【20套精选试卷合集】福建省厦门双十中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

2020年高考模拟高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知A＝{x||x|≤1}，B＝{x|（x﹣）2≤0}，则A∩∁R B＝（）A．[﹣1，1]B．∅C．[﹣1，）∪（，1]D．（﹣1，1）2．设z＝﹣i+3，则+||＝（）A．i﹣3+B．i+3+C．﹣i+3+D．﹣i﹣3+3．中国武汉于2019年10月18日至2019年10月27日成功举办了第七届世界军人运动会．来自109个国家的9300余名运动员同台竞技．经过激烈的角逐，奖牌榜的前3名如下：国家金牌银牌铜牌奖牌总数中国1336442239俄罗斯515357161巴西21313688某数学爱好者采用分层抽样的方式，从中国和巴西获得金牌选手中抽取了22名获奖代表．从这22名中随机抽取3人，则这3人中中国选手恰好1人的概率为（）A．B．C．D．4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，则S10的值为（）A．﹣110B．﹣90C．90D．1105．已知函数f（x）＝e x+e﹣x，给出以下四个结论：（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）的最大值为2；（3）当f（x）取到最小值时对应的x＝0；（4）f（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减．正确的结论是（）A．（1）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）D．（1）（4）6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为B1C1的中点，过M作平面α平行平面A1BD，若平面α把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（）A．B．C．D．7．设a＝e，b＝4e﹣2，c＝2e﹣1，d＝3e，则a，b，c，d的大小关系为（）A．c＞b＞d＞a B．c＞d＞a＞b C．c＞b＞a＞d D．c＞d＞b＞a 8．函数f（x）＝sin x•|cos x|的最小正周期与最大值之比为（）A．πB．2πC．4πD．8π9．已知三角形ABC为直角三角形，点E为斜边AB的中点，对于线段AB上的任意一点D 都有•＝|+|＝4，则||的取值范围是（）A．[2，2]B．[2，2）C．[2，2]D．[2，2）10．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法﹣﹣二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数y＝f（x），若y1＝f（x1），y2＝f（x2），y3＝f（x3），x1＜x2＜x3，则在区间[x i，x3]上f（x）可以用二次函数f（x）＝y1+k1（x﹣x1）+k2（x﹣x1）（x﹣x2）来近似代替，其中，，．若令x1＝0，，x3＝π，请依据上述算法，估算的近似值是（）A．B．C．D．11．已知双曲线﹣＝1的右支与抛物线x2＝2py相交于A，B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1，d2，d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝x D．y＝x 12．已知方程xe x﹣a（e2x﹣1）＝0只有一个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤0或a≥B．a≤0或a≥C．a≤0D．a≥0或a≤﹣二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．（2x+3y）4的展开式中二项式系数最大的项为．14．高三年段有四个老师分别为a，b，c，d，这四位老师要去监考四个班级A，B，C，D，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师．现要求a老师不能监考A 班，b老师不能监考B班，c老师不能监考C班，d老师不能监考D班，则不同的监考方式有种．15．已知圆O：x2+y2＝1，圆N：（x﹣a+2）2+（y﹣a）2＝1，若圆N上存在点Q，过点Q 作圆O的两条切线．切点为A，B，使得∠AQB＝60°，则实数a的取值范围是．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3．点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点．动点Q在正方形D1DAA1（包含边界）内运动，且QB∥面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长度为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知函数f（x）＝sin x（cos x﹣sin x）+．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足a cos2B＝a cos B﹣b sin A，求f（A）的取值范围．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，O为BC的中点，A1O ⊥平面ABC．（1）证明四边形BB1C1C为矩形；（2）求直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值．19．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率．（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入x i（千元）与年收益增量y i（千元）（i＝1，2，3，……，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，（x i﹣）2＝289.8，（t i﹣）2＝1.6，（x i﹣）（y i﹣）＝1469，（t i﹣）（y i﹣）＝108.8，其中t i＝，＝t i．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），……，（u n，v n），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．20．在平面直角坐标系xOy中，圆A：（x﹣1）2+y2＝16，点B（﹣1，0），过B的直线l 与圆A交于点C，D，过B做直线BE平行AC交AD于点E．（1）求点E的轨迹t的方程；（2）过A的直线与t交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且＝2，求四边形OHNG面积的最大值．21．已知函数f（x）＝lnx+ax+1有两个零点x1，x2（1）求a的取值范围；（2）记f（x）的极值点为x0，求证：x1+x2＞2ef（x0）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy下，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1在变换T：的作用下变成曲线C2．（1）求曲线C2的普通方程；（2）若m＞1，求曲线C2与曲线C3：y＝m|x|﹣m的公共点的个数．[选修：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|3x+1|﹣m．（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若当x≠时，不等式f（x）+＞0恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{x||x|≤1}，B＝{x|（x﹣）2≤0}，则A∩∁R B＝（）A．[﹣1，1]B．∅C．[﹣1，）∪（，1]D．（﹣1，1）【分析】化简集合A，B，求出结果．解：已知A＝{x||x|≤1}＝[﹣1，1]，B＝{x|（x﹣）2≤0}＝{}，则A∩∁R B＝[﹣1.）∪（，1]，故选：C．2．设z＝﹣i+3，则+||＝（）A．i﹣3+B．i+3+C．﹣i+3+D．﹣i﹣3+【分析】由已知求得与|z|，则答案可求．解：由z＝﹣i+3，得，|z|＝，则+||＝3+i+，故选：B．3．中国武汉于2019年10月18日至2019年10月27日成功举办了第七届世界军人运动会．来自109个国家的9300余名运动员同台竞技．经过激烈的角逐，奖牌榜的前3名如下：国家金牌银牌铜牌奖牌总数中国1336442239俄罗斯515357161巴西21313688某数学爱好者采用分层抽样的方式，从中国和巴西获得金牌选手中抽取了22名获奖代表．从这22名中随机抽取3人，则这3人中中国选手恰好1人的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据分层抽样求出22名获奖代表中有中国选手19个，巴西选手3个．再根据组合知识和概率公式即可求出．解：中国和巴西获得金牌总数为154，按照分层抽样方法，22名获奖代表中有中国选手19个，巴西选手3个．故从这22名中随机抽取3人，则这3人中中国选手恰好1人的概率为＝故选：C．4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，则S10的值为（）A．﹣110B．﹣90C．90D．110【分析】由题意可得（a1﹣12）2＝（a1﹣4）（a1﹣16），解方程后代入等差数列的求和公式可得．解：由题意可得（a1﹣12）2＝（a1﹣4）（a1﹣16），解得a1＝20，∴S10＝10a1+d＝200﹣90＝110故选：D．5．已知函数f（x）＝e x+e﹣x，给出以下四个结论：（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）的最大值为2；（3）当f（x）取到最小值时对应的x＝0；（4）f（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减．正确的结论是（）A．（1）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）D．（1）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）是偶函数，再利用导数求出函数f （x）的单调区间以及最值即可．解：∵函数f（x）＝e x+e﹣x，x∈R，∴f（﹣x）＝e﹣x+e x＝f（x），∴函数f（x）是R上的偶函数，故（1）正确，∵f'（x）＝e x﹣e﹣x＝e x﹣＝，令f'（x）＝0得，e x＝1，x＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，且f（0）＝2，画出函数f（x）的大致图象，如图所示：，∴函数f（x）的最小值为2，故（2）错误，（3）正确，（4）错误，故选：C．6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为B1C1的中点，过M作平面α平行平面A1BD，若平面α把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】分别取C1D1、CC1中点E．F，由题意知平面EFM平行于平面A1BD，平面α过点M，平面α平行于平面A1BD，平面EFM与平面α是同一个平面，由此能求出体积较小的几何体的体积．解：分别取C1D1、CC1中点E．F，由题意知平面EFM平行于平面A1BD，又平面α过点M，平面α平行于平面A1BD，∴平面EFM与平面α是同一个平面，∴体积较小的几何体等于V＝×1＝．故选：C．7．设a＝e，b＝4e﹣2，c＝2e﹣1，d＝3e，则a，b，c，d的大小关系为（）A．c＞b＞d＞a B．c＞d＞a＞b C．c＞b＞a＞d D．c＞d＞b＞a 【分析】可以得出，然后根据e≈2.7，e2≈7.39，e3≈20.09即可得出a，b，c，d的大小关系．解：，，∵e≈2.7，e2≈7.39，e3≈20.09，∴4e2＞9e＞e3＞16，∴c2＞d2＞a2＞b2，∴c＞d＞a＞b．故选：B．8．函数f（x）＝sin x•|cos x|的最小正周期与最大值之比为（）A．πB．2πC．4πD．8π【分析】直接利用分类讨论思想的应用和函数的关系式的应用求出结果．解：f（x）＝sin x•|cos x|＝，所以函数的最小正周期为2π，函数的最大值为．故．故选：C．9．已知三角形ABC为直角三角形，点E为斜边AB的中点，对于线段AB上的任意一点D 都有•＝|+|＝4，则||的取值范围是（）A．[2，2]B．[2，2）C．[2，2]D．[2，2）【分析】由已知可得AB＝4，CE＝AE＝BE＝2．设，分别讨论D与E、A点重合时的情况．解：因为|+|＝||＝4，所以AB＝4，又因为E为斜边AB中点，所以CE＝AE＝BE＝2，由已知可得AB＝4，CE＝AE＝BE＝2．设．当D与E重合时，＝2×2cosθ＝4，符合题意；当D与A重合时，∠BDC＝θ，CD＝4cosθ，代入＝4，得2×4cosθ•cosθ＝4，此时θ＝．故θ∈[0，]．此时由＝4，得2CD cosθ＝4，即CD＝，结合θ∈[0，]．可得．故选：C．10．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法﹣﹣二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数y＝f（x），若y1＝f（x1），y2＝f（x2），y3＝f（x3），x1＜x2＜x3，则在区间[x i，x3]上f（x）可以用二次函数f（x）＝y1+k1（x﹣x1）+k2（x﹣x1）（x﹣x2）来近似代替，其中，，．若令x1＝0，，x3＝π，请依据上述算法，估算的近似值是（）A．B．C．D．【分析】函数y＝f（x）＝sin x在x＝0，x＝，x＝π处的函数值分别为y1＝f（0）＝0，y2＝f（）＝1，y3＝f（π）＝0，利用k1＝，k＝，，可得f（x）＝x﹣x（x﹣）＝﹣x2+x，代入即可得出．解：函数y＝f（x）＝sin x在x＝0，x＝，x＝π处的函数值分别为y1＝f（0）＝0，y2＝f（）＝1，y3＝f（π）＝0，故k1＝＝，k＝＝﹣，＝﹣，故f（x）＝x﹣x（x﹣）＝﹣x2+x，即sin x≈﹣x2+x，∴≈﹣×+×＝，故选：D．11．已知双曲线﹣＝1的右支与抛物线x2＝2py相交于A，B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1，d2，d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝x D．y＝x【分析】设A，B的坐标，由题意可得由d1，d2，d3的值，再由d1，d2，d3构成等差数列可得A，B纵坐标的值，联立双曲线与抛物线的方程可得A，B的纵坐标之和，可得a，b的关系，进而求出双曲线的渐近线的方程．解：由题意抛物线的准线方程为：y＝﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的性质可得：d1＝y1+，d2＝p，d3＝y2，由d1，d2，d3构成等差数列可得2d2＝d1+d3，即2p＝y1++y2，所以可得y1+y2＝p联立双曲线与抛物线的方程可得：，整理可得a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0，所以y1+y2＝，所以可得＝p，即a2＝2b2，所以渐近线的方程为y＝x＝±x，故选：A．12．已知方程xe x﹣a（e2x﹣1）＝0只有一个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤0或a≥B．a≤0或a≥C．a≤0D．a≥0或a≤﹣【分析】令t＝e x，t＞0，x＝lnt，则原方程转化成，令，显然f（1）＝0，问题转化成函数f（t）在（0，+∞）上只有一个零点1，求导后再利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得答案．解：令t＝e x，t＞0，x＝lnt，则原方程转化成tlnt﹣a（t2﹣1）＝0，即，令，显然f（1）＝0，问题转化成函数f（t）在（0，+∞）上只有一个零点1，，若a＝0，则f（t）＝lnt在（0，+∞）单调递增，f（1）＝0，此时符合题意；若a＜0，则f′（t）＞0，f（t）在（0，+∞）单调递增，f（1）＝0，此时符合题意；若a＞0，记h（t）＝﹣at2+t﹣a，则函数h（t）开口向下，对称轴，过（0，﹣a），△＝1﹣4a2，当△≤0 即1﹣4a2≤0，即时，f′（t）≤0，f（t）在（0，+∞）单调递减，f （1）＝0，此时符合题意；当△＞0 即1﹣4a2＞0，即时，设h（t）＝0有两个不等实根t1，t2，0＜t1＜t2，又h（1）＞0，对称轴，所以0＜t1＜1＜t2，则f（t）在（0，t1）单调递减，（t1，t2）单调递增，（t2，+∞）单调递增，由于f（1）＝0，所以f（t2）＞0，取，，记令，则，所以f（t0）＜0，结合零点存在性定理可知，函数f（t）在（t1，t2）存在一个零点，不符合题意；综上，符合题意的a的取值范围是a≤0 或，故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．（2x+3y）4的展开式中二项式系数最大的项为216x2y2．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得（2x+3y）4的展开式中二项式系数最大的项．解：在（2x+3y）4的展开式中，通项公式为T r+1＝•24﹣r•3r•x4﹣r•y r，故第r+1项的系数为•24﹣r•3r，故当r＝2时，二项式系数最大，故当r＝2时，展开式中二项式系数最大的项为•24﹣r•3r•x4﹣r•y r＝216x2y2，故答案为：216x2y2．14．高三年段有四个老师分别为a，b，c，d，这四位老师要去监考四个班级A，B，C，D，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师．现要求a老师不能监考A 班，b老师不能监考B班，c老师不能监考C班，d老师不能监考D班，则不同的监考方式有9种．【分析】根据题意，a老师不能监考A班，则a老师可以监考B、C、D班，据此分3种情况讨论，求出每种情况下的监考方式数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分3种情况讨论：①、当a老师监考B班时，b老师有3种情况，剩下的两位老师有1种情况，此时有3种不同的监考方式，②，当a老师监考C班时，同理此时有3种不同的监考方式，③、当a老师监考D班时，同理此时有3种不同的监考方式，则有3+3+3＝9种不同的监考方式；故答案为：915．已知圆O：x2+y2＝1，圆N：（x﹣a+2）2+（y﹣a）2＝1，若圆N上存在点Q，过点Q 作圆O的两条切线．切点为A，B，使得∠AQB＝60°，则实数a的取值范围是[，]．【分析】根据题意，由切线的性质分析可得Q轨迹是圆x2+y2＝4，进而可得圆x2+y2＝4与圆N有公共点，结合圆与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆O的方程为x2+y2＝1，其半径为1，圆N：（x﹣a+2）2+（y﹣a）2＝1，其圆心为（a﹣2，a），半径为1，圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠AQB＝60°，则∠AQO＝30°，在Rt△PAO中，OQ＝2，故点Q轨迹是圆x2+y2＝4，此时圆x2+y2＝4与圆N：（x﹣a+2）2+（y﹣a）2＝1有公共点，则有1≤≤3，变形可得：0≤2a2﹣4a+3≤8，解可得：≤a≤，即a的取值范围为[，]；故答案为：[，]．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3．点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点．动点Q在正方形D1DAA1（包含边界）内运动，且QB∥面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长度为．【分析】取DC中点E1，取A1G＝1，延长BE1，延长AD，交于点E，连接EG，交DD1于点I．说明面BGE∩面D1DAA1＝GI，点Q的轨迹是线段GI．然后求解即可．解：由于QB∥面D1NT，所以点Q在过B且与面D1NT平行的平面上．取DC中点E1，取A1G＝1，则面BGE1∥面D1NT．延长BE1，延长AD，交于点E，连接EG，交DD1于点I．显然，面BGE∩面D1DAA1＝GI，所以点Q的轨迹是线段GI．易求得GI＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知函数f（x）＝sin x（cos x﹣sin x）+．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足a cos2B＝a cos B﹣b sin A，求f（A）的取值范围．