个数为(21)n -个，非空子集的个数为(21)n -个，非空真子集的个数为(22)n -个．2．C【解析】试题分析：集合{{}||22A x y x x ===-≤≤，若A B A ⋃=，则B A ⊆，所以有2{12a a ≥-+≤，所以21a -≤≤，故选C. 考点：集合间的关系.3．B【解析】由已知：在R 上的奇函数f （x ）和偶函数g （x ），x f x g x e +=（）（），①， 所以x f x g x e +=﹣（﹣）（﹣），即x f x g x e +=﹣﹣（）（），②①②得()2x xe ef x --=；故选B ． 4．A【解析】【分析】结合所给函数的解析式考查函数的性质排除错误选项即可求得最终结果.【详解】考查所给函数的性质：3x y =-是偶函数，当0x >时，3x y =-单调递减，满足题意；12y x =是非奇非偶函数，不合题意；当0x >时，23y log x =32log x =，则函数在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意； 2y x x =-是非奇非偶函数，不合题意；本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B【解析】因为已知()f x 的图象恒过点()1,1-，所以当31x -=时，(3)1f x -=-，即函数()3f x -的图象恒过点(4,)1-，故选B.6．D【解析】试题分析：2log 10a <=，01b <<，121log 12c >=，故c b a >>. 考点：比较大小.7．A【解析】设幂函数f （x ）=x α，把点（33αα=12， 即f （x ）=12xf （9），故选A ．8．C【解析】试题分析： ())()()()22222222111log 2log ?21log log log log 224f x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤==+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的最小值为14-. 考点：1、对数运算；2、二次函数.9．A【解析】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．由图易得1a >，101a -∴<<；取特殊点01log 0a x y b =⇒-<=<，11log log log 10aa ab a⇒-=<<=，101a b -∴<<<．选A ． 10．D【分析】 根据函数的奇偶性得到2b a =，在()0,+∞单调递增，得0a >，再由二次函数的性质得到()200f x f ->=（），【详解】函数()()222f x ax b a x b =+--为偶函数， 则20b a -=，故()()()2422f x ax a a x x =-=-+， 因为在()0,+∞单调递增，所以0a >.根据二次函数的性质可知，不等式 ()202f x f ->=（），或 者()202f x f ->=-（）， 的解集为{2222}{|04}x x x x x x --<-=或或，故选D.【点睛】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.11．C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11e e x x g x --+=+，则()()21111111e 1e e e e ex x x x x x g x ---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 12．-1【分析】令213x +=再代入()2212f x x x +=-求解即可. 【详解】当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1-【点睛】本题主要考查了抽象函数求值的问题,属于基础题.13．22x x -+【分析】当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，结合题意求出()f x -，然后再根据函数为奇函数求出()f x 即可．【详解】当(),0x ∈-∞时，则有()0,x -∈+∞，∴()()2222f x x x x x -=--=-，又函数()f x 为奇函数，∴()22f x x x -=-， ∴()22f x x x =-+． 即(),0x ∈-∞时，()22f x x x =-+． 故答案为22x x -+．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查转化的方法在解题中的应用，解题的关键是根据对称性将问题转化到区间()0,+∞上去求解，再根据奇偶性得到所求．14．5(1,)4【解析】由f （x ）=x 2﹣|x|+a ﹣1=0，得a ﹣1=﹣x 2+|x|，作出y=﹣x 2+|x|与y=a ﹣1的图象，要使函数f （x ）=x 2﹣|x|+a ﹣1有四个零点，则y=﹣x 2+|x|与y=a ﹣1的图象有四个不同的交点，所以0＜a ﹣1＜14，解得：a ∈514⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故答案为514⎛⎫ ⎪⎝⎭，点睛：本题涉及分段函数，二次函数，指数函数，以及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于难题．一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高．15．（Ⅰ）3m ≤；（Ⅱ）34m ≤≤．【解析】试题分析：（1）求出集合A ，利用子集关系，通过B 是否为空集，列出不等式组求解即可．（2）A ⊆B ，B={x|m ﹣6＜x ＜2m ﹣1}，列出不等式组求解即可．试题解析： 解不等式3212x x ->+，得25x -<<，即()2,5A =-. （1）B A ⊆①当B =∅时，则211m m -≤+，即2m ≤，符合题意；②当B ≠∅时，则有212215m m m >⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩解得：23m <≤.综上：(],3m ∈-∞.（2）要使A B ⊆，则B ≠∅，所以有 21662215m m m m ->-⎧⎪-≤-⎨⎪-≥⎩解得：34m ≤≤.16．（1）6-；（2）12-． 【解析】试题分析：（1）本问考查分数指数幂运算法则m m n a==（0a >，,n m N +∈，m n 为既约分数），1m n m n aa -=（0a >，,n m N +∈，m n 为既约分数），原式=121333223322(10)(3)(2)(3)------++-1092=++-276-=-；（2）本问考查对数运算法则log log log a a a MN M N =+（0,1,,0a a M N >≠>），log log log aa a MM N N=-（0,1,,0a a M N >≠>），log log a a M M αα=（0,1,0,a a M R α>≠>∈），原式122311lg 5lg 2lg102log 3log 21222-=+--⨯=+-=-. 试题解析：（1）121333223322(10)(3)(2)(3)------++-1092276=++-=- （2）原式122311lg 5lg 2lg102log 3log 21222-=+--⨯=+-=- 考点：1、指数运算；2、对数运算.17．（1）(]1?2M =-，;（2）[]1? 1?7-，. 【解析】（1）由已知可得20323{{11303x xx xx -≥-<≤+⇒>-->，∴12x -<≤，所以(]12M =-，. （2）()()12222421224212211x x x x x g x ++=-+=⋅-⋅+=--，∵12x -<≤，∴1242x <≤，所以当21x =，即0x =时，()min 1g x =-，当24x =，即2x =时，()max 17g x =，所以()g x 的值域为[]117-，. 18．25.9 【解析】试题分析：根据题意，先将题目中的条件代入公式()01()2tha a T T T T -=-⋅，求解就可得到半衰期h 的值．再利用公式()01()2t ha a T T T T -=-⋅，中0195T =，105T =，75a T =，20t =代入，求出半衰期h 的值，T=95，代入就可解出此时需要多少分钟．试题解析：依题意，可令0195T =，105T =，75a T =，20t =代入式子得：()20110575195752h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得10h =又若95T =代入式子得()1019575195752t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则101126t ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴()12321log 10log 610log 316t ===+ lg30.477110110125.9lg20.3010⎛⎫⎛⎫=+=+≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：降温到95F 约需要25.9分钟. 19．（1）12f ;（2）1x <<;（3）()log 2a f x x =-，其中a 可以取()0,1内的任意一个实数 【解析】试题分析：（1）令x=y=1，1112f f f =++（）（）（），从而解得； （2）令1y x=，x ＞1，则有12f f x f y =++（）（）（），从而可推出f （y ）＞-2， 则14f x f x +--（）（）＞可化为即12f x x --（（））＞，从而解得； （3）12()log 2f x x =-．试题解析：（1）令1x y ==，有()()()1112f f f =++，∴()12f =- （2）任取()12,0,x x ∈+∞，且21x x >，不妨设()211x x h h -⋅∆∆>∴()()()()2111f x f x f x h f x -=⋅∆- ()()()()121222f x f x f x f x =++-=+， ∵1h ∆>，∴()2f h ∆<- ∴()()21f x f x <∴()f x 在()0,+∞上单调递减.()()14f x f x +->-⇔ ()()122f x f x +-+>-，∴()()()11f x x f ->所以原不等式等价于：()01011x x x x ⎧>⎪->⎨⎪-<⎩，解得：1x <<（3）()log 2a f x x =-，其中a 可以取()0,1内的任意一个实数点睛：本题主要考查函数的奇偶性的判定，函数单调性的定义法证明，同时考查了单调性的应用，属于中档题.解题时，一定要注意判断奇偶性时，先分析函数的定义域是否关于原点对称，单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论.20．（1）()0,∞+;（2）见解析； 【解析】试题分析：（1）函数()g x 有零点转化为方程()f x a =有解，只需求函数()f x 的值域，a 的取值范围即为其值域；（2）根据()f x 是偶函数，利用特殊值()()11f f -=-求k ，函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，即方程()()f x g x =有一解，得方程42223x x x b b -+=⋅-有一解，换元转化为一元二次方程只有一正根的问题，分类讨论即可求出. （1）由题意函数()g x 存在零点，即()f x a =有解.又()()2log 412xf x x =+-= 22411log log 144x x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 易知()f x 在(),-∞+∞上是减函数，又1114x +>，21log 104x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即()0f x >， 所以a 的取值范围是()0,+∞.（2）()()2log 41xf x kx =+-，定义域为R ，()f x 为偶函数()()2111log 14f f k ⎛⎫⇒-=-⇒++ ⎪⎝⎭()2log 411k k =+-⇒=检验：()()2241log 41log 2x xxf x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭()2log 22x x-=+， 则()()()()2log 22xx f x f x f x --=+=⇒为偶函数，因为函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，所以方程()()f x g x =只有一解，即42223x x xb b -+=⋅-只有一解， 令2x t =0t >（），则23(1)430b t bt ---=有一正根， 当1b =时，304t =-<，不符合题意， 当1b ≠时，若方程有两相等的正根，则2=(4)43(1)(3)0b b ∆--⨯-⨯-=且4023(1)bb >⨯-，解得3b =-，若方程有两不相等实根且只有一正根时，因为23(1)43y b t bt =---图象恒过点(0,3)-，只需图象开口向上，所以10b ->即可，解得1b >， 综上，3b =-或1b >，即b 的取值范围是{3}(1,)-+∞.点睛：本题在处理两个函数图象只有一个交点时，转化为对应方程只有一解，利用换元法转化为含有参数b 的一元二次方程只有一正根，当1b ≠时，结合二次函数图象，分类讨论即可，在分类讨论时注意分类标准的选择，做到不重不漏.。

福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（ ）A. A B= B. A B ⋂=∅C. A BD. B A2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 04. “2log 2x <”是“13x <<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）A. B.C. D.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20B. 21C. 22D. 237. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A a c b<< B. b c a << C. b a c << D. c b a<<8. 已知定义域为()0,∞+函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（ ）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 否定是R x ∀∈，2220xx++>.的的B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f g x 为偶函数>”是“x y >”的必要条件10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（ ）A.114ab ≥ B.122a b+≥ C.2≥ D. 228a b +≥11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2ff a <+的整数a 的取值可以是（ ）A. －1B. 0C. 1D. 212. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．14. 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．16. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1zs xyz+=的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知函数()22(11)1xf x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 取值范围．20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R aa f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力的的22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?22. 已知函数()()9230xx mf x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（ ）A. A B =B. A B ⋂=∅C. A BD. B A【答案】D 【解析】【详解】根据集合相等的概念，集合交集运算法则，集合包含关系等知识点直接判断求解.【分析】因为集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，所以A B ≠，{}2,3A B ⋂=， B 是A 的真子集，所以A,B,C 错误，D 正确.故选：D2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值举反例排除即可得到答案.【详解】对于A ，若0,1a b ==-，则22＜a b ，故A 错误；对于B ，若1,1a b ==-，则11a b＞，故B 错误；对于C ，由于2x y =在R 上单调递增，所以a b >时，22a b >，故C 正确；对于D ，若0c =，则22ac bc =，故D 错误.故选：C3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 0【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数()00f =得到a 值再用定义法验证即可.【详解】因为函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，定义域为(),-∞+∞，所以()()()0210f a a =--=，解得1a =或2a =，当1a =时，()()221f x xx =-，则()()()221f x x x f x -=--≠-，不满足题意；当2a =时，()()221f x x x =+，则()()()221f x x x f x -=-+=-，满足题意.所以a 的值是2.故选：B4. “2log 2x <”是“13x <<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念和对数函数相关概念求解即可.【详解】由22log 2log 4x <=，解得04＜＜x ，由“04＜＜x ”是“13x <<”的必要不充分条件，所以“2log 2x <”是“13x <<”的必要不充分条件.故选：B5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）的A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数()0ay xx =≥，与()log 0a y x x =>，答案A 没有幂函数图像，答案B.()0ay x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案C ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合，答案D ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20 B. 21C. 22D. 23【答案】D 【解析】【分析】根据题意可列出方程10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，求解即可，【详解】设经过x 天“进步“的值是“退步”的值的10000倍,则10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，即1.2(100000.8x=，1.20.8lg10000log 10000231.2lg3lg20.1761lg l 4443g 20.8x ∴====≈≈-,故选：D ．7. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a<<【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数的单调性和对数运算法则计算即可.【详解】由题意得，3227311121log 9log 322233c ===⨯=；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10.90.5111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜＜，由于0.510.73⎛⎫=⎪⎝⎭，所以10.73b ＜＜；因为0.9x y =在R 上单调递减，所以1130.90.90.9a ==.所以c b a <<.故选：D8. 已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（ ）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3【答案】C 【解析】【分析】将()()1221211x f x x f x x x ->-变为()()2121110f x f x x x ++->，结合构造函数())1(),(0f x xg x x +=>，即可判断()g x 的单调性，由此将不等式()1f x x <-可化为()(3)g x g <，结合函数单调性，即可得答案.【详解】由题意知对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，不妨设12x x <，则210x x ->，由()()1221211x f x x f x x x ->-得()()12212110x f x x f x x x -->-，即()()21122121110f x f x x x x x x x ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦>-，结合21120,0x x x x ->>得()()2121110f x f x x x ++->，即()()212111f x f x x x ++>，设())1(),(0f x xg x x +=>，则该函数在()0,∞+上单调递增，且()3(3)113f g =+=，则()1f x x <-即()11f x x+<，即()(3)g x g <，故03x <<，即不等式()1f x x <-的解集为()0,3，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++>B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f gx 为偶函数>”是“x y >”的必要条件【答案】BC 【解析】【详解】根据含有一个量词命题的否定可判断A ；判断“0m <”和“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”之间的逻辑关系可判断B ；根据函数奇偶性定义判断C ；判断>”和“x y >”的推出关系可的判断D.