福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中考试数学(理)

厦门双十中学2014-2015学年（上）期中检测 高三数学（理科）试题（2014-11-13 08:00-10:00）

【（试卷命题人：王成焱，审核人：张瑞炳）感谢高三数学（理科）备课组所有老师半学期的辛勤付出，你们辛苦了！当然，老师也在平时与同学们的交流中看到大家的不懈努力与对理想的执着与追求，在这阶段检测的时刻，让我们怀着感恩的心来证明自己吧！】

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 1． 命题“对任意的x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是（ ▲ ）

A ．不存在x ∈R ，x 2＋1>0

B ．存在x ∈R ，x 2＋1>0

C ．存在x ∈R ，x 2＋1≤0

D ．对任意的x ∈R ，x 2＋1≤0

2． 已知集合{}

2

3,A a =，集合{}0,,1B b a =-，且{}1A

B =，则A B =（ ▲ ）

A ．{}0,1,3

B ．{}0,1,2,3

C ．{}1,2,4

D ．{}0,1,2,3,4

3． “sin α≠sin β”是“α≠β”的（ ▲ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

4． 若a ，b ，c 为实数，且a

A ．ac 2

B ．1a <1b

C ．b a >a b

D ．a 2>ab >b 2

5． 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图像如下图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是（ ▲ ）

6． 设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪≤⎩

则23z x y =-的最小值是（ ▲ ）

A ．3-

B ．12

C ．6-

D ．12-

7． 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2

＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A . 若△OAF (O 为坐标原点)的面积

为4，则抛物线的方程为（ ▲ ） A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±8x

8． 下列函数存在极值的是（ ▲ ）

A. 2cos y x x =+

B. ln x y e x =-

C. 32331y x x x =++-

D. 1

ln y x x

=-

9． 定义：sin a b a b θ⨯=⋅⋅，其中θ为向量a

与b

的夹角，若2,5,6a b a b ==⋅=-，则a b ⨯=（ ▲ ） A ．6 B ．8 C ．－8 D ．8或－8

10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当

12,[0,2]x x ∈且12x x ≠时，都有

1212

()()

0f x f x x x ->-. 给出下列命题：

①函数()f x 一定是周期函数； ②函数()f x 在区间[6,4]--上为增函数；

③直线4x =-是函数()f x 图像的一条对称轴； ④函数()f x 在区间[6,6]-上有且仅有4个零点.

其中正确命题的个数是（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.

11．已知函数2,01

()2,12

x x f x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩，则20

()f x dx ⎰等于 ▲ .

12．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：y 216－x 2

4＝1有相同的渐近线，则C 1的离心率＝ ▲ . 13．已知

2＋2

3＝2

23，

3＋38＝3

38，

4＋415＝4

4

15，…，若

7＋a b ＝7

a

b ，(a 、b 均为正实

数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝ ▲ .

14．若定义在],[b a 上的函数13)(2

3

+-=x x x f 的值域为]1,3[-，则a b -的最大值是 ▲ . 15．已知*(1,2,3,

,,3,)i A i n n n N =

≥∈是△AOB 所在的平面内的n 个相异点，

且OB OA OB OA i ⋅=⋅. 给出下列命题： ①12n OA OA OA OA ====；

的最小值不可能是OB ；

③点12,,,

,n A A A A 在一条直线上；

④向量及i 在向量的方向上的投影必相等.

其中正确命题的序号是 ▲ .（请填上所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 16．（本小题满分13分）

已知全集U =R ，0m >，集合2{|120},{|3}A x x x B x x m =--<=-≤. (1)当2m =时，求()U

A

B ð；

(2)命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围. 17．（本小题满分13分）

已知向量a ＝()3sin x ，－cos x ，b ＝()cos x ，cos x ，记函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的最小正周期及单调递增区间；

(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝1

2，若向量m ＝()1，sin A 与

n ＝()2，sin B 共线，求a ，b 的值. 18．（本小题满分13分）

平面直角坐标系中，点M 的坐标是，曲线1C 的参数方程为1cos ,

sin ,

x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以

坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. (1)将曲线1C 和2C 化成普通方程，并求曲线1C 和2C 公共弦所在直线的极坐标方程；

(2)若过点M ，倾斜角为

3

π

的直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值. 19．（本小题满分13分）

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