福建省厦门市双十中学高三(上)期中数学试卷含答案

福建省厦门双十中学2015届高三数学上学期期中试题 理第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 1． 命题“对任意的x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是（ ▲ ）A ．不存在x ∈R ，x 2＋1>0 B ．存在x ∈R ，x 2＋1>0 C ．存在x ∈R ，x 2＋1≤0D ．对任意的x ∈R ，x 2＋1≤02． 已知集合{}23,A a =，集合{}0,,1B b a =-，且{}1AB =，则A B =（ ▲ ）A ．{}0,1,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,4D ．{}0,1,2,3,43． “sin α≠sin β”是“α≠β”的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4． 若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是（ ▲ ）A ．ac 2<bc 2B ．1a <1bC ．b a >a bD ．a 2>ab >b 25． 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图像如下图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是（ ▲ ）6． 设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则23z x y =-的最小值是（ ▲ ）A ．3-B ．12C ．6-D ．12-7． 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A . 若△OAF (O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为（ ▲ ） A ．y 2＝4x B ．y 2＝8xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±8x8． 下列函数存在极值的是（ ▲ ）A. 2cos y x x =+B. ln xy e x =-C. 32331y x x x =++-D. 1ln y x x=-9． 定义：sin a b a b θ⨯=⋅⋅，其中θ为向量a与b的夹角，若2,5,6a b a b ==⋅=-，则a b ⨯=（ ▲ ） A ．6B ．8C ．－8D ．8或－810．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当12,[0,2]x x ∈且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-. 给出下列命题：①函数()f x 一定是周期函数； ②函数()f x 在区间[6,4]--上为增函数；③直线4x =-是函数()f x 图像的一条对称轴； ④函数()f x 在区间[6,6]-上有且仅有4个零点.其中正确命题的个数是（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.11．已知函数2,01()2,12x x f x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩，则20()f x dx ⎰等于 ▲ .12．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：y 216－x 24＝1有相同的渐近线，则C 1的离心率＝ ▲ . 13．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7a b，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝ ▲ . 14．若定义在],[b a 上的函数13)(23+-=x x x f 的值域为]1,3[-，则a b -的最大值是 ▲ .15．已知*(1,2,3,,,3,)i A i n n n N =≥∈是△AOB 所在的平面内的n 个相异点，且OA i ⋅=⋅. 给出下列命题：①12n OA OA OA OA ====；的最小值不可能是OB ；③点12,,,,n A A A A 在一条直线上；④向量及i 在向量的方向上的投影必相等.其中正确命题的序号是 ▲ .（请填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 16．（本小题满分13分）已知全集U =R ，0m >，集合2{|120},{|3}A x x x B x x m =--<=-≤. (1)当2m =时，求()UAB ð；(2)命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.17．（本小题满分13分）已知向量a ＝()3sin x ，－cos x ，b ＝()cos x ，cos x ，记函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝12，若向量m ＝()1，sin A 与n ＝()2，sin B 共线，求a ，b 的值.18．（本小题满分13分）平面直角坐标系中，点M 的坐标是，曲线1C 的参数方程为1cos ,sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.(1)将曲线1C 和2C 化成普通方程，并求曲线1C 和2C 公共弦所在直线的极坐标方程； (2)若过点M ，倾斜角为3π的直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值. 19．（本小题满分13分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足231p x =-+(其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本102p +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为20(4)p+元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若F 是椭圆C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，T 为直线x ＝4上任意一点，且T 不在x 轴上，(ⅰ)求FM →·FN →的取值范围；(ⅱ)若OT 平分线段MN ，证明：TF ⊥MN （其中O 为坐标原点）.21．（本小题满分14分）已知函数ln ()xf x x a=+(a ∈R )，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-.(1)求实数a 的值，并求()f x 的单调区间； (2)试比较20152014与20142015的大小，并说明理由；(3)是否存在k ∈Z ，使得()2kx f x >+对任意0x >恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由.厦门双十中学2014-2015学年（上）期中检测 高三数学（理科）参考答案及评分标准（2014-11-13）17．（本小题满分13分） 【解析】 (1)依题意，21cos 2111()cos cos 22cos 2sin(2)2222262x f x x x x x x x x π+=-=-=--=--··········································· 3分 所以最小正周期22T ππ==， ····························· 4分 令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间是：[,],63k k k Z ππππ-+∈. ·················· 6分 (2)由11()sin(2)622f C C π=--=，得sin(2)16C π-=， ················· 7分因为0C π<<，所以112666C πππ-<-<，所以262C ππ-=，解得3C π=， ········ 8分因为向量m ＝()1，sin A 与n ＝()2，sin B 共线，所以sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，…① ····································· 9分在△ABC中，由余弦定理得2222cos3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=，……………………② ·························· 11分 由①②，解得1,2a b ==. ······························· 13分18．（本小题满分13分）【解析】(1) 依题意，1C 的普通方程：22(1)1x y -+=，………………………………① ········· 2分对2C ，24sin ρρθ=，所以224x y y +=，即22(2)4x y +-=，……② ········· 4分 ①－②可得，20x y -=， ····························· 6分 所以曲线1C 和2C 公共弦所在直线的极坐标方程为c o s 2s i n 0ρθρθ-=，1tan ()2R θρ=∈. ································ 7分 （注：本次考试，直线的极坐标方程若只写“cos 2sin 0ρθρθ-=”，或者“1tan 2θ=”均给分！） (2)解法一：依题意，直线l的参数方程为13,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点A 、B 分别对应参数12,t t ， ···· 9分代入1C的方程：221(31))122t +-+=，整理得2560t t ++=，所以126t t =， ····12分 所以126MA MB t t ⋅==. ······························· 13分解法二（注：了解即可！）：设曲线1C 的圆心为(1,0)C ，半径1r =， 则由圆幂定理得2222()()(31)0)16MA MB MC r MC r MC r ⋅=+-=-=-+-=. ········· 13分19．（本小题满分13分） 【解析】(1)由题意知，)210()204(p x p py +--+=， ······················ 3分 将231p x =-+代入化简得：x x y -+-=1416（0x a ≤≤）. ··············· 6分 (2)13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y ， ················· 8分 当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号. ······················ 9分 当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； ··················· 10分当1a <时，)114(17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增， ················· 11分 所以x a =时，函数有最大值，即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大. ·········· 12分 综上，当1a ≥时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当1a <时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大. ················· 13分 20．（本小题满分14分） 【解析】(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则222221,2191,4,c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,3a b ==，所以椭圆22:143x y C +=. ··············· 4分 (2)(ⅰ)易得(1,0)F ， ··································· 5分①若直线l 斜率不存在，则1:=x l ，此时)23,1(M ，)23,1(-N ，⋅＝49-； ···· 6分②若直线l 斜率存在，设)1(:-=x k y l ，),(),,(2211y x N y x M ，则 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得：01248)34(2222=-+-+k x k x k ············· 7分 ∴3482221+=+k k x x ，341242221+-=⋅k k x x ······················· 8分∴⋅),1(),1(2211y x y x -⋅-=]1)()[1(21212++-+=x x x x k ＝21149k +-- ···· 9分∵02≥k ∴11102≤+<k ∴411432<+-≤k ∴493-<⋅≤-FM综上，FN FM ⋅的取值范围为]49,3[--． ······················ 10分(ⅱ)线段MN 的中点为Q ，则由(ⅰ)可得，2122243,(1)24343Q Q Q x x k kx y k x k k +-===-=++， ··········································· 11分所以直线OT 的斜率3'4QQ y k x k==-，所以直线OT 的方程为：34y x k =-， ·········· 12分 从而3(4,)T k -，此时TF 的斜率30141TF k k k--==--， ···················13分 所以11TF MN k k k k⋅=-⋅=-，所以TF ⊥MN . ························ 14分21．（本小题满分14分） 【解析】(1)依题意，2ln '()()x ax x f x x a +-=+， ··························· 1分 所以211'(1)(1)1a f a a+==++，又由切线方程可得'(1)1f =，即111a =+，解得0a =， 此时ln ()x f x x =，21ln '()xf x x -=， ·························· 3分令'()0f x >，所以1ln 0x ->，解得0x e <<；令'()0f x <，所以1ln 0x -<，解得x e >， 所以()f x 的增区间为：(0,)e ，减区间为：(,)e +∞. ···················· 5分 (2)解法一：由(1)知，函数()f x 在(,)e +∞上单调递减，所以(2014)(2015)f f >，即2015201420152014ln 2014ln 2015201420152015ln 20142014ln 2015ln 2014ln 201520142015>⇔>⇔>⇔> ··········································· 9分 解法二：201420142015201520151201420142014⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，因为 201420142233201420142014201420142015112014201411111()()()20142014201411122!3!2014!1112122320132014111112(1)()()223201320141320143C C C ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++<++++<++++⨯⨯⨯=+-+-++-=-< 所以2014201520153120142014<<，所以2014201520152014<. ··················· 9分 (3)若()2kx f x >+对任意0x >恒成立，则2ln 2x k x x >+，记2ln 2()x g x x x=+，只需ma x ()k g x >.又32312ln 2122ln '()xx xg xx x x---=-=， ························ 10分 记()122ln h x x x =--，则2'()20h x x=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减.又(1)10h =-<，311ln 21ln 2ln 02h ==>-+=>，所以存在唯一0x ∈，使得0()0h x =，即00122ln 0x x --=， ············11分 当0x >时，(),'(),()h x g x g x 的变化情况如下：12分所以00max 022ln ()()x x g x g x x+==，又因为00122ln 0x x --=，所以0022ln 1x x +=，所以200000220000(22ln )212111()()222x x x x gx x x x x +++===⋅+， 因为0(2x ∈，所以01x ∈，所以03()12g x << ··············13分 又max ()(1)2g x g ≥=，所以02()1g x ≤<因为max ()k g x >，即0()k g x >，且k ∈Z ，故k 的最小整数值为3.所以存在最小整数3k =，使得()2kx f x >+对任意0x >恒成立. ·············· 14分。

2020届福建省厦门市双十中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题 1．已知集合则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为,,所以故选A.【考点】本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算. 2．已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D ．5 【答案】 C【解析】试题分析：由题；11abi i=-+，则(1)1(1)(1)2a i a ai bi i i --==-+-。