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x）＝sin（2x+），进而根据正弦函数的单调性即可求解f（x）的单调递减区间．（2）由正弦定理，二倍角公式化简已知等式可得（cos B﹣sin B）（cos B+sin B﹣1）＝0，进而可求B＝，可求范围＜A＜，利用正弦函数的性质即可求解f（A）＝sin （2A+）的取值范围．解：（1）＝（sin2x+cos2x）＝sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）由正弦定理得sin A cos2B＝sin A cos B﹣sin B sin A，∵sin A≠0，∴cos2B＝cos2B﹣sin2B，即（cos B﹣sin B）（cos B+sin B）＝cos2B﹣sin2B，（cos B﹣sin B）（cos B+sin B﹣1）＝0，得：cos B﹣sin B＝0，或cos B+sin B＝1，解得B＝，或B＝，∵△ABC为锐角三角形，A+C＝，∴，解得＜A＜，∴＜2A+＜，﹣＜sin（2A+）＜，∴f（A）＝sin（2A+）的取值范围为（﹣，）．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，O为BC的中点，A1O ⊥平面ABC．（1）证明四边形BB1C1C为矩形；（2）求直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值．【分析】（1）利用线面垂直的性质可得BC⊥AA1，进而得到BC⊥BB1，由此容易得证；（2）建立空间直角坐标系，求出直线AA1的方向向量及平面A1B1C的法向量，利用向量公式得解．解：（1）证明：连接AO，因为O为BC的中点，可得BC⊥AO，∵A1O⊥平面ABC，BC在平面ABC内，∴A1O⊥BC，又∵AO∩A1O＝O，∴BC⊥平面AA1O，∴BC⊥AA1，∵BB1∥AA1，∴BC⊥BB1，又∵四边形BB1C1C为平行四边形，∴四边形BB1C1C为矩形．（2）如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），在Rt△AOB中，，Rt△AA1O中，，A1（0，0，2），∴，，，设平面A1B1C的法向量是n＝（x，y，z），由得即，可取n＝（2，1，﹣1），设直线AA1与平面A1B1C所成角为θ，则，，∵，∴，即直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值为．19．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率．（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入x i（千元）与年收益增量y i（千元）（i＝1，2，3，……，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，（x i﹣）2＝289.8，（t i﹣）2＝1.6，（x i﹣）（y i﹣）＝1469，（t i﹣）（y i﹣）＝108.8，其中t i＝，＝t i．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），……，（u n，v n），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【分析】（1）由已知得μ＝280，σ＝5，由正态分布的对称性可得P（ξ＜265），设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g的为X只，故X～B（10，0.0013），由P（X ≥1）＝1﹣P（X＝0）求解；（2）求出与，可得y关于x的回归方程为，取x＝49求得y值得答案．解：（1）由已知，单只海产品质量ξ～N（280，25），则μ＝280，σ＝5，由正态分布的对称性可知，P（ξ＜265）＝[1﹣P（265＜ξ＜295）]＝[1﹣P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）]＝（1﹣0.9974）＝0.0013，设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g的为X只，故X～B（10，0.0013），故P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣（1﹣0.0013）10＝1﹣0.9871＝0.0129，所以随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率为0.0129．（2）由，，，，有，且，所以y关于x的回归方程为，当x＝49时，年销售量y的预报值千元．所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元．20．在平面直角坐标系xOy中，圆A：（x﹣1）2+y2＝16，点B（﹣1，0），过B的直线l 与圆A交于点C，D，过B做直线BE平行AC交AD于点E．（1）求点E的轨迹t的方程；（2）过A的直线与t交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且＝2，求四边形OHNG面积的最大值．【分析】（1）利用已知条件判断E的轨迹是椭圆的一部分，设出方程，转化求解即可（2）因为直线HG斜率不为0，设为x＝ty+1，设G（x1，y1），H（x2，y2），联立整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，利用韦达定理以及弦长公式求解三角形的面积，转化求解四边形的面积的最大值即可．解：（1）因为，又因为|AC|＝|AD|＝4，所以|EB|＝|ED|，所以|EB|+|EA|＝|ED|+|EA|＝|AD|＝4＞|AB|＝2，所以E的轨迹是焦点为A，B，长轴为4的椭圆的一部分，设椭圆方程为：（a＞b＞0），则2a＝4，2c＝2，所以a2＝4，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆方程为，又因为点E不在x轴上，所以y≠0，所以点E的轨迹τ的方程为．（2）因为直线HG斜率不为0，设为x＝ty+1，设G（x1，y1），H（x2，y2），联立整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，所以△＝36t2+36（3t2+4）＝144（t2+1）＞0，，，所以，∵，∴S△GHN＝2S△OHG，设四边形OHNG的面积为S，则＝，令，再令，则在[1，+∞）单调递增，所以m＝1时，y min＝4，此时t＝0，取得最小值4，所以．21．已知函数f（x）＝lnx+ax+1有两个零点x1，x2（1）求a的取值范围；（2）记f（x）的极值点为x0，求证：x1+x2＞2ef（x0）．【分析】（1）问题等价于函数的图象与直线y＝a有两个交点，利用导数研究F（x）的性质即可得出a的取值范围；（2）先由题意得，再构造函数可知，进而把所证不等式转化为，再通过换元，构造新函数利用导数得证．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），令f（x）＝0，则，依题意，函数的图象与直线y＝a有两个交点，由得，当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，F（x）单减，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F （x）单增，且F（1）＝﹣1，当x→0时，F（x）→+∞，当x→+∞时，F（x）→0，如下图所示，由图可知，实数a的取值范围为（﹣1，0）；（2）由（1）知，﹣1＜a＜0，且由得，∵函数f（x）＝lnx+ax+1有两个零点x1，x2，∴，∴，不妨设x1＞x2，则，令函数，则，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0，∴函数h（x）在（0，e）上单增，在（e，+∞）上单减，∴h（x）max＝h（e）＝0，∴h（x）≤0，即，∵，，∴，∴，即，∴要证x1+x2≥2ef（x0），即证，即证，即证，即证，令x1＞x2，再令，即证，令，则，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）＝0，即，即得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy下，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1在变换T：的作用下变成曲线C2．（1）求曲线C2的普通方程；（2）若m＞1，求曲线C2与曲线C3：y＝m|x|﹣m的公共点的个数．【分析】（1）因为曲线C1的参数方程为利用平方关系可得曲线C1的普通方程．将变换T：，即代入x2+y2＝1，可得曲线C2的普通方程．（2）因为m＞1，所以C3上的点A（0，﹣m）在椭圆E：外．当x＞0时，曲线E的方程化为y＝mx﹣m，代入，得（4m2+1）x2﹣8m2x+4（m2﹣1）＝0，由△＞0，可得方程有两个不相等的实根x1，x2，利用根与系数的关系即可判断出结论．又因为曲线C2与曲线C3都关于y轴对称，所以当x＜0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点．解：（1）因为曲线C1的参数方程为所以曲线C1的普通方程为x2+y2＝1，将变换T：即代入x2+y2＝1，得，所以曲线C2的普通方程为．（2）因为m＞1，所以C3上的点A（0，﹣m）在椭圆E：外．当x＞0时，曲线E的方程化为y＝mx﹣m，代入，得（4m2+1）x2﹣8m2x+4（m2﹣1）＝0，（*）因为△＝64m4﹣4（4m2+1）•4（m2﹣1）＝16（3m2+1）＞0，所以方程（*）有两个不相等的实根x1，x2，又，，所以x1＞0，x2＞0，所以当x＞0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点，又因为曲线C2与曲线C3都关于y轴对称，所以当x＜0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点，综上，曲线C2与曲线C3：y＝m|x|﹣m的公共点的个数为4．[选修：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|3x+1|﹣m．（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若当x≠时，不等式f（x）+＞0恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）m＝5时f（x）＞0等价于|x﹣2|+|3x+1|﹣5＞0，利用分段讨论法去掉绝对值，解不等式即可；（2）利用分离常数法得出，构造函数，求出[g（x）]min即可得出结论．解：（1）当m＝5时，f（x）＞0等价于|x﹣2|+|3x+1|﹣5＞0，等价于或或等价于或或等价于x＜﹣1或1＜x＜2或x≥2，等价于x＜﹣1或x＞1，所以不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}．（2）由条件，当时，不等式，即恒成立，令，则因为＝，且，所以[g（x）]min＝8，所以m＜8，即实数m的取值范围是（﹣∞，8）．。

福建省厦门双十中学2019届高三数学模拟试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分），则（已知集合）， 1. D.A.C.B.【答案】C【解析】【分析】，由补集的定义可得，根据交集的定义可得结果. 由一元二次不等式的解法化简集合，【详解】由题意知，或可得，因为集合，C..所以故选【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键且不属于集合的元素的是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合集合.是的（） 2.是纯虚数，条件设，则是虚数单位，条件复数B. A. 充分不必要条件必要不充分条件D. C. 充分必要条件既不充分也不必要条件A 【答案】【解析】【分析】.是纯虚数，必有复数利用充分条件与必要条件的定义可得结果【详解】若复数能推出是纯虚数，必有；所以由不能推出.，所以由 ,但若. 不能推出复数是纯虚数是充分不必要条件,故选因此A.【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断和结论充要条件应注意：首先弄清条件分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还- 1 -可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.在区间上是增函数，则（ 3.，函数设）B. A.D.C.C 【答案】【解析】【分析】.利用二次函数的性质，配方后可得，由函数的单调性可得结果，【详解】因为函数上是增函数，在区间 C. 所以. 故选【点睛】本题主要考查二次函数的性质、函数单调性的应用，属于简单题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．函数的部分图象可能是（） 4.B. A.D. C.【答案】C【解析】- 2 -【分析】，由特殊点排除，从而可得结果由奇偶性排除.，【详解】因为所以是偶函数，图象关于轴对称，；可排除选项 C.，则，可排除取，故选【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.的图象如图所示，则定积分（二次函数）5.B. C. 2 D. 3A.B 【答案】【解析】【分析】，方程的根为1，2的零点为1，2，由由图象可知，二次函数的值，利用微积分基本定理可得结果.韦达定理求出【详解】由图象可知，二次函数的零点为1，2- 3 -，，2即方程的根为1.由韦达定理可得B.故选【点睛】本题考查二次函数的图象与性质以及方程的根与函数零点的关系，微积分基本定理. 的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于简单题时，奇函数，且对任意的，都有6..已知当是定义在上）（，则的D. 1B.C. 0A.C 【答案】【解析】【分析】根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可=-f都有f（x+3），且对任意实数【详解】∵设f（x）是定义在R上的奇函数，x x），=f（-x）（的周期函数，x）是周期为3∴函数f（，时，∵当∴，=0 ）（=f（673×3+0）=f0）∴f（2019 =0，1=ff（2020）（673×3+1）=f（）.【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键．图象与函数的图象关于原点对称，则（）若函数7.A. B.C. D.D 【答案】【解析】- 4 -【分析】在函数的图象上，设的图象上任意一点，利用是函数可得函数. 的解析式【详解】设是函数的图象上任意一点，其关于原点对称的点是.在函数的图象上，因为点所以故选可得D.【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数图象的对称性，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积是8若抛物线，8.则此切线）方程是（A. B.C. D.B 【答案】【解析】【分析】利用导数求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程，求得切线与坐标轴的交点，利用三角形. 面积公式可得结果处的切线方程是，则得，.【详解】由抛物线在点.，则，则令令所以切线方程是B. 故选于是解得）求出（在点在处的导数，即1【点睛】求曲线切线方程的一般步骤是：处的切线与轴平行时，在在出的切线斜率（当曲线处导数不存在，切）由点斜式求得切线方程2（.）；线方程为，则其在设9.3，若函数在上的最大值是上的最小值是- 5 -（）D.B. 1A. 2 C. 0A 【答案】【解析】【分析】.设则，利用二次函数的性质求解即可设【详解】. 则；时，因为所以当A.当，即时，故选于是【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及二次函数在闭区间上的最值，属于中档题. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.，则的大小关系是（，10.设，），B. A.C. D.D 【答案】【解析】【分析】.的符号即可得结果利用作差法，分别判断与【详解】因为，所以可得，所以递减，因为所以 D.可得，故选- 6 -【点睛】本题的考点是比较法，考查了作差法比较大小，解题的关键是理解比较法的内涵，本题的难点是判断差的符号，一般采取把差变为几个因式的乘积或者化为完全平方式的形式，从而确定出差的符号.上单调递减，则实数的取值范围是（已知函数在）11.D.B.C.A.【答案】B【解析】【分析】上单调递减，等价于恒成立，，函数求出在.可得,从而可得结果由【详解】函数在恒成立，上单调递减，等价于因为,在,上恒成立 B.故选因此,.【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间确定函数的单调区间，上是单调性定义，或的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ②利用导数转化为不等式恒成立问题求参数范围，则其极大（12.是自然对数的底数）有极小值已知函数0 ）值是（A. 或B. 或或 D.C.或【答案】A【解析】【分析】求出，利用导数判断函数的单调性，由单调性可得极小值，利用极小值求得的值，从而可得函数的极大值..【详解】由题意知，- 7 -内单调因为在区间，所以函数和由得，递增，，在区间内单调递减. 的极小值为于是函数或即解得.极大值为当时，A.故选时，的极大值为.当的求导数确定函数的定义域；(3) 【点睛】解方程(2) 求函数极值的步骤：(1) ；如果左正右负在左右两侧值的符号，求出函数定义域内的所有根；(4)的根检查，那么在（左增右减）处取极小，那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增）. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值值.20.0分）二、填空题（本大题共4小题，共．，则”的逆否命题是13.，命题“若设__________【答案】若，则【解析】【分析】.直接利用逆否命题的定义求解即可【详解】因为逆否命题是将原命题的条件与结论否定后，再互换否定后的条件与结论，，则所以“若”的逆否命题是，.，则，“若，则”故答案为若要注意四种命题关系的相对性，一旦. 【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于基础题一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利. 用“原命题”与“逆否命题”同真假用小于号连接．，结果是__________和14.【答案】【解析】【分析】- 8 -.内单调递减，从而可得结果构造函数,在利用导数可证明【详解】构造函数因为，所以在内单调递减，内单增，在,又因为..所以故答案为利用【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.的范围，可得函数，在定义域内，分别令导数求单调区间的步骤：求出求得的范围，可得函数.增区间，求得的减区间的，其中若函数是自然对数的底数，则实数的值域是15. ．最小值是__________【答案】【解析】【分析】域是导利用数可求得当的数值函；时函时，数的值域是当，. ，进而可得结果，从而可得.在上递增，值域是【详解】当时，此时函数是减函数，其值域是.当时，，因为函数的值域是.所以.于是故答案为解得.，即实数的最小值是【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与应用，以及利用导数求函数的最值与转化与划归思想的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，- 9 -属于中档题.在上的零点有__________个16..函数5 【答案】【解析】【分析】，增在上令可得上在递减，递在，其中令 ,可得为，递减，且因上在上的图象与函数上有两个零点在, ,而的图象有3个交点，从而可得结果.得，. 【详解】由在上单减，.则令. 在上单增，其中令 ,，则，所以存在唯一的上单减，且在，又因为因此函数在,使得上单减 ,上单增，在而上有两个零点,所以上的图象与函数在在 ,在个交点3 的图象有上的零点有函数5个，故正确答.5.案是函数的性质. 【点睛】本题主要考查函数的零点以及导数在研究函数性质的应用，属于难题问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的根方程函数函数的零点在轴的交点的交点与.- 10 -三、解答题（本大题共6小题，共70.0分），其中已知关于.17.的函数的实数（Ⅰ）当的取值范围；时，求满足的上方，求的整数值的图象总在直线.时，函数（Ⅱ）若当.