【分析】对于A ，命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++≥，A 错误；对于B ，当0m <时，对于220x x m -+=有440m ∆=->，即方程有两个不等实根，设为12,x x ，则120x x m =<，即12,x x 一正一负；当220x x m -+=有一正一负根时，只需满足120x x <，即0m <，即“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，B 正确；对于C ，由题意知()h x 的定义域为R ，由()(),()()f x f x g x g x -=--=可得()()()(())()h x f g x f g x h x -=-==，即函数()()()=h x f g x 为偶函数，C 正确；对于D >0x y >≥，反之，当x y >，比如0x y >>故>”是“x y >”的充分条件，D 错误，故选：BC 10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（ ）A. 114ab ≥B. 122a b +≥C. 2≥D. 228a b +≥【答案】AD【解析】【分析】运用基本不等式和特殊值法判断各个选项即可.【详解】对于A 和C ，因为0a >，0b >，所以4a b +=≥2≤，当且仅当2a b ==时等号成立，故04ab ≤＜，则114ab ≥，故A 正确，C 错误；对于B ，代入2a b ==，12131222a b +=+=＜，故B 错误；对于D ，()22282a b a b++≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，故D 正确.故选：AD11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2f f a <+的整数a 的取值可以是（ ）A. －1B. 0C. 1D. 2【答案】BCD【解析】【分析】判断函数()2e e 122023x x f x x -+=+的奇偶性以及单调性，则由)()2f f a <+可得||2|a <+，将各选项中的数代入验证，即可得答案.【详解】由题意知()2e e 122023x x f x x -+=+的定义域为R ，()2e e 1()22)0(23x x f x f x x -+-==+-，即()f x 为偶函数，又0x >时，e 1x >，令e ,(1)x t t =>，且e x t =在(0,)+∞上单调递增，函数1y t t=+(1,)+∞上单调递增，故e e 2x xy -+=在(0,)+∞上单调递增，则()2e e 122023x x f x x -+=+在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，故由)()2f f a <+得|||2|a <+，将各选项中的数代入验证，0，1，2适合，在故选：BCD12. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -【答案】BCD【解析】【分析】化简得到()()22f x f x +=，进而求得则()5.54f =，可判定A 错误；当12m =时，作出函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，结合图象，可判定B 正确；根据题意得出函数()f x 的值域对m 进行分类讨论，可判定C 正确；由()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数可判定D 正确.【详解】当2m =时，函数()()22f x f x =-可转化为()()22f x f x +=，则()()()()()5.5 3.522 3.521.524 1.5414f f f f =+==+==⨯=，所以A 错误；当12m =时，函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，如图所示，可得函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点，所以B 正确；对于C 中，依题意，max min ()()4f x f x -<，当[]0,2x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2；当1m >时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；若6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦， ；随着x 依次取值，值域将变成[0,)+∞，不符合题意，若1m <-时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]2,0m ；max min ()()224f x f x m -³->，不符合题意，所以C 正确；对于D ，当[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，当(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；当6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦……，当(24],22x n n ∈--时，函数()f x 的值域为20,2n m-⎡⎤⎣⎦，当(22,2]x n n ∈-时，函数()f x 的值域为10,2n m -⎡⎤⎣⎦当(2,22]x n n ∈+时，函数()f x 的值域为0,2n m ⎡⎤⎣⎦，若01m <<，12222n n m m m -<<<<，由图象可知，()y f x =的图象与直线12n y m -=在区间[]0,2，(2,4]，……，],(2242n n --上均有2个交点，在(22],2n n -上有一个交点，在(2,)n +∞上无交点，所以()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -，所以D 正确.故选：BCD.【点睛】本题解题关键是准确作出函数的图象，数形结合可得判断B ,D ，利用()()22f x f x +=迭代可判断A ，对于C ，分1m >和1m <-两种情况讨论可判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】72-## 3.5-【解析】【分析】根据题意，令19x =，准确运算，即可求解.【详解】由函数)311x f x ++=-，令19x =，可得13479()1)13219f f +=+==--.故答案为：72-.14 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．【答案】{}2-【解析】【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合B ，结合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式234(4)(1)0x x x x --=-+>，解得1x <-或>4x ，即{|1B x x =<-或4}x >，因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}2A B =-I .故答案为：{}2-.15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．【答案】8【解析】【分析】根据指对幂运算法则进行计算即可.【详解】由题意得，391log 10log 1029019==，1413181⎛⎫ =⎝=⎪⎭，3130.02710-==，66663311l 1og 2log 2log 2log 1log 2log 63+=+=+=+，所以原式110101833=+-+=.故答案为：816. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1z s xyz+=的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先代换1z +，结合基本不等式求解可得答案..【详解】因为222321x y z ++=，所以()()22232111z z x y z +=-=-+；易知1z <，所以221132z zx y +=-+；所以()221321xyz z z x y s xyz ++==-，由()114z z -≤，当且仅当12z =时取等号，可得()22432s y x y x +≥=≥，当且仅当228323x y ==，即x y ==时，取到最小值.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤；（2）12a <<.【解析】【分析】(1)化简集合A ，B ，再利用交集、并集的定义直接计算得解.(2)由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件可得集合B A ，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.【小问1详解】当a =1时，{}{}|(1)(30)|13A x x x x x -<=<-=<，{|()()}{|23}320B x x x x x =≤-≤≤=-，所以{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤.【小问2详解】因为a >0，则{}|3A x a x a =<<，由(1)知，{|23}B x x =≤≤，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，于是得B A ，则有233a a <⎧⎨>⎩，解得12a <<，所以实数a 的取值范围是12a <<.18. 已知函数()22(11)1x f x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．【答案】（1）()f x 是奇函数，理由见解析（2）()f x 在(1,1)-上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【小问1详解】()f x 是奇函数，理由如下：函数()22(11)1x f x x x =-<<-，则定义域关于原点对称，因为()()221x f x f x x --==--，所以()f x 是奇函数；【小问2详解】任取1211x x -<<<，则22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=---- 1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----，因为1211x x -<<<，所以2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<，所以12())0(f x f x ->，所以()f x 在(1,1)-上单调递减.19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-的奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()02f =，函数()()2g x f x =-是奇函数，证明见解析（2）(],0-∞【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求得()02f =，利用奇函数定义和已知条件即可证明函数()()2g x f x =-奇偶性；（2）根据条件得到函数()f x 单调性，再结合题中条件将原不等式化简，将恒成立问题转化为最值问题进而求解.【小问1详解】因为函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，所以令0y =，得到()()()20f x f x f =+-，所以()02f =；函数()()2g x f x =-定义域为(),-∞+∞，因为()()()()()()()422020g x g x f x f x f x f x f +-=+--=+---=-=⎡⎤⎣⎦，所以函数()()2g x f x =-奇函数【小问2详解】因为对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，所以函数()f x 在(),-∞+∞单调递增，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即()126f x f m x ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭，即()()122f x f m f x ⎛⎫+--≥⎪⎝⎭，即()12f x m f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，所以12x m x +-≥，所以12m x x≤+-对(]0,4x ∈恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以min12220m x x ⎛⎫≤+-=-= ⎪⎝⎭，即实数m 的取值范围为(],0-∞20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R a a f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）(0,1){9} 是（2）-13【解析】【分析】（1）根据指数幂的含义以及对数函数的单调性分别求得a 的取值范围，综合可得答案；（2）由题意确定a 的值，化简()f x ，由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得919()9ln 322m =+-，再由911(9ln 222f m ⎛⎫-=-- -⎪⎝⎭，两式相加即可求得答案.【小问1详解】由123a ≤可得09a ≤≤，当01a <<时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,09a a ≤∴<≤，故01a <<；当1a >时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,9a a ≥∴≥，故9a ≥；综合可得实数a 的取值范围(0,1){9} ；【小问2详解】由题意知1a >，则9a =，则()()()99ln 19ln 12f x mx x x =++---，需满足11x -<<，则()919ln 21x f x mx x+=+--，故由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭得919(9ln 322m =+-，则9119ln 3222f m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1194,1322f f ⎛⎫⎛⎫-+=-∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?【答案】（1）()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩（2）2t =时有最小值，最小值为5200kJ .【解析】【分析】（1）先写出速度v 关于时间t 的函数，进而求出剩余体力Q 关于时间t 的函数；（2）分01t <≤和14t <≤两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v 关于时间t 的函数()()30,0130101,14t v t t t <≤⎧=⎨--<≤⎩，代入1ΔQ 与2ΔQ 公式可得()()()1000060230,016012301016400,1411t t Q t t t t t -⋅⋅⨯<≤⎧⎪=⎡⎤-⋅--⎨⎣⎦-<≤⎪-+⎩解得()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩；【小问2详解】①稳定阶段中()Q t 单调递减，此过程中()Q t 最小值()()min 16400kJ Q t Q ==；②疲劳阶段()48004001200(14)Q t t t t =++<≤，则有()480040012004005200kJ Q t t t =++≥+=，当且仅当48001200t t=，即2t =时，“=”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ ，由于52006400<，因此，在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ .22. 已知函数()()9230x x m f x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．【答案】（1）(,2]-∞；（2）()()12f x f x <；（3）1.【解析】【分析】（1）把1m =代入，结合一元二次不等式及指数函数单调性求解不等式即得.（2）利用差值比较法，结合基本不等式判断出两者的大小关系.（3）利用换元法化简()g x 的解析式，对3m 进行分类讨论，结合二次函数的性质求得m 的值.【小问1详解】当1m =时，函数123()92)633(x x x x f x +=-⋅-=⋅，不等式()27f x ≤化为2(3)63270x x -⋅-≤，即(33)(39)0x x +-≤，解得39x ≤，则2x ≤，所以不等式()27f x ≤的解集为(,2]-∞.【小问2详解】依题意，()()112212923923x x m x x mf x f x ++-⋅⋅-=-+()()()12121233332333x x x x x x m =+--⋅-()()1212333323x x x x m =-+-⋅，由210x x >>，得12330x x -<，又212x x m =，则123323x x m +>=>==⋅，因此()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <.【小问3详解】令3x t =，0t >，则()()221323,9232mm x m x f x t t f x t t--=-⋅⋅-=-⋅=-⋅，于是()()()g x f x f x =+-2213232mmt t t t =-⋅⋅+-⋅2211(t t t =+)-2⋅3m ⋅(t +211()23()2m t t t t =+-⋅⋅+-221(3)23m m t t=+---，而12t t+≥=，当且仅当1t t =，即1t =，0x =时取等号，当32m ≤，即3log 2m ≤时，则当12t t +=时，()y g x =取得最小值313443211,log 4m m -⋅-=-=，矛盾；当32m >，即3log 2m >时，则当13m t t+=时，()y g x =取得最小值22311m --=-，解得1m =，则1m =，所以m 的值是1.【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.。

2023-2024学年福建省厦门市思明区双十中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |1＜x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1） B ．（﹣1，1）∪（5，7）C ．[﹣1，7）D ．（1，5]2．若2+ai 3−i=bi ，其中i 是虚数单位，a ，b ∈R 且b ≠0，设z ＝a +bi ，则|z|为（ ）A ．2B ．2√5C ．6D ．2√103．在平行四边形ABCD 中，点E 满足BD →=4BE →，CE →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则λμ＝（ ） A ．−316B ．−38C ．316D ．14．记等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝3，S 8﹣S 5＝﹣96，则S 6＝（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．﹣21D ．﹣245．已知tan(θ+π4)=2tanθ−7，则sin2θ＝（ ）A ．2B ．±2C ．±45D ．456．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与以△ABC 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（ ） A ．12B ．2πC ．22D ．27．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x ﹣4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝（ ） A ．45B ．35C ．−35D ．−458．已知平面向量a →，b →，c →．满足|a →|＝2，|a →−b →|＝2√3，若对于任意实数x 都有|b →−x a →|≥|b →−a →|成立，且|c →−a →|≤1，则b →•c →的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于函数f （x ）＝2sin （2x −134π）的图象，下列说法正确的是（ ） A ．（π8，0）是曲线y ＝f （x ）的一个对称中心B．x=5π8是曲线y＝f（x）的一个对称轴C．曲线y＝2sin2x向左平移58π个单位，可得曲线y＝f（x）D．曲线y＝2sin2x向右平移58π个单位，可得曲线y＝f（x）10．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：W/m2）之间的关系是：Li=10lg II0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1W/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中正确的是（）A．闻阈的声强级为0.1dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围为[10﹣5，10﹣4]（单位：W/m2）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍11．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，且P A＝AC＝BC＝2，E为线段PC上的一个动点，则下列选项正确的是（）A．三棱锥P﹣ABC的表面积是4+4√2B．直线PC与直线AB所成的角为60°C．|AE|+|BE|的最小值为√2+√6D．三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为12π12．已知a＞0，b＞0，a2+b2﹣ab＝2，|a2﹣b2|≤2，下面结论正确的是（）A．a+b≥2√2B．．a−b≤√63C．log2a+log2b≤1D．log2a+log23b≥2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=1a x+1−m（a＞0，且a≠1）是奇函数，则m＝．14．