即；2,1a b == 所以；|||2|5a bi i -=-= 【考点】复数的运算及复数的模. 3．已知等差数列的前n 项和为，若，则等于A ．18B ．36C ．54D ．72 【答案】D【解析】利用等差数列的性质：下标之和相等的两项的和相等，由,结合等差数列的求和公式可求得. 【详解】 数列为等差数列，,由等差数列的性质得： ,又其前项和为,，故选D .【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式的应用，属于中档题. 解答与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.4．设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（ ） A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥ B ．存在唯一直线l ，使得l a //，且l b ⊥ C ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且//b α D ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥ 【答案】C【解析】【详解】试题分析：过直线a 上任意一点P ，作b 的平行线c ，由,a c 相交确定一个平面α.直线l 只需垂直于平面α，就会与b 垂直，这样的直线有无数条，故A 错误.因为,a b 不一定垂直，根据平面两条直线所成角的定义，排除B.根据线面垂直的概念，排除D.所以选C. 【考点】空间点线面位置关系. 5．设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由x 的范围得到0sin 1x <＜，则由sin 1x x <能得到2sin sin 1x x x x <<，反之不成立，从而可求得结果. 【详解】 02x ＜＜π，∴ 0sin 1x <＜，故2sin sin x x x x <，若“sin 1x x <”，则“2sin 1x x ＜”， 若“2sin 1x x ＜”，则11sin ,1sin sin x x x x，此时sin 1x x <可能不成立， 例如,sin 1,sin 12x x x x π→→>，由此可知，“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x <”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,||||BC AB AC AB AC =+=-，则AM =（ ） A ．8 B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】由||||AB AC AB AC +=-可得0AB AC ⋅=，AB AC ⊥，结合2||16BC =即可得结果. 【详解】因为2||16BC =，所以||4BC =，又因为22||||||||0AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC +=-⇒+=-⇒⋅=， 所以AB AC ⊥,又因为M 是BC 的中点， 所以1||||22AM BC ==, 故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a=.7︒=（）A ．1 BCD ．2【答案】C【解析】根据二倍角公式以及两角差的余弦公式进行化简即可. 【详解】原式22cos 20sin 20cos 25(cos 20sin 20)︒-︒=︒︒-︒02020cos 20sin 20-2522==cos 25cos 25cos 25︒+︒︒+︒︒=︒︒︒）（45）25=cos 25︒=︒故选C. 【点睛】这个题目考查了二倍角公式的应用，涉及两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数值的应用属于基础题.8．已知函数f （x ）=|lgx|.若0<a<b,且f （a ）=f （b ）,则a+2b 的取值范围是（ ） A．)+∞ B．)+∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞【答案】C【解析】试题分析：0,()()a b f a f b <<=，01,a b ∴<<<所以()lg ,()lgb f a a lga f b lgb ==-==，所以由()()f a f b =得lg lg a b -=，即lg lg lg()0+==a b ab ，所以1ab =，1b a =，令2()2h a a b a a=+=+，因为函数()h a 在区间(0,1)上是减函数，故()(1)3h a h >=，故选C 。

20XX年中学测试中学试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：2021届福建源省厦门市双十中学高三年级上学期期中试卷一、本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。

1．A、B两个点电荷在真空中所产生电场的电场线（方向未标出）如图所示。

图中C点为两点电荷连线的中点，MN为两点电荷连线的中垂线，D为中垂线上的一点，电场线的分布关于MN左右对称。

则下列说法中正确的是（）A．这两个点电荷一定是等量异种电荷B．这两个点电荷一定是等量同种电荷C．D、C两点的电势一定相等D．C点的电场强度比D点的电场强度大2．如图所示，a、b和c分别表示点电荷的电场中的三个等势面，它们的电势分别为6V、4V 和1.5V。

一质子（H）从等势面a上某处由静止释放，仅受电场力作用而运动，已知它经过等势面b时的速率为v，则对质子的运动有下列判断，正确的是（）A．质子从a等势面运动到c等势面电势能增加4.5eVB．质子从a等势面运动到c等势面动能增加4.5eVC．质子经过等势面c时速率为2.25vD．质子经过等势面c时速率为1.5v3．如图所示，在水平放置的平行板电容器之间，有一带电油滴P处于静止状态。

若从某时刻起，油滴所带的电荷开始缓慢减少，为维持该油滴仍处于静止状态，可采取下列哪些措施（）A．其他条件不变，使电容器两极板缓慢靠近B．其他条件不变，使电容器两极板缓慢远离C．其他条件不变，将变阻器的滑片缓慢向左移动D．其他条件不变，使变阻器的滑片缓慢向右移动4．如下图所示，两根无限长的平行导线a和b水平放置，两导线中通以流向相反、大小不等的恒定电流，且I a> I b。

当加一个垂直于a、b所在平面的匀强磁场时；导线a 恰好不再受安培力的作用。

则跟加磁场B以前相比较（）A．b也恰好不再受安培力的作用B．b受的安培力小于原来安培力的2倍，方向竖直向下C．b受的安培力等于原来安培力的2倍，方向竖直向下D．b受的安培力小于原来安培力的大小，方向竖直向下5．如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。