；【答案】（Ⅱ）（Ⅰ）【解析】【分析】（Ⅱ） , （Ⅰ）当即时，从而可得结果； ,等价于在上恒成立 .上恒成立在,上为单增函数，可得由－在，结合为整数，从而可. 得结果,（Ⅰ）当时，【详解】的取值范围是即故实数上恒成立（Ⅱ）,在上恒成立. 在即上均为单减函数，因为函数在.上为单增函数，最大值为所以－在.的整数值是解得故实数因此.或即可)恒成立【点睛】不等式恒成立问题常见方法：(①分离参数图象在上方即可恒成立（) 即可）；②数形结合(；③讨论最值.或恒成立；④讨论参数内单调递减的充要条件是.18.设:，证明函数在区间【答案】见解析【解析】分析】利用一次函数的单调性证明；充分性：两种情况，，判断二次函数的对称轴位置，- 11 -内单减，时，在利用二次函数的单调性证明即可；必要性：当.内单增，不满足在内单减，结合充分性的证明过程可得结果在. 【详解】先证充分性，则或若）当1在内单减. （时，）当（，时，内单减，在 2所以内单减.时，. 在内单减在因此. 再证必要性在区间若函数内单调递减，上面已证. 三类讨论时，.分在、和内单减在内单减，时，内单减在.当内单增，不满足在因此函数内单调递减，则.在区间在区间综上可知，函数内单调递减的充要条件是【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，以及二次函数的单调性与分类讨论思想的应用，分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要. 属于中档题运用.的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度充分利用分类讨论思想方这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.. 法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中的19.已知函数的定义城为”；命题“，设命题“”.值域为为真，求实数的取值范围；（Ⅰ）若命题.为真命题，且（Ⅱ）若命题为假命题，求实数的取值范围（Ⅱ）；【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】（Ⅱ）命，解得或（Ⅰ）命题为真，等价于；或- 12 -为真命题，等价于，或由解得题为真，真分别列不等式组，分假以及一真一假，分两种情况讨论，对于假为假命题，可得真. 的取值范围别解不等式组，然后求并集即可求得实数，【详解】的定义域是（Ⅰ）命题为真，即恒成立，等价于等价于或. 解得的取值范围为或．故实数为真，即（Ⅱ）命题，的值域是等价于取遍所有的正数，即值域为，等价于．或解得假为真命题，且若假”或“为假命题，则“真”，真.，解得或即或故实数的取值范围是【点睛】本题考查函数的定义域、值域二次函数的图象与性质以及逻辑联接词的应用，属于，只）根式型，.求参数的题型，主要有三种：对于定义域为（1简答题）分式型，（3（需；2，只需）对数型，，.，只需时等号20.设，当且仅当是自然对数的底数，我们常常称恒成立不等式（. 为“灵魂不等式”，它在处理函数与导数问题中常常发挥重要作用成立) ）试证明这个不等式；（1.，若内恒成立，求实数在（2的值）设函数. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】因此内单增，（Ⅰ）令则可得在内单减，在- 13 -由灵魂不等式定义可得，.，从而可得结果；（Ⅱ）时，当由灵魂不等式得，.，当，因此.时，可得，从而可. 得结果【详解】令内单增，显然则（Ⅰ）在在内单减，.于是因此，即，当且仅当时等号成立,时，等号成立. 当（Ⅱ）就是得，.. .时，当因此由灵魂不等式得，.由灵魂不等式因此当.时，..的值是综上可知，实数【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的. 不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明现准备制定.万元100021.某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元的收益的增加而增加，且奖):)万元随收益(单位一个对开发科研小组的奖励方案:单位奖金(:万元.9万元，同时奖金总数不超过收益的金总数不超过，试确定这个函数的定义域、值域和（Ⅰ）若建立奖励方案函数模型的范围；试分析这两个函数模型是否符合现有两个奖励函数模型:①.；②（Ⅱ）. 请说明理由公司的要求?.；【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）函数符合公司要求【解析】【分析】；，，（Ⅰ）根据自变量的实际意义可得值域是在时，当 .不符合要求的最大值是当（Ⅱ）时，，.，符合题意定义域上为增函数，最大值为9，构造函数，利用导数可证明- 14 -，.【详解】，值域是（Ⅰ）的最大值是，（Ⅱ）当不符合要求时，.当时，在定义域上为增函数，最大值为9.，则令故函数符合公司要求.即.所以【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及导数的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.函数.22.在区间上在点（Ⅰ）当曲线垂直时，判断函数处的切线与直线的单调性；.在定义域内有两个零点，求（Ⅱ）若函数的取值范围（Ⅱ）【答案】（Ⅰ）见解析；.【解析】【分析】增区间，求得解得由，的范围，令可得函数，（Ⅰ）（Ⅱ）函数的范围，可得函数在内有两个零点，的减区间；求得恰有两个不于等价方程相等的正实根，令不合题意；当，分两种情况讨论，时，利用导数研究函数的单调性以及函数的最值，结合零点存在定理，列不等式求解即可.的定义域为.【详解】（Ⅰ）由题意知，函数- 15 -，，解得，.恒成立，. ，则当时，.故函数上单调递增在区间的定义域为在.内有两个零点，即方程若函数（Ⅱ）函数恰有两个不相等的正实根，恰有两个不相等的正实根.也就是方程.令，．＞0当时，恒成立，函数上是增函数，在. 最多一个零点，不合题意，舍去∴函数.；由得时，由得当.单调递减，在所以函数在内单调递增，，即最小值是所以. ，，解得的内有一个零点所以在因为.，所以因为..所以在内有一个零点于是.的取值范围是故实数a【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、零点甚至数列与函数单调性有机结合，设计- 16 -综合题.- 17 -。

2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别为OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则复数z 1+2z 2=( )A. −2+iB. −2+3iC. 1+2iD. −12. 设集合A ={x|−1≤x ≤3}，B ={x|0<x <4}，则A ∪B =( )A. [−1,4)B. [−1,3)C. (0,3]D. (0,3)3. 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是( )A. 2至3月份的收入的变化量与11至12月份的收入的变化量相同B. 支出最高值与支出最低值的比是6：1C. 第三季度平均收入为50万元D. 利润最高的月份是2月份4. 执行如图所示的程序框图，程序所输出的结果是( )A. 4B. 10C. 46D. 225. 射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0,I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( )(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.6931，结果精确到0.001)A. 0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.1166. 在△ABC 中，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 为AC 的中点，则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知函数y =f(|x |)的图象如图所示，则函数y =f(x)的图象不可能是( )A.B.C.D.8. 双曲线C:x 24−y 22=1 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO|=|PF|，则△PFO 的面积为( )A. 3√24B. 3√22C. 2√2D. 3√29. 已知a ，b ∈R ，则“b ≥0”是“(a +1)2+b ≥0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为()A. x=kπ2−π6(k∈Z) B. x=kπ2+π6(k∈Z)C. x=kπ2−π12(k∈Z) D. x=kπ2+π12(k∈Z)11.已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若l⊥m，l⊥n，且，则l⊥α．B. 若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//βC. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m//n，n⊥α，则m⊥α12.已知函数f(x)={(x−2)(x−e x)+3,x≥ln23−2x,x<ln2，当x∈[m,+∞)时，f(x)的取值范围为(−∞,e+2]，则实数m的取值范围是()A. (−∞,1−e2] B. (−∞,1] C. [1−e2,1] D. [ln2,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=12x+1，则f′(1)=______ ．14.若过点(−1,−2)的直线l被圆x2+y2−2x−2y+1=0截得的弦长为√2，则直线l的斜率为________．15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______．16.已知△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，若1+tanAtanB =2cb，则a2bc的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}为等差数列，且a2=3，{a n}的前4项和为16，数列{b n}满足b1=4，b4=88，且数列{b n−a n}为等比数列．(1)求数列{a n}和{b n−a n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和S n．18.为检测某种零件的生产质量，检验人员抽取了同批次的零件作为样本进行检测并评分，若检测后评分结果大于60分的零件为合格零件．(1)已知200个合格零件评分结果的频率分布直方图如图所示，请根据此频率分布直方图，估计这200个零件评分结果的平均数和中位数；(2)现有7个零件的评分结果为(单位：分)：63，73，75，76，78，85，91，若从评分结果在(60,80]内的所有零件中随机抽取3个，求恰有2个零件的评分结果在(70,80]内的概率．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，棱PA⊥底面ABCD，且AB⊥BC，AD//BC，PA=AB=BC=2AD=2，E是PC的中点．(1)求证：ED//平面PAB；(2)求三棱锥A−PDE的体积．20. 如图，已知定点D(1,0)，点P 是圆C ：(x +1)2+y 2=16上任意一点，线段PD 的垂直平分线与半径CP 相交于点M ．(I)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程；(II)过定点Q(0,1)且斜率为k 的直线l 与M 的轨迹交于A 、B 两点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，求点O 到的直线l 的距离．21.已知函数f(x)=lnx，g(x)=ax2+(2a+1)x，μ(x)=f(x)+g(x)．(1)讨论μ(x)的单调性；(2)当a<0时，证明4aμ(x)+8a+3≥0．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−t2y=t1−t2(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=|4−2x|+|x+1|．(1)解不等式f(x)≥9；(2)若14a +1b=f(2)3(a>0,b>0)，求证：a+4b≥254．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵z1=−2−i，z2=i，∴z1=−2+i．则复数z1+2z2=−2+i+2i=−2+3i．故选：B．由z1，z2求出z1然后代入复数z1+2z2计算得答案．本题考查了复数代数形式的加减运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：A解析：解：∵集合A={x|−1≤x≤3}，B={x|0<x<4}，∴A∪B={x|−1≤x<4}=[−1,4)．故选：A．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题．通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．解：A，2至3月份的收入的变化量为80−60=20，11至12月份的变化量为70−50=20，故相同，故A正确．B，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，故B正确．C，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入=50万元，故C正确．为40+50+603D，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80−60=20万元，故D。

福建省厦门市2019-2020学年高考数学一模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知集合，，则________．2. （1分）(2019·浦东模拟) 已知复数z满足 (i为虚数单位)，则z的模为________．3. （1分）(2017·南开模拟) 某人5次下班途中所花的时间（单位：分钟）分别为m，n，5，6，4．已知这组数据的平均数为5，方差为2，则|m﹣n|的值为________．4. （1分）(2017·江苏) 如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是________．5. （1分）(2017·淮安模拟) 从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为________．6. （1分）(2017·南充模拟) 满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积为________．7. （1分） (2018高二下·海安月考) 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为________．8. （1分） (2016高二上·浦东期中) Sn是数列{an}的前n项和，若a4=7，an=an﹣1+2（n≥2，n∈N*），则S8=________．9. （1分）已知函数f（x）= sin(2x+)，有下列四个结论：①函数f（x）在区间[﹣，]上是增函数：②点（， 0）是函数f（x）图象的一个对称中心；③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；④若x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[0，]．则所有正确结论的序号是________ ．10. （1分） (2018高二下·哈尔滨月考) 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E ， F分别为线段AA1 ，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．11. （1分） (2016高一下·盐城期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5，A、B 是圆C上的两个动点，AB=2，则的取值范围为________．12. （2分） (2017高一下·西城期末) 在数列{an}中，a3=12，a11=﹣5，且任意连续三项的和均为11，则a2017=________；设Sn是数列{an}的前n项和，则使得Sn≤100成立的最大整数n=________．13. （1分）对正整数n，设曲线y＝(2－x)xn在x＝3处的切线与y轴交点的纵坐标为an ，则数列在前n项和等于________．14. （1分） (2020高三上·浦东期末) 在△ 中，边、、满足，，则边的最小值为________二、解答题 (共12题；共115分)15. （10分） (2018高二下·重庆期中) 如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，点为线段上异于的点，连接，并延长和交于点，连接.（1）求证：面面；（2）若三棱锥的体积为2，求的长度.16. （10分） (2018高一下·黑龙江期末) 设的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的面积．17. （10分）(2017·广东模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1 ， F2 ，设点F1 ， F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A，B，P为椭圆C上三点，满足 = + ，记线段AB中点Q的轨迹为E，若直线l：y=x+1与轨迹E交于M，N两点，求|MN|．18. （10分）(2017·福州模拟) O为坐标原点，直线l与圆x2+y2=2相切．（1）若直线l分别与x、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及面积取得最小值时的直线l的方程．（2）设直线l交椭圆 =1于P、Q两点，M为PQ的中点，求|OM|的取值范围．19. （10分） (2017高二下·榆社期中) 已知函数f（x）=ex﹣1+ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立，求a的取值范围．20. （10分） (2019高二上·辽宁月考) 已知等比数列中，，且，公比．（1）求；（2）设，求数列的前项和．21. （5分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．22. （10分）(2014·福建理) 已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．23. （10分）(2017·蔡甸模拟) 在直角坐标系中，圆C1：x2+y2=1经过伸缩变换后得到曲线C2以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=（1）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2）在C2上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．24. （10分） (2016高一下·和平期末) 已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：（1） xy的最小值；（2） x+y的最小值．25. （10分）(2018·鞍山模拟) 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式 (为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .26. （10分） (2018高二下·海安月考) 设，，其中．（1）当时，求的值；（2）对，证明：恒为定值．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共12题；共115分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、26-1、26-2、。