从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则3个数的积为3的倍数的不同取法有．15．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|=2√3b，则C的离心率为．16．已知函数f（x）＝x3+bx2+cx+c有三个零点，且它们的和为0，则b﹣c的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且（a ﹣c ）（a +c ）sin C ＝c （b ﹣c ）sin B ． （1）求A ；（2）若△ABC 的面积为√3，sin B sin C =14，求a 的值．18．（12分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，S n =na n −n 2+n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =(−1)n+1⋅a n +a n+1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）如图所示，△ABC 为等边三角形，EA ⊥平面ABC ，EA ∥BD ，AB ＝BD ＝2，AE ＝1，M 为线段AB 上一动点．（1）若M 为线段AB 的中点，证明：ED ⊥MC ． （2）若AM ＝3MB ，求二面角D ﹣CM ﹣E 的余弦值．20．（12分）小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到．小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为12，且相互独立．已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司．求： （1）要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发； （2）若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率； （3）小李上班路上的平均时长．21．（12分）已知椭圆C ：x 28+y 24=1，点N （0，1），斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，与圆N 相切且切点为M ，M 为AB 中点． （Ⅰ）求圆N 的半径r 的取值范围； （Ⅱ）求|AB |的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝e 2x +（a ﹣2）e x ﹣ax ﹣1． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若g （x ）＝f （x ）+（2﹣a ）e x 在区间（0，+∞）上存在唯一零点x 0，求证：x 0＜a ﹣2．2023-2024学年福建省厦门市思明区双十中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |1＜x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1） B ．（﹣1，1）∪（5，7）C ．[﹣1，7）D ．（1，5]解：集合A ＝{x |1＜x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}＝{x |﹣1≤x ≤5}，则A ∩B ＝（1，5]． 故选：D ．2．若2+ai 3−i=bi ，其中i 是虚数单位，a ，b ∈R 且b ≠0，设z ＝a +bi ，则|z|为（ ）A ．2B ．2√5C ．6D ．2√10解：2+ai3−i=bi ，则2+ai ＝bi （3﹣i ）＝b +3bi ，故{b =23b =a ，解得a ＝6，b ＝2，所以|z|=|6−2i|=√62+(−2)2=2√10． 故选：D ．3．在平行四边形ABCD 中，点E 满足BD →=4BE →，CE →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则λμ＝（ ） A ．−316B ．−38C ．316D ．1解：因为BD →=4BE →，则CD →−CB →=4(CE →−CB →)，整理得CE →=14CD →+34CB →=14BA →−34BC →，由平面向量基本定理可得：λ=14，μ=−34，所以λμ=14×(−34)=−316．故选：A ．4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝3，S 8﹣S 5＝﹣96，则S 6＝（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．﹣21D ．﹣24解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若S 3＝3，S 8﹣S 5＝﹣96，即a 1+a 2+a 3＝3，a 6+a 7+a 8＝q 5（a 1+a 2+a 3）＝﹣96， 变形可得：q 5＝﹣32，则q ＝﹣2；又由a 1+a 2+a 3＝3，即a 1﹣2a 1+4a 1＝3a 1＝3，则有a 1＝1，故S 6=a 1(1−q 6)1−q =1−643=−21．故选：C ．5．已知tan(θ+π4)=2tanθ−7，则sin2θ＝（ ）A ．2B ．±2C ．±45D ．45解：因为tan(θ+π4)=tanθ+tan π41−tanθtan π4=tanθ+11−tanθ=2tanθ−7，整理得tan 2θ﹣4tan θ+4＝0，解得tan θ＝2， 所以sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=45．故选：D ．6．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与以△ABC 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（ ） A ．12B ．2πC ．22D ．2解：设△ABC 的边长为a ，外接圆半径为r ，AA 1＝b ，由正弦定理得√32=2r ，则r =√33a ，V ABC−A 1B 1C 1=12⋅a ⋅a ⋅√32b =√34a 2b ，设圆柱的高为h ，V 圆柱=13a 2πℎ=√34a 2b ，∴b =4π3√3，正三棱柱的侧面积S 棱柱=3ab =4π33，圆柱的侧面积S 圆柱=2πrℎ=2π⋅√33aℎ，正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为3a⋅3√3ℎ2π⋅√33a⋅ℎ=2，故选：D ．7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x ﹣4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝（ ） A ．45B ．35C ．−35D ．−45解：∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴F 点的坐标为（1，0）又∵直线y ＝2x ﹣4与C 交于A ，B 两点，则A ，B 两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4）， 则FA →=（0，﹣2），FB →=（3，4），则cos ∠AFB =FA →⋅FB→|FA →|⋅|FB →|=−810=−45， 故选：D ．8．已知平面向量a →，b →，c →．满足|a →|＝2，|a →−b →|＝2√3，若对于任意实数x 都有|b →−x a →|≥|b →−a →|成立，且|c →−a →|≤1，则b →•c →的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8解：设a →=OA →，b →=OB →，c →=OC →，xa →=OM →，b →，c →则如图所示，因为|b →−xa →|⩾|b →−a →|，所以|OB →−OM →|⩾|OB →−OA →|，即|MB →|⩾|AB →|，所以BA ⊥OA ， 因为|a →|=2，|a →−b →|=2√3，所以∠AOB =60°，|b →|=4，由|c →−a →|⩽1，可得点C 在以A 为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），过圆周上一点C 作OB 的垂线，垂足为D ，且DC 与⊙A 相切，延长DC 交OA 于N ，则b →⋅c →=|b →|⋅|c →|cos ＜b →，c →＞⩽|b →||OD →|=4|OD →|，又根据相似知识可得OD =CA ⋅OA AN +CA =cos60°OA +CA =12×2+1=2，所以b →⋅c →的最大值为8，故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于函数f （x ）＝2sin （2x −134π）的图象，下列说法正确的是（ ） A ．（π8，0）是曲线y ＝f （x ）的一个对称中心B ．x =5π8是曲线y ＝f （x ）的一个对称轴 C ．曲线y ＝2sin2x 向左平移58π个单位，可得曲线y ＝f （x ）D ．曲线y ＝2sin2x 向右平移58π个单位，可得曲线y ＝f （x ）解：函数f（x）＝2sin（2x−134π）的图象，对于A：当x=π8时，f（π8）＝2sin（﹣3π）＝0，故A正确；对于B：当x=5π8时，f（5π8）＝2sin（5π4−13π4）＝0，故B错误；对于C：曲线y＝2sin2x向左平移58π个单位，得到y＝f（x）＝2sin（2x+5π4）＝﹣2sin（2x+π4）的图象，故C错误；对于D：曲线y＝2sin2x向右平移58π个单位，可得曲线y＝f（x）＝2sin（2x−5π4）＝2sin（2x−134π）的图象，故D正确．故选：AD．10．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：W/m2）之间的关系是：Li=10lg II0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1W/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中正确的是（）A．闻阈的声强级为0.1dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围为[10﹣5，10﹣4]（单位：W/m2）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍解：因为Li＝101g II0=10lgI﹣10lgI0，当I＝1W/m2时，Li＝120，代入公式可得I0＝10﹣12W/m2，对于A，当I＝I0时，Li＝10lg1＝0，故选项A错误；对于B，由题意可得，70≤10lgI﹣10lg10﹣12≤80，即70≤10lgI+120≤80，所以﹣5≤lgI≤﹣4，解得10﹣5≤I≤10﹣4，故选项B正确；对于C，当I变为2I时，代入Li'＝10lg（2I）﹣10lgI0≠2Li，故选项C错误；对于D，设声强变为原来的k倍，则10lg（kI）﹣10lgI＝10，解得k＝10，故选项D正确．故选：BD．11．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，且P A＝AC＝BC＝2，E为线段PC上的一个动点，则下列选项正确的是（）A ．三棱锥P ﹣ABC 的表面积是4+4√2B ．直线PC 与直线AB 所成的角为60°C ．|AE |+|BE |的最小值为√2+√6D ．三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为12π解：如图所示，三棱锥P ﹣ABC 的表面积S ＝S △P AC +S △ACB +S △P AB +S △PCB =12×2×2+12×2×2+12×2√2×2+12×2×2√2=4+4√2，故A 正确； 建立如图所示空间直角坐标系，则C （0，0，0），A （2，0，0）， B （0，2，0），P （2，0，2），AB →=(−2，2，0)，CP →=（2，0，2），设直线PC 与直线AB 所成的角为θ，则cos θ＝|cos ＜AB →，CP →＞|＝|AB →⋅CP→|AB →||CP →||=−422×22=12，∴θ＝60°，即直线PC 与直线AB 所成的角为60°，故B 正确； 把三角形PCB 沿PC 翻折至平面P AC 内，则AB 1为所求，由题意可知，B 1G =CG =√2，则AB 12=(√2)2+(2+√2)2=8+4√2， 则AB 1=2√2+√2，即|AE |+|BE |的最小值为2√2+√2，故C 错误；取PB 中点O ，则OP ＝OA ＝OB ＝OC ，即O 为三棱锥P ﹣ABC 外接球的球心， 半径为12PB =12√22+22+22=√3，外接球的表面积为4π×(√3)2=12π，故D 正确．故选：ABD ．12．已知a ＞0，b ＞0，a 2+b 2﹣ab ＝2，|a 2﹣b 2|≤2，下面结论正确的是（ ） A ．a +b ≥2√2 B ．．a −b ≤√63C ．log 2a +log 2b ≤1D ．log 2a +log 23b ≥2解：a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ≥（a +b ）2−3(a+b)24=(a+b)24，所以a +b ≤2√2，a 2+b 2﹣ab ≥2ab ﹣ab ＝ab ，所以ab ≤2，log 2a +log 2b ＝log 2ab ≤1， A 选项错，C 选项对，令m＝a+b，n＝a﹣b，由对称性，不妨设a＞b，所以m＞n＞0，4（a2+b2﹣ab）＝m2+3n2＝8，（a2﹣b2）2＝（mn）2＝（8﹣3n2）n2≤4，解得，n2≤23或n2≥2，若n2≥2，则m2≤2，与假设矛盾，所以n2≤23，所以a﹣b≤√63，所以有ab=m2−n24=2﹣n2≥43，所以log2a+log23b≥2，B，D选项正确，故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=1a x+1−m（a＞0，且a≠1）是奇函数，则m＝12．解：∵f(x)=1a x+1−m，∴f(−x)=1a−x+1−m=a xa x+1−m，又f（x）是奇函数，则f（x）+f（﹣x）＝0，∴1a x+1−m+a xa x+1−m=0，解得m=12．故答案为：1 2．14．从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则3个数的积为3的倍数的不同取法有25．解：2至8的7个整数中是3的倍数的有3和6两个，从2至8的7个整数中任取3个数，按3和6中取1个和2个分类可得取法数为C21C52+C22C51=25．故答案为：25．15．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|=2√3b，则C的离心率为√3+2．解：如图所示：设直线方程为y=ba(x−c)，与双曲线方程x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)联立，解得x=a2+c22c，y=−b32ac，因为|AB|=2√3b，所以2×b32ac=2√3b，即b2=2√3ac，即c2−2√3ac−a2=0，解得e=ca=√3+2．故答案为：√3+2．16．已知函数f （x ）＝x 3+bx 2+cx +c 有三个零点，且它们的和为0，则b ﹣c 的取值范围是 （274，+∞） ．解：设x 1，x 2，x 3是f （x ）的三个零点，则f （x ）＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）， 所以b ＝﹣（x 1+x 2+x 3）＝0，所以f （x ）＝x 3+cx +c ，f ′（x ）＝3x 2+c ， 若f （x ）有三个零点，则f （x ）有两个极值点， 故对于方程f ′（x ）＝0，Δ＝﹣12c ＞0，c ＜0，f （x ）的两个极值点分别为x 4=−√−c 3和x 5=√−c3，其中x 4为极大值点，x 5为极小值点．若f （x ）存在三个零点，则需满足f （x 4）＞0，且f （x 5）＜0， 所以(−√−c 3)3−c√−c 3+c ＞0，解得c ＜−274，又因为f （x 5）＜f （0）＝c ＜0，所以b ﹣c 的取值范围是(274，+∞)． 故答案为：(274，+∞)． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且（a ﹣c ）（a +c ）sin C ＝c （b ﹣c ）sin B ． （1）求A ；（2）若△ABC 的面积为√3，sin B sin C =14，求a 的值．解：（1）因为（a ﹣c ）（a +c ）sin C ＝c （b ﹣c ）sin B ，所以由正弦定理可得（a ﹣c ）（a +c ）c ＝bc （b ﹣c ），整理可得b 2+c 2﹣a 2＝bc ， 所以cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，因为A ∈（0，π）， 所以A =π3；（2）因为A =π3，△ABC 的面积为√3=12bc sin A =√34bc ，所以bc ＝4，又sin B sin C =14，a sinA =b sinB =c sinC，所以bc sinBsinC=（a sinA）2，即414=（√32）2，解得a ＝2√3．18．（12分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，S n =na n −n 2+n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n=(−1)n+1⋅a n+a n+1a n⋅a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意，由S n=na n−n2+n，①可得S n+1=(n+1)a n+1−(n+1)2+n+1，②②﹣①，可得a n+1=(n+1)a n+1−(n+1)2+n+1−na n+n2−n，化简整理，得a n+1﹣a n＝2，∴数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a n＝3+2•（n﹣1）＝2n+1，n∈N*．（2）由（1），可得b n=(−1)n+1⋅a n+a n+1a n⋅a n+1=(−1)n+1⋅(1a n+1a n+1)=−(−1)na n+(−1)n+1a n+1，则T n＝b1+b2+…+b n=[−−1a1+(−1)2a2]+[−(−1)2a2+(−1)3a3]+⋯+[−(−1)na n+(−1)n+1a n+1]=−−1a1+(−1)n+1a n+1=13+(−1)n+12n+3，∴T n=13+(−1)n+12n+3．19．（12分）如图所示，△ABC为等边三角形，EA⊥平面ABC，EA∥BD，AB＝BD＝2，AE＝1，M为线段AB上一动点．（1）若M为线段AB的中点，证明：ED⊥MC．（2）若AM＝3MB，求二面角D﹣CM﹣E的余弦值．（1）证明：因为M为线段AB的中点，且△ABC为等边三角形，所以CM⊥AB，因为EA⊥平面ABC，所以EA⊥CM，因为EA∥BD，所以A，B，D，E四点共面，因为AB∩AE＝A，AB⊂平面ABDE，AE⊂平面ABDE，所以CM⊥平面ABDE，因为DE⊂平面ABDE，所以ED⊥MC；（2）解：设AB 的中点为O ，连接OC ，在平面ABDE 内，过点O 作ON ⊥AB 交ED 于点N ，所以ON ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，ON 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为AB ＝BD ＝2，AE ＝1，AM ＝3MB ，所以M （12，0，0），C （0，√3，0），E （﹣1，0，1），D （1，0，2），所以MC →=（−12，√3，0），ME →=（−32，0，1），MD →=（12，0，2），设平面MCE 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅MC →=−12x +√3y =0m →⋅ME →=−32x +z =0，令x ＝2√3，则y ＝1，z ＝3√3， 所以平面MCE 的一个法向量为m →=（2√3，1，3√3）， 设平面MCD 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅MC →=−12a +√3b =0n →⋅MD →=12a +2c =0，令a ＝2√3，则b ＝1，c =−√32，所以平面MCD 的法向量为n →=（2√3，1，−√32），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=17240×√554=17√22220， 所以二面角D ﹣CM ﹣E 的余弦值为17√22220． 20．（12分）小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到．小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为12，且相互独立．已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司．求： （1）要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发； （2）若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率；（3）小李上班路上的平均时长．解：（1）易知可知若7点46分出门，则一定不会迟到； 若7点47分出门，仅当遇到4个红灯时才会迟到， 此时迟到的概率为(12)4=116，不迟到的概率为1516＞90%；若7点48分出门，则遇到3个或4个红灯会迟到，此时迟到的概率为C 43×(12)3×12+(12)4=516，不迟到的概率为1116＜90%，所以若保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在7点47分从家出发； （2）由（1）可知，小李7点48分从家出发迟到的概率为516，不迟到的概率为1116， 所以若两天都是7点48分出发，则恰有一天迟到的概率P =C 21×516×1116=55128； （3）易知X 的所有可能取值为10，11，12，13，14， 此时P(X =10)=P(X =14)=(12)4=116，P(X =11)=P(X =13)=C 41×(12)4=14，P(X =12)=C 42×(12)4=38，则X 的分布列为：故上班路平均时长为E(X)=10×116+11×14+12×38+13×14+14×16=12（分钟）． 21．（12分）已知椭圆C ：x 28+y 24=1，点N （0，1），斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，与圆N 相切且切点为M ，M 为AB 中点． （Ⅰ）求圆N 的半径r 的取值范围； （Ⅱ）求|AB |的取值范围．