2024届厦门双十中学高三数学上学期期初考试卷2023.9（试卷满分150分，考试时间120分钟）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．全集U =R ，能表示集合{}2,1,0A =--和{}2|20B x x x =--≤关系的Venn 图是（）A ．B ．C ．D ．2．不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．a ≥1B ．a ＞1C ．102a ＜＜D ．a ＞23．已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．534．设()()322f x x a x x =---+是定义在[]2,3b b +上的奇函数，则()f a b +=（）A ．-1B ．0C ．1D ．-25．已知函数()1,2,x x x a f x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[0,1]C ．[0,)+∞D ．(,1]-∞6．在三棱锥P -ABC 中，点O 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为侧棱PA ，PB ，PC 的中点，若a AF =，b CE = ，c BD = ，则OP =（）A ．111333a b c++B ．111333a b c---C ．212333a b c---D ．222333a b c++7．已知函数()()22,f x x g x x =-+=，令()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩，则不等式()74h x >的解集是（）A ．1<2x x -⎧⎨⎩或17<<24x ⎫⎬⎭B ．{<1x x -或71<<4x ⎫⎬⎭C ．11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭D ．{1<<1x x -或7>4x ⎫⎬⎭8．已知半径为4的球O ，被两个平面截得圆12O O ､，记两圆的公共弦为AB ，且122O O =，若二面角12O AB O --的大小为2π3，则四面体12ABOO 的体积的最大值为（）A ．83B ．429C ．829D ．439二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．设m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n α⊥，则//m nC ．若//m α，m β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥10．已知实数a ，b ，则下面说法正确的是（）A ．若a b >，则33a ab b>B ．若a ，b 均大于0且ln ln b a a b =，则a b >C ．若0a >，0b >，2a b +=，则221111a b +++最大值为212+D ．若221a b +=，则ab 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．已知函数()(),f x g x 的定义域为()()()()()()(),21,21,4f x f x g x g x g x f x f x +=++=-+R 为奇函数，则（）A ．函数()f x 的图象关于()4,0对称B ．函数()f x 是周期函数C ．()()2100f x f x -++=D ．20231()0k f k ==∑12．如图，棱长为2的正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，O 为线段MN 的中点，球O 的表面正好经过点M ，则下列结论中正确的是（）A ．AO ⊥平面BCDB ．球O 的体积为2π3C ．球O 被平面BCD 截得的截面面积为4π3D ．过点O 与直线AB ，CD 所成角均为π3的直线可作4条三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为．14．正实数,x y 满足142x y +=，且不等式24y x m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围为.15．已知函数()221ax bxf x x +=+在其定义域内为偶函数，且()112f =，则()()()111122022202220212f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.16．在OAB 中，2,120OA AB OAB ∠=== ，若空间点P 满足13PAB OAB S S = ，则OP 的最小值为；直线OP 与平面OAB 所成角的正切的最大值是.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分,BAC ABD ∠ 面积是ADC △面积的3倍.(1)求sin sin BC；(2)若21,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.18．如图，圆台上底面圆1O 半径为1，下底面圆2O 半径为2,AB 为圆台下底面的一条直径，圆2O 上点C 满足1,AC BC PO =是圆台上底面的一条半径，点,P C 在平面1ABO 的同侧，且1//PO BC .(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)若圆台的高为2，求直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值.19．设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．(1)若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；(2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．20．教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数X 的分布列；(3)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点为F ，离心率为12，以坐标原点O 为圆心，OF 为半径作圆使之与直线20x y -+=相切.(1)求C 的方程；(2)设点()4,0,,P A B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，PB 交C 于另一点E ，求AEF △的内切圆半径的范围.22．已知函数()2ln 1,R f x x ax x a a =-++∈，()f x '为()f x 的导函数.(1)讨论()f x '的极值；(2)若存在[2,e]t ∈，使得不等式()0<f t 成立，求a 的取值范围.1．D【分析】化简集合B ，根据两集合的关系，即可得出答案.【详解】由已知，可得{}{}212||20B x x x x x =---≤=≤≤，所以{}1,0A B ⋂=-，根据选项的Venn 图可知选项D 符合.故选：D.2．D【分析】先求得不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的充要条件，再找其充分不必要条件.【详解】不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立，显然0a =不成立，故应满足0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩，解得1a >，所以不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的充要条件是1a >，A 、C 选项不能推出1a >，B 选项是它的充要条件，2a >可以推出1a >，但反之不成立，故2a >是1a >的充分不必要条件.故选：D 3．C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a aa bbb -====．故选：C.4．B【分析】由奇函数的性质可求出,a b 的值，即可求出()f a b +.【详解】因为()()322f x x a x x =---+是定义在[]2,3b b +上的奇函数，所以20230a b b -=⎧⎨++=⎩，解得：21a b =⎧⎨=-⎩，所以()3f x x x =-+，则1a b +=，则()()1110f a b f +==-+=.故选：B.5．B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数a 的取值进行分类讨论即可.【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示：由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论：当0a <时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ；同理当1a >,值域也不是R ；当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ；综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤.故选：B 6．D【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.【详解】取BC 中点为M ，1,21,212PF PA PC PA CE PE PC PB PC BD PD PB P a AF c A PBb ===-=-=-=-=-=-=三个式子相加可得()()122a b c PA PB PC PA PB PC a b c +=++⇒++=-++-+,又()()22113323OP AP AO PA AM PA AB AC PA PB PA PC PA=-==⨯+=-+- ------()()()111112333333PA PB PA PC PA PA PB PC PA PB PC a b c =-+----=++=+--=-+,故选：D7．C【分析】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，结合图像，即可求得()74h x >的解集.【详解】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，联立2=+2=y x y x -⎧⎨⎩，解得=2=2x y --⎧⎨⎩或=1=1x y ⎧⎨⎩，故12x =-，21x =，所以()2,2=+2,2<<1,>1x x h x x x x x ≤---⎧⎪⎨⎪⎩，又由()74h x >可知，其解集为()h x 的函数值比74大的那部图像的所在区间，结合图像易得，()74h x >的解集为{34<<x x x x 或}5>x x 联立2=+27=4y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=27=4x y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或1=27=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故312x =-，412x =，联立=7=4y x y ⎧⎪⎨⎪⎩，解得7=47=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故574x =，所以()74h x >的解集为11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭.故选：C..8．C【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.【详解】设弦AB 的中点为M ，连接12,O M O M ，依题意，可得如下图形，由圆的性质可知12,⊥⊥O M AB O M AB ，则12O MO ∠即为二面角的平面角，故122π3O MO ∠=，四面体12ABOO 的体积为121211sin 362π3MO O V AB S AB O M O M =⋅=⋅⋅⋅ 12312AB O M O M =⋅⋅，其中2221212121243O O O M O M O M O M O M O M=++⋅=≥⋅1243O M O M ⇒⋅≤，当且仅当12233O M O M ==时取等号，由球的截面性质，11OO O M ⊥，22OO O M ⊥，所以12,,,O O O M 四点共圆，则有外接圆直径2423i 23s πn R OM ===，从而2216862221633AB MB OB OM ==-=-=，1222224823339V O M O M ∴=⋅≤⨯=.故选：C 9．BD【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故选项A 错误；对B ：若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故选项B 正确；对C ：若//m α，m β⊂，则//αβ或α与β相交，故选项C 正确；对D ：若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故选项D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】对于A ，分0a b >≥、0a b >>、0a b >>三种情况，结合不等式的性质即可判断；对于B ，令0a b =>可判断；对于C ，由2a b +=可得2242ab ab+=-，从而2221142(1)11(1)4ab a b ab --+=++-+，令1(0)t ab t =-≤，再令()424t m m -=≥，结合基本不等式即可判断；对于D ，由221a b +=可得21ab ≤，求解即可判断.【详解】对于选项A ，若0a b >≥，则3443a a a b b b =>=，若0a b ≥>，则330a a b b ≥>，若0a b >>，则3443a a ab b b =->-=，∴若a b >，都有33a a b b >，故A 正确；对于选项B ，当0a b =>，ln ln b a a b =显然成立，故B 错误；对于选项C ，∵2a b +=，2242ab ab+=-，∴2221142(1)11(1)4ab a b ab --+=++-+，∵2a b +=，212a b ab +⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立.令1(0)t ab t =-≤，则2242(1)42(1)44ab t ab t ---=-++，令()424t m m -=≥，则42-=mt ，22424442132483228288t m t m m m m-+==≤=+-+-+-，当且仅当32m m=，即42m =时，等号成立.∴221111a b +++最大值为212+，故C 正确；对于选项D ，∵221a b +=，∴21ab ≤，1122ab -≤≤，则ab 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确．故选：ACD ．11．ABD【分析】根据函数的对称性可得()f x 的图象关于()4,0对称，结合函数变换可推出函数()f x 是周期为8的函数，结合对称性与周期性逐项判断即可得答案.【详解】因为()4f x +为奇函数，则()()44f x f x +=--+，所以()()8f x f x =--+，则函数()f x 的图象关于()4,0对称，故A 正确；因为()()()21f x f x g x +=+①，()()()21g x g x f x +=-②，则①+②得：()()()()()2112222f x g x g x f x +++==⨯+，即()()2g x f x =+③，②-①得：()()()()()2112222g x f x f x g x +-+=-=⨯+，即()()2f x g x =-+④，由③得()()24g x f x +=+代入④得()()4f x f x =-+，所以()()48f x f x +=-+，则()()8f x f x =+，则函数()f x 是周期为8的函数，故B 正确；由于()f x 的图象关于()4,0对称，()f x 是周期为8的函数，无法确定是否关于点()6,0对称，故C 不正确；将③代入①可得()()()212f x f x f x +=++，所以()()()2213f f f =+，()()()2324f f f =+，()()()2435f f f =+，()()()2546f f f =+，()()()2657f f f =+，()()()2768f f f =+，()()()()()287971f f f f f =+=+，()()()()()()292181082f f f f f f ==+=+，累加得：()()()()()()()()()()2123821238f f f f f f f f ++++=++++ ，故可得()()()()12380f f f f ++++= ，所以20232024202481111()()(2024)()(8253)253()(8)000k k k k f k f k f f k f f k f =====-=-⨯=-=-=∑∑∑∑，故D 正确.故选：ABD.12．ABD【分析】设,E F 分别为,AB CD 的中点，连接,,,,,,ME EN NF MF EF AN DN ，根据线面垂直的判定定理可判断A ；求出球的半径，计算球的体积，进而判断B ；求出球O 被平面BCD 截得的截面圆的半径，可求得截面面积，进而判断C ；通过平移与补形法，通过角平分线的转化寻找平面进而找出直线，从而可判断D.【详解】设,E F 分别为,AB CD 的中点，连接,,,,,,ME EN NF MF EF AN DN ，则11,,,22EM BD NF BD EM BD NF BD ==∥∥,故,EM NF EM NF =∥，则四边形MENF 为平行四边形，故,EF MN 交于一点，且互相平分，即O 点也为EF 的中点，又,AB AC DB DC ==，故,AN BC DN BC ⊥⊥,,,AN DN N AN DN =⊂ 平面AND ，故BC ⊥平面AND ，由于,O MN MN ∈⊂平面AND ，则AO ⊂平面AND ，故BC AO ⊥，结合O 点也为EF 的中点，同理可证DC AO ⊥,,,BC DC C BC DC =⊂ 平面BCD ，故AO ⊥平面BCD ，A 正确；由球O 的表面正好经过点M ，则球O 的半径为OM ,棱长为2的正四面体ABCD 中，3AN DN ==，M 为AD 的中点，则MN AD ⊥，故22312MN ND MD =-=-=,则22OM =，所以球O 的体积为33442π()π()π33322OM ⨯=⨯=，B 正确；由BC ⊥平面AND ，BC ⊂平面BCD ，故平面AND ⊥平面BCD ，平面AND ⋂平面BCD DN =，由于AO ⊥平面BCD ，延长AO 交平面BCD 于G 点，则OG ⊥平面BCD ，垂足G 落在DN 上，且G 为正BCD △的中心，故1333NG ND ==，所以2222236()()236OG ON NG =-=-=，故球O 被平面BCD 截得的截面圆的半径为22263()()263-=，则球O 被平面BCD 截得的截面圆的面积为23ππ()33⨯=，C 错误；由题意得，正四面体可以放入正方体内，如下图所示，将AB 平移至正方体的底面内，过1A FC ∠和1B FD ∠的角平分线作垂直于底面的平面，即平面O P Q ，在平面内一定存在过O 点的两条直线12,l l 使得该直线与直线AB ，CD 所成角均为π3，同理可知，过1B FC ∠和1A FD ∠的角平分线作垂直于底面的平面也存在两条直线满足题意，所以过点O 与直线AB ，CD 所成角均为π3的直线可作4条，D 正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题.要结合图形的特点，作出适合的辅助线，要善于观察图形特点，放入特殊图形中从而快速求解.13．1423π【分析】由圆台的底半径为1和2，母线长为3，求出圆台高为22，由此能求出此圆台体积．【详解】∵圆台的底半径为1和2，母线长为3，∴圆台高h=223(21)--=22，∴此圆台体积V=3π（r 2+R 2+Rr ）h=1423π．故答案为1423π．【点睛】本题考查圆台的体积的求法，解题关键点为在轴截面中求出圆台的高，属于基础题．14．[]1,2-【分析】将问题转化为2min ()4y x m m ≥+-，利用基本不等式求出4y x +的最小值，再解一元二次不等式即可.【详解】因为不等式24yx m m +≥-恒成立，所以2min ()34y x m m ≥+-，因为0,0x y >>，且142x y+=，所以11422()()121242488y y x y x y x x x y y x y x+=++=++≥⋅+=，当且仅当28x yy x=，即1,4x y ==时，等号是成立的，所以min ()24y x +=，所以22m m -≤，即(1)(2)0m m +-≤，解得12m -≤≤.故答案为：[]1,2-15．40432【分析】首先根据()f x 为偶函数和()112f =得到()221xf x x =+，再根据()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解即可.【详解】因为()221ax bxf x x +=+的定义域为R ，且为偶函数，所以()()f x f x -=，即222211ax bx ax bxx x -+=++，即0b =.所以()221ax f x x =+.又因为()1122a f ==，即1a =，所以()221x f x x =+.因为()2222222111111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭+，所以()()()111122022202220212f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111140432022202121202120222021222f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为：4043216．23324【分析】根据空间点P 满足的条件可知点P 在以直线AB 为旋转轴，底面圆半径为33的圆柱上，即可求得OP 的最小值；建立空间直角坐标系利用空间向量求得直线OP 与平面OAB 所成角的正弦值的表达式，再利用换元及基本不等式即可求得结果.【详解】过点O 作OD AB ⊥与点D ，过点P 作PC AB ⊥与点C ，如下图所示又2OA AB ==，则3OD =，又13PAB OAB S S = ，则1333PC OD ==，即点P 为空间中到直线AB 的距离为33，所以点P 在以直线AB 为旋转轴，底面圆半径为33的圆柱上，如图所示易知当点P 与点,O D 三点共线时，OP 最小，且最小值为323333-=；以OAB 所在平面为xO z '，建立B xyz -空间直角坐标，如下图所示：则平面OAB 的法向量为()0,1,0n =，不妨设CP 与x 轴正方向夹角为α，则()3,0,3O，33cos ,sin ,33P h αα⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即33cos 3,sin ,333OP h αα⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，22223310cos 3sin (3)2cos (3)333OP h h ααα⎛⎫⎛⎫=-++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3h =，且cos 1α=时，OP 最小，即当点P 与点O D ､三点共线时，OP 最小，且最小值为233；记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则23sin 3sin 102cos (3)3OP nOP nh αθα⋅==⋅-+-，因为2(3)0h -≥，所以23sin 31cos sin 106cos 102cos 3ααθαα-≤=--，令53cos ,28t t α=-≤≤，则5cos 3t α-=，则2(5)11169sin 10232t t t t θ--≤=--，而16161610101022t t t t t t ⎛⎫--=-+≤-⋅= ⎪⎝⎭，所以1sin 3θ≤，当且仅当4t =，等号成立，此时12tan 422θ==，故答案为：233；24【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件确定空间中点P 的轨迹，再利用空间向量解决线面角取值范围的问题.17．(1)13(2)322BD =，306AC =【分析】（1）利用三角形面积之间的关系，结合正弦定理可得结果；（2）利用三角形角平分线定理可求得BD ；设AC x =，则3AB x =，由πADB ADC ∠+∠=，知cos cos ADB ADC ∠=-∠，由余弦定理得到cos ADB ∠和cos ADC ∠，建立方程求解即可得AC .【详解】（1）11sin ,sin 22ABD ACD S AB AD BAD S AC AD CAD ∠∠=⋅⋅=⋅⋅ ，3,,3ABD ACD S S BAD CAD AB AC ∠∠==∴= ，由正弦定理可知sin 1.sin 3B AC C AB ==（2）23,2BD AB DC DC AC ===，322BD ∴=.设AC x =，则3AB x =，在ABD △与ACD 中，由余弦定理可知，22221192cos 232x AD BD AB ADB AD BD ∠-+-==⋅，222232cos 22x AD CD AC ADC AD CD ∠-+-==⋅，π,cos cos ,ADB ADC ADB ADC ∠∠∠∠+=∴=- 22113922322x x --∴=-，解得306x =，即306AC =.18．(1)证明见解析(2)23015【分析】（1）取AC 中点M ，四边形12PO O M 为平行四边形，从而得到12//PM O O ，根据12O O ⊥平面ABC 可得PM ⊥平面ABC ，从而得到需求证的面面垂直.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出1AO及平面PBC 的法向量后可求线面角的正弦值.【详解】（1）取AC 中点M ，由题意，121,22PO BC AB ===，又1//PO BC ，故1111//,22PO BC PO BC =.又2211//,22O M BC O M BC =，故1212//,PO O M PO O M =，所以四边形12PO O M 为平行四边形，则12//PM O O .由12O O ⊥平面ABC ，故PM ⊥平面ABC ，又PM ⊂面PAC ，故平面PAC ⊥平面ABC .（2）以2O 为坐标原点，2221,,O B O C O O的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：()()()()1222,0,0,2,0,0,0,2,0,,,2,0,0,222A BC P O ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故()12,0,2.AO =设平面PBC 的法向量(),,n x y z =而()222,2,0,,,222BC CP ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，故220222022n BC x y n CP x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，得()2,2,1.n = 设所求角的大小为θ，则11122230sin cos ,1565AO n AO n AO nθ⋅+====⋅⋅ .所以直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值为23015.19．(1)3n a n =(2)5150d =【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由{}n b 为等差数列得出1a d =或12a d =，再由等差数列的性质可得50501ab -=，分类讨论即可得解.【详解】（1）21333a a a =+ ，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，又31232612923T b b b d d d d=++=++=，339621S T d d∴+=+=，即22730d d -+=，解得3d =或12d =（舍去），1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.（2）{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，即21312212a a a =+，2323111616()d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d > ，0n a ∴>，又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即50501a b -=，505025501a a ∴-=，即2505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去）当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解；当1a d =时，501495051a a d d =+==，解得5150d =.综上，5150d =.20．(1)36125(2)分布列见解析(3)最有可能是1人，理由见解析【分析】（1）由独立重复事件的概率公式求解即可；（2）先写出X 的可能取值，再求出每个值的概率即可求解；（3）设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数可能的取值为0、1、2，分别求出相应的概率，比较()0P ξ=、()1P ξ=、()2P ξ=的大小关系，由此可得出结论.【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为25，则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为2232336C 55125P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）X 表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X 的可能取值有0，1，2．2225C 1(0)C 10P X ===；112325C C 6(1)C 10P X ===；2325C 3(2)C 10P X ===．所以分布列为：X12P 0.10.60.3（3）设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，ξ可能的取值有0，1，2，则有：11222222333224222222555555C C C C C C C 37(0)C C C C C C 100P ξ⋅==⋅+⋅+⋅=，11111122112323233241222222555555C C C C C C C C C C 54(1)C C C C C C 100P ξ⋅==⋅+⋅+⋅=，2112223233222222255555C C C C C C 9(2)0C C C C C 100P ξ⋅==⋅+⋅+⋅=，因为(1)(0)(2)P P P ξξξ=>=>=，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．21．(1)22143x y +=(2)30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由题意得22221212c OF c a a b c ⎧===⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组可求出,a b ，从而可得椭圆的方程；（2）设AE 的方程为()0x my t m =+≠，代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由点,,P B E 三点共线且斜率一定存在，可求得1t =，得直线AE 过定点()1,0Q ，且Q 为椭圆右焦点，所求内切圆半径为r ，则12124AQ y y r ⋅-=，化简换元后可求出其范围.【详解】（1）依题意22221212c OF c a a b c ⎧===⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,3a b ==，所以C 的方程为22143x y +=.（2）因为AE 不与x 轴重合，所以设AE 的方程为()0x my t m =+≠，设点()()()11122,0,,A x y y E x y ≠，则()11,B x y -联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223463120m y mty t +++-=，则()222121222631248340,,3434mt t m t y y y y m m --∆=-+>+==++因为点,,P B E 三点共线且斜率一定存在，所以2112114y y y x x x +-=--，所以()1221124x y x y y y +=+，将1122,x my t x my t =+=+代入化简可得121224y y m y y t +=-，故2264312m mtt t -=--，解得1t =，满足()248330m ∆=+>所以直线AE 过定点()1,0Q ，且Q 为椭圆右焦点设所求内切圆半径为r ，因为1442AEF S a r r =⨯⋅= ，所以()22121212214312444434FQA FQEAEF AQ y y y y y y S S Sm r m ⋅-+-++=====+ 令21(1)u m u =+>，则221m u =-，所以2331313u r u u u==++，因为1u >，对勾函数13y u u=+在()1,+∞上单调递增，所以134u u +>，则304r <<.所以内切圆半径r 的范围为30,4⎛⎫⎪⎝⎭..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)答案见解析(2)2e 1,e 1⎛⎫++∞⎪-⎝⎭【分析】（1）求得()2(1ln )f x x a x '=-+，设2(1ln ())x a g x x -+=，求得2()x ag x x-='，分0a ≤和0a >，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值的定义，即可求解；（2）根据题意转化为存在[2,e]t ∈，使得1ln 0at a t t +-+<，构造函数1()ln a h t t a t t+=-+，求得2(1)(1)()t t a h t t +--'=，分12a +≤、21e a <+<和1e a +≥，结合函数()h t 的单调性和极值、最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数2()ln 1,R f x x ax x a a =-++∈，可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()2(1ln )f x x a x '=-+，设2(1()()(0,)ln ),x a g x f x x x =-+∈'=+∞，则2()2ax ag x xx-'=-=，①当0a ≤时，可得()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x '没有极值；②当0a >时，若0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0g x '<，()f x '在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，若,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0g x '>，()f x '在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x '在2a x =处取得极小值，且极小值为ln 22a a f a ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，在(0,)+∞上没有极大值，综上，当0a ≤时，()f x '没有极值；当0a >时，()f x '的极小值为ln 2aa -，无极大值.（2）由题意知，存在[2,e]t ∈，使得2()ln 10f t t at t a =-++<，即存在[2,e]t ∈，使得1ln 0at a t t+-+<，构造函数1()ln a h t t a t t+=-+，则221(1)(1)()1a a t t a h t t t t ++--'=--=，当12a +≤，即1a ≤时，()0h t '≥在[2,e]上恒成立，()h t 单调递增，所以()20h <，可得52ln 21a >-，与1a ≤矛盾，不满足题意；21当21e a <+<，即1e 1a <<-时，若[2,1]t a ∈+，则()0h t '≤，()h t 单调递减，若[1,e]t a ∈+，则()0h t '≥，()h t 单调递增，此时min ()(1)h t h a =+，由min ()(1)0h t h a =+<，可得(1)ln(1)10a a a +-++<，所以2ln(1)a a a +<+，因为21e a <+<，所以不等式2ln(1)a a a +<+不成立；当1e a +≥，即e 1a ≥-时，()0h t '≤在[2,e]t ∈上恒成立，()h t 单调递减，所以(e)0h <，可得2e 1e 1a +>-，满足题意.综上，实数a 的取值范围为2e 1,e 1⎛⎫++∞ ⎪-⎝⎭.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