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．134 B．67 C．182 D．1082．要得到函数32sin2y x x=-的图像，只需把函数sin232y x x=的图像（）A．向左平移2π个单位B．向左平移712π个单位C．向右平移12π个单位D．向右平移3π个单位3．设a，b，c分别是ABC∆中A∠，B，C∠所对边的边长，则直线sin0A x ay c⋅--=与sin sin0bx B y C+⋅+=的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直4．设2log3a=，4log6b=，0.15c-=，则（）A．a b c>>B．b a c>>C．c a b>>D．c b a>>5．已知变量x，y满足不等式组21x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y-的最小值为（）A．4-B．2-C．0D．46．已知m∈R，复数113z i=+，22z m i=+，且12z z⋅为实数，则m=（）A．23-B．23C．3 D．-37．已知符号函数sgnx100010xxx⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]＝sgn x B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC ．sgn[g （x ）]＝sgn[f （x ）]D ．sgn[g （x ）]＝﹣sgn[f （x ）]8．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 9．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<10．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2B ．3C ．-2D ．-312．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B 5C 6D 7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．若复数z1，z2在复平面内对应点的坐标分别为（2，1），（0，﹣1），则z1•z2＝（）A．2+i B．1﹣2i C．﹣1﹣2i D．﹣i2．已知集合A＝{x|x2＞0}，B＝{y|y＞1}，则A∪B＝（）A．R B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）3．某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图，下列说法中错误的是（）A．8月份的利润最低B．7至9月份的平均收入为50万元C．2至5月份的利润连续下降D．1至2月份支出的变化量与10至11月份支出的变化量相同4．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A ．输出1+3+5+…+2019的值B ．输出1+3+5+…+2021的值C ．输出1+2+3+…+2019的值D ．输出1+2+3+…+2020的值5．射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.6931，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.1166．在△ABC 中，点D 满足BD →=12CD →，则AD →=（ ）A ．2AB →−AC →B ．−AB →+2AC →C ．12AB →+12AC →D ．23AB →+13AC →7．已知函数y ＝sin ax +b （a ＞0）的图象如图所示，则函数y ＝a x +b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．双曲线C ：x 2−y 23=1的右焦点为F ，点P 在第一象限的渐近线上，O 为坐标原点，且|OP |＝|OF |，则△OPF 外接圆的面积是（ ） A ．πB ．4π3C ．2πD ．163π9．已知a ＞0，b ＞0，则“a +b ≥4”是“ab ≥4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．函数f （x ）＝2sin 2ωx +sin2ωx ﹣1的图象向左平移π4个单位长度后，与原图象有相同的对称轴，则正实数ω的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．611．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED ⊥AC 于D ．把△ADE 沿DE 翻折至△A 1DE 的位置，连结A 1C ．翻折过程中，有下列三个结论： ①DE ⊥A 1C ；②存在某个位置，使A 1E ⊥BE ； ③若CF →=2FA 1→，则BF 的长是定值． 其中所有正确结论的编号是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③12．若函数f（x）={ln(x+1)−ax−2，x＞0x+1x+a，x＜0的最大值为f（﹣1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣﹣∞，e]B．(0，1e]C．[1e，+∞)D．[e，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y＝3x的图象在x＝0处的切线方程为．14．过点(1，√3)的直线l被圆x2+y2＝8截得的弦长为4，则l的方程为．15．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B+2b cos A＝0，则tanAtanB=，tan C的最大值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{a n}的公差为﹣1，数列{b n}满足b1＝2，b2＝4，b n+1＝2b n+a n．（1）证明：数列{b n﹣n}是等比数列；（2）记数列{b n}的前n项和为S n，求使得S n＞2020的最小正整数n的值．18．为了检测生产线上某种零件的质量，从产品中随机抽取100个零件，测量其尺寸，得到如图所示的频率分布直方图．若零件尺寸落在区间（x−2s，x+2s）内，则认为该零件合格，否则认为不合格．其中x，s分别表示样本的平均值和标准差，计算得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）已知一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否合格；（2）利用分层抽样的方法从尺寸在[30，60）的样本中抽取6个零件，再从这6个零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm的概率．19．如图，在五面体ABCDEF中，AB⊥平面ADE，EF⊥平面ADE，AB＝CD＝2．（1）求证：AB∥CD；（2）若AD＝AE＝2，且二面角E﹣DC﹣A的大小为60°，求四棱锥F﹣ABCD的体积．20．设O为坐标原点，动点M在圆C：x2+y2＝4上，过M作x轴的垂线，垂足为D，点E满足ED→=√32MD →．（I）求点E的轨迹Γ的方程；（2）直线x＝4上的点P满足OM⊥MP．过点M作直线l垂直于线段OP交C于点N．（i）证明：l恒过定点；（ⅱ）设线段OP交Γ于点Q，求四边形OMQN的面积．21．已知函数f(x)=lnx−1+ax(a∈R)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当n∈N*时，证明：ln2(1+1)+ln2(1+12)+⋯+ln2(1+1n)＞n2n+4．（二）考题：共10分请考生在第223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的方程为y=k(x−√3)，直线l2的参数方程为{x=−√3+ty=−1k t（t为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）求C的普通方程；（2）过Q（0，2）的直线l与C相交于A，B两点，求1|QA|+1|QB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x+32|−|x−3|．（1）解不等式f(x)≥1 2；（2）若1m +4n=2(m，n＞0)，求证：f（x）≤m+n．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z1，z2在复平面内对应点的坐标分别为（2，1），（0，﹣1），则z1•z2＝（）A．2+i B．1﹣2i C．﹣1﹣2i D．﹣i【分析】由已知求出复数z1＝2+i，z2＝﹣i，相乘即可．解：由已知：复数z1＝2+i，z2＝﹣i，所以z1•z2＝（2+i）（﹣i）＝1﹣2i．故选：B．2．已知集合A＝{x|x2＞0}，B＝{y|y＞1}，则A∪B＝（）A．R B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．解：∵集合A＝{x|x2＞0}＝{x|x＞0或x＜0}，B＝{y|y＞1}，∴A∪B＝{x|x＞0或x＜0}＝（﹣∞，0）∪（0，+∞）．故选：D．3．某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图，下列说法中错误的是（）A ．8月份的利润最低B ．7至9月份的平均收入为50万元C ．2至5月份的利润连续下降D ．1至2月份支出的变化量与10至11月份支出的变化量相同【分析】根据一年中各月份收入、支出的统计数据，逐个分析选项，即可判断出正误． 解：对于选项A ：利润＝收入﹣支出，从折线图可知8月份利润为10万元，最低，故选项A 正确；对于选项B ：7至9月份的平均收入为40+50+603=50，故选项B 正确；对于选项C ：2月份的利润为20万元，3月份的利润为30万元，4月份的利润为20万元，5月份的利润为20万元，不是连续下降，故选项C 错误；对于选项D ：1至2月份支出的变化量为60﹣30＝30，10至11月份支出的变化率为50﹣20＝30，变化量相同，故选项D 正确， 故选：C ．4．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）A．输出1+3+5+…+2019的值B．输出1+3+5+…+2021的值C．输出1+2+3+…+2019的值D．输出1+2+3+…+2020的值【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1执行循环体，S＝1，i＝3满足判断框内的条件i＜2020，执行循环体，S＝1+3，i＝5满足判断框内的条件i＜2020，执行循环体，S＝1+3+5，i＝7…以此类推，S＝1+3+5+…+2019，i＝2021此时，不满足判断框内的条件i＜2020，退出循环，输出S＝1+3+5+ (2019)故选：A．5．射线测厚技术原理公式为I=I0e−ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.6931，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.116【分析】由题意可得12=1×e ﹣7.6×0.8μ，两边取自然对数，则答案可求．解：由题意可得，12=1×e ﹣7.6×0.8μ，∴﹣ln 2＝﹣7.6×0.8μ， 即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114． ∴这种射线的吸收系数为0.114． 故选：C ．6．在△ABC 中，点D 满足BD →=12CD →，则AD →=（ ）A ．2AB →−AC →B ．−AB →+2AC →C ．12AB →+12AC →D ．23AB →+13AC →【分析】根据题意，BD →=12CD →，B 、C 、D 三点共线，根据平面向量基本定理，可得AB →=12AD →+12AC →，所以AD →=2AB →−AC →． 解：由题，BD →=12CD →，∴B 、C 、D 三点共线． ∴B 是CD 的中点，∴AB →=12AD →+12AC →，∴AD →=2AB →−AC →．故选：A．7．已知函数y＝sin ax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y＝a x+b的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可求得b=−12，a可取12，则y=a x+b=(12)x−12，观察选项即可得出答案．解：由函数y＝sin ax+b（a＞0）的图象可知，b=−12，且sinaπ−12=12，则a可取12，则此时y=a x+b=(12)x−12，其图象相当于函数y=(12)x的图象向右平移12个单位，选项D符合．故选：D．8．双曲线C：x2−y23=1的右焦点为F，点P在第一象限的渐近线上，O为坐标原点，且|OP|＝|OF|，则△OPF外接圆的面积是（）A．πB．4π3C．2πD．163π【分析】利用已知条件求出PF，然后求解三角形的外接圆的半径，然后求解圆的面积．解：双曲线C：x2−y23=1的右焦点为F（2，0），点P在第一象限的渐近线上，O为坐标原点，且|OP|＝|OF|＝2，渐近线y=±√3x，∠POF=π3，所以|PF|＝2，三角形的外接圆的半径为R，2R=2sinπ3=4√33，所以R=2√33，则△OPF外接圆的面积是：π×(2√33)2=4π3．故选：B．9．已知a＞0，b＞0，则“a+b≥4”是“ab≥4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据a+b≥2√ab，及其已知条件即可判断出关系．解：∵a+b≥2√ab，∴若ab≥4，可得a+b≥4．反之不成立，例如：a＝1，b＝3，满足a+b≥4，但是ab＝3＜4．因此“a+b≥4”是“ab≥4”的必要不充分条件．故选：B．10．函数f（x）＝2sin2ωx+sin2ωx﹣1的图象向左平移π4个单位长度后，与原图象有相同的对称轴，则正实数ω的最小值是（）A．1B．2C．4D．6【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得正实数ω的最小值．解：因为f （x ）＝2sin 2ωx +sin2ωx ﹣1＝sin2ωx ﹣cos2ωx =√2sin （2ωx −π4） 将其图象向左平移π4个单位长度后，可得y =√2sin[2ω（x +π4）−π4]=√2sin （2ωx −π4+2ωπ4）的图象．由于所得的图象与原图象有相同的对称轴，∴2ωπ4=k π，k ∈Z ，即ω＝2k ，则正实数ω的最小值为2， 故选：B ．11．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED ⊥AC 于D ．把△ADE 沿DE 翻折至△A 1DE 的位置，连结A 1C ．翻折过程中，有下列三个结论： ①DE ⊥A 1C ；②存在某个位置，使A 1E ⊥BE ； ③若CF →=2FA 1→，则BF 的长是定值． 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【分析】①因为ED ⊥AC ，所以ED ⊥CD ，ED ⊥A 1D ，由线面垂直的判定定理可知，ED ⊥平面A 1CD ，所以ED ⊥A 1C ；②设A1在平面BCD上的投影为点P，则点P落在线段AC上，若A1E⊥BE，由三垂线定理知，PE⊥BE，此时点P与点C重合，而A1在平面BCD上的投影点不可能与点C 重合；③在CD上取一点M，使得CM→=2MD→，连接BM，易得BM⊥AC，BM=2√3，A1D＝AD＝1，MF=23A1D=23，因为ED⊥AC，所以BM∥DE，结合①中的ED⊥平面A1CD，可得BM⊥平面A1CD，所以BM⊥MF，即△BMF为直角三角形，再在Rt△BMF中，由勾股定理，有BF=√BM2+MF2=√(2√3)2+(23)2=4√73．解：①∵ED⊥AC，∴ED⊥CD，ED⊥A1D，又CD∩A1D＝D，CD、A1D⊂平面A1CD，∴ED⊥平面A1CD，∵A1C⊂平面A1CD，∴ED⊥A1C，即①正确；②设A1在平面BCD上的投影为点P，则点P落在线段AC上，若A1E⊥BE，由三垂线定理知，PE⊥BE，此时点P与点C重合，而A1在平面BCD上的投影点不可能与点C重合，即②错误；③如图所示，在CD上取一点M，使得CM→=2MD→，连接BM，设MD＝x，则CM＝2x，∴AC＝CM+MD+AD＝3x+1＝4，∴x＝1，CM＝2，即M为AC 的中点，∴BM⊥AC，且BM=2√3，∵ED⊥AC，∴BM∥DE，由①可知，ED⊥平面A1CD，∴BM⊥平面A1CD，∵MF ⊂平面A 1CD ，∴BM ⊥MF ，即△BMF 为直角三角形，∵E 为边AB 的中点，且ED ⊥AC ，∴AE ＝2，A 1D ＝AD ＝AE •cos60°＝1， ∵CF →=2FA 1→，∴MF ∥A 1D ，且MF =23A 1D =23，在Rt △BMF 中，BF =√BM 2+MF 2=√(2√3)2+(23)2=4√73，为定值，即③正确． 故选：B ．12．若函数f （x ）={ln(x +1)−ax −2，x ＞0x +1x+a ，x ＜0的最大值为f （﹣1），则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣﹣∞，e ]B ．(0，1e]C ．[1e，+∞)D ．[e ，+∞）【分析】由基本不等式求得x ＜0时，f （x ）的值域，由题意可得x ＞0时，f （x ）的值域应该包含在x ＜0时的值域内，讨论a ＞1，a ＝1，0＜a ＜1时，x ＞0的值域，注意运用导数判断单调性和极值、最值．解：当x ＜0时，f （x ）＝x +1x+a ＝﹣（﹣x +1−x ）+a ≤﹣2√−x ⋅1−x+a ＝a ﹣2， 当且仅当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值f （﹣1）＝a ﹣2，由题意可得x ＞0时，f （x ）＝ln （x +1）﹣ax ﹣2的值域包含于（﹣∞，a ﹣2]，因为f ′（x ）=1x+1−a ，当a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）递增，f （x ）＞﹣2，不成立；当0＜a ＜1时，x ＞1a −1时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（1a−1，+∞）递减，0＜x ＜1a−1时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，1a−1）递增，可得f （x ）在x =1a−1处取得极大值，且为最大值﹣lna +a ﹣3， 则﹣lna +a ﹣3≤a ﹣2，解得1e≤a ＜1；若a ≥1，f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，+∞）递减，可得f （x ）＜f （0）＝﹣2≤a ﹣2，即a ≥1成立．综上可得，a 的范围是[1e，+∞）．故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y ＝3x 的图象在x ＝0处的切线方程为 y ＝（ln 3）x +1 ．【分析】先对函数求导数，然后求出切点处的导数值，函数值．最后利用点斜式求出切线方程．解：由已知得y ′＝3x ln 3． ∴y ′|x ＝0＝ln 3，y |x ＝0＝1， 故切线为：y ﹣1＝（ln 3）x ， 即y ＝（ln 3）x +1． 故答案为：y ＝（ln 3）x +1．14．过点(1，√3)的直线l 被圆x 2+y 2＝8截得的弦长为4，则l 的方程为 x +√3y −4=0 ． 【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合勾股定理可得圆心到直线的距离d ，分直线l 的斜率存在与否两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案． 解：根据题意，圆x 2+y 2＝8的圆心为（0，0），半径r ＝2√2，若直线直线l 被圆x 2+y 2＝8截得的弦长为4，则圆心到直线的距离d =√8−4=2， 若直线l 的斜率不存在，此时直线l 的方程为x ＝1，与圆不相切，舍去；若直线l 的斜率存在，设其斜率为k ，则直线l 的方程为y −√3=k （x ﹣1），即kx ﹣y +√3−k ＝0，圆心到直线的距离d ＝2，则有√3−k|√1+k 2=2，变形可得：4+4k 2＝k 2﹣2√3k +3，即（√3k +1）2＝0，解可得k =−√33，则直线l 的方程为y −√3=−√33（x ﹣1），即x +√3y ﹣4＝0；故答案为：x +√3y ﹣4＝0．15．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为 20π+6 ．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个半径为3，高为3的半圆柱切去一个半径为2，高为3的半圆柱构成的几何体． 如图所示：故几何体的表面积为：S =12×2×π×3×3+12×2×π×2×3+2×3×1+12×(π×32−π×22)×2＝20π+6． 故答案为：20π+616．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B +2b cos A ＝0，则tanA tanB= ﹣2 ，tan C 的最大值是 √24．