解：（1）如图所示， 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线/方程 为 y ＝kx +m （k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设圆N 的半径为r ， 联立方程组得{y =kx +mx 28+y 24=1，消去y 得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，Δ＝16k 2m 2﹣4（2k 2+1）（2m 2﹣8）＝8（8k 2﹣m 2+4）＞0，x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1， 所以 y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =−4k 2m 2k 2+1+2m =2m2k 2+1，又因为M为AB的中点，所以M(−2km2k2+1，m2k2+1)，又因为圆N与直线l相切于点M，所以NM⊥l，且r＝|MN|，k NM×k1＝﹣1，所以k NM=m2k2+1−1−2m2k2+1−0=−1k，解得2k2+1＝﹣m，所以M（2k，﹣1），Δ＝8（8k2﹣m2+4）＝8（8k2﹣（2k2+1）2+4]＝8（2k2+1）（3﹣2k2）＞0，解得：0＜k2＜32，所以r=|MN|=√(2k−0)2+(−1−1)2=2√k2+1（0＜k2＜3），所以1＜k2+1＜52⇒2＜2√k2+1＜√10，即2＜r＜√10，所以圆N的半径r的取值范围为(2，√10)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2k2+1＝﹣m，所以|AB|=√1+k2×√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2×√(−4km2k2+1)2−4×2m2−82k2+1=√8(3−2k2)(k2+1)2k2+1(0＜k2＜32)，令t＝2k2+1，则k2=t−12（1＜t＜4），所以|AB|=√8(4−t)⋅t+12t=2√−t+4t+3，显然y=−t+4t+3在（1，4）上单调递减，所以0＜−t+4t+3＜6，所以0＜2√−t+4t+3＜2√6，即0＜|AB|＜2√6．故|AB|的取值范围为(0，2√6)．22．（12分）已知函数f（x）＝e2x+（a﹣2）e x﹣ax﹣1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若g（x）＝f（x）+（2﹣a）e x在区间（0，+∞）上存在唯一零点x0，求证：x0＜a﹣2．解：（1）由f（x）＝e2x+（a﹣2）e x﹣ax﹣1，得f'（x）＝2e2x+（a﹣2）e x﹣a＝（e x﹣1）（2e x+a）．（i）当a＜0时，令f′（x）＝0，则x1＝0，x2=ln(−a )，①当ln(−a2)＞0，即a＜﹣2时，若0＜x＜ln(−a2)，则f′（x）＜0，f（x）在(0，ln(−a2))上递减；若x＜0或x＞ln(−a2)，则f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0），(ln(−a2)，+∞)上递增．②当ln(−a2)＜0，即﹣2＜a＜0时，若ln(−a2)＜x＜0，则f′（x）＜0，f（x）在(ln(−a2)，0）上递减；若x＞0或x＜ln(−a2)，则f′（x）＞0，f（x）在(−∞，ln(−a2))，（0，+∞）上递增．③当ln(−a2)=0，即a＝﹣2时，则f′（x）≥0，f（x）在R上递增．（ii）当a≥0时，令f′（x）＝0，则x＝0．若x＜0，则f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上递减；若x＞0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增．综上，当a≥0时，f（x）的递减区间为（﹣∞，0），递增区间为（0，+∞）；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为(ln(−a2)，0)，递增区间为(−∞，ln(−a2))，（0，+∞）；当a＝﹣2时，f（x）的在R上单调递增；当a＜﹣2时，f（x）的递减区间为(0，ln(−a2))，递增区间为（﹣∞，0），(ln(−a2)，+∞)．（2）证明：g（x）＝e2x﹣ax﹣1，g'（x）＝2e2x﹣a，g（0）＝0．当a≤2时，g'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故g（x）在（0，+∞）上递增，则g（x）＞g（0）＝0，故不可能有零点．当a＞2时，g（x）在(0，12lna2)上递减，在(12lna2，+∞)上递增，且g（0）＝0，所以在(0，12lna2)上g（x）＜0无零点，即g(12lna2)＜0，且x趋向于正无穷时g（x）趋向正无穷，所以在(12lna2，+∞)上存在唯一x0，使g(x0)=e2x0−ax0−1=0．要证x0＜a﹣2，只需g（a﹣2）＝e2（a﹣2）﹣a（a﹣2）﹣1＞0在a＞2上恒成立即可．令t＝a﹣2＞0，h（t）＝e2t﹣t（t+2）﹣1则h'（t）＝2（e2t﹣t﹣1）．令p（t）＝e2t﹣t﹣1，则p'（t）＝2e2t﹣1＞0，即p（t）在（0，+∞）上递增，p（t）＞p（0）＝0．所以h'（t）＞0，即h（t）在（0，+∞）上递增，h（t）＞h（0）＝0．所以g（a﹣2）＝e2（a﹣2）﹣a（a﹣2）﹣1＞0在a＞2上恒成立，得证．故x0＜a﹣2．。

福建省厦门双十中学2021届高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（ ） A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，2．已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是（ ）A ．11a b b a +>+B ．11a b a b +>+ C ．11b b a a +>+D ．11b a b a->-3．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（ ） A ．9B ．10C ．12D ．134．已知函数()=f x 1x ，[)21x ∈+∞,，都有不等式()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ）A ．[]2,4B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．[)4,+∞ 5．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正．打印所用原料密度为31 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取π 3.14=，精确到0.1）A ．609.4gB ．447.3gC ．398.3gD ．357.3g6．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．6547．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ） A ．6B ．83C ．127D ．48．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为π，把()f x 图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移3π个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，若()g x 在[],a a -上单调递增，则a 的最大值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．512π二、多选题9．一副三角板由一块有一个内角为60︒的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，90,B F ∠=∠=︒60,45,A D BC DE ∠=︒∠=︒=，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）A ．直线BC ⊥面OFMB ．AC 与面OFM 所成的角为定值 C ．设面ABF面MOF l =，则有l ∥ABD ．三棱锥F COM -体积为定值.10．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+11．已知正数x ，y ，z 满足3212x y z ==，下列结论正确的有（ ）A ．623z y x >>B ．121x y z+=C．(3x y z +>+D ．28xy z >12．在ABC 中，已知cos cos 2b C c B b +=，且111tan tan sin A B C+=，则（ ） A ．a 、b 、c 成等比数列 B．sin :sin :sin 2:1:A B C =C ．若4a =，则ABC S =△D ．A 、B 、C 成等差数列三、填空题13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则6a 等于_________. 14．若π1sin 33α-=⎛⎫⎪⎝⎭，则πcos 23α+=⎛⎫⎪⎝⎭________． 15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60A ∠=，BC =4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为__________.16．若对任意正实数,x y ，不等式()()2ln ln 1xx y y x a--+≤恒成立，则实数a 的取值范围a 为______.四、解答题17．在①1(1)(1)(41)n n n a n a n ++=+++；②1n n a a +-=；③184n n a a n --=-（2n ≥）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解． 问题：已知数列{}n a 中，13a =，__________． （1）求n a ； （2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1132nT ≤<． 18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且2sin cos sin b A B a B =+. （1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC的中点，若BD =a c +的取值范围.19．如图,矩形ADFE 和梯形ABCD 所在平面互相垂直,//AB CD ,90ABC ADB ︒∠=∠=,1,2CD BC ==.（1）求证://BE 平面DCF ;（2）当AE 的长为何值时,直线AD 与平面BCE 所成角的大小为45°? 20．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元． （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量()8(60),13015480,30m m m q m m ⎧-⎪=⎨⎪>⎩（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且12PF F △的周长是6. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过椭圆的右焦点2F 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.22．已知函数1()211f x x a nx x=--+，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，正数1x ，2x 满足12()()2f x f x +=，证明：122x x +≥.参考答案1．A 【分析】解方程求得集合A ，分别在B =∅和B ≠∅两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果. 【详解】由2230x x --=得：1x =-或3x =，即{}1,3A =-； ①当0a =时，B =∅，满足B A ⊆，符合题意； ②当0a ≠时，{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，11a ∴=-或13a =，解得：1a =-或13a =；综上所述：实数a 的值构成的集合是11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误. 2．A 【分析】作差可判断A ，进而判断D ，取特殊值可判断B ，反证法可判断C. 【详解】 对于A ，()()()()11111a b ab a b a b a b a b b a b a ab ab -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0a b >>，0a b ∴->，0ab >，110ab ∴+>>，()()1110a b ab a b b a ab -+⎛⎫⎛⎫∴+-+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11a b b a∴+>+，选项A 正确； 对于选项B ，取1a =，12b =，则11121a a +=+=，115222b b +=+=，故11a b a b+>+不成立，故B 错误；对于C 选项，要是11b b a a +>+成立，则有()()11b a a b +>+，即ab b ab a +>+，b a ⇒>，这与已知条件矛盾，选项C 错误； 对于选项D ，若有11b a b a ->-，则有11b a a b+>+，这与选项A 矛盾，错误. 故选：A . 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题. 3．A 【分析】设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项． 【详解】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +， 于是()11002n n +≤，且()110012n n n +-<+，解得13n =，剩余的根数为131410092⨯-=． 故选：A. 【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题. 4．A 【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数的、根式函数的性质，可得021(1)a a f ⎧>⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，由此求得a 的范围． 【详解】解：函数()f x =1x ，2[1x ∈，)+∞，都有不等式1212()()0f x f x x x ->-， ∴当1x 时，()f x 为增函数，∴021(1)a a f ⎧>⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，解得24a ，故选：A ． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的、根式函数的性质，属于基础题． 5．C 【分析】作出圆锥的轴截面，截正方体得对角面，由这个轴截面中可计算出正方体的棱长和圆锥的高，再由体积公式计算出体积．体积乘密度即得质量． 【详解】如图，是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为，所以半径为OB =．因为母线与底面所成角的正切值为tan B =，所以圆锥的高为10cm PO=．设正方体的棱长为a，DE =1010a -=，解得5a =． 所以该模型的体积为(()2331500ππ105125cm 33V =⨯⨯-=-． 所以制作该模型所需原料的质量为()500π500π1251125398.3g 33⎛⎫-⨯=-≈ ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】本题考查求组合体的体积，掌握圆锥与正方体的体积公式是解题关键． 6．A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n+的最小值.【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=.因为11611161161()()(17)17)5555n m m n m n m n m n +=++=++≥=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以116m n+的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 7．A 【分析】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，由已知可得O 是'''A B C 的重心，由重心性质可得所求面积比． 【详解】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，如图，∵2730OA OB OC ++=，∴O 是'''A B C 的重心，则''''''OA B OB C OC A S S S ==△△△，设''''''OA B OB C OC A S S S t ===△△△，设,,OAB OAC y OBC S x S S z ===△△△，∵2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，∴''1''sin ''2141sin 2OA B OABOA OB A OB S S OA OB AOB ⋅∠==⋅∠△△，即114x t =，同理16y t =，121z t =，11161462121ABC S x y z t t t t =++=++=△， ∴6216121ABC OBCt S S t ==△△． 故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性． 8．A 【分析】化简函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据题意求得1ω=，得到()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再结合三角函数的图象变换，求得函数()4sin 23g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，最后结合三角函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为π， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππω==，所以1ω=，所以()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，可得2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭再沿x 轴向左平移3π个单位长度，可得2sin 22sin 2333y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 最后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()4sin 23g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭， 令()222232k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，可得()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， 因此[]5,,1212a a ππ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦，则51212a a a a ππ⎧⎪-<⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得012a π<≤， 所以实数a 的最大值为12π.故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求解解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 9．ABC 【分析】对于A ，利用线面垂直的判定定理即可解决；对于B ，C ，依托于选项A 即可较容易得到.点F 到平面COM 的距离不等确定，即可判断选项D .【详解】对于A ，由BC 中点O 与AC 中点M ，得//MO AB ,90,B F ∠=∠=︒得BC MO ⊥，由BCF △为等腰直角三角形得BC FO ⊥，由MO FO O ⋂=，MO FO ⊂，面OFM ，得直线BC ⊥面OFM ，故A 正确；对于B ，由A 得，AC 与面OFM 所成的角为C ∠，为定值30，故B 正确； 对于C ，由A 得，//MO AB ，故//AB 面OFM ，由AB 面ABF ，面ABF面MOF l =，所以l ∥AB ，故C 正确；对于D ，COM 的面积为定值，但三棱锥F COM -的高会随着F 点的位置移动而变化， 故D 错误. 故选：ABC. 【点睛】此题考立体几何中关于线面垂直，线面角，线面平行的判定与性质，属于简单题. 10．ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题. 11．BCD 【分析】设3212x y z ==m =1>，求得3log x m =，2log y m =，12log z m =，然后根据对数的运算法则和基本不等式判断各选项． 【详解】设3212x y z ==m =1>，则3log x m =，2log y m =，12log z m =，226622log log 23log 2log 8m m m y m ====，336633log log 32log 3log 9m m m x m ====， 又0log 8log 9m m <<，所以23y x >，12666log log 12m z m ==，而log 12log 8m m >，所以62z y <，A 错；则3212121log 32log 2log 12log log m m m x y m m z+=+=+==，B 正确； 23232312log log (log log )log 12(log log )(2log 2log 3)log m m m m m x y m m m m z m ++==+=++322323322log log 21(log log )()3log log log log m m m m m m m m=++=++33≥+=+32322log log log log m m m m =，即23log m m =，这个等式不可能成立，因此等号不能取到，3x yz+>+，即(3x y z +>+，C 正确；因为(222(log 12)(2log 2log 3)8log 2log 3m m m m m =+≥=，所以21118z x y ⎛⎫≥⨯⨯ ⎪⎝⎭，即28xy z >，D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式的应用，解题关键是由题设指数式改写为对数式，实质就是表示出变量,,x y z ，然后证明各个不等式． 