2020-2021厦门市双十中学高中必修三数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为an D ．这组新数据的标准差为a n3．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<4．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程220x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为（ ） A ．23B ．13C ．12D ．5126．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数120,140的人数占大半．则说法正确的是（）为60；④分数在区间[)A．①②B．①③C．②③D．②④7．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，88．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（）A．1.19B．1.23C．1.26D．1.319．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是()A．336B．510C．1326D．360310．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．？B ．？C ．？D ．？11．已知函数()cos3xf xπ=，根据下列框图，输出S的值为()A．670B．16702C．671D．67212．已知平面区域()2,4yx yy x⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m=+和曲线24y x=-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为()P M．若01m≤≤，则()P M的取值范围为（）A．22,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B．22,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦二、填空题13．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．14．执行如下图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出S的值为__________．15．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为________．16．用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x 4-x 3+3x 2+7,在求x=2时对应的值时,v 3的值为___. 17．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=.(3) 若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.18．已知样本数据12345,,,,a a a a a 的方差222222123451(20)5s a a a a a =++++-，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为__________．19．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区400名年年龄为17岁～18岁的男生体重()kg ，得到频率分布直方图如图5所示：根据图2可得这200名学生中体重在[64.5,76.5]的学生人数是__________． 20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 2 3 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：（1）画出散点图；（2）如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？22．某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了6次试验，得到数据如下：（1）试对上述变量x 与y 的关系进行相关性检验，如果x 与y 具有线性相关关系，求出y 对x 的回归直线方程；（2）根据（1）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？附：相关性检验的临界值表()()nniii ix x y y x y nx yr ---==∑∑()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑$，$$y abx =+$42.0≈27.5≈23．现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10分制)，用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:100分制),用相关的特征量x 表示，数据如下表:（1）求y 关于x 的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1).参考公式及数据:回归直线方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121(x x)(y y)ˆˆˆ,(x x)niii nii ba y bx ==--==--∑∑，其中72193,9.3,()()9.9i ii x y x x y y ===--=∑. 24．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位:千元）与月储蓄i y （单位:千元）的数据资料，计算得10180i i x ==∑，101120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720ii x==∑.（1）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程y bx a =+$$$中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑$，其中x ，y 为样本平均值.）25．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率； (Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.26．[2019·朝鲜中学]在如图所示的程序框图中，有这样一个执行框1()i i x f x -=，其中的函数关系式为42()1x f x x -=+，程序框图中的D 为函数()f x 的定义域．（1）若输入04965x =，请写出输出的所有x 的值； （2）若输出的所有i x 都相等，试求输入的初始值0x ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式．2．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n ，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n . 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．4．D解析：D 【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队很少不失球，故（4）正确. 故选：D ．5．A解析：A 【解析】分析：可以按照等可能时间的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式求解.详解：因为a 是抛掷一枚骰子得到的点数，所以试验发生包含的事件总数为6， 方程220x ax ++=有两个不等实根，所以280a ->， 以为a 为正整数，所以3,4,5,6a =，即满足条件的事件有4种结果，所以所求的概率为4263P ==，故选A. 点睛：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式()()n A P n =Ω.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图8．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.9．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.10．A【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为， 第1次循环，，， 第2次循环，，，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=， ∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．D解析：D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题13．【解析】14．15【解析】程序执行过程为：当i=1s=1i<6s=1当i=3i<6s=3当i=5i<6s=15当i=7i>6退出s=15填15解析：15 【解析】 程序执行过程为：当i=1,s=1,i<6,s=1,当i=3,i<6,s=3,当i=5,i<6，s=15,当i=7，i>6，退出s=15.填15.15．30【解析】时继续时继续时停止输出点睛:本题考查的是算法与流程图算法与流程图的的考查侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念包括选择结构循环结构伪代码其次要重视循环起点条件循环次数循解析：30 【解析】3i =时，0236S =+⨯=，继续， 5i =时，62516S =+⨯=，继续，7i =时，162730S =+⨯=，停止， 输出30S =．点睛:本题考查的是算法与流程图.算法与流程图的的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.16．【解析】f(x)=2x4-x3+3x2+7=(((2x-1)x+3)x)x+7∴v0=2v1=2×2-1=3v2=3×2+3=9v3=9×2=18故答案为：18解析：【解析】f (x )=2x 4-x 3+3x 2+7=(((2x -1)x +3)x )x +7， ∴v 0=2,v 1=2×2-1=3,v 2=3×2+3=9,v 3=9×2=18. 故答案为：18.17．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4） 【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-Q ：（）．，， 又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----Q ，，，又200|33k y x x x ='==-Q ，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=Q ，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错；对于(3)，若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..18．或【解析】设样本数据的平均数为则方差：结合可得：即样本数据的平均数为2或-2则样本数据的平均数为：或故答案为或点睛：平均数与方差都是重要的数字特征是对总体的一种简明的描述它们所反映的情况有着重要的实解析：5或3- 【解析】设样本数据的平均数为a ，则方差：()()522152215522115221522115125125512555155i i i i i i i i i i i i i s a a a aa a a a a a a a a a a a =======-=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 结合()222222123451205s a a a a a =++++-可得：2520,2a a =∴=±， 即样本数据12345,,,,a a a a a 的平均数为2或-2，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为：2215⨯+=或()2213⨯-+=-.故答案为5或3-．点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．要注意其区别与联系.19．232【解析】由图可知：段的频率为则频数为人解析：232 【解析】由图可知：64.576.5~段的频率为1(0.010.030.050.050.07)20.58-++++⨯=， 则频数为4000.58232⨯=人．20．【解析】由题意∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(154) 解析：()1.5,4【解析】由题意,()()110123 1.5,1357444x y =+++==+++= ∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(1.5,4)三、解答题21．（1）见解析；（2）ˆ0.72860.8575yx =-；（3）机器的转速应控制在14.9转/秒以下 【解析】 【分析】（1）由表中数据做图（2）根据线性回归方程中公式求ˆ,ba 即可写出方程（3）利用线性回归方程建立不等式求解. 【详解】（1）画出散点图，如图所示：（2）4421112.5,8.25,438,660,i ii i i x y x yx ======∑∑41422214438412.58.250.7286660412.ˆ54i i i i i x y xy bx x ==--⨯⨯∴==≈-⨯-∑∑，8.250.728612.50.857ˆˆ5ay bx =-≈-⨯=-. 故回归直线方程为0.72860.8575ˆyx =-. （3）要使100.72860.857510y x ≤-≤，则，14.9019x ≤.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下. 【点睛】本题主要考查了散点图，线性回归方程，利用线性回归方程解决问题，属于中档题. 22．（1）答案见解析.（2）96 【解析】 【分析】（1）根据表中所给数据，计算出||r ，即可求得答案.（2）每小时加工零件的数量，即60x =，将60x =代入ˆ0.65757yx =+，即可求得答案. 【详解】（1）由表中数据得：6117950i ii x y==∑，6219100i i x ==∑，62139158i i y ==∑，35,80x y ==∴0.05||0.997r r ==>从而有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系，∴此求回归直线方程是有意义的．计算得：ˆˆ0.657,57ba== ∴ˆ0.65757yx =+ （2）Q 每小时加工零件的数量，即60x =将60x =代入ˆ0.65757y x =+ ˆ96.42y= 故每小时加工零件的数量额定为96比较合理 【点睛】本题考查回归直线方程以及应用，考查基本分析与求解能力，属基本题.23．(1) ˆ0.12 1.93yx =-. (2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心。