【分析】由已知结合正弦定理及同角基本关系即可求解；然后利用同角基本关系进行化简可得tan C =tanB1+2tan 2B，然后结合基本不等式即可求解．解：因为a cos B +2b cos A ＝0，由正弦定理可得，sin A cos B +2sin B cos A ＝0，则tanA tanB=sinAcosB sinBcosA=−2，所以tan A ＝﹣2tan B ，∴tan C ＝﹣tan （A +B ）=tanA+tanBtanAtanB−1=tanB1+2tan 2B，故tan C ，tan B 同号，即B 为锐角， tan C ＝﹣tan （A +B ）=tanA+tanBtanAtanB−1=tanB 1+2tan 2B =12tanB+1tanB≤122=√24， 当且仅当2tan B =1tanB 即tan B =√22时取等号， 故答案为：﹣2，√24．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{a n }的公差为﹣1，数列{b n }满足b 1＝2，b 2＝4，b n +1＝2b n +a n ． （1）证明：数列{b n ﹣n }是等比数列；（2）记数列{b n }的前n 项和为S n ，求使得S n ＞2020的最小正整数n 的值． 【分析】（1）先由题设条件解出a n ，再推证出b n+1−(n+1)b n −n=2，又b 1﹣1＝1，即可证明结论；（2）先由（1）得到b n＝n+2n﹣1，再利用分组求和求出S n，再根据其单调性求出满足条件的n．解：（1）证明：∵b n+1＝2b n+a n，∴当n＝1时，b2＝2b1+a1＝4，即4＝4+a1，∴a1＝0，又∵{a n}的公差为﹣1，∴a n＝0﹣（n﹣1）＝1﹣n，∵b n+1＝2b n+a n，∴b n+1＝2b n﹣n+1．∴b n+1−(n+1)b n−n=2(b n−n)b n−n=2，又b1﹣1＝2﹣1＝1，∴{b n﹣n}是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知b n﹣n＝2n﹣1，∴b n＝n+2n﹣1，∴S n＝（1+2+…+n）+（1+2+22+…+2n﹣1）=n(n+1)2+1−2n1−2=n(n+1)2+2n−1，∵S10＝1078＜2020，S11＝2113＞2020，{S n}为递增数列，∴使得S n＞2020的最小正整数n的值为11．18．为了检测生产线上某种零件的质量，从产品中随机抽取100个零件，测量其尺寸，得到如图所示的频率分布直方图．若零件尺寸落在区间（x−2s，x+2s）内，则认为该零件合格，否则认为不合格．其中x，s分别表示样本的平均值和标准差，计算得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）已知一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否合格；（2）利用分层抽样的方法从尺寸在[30，60）的样本中抽取6个零件，再从这6个零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm的概率．【分析】（1）求出各组的频率，从而求出平均数，从而得到x−2s=66.5−30=36.5，x+2s=66.5+30=96.5，由100＞96.5，各该零件不合格．（2）由分层抽样方法求出前三组抽取的零件个数分别为1，2，3，从而抽取出的6个零件中尺寸小于50cm的有3个．记这6个零件编号为：a，b，c，A，B，C（其中a，b，c为尺寸小于50cm的），记事件D为：“选出的2个宝件中恰有1个尺寸小于50cm，从这6个零件中随机抽取2个的基本事件有15个．事件D包含的基本事件有9个，由此能求出这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm的概率．解：（1）记各组的频率为p i（i＝1.2，…，7）．依题意得p1＝0.05，p2＝0.1，p3＝0.15，p4＝0.3，p5＝0.2，p6＝0.15，P7＝0.05∴x=35×0.05+45×0.1+55×0.15+65×0.3+75×0.2+85×0.15+ 95×0.05=66.5∴x−2s=66.5−30=36.5，x+2s=66.5+30=96.5，而100＞96.5，故该零件不合格．（2）记前三组抽取的零件个数分别为x，y，z∴x0.05=y0.1=z0.15=60.3，∴x＝1，y＝2，z＝3∴抽取出的6个零件中尺寸小于50cm的有3个．记这6个零件编号为：a，b，c，A，B，C（其中a，b，c为尺寸小于50cm的）记事件D为：“选出的2个宝件中恰有1个尺寸小于50cm∴从这6个零件中随机抽取2个的基本事件有：{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，c}，{b，A}，{b ，B }，{b ，C }，{c ，A }，{c ，B }，{c ，C }，{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }共15个． 则事件D 包含的基本事件有：{a ，A }，{a ，B }，{a ，C }，{b ，A }，{b ，B }，{b ，C }，{c ，A }，{c ，B }，{c ，C }共9个， ∴P(D)=915=35， ∴这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm 的概率为35．19．如图，在五面体ABCDEF 中，AB ⊥平面ADE ，EF ⊥平面ADE ，AB ＝CD ＝2． （1）求证：AB ∥CD ；（2）若AD ＝AE ＝2，且二面角E ﹣DC ﹣A 的大小为60°，求四棱锥F ﹣ABCD 的体积．【分析】（1）推导出AB ∥EF ，从而AB ∥面CDEF ，由此能证明AB ∥CD ． （2）取AD 中点O ，连接OE ，推导出AB ⊥DA ，AB ⊥DE ．CD ⊥DA ，CD ⊥DE ．从而二面角A ﹣DC ﹣E 的平面角∠ADE ＝60°，△ADE 是边长为2的正三角形，推导出EO ⊥面ABCD ，即E 到面ABCD 的距离EO =√3．F 到面ABCD 的距离即为E 到面ABCD 的距离，由此能求出四棱锥F ﹣ABCD 的体积．解：（1）证明：∵AB ⊥面ADE ，EF ⊥面ADE ，∴AB ∥EF ， 又EF ⊂面CDEF ．AB ≠面CDEF ，∴AB ∥面CDEF 又AB ⊂面ABCD ，面ABCD ∩面CDEF ＝CD ， ∴AB ∥CD ．（2）解：取AD中点O，连接OE∵AB⊥面ADE，DA，DE⊂面ADE，∴AB⊥DA，AB⊥DE．∵AB∥CD，∴CD⊥DA，CD⊥DE．又DA⊂而ABCD，DE⊂面CDEF，且面ABCD∩面CDEF＝CD．∴二面角A﹣DC﹣E的平面角∠ADE＝60°，又△ADE中，AD＝AE＝2，∴△ADE是边长为2的正三角形，∴EO=√32AE=√3，EO⊥AD，∵AB⊥面ADE，∴AB⊥EO又AD∩AB＝A，∴EO⊥面ABCD，即E到面ABCD的距离EO=√3．∵EF∥AB，EF⊄面ABCD，AB⊂面ABCD，∴EF∥面ABCD．∴F到面ABCD的距离即为E到面ABCD的距离在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AB⊥DA，∴矩形ABCD的面积S＝2×2＝4，∴四棱锥F﹣ABCD的体积为V F−ABCD=13×S×EO=4√33．20．设O为坐标原点，动点M在圆C：x2+y2＝4上，过M作x轴的垂线，垂足为D，点E满足ED→=√32MD →．（I）求点E的轨迹Γ的方程；（2）直线x ＝4上的点P 满足OM ⊥MP ．过点M 作直线l 垂直于线段OP 交C 于点N ． （i ）证明：l 恒过定点；（ⅱ）设线段OP 交Γ于点Q ，求四边形OMQN 的面积．【分析】（1）设E （x ，y ），M （a ，b ），则D （a ，0），通过向量相等，结合点在圆上，求解轨迹方程即可．（2）（i ）设P （4，p ），M （a ，b ）．通过OM ⊥MP ，得到4a +pb ＝4，结合直线的垂直关系，推出直线系4x +py ＝4．得到结果．（ii ）法一：直线l 为4x +py ＝4，交圆C 于M ，N 两点，求出弦长|MN |，求出|OQ |然后求解四边形OMQN 的面积．法二：由（i ）可知直线l 恒过定点（1，0），设直线l ：x ＝ty +1交同C 于M ，N 两点，然后求解弦长|MN |，求出|OQ |然后求解四边形OMQN 的面积． 解：（1）设E （x ，y ），M （a ，b ），则D （a ，0），∵ED →=√32MD →，又ED →=(a −x ，−y)，MD →=(0，−b)，∴{x =a ，y =√32b又a 2+b 2＝4，∴x 2+4y 23=4，化简得点E 的轨迹Γ方程为x 24+x 23=1．（2）（i ）设P （4，p ），M （a ，b ）． ∵OM ⊥MP ，∴OM →⋅MP →=4a −a 2+pb −b 2=0， 又a 2+b 2＝4，∴4a +pb ＝4①又直线l过点M且垂直于线段OP，故设直线l方程y−b=−4p(x−a)化简得4x+py﹣bp﹣4a＝0，又由①式可得4x+py＝4．所以l恒过定点（1，0）．（ii）法一：直线l为4x+py＝4，交圆C于M，N两点，则圆心到直线的距离为d=√，∴弦长|MN|=2−d2=2√4−1616+p2=2√48+4p216+p2=4√12+p216+p2．又直线OP为y=p4 x．由得x Q2=4812+p2，故|OQ|=√1+p216⋅|x0|=√16+p24⋅4√3√=√3√16+p2√，∴S OMQN=12|OQ|⋅|MN|=2√3．即四边形OMQN的面积2√3．法二：由（i）可知直线l恒过定点（1，0），故设直线l：x＝ty+1交同C于M，N两点，圆心到直线的别离为d=√1+t，∴弦长MN=2√r2−d2=2√4−11+t2=2√3+4t21+t2．又直线OP：x=−1t y，由得y02=12t 23+4t2，故|OQ|=√1+1t2⋅|y0|=√1+t2|t|⋅√3|t|√3+4t=2√3√2√3+4t∴S OMQN=12|OQ|⋅|MN|=2√3．即四边形OMQN的面积2√3．21．已知函数f(x)=lnx−1+ax(a∈R)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当n∈一、选择题*时，证明：ln2(1+1)+ln2(1+12)+⋯+ln2(1+1n)＞n2n+4．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；（2）根据函数的单调性得到lnx−1+1x≥0，即lnx≥1−1x令x=1+1n，放缩不等式，累加即可．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）f′(x)=1x−ax2=x−ax2，①当a≤0时，f′(x)=x−ax2≥0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0时，由f′(x)=x−ax2＞0得x＞a，故f（x）在（a，+∞）上单调递增；由f′(x)=x−ax2＜0得x＜a，故f（x）在（0，a）上单调递减；（2）令a＝1，由（1）得：f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则lnx−1+1x≥0，即lnx≥1−1x令x=1+1n，则ln(1+1n)≥1−11+1n=1n+1，∴ln2(1+1n)≥1(n+1)2，1 (n+1)＞1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴ln2(1+1)+ln2(1+12)+⋯+ln2(1+1n)＞122+132+⋯+1(n+1)2＞12×3+13×4+⋯+1(n+1)×(n+2)=12−13+13−14+⋯+1(n+1)−1n+2=n2n+4．∴命题得证．（二）考题：共10分请考生在第223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的方程为y=k(x−√3)，直线l2的参数方程为{x=−√3+ty=−1k t（t为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）求C的普通方程；（2）过Q（0，2）的直线l与C相交于A，B两点，求1|QA|+1|QB|的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果． 解：（1）直线l 2的参数方程为{x =−√3+t y =−1kt（t 为参数），消去参数t 得y =−1k (x +√3)① 直线l 1的方程为y =k(x −√3)，②所以由①×②得，C 的普通方程x 2+y 2=3(x ≠±√3)．（2）过Q （0，2）的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =2+tsinα（t 为参数）．代入x 2+y 2＝3得t 2+4t sin α+1＝0，所以t 1+t 2＝﹣4sin a ，t 1•t 2＝1，由△＝16sin α2﹣4＞0得|sinα|＞12且sinα≠±2√77．所以1|Q|+1|QB|=|t 1+t 2|t 1⋅t 2=|−4sinα|∈(2，8√77)∪(8√77，4)． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x +32|−|x −3|．（1）解不等式f(x)≥12；（2）若1m+4n=2(m ，n ＞0)，求证：f （x ）≤m +n ．【分析】（1）根据f(x)≥12，结合条件利用零点分段法解不等式即可；（2）先利用绝对值三角不等式求出f （x ）的最大值，然后利用基本不等式求出m +n 的最小值，再比较两者的大小，从而证明f （x ）≤m +n 成立． 解：（1）原不等式可化为|x +32|−|x −3|≥12，当x ≤−32时，不等式化为−x −32+x −3≥12，无解；当−32＜x＜3时，不等式化为x+32+x−3≥12，解得x≥1，故1≤x＜3，当x≥3时，不等式化为x+32−x+3≥12，解得x∈R，故x≥3．综上，不等式的解集为{x|x≥1}．（2）∵f(x)=|x+32|−|x−3|，∴|x+32|−|x−3|≤|x+32−x⋅3|=92．当且仅当(x+32)(x−3)≥0，且|x+32|≥|x−3|时取等号．又1m +4n=2(m，n＞0)．∴m+n=12(1m+4n)(m+n)=12(1+n m+4m n+4)≥12(1+2√n m⋅4m n+4)=92，当且仅当m=2n=92时取等号，故m+n≥92，∴f（x）≤m+n成立．。

2020年厦门市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．复数z满足（1+i）z＝2i，则z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|1＜x＜2}，集合B={x|y=√m−x2}，若A∩B＝A，则m的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，4]C．[1，+∞）D．[4，+∞）3．已知双曲线C经过点(√2，3)，其渐近线方程为y=±√3x，则C的标准方程为（）A．x23−y2=1B．x2−y23=1C．y2−x23=1D．y23−x2=14．设a∈R，“cos2α＝0”是“sinα＝cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q．科学研究发现v与log3Q100成正比．当v＝1m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为890．则当v＝2m/s时，其耗氧量的单位数为（）A．2670B．7120C．7921D．80106．某三棱锥的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）A．9πB．27πC．81πD．108π7．在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）．甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有（）A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种8．若a ＝log 23，b ＝lg 5，c ＝log 189，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a9．已知S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和，S 10＝20，则S 30﹣2S 20+S 10的最小值为（ ） A ．10B ．5C ．﹣5D ．﹣1010．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则直线AF 的斜率为（ ） A ．√33B ．√22C ．√2D ．√311．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B ＝∠F ＝90°，∠A ＝60°，∠D ＝45°，BC ＝DE ．现将两块三角板拼接在一起，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列直线与平面OFM 所成的角不为定值的是（ ）A ．ACB ．AFC ．BFD ．CF12．函数f （x ）＝a （x +2）e x ﹣x ﹣1（a ＜1），若存在唯一整数x 0使得f （x 0）＜0，则a 的取值范围是（ ） A ．(23e，1) B ．[23e ，12) C ．(−23e，1) D ．[−23e ，12) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝2bc 且sin A ＝2sin C ，则cos C ＝ ． 14．排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M 国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为23，M 国女排获胜的概率为13，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为 ．15．已知m →，n →是两个非零向量，且|m →|=2，|m →+2n →|=4，则|m →+n →|+|n →|的最大值为 ．16．用M I 表示函数y ＝sin x 在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，则M [0，a ]＝；a 的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+kn +k （k ∈R ）． （1）求{a n }的通项公式； （2）若b n =1Sn+1−1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜34． 18．直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1被平面A 1ECD 所截得到如图所示的五面体，CD ⊥CE ，CD ⊥AD ．（1）求证：BC ∥平面A 1AD ；（2）若BC ＝CD ＝BE =13AD ＝1，求二面角B ﹣A 1E ﹣C 的余弦值．19．一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分（即获得﹣10分）．（1）设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X ，求X 的分布列；（2）玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象． 20．已知椭圆E ：x 28+y 24=1，过左焦点F 且斜率大于0的直线l 交E 于A 、B 两点，AB的中点为G ，AB 的垂直平分线交x 轴于点D ． （1）若点G 的纵坐标为23，求直线GD 的方程；（2）若tan ∠DAB =12，求△ABD 的面积． 21．已知函数f （x ）＝lnx +12x 2−2ax ，其中a ∈R ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2（其中x 2＞x 1），且f （x 2）﹣f （x 1）的取值范围为(2ln2−158，ln2−34)，求a 的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程{x =√3+tcosαy =1+tsinα（t 为参数，α∈[0，π）），曲线C 的参数方程{x =2√3cosβy =2sinβ（β为参数）．（1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为（2，π6）时，求α．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |（x ﹣2）+|x ﹣2|（x ﹣a ）． （Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）＜0的解集； （Ⅱ）若x ∈（0，2）时f （x ）≥0，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足（1+i ）z ＝2i ，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则计算复数z ，求得它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论．