12．BC 【分析】首先根据已知条件化简得到2a b =，2c ab =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】因为cos cos 2b C c B b +=，所以()sin cos sin cos sin sin 2sin B C C B B C A B +=+==，即2a b =. 又因为111tan tan sin A B C+=， 所以()sin cos cos sin cos cos sin sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B B A B A C A B A B A B A B C+++====， 即2sin sin sin C A B =，2c ab =.对选项A ，因为2c ab =，所以a 、c 、b 成等比数列，故A 错误. 对选项B ，因为2a b =，2c ab =，所以::2a b c =，即sin :sin :sin 2A B C =B 正确. 对选项C ，若4a =，则2b =，c =则22242cos 8B +-==，因为0B π<<，所以sin B =故1428ABC S =⨯⨯=△，故C 正确. 对选项D ，若A 、B 、C 成等差数列，则2B A C =+. 又因为A B C π++=，则3Bπ=.因为::2a b c =2a k =，b k =，c =，0k >，则()22221cos 82k k B +-==≠，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.13．32 【分析】利用1(2)n n n S S a n --=≥得到数列n a 与1n a - 的递推关系，可得数列{}n a 是等比数列，即可得到其通项公式，则可解出6a 的值. 【详解】因为n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21n n S a =-，① 当1n =得11a =； 故1121n n S a --=-，②①﹣②得：11222(2)n n n n n a a a a a n --⇒=≥-=， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即：561232a =⨯=.故答案为：32. 【点睛】本题考查了利用公式1(2)n n n S S a n --=≥求解数列的通项公式，题目主要是公式的应用，属于简单题，解题中需要注意的是写出1121n n S a --=-，利用公式得到数列项与项之间的递推关系. 14．79-， 【分析】由二倍角公式可得2πcos 2379α-⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由诱导公式即可得解. 【详解】 因为π1sin 33α-=⎛⎫⎪⎝⎭， 所以22πππcos 2cos 212sin 33379ααα-=-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π2π2πcos 2cos 2cos 233379αααπ+=--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：79-. 【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式及诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 15．32π 【分析】设三角形ABC 的外接圆的圆心为1O ，半径为r ，三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R ，根据正弦定理求出r ，根据球的性质，得到12OO =，再根据勾股定理得到28R =，根据球的表面积公式可求得结果. 【详解】如图：设三角形ABC 的外接圆的圆心为1O ，半径为r ，三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R ，PA 的中点为E ，连接11,,,OE OA OO AO ，因为PA ⊥平面ABC ，所以1PA AO ⊥，又1OO ⊥平面ABC ，所以1//OO PA ， 因为E 为PA 的中点，所以OE PA ⊥，所以四边形1OEAO 为矩形，所以1122OO EA PA ===， 在三角形ABC中，由正弦定理得224sin sin 603BC r A ====，所以2r ，在直角三角形1OO A 中，得2221R r OO =+22228=+=，所以三棱锥P ABC -外接球的表面积为2432R ππ=.故答案为：32π. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了球的性质，考查了球的表面积公式，考查了直线与平面垂直的性质定理，属于中档题. 16．(]0,1 【分析】由题意可得1(2)(1)y y ln x x a -+，可设(0)yt t x=>，可得()(2)(1)f t t lnt =-+，求得导数和单调性，极值、最值，可得a 的不等式，解不等式可得所求范围． 【详解】解：不等式(2)(1)xx y lny lnx a--+对x 、0y >恒成立， 可得1(2)(1)y y ln x x a-+，可设(0)yt t x=>，可得()(2)(1)f t t lnt =-+， 22()(1)2t f t lnt lnt t t-'=-++=-+-， 由y lnt =-和22y t=-在0t >递减，可得()f t '在0t >递减， 则()10f '=，当1t >时，()()10f t f '<'=，()f t 递减；01t <<时，()()10f t f '>'=，()f t 递增，可得()f t 在1t =处取得极大值，且为最大值()11f =， 则11a，即10a a -，解得01a <， 故答案为：(]0,1． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和换元法、构造函数法，以及导数的运用：求单调性和极值、最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 17．（1）241=-n a n ；（2）证明见解析. 【分析】（1）选①：转化条件得11141+++-=+n n a a n n ，再由等差数列的性质可得14+=n a n n，即可得解；2=2n =，即可得解；选③：由累加法可得当2n ≥时，241=-n a n ，代入1n =即可得解； （2）由裂项相消法可得11242n T n =-+，即可得证. 【详解】 （1）选①：由1(1)(1)(41)n n n a n a n ++=+++可得11411++++=+n n a a n n n， 即11141+++-=+n n a a n n， 又1141+=a ，所以1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为4的等差数列， 所以14+=n a n n，所以241=-n a n ； 选②：由1n n a a +-=，13a =2=，2=，2=，所以是首项为2，公差为2的等差数列，2n =，所以241=-n a n ； 选③：由184n n a a n --=-（2n ≥）可得： 当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(84)(812)123n n =-+-+++[(84)12](1)32n n -+-=+241n =-，当1n =时，13a =，符合241=-n a n ，所以当*n N ∈时，241=-n a n ；（2）证明：由（1）得2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， 所以1111111213352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11242n =-+， 因为1042n >+，所以12n T <， 又因为11242n T n =-+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<．【点睛】本题考查了数列通项公式的求解及裂项相消法求数列前n 项和的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18．（1）3B π=；（2）.【分析】（1）由2sin cos sin b A B a B =+可得sin cos()6b A a B π=-，由正弦定理得sin sin b A a B =，从而得sin cos()6a B a B π=-，化简可求得tan B =，进而可求出角B ；（2）如图，延长BD 到E ，满足DE BD =，连接AE CE ，，则ABCE 为平行四边形，且2,,3BE BAE AB c AE BC a π=∠====，然后在BAE △中，利用余弦定理可得2()12ac a c =+-，再利用基本不等式可得4a c +≤，又由AE AB BE +>，即a c +>从而可求出a c +的取值范围 【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，因为2sin cos sin b A B a B =+， 所以sin cos()6b A a B π=-， 所以sin cos()6a B a B π=-，即sin cos()6B Bπ，即31sin cos sin 2B B B ，可得tan B = 又因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）如图，延长BD 到E ，满足DE BD =，连接AE CE ，，则ABCE 为平行四边形，且2,,3BE BAE AB c AE BC a π=∠====，在BAE △中，由余弦定理得22222cos 3a c ac π=+-，即2212a c ac ++=，可得2()12a c ac +-=，即2()12ac a c =+-， 由基本不等式得：22()12()2a c ac a c +=+-≤， 即23()124a c +≤，即2()16a c +≤，可得4a c +≤ （当且仅当2a c ==取等号号）又由AE AB BE +>，即a c +>故a c +的取值范围是. 【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角恒等变换公式的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题19．(1)答案见解析【分析】（1）（法一）以D 为原点,AD 所在直线为x 轴,BD 所在直线为y 轴,DF 所在直线为z 建系.根据三角形相似可得5AB =,故由勾股定理可知AD =求得面CDF的法向量(5,2n =，再由向量的数量积求得0BE n ⋅=，可得证；（法二）由矩形和梯形的几何性质得出线线平行，再由面面平行的判定定理可证得面//ABE 面CDF ，由面面平行的性质可得证；（2）由（1）可得面BCE 的法向量(2,n h h =-，由线面角的向量计算方法建立方程可求得. 【详解】(1)(法一)如图,以D 为原点,AD 所在直线为x 轴,BD 所在直线为y 轴,DF 所在直线为z 建系.设AE h =,由1CD =,2BC =,90ADB ︒∠=,依据三角形相似可得5AB =,故由勾股定理可知AD =在CBD 中,可得BD =所以各点坐标为(0,0,0),,),(0,0,)D A B C E h F h ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)BE h =,设面CDF 的法向量为(,,)n x y z=,所以00x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩, 化简得20y xz =⎧⎨=⎩,令1x =得(5,2n =，得0BE n ⋅=,故BE n ⊥.又BE 不在面CDF 上,所以//BE 面CDF . (法二)因为矩形HDEF ,故//AE DE .又//AB CD ,且ABAE A =,CD DF D ⋂=,AB､AE在面ABE上,CD､DF在面CDF上,故面//ABE面CDF. 又BE在面ABE上，且BE不在面CDF上,故//BE面CDF.(2)(25,0,0),,(25,)DA BC BE h⎛⎫=-=⎪⎝⎭，设面BCE法向量为(,,)nx y z=,所以x yhz⎧=⎪⎨⎪+=⎩,化简得2x yz=-⎧⎪⎨=⎪⎩,令y h=,得(2,n hh=-.由题得||cos45||||2DA nn DA︒⋅===.故h=,因为h为正,所以AD h==.【点睛】本题考查空间的线面平行的证明，线面角的计算方法，关键在于建立空间直角坐标系，求得面的法向量，运算线面角的向量计算方法求解，属于中档题.20．（1）300台（2）90【分析】（1）由总成本21()150600p x x x=++万元,可得每台机器人的平均成本()p xyx=,然后利用基本不等式求最值；（2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m mq mm⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,分段求出300台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数,再由最大值除以1200,可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数,则答案可求．【详解】解:（1）由总成本21()150600p x x x =++,可得每台机器人的平均成本21150()1150600112600x x p x y x x x x ++===++≥=, 当且仅当1150600x x=,即300x =时,等号成立, ∴若使每台机器人的平均成本最低,则应买300台；（2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,当130m ≤≤时,300台机器人的日平均分拣量为()2160601609600m m m m -=-+,∴当30m =时,日平均分拣量有最大值144000； 当30m >时,日平均分拣量为480300144000⨯=, ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件． 若传统人工分拣144000件,则需要人数为1440001201200=（人）．∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少1203090-=．【点睛】本题考查函利用均值定理求最值,考查简单的数学建模思想方法.21．（1）22143x y +=；（2）存在；()4,0Q . 【分析】（1）由椭圆的定义知12PF F △的周长为22a c +，结合离心率可求出椭圆C 的方程； （2）当直线l 的斜率k 存在时，设()1y k x =-，与椭圆方程联立，表示出直线QM 与直线QN 的斜率的和，代入韦达定理计算，可得定值，进而求出点Q 的坐标，当直线l 与x 轴垂直时也成立． 【详解】（1）由椭圆的定义知12PF F △的周长为22a c +，所以226a c +=， 又因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12c e a ==， 所以2a c =，联立解得2a =，1c =，所以b == 所求椭圆方程为22143x y +=. （2）若存在满足条件的点(),0Q t .当直线l 的斜率k 存在时，设()1y k x =-，联立22143x y +=， 消y 得()22223484120k x k x k +-+-=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+x ， ∵()()()()()()122112121211QM QN k x x t k x x t y y k k x t x t x t x t --+--+=+=---- ()()()()222212122222121222818242212343441283434k t k t kx x k t x x kt k k k k k x x t x x t t t k k +--+-+++++==⋅--++-+++ ()()()()()()222222222282481234644128344134k k t t k k t k k k t t k t k t --+++-=⋅=--++-+-，∴要使对任意实数k ，QM QN k k +为定值，则只有4t =，此时，0QM QN k k +=.当直线l 与x 轴垂直时，若4t =，也有0QM QN k k +=.故在x 轴上存在点()4,0Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查定值问题，考查椭圆的标准方程，属于中档题．22．（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求得导数22(01),,2()x ax f x x -+'=+∞，令()221h x x ax =-+，则()()411a a ∆=-+，分0∆≤和0∆>两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）当1a =时，得到1()2ln 1f x x x x=--+，根据函数()f x 的单调性，不妨设1201x x <≤≤，得到11())220(f x f x -+-≤，构造函数()()()22g x f x f x =-+-﹐(0,1]x ∈，结合导数求得函数()g x 的单调性和极值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数1()211f x x a nx x=--+的定义域为(0,)+∞， 可得2222121()1a x ax f x x x x-+'=-+=， 令()221h x x ax =-+，则()()244411a a a ∆=-=-+. ①当11a -≤≤时，0∆≤，可得()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立，则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.②当1a <-或1a >时，0∆>，令()0f x '=，得1x a =2x a =+ （i ）当1a <-时，120x x <<，所以()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立.则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.（ⅱ）当1a >时，120x x <<.若1(0,)x x ∈，()0f x '>，函数()f x 单调递增；若12(,)x x x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减；若2(,)x x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增.综上所述：当1a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当1a >时，在(0,a 和()a +∞，上()f x 单调递增；在(a a ()f x 单调递减.（2）当1a =时，函数1()2ln 1f x x x x =--+， 由（1）可知()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又易知()11f =，且12()()2f x f x +=，不妨设1201x x <≤≤，要证122x x +≥，只需证212x x ≥-，只需证21()2()f x f x ≥-，即证11()2()2f x f x -≥-，即证11())220(f x f x -+-≤，构造函数()()()22g x f x f x =-+-﹐(0,1]x ∈， 所以11()22ln(2)2ln 2g x x x x x=------，(]0,1x ∈， 则32322222221214(331)4(1)()2(2)(2)(2)x x x x g x x x x x x x x x --+---'=--+==----， 当(0,1]x ∈时，()0g x '≥，所以函()g x 数在区间（0，1]上单调递增，则()()10g x g ≤=，所以11())220(f x f x -+-≤得证，从而122x x +≥.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜05．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ=．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于时取到最大值．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．21．已知⊥，|AB1|=3，|AB2|=4， =+．（1）若B1，P，B2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求•的取值范围．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2+1≥1，即M=[1，+∞），由N中y=ln（x+1）+1，即N=（﹣∞，+∞），则M∩N=[1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】原命题和其逆否命题同真假，故只需找出命题“若¬p，则q”的逆否命题即可．【解答】解：四种命题中原命题和其逆否命题同真假，而“若￢p，则q”的逆否命题为“若￢q，则p”即￢q⇒p，p是￢q的必要条件，故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系及复合命题真假判断，难度不大．3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】向量法；平面向量及应用．【分析】由向量模的公式可得||，再由向量投影的概念可得在上的投影等于||cos120°．【解答】解： =（﹣2，﹣4），可得||=2，由题意可得在上的投影为||cos120°=2×（﹣）=﹣．故选B．【点评】本题考查向量的数量积的模的公式，以及向量的投影的计算，考查运算能力，属于基础题．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜0【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q成立的m的范围，取交集即可．【解答】解：关于p：存在x∈R，mx2+1≤0，∴m＜0，关于q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，则△=m2﹣4＜0，解得：﹣2＜m＜2，若p且q为真命题，则p，q均为真命题，则实数m的取值范围是：﹣2＜m＜0，故选：D．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；换元法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】以O为原点，OA方向为x轴正方向建立坐标系，分别求出A，B的坐标，进而根据则=（cosα，sinα），根据正弦函数的性质，即可得到的取值范围．