2020-2021学年厦门市双十中学高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−16<0}，B ={−4,−2,0，1}，则( )A. B ⊆AB. A ∩B =⌀C. A ∩B ={0,1}D. A ∩B ={−2,0，1} 2. 等差数列中的是函数的极值点，则( ) A. B. C. D. 3. 图为几何体的三视，则该何体的表积为( )A. 20+2πB. 20+3πC. 24+2πD. 24+3π 4. 若函数f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(0≤φ≤π)为偶函数，则φ的取值为( )A. 0B. π2C. π4D. π 5. 某林场计划第一年造林1000公顷，以后每年比前一年多造林20%，则第四年该林场造林( )A. 1440公顷B. 17280公顷C. 1728公顷D. 2073.6公顷 6. 圆x 2+y 2=4上各点到直线L ：4x +3y −12=0的最小距离是( )A. 25B. 125C. 27D. 127 7. 在△ABC 中，D 为BC 边上一点，DC =2BD ，AD =√2，∠ADC =60°，若 AC =√2AB ，则BD 等于( )A. 2+√3B. 2+√2C. √2+√3D. 1+√2 8. 已知在△ABC 中，AB =BC =3，AC =4，设O 是△ABC 的内心，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m ：n =( )A. 5：3B. 4：3C. 2：3D. 3：49. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 2021>0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，四棱锥S −ABCD 的底面为正方形，SA ⊥底面ABCD ，且SA =AD ，则异面直线DC 与SB所成的角为( )A. 60°B. 30°C. 45°D. 90°11. 已知直棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC ，点P 是侧面ABB 1A 1内的动点，点P 到棱AC 的距离等于到平面BCC 1B 1的距离，则动点P 的轨迹是( )A. 抛物线的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 直线的一部分12. 已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f(x)g′(x)>f′(x)g(x)，且f(x)=a x g(x)(a >0且a ≠1，f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52，对于有穷数列{f(n)g(n)}(n =1,2,…)，任取正整数k(1≤k ≤10)，则前k 项和大于1516的概率是( ) A. 310 B. 25 C. 12 D. 35 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. △ABC 的外接圆圆心为O ，已知|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______． 14. 已知函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx ，则f(x)的最小正周期为______ ；若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，则m 的最小值为______ ．15. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是椭圆的上下顶点，B 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，直线AF 与BC 相交于点D 。

福建省厦门双十中学 20XX 届高三上学期期中考试数 学 试 题（文）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．若2{|40},{|3,0},A A x x x B x x B =-<=-则=（ ）A ．（0，3）B ．（0，4）C ．（1，3）D ．（3，4）2．已知向量(1,),(1,),a n b n a b b ==--若2与垂直，则||a = （ ）A ．1BC ．2D ．43．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立的是 （ ）A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面 4．23sin6π等于 （ ）A ．2- B ．12-C ．12D ．25．已知数列{}n a 的通项公式*2log ()1n na n N n =∈+，设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的自然数n 有（ ）A ．最大值15B ．最小值15C ．最大值16D ．最小值166．函数|21|xy =-在区间(1,1)k k -+内不单调，则k 的取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．(,1)-∞C ．（-1，1）D ．（0，2）7．已知函数()sin()cos()f x a x a b x ππβ=+++，且(2011)3f =，则(2012)f 的值是（ ）A ．-1B ．-2C ．-3D ．18．若命题:|1|4p x +≤，命题2:56q x x <-，则p q ⌝⌝是的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()21xf x =-，则2(log 12)f 的值为（ ）A ．13B ．43C ．2D ．1110．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知211210,38,m m m m a a a S m -+-+-==则=（ ）A ．38B ．20C ．10D ．911．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，*(,1),n b n n n N =+∈，下列命题中真命题是（ ）A ．若*//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若*n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若*n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列12．已知函数22()f x x bx cx =++的图像如图所示，则2212x x +等于（ ）A ．23B ．43C ．83D ．163二、填空题：（每小题4分，共16分） 13．已知3(,0),sin ,25πααπα∈-=--则cos()= 。