解：∵复数z 满足（1+i ）z ＝2i ，∴z =2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ，它在复平面内对应点的坐标为（1，1）， 故选：A ．2．已知集合A ＝{x |1＜x ＜2}，集合B ={x|y =√m −x 2}，若A ∩B ＝A ，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，1]B ．（1，4]C ．[1，+∞）D ．[4，+∞）【分析】根据A ∩B ＝A 得出A ⊆B ，从而得出B ={x|−√m ≤x ≤√m}，进而得出√m ≥2，解出m 的范围即可． 解：∵A ∩B ＝A ， ∴A ⊆B ，∴B ={x|−√m ≤x ≤√m}， ∴√m ≥2，解得m ≥4， ∴m 的取值范围是[4，+∞）． 故选：D ．3．已知双曲线C 经过点(√2，3)，其渐近线方程为y =±√3x ，则C 的标准方程为（ ） A ．x 23−y 2=1B ．x 2−y 23=1C ．y 2−x 23=1D ．y 23−x 2=1【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为y 23−x 2＝λ（λ≠0），将点（√2，3）代入双曲线方程，解得λ的值，即可得答案． 解：根据题意，双曲线的渐近线方程为y =±√3x ， 则可以设其方程为y 23−x 2＝λ，（λ≠0）又双曲线C 经过点(√2，3)，则有323−（√2）2＝λ，解可得：λ＝1， 则双曲线的标准方程为：y 23−x 2＝1；故选：D ．4．设a ∈R ，“cos2α＝0”是“sin α＝cos α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】由cos2α＝cos 2α﹣sin 2α，即可判断出．解：由cos2α＝cos 2α﹣sin 2α＝（cos α﹣sin α）（cos α+sin α）＝0，即cos α﹣sin α＝0或cos α+sin α＝0，即cos α＝sin α或cos α＝﹣sin α， ∴“cos2α＝0”是“sin α＝cos α”的必要不充分条件， 故选：B ．5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v （单位：m /s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与log 3Q100成正比．当v ＝1m /s 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为890．则当v ＝2m /s 时，其耗氧量的单位数为（ ） A ．2670B ．7120C ．7921D ．8010【分析】由题意可设v ＝k log 3Q100，当v ＝1时，Q ＝890，求得k ，再由v ＝2，结合对数的换底公式和对数的定义，计算可得所求值． 解：v 与log 3Q100成正比，比例系数设为k ， 可得v ＝k log 3Q 100， 当v ＝1时，Q ＝890， 即有1＝k log 38.9， 即k ＝log 8.93， 则当v ＝2时，2＝k log 3Q 100，即2＝log 8.93•log 3Q100=log 8.9Q100，则Q 100=8.92，可得Q ＝7921，故选：C．6．某三棱锥的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）A．9πB．27πC．81πD．108π【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出外接球的半径，最后求出球体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A﹣BCD，如图所示：设外接球的半径为r，则：（2r）2＝32+32+32，所以r2=274．故：S=4π×274=27π．故选：B．7．在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）．甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【分析】根据题意，分析可得则甲不能为第五名，据此按甲的名次分2种情况讨论，若甲是第一名和若甲不是第一名，求出每种情况下的可能数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好，则甲不能为第五名，据此分2种情况讨论：若甲是第一名，则第五名可以为乙和丙，有2种情况，剩下三人有A33＝6种情况，此时有2×6＝12种可能情况；若甲不是第一名，则甲有3种情况，同时第五名必须为丙，第一名为乙，剩下2人有A22＝2种情况，此时有3×2＝6种可能情况；则一共有12+6＝18种可能情况，故选：A．8．若a＝log23，b＝lg5，c＝log189，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a【分析】由对数函数单调性可知a＞1，0＜b＜1，0＜c＜1，然后结合对数的运算性质先比较1b ，1c的大小即可判断．解：因为a＝log23＞1，因为1b =log510＝1+log52，1c=1+log92，故1b ＞1c＞1，所以0＜b＜c＜1＜a．故选：C．9．已知S n是正项等比数列{a n}的前n项和，S10＝20，则S30﹣2S20+S10的最小值为（）A．10B．5C．﹣5D．﹣10【分析】由已知结合数列的和与项的关系进行化简，然后结合二次函数的性质可求．解：由S n是正项等比数列{a n}的前n项和可知q＞0，a1＞0，因为S10＝20，则S30﹣2S20+S10＝S30﹣S20+S20﹣S10＝（a21+a22+…+a30）﹣（a11+a12+…+a20），=S10⋅q20−S10⋅q10=20（q20﹣q10），结合二次函数的性质可知，当q10=12时，上式取得最小值﹣5．故选：C．10．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则直线AF的斜率为（）A．√33B．√22C．√2D．√3【分析】由题意画出图形，由已知可得三角形ADB为直角三角形，再由抛物线定义结合圆的性质求得∠ABD，从而求得AF的倾斜角，斜率可求．解：∵A，F，B三点共线，∴AB为圆F的直径，则AD⊥BD．由抛物线定义知|AD|＝|AF|=12|AB|，在Rt△ADB中，可得∠ABD＝30°．则∠DAB＝∠AFx＝60°，∴直线AF的斜率k＝tan60°=√3．故选：D．11．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，BC＝DE．现将两块三角板拼接在一起，取BC中点O与AC中点M，则下列直线与平面OFM所成的角不为定值的是（）A．AC B．AF C．BF D．CF【分析】由题意证明BC⊥平面MOF，可得BF，CF，AC与平面OFM所成的角，由已知可得都为定值，由此得到答案．解：∵O，M分别为BC，AC的中点，∴OM∥AB，则OM⊥BC，又CF＝BF，∴OF⊥BC，而OM∩OF＝O，∴BC⊥平面MOF，∴BF，CF与平面MOF所成的角分别为∠BFO和∠CFO，相等为45°，根据直线与平面所成角的定义可知，AC与平面MOF所成的角为∠CMO＝∠A＝60°，故只有AF与平面FOM所成的角不为定值．故选：B．12．函数f（x）＝a（x+2）e x﹣x﹣1（a＜1），若存在唯一整数x0使得f（x0）＜0，则a 的取值范围是（）A．(23e，1)B．[23e，12)C．(−23e，1)D．[−23e，12)【分析】通过半分离法，将问题转化为函数g(x)=x+1e x与直线y＝a（x+2）图象之间的关系，再通过数形结合求解即可．解：由f（x）＝a（x+2）e x﹣x﹣1＜0，可得a(x+2)＜x+1e x，令g(x)=x+1e x，g′(x)=e x−(x+1)e x(e x)2=−x e x，易知函数g（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，且g（0）＝1，作出函数g（x）的图象如图所示：∵y＝a（x+2）恒过定点A（﹣2，0），且C(0，1)，B(1，2e )，∴k AC=12，k AB=23e，∵存在唯一整数x0使得f（x0）＜0，∴当23e ≤a＜12时，存在唯一的整数x0＝1使得命题成立．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝2bc 且sin A ＝2sin C ，则cos C ＝78．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：a ＝2c ，根据已知可求得b ＝2c ，进而根据余弦定理可求cos C 的值． 解：∵sin A ＝2sin C ， ∴由正弦定理可得：a ＝2c ， 又∵a 2＝2bc ， ∴解得b ＝2c ，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =4c 2+4c 2−c 22×2c×2c =78．故答案为：78．14．排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M 国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为23，M 国女排获胜的概率为13，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为1627．【分析】中国女排在先输一局的情况下最终获胜包含两种结果：①中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局连胜三局；②中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局两胜一负，第五局中国女排胜，由此能求出中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率．解：排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M 国女排相遇，统计以往数据可知， 每局比赛中国女排获胜的概率为23，M 国女排获胜的概率为13，中国女排在先输一局的情况下最终获胜包含两种结果： ①中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局连胜三局；②中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局两胜一负，第五局中国女排胜， 则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为：P ＝（23）3+C 32(23)2(13)(23)=1627． 故答案为：1627．15．已知m →，n →是两个非零向量，且|m →|=2，|m →+2n →|=4，则|m →+n →|+|n →|的最大值为 2√5 ．【分析】由平面向量的数量积得：因为|m →+2n →|=4，所以m →2+4m →⋅n →+4n →2＝16，又|m →|＝2，所以m →⋅n →+n →2＝3，由重要不等式得：令|n →|＝t ，t ＞0则|m →+n →|+|n →|=√m →2+2m →⋅n →+n →2+|n →|=√10−t 2+t ≤2√(√10−t 2)2+t 22=2√5，当且仅当√10−t 2=t 即t =√5时取等号，得解．解：因为|m →+2n →|=4， 所以m →2+4m →⋅n →+4n →2＝16， 又|m →|＝2，所以m →⋅n →+n →2＝3， 令|n →|＝t ，t ＞0则|m →+n →|+|n →|=√m →2+2m →⋅n →+n →2+|n →|=√10−t 2+t ≤2√(√10−t 2)2+t22=2√5，当且仅当√10−t 2=t 即t =√5时取等号， 故答案为：2√5．16．用M I 表示函数y ＝sin x 在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，则M [0，a ]＝1 ；a 的取值范围为 [5π6，13π12] ．【分析】通过数形结合，分类讨论结合正弦性质找出解题思路． 解：如图是函数y ＝sin x ，x ∈[0，3π]的图象，若0＜a ＜π2，y ＝sin x 在[0，a ]上单调递增，所以，M [0，a ]＝sin a ，此时，M [a ，2a ]＞sin a ＝M [0，a ]，这与已知M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，矛盾．所以，a ≥π2，所以M [0，a ]＝1，故正确答案是：1． 显然2a ≥5π2时，M [a ，2a ]＝1，这与已知M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，矛盾．所以，2a ＜5π2即a ＜5π4， 所以π2≤a ＜5π4．又已知，M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，即12≥M [a ，2a ]，因为当π2≤a ＜5π4时，π≤2a ＜5π2，M [a ，2a ]＝sin a 或sin2a ，所以，{sina ≤12sin2a ≤12⇔{5π6≤a ＜5π4π≤2a ≤13π6⇔5π6≤a ≤13π12 故正确答案为：1，[5π6，13π12]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+kn +k （k ∈R ）． （1）求{a n }的通项公式； （2）若b n =1Sn+1−1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜34．【分析】（1）解法一：求出首项，通过当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，求解通项公式． 解法二：求出首项，第二项，结合{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等差数列，推出k ＝0，S n =n 2； 验证a n ﹣a n ﹣1＝（2n ﹣1）﹣（2（n ﹣1）﹣1）＝2为常数，然后求解即可． （2）由（1）知，S n =n 2，化简b n =1Sn+1−1，利用裂项相消法求解即可．解：（1）解法一：∵S n =n 2+kn +k(k ∈R) ∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝1+2k ，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2+kn +k)−((n −1)2+k(n −1)+k)=2n +k −1， ∵{a n }为等差数列，且n ≥2时，a n ﹣a n ﹣1＝（2n +k ﹣1）﹣（2（n ﹣1）+k ﹣1）＝2， ∴a 2﹣a 1＝（2+k ﹣1）﹣（1+2k ）＝2， ∴k ＝0，即a n ＝2n ﹣1，（n ∈N +）． 解法二：∵S n =n 2+kn +k(k ∈R)∴a 1＝S 1＝1+2k ，a 2=S 2−S 1=(22+2k +k)−(1+2k)=3+k ，a 3=S 3−S 2=(32+3k +k)−(22+2k +k)=5+k ∵{a n }为等差数列， ∴a 1，a 2，a 3成等差数列， ∴a 2﹣a 1＝a 3﹣a 2，即（5+k）﹣（3+k）＝（3+k）﹣（1+2k），∴k＝0，S n=n2；∴n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1，∴n≥2时，a n﹣a n﹣1＝（2n﹣1）﹣（2（n﹣1）﹣1）＝2为常数，∴等差数列{a n}的首项为1，公差为2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，（n∈N+）；（2）证明：由（1）知，S n=n2，故b n=1(n+1)2−1=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴T n＝b1+b2+b3+…+b n=12[(11−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1n+2)]=34−12(1n+1+1n+2)，∵n∈N*，∴T n=34−12(1n+1+1n+2)＜34．18．直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1被平面A1ECD所截得到如图所示的五面体，CD⊥CE，CD ⊥AD．（1）求证：BC∥平面A1AD；（2）若BC＝CD＝BE=13AD＝1，求二面角B﹣A1E﹣C的余弦值．【分析】法一：（1）推导出BE⊥CD，CD⊥CE，从而CD⊥平面BCE，同理可证CD ⊥平面A1AD，平面BCE∥平面A1AD，由此能证明BC∥平面A1AD，（2）推导出AD∥CE，AD和CE与平面ABCD所成角相等，即∠A1AD＝∠ECB，以D 为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D垂直于ABCD的直线为z轴，利用向量法能求出二面角B﹣A1E﹣C的余弦值．法二：（1）推导出BE⊥CD，CD⊥CE，从而CD⊥平面BCE，CD⊥BC，CD⊥AD，BC∥AD，由此能证明BC∥平面A1AD．（2）推导出AD ∥CE ，AD 和CE 与平面ABCD 所成角相等，即∠A 1AD ＝∠ECB ，取A 1D 的中点为M ，连接AM ，则AM ⊥A 1D ，AM ⊥平面A 1EC ，过点M 作A 1E 的垂线，垂足为N ，连接MN ，由题意得MN ⊥A 1E ，∠ANM 为二面角B ﹣A 1E ﹣C 的平面角，由此能求出二面角B ﹣A 1E ﹣C 的余弦值．【解答】解法一：（1）证明：在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BE ⊥平面ABCD ， ∵CD ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥CD （1分） ∵CD ⊥CE ，BE ∩CE ＝E ，∴CD ⊥平面BCE 同理可证CD ⊥平面A 1AD ， ∴平面BCE ∥平面A 1AD ，∵BC ⊂平面BCE ，∴BC ∥平面A 1AD（2）解：∵平面BCE ∥平面A 1AD ，平面A 1ECD ∩平面BCE ＝CE ，平面A 1ECD ∩平面A 1AD ＝AD ， ∴AD ∥CE ，∴AD 和CE 与平面ABCD 所成角相等，即∠A 1AD ＝∠ECB ； ∵BC ＝BE ，∴∠ECB ＝45°，∴AA 1＝AD ＝3，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 垂直于ABCD 的直线为z 轴，如图建系，C （0，1，0），B （1，1，0），E （1，1，1），A 1（3，0，3）， ∴CE →=(1，0，1)，EA 1→=(2，−1，2)，BE →=(0，0，1)，设u →=(x 1，y 1，z 1)为平面A 1EC 的一个法向量，则{μ→⋅CE →=x 1+z 1=0μ→⋅EA 1→=2x 1−y 1+2z 1=0，令x 1＝1，则u →=(1，0，−1)，设v →=(x 2，y 2，z 2)为平面A 1EB 的一个法向量，则{v →⋅BE →=z 2=0v →⋅EA 1→=2x 2−y 2+2z 2=0，令x 2＝1，则v →=(1，2，0)， 则cos〈u →，v〉=u →⋅v →|u →||v →|=1√2×√5=√1010， 由图知，二面角B ﹣A 1E ﹣C 为锐角，则二面角B ﹣A 1E ﹣C 的余弦值为√1010．解法二：（1）证明：∵直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，则BE ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴BE⊥CD，∵CD⊥CE，BE∩CE＝E，∴CD⊥平面BCE，∴CD⊥BC，∵CD⊥AD，且BC，AD同面，∴BC∥AD，∵AD⊂平面A1AD，BC⊄平面A1AD，∴BC∥平面A1AD．（2）解：∵平面BCE∥平面A1AD，平面A1ECD∩平面BCE＝CE，平面A1ECD∩平面A1AD＝AD，∴AD∥CE，∴AD和CE与平面ABCD所成角相等，即∠A1AD＝∠ECB，∵BC＝BE，∴∠ECB＝45°，∴A1A＝AD＝3，取A1D的中点为M，连接AM，则AM⊥A1D，∵CD⊥平面A1AD，A1M⊂平面A1AD，CD⊥AM，∵CD∩A1D＝D，∴AM⊥平面A1EC，过点M作A1E的垂线，垂足为N，连接MN，由题意得MN⊥A1E，∠ANM为二面角B﹣A1E﹣C的平面角，∵AM=32√2，MN=√22，则tan∠ANM=MNAM=3，所以二面角B﹣A1E﹣C的余弦值为√1010．19．一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分（即获得﹣10分）．