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可设A（1，0），B（0，1），设∠AOC=α（0≤α≤），则=（cosα，sinα）．由=（x，2y）=（cosα，sinα），则=（cosα+sinα）=sin（α+）（0≤α≤），由≤α+≤，可得sin（α+）∈[，1]，即有∈[，]．故选：B．【点评】本题考查的知识点是平面向量的综合应用，三角函数的性质，其中建立坐标系，分别求出A，B，C点的坐标，将一个几何问题代数化，是解答本题的关键．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数是奇函数，求出φ．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）=2sin（x+φ﹣），（0＜φ＜π）为奇函数，∴φ=，f（x）=2sinx，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数的解析式为：y=2sin2x；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式：g（x）=2sin2（x﹣）=2sin （2x﹣）．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简，三角函数的奇偶性，考查基本知识的应用能力，计算能力，属于中档题．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤【考点】函数的图象．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对选项一一利用排除法分析可得答案．【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对于①，当x＞0时，y=f（|x|）=y=f（x），其图象在y轴右侧与图一的相同，不合题意，故排除①．对于②，当x＞0时，对应的函数是y=f（x）﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除②．对于③，当x＞0时，对应的函数是y=﹣f（x），是把（1）中图象位于y轴右侧的部分关于x轴对称得到的，显然不正确，故排除③．对于④，当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），是把（1）中图象位于y轴左侧的部分关于y轴对称得到的，满足条件．对于⑤，当x＞0时，对应的函数是y=|f（x）|﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除⑤，故选：A．【点评】本题考查函数的图象、函数的图象与图象变化，考查学生读图能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题．9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】函数思想；构造法；导数的概念及应用．【分析】构造函数g（x）=xf（x），判断g（x）的单调性与奇偶性即可得出结论．【解答】解：令g（x）=xf（x），则g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）∴g（x）是偶函数．g′（x）=f（x）+xf′（x）∵∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＜0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．∵＜ln2＜1＜∴g（）＜g（ln2）＜g（）∵g（x）是偶函数．∴g（﹣）=g（），g（ln）=g（ln2）∴g（﹣）＜g（ln）＜g（）故选：B．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据已知中函数f（x）（x∈R）关于对称，且，分析出函数的周期性，对称性和奇偶性，可得答案．【解答】解：∵，∴f（x+3）===f（x），故f（x）的最小正周期是3，故（1）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，∴f（x）=﹣==f（﹣x），即f（x）是偶函数，故（2）正确；又∵f（3﹣x）=f（﹣x）=f（x），故f（x）关于对称，故（3）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，f（x）的最小正周期是3，故f（x）关于对称，故（4）正确；故正确的命题有4个，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性和函数的周期性，其中熟练掌握函数对称性的法则“对称变换二倍减”，是解答的关键．11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过t=0时y=0，排除选项C、D，利用x的增加的变化率，说明y=sin2x的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项C，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反，故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．【解答】解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．故选：D．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用两角和的正切函数，求出正切函数值，然后求解即可．【解答】解：tan（θ+）=，=，可得tanθ=﹣．sin2θ===．故答案为：；【点评】本题考查两角和的正切函数以及三角函数的化简求值，考查计算能力．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于7 时取到最大值．【考点】等差数列的前n项和．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和题意可得通项公式，可得前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得a3+a8+a13=3a8=C，a4+a14=2a9=2C，∴a8=，a9=C，∴公差d=，∴a1=﹣7×=﹣，∴a n=﹣+（n﹣1）=C（2n﹣15），令a n=C（2n﹣15）≤0可得2n﹣15≥0，解得n≥∴递减的等差数列{a n}前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当n=7时，S n取最大值．故答案为：7【点评】本题考查等差数列的前n项和，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是b≤．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；集合．【分析】作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象，从而可得A=[2，4]；再化简g（x）=﹣（sinx﹣）2+1+，从而可得g（a）=1+，再求g（a）的最小值即可．【解答】解：作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象如下，，∵f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]，∴2≤a≤4，故A=[2，4]；g（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣（sinx﹣）2+1+，∵≤≤1，∴g（a）=1+，∵A=[2，4]，∴g min（a）=1+=，∵g（a）≥b对任意实数a∈A恒成立，∴b≤，故答案为：b≤．【点评】本题考查了二次函数的性质与应用，三角函数的最值的求法，同时考查了恒成立问题．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为 6 ．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象．【专题】综合题；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】由题意得f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）=﹣x4﹣x3+x2+4x．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，∴f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，即b=0且（1﹣4）[（﹣4）2+a•（﹣4）+b]=0，解之得a=4，b=0，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+4x）=﹣x4﹣x3+x2+4x，求导数，得f′（x）=﹣x3﹣3x2+2x+4=﹣（x+1）（x+1+）（x+1﹣）当x∈（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1，﹣1+）时，f'（x）＞0，当x∈（﹣1﹣，﹣1）∪（﹣1+，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣）单调递增，在（﹣1﹣，﹣1）单调递减，在（﹣1，﹣1+）单调递增，在（﹣1+，+∞）单调递减，故当x=﹣1﹣和x=﹣1+时取极大值，f（﹣1﹣）=f（﹣1+）=6．故答案为：6．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣1对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）先求出圆的直角坐标方程和直线l：，由此能求出直线l和圆C交点的极坐标．（2）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，先求出直线直角坐标方程，由此能求出直线l的极坐标方程．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为（θ为参数），∴圆的直角坐标方程是x2+y2=16，…．（1分），∵直线l的参数方程为（t为参数），∴当a=0时，直线l：，…（2分）代入x2+y2=16得x=±2，P，Q…．（3分）则直线l和圆C交点的极坐标分别是，…．（5分）（2）由于P、Q间的劣弧长是，则圆心角，…．（6分）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，…．（7分），，直线直角坐标方程是：或，…．（8分）直线l的极坐标方程：或…．（10分）即或（写成或给满分）【点评】本题考查直线和圆交点的极坐标及直线的极坐标方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化公式的合理运用．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．【考点】不等式的证明；函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】（1）由绝对值的含义，将|2x﹣1|+|x+2|写成分段函数式，分别求出各段的范围，可得最小值，进而得到m2+m+2≤，解不等式可得m的范围；（2）运用两边夹法则，可得++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++），展开后运用基本不等式，即可得证．【解答】解：（1）|2x﹣1|+|x+2|=，当x≤﹣2时，﹣1﹣3x递减，取值范围是[5，+∞）；当﹣2＜x≤时，3﹣x的范围是[，5）；当x＞时，3x+1的范围是（，+∞）．从而|2x﹣1|+|x+2|≥，解不等式m2+m+2≤，得m∈[﹣1，]．（2）证明：由（1）知（|2x﹣1|+|x+2|）≥1，则++≤1，又1≤++，则++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2=9．当且仅当a=2b=3c=时，等号成立．因此a+2b+3c≥9．【点评】本题考查绝对值函数的最值的求法，不等式恒成立问题的解法和不等式的证明，注意运用函数的单调性求最值，以及基本不等式的运用，属于中档题．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）把已知点坐标代入求出φ的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（Ⅱ）由第一问确定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）把（0，）代入解析式得：sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=，∵相邻两条对称轴间的距离为，∴函数的周期为π，即ω=2，∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由第一问得：f（）=sin（A+），代入得：sin（A+）﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）=，∴A﹣=或，即A=或A=π（舍去），∵bc=1，b+c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=9﹣3=6，则a=．【点评】此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：，c n=（n∈N+），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），∴当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：2a n=a n+1﹣a n﹣2n，化为：，∵c n=（n∈N+），∴，∴{c n}是等比数列，公比为，首项为．∴c n+1=，∴c n=﹣1，∴=﹣1，可得a n=3n﹣2n．（2）b n=n（a n+2n）=n•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+2×32+3×23+…+n•3n，∴3T n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2T n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=，∴T n=．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知⊥，|AB1|=3，|AB2|=4， =+．（1）若B1，P，B2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求•的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；配方法；换元法；平面向量及应用．【分析】（1）利用B1，P，B2三点共线， =+，可求得+=1；再结合⊥，|AB1|=3，|AB2|=4，可得||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，于是可求得||的最小值及取得最小值时λ、μ的值，从而可用，表示；（2）以A为原点，AB1、AB2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B1（3，0），B2（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），于是利用||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，再令λ﹣1=rcosθ，μ﹣1=sinθ（0＜r≤2）可得•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r2﹣rcosθ﹣2rsinθ﹣5，利用辅助角公式及配方法即可求得•∈[﹣，2﹣1]．【解答】解：（1）∵B1，P，B2三点共线， =+，∴+=1．又⊥，|AB1|=3，|AB2|=4，∴||2=||2+||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，当时，||min=，此时， =+；（2）以A为原点，AB1、AB2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B1（3，0），B2（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，令λ﹣1=rcosθ，μ﹣1=sinθ，0＜r≤2．=（λ﹣3，μ），=（λ，μ﹣4），•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r2﹣rcosθ﹣2rsinθ﹣5=r2﹣rsin（θ+φ）﹣5，其中tanφ=．又r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≤r2+r﹣5≤2﹣1，r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≥r2﹣r﹣5=（r﹣）2﹣≥﹣，∴•∈[﹣，2﹣1]．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，突出考查共线向量基本定理、向量垂直性质的应用，也考查了三角换元思想及辅助角公式的综合应用，考查运算能力，属于难题．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【专题】转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）①由题知M（5，80）代入y=，则a=400，进而求出y=，得出坐标N（100，4），利用导数求出斜率，得出直线的方程，进而求出与坐标轴的交点A（0，），B（2t，0），利用勾股定理可得（t∈[5，100]）；②运用基本不等式可得最小值，注意求出等号成立的条件；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为，得出山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，进而得出绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400．【解答】解：（1）①由题意M（5，80）代入y=，则a=400，∴y=，N（100，4），∴定义域为[5，100]．∴P（t，），∵，则公路l的方程：，令x=0，可得y=；令y=0，可得x=2t．∴（t∈[5，100]）；②A（0，），B（2t，0），=，当且仅当t=20∈[5，100]时等号成立，所以当t为20时，公路l的长度最短长度是3200千米；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为dx=400lnx|=400（ln100﹣ln5）=400ln20，山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，L与y，x轴交点分别是A（0，40），B（40，0），公路与L1、L2围成的面积是800，所以绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400（平方公里）．答：当t为20时，公路L的长度最短，最短长度是3200千米；在公路长度最短时，需在公路L与山体之间修建绿化带的面积是400ln20﹣400平方公里．【点评】本题考查了利用导数求直线方程和积分的应用，考查运算求解能力，难点是对题意的理解．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）求出f（x）的导数，设g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，讨论m的范围，结合单调性，即可得到m的范围；（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）m=2时，f（x）=e2x﹣2x2，f′（x）=2e2x﹣4x；∴f′（0）=2，又f（0）=1；则切线L1方程为：y=2x+1；（2）f′（x）=me mx﹣2mx，设g（x）=f′（x），g′（x）=m2e mx﹣2m=m（me mx﹣2），令g′（x）=0，由m＞0，；①当m≥2时，因为x≥0，则e mx≥1，所以me mx﹣2≥m﹣2≥0，g'（x）≥0，∴f′（x）在[0，+∞）单调递增；∴f′（x）≥f′（0）=m＞0；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；所以当m≥2时满足条件；②当时，1≥，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以=；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；∴当时满足条件；③当时，，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递增，f′（x）=0在（0，x0）至多只有一个零点x1；又因为=，f′（0）=1＞0，所以f′（x）=0在（0，x0）有且只有一个零点x1；则当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，x1）单调递增，在（x1，x0）单调递减，所以存在x使得f（x）＜f（0）=1，不满足条件．终上所述：当时，f（x）≥1对一切x≥0的实数恒成立．（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），则，当i=1时，，当i=2时，，当i=3时，，…，当i=n时，，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题和不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和裂项相消求和及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。