福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+1＞0 B．存在x∈R，x2+1＞0C．存在x∈R，x2+1≤0D．对任意的x∈R，x2+1≤02．（5分）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3} B．{1，2，4} C．{0，1，2，3} D．{0，1，2，3，4}3．（5分）sinα≠sinβ是α≠β的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2B．＜C．＞D．a2＞ab＞b25．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣37．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x8．（5分）下列函数存在极值的是（）A．y=2x+cosx B．y=e x﹣lnxC．y=x3+3x2+3x﹣1 D．y=lnx﹣9．（5分）定义：|×|=||•||•sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=﹣6，则|×|=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．610．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f （2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＞0．给出下列命题：①函数f（x）一定是周期函数；②函数f（x）在区间[﹣6，﹣4]上为增函数；③直线x=﹣4是函数f（x）图象的一条对称轴；④函数f（x）在区间[﹣6，6]上有且仅有4个零点．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11．（4分）设，则=．12．（4分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，则C1的离心率=．13．（4分）已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=．14．（4分）若定义在[a，b]上的函数f（x）=x3﹣3x2+1的值域为[﹣3，1]，则b﹣a的最大值是．15．（4分）已知A i（i=1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）是△AOB所在的平面内的n个相异点，且•=．给出下列命题：①||=||=…=||=；②||的最小值不可能是||；③点A，A1，A2，…，A n在一条直线上；④向量及在向量的方向上的投影必相等．其中正确命题的序号是．（请填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.16．（13分）已知全集U=R，m＞0，集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，B={x||x﹣3|≤m}．（1）当m=2时，求A∩（∁U B）；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．17．（13分）已知向量=（sinx，﹣cosx），=（cosx，cosx），记函数f（x）=•．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且c=，f（C）=，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值．18．（13分）平面直角坐标系中，点M的坐标是（3，），曲线C1的参数方程为（α为参数），在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）将曲线C1和C2化成普通方程，并求曲线C1和C2公共弦所在直线的极坐标方程；（2）若过点M，倾斜角为的直线l与曲线C1交于A，B两点，求||•||的值．19．（13分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20．（14分）已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若F是椭圆C的右焦点，过F的直线交椭圆C于M、N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上，（ⅰ）求•的取值范围；（ⅱ）若OT平分线段MN，证明：TF⊥MN（其中O为坐标原点）．21．（14分）已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+1＞0 B．存在x∈R，x2+1＞0C．存在x∈R，x2+1≤0D．对任意的x∈R，x2+1≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是：存在x∈R，x2+1≤0．故选：C．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．（5分）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3} B．{1，2，4} C．{0，1，2，3} D．{0，1，2，3，4}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由A与B交集的元素为1，得到1属于A且属于B，得到a2=1，求出a的值，进而求出b的值，确定出A与B，找出既属于A又属于B的元素，即可确定出两集合的并集．解答：解：∵A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，∴a2=1，解得：a=1或a=﹣1，当a=1时，1﹣a=1﹣1=0，不合题意，舍去；当a=﹣1时，1﹣a=1﹣（﹣1）=2，此时b=1，∴A={3，1}，集合B={0，1，2}，则A∪B={0，1，2，3}．故选C点评：此题考查了交、并集及其运算，是一道基本题型，熟练掌握交、并集的定义是解本题的关键．3．（5分）sinα≠sinβ是α≠β的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由sinα≠sinβ，得α≠β，但由α≠β不能得到sinα≠sinβ．由此能求出结果．解答：解：∵sinα≠sinβ，∴α≠β，但由α≠β不能得到sinα≠sinβ．故sinα≠sinβ是α≠β的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件和充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2B．＜C．＞D．a2＞ab＞b2考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：本题可以利用基本不等关系，判断选项中的命题是否正确，正确的可加以证明，错误的可以举反例判断，得到本题结论．解答：解：选项A，∵c为实数，∴取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；选项B，=，∵a＜b＜0，∴b﹣a＞0，ab＞0，∴＞0，即，故选项B不成立；选项C，∵a＜b＜0，∴取a=﹣2，b=﹣1，则，，∴此时，故选项C不成立；选项D，∵a＜b＜0，∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，∴a2＞ab．∴ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，∴ab＞b2．故选项D正确，故选D．点评：本题考查了基本不等关系，本题难度不大，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先由函数f（x）的图象判断a，b的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案．解答：解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），故选：C点评：本题考查了指数函数和二次函数的图象和性质，属于基础题．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3考点：简单线性规划．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解答：解：由z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点C时，直线y=截距最大，此时z最小，由，解得，即C（3，4）．代入目标函数z=2x﹣3y，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．7．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x考点：抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程表示出F的坐标，进而根据点斜式表示出直线l的方程，求得A的坐标，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a，则抛物线的方程可得．解答：解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选C．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，点斜式求直线方程等．考查学生的数形结合的思想的运用和基础知识的灵活运用．8．（5分）下列函数存在极值的是（）A．y=2x+cosx B．y=e x﹣lnxC．y=x3+3x2+3x﹣1 D．y=lnx﹣考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由极值的定义确定是否存在极值，注意导数有正有负且有0．解答：解：选项A：y′=2﹣sinx＞0，故不存在极值；选项B：y′=e x﹣有正有负且有零点，故存在极值；选项C：y′=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，故不存在极值；选项D：y′=+＞0，故不存在极值．故选B．点评：本题考查了函数存在极值的条件，属于基础题．9．（5分）定义：|×|=||•||•s inθ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=﹣6，则|×|=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．6考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算和新定义即可得出．解答：解：由数量积可得=10cosθ，解得，∵0≤θ≤π，∴．∴|×|===8．故选A．点评：正确理解向量数量积运算和新定义是解题的关键．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f （2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＞0．给出下列命题：①函数f（x）一定是周期函数；②函数f（x）在区间[﹣6，﹣4]上为增函数；③直线x=﹣4是函数f（x）图象的一条对称轴；④函数f（x）在区间[﹣6，6]上有且仅有4个零点．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，令x=﹣2，易求f（﹣2）=0，利用f（x）为偶函数可知f（2）=0，于是可得f （x+4）=f（x），可判断①；②，依题意易知函数f（x）在区间[﹣6，﹣4]上为减函数，可判断②；③，利用偶函数f（x）是周期为4的函数的性质可判断③；④，利用函数的单调性质及周期性可判断④．解答：解：对于①，∵对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，∴令x=﹣2，则f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=0，又函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的函数，故①正确；对于②，∵x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＞0，∴偶函数y=f（x）在区间[0，2]上是增函数，在[﹣2，0]上是减函数，又其周期为4，∴函数f（x）在区间[﹣6，﹣4]上为减函数，故②错误；对于③，∵y=f（x）为偶函数，∴直线x=0（即y轴）是函数f（x）图象的一条对称轴，又函数f（x）是周期为4的函数，∴直线x=﹣4是函数f（x）图象的一条对称轴，故③正确；对于④，∵f（﹣2）=f（2）=0，函数f（x）是周期为4的函数，∴f（﹣6）=f（﹣2）=0，f（6）=f（2）=0，又y=f（x）在区间[﹣6，﹣4]，[﹣2，0]，[2，4]上均为减函数；在区间[﹣4，﹣2]，[0，2]，[4，6]上是增函数，∴函数f（x）在区间[﹣6，6]上有且仅有4个零点，故④正确．综上所述，正确命题的个数是3个，故选：C．点评：本题考查抽象函数的应用，突出考查函数的单调性、周期性、对称性与函数的零点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11．（4分）设，则=．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可．解答：解：===x3|01+（2x﹣x2）|12=（﹣0）﹣（2﹣）=故答案为：点评：本题主要考查定积分、定积分的应用、导数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．12．（4分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，则C1的离心率=．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，可得==2，利用，即可求出C1的离心率．解答：解：∵双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，∴==2，∴=，故答案为：．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，属基础题13．（4分）已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=55．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：观察所给的等式，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可写出结果．解答：解：观察下列等式=2，=3，=4，…，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，∴a+b=55，故答案为：55点评：本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系．14．（4分）若定义在[a，b]上的函数f（x）=x3﹣3x2+1的值域为[﹣3，1]，则b﹣a的最大值是4．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：本题先通过导函数研究函数的极值，再利用方程得到相应的边界点，然后解不等式得到x的取值范围，从而得到最大的区间[a，b]，求出b﹣a的最大值，得到本题结论．解答：解：∵函数f（x）=x3﹣3x2+1，∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），∴当x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，2）上单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．∴当x=0时，f（x）有极大值，f（0）=1，当x=2时，f（x）有极小值，f（2）=23﹣3×22+1=﹣3，∵当f（x）=1时，x=0或x=3，当f（x）=﹣3时，x=2或x=﹣1，∴若﹣3≤f（x）≤1，则﹣1≤x≤3．∴定义在[a，b]上的函数f（x）=x3﹣3x2+1的值域为[﹣3，1]，则b﹣a的最大值是1﹣（﹣3）=4．故答案为：4．点评：本题考查了导函数与函数的最值，还考查了数形结合思想，本题难度适中，计算量略大，属于中档题．15．（4分）已知A i（i=1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）是△AOB所在的平面内的n个相异点，且•=．给出下列命题：①||=||=…=||=；②||的最小值不可能是||；③点A，A1，A2，…，A n在一条直线上；④向量及在向量的方向上的投影必相等．其中正确命题的序号是③④．（请填上所有正确命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由条件利用两个向量的数量积的定义，可得和在上的投影相等，从而得出结论．解答：解：如图，由•=，可得||•||cos∠A i OB=||•||cos∠AOB，故有||cos∠A i OB=||cos∠AOB，即和在上的投影相等，即点A、A i在同一条垂直于直线OB的直线l上，如图所示，故③④正确，①不正确．由图可知，当A i位于所在直线上时||有最小值，故②不正确．∴正确的命题是③④．故答案为：③④．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义及向量在向量上的投影，关键是对题意的理解，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.16．（13分）已知全集U=R，m＞0，集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，B={x||x﹣3|≤m}．（1）当m=2时，求A∩（∁U B）；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（1）当m=2时，求出集合A，B，即可求A∩（∁U B）；（2）若p是q的充分条件，建立集合关系即可求实数m的取值范围解答：解：（1）由x2﹣x﹣12＜0，解得﹣3＜x＜4，即A=（﹣3，4），当m=2时，B={x||x﹣3|≤2}={x|1≤x≤5}，则∁U B={x|x＞5或x＜1}，则A∩（∁U B）={x|﹣3＜x＜1}，（2）若p是q的充分条件，则A⊆B，由m＞0知B={x||x﹣3|≤m}={x|3﹣m≤x≤3+m}，则，即，即m≥6，故实数m的取值范围是[6，+∞）．点评：本题主要考查函数的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，根据条件求出函数的定义域和值域是解决本题的关键．17．（13分）已知向量=（sinx，﹣cosx），=（cosx，cosx），记函数f（x）=•．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且c=，f（C）=，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）函数化简为：f（x）=sin（2x﹣）﹣，即可求得f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）由f（C）=可求C的值，根据向量m与n共线可求得b=2a，再根据a2+b2﹣ab=3，进而解得a，b的值．解答：解：（1）依题意，f（x）=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣=sin2x﹣cos2x ﹣=sin（2x﹣）﹣（3分）所以最小正周期T==π，（4分）令2kπ≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间是：[k，k]，k∈Z．（6分）（2）由f（C）=sin（2C﹣）﹣=，得sin（2C﹣）=1，（7分）因为0＜C＜π，所以﹣＜2C﹣＜，所以2C﹣=，解得C=，（8分）因为向量m=（1，sinA）与n=（2，sinB）共线，所以sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，…①（9分）在△ABC中，由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=3，…②（11分）由①②，解得a=1，b=2．（13分）点评：本题主要考察了平面向量数量积的运算，余弦定理、两角和与差的正弦函数公式的综合应用，属于中档题．18．（13分）平面直角坐标系中，点M的坐标是（3，），曲线C1的参数方程为（α为参数），在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）将曲线C1和C2化成普通方程，并求曲线C1和C2公共弦所在直线的极坐标方程；（2）若过点M，倾斜角为的直线l与曲线C1交于A，B两点，求||•||的值．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）曲线C1和C2消去参数方程中的参数，得到普通方程，再利用参数求出公共弦所在直线的极坐标方程，得到本题结论；（2）利用直线l的参数方程，求出对应参数t1•t2的值，得到||•||的值，得到本题结论．解答：解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴C1的普通方程：（x﹣1）2+y2=1，…①∵C2：ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，即x2+（y﹣2）2=4，…②①﹣②可得，x﹣2y=0，∴曲线C1和C2公共弦所在直线的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ=0，tanθ=，（ρ∈R）．（2）依题意，直线l的参数方程为（T为参数），点A、B分别对应参数t1，t2，代入C1的方程：（3+）2+（+）2=1，∴整理得t2+5t+6=0，∴t1t2=6，∴MA|•|MB|=6．点评：本题考查了参数方程转化为普通方程，以及参数方程的应用，本题难度不大，属于基础题．19．（13分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）将代入化简得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）（注：当a≥1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．20．（14分）已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若F是椭圆C的右焦点，过F的直线交椭圆C于M、N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上，（ⅰ）求•的取值范围；（ⅱ）若OT平分线段MN，证明：TF⊥MN（其中O为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）椭圆C的方程为=1a＞0，b＞0，运用方程组求解，（2）（ⅰ）分类①若直线l斜率不存在，②若直线l斜率存在，利用韦达定理求解，（ⅱ）求出直线OT的斜率k′==，TF的斜率k TF==﹣，根据斜率判断．解答：解：（1）设椭圆C的方程为=1a＞0，b＞0，则解得a2=4，b2=3，所以椭圆C：=1，（2）（ⅰ）易得F（1，0）①若直线l斜率不存在，则l：x=1，此时M（1，），n（1，﹣），=，②若直线l斜率存在，设l：y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），则由消去y得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=（1+k2）[x1x2﹣（x1+x2）+1]=，∵k2≥0∴0≤1∴3＜4∴﹣3≤综上，的取值范围为[﹣3，），（ⅱ）线段MN的中点为Q，则由（ⅰ）可得，x Q==，y Q=k（x Q﹣1）=，所以直线OT的斜率k′==，所以直线OT的方程为：y=﹣x，从而T（4，﹣），此时TF的斜率k TF==﹣，所以k TF k MN=﹣•k=﹣1，所以TF⊥MN．点评：本题综合考查了椭圆的方程，性质，结合韦达定理求解，运算量较大，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得f′（1）=1，列出方程求出a的值，代入函数解析式和导数，分别求出f′（x）＞0、f′（x）＜0对应的x的范围，即求出函数f（x）的单调区间；（2）解法一：根据函数f（x）的单调性得：＞，由对数的运算律、单调性化简即可，解法二：将化为：，由二项式定理化简=，再由放缩法和裂项相消法进行化简；（3）先将kx＞f（x）+2分离出k：，构造函数g（x）=，再求出此函数的导数g′（x）并化简，再构造函数并二次求导，通过特殊函数值的符号，确定函数零点所在的区间，列出表格判断出g（x）的单调性，从而求出g（x）的最大值，再由自变量的范围确定出g（x）的最大值的范围，从而求出满足条件的k的最小值．解答：解：（1）依题意，（x＞0），（1分）所以=，由切线方程得f′（1）=1，即=1，解得a=0，此时（x＞0），，（3分）令f′（x）＞0得，1﹣lnx＞0，解得0＜x＜e；令f′（x）＜0得，1﹣lnx＜0，解得x＞e，所以f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．（5分）（2）解法一：由（1）知，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以f＞f，即＞，则2015ln2014＞2014ln2015，所以ln20142015＞ln20152014，即20142015＞20152014（9分）解法二：=，因为==1+1+++…+＜2+＜2+＜2+（1﹣）+（）+…+（﹣）=3﹣＜3，所以，所以20142015＞20152014．（9分）（3）若kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立，则，记g（x）=，只需k＞g（x）max．又=，（10分）记h（x）=1﹣2x﹣2lnx（x＞0），则，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．又h（1）=﹣1＜0，=1﹣+ln2＞1﹣+ln2=ln＞0，所以存在唯一，使得h（x0）=0，即1﹣2x0﹣2lnx0=0，（11分）当x＞0时，h（x）、g′（x）、g（x）的变化情况如下：x （0，x0）x0（x0，+∞）h（x）+ 0 ﹣g′（x）+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘（12分）所以g（x）max=g（x0）=，又因为1﹣2x0﹣2lnx0=0，所以2x0+2lnx0=1，所以g（x0）===，因为，所以，所以，（13分）又g（x）max≥g（1）=2，所以，因为k＞g（x）max，即k＞g（x0），且k∈Z，故k的最小整数值为3．所以存在最小整数k=3，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立．（14分）点评：本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值之间的关系，恒成立问题转化为求函数的最值，以及构造法、二次求导判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力，化简计算能力．。