（1）设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X，求X的分布列；（2）玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．【分析】（1）每次游戏，出现“两个都是红球”的概率为p=C22C52=110．X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）设每轮游戏的得分为Y．则Y的取值为﹣10，20，200，求出Y的分布列和数学期望，从而得到获得分数Y的期望为负，多次游戏之后大多数人的分数减少了．解：（1）每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，∴每次游戏，出现“两个都是红球”的概率为p=C22C52=110．X可能的取值为0，1，2，3，P(X=0)=C30(1−110)3=7291000，P(X=1)=C31⋅110⋅(1−110)2=2431000，P(X=2)=C32(110)2⋅(1−110)=271000，P(X=3)=C33(110)3=11000．所以X的分布列为：X0123P7291000243100027100011000（2）摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分（即获得﹣10分）．设每轮游戏得分为Y．则Y的取值为﹣10，20，200，由（1）知，Y的分布列为：Y﹣1020200P7291000270100011000Y的数学期望为EY=−10×7291000+20×2701000+200×11000=−1.69．这表明，获得分数Y 的期望为负．因此，多次游戏之后大多数人的分数减少了． 20．已知椭圆E ：x 28+y 24=1，过左焦点F 且斜率大于0的直线l 交E 于A 、B 两点，AB的中点为G ，AB 的垂直平分线交x 轴于点D ． （1）若点G 的纵坐标为23，求直线GD 的方程；（2）若tan ∠DAB =12，求△ABD 的面积．【分析】（1）由椭圆的方程可得左焦点F 的坐标，设直线l 方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出弦AB 的中点，由AB 的中点G 的纵坐标可得参数的值，进而求出弦AB 的中垂线的方程；（2）由（1）的过程可得中点G 的坐标，及中垂线GD 与x 轴的交点D 的坐标，进而求出|DG |及弦长|AB |的值，由tan ∠DAB =|DG|12|AB|=12可得参数的值，进而求出|AB |，|DG |的值，进而求出三角形的面积．解：（1）由椭圆的方程可得左焦点F （﹣2，0），由题意设直线l 的方程：x ＝my ﹣2，且m ＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 直线l 与椭圆联立{x =my −2x 2+2y 2−8=0，整理可得：（2+m 2）y 2﹣4my ﹣4＝0，所以y 1+y 2=4m 2+m 2，y 1y 2=−42+m 2， x 1+x 2＝m （y 1+y 2）﹣4=4m 22+m 2−4=−82+m2，所以AB 的中点G 的纵坐标y 1+y 22=2m 2+m，由题意可得2m2+m =23，m ＞0，解得：m＝1或m ＝2，当m ＝1时，AB 的中点G 坐标（−43，23），所以AB 的中垂线方程为：y ＝﹣（x +43）+23，即y ＝﹣x −23，当m ＝2时，AB 的中点G 坐标（−23，23），所以AB 的中垂线方程为：y ＝﹣2（x +23）+23，即y ＝﹣2x −23；（2）由（1）可得：弦长|AB |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2•√16m 2(2+m 2)2−4⋅−42+m 2=4√2•1+m 22+m 2， AB 的中点G 的坐标为：（−42+m2，2m2+m 2），所以AB 的中垂线的方程为：y ＝﹣m （x +42+m 2）+2m 2+m 2，令y ＝0，可得x =−22+m 2，即D （−22+m ，0），所以D 到直线AB 的距离d ＝|DG |=√(22+m 2)2+(2m 2+m 2)2=2√1+m 22+m2，tan ∠DAB =|DG|12|AB|=2√1+m 22+m 222(1+m 2)2+m 2=1√2⋅√1+m ，由题意可得√2⋅√1+m 2=12，m ＞0，解得：m ＝1，所以|AB |＝4√2⋅1+12+1=8√23，|DG |=2√1+12+1=2√23，所以S △ABD =12|AB |•|DG |=12⋅8√23⋅2√23=16921．已知函数f （x ）＝lnx +12x 2−2ax ，其中a ∈一、选择题． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2（其中x 2＞x 1），且f （x 2）﹣f （x 1）的取值范围为(2ln2−158，ln2−34)，求a 的取值范围． 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解； （2）结合函数极值与导数零点关系进行转化后，结合题目特点进行合理的构造，然后结合导数与单调性关系即可求解．解：（1）f′(x)=1x +x −2a =x 2−2ax+1x(x ＞0)．令g （x ）＝x 2﹣2ax +1，则△＝4a 2﹣4．①当a ≤0或△≤0，即a ≤1时，f '（x ）≥0恒成立，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增．②当{a ＞0△＞0，即a ＞1时，由f '（x ）＞0，得0＜x ＜a −√a 2−1或x ＞a +√a 2−1； 由f '（x ）＜0，得a −√a 2−1＜x ＜a +√a 2−1，∴f （x ）在(0，a −√a 2−1)和(a +√a 2−1，+∞)上单调递增，在(a −√a 2−1，a +√a 2−1)上单调递减．综上所述，当a ≤1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＞1时，f （x ）在(0，a −√a 2−1)和(a +√a 2−1，+∞)上单调递增，在(a −√a 2−1，a +√a 2−1)上单调递减．（2）由（1）得，当a ＞1时，f （x ）有两极值点x 1，x 2（其中x 2＞x 1）． 由（1）得x 1，x 2为g （x ）＝x 2﹣2ax +1＝0的两根，所以x 1+x 2＝2a ，x 1x 2＝1． 所以f(x 2)−f(x 1)=ln x 2x 1+12(x 22−x 12)−2a(x 2−x 1)=ln x 2x 1−x 22−x 122=ln x 2x 1−x 22−x 122x 1x 2=ln x 2x 1−x 22x 1+x 12x 2． 令t =x 2x 1(t ＞1)，则f(x 2)−f(x 1)=h(t)=lnt −12t +12t，因为h′(t)=1t −12−12t 2=−t 2+2t−12t 2=−(t−1)22t2＜0， 所以h （t ）在（1，+∞）上单调递减，而h(2)=ln2−34，h(4)=2ln2−158，所以2≤t ≤4，又4a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t+2(t ∈[2，4])，易知φ(x)=t +1t +2在[2，4]上单调递增，所以92≤4a 2≤254，所以实数a 的取值范围为[3√24，54]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程{x =√3+tcosαy =1+tsinα（t 为参数，α∈[0，π）），曲线C 的参数方程{x =2√3cosβy =2sinβ（β为参数）．（1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为（2，π6）时，求α． 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和直线与椭圆位置关系的应用，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和中点坐标公式的应用求出结果解：（1）直线l 的参数方程{x =√3+tcosαy =1+tsinα（t 为参数，α∈[0，π））， 转换为直角坐标方程为：当α=π2时，x =√3，当α≠π2时，y −1=tanα(x −√3)．曲线C 的参数方程{x =2√3cosβy =2sinβ（β为参数），转换为直角坐标方程为x 212+y 24=1． （2）把直线的参数方程{x =√3+tcosαy =1+tsinα代入x 212+y 24=1得到：(√3+tcosα)212+(1+tsinα)24=1，整理得：(3sin 2α+cos 2α)t 2+(2√3cosα+6sinα)t −9=0，所以t 1+t 2=−2√3cosα+6sinα3sin 2α+cos α， 曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为（2，π6）时故t 1+t 2=−2√3cosα+6sinα3sin 2α+cos 2α=0， 所以tanα=−√33， 则α=5π6． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |（x ﹣2）+|x ﹣2|（x ﹣a ）．（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）＜0的解集；（Ⅱ）若x ∈（0，2）时f （x ）≥0，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）将a ＝2代入，分类讨论解不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质进一步可得|x ﹣a |≤x ﹣a ，由此得解．解：（I ）当a ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|（x ﹣2）+|x ﹣2|（x ﹣2），由f （x ）＜0得|x ﹣2|（x ﹣2）+|x ﹣2|（x ﹣2）＜0．①当x ≥2时，原不等式可化为：2（x ﹣2）2＜0，解之得：x∈∅．②当x＜2时，原不等式可化为：﹣2（x﹣2）2＜0，解之得x∈R且x≠2，∴x＜2．因此f（x）＜0的解集为：{x|x＜2}．（II）当x∈（0，2）时，f（x）＝|x﹣a|（x﹣2）+|x﹣2|（x﹣a）＝（x﹣2）[|x﹣a|﹣（x ﹣a）]．由f（x）≥0得（x﹣2）[|x﹣a|﹣（x﹣a）]≥0，∴|x﹣a|≤x﹣a，∴x﹣a≥0，∴a≤x，x∈（0，2），∴a≤0，∴a的取值范围为（﹣∞，0]．。

2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷（文科）（一）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，{|(1)}B x y ln x ==-，则(A B =I ) A ．{1-，0，1}B ．{1-，0}C ．{1，2}D ．{2}2．（5分）椭圆22:22C x y +=的焦点坐标为( ) A ．(1,0)-，(1,0) B ．(0,1)-，(0,1) C ．(3-，0)，(3，0) D ．(0,3)-，(0,3)3．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且40a =，99S =-，则数列{}n a 的公差是()A ．2B ．1C ．1-D ．2-4．（5分）《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽弦图及注文．弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实，由2⨯勾⨯股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简得勾2+股2=弦2．若图中勾股形的勾股比为1:2，向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)(≈ )A ．2B ．4C ．6D ．85．（5分）已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan 2(α= ) A ．83-B ．43-C ．83D ．2476．（5分）α，β是两个平面，l ，m 是两条直线，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( )A ．若//αβ，则//l mB ．若//αβ，则l m ⊥C ．若αβ⊥，则//l mD ．若αβ⊥，则l m ⊥7．（5分）在菱形ABCD 中，4AB =，3ABC π∠=，E 为CD 的中点，则(AC AE =u u u r u u u rg )A ．10B ．12C ．16D ．368．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，1211(2)n n a a a a n -=++⋯++…，则7(a = ) A ．31B ．32C ．63D ．649．（5分）已知25log 5log 2a =+，25log 5log 2b =g ，2552log c log =，则( ) A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<10．（5分）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，D ，E ，F ，G 分别为AC ，11A C ，1AA ，1CC 的中点，P 是线段DF 上的一点，有下列三个结论：①//BP 平面1B EG ；②BP DG ⊥；③三棱锥1P B EG -的体积是定值． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③11．（5分）已知双曲线2222:1(20)x y C b a a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点与2F 重合．点P 是C 与E 的交点，且125cos 7PF F ∠=，则C 的离心率是( ) A ．2BC ．3D．12．（5分）函数()sin(1)1f x x x =-++，若()()0(0)f x ax b b -≠g…对x R ∈恒成立，则(ab= )A ．1-B ．0C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）复数(2)(z i i i =-为虚数单位），则z 的虚部是 ．14．（5分）若x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…„…，则3z x y =+的最大值是 ．15．（5分）如图，函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<的图象与坐标轴交于点A ，B ，C ，直线BC 交()f x 的图象于点D ，O （坐标原点）为ABD ∆的重心，(,0)A π-，则点C 的坐标为 ，(0)f = ．16．（5分）已知数列{}n a 满足312a =-，且122(*)2n n a a n N n n++=∈+，则n a 的最大值是 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知7b =，7(cos )cos 5c A a C -=．（1）求c ； （2）若3B π=，点D 在边BC 上，且5AD =，求ADC ∆的面积．18．（12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，BF ，DE ，CG 都垂直于平面ABCD ，且222CG BF ED ===． （1）证明：//AE 平面BCF ； （2）若3DAB π∠=，求三棱锥D AEF -的体积．19．（12分）风梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有100多年．龙眼干的级别按直径d 的大小分为四个等级（如表）．()d mm21d < 2124d <„2427d <„27d …级别三级品二级品一级品特级品某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了100个龙眼干作为样本（直径分布在区间[18，33])，统计得到这些龙眼下的直径的频数分布表如下：用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取6个，其中一级品有2个． （1）求m 、n 的值，并估计这批龙眼干中特级品的比例；（2）已知样本中的100个龙眼干约500克，该农场有500千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：方案A ：以60元/千克收购；方案B ：以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋．用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由．20．（12分）已知点1(A -，0)，2A 0)，直线1PA ，2PA 相交于点P ，且它们的斜率乘积为13-．（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）设曲线Γ与y 轴正半轴交于点B ，直线:1l y kx =-与Γ交于C ，D 两点，E 是线段CD 的中点证明：||2||CD BE =．21．（12分）已知函数21()2x x f x e ae x =-+．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，证明：22()3f x x <-． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线l C 的参数方程为22cos (2sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()l 写出1C 的极坐标方程：（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线(0)4πθαα=<<分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α．[选修4-5：不等式选讲](10分)23．设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-． （1）若()62f π>，求实数a 的取值范围；（2）证明：x R ∀∈，1()|3||1|f x a a--+…恒成立．2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷（文科）（一）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，{|(1)}B x y ln x ==-，则(A B =I ) A ．{1-，0，1}B ．{1-，0}C ．{1，2}D ．{2}【解答】解：Q 集合{1A =-，0，1，2}，{|(1)}{|1}B x y ln x x x ==-=>，{2}A B ∴=I ．故选：D ．2．（5分）椭圆22:22C x y +=的焦点坐标为( )A ．(1,0)-，(1,0)B ．(0,1)-，(0,1)C ．(0)，0)D ．(0,，【解答】解：椭圆的标准方程为：2212y x +=，所以焦点在y 轴上，且22a =，21b =，所以2221c a b =-=， 即焦点坐标为：(0,1)±， 故选：B ．3．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且40a =，99S =-，则数列{}n a 的公差是()A ．2B ．1C ．1-D ．2-【解答】解：设数列{}n a 的公差为d ，40a =Q ，99S =-， 130a d ∴+=，19369a d +=-．解得1d =-． 故选：C ．4．（5分）《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽弦图及注文．弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实，由2⨯勾⨯股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简得勾2+股2=弦2．若图中勾股形的勾股比为1:2，向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)(≈ )A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：设勾为a 2a ，∴3a ，则图中大四边形的面积为23a ，小四边形的面积为222(21)(32)a a ==-， 322-3222210.06-=≈． ∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000.066⨯=．