厦门双十中学2020-2021学年第一学期高三12月月考数学试卷一､单选题 1.设复数z 满足4,1iz i=+则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.p:2||1,:8120,x m q x x -<-+<且q 是p 的必要不充分条件,则m 的取值范围是()A.3<m<5B.3≤m ≤5C.m<3或m>5D.m ≤3或m ≥53.在平面直角坐标系中,角2θ的终边经过点P(1,-2),则sin θcos θ=().A .B .C 2.5D4.如图,在△ABC 中,AB=4,AC =∠BAC=45°,D 为边BC 的中点,M 为中线AD 的中点,则向量BM 的模为().A5.2B.C 52.D 5.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金｡一位顾客到店里购买10克黄金,售货员先将5克的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5克的砝码放在天平右盘中,再出取一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客｡顾客实际购买的黄金() A.大于10克B.小于10克C.等于10克D.不能判断大小6.十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础｡著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间1201],([,)33，别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作;如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段｡操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10,则需要操作的次数n 的最小值为(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771)() A.4B.5C.6D.77.设a,b,c 是正实数,且,lg 2lg3lg5a b c ==则下列不等式正确的是()235.A a b c << 325.C b a c << 532.D c b a<<8.如图,在四棱锥C-ABOD 中,CO ⊥平面ABOD,AB//OD,OB ⊥OD,且AB=2OD=12,AD =异面直线CD 与AB 所成角为30°,点O,B,C,D 都在同一个球面上,则该球的半径为().A.B.C.D 二､多选题9.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C:22221x y a b-=(a>0,b>0)的焦点在圆22:20O x y +=上,圆O 与双曲线C 的渐近线在第一､二象限分别交于M ､N 两点,若点E(0,3)满足ME ⊥ON(O 为坐标原点),下列说法正确的有()A.双曲线C 的虚轴长为4B.C.双曲线C 的一条渐近线方程为32y x =D.三角形OMN 的面积为8 10.某人退休前后各类支出情况如下,已知退休前工资收为8000元/月,退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元,则下面结论中正确的是()A.该教师退休前每月储蓄支出2400元B.该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C.该教师退休工资收入为6000元/月D.该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少11.如图所示,正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1,E,F 分别是棱,AA CC ''的中点,过直线EF 的平面分别与棱,BB DD ''交于M,N,设BM=x,x ∈(0,1),则正确的说法是()A.四边形MENF 为平行四边形B.若四边形MENF 面积S=f(x),x ∈(0,1),则f(x)有最小值C.若四棱锥A-MENF 的体积V=p(x),x ∈(0,1),则p(x)是常函数D.若多面体ABCD-MENF 的体积V=h(x 1),(,1),2x ∈则h(x)为单调函数 12.已知函数sin (),(0,]xf x x xπ=∈,则下列结论正确的有() A.f(x)在区间(0,π]上单调递减B.若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C.f(x)在区间(0,π]上的值域为[0,1)D.若函数()()cos ,g x xg x x '=+且g(π)=-1,g(x)在(0,π]上单调递减 三､填空题13.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容-一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼､乐､射､御､书､数".为弘扬中国传统文件,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为___. 14.已知F 为抛物线C:24y x =的焦点,过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ､B 两点,与抛物线C 的准线交于点D,若F 是AD 的中点,则|FB|=____.15.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形,此图由三个半圆构成,直径分别为直角三角形ABC 的斜边AB ､直角边BC ､AC,N 为AC 的中点,点D 在以AC 为直径的半圆上｡已知以直角边AC,BC 为直径的两个半圆的面积之比为3,3sin ,5DAB ∠=则cos ∠DNC =___.16.已知数列{}n a 中,13,2a =且满足*111(2,),22n n n a a n n N -=+≥∈若对于任意*,n N ∈都有n a nλ≥成立,则实数λ的最小值是___.四､解答题 17.在sinsin 2B Cc a C +=①;②2cosA(bcosC+ccosB)=a; 22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-③中任选一个,补充在横线上,并回答下面问题｡在△ABC 中,已知内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若1),c b =___________. (1)求C 的值;(2)若△ABC 的面积为3求b 的值.18.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知1n n a a S 、、成等差数列,且43 2.a S =+ (1)求{}n a 的通项公式; (2)若2212231,log log n n n b a a ++=⋅{}n b 的前n 项和为,n T 求使71n T <成立的最大正整数n 的值.19.在四棱锥P-ABCD 中,AD//BC,BC ⊥CD,∠ABC=120°,AD=4,BC=3, AB=2,,CD =AP ⊥ED.(1)求证:DE ⊥平面PEA;(2)已知点F 为AB 中点,点P 在底面ABCD 上的射影为点Q,直线AP 与平面ABCD所成角的余弦值为,3当三棱锥P-QDE 的体积最大时,求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值.20.发展扶贫产业,找准路子是关系,重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路,还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地｡通过种植黄精,华溪村村民的收逐年递增｡以下是2013年至2019年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据:(1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+dlnx 哪一个更适宜作为每户平均可支配收入y(千元)关于年份代码x 的回归方程模型(给出判断即可,不必说明理由),并建立y 关于x 的回归方程(结果保留1位小数); (2)根据(1)建立的回归方程,试预测要到哪一年华溪村的每户平均可支配收入才能超过35(千元)? (3)从2013年至2019年中任选两年,求事件A:“恰有一年的每户平均可支配收入超过22(千元)”的概率.参考数据:其中711ln ,.7i i i i u x u u ===∑参考公式:线性回归方程ˆy bxa =+中,121()()ˆˆ,.()niii nii x x yy b a y bxx x ==--==--∑∑21.如图,椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>经过点A(0,-1),且离心率为2(1)求椭圆E 的方程;(2)若经过点(1,1),且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为定值.22.已知函数()1,()(2)x f x lnx mx g x x e =-+=-. (1)若f(x)的最大值是0,求m 的值;(2)若对其定义域内任意x,f(x)≤g(x)恒成立,求m 的取值范围.。

双十中学2021届高三上学期半期考试参考答案1.A2.C3.A4.B5.C6.A7.D8.A9.ABC 10.ABD 11.BCD 12.BC ； 13.32 14.79-15.32π 16.(]0,1； 17.(本小题满分10分) 【试题解析】(1)选①:由1(1)(1)(41)n n n a n a n ++=+++可得11411++++=+n n a a n n n, 即11141+++-=+n n a a n n, 又1141+=a ,所以1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4,公差为4的等差数列, 所以14+=n a n n,所以241=-n a n ； 选②:由1n n a a +-=,13a =2=,2=,2=,所以是首项为2,公差为2的等差数列,2n =,所以241=-n a n ； 选③:由184n n a a n --=-(2n ≥)可得:当2n ≥时,112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(84)(812)123n n =-+-+++[(84)12](1)32n n -+-=+241n =-,当1n =时,13a =,符合241=-n a n ,所以当*n N ∈时,241=-n a n ； (2)证明:由(1)得2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭,所以1111111213352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11242n =-+, 因为1042n >+,所以12n T <, 又因为11242n T n =-+随着n 的增大而增大,所以113n T T ≥=, 综上1132n T ≤<.18.(本小题满分12分)【试题解析】(1)在ABC 中, 由正弦定理sin sin a bA B=,可得sin sin b A a B =,因为2sin 3cos sin b A a B a B =+, 所以sin cos()6b A a B π=-, 所以sin cos()6a B a B π=-,即sin cos()6B Bπ,即31sin cos sin 2B B B ,可得tan 3B =, 又因为(0,)B π∈,所以3B π=.(2)如图,延长BD 到E ,满足DE BD =,连接AE CE ，,则ABCE 为平行四边形,且223,,,3BE BAE AB c AE BC a π=∠====, 在BAE △中,由余弦定理得22223)2cos 3a c ac π=+-,即2212a c ac ++=,可得2()12a c ac +-=,即2()12ac a c =+-, 由基本不等式得:22()12()2a c ac a c +=+-≤, 即23()124a c +≤,即2()16a c +≤,可得4a c +≤(当且仅当2a c ==取等号号) 又由AE AB BE +>,即23a c +>故a c +的取值范围是(23,4]. 19.(本小题满分12分)【试题解析】(1)(法一)如图,以D 为原点,AD 所在直线为x 轴,BD 所在直线为y 轴,DF 所在直线为z 建系.设AE h =,由1CD =,2BC =,90ADB ︒∠=,依据三角形相似可得5AB =,故由勾股定理可知25AD =.在CBD 中,可得5BD =所以各点坐标为(0,0,0),(25,0,0),5,0),,5,0,),(0,0,)55D A B C E h F h ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (25,5,)BE h =,设面CDF 的法向量为(,,)n x y z =,所以0550x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩, 化简得20y xz =⎧⎨=⎩,令1x =得(5,25,0)n =,得0BE n ⋅=,故BE n ⊥. 又BE 不在面CDF 上,所以//BE 面CDF .(法二)因为矩形HDEF ,故//AE DE .又//AB CD ,且ABAE A =,CD DF D ⋂=,AB ､AE 在面ABE 上,CD ､DF 在面CDF 上,故面//ABE 面CDF .又BE 在面ABE 上,且BE 不在面CDF 上,故//BE 面CDF . (2)(25,0,0),,(25,5,)55DA BC BE h ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 设面BCE 法向量为(,,)n x y z =,所以0552550x y x hz ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,化简得255x y y z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令y h =,得(2,,55)n h h =-. 由题得2|||45|2cos45||||255125DA n n DA h ︒⋅-===⋅+. 故513h =因为h 为正,所以515AD h ==.20.(本小题满分12分)【试题解析】(1)由总成本21()150600p x x x =++,可得每台机器人的平均成本21150()1150600112600x x p x y x x x x ++===++≥=, 当且仅当1150600x x=,即300x =时,等号成立, ∴若使每台机器人的平均成本最低,则应买300台；(2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,当130m ≤≤时,300台机器人的日平均分拣量为()2160601609600m m m m -=-+,∴当30m =时,日平均分拣量有最大值144000； 当30m >时,日平均分拣量为480300144000⨯=, ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件. 若传统人工分拣144000件,则需要人数为1440001201200=(人).∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少1203090-=.21.(本小题满分12分)【试题解析】(1)由椭圆的定义知12PF F △的周长为22a c +,所以226a c +=,又因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12c e a ==,所以2a c =,联立解得2a =,1c =,所以b ==所求椭圆方程为22143x y +=.(2)若存在满足条件的点(),0Q t .当直线l 的斜率k 存在时,设()1y k x =-,联立22143x y +=,消y 得()22223484120kxk x k +-+-=.设()11,M x y ,()22,N x y ,则2122834k x x k +=+,212241234k x x k -=+x , ∵()()()()()()122112121211QM QNk x x t k x x t y y k k x t x t x t x t --+--+=+=---- ()()()()222212122222121222818242212343441283434k t k t kx x k t x x kt k k k k k x x t x x tt t k k+--+-+++++==⋅--++-+++ ()()()()()()222222222282481234644128344134k k t t k k t k k k t t k t k t --+++-=⋅=--++-+-,∴要使对任意实数k ,QM QN k k +为定值,则只有4t =,此时,0QM QN k k +=. 当直线l 与x 轴垂直时,若4t =,也有0QM QN k k +=.故在x 轴上存在点()4,0Q ,使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0. 22.(本小题满分12分)【试题解析】(1)由题意,函数1()211f x x a nx x=--+的定义域为(0,)+∞, 可得2222121()1a x ax f x x x x-+'=-+=, 令()221h x x ax =-+,则()()244411a a a ∆=-=-+.①当11a -≤≤时,0∆≤,可得()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立, 则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.②当1a <-或1a >时,>0∆,令()0f x '=,得1x a =2x a =+ (i )当1a <-时,120x x <<,所以()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立.则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. (ⅱ)当1a >时,120x x <<.若1(0,)x x ∈,()0f x '>,函数()f x 单调递增； 若12(,)x x x ∈,()0f x '<,函数()f x 单调递减； 若2(,)x x ∈+∞,()0f x '>,函数()f x 单调递增.综上所述:当1a ≤时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当1a >时,在(0,a 和()a +∞,上()f x 单调递增；在(a a ()f x 单调递减.(2)当1a =时,函数1()2ln 1f x x x x=--+, 由(1)可知()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,又易知()11f =,且12()()2f x f x +=,不妨设1201x x <≤≤, 要证122x x +≥,只需证212x x ≥-,只需证21()2()f x f x ≥-,即证11()2()2f x f x -≥-, 即证11())220(f x f x -+-≤,构造函数()()()22g x f x f x =-+-﹐(0,1]x ∈,所以11()22ln(2)2ln 2g x x x x x=------,(]0,1x ∈, 则32322222221214(331)4(1)()2(2)(2)(2)x x x x g x x x x x x x x x --+---'=--+==----, 当(0,1]x ∈时,()0g x '≥,所以函()g x 数在区间(0,1]上单调递增, 则()()10g x g ≤=,所以11())220(f x f x -+-≤得证,从而122x x +≥.。

厦门双十中学2022-2023学年（上）期中考试高 三 数 学 试 题注意事项：1．答题前，考生务必用0.5mm 黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2+x ＝0}，则下列关于集合A ，B 关系的韦恩图正确的是A ．B ．C ．D ．2．已知复数z =√3+i，则z 的共轭复数z =A ．−1−√3i4B ．−1−√3i2C ．−1+√3i4D ．−1+√3i23．已知a ，b ∈R ，ab ≠0，则使1a ＜1b 成立的一个充分不必要条件是 A ．a ＞b B ．a ＜b ＜0 C ．ab （a ﹣b ）＞0 D ．a ＞b ＞04．将y ＝sin （3x −3π4）图像上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到y ＝g （x ）的图像，再将y ＝g （x ）图像向左平移3π4，得到y ＝φ（x ）的图像，则y ＝φ（x ）的解析式为 A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin9xD ．y ＝sin （9x −3π2）5．在△ABC 中，∠BAC =π3，AD →=2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=m AC →+12AB →， 若|AC →|＝2，|AB →|＝3，则|AP →|的值为 A ．√13B ．√132C ．√133D ．√1346．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cos α＝5，则sin2α＝ A ．−49B ．−4√59C ．−4√527D ．√527．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式()()310304log log t T T T T =---⎡⎤⎣⎦得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈） A ．3.048分钟B ．4.048分钟C ．5.048分钟D ．6.048分钟8．设a ＝0.01e 0.01，b =199，c ＝﹣ln 0.99，则 A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知sinα−cosα=15，且α为锐角，则下列选项中正确的是 A ．sinαcosα=1225B ．sinα+cosα=75C ．α∈(0，π4)D ．tanα=4310．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，|PM |＝|MF 1|，下列判断正确的是 A ．∠PF 2F 1=π3B ．|MF 2|=12|PF 1|C ．E 的离心率等于√2D ．E 的渐近线方程为y ＝±√2x11．已知f （x ）＝sin x +x （x ∈[﹣1，1]），且实数a ，b 满足f （a ）+f （b ﹣1）＝0成立，则以下正确的是A ．ab 的最大值为14 B ．ab 的最小值为﹣2 C ．1a +4b 的最小值为9D ．b ﹣a 的最大值为312．如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面ADD 1A 1上的一个动点（含边界），P 是棱CC 1的中点，则下列结论正确的是 A ．当M 为AD 中点时，三棱锥M ﹣BDP 的体积为124 B ．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为√132C ．若保持PM =√2，则点M 在侧面内运动路径的长度为π3D ．若M 在平面ADD 1A 1内运动，且∠MD 1B ＝∠B 1D 1B ，点M 的轨迹为抛物线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →，b →满足a →=（3，4），a →•b →=6，|a →−b →|=7，则|b →|=_______． 14．若函数f(x)=x 2ln(√x 2+a −x)为奇函数，则a ＝_______．