2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+1＞0 B．存在x∈R，x2+1＞0C．存在x∈R，x2+1≤0 D．对任意的x∈R，x2+1≤02．（5分）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3}B．{1，2，4}C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4} 3．（5分）设a，b为实数，若复数，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3 B．2 C．D．15．（5分）等比数列{a n}中，a3=1，q＞0，满足2a n+2﹣a n+1=6a n，则S5的值为（）A．31 B．121 C．D．6．（5分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．97．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．08．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log 2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]11．（5分）已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量，，n∈N*．下列命题中真命题是（）A．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{a n}是等差数列B．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{a n}是等比数列C．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{a n}是等差数列D．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{a n}是等比数列12．（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）二.填空题（每题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域为．14．（5分）在极坐标系中，已知圆C经过点P（），圆心为直线ρsin（）=﹣与极轴的交点，则圆C的极坐标方程是．15．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．16．（5分）给出下列四个命题中：①命题：；②函数f（x）=2x﹣x2有三个零点；③对∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，则x2+y2≥4．④已知函数，若△ABC中，角C是钝角，那么f（sinA）＞f（cosB）其中所有真命题的序号是．三.解答题17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，S9=99．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若数列{}的前n项和T n，试求T n并证明不等式T n＜1成立．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．（1）求b的值；（2）求sin（2B﹣）的值．19．（12分）已知函数f（x）=2x﹣．（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；（Ⅱ）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知椭圆E的方程：，P为椭圆上的一点（点P在第三象限上），圆P 以点P为圆心，且过椭圆的左顶点M与点C（﹣2，0），直线MP 交圆P与另一点N．（Ⅰ）求圆P的标准方程；（Ⅱ）若点A在椭圆E上，求使得取得最小值的点A的坐标；（Ⅲ）若过椭圆的右顶点的直线l上存在点Q，使∠MQN为钝角，求直线l斜率的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+1，g（x）=ax2﹣2x+1，其中实数a≠0．（Ⅰ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；（Ⅲ）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】22．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+1＞0 B．存在x∈R，x2+1＞0C．存在x∈R，x2+1≤0 D．对任意的x∈R，x2+1≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是：存在x∈R，x2+1≤0．故选：C．2．（5分）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3}B．{1，2，4}C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4}【解答】解：∵A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，∴a2=1，解得：a=1或a=﹣1，当a=1时，1﹣a=1﹣1=0，不合题意，舍去；当a=﹣1时，1﹣a=1﹣（﹣1）=2，此时b=1，∴A={3，1}，集合B={0，1，2}，则A∪B={0，1，2，3}．故选：C．3．（5分）设a，b为实数，若复数，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：，因此．a﹣b=1．故选：C．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3 B．2 C．D．1【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离，则由圆的性质可得，，即．故选：B．5．（5分）等比数列{a n}中，a3=1，q＞0，满足2a n+2﹣a n+1=6a n，则S5的值为（）A．31 B．121 C．D．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3=1，q＞0，∴a1q2=1，∵2a n+2﹣a n+1=6a n，令n=1∴2a3﹣a2=6a1，可得2q2﹣q﹣6=0，解得q=2，q=﹣（舍去），∵a1q2=1，∴a1=，∴a n=×2n﹣1=2n﹣3，∴S5==，故选：C．6．（5分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选：C．7．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．0【解答】解：由题意x∈，得2x∈[﹣，]，∴∈[，1]∴函数在区间的最小值为．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），故选：C．9．（5分）“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：令f（x）=x2+x+a，∵一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根，∴f（0）＜0，∴a＜0，根据充分必要条件的定义可判断：“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的充分而不必要条件，故选：A．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log 2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（）=f（﹣log 2a）=f（log2a），则f（log 2a）+f（）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A．11．（5分）已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量，，n∈N*．下列命题中真命题是（）A．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{a n}是等差数列B．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{a n}是等比数列C．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{a n}是等差数列D．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{a n}是等比数列【解答】解：由可得，na n=（n+1）a n，即，于是，+1则a n=•••…•a1=••…•a1=na1，数列{a n}为等差数列，故A正确，B错误；=0，分析可得，若⊥，则有na n+（n+1）a n+1则a n=•••…•a1，分析易得此时数列{a n}既不是等差数列，也不是等比数列，C、D均错误；故选：A．12．（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【解答】解：∵y=e x和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．二.填空题（每题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域为[﹣3，0）∪（0，2）．【解答】解：要使函数有意义，则，即，则﹣3≤x＜0或0＜x＜2，即函数的定义域为[﹣3，0）∪（0，2），故答案为：[﹣3，0）∪（0，2）．14．（5分）在极坐标系中，已知圆C经过点P（），圆心为直线ρsin（）=﹣与极轴的交点，则圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ．【解答】解：点P（）的直角坐标为（1，1），直线ρsin（）=﹣的直角坐标方程为y﹣x=﹣，即x﹣y﹣=0，此直线和极轴的交点为（1，0），即所求圆的圆心C，故半径为CP=1，故所求的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，化为极坐标方程为ρ=2cosθ，故答案为：ρ=2cosθ．15．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．【解答】解：∵，．∴===+﹣==1，化为，∵，∴．故答案为．16．（5分）给出下列四个命题中：①命题：；②函数f（x）=2x﹣x2有三个零点；③对∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，则x2+y2≥4．④已知函数，若△ABC中，角C是钝角，那么f（sinA）＞f（cosB）其中所有真命题的序号是①②③④．【解答】解：，故①对；画出函数y=2x，y=x2的图象如下图，可知②对；圆x2+y2=4的圆心（0，0）到4x+3y﹣10=0的距离d==2，故∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，均有x2+y2≥4，故③正确，因为，故，所以1＞cosB＞sinA＞0，又因为f（x）在（0，1）上单调递减．故f（sinA）＞f（cosB），即④正确；故真命题的序号有：①②③④，故答案为：①②③④．三.解答题17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，S9=99．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若数列{}的前n项和T n，试求T n并证明不等式T n＜1成立．【解答】（1）解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵a2=5，S9=99，∴，得a5=11，∴3d=a5﹣a2=6，∴d=2，a1=3，∴a n=2n+1，．（Ⅱ）证明：，∴=，∴T n＜1．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．（1）求b的值；（2）求sin（2B﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，即b2=32+12﹣2×3×cosB，可得b=．（Ⅱ）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，sin2B=2sinBcosB=，所以===．19．（12分）已知函数f（x）=2x﹣．（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；（Ⅱ）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≤0时f（x）=0，当x＞0时，，有条件可得，，即22x﹣2×2x﹣1=0，解得，∵2x＞0，∴，∴．（Ⅱ）当t∈[1，2]时，，即m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）．∵t∈[1，2]，∴﹣（1+22t）∈[﹣17，﹣5]，故m的取值范围是[﹣5，+∞）．20．（12分）已知椭圆E的方程：，P为椭圆上的一点（点P在第三象限上），圆P 以点P为圆心，且过椭圆的左顶点M与点C（﹣2，0），直线MP 交圆P与另一点N．（Ⅰ）求圆P的标准方程；（Ⅱ）若点A在椭圆E上，求使得取得最小值的点A的坐标；（Ⅲ）若过椭圆的右顶点的直线l上存在点Q，使∠MQN为钝角，求直线l斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）椭圆E的方程：，得M（﹣10，0），C（﹣2，0）…（1分）设点P（m，n），则有，又：，∴n=﹣4，即P（﹣6，﹣4），…（2分）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以圆P的标准方程为（x+6）2+（y+4）2=32﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）∵P为MN的中点，可得N（﹣2，﹣8）设A（x，y），∴，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴，得x=﹣6，y=﹣4时，∴最小﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）经检验，点A在椭圆上∴A（﹣6，﹣4）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（III）设直线l：y=k（x﹣10），即直线与圆相交﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以圆心P到直线l的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）得得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+1，g（x）=ax2﹣2x+1，其中实数a≠0．（Ⅰ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；（Ⅲ）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，又a＞0，∴当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣a）和内是增函数，在内是减函数．（Ⅱ）由题意知x3+ax2﹣a2x+1=ax2﹣2x+1，即x[x2﹣（a2﹣2）]=0恰有一根（含重根）．∴a2﹣2≤0，即≤a≤，又a≠0，∴．当a＞0时，g（x）才存在最小值，∴．g（x）=a（x﹣）2+1﹣，∴．h（a）≤1﹣；∴h（a）的值域为．（Ⅲ）当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣a）和内是增函数，g（x）在内是增函数．由题意得，解得a≥1；当a＜0时，f（x）在和（﹣a，+∞）内是增函数，g（x）在内是增函数．由题意得，解得a≤﹣3；综上可知，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．【选修4-5：不等式选讲】22．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。