故选：C ．5．（5分）已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan 2(α= ) A ．83-B ．43-C ．83D ．247【解答】解：角α的终边上的点(3,4)P -， 由任意角的三角函数的定义得：4tan 3α=-．故有22tan 24tan 217tan ααα==- 故选：D ．6．（5分）α，β是两个平面，l ，m 是两条直线，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( )A ．若//αβ，则//l mB ．若//αβ，则l m ⊥C ．若αβ⊥，则//l mD ．若αβ⊥，则l m ⊥【解答】解：对于A ，若//αβ，//l α，则//l β或l β⊂，又m β⊥，则l m ⊥，故A 错误； 对于B ，由A 知，B 正确；对于C ，若αβ⊥，m β⊥则//m α或m α⊂，又//l α，则l 与m 平行、相交或异面，故C 错误；对于D ，由C 知，D 错误．∴正确的命题是B ．故选：B ．7．（5分）在菱形ABCD 中，4AB =，3ABC π∠=，E 为CD 的中点，则(AC AE =u u u r u u u rg )A ．10B ．12C ．16D ．36【解答】解；如图，Q 菱形ABCD 中，4AB =，3ABC π∠=，E 为CD 的中点；∴222211112()()()(2)(32)(4344cos 24)1222223AC AE AB AD AC AD AB AD AB AD AB AB AD AD π=++=++=++=+⨯⨯⨯+⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g ，故选：B ．8．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，1211(2)n n a a a a n -=++⋯++…，则7(a = ) A ．31B ．32C ．63D ．64【解答】解：依题意，当2n …时，由121111n n n a a a a S --=++⋯++=+，①可得 11n n a S +=+，②②-①，可得11n n n n n a a S S a +--=-=， 整理，得12n n a a +=．∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列．11122n n n a --∴==g ，*n N ∈． 717264a -∴==．故选：D ．9．（5分）已知25log 5log 2a =+，25log 5log 2b =g ，2552log c log =，则( ) A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【解答】解：25log 5log 2(2,3)a =+=∈Q ， 2552log 5log 2125lg lg b lg lg ===g g ， 2552log c log =，225542()()42225lg lg lg lg lg lg lg lg ==>=， c a b ∴>>，故选：A ．10．（5分）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，D ，E ，F ，G 分别为AC ，11A C ，1AA ，1CC 的中点，P 是线段DF 上的一点，有下列三个结论：①//BP 平面1B EG ；②BP DG ⊥；③三棱锥1P B EG -的体积是定值． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D Q ，E ，F ，G 分别为AC ，11A C ，1AA ，1CC 的中点， //EG DF ∴，1//BD B E ，可得平面//BDF 平面1B EG ，由BP ⊂平面BDF ，得//BP 平面1B EG ，故①正确；由BD ⊥平面11ACC A ，得BD DG ⊥，又四边形11ACC A 是正方形，DG DF ∴⊥，得DG ⊥平面BDF ，则DG BP ⊥，故②正确；由平面//BDF 平面1B EG ，得//DF 平面1B EG ，P ∴到平面1B EG 的距离为定值，可得三棱锥1P B EG -的体积是定值，故③正确．∴所有正确结论的编号是①②③．故选：D ．11．（5分）已知双曲线2222:1(20)x y C b a a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点与2F 重合．点P 是C 与E 的交点，且125cos 7PF F ∠=，则C 的离心率是( ) A ．2B ．6C ．3D ．23【解答】解：过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ，N ， 不妨设1PF m =，2PF n =，则121125cos 7F M PN PF PF PF F ===∠=， P Q 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527mm a -=，故7m a =，5n a =． 又122F F c =，在△12PF F 中，由余弦定理可得2225494257272a c a a c+-=⨯⨯，化简可得22560c ac a -+=，即2560e e -+=， 解得2e =或3e =． 22b a >>Q ，2215b e a ∴=+>，3e ∴=，故选：C ．12．（5分）函数()sin(1)1f x x x =-++，若()()0(0)f x ax b b -≠g …对x R ∈恒成立，则(ab= )A ．1-B ．0C ．1D ．2【解答】解：()sin(1)1f x x x =-++，x R ∈，()1cos(1)0f x x '=-+…．∴函数()f x 在R 上单调递增．(1)0f -=Q ，1x ∴<-时，()0f x <，1x >-时，()0f x >． ()()0(0)f x ax b b -≠Q g …对x R ∈恒成立，1x -„时，0ax b -„；1x -…时，0ax b -…． (1)0a b ∴--=，可得：1ab=-． 故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）复数(2)(z i i i =-为虚数单位），则z 的虚部是 2 ． 【解答】解：(2)12z i i i =-=+Q ，z ∴的虚部是2．故答案为：2．14．（5分）若x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…„…，则3z x y =+的最大值是 4 ．【解答】解：由x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…„…，作出可行域如图，联立02x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(1,1)A ，化目标函数3z x y =+为33x zy =-+，由图可知，当直线33x zy y ==-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为1314+⨯=．故答案为：4．15．（5分）如图，函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<的图象与坐标轴交于点A ，B ，C ，直线BC 交()f x 的图象于点D ，O （坐标原点）为ABD ∆的重心，(,0)A π-，则点C 的坐标为 (2π，0) ，(0)f = ．【解答】解：B Q ，D 关于C 对称， 2B D C x x x ∴+=，O Q （坐标原点）为ABD ∆的重心，(,0)A π-，0B D A x x x ∴++=，即20C x π-=，得2C x π=，即(2C π，0)， 由五点对应法得02πωϕπωϕπ-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23πϕ=，则23(0)2sin 2sin 233f πϕ==== 故答案为：(2π，0)316．（5分）已知数列{}n a 满足312a =-，且122(*)2n n a a n N n n ++=∈+，则n a 的最大值是 34． 【解答】解：12211(*)22n n a a n N n n n n ++==-∈++Q ①，122211(*)(1)2(1)13n n a a n N n n n n ++∴+==-∈+++++②， ①-②得：22211112323()()0312332n n n n a a n n n n n n n n +++-=+-+=->++++++，2n n a a +∴>，即13521n a a a a ->>>⋯>>⋯；2462n a a a a >>>⋯>>⋯； 312a =-Q ，23111244a a ∴+=-=， 2113424a ∴=+=． 又1212133a a +=-=，12231334124a a ∴=-=-<=． 故n a 的最大值是：34． 故答案为：34． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知7b =，7(cos )cos 5c A a C -=．（1）求c ； （2）若3B π=，点D 在边BC 上，且5AD =，求ADC ∆的面积．【解答】解：（1）7b =Q ，7(cos )cos 5c A a C -=．∴7cos cos 5c a C c A =+，由正弦定理可得7sin sin cos sin cos 5C A C C A =+， ∴7sin sin()sin 5C A C B =+=，由正弦定理可得775cb ==， ∴解得5c =．（2）3B π=Q ，点D 在边BC 上，且5AD =，5c =，ABD ∴∆为等边三角形，∴在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得222175252a a =+-⨯⨯⨯，可得25240a a --=，∴解得8a =，或3-（舍去），853CD a BD ∴=-=-=，11153sin 53sin120224ACD S AD CD ADC ∆∴=∠=⨯⨯⨯︒=g g ． 18．（12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，BF ，DE ，CG 都垂直于平面ABCD ，且222CG BF ED ===． （1）证明：//AE 平面BCF ； （2）若3DAB π∠=，求三棱锥D AEF -的体积．【解答】（1）证明：ABCD Q 是菱形，//AD BC ∴，AD ⊂/Q 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//AD ∴平面BCF ．BF Q ，DE 都垂直于平面ABCD ，//DE BF ∴，DE ⊂/Q 平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ．又AD DE D =I ，∴平面//ADE 平面BCF ，则//AE 平面BCF ； （2）解：由（1）知，//DE BF ，//BF ∴平面ADE ， 则F 与B 到平面ADE 的距离相等．11122sin601332D AEF F ADE B ADE E ABD ABD V V V V S DE ----∆∴====⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯113322132=⨯⨯⨯⨯⨯=．19．（12分）风梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有100多年．龙眼干的级别按直径d 的大小分为四个等级（如表）．某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了100个龙眼干作为样本（直径分布在区间[18，33])，统计得到这些龙眼下的直径的频数分布表如下：用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取6个，其中一级品有2个． （1）求m 、n 的值，并估计这批龙眼干中特级品的比例；（2）已知样本中的100个龙眼干约500克，该农场有500千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：方案A ：以60元/千克收购；方案B ：以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋．用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：12971002962297m n n ++++=⎧⎪⎨⨯=⎪++⎩， 解得12m =，51n =．（2）按方案A 收购，农场收益为：5006030000⨯=（元)，按方案B 收购，以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋． 500千克龙眼干约有：500000100100000500⨯=（个)， 其中，特级品有75110000058000100+⨯=个， 一级品有2910000029000100⨯=个， 二级品有1210000012000100⨯=个， 三级品有11000001000100⨯=个， ∴按方案B 收购，农场收益为：580402903012020101034400⨯+⨯+⨯+⨯=（元)．20．（12分）已知点1(A -，0)，2A 0)，直线1PA ，2PA 相交于点P ，且它们的斜率乘积为13-．（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）设曲线Γ与y 轴正半轴交于点B ，直线:1l y kx =-与Γ交于C ，D 两点，E 是线段CD 的中点证明：||2||CD BE =． 【解答】解：（1）设点(,)P x y ， Q 1213PA PA k k =-g ，∴13=-，化简得：221124x y +=，∴点P 的轨迹Γ的方程为：221124x y +=(x ≠±；（2）易知(0,2)B ，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，联立方程2211124y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：22(13)690k x kx +--=，∴122613k x x k +=+，122913x x k =-+， ∴121222()213y y k x x k +=+-=-+，23(13k E k ∴+，21)13k-+，26||13CD k∴==+，而23||13BE k==+ ||2||CD BE ∴=．21．（12分）已知函数21()2x x f x e ae x =-+．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，证明：22()3f x x <-． 【解答】（1）解：21()2x x f x e ae x =-+Q 在R 上单调递增，2()10x x f x e ae ∴'=-+…恒成立， ()2x x min a e e -∴+=„，∴实数a 的取值范围为(-∞，2]；（2）证明：1x Q ，212()x x x <是()f x 的两个极值点， 1x ∴，2x 是2()10x x f x e ae '=-+=的两个根，12x x e e a +=，12121x x x x e e e +==g ，120x x ∴+=，又12x x <， 210x x ∴=->．∴要证明22()3f x x <-，即证22()3f x x <-， 就是证明：22221402x x e ae x -+<，即证：21222222211()441022x x x x x e e e e x e x -++=-+-<，令21()41(0)2x h x e x x =-+->，需证()0max h x <． 因为2()4x h x e '=-+，令2()40x h x e '=-+=，得2x ln =，当(0,2)x ln ∈时，()h x 单调递增，当(2,)x ln ∈+∞时，()h x 单调递减，∴当2x ln =时，21()412x h x e x =-+-取得极大值，也是最大值3116(2)4421423102h ln ln ln ln ln e=-⨯+-=-=<=，∴原结论成立．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线l C 的参数方程为22cos (2sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()l 写出1C 的极坐标方程：（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线(0)4πθαα=<<分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α．【解答】解：（1）曲线l C 的参数方程为22cos (2sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(2)4x y -+=，转换为极坐标方程为4cos ρθ=．（2）曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=． 设点M 的极坐标为(4,0)，射线(0)4πθαα=<<分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点）， 如图所示：设射线OA 的方程为y kx =， 则：2240y kx x x y =⎧⎨-+=⎩，解得2244(,)11kA k k ++．同理2224(4,)11k k B k k ++．由于2A π∠=，4AMB π∠=时，所以BM 与AO 的夹角为4π，由于221MB k k k k =--，AO k k =，利用两直线的夹角公式的应用||11BM OABM OAk k k k -=+，整理得223211111k k k k k k k ---=-+--或， 即：322210k k k -+-=或2210k k -+=． 解得12k =或1k =． 由于04πα<<，所以1k =（舍去）．故12k =． 所以1tan 2α=．[选修4-5：不等式选讲](10分)23．设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-． （1）若()62f π>，求实数a 的取值范围；（2）证明：x R ∀∈，1()|3||1|f x a a--+…恒成立． 【解答】解：（1）()2sin |3||1|f x x a a =+-+-Q ，∴()62f π>，可化为：|3||1|4a a -+->，∴由绝对值的几何意义得：4a >或0a <；（2）证明：要证1()|3||1|f x a a--+…恒成立， 即证12sin |3||1||3||1|x a a a a+-+---+…恒成立， 也就是证明1|1||1|2sin a x a++--…恒成立． 2sin y x =-Q 的最大值为2，即证1|1||1|2a a++-…， 1111|1||1||(1)(1)|||||||2a a a a a a a a++-++-=+=+Q 厖成立， 故原结论成立（证毕）．。

高三第•次模拟测试理科数学一、选择题（本小题共12小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知金集U = R,集合J = (1,2,33,5),集合B = {x|x>2),下图中阴影部分所表示的集合为（「~. ...5.函数/（.v ）=2sin.v-ln （l + x ）的部分图像大致是（）A. {0,1,2} C.{1}D.{0,l}2.复数z = i 2-—,在复平面上对应的点位于（ ）1+7A.第一象限B.第二象限 c.第三象限D.第四象限3.若sino + cosa = — , 6ZG(0,zr),则 tana =()A. VJ B. — VJ c 四D.W 334.已知命题p ：玉，使得x + -<2, X命题 q:PxeR,x 2+x + l>0,下列命题为真的是（A. pzq B.(—tp)/\g C ”（F ）d (w )H f )6. 在 AABC 中，C = 45°,则 sin 2 J + sin 2 5 - 71 s in J sin B =（ ）7. 已知5是平面内两个互相垂直的单位向量.若向量Z 满足@-】）0-；）=0,则日的最大值是（A.lB.—C.2D.a /228. 已知B, C,。

是同一球面上的四个点，其中MBC 是正角形，JD1T 面A8C, AD = 2LB = 6, 则该球的表面积为( )A. 16^-B.24)C.32立兀D.48々9. 在二项式(右 + j)的展开式中，各项系数之和为M,各项二项式系数之和为M 且M + N = 72,则展开式中常数项的值为( )A.18B.12C.9D.6】0.已知函数/(.V)=sin + cosry.r (6»0)，如果存在实数由，使得对任意的实数x,都有/(.r,)</(x)</(^+2012)^,则c 的最小值为()1 4 八 1 n A.---- B.---- C.---- D.----2012 2012 4024 402411•设4，%为椭圆的与+写=1(。