15．写出与圆x 2+y 2＝1和圆（x ﹣4）2+（y +3）2＝16都相切的一条切线方程_______．16．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，△ABE 是等边三角形，AD ⊥AH ，AD ＝1，AB ＝2．则平面展开图中sin ∠GCF ＝_______，四棱锥P ﹣ABCD 的外接球半径为_______． （第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（10分）正项等差数列{a n }，满足a 1=4，且a 2，a 4+2，2a 7−8成等比数列，{a n }的前n 项和为S n ． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =12+S n，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．18．（12分）如图，在△ABC 中，AB ＝2，3a cos B ﹣b cos C ＝c cos B ，点D 在线段BC 上． （1）若∠ADC =3π4，求AD 的长；（2）若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为43√2，求sin∠BADsin∠CAD 的值．19．（12分）某“花式风筝冲浪”集训队在海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y （米）是随着一天的时间t （0≤t ≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t 的水深数据的近似值如表：（1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卡中）．观察散点图，从①y ＝A sin （ωt +φ），②y ＝A cos （ωt +φ）+b ，③y ＝﹣A sin ωt +b （A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式（必要时可以化简）；（2）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练才能确保集训队员的安全？20．（12分）如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1，底面ABC 是边长为2的正三角形，A 1A =A 1B ， 平面ABC ⊥平面AA 1C 1C . (1)证明：A 1C ⊥平面ABC ；(2)若BC 与平面AA 1B 所成角的正弦值为√217，求平面AA 1B 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为(3,0)，且经过点(2√2,1)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知A ，B 是双曲线C 上关于原点对称的两点，垂直于AB 的直线l 与双曲线C 有且仅有一个公共点P. 当点P 位于第一象限，且△PAB 被x 轴分割为面积比为3：2的两部分时，求直线AB 的方程．22．（12分）已知函数f(x)=a+lnx x(a ∈R).(1)当函数f(x)与函数g(x)=lnx 图像的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的值； (2)证明：当a ∈(0,12)时，函数ℎ(x)=f(x)−ax 有两个零点x 1，x 2，且满足1x 1+1x 2<1a ．厦门双十中学2022-2023学年（上）期中考试高三数学试题参考答案及评分标准一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．A【第8题解答】令函数y ＝xe x，t =x1−x ，u ＝﹣ln （1﹣x ），x ∈（0，√2−1）． 显y ＞0，t ＞0，则lny ﹣lnt ＝lnx +x ﹣[lnx ﹣ln （1﹣x ）]＝x +ln （1﹣x ）． 令f （x ）＝x +ln （1﹣x ），x ∈（0，√2−1）．求导f ′（x ）＝1+1x−1=xx−1＜0，f （x ）在x ∈（0，√2−1）上单调递减． ∀x ∈（0，√2−1）f （x ）＜f （0）＝0，即lny ＜lnt ⇔y ＜t ． 因此当x ∈（0，√2−1）时，xe x ＜x1−x． 取x ＝0.01，则有a ＝0.01e0.01＜0.011−0.01=199=b ．令g （x ）＝y ﹣u ＝xe x+ln （1﹣x ），x ∈（0，√2−1）．g ′（x ）＝（x +1）e x+1x−1=(x 2−1)e x +1x−1．令h （x ）＝（x 2﹣1）e x+1，x ∈（0，√2−1）．h ′（x ）＝（x 2+2x ﹣1）e x＜0，h （x ）在x ∈（0，√2−1）．上单调递减．∀x ∈（0，√2−1），h （x ）＜h （0）＝0，有g ′（x ）＞0． g （x ）在x ∈（0，√2−1）上单调递增．∀x ∈（0，√2−1），g （x ）＞g （0）＝0，因此当x ∈（0，√2−1）时，xe x＞﹣ln （1﹣x ）．x ＝0.01，则有a ＝0.01e 0.01＞﹣ln （1﹣0.01）＝﹣ln 099＝c ．所以c ＜a ＜b ． 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．ABD 10．BD 11．ABD 12．ABC【第12题解答】选项A ：当M 为AD 中点时，V M−BDP =V P−BDM =13S △BDM ⋅|PC|=13×12×12×1×12=124，判断正确； 选项B ：将平面ABCD 与平面BB 1C 1C 展开在同一平面，连接AP ，则AP =√AD 2+PD 2=√12+(32)2=√132，又将平面ABCD 与平面DD 1C 1C 展开在同一平面，连接AP ， 则AP =√AB 2+PB 2=√12+(32)2=√132，综上，沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为√132．判断正确； 选项C ：取DD 1中点E ，连接PE ，ME ，PM ，则PE ⊥平面AA 1D 1D ，PE ⊥ME ，则ME =√PM 2−PE 2=√(√2)2−12=1， 则点M 在侧面AA 1D 1D 内运动轨迹为以E 为圆心半径为1的劣弧， 分别交AD 、A 1D 1于M 2，M 1，则∠M 1ED 1=∠M 2ED =π3，则∠M 1EM 2=π3，劣弧M 1M 2̂的长为π3×1=π3．判断正确；选项D ：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x ，y 、z 轴建立空间直角坐标系如图： 则B （1，1，0），B1（1，1，1），D （0，0，0），D 1（0，0，1）， 设M （m ，0，n ），m ，n ∈[0，1]，则D 1B →=(1，1，−1)，D 1M →=(m ，0，n −1)，D 1B 1→=(1，1，0)， cos ∠MD 1B =D 1B →⋅D 1M→|D 1B →|⋅|D 1M →→|=m−n+1√3⋅√m +(n−1)2，cos ∠B 1D 1B =D 1B →⋅D 1B 1→|D 1B →|⋅|D 1B 1→|=√3⋅√2=√63， 又∠MD 1B ＝∠B 1D 1B ∈[0，π）， 则cos ∠MD 1B ＝cos ∠B 1D 1B ，即√3⋅√m 2+(n−1)2=√63， 整理得m 2+n 2+2mn ﹣2m ﹣2n +1＝0即m +n ﹣1＝0，m +n ﹣1＝0，m ，n ∈[0，1]表示线段，则点M 的轨迹不为抛物线．判断错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．6 14．1 15．y ＝1（填4x ﹣3y ﹣5＝0；24x +7y +25＝0都正确）． 16．35，√576． 【第16题解答】因为在四棱锥P ﹣ABCD 的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，△ABE 是等边三角形，AD ⊥AH ，AD ＝1，AB ＝2， 所以sin ∠BCF =sin ∠DCG =√5， 所以sin ∠GCF =sin(2π−∠BCF −∠DCG −π2)=sin(2π−2∠DCG −π2)=−cos2∠DCG=2sin 2∠DCG −1=2×45−1=35，如图，连接AC ，BD 交于点M ， 设四棱锥P ﹣ABCD 的外接球球心为O ，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥AP ，AD ⊥AB ，AP ∩AB ＝A ， 所以AD ⊥平面ABP ， 因为AD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面ABP ， 取AB 的中点H ，连接PH ，因为△P AB 为等边三角形，所以PH ⊥AB ， 因为平面ABCD ∩平面ABP ＝AB ，PH ⊂平面 ABP ， 所以PH ⊥平面ABCD ，设△ABP 的外接圆圆心为N ，连接OM ，ON ， 则OM ⊥平面ABCD ，ON ⊥平面ABP ， 则OM ∥PH ，可证得ON ∥MN ， 所以四边形OMHN 是矩形，连接OD ， 由于△P AB 为等边三角形， 所以NH =13PH =13×√32×2=√33，所以OM =√33， 设四棱锥P ﹣ABCD 的外接球半径为R ， 则R 2=OM 2+DM 2=13+54=1912， 解得R =√576，故答案为：35，√576． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（10分）解：(1)设数列{a n }的公差为d(d >0)，则由已知得a 2(2a 7−8)=(a 4+2)2， ················································································ 1分 即有(a 1+d)(2a 1+12d −8)=(a 1+3d +2)2，化简得，d 2+4d −12=0，解得d =2或d =−6 ································································· 3分 等差数列{a n }为正项等差数列，故d =−6(舍)，所以a n =a 1+(n −1)d =2n +2．··················································································· 5分 (2)因为S n =n(a 1+a n )2=n(2n+6)2=n 2+3n ， ········································································ 7分所以b n =1Sn+2=1n 2+3n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2． ······························································ 8分 所以T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =12−13+13−14+...+1n +1−1n +2=12−1n+2=n2n+4． ········································································································ 10分 18．（12分）解：（1）∵3a cos B ﹣b cos C ＝c cos B ，∴3sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ，3sin A cos B ＝sin （B +C ）， ·················································· 1分 ∵B +C ＝π﹣A ， ∴3sin A cos B ＝sin A ， ∵A ∈（0，π），∴sin A ＞0，cosB =13． ································································································· 2分 ∵B ∈（0，π），∴sinB =2√23． ··········································································································· 3分 ∵∠ADC =3π4， ∴∠ADB =π4，在△ABD 中，由正弦定理得，ADsinB=AB sin∠ADB，······························································· 4分∴2√23=√22， ············································································································· 5分∴AD =83． ················································································································· 6分 （2）设DC ＝a ，则BD ＝2a ， ∵BD ＝2DC ，△ACD 的面积为43√2，∴S △ABC =3S △ACD =4√2，····························································································· 7分 ∴4√2=12×2×3a ×2√23，∴a ＝2． ···················································································································· 8分 ∴AC =√4+36−2×2×6×13=4√2， ·········································································· 9分 由正弦定理可得4sin∠BAD=2sin∠ADB，∴sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB ， ···························································································· 10分∴2sin∠CAD=4√2sin∠ADC，∴sin ∠CAD =√24sin∠ADC ， ························································································· 11分 ∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ， ∴sin∠BAD sin∠CAD=4√2． ··································································································· 12分19．（12分）解：（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：·············································· 1分依题意，选②y ＝A cos （ωt +ϕ）+b 作为函数模型， ∴A =2.4−0.62=0.9，b =2.4+0.62=1.5， ········································································· 3分 ∵T =2πω=12∴ω=π6， ······························································································· 4分 ∴y =0.9cos(π6t +φ)+1.5又∵函数y ＝0.9cos （π6t +φ）+1.5的图象过点（3，2.4），∴2.4＝0.9×cos （π6×3+φ）+1.5， ················································································ 5分∴cos （π2+φ）＝1，∴sin φ＝﹣1，又∵﹣π＜φ＜0，∴φ=−π2， ························································································· 6分 ∴y =0.9cos(π6t −π2)+1.5=0.9sin(π6t)+1.5 ··································································· 7分 （2）由（1）知：y =0.9sin(π6t)+1.5令y ≥1.05，即0.9sin(π6t)+1.5≥1.05，∴sin(π6t)≥−12········································· 9分 ∴2kπ−π6≤π6t ≤2kπ+7π6(k ∈Z)， ············································································· 10分 ∴12k ﹣1≤t ≤12k +7，又∵5≤t ≤18，∵5≤t ≤7或11≤t ≤18， ·················································································· 11分 答：这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全． ······························································································································· 12分20．（12分）(1)证明：如图，取AB 的中点O ，AC 的中点H ，连接OC ，OA 1，BH ， ∵A 1A =A 1B ，AC =BC ，O 是AB 的中点，所以OA 1⊥AB ，OC ⊥AB ， 又OA 1∩OC =O ，OA 1，OC ⊂平面A 1OC ，所以AB ⊥平面A 1OC ，A 1C ⊂平面A 1OC ，A 1C ⊥AB ； ··························································· 2分 AB =BC ，H 是AC 的中点，所以BH ⊥AC ，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C =AC ， BH ⊂平面ABC ，所以BH ⊥平面AA 1C 1C ，又A 1C ⊂平面AA 1C 1C ，所以BH ⊥A 1C ， ·········································································································· 4分 又BH ∩AB =B ，BH ，AB ⊂平面ABC ，所以A 1C ⊥平面ABC ； ··································································································· 5分 (2)以O 为坐标原点，建系如图所示，设A 1C =a ， ······························································· 6分 则A (−1,0,0)，B (1,0,0)，C(0,√3,0)，A 1(0,√3,a)，BC →=(−1,√3,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，AA 1→=(1,√3,a)， ···························································· 7分 设平面AA 1B 的法向量为m⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， {m ⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{x 1+√3y 1+az 1=02x 1=0，所以可取m ⃗⃗⃗ =(0,a,−√3)， ········································ 8分 设BC 与平面AA 1B 所成的角为θ， 则sin θ=|cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗,m ⃗⃗⃗ >|=√3a||2×√a 2+3|=√217，解得a =2， ················································· 9分从而m ⃗⃗⃗ =(0,2,−√3)，BB 1→=AA 1→=(1,√3,2)， 设平面BB 1C 1C 的法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， {n ⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{x 2+√3y 2+2z 2=0−x 2+√3y 2=0,所以可取n ⃗ =(√3,1,−√3)， ·························································································· 10分 设平面AA 1B 与平面BB 1C 1C 夹角为φ， 所以cos φ=|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=√7×√7=57， 所以平面AA 1B 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值为57． ······························································· 12分 21．（12分）解：(1)因为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为(3,0)，且经过点(2√2,1)， 所以{a 2+b 2=9,8a 2−1b 2=1,解得{a 2=6,b 2=3． 故双曲线C 的标准方程为x 26−y 23=1． ············································································· 4分。