2023-2024学年福建省厦门市思明区双十中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |1＜x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1） B ．（﹣1，1）∪（5，7）C ．[﹣1，7）D ．（1，5]2．若2+ai 3−i=bi ，其中i 是虚数单位，a ，b ∈R 且b ≠0，设z ＝a +bi ，则|z|为（ ）A ．2B ．2√5C ．6D ．2√103．在平行四边形ABCD 中，点E 满足BD →=4BE →，CE →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则λμ＝（ ） A ．−316B ．−38C ．316D ．14．记等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝3，S 8﹣S 5＝﹣96，则S 6＝（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．﹣21D ．﹣245．已知tan(θ+π4)=2tanθ−7，则sin2θ＝（ ）A ．2B ．±2C ．±45D ．456．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与以△ABC 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（ ） A ．12B ．2πC ．22D ．27．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x ﹣4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝（ ） A ．45B ．35C ．−35D ．−458．已知平面向量a →，b →，c →．满足|a →|＝2，|a →−b →|＝2√3，若对于任意实数x 都有|b →−x a →|≥|b →−a →|成立，且|c →−a →|≤1，则b →•c →的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于函数f （x ）＝2sin （2x −134π）的图象，下列说法正确的是（ ） A ．（π8，0）是曲线y ＝f （x ）的一个对称中心B．x=5π8是曲线y＝f（x）的一个对称轴C．曲线y＝2sin2x向左平移58π个单位，可得曲线y＝f（x）D．曲线y＝2sin2x向右平移58π个单位，可得曲线y＝f（x）10．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：W/m2）之间的关系是：Li=10lg II0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1W/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中正确的是（）A．闻阈的声强级为0.1dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围为[10﹣5，10﹣4]（单位：W/m2）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍11．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，且P A＝AC＝BC＝2，E为线段PC上的一个动点，则下列选项正确的是（）A．三棱锥P﹣ABC的表面积是4+4√2B．直线PC与直线AB所成的角为60°C．|AE|+|BE|的最小值为√2+√6D．三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为12π12．已知a＞0，b＞0，a2+b2﹣ab＝2，|a2﹣b2|≤2，下面结论正确的是（）A．a+b≥2√2B．．a−b≤√63C．log2a+log2b≤1D．log2a+log23b≥2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=1a x+1−m（a＞0，且a≠1）是奇函数，则m＝．14．从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则3个数的积为3的倍数的不同取法有．15．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|=2√3b，则C的离心率为．16．已知函数f（x）＝x3+bx2+cx+c有三个零点，且它们的和为0，则b﹣c的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且（a ﹣c ）（a +c ）sin C ＝c （b ﹣c ）sin B ． （1）求A ；（2）若△ABC 的面积为√3，sin B sin C =14，求a 的值．18．（12分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，S n =na n −n 2+n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =(−1)n+1⋅a n +a n+1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）如图所示，△ABC 为等边三角形，EA ⊥平面ABC ，EA ∥BD ，AB ＝BD ＝2，AE ＝1，M 为线段AB 上一动点．（1）若M 为线段AB 的中点，证明：ED ⊥MC ． （2）若AM ＝3MB ，求二面角D ﹣CM ﹣E 的余弦值．20．（12分）小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到．小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为12，且相互独立．已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司．求： （1）要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发； （2）若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率； （3）小李上班路上的平均时长．21．（12分）已知椭圆C ：x 28+y 24=1，点N （0，1），斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，与圆N 相切且切点为M ，M 为AB 中点． （Ⅰ）求圆N 的半径r 的取值范围； （Ⅱ）求|AB |的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝e 2x +（a ﹣2）e x ﹣ax ﹣1． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若g （x ）＝f （x ）+（2﹣a ）e x 在区间（0，+∞）上存在唯一零点x 0，求证：x 0＜a ﹣2．2023-2024学年福建省厦门市思明区双十中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |1＜x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1） B ．（﹣1，1）∪（5，7）C ．[﹣1，7）D ．（1，5]解：集合A ＝{x |1＜x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}＝{x |﹣1≤x ≤5}，则A ∩B ＝（1，5]． 故选：D ．2．若2+ai 3−i=bi ，其中i 是虚数单位，a ，b ∈R 且b ≠0，设z ＝a +bi ，则|z|为（ ）A ．2B ．2√5C ．6D ．2√10解：2+ai3−i=bi ，则2+ai ＝bi （3﹣i ）＝b +3bi ，故{b =23b =a ，解得a ＝6，b ＝2，所以|z|=|6−2i|=√62+(−2)2=2√10． 故选：D ．3．在平行四边形ABCD 中，点E 满足BD →=4BE →，CE →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则λμ＝（ ） A ．−316B ．−38C ．316D ．1解：因为BD →=4BE →，则CD →−CB →=4(CE →−CB →)，整理得CE →=14CD →+34CB →=14BA →−34BC →，由平面向量基本定理可得：λ=14，μ=−34，所以λμ=14×(−34)=−316．故选：A ．4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝3，S 8﹣S 5＝﹣96，则S 6＝（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．﹣21D ．﹣24解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若S 3＝3，S 8﹣S 5＝﹣96，即a 1+a 2+a 3＝3，a 6+a 7+a 8＝q 5（a 1+a 2+a 3）＝﹣96， 变形可得：q 5＝﹣32，则q ＝﹣2；又由a 1+a 2+a 3＝3，即a 1﹣2a 1+4a 1＝3a 1＝3，则有a 1＝1，故S 6=a 1(1−q 6)1−q =1−643=−21．故选：C ．5．已知tan(θ+π4)=2tanθ−7，则sin2θ＝（ ）A ．2B ．±2C ．±45D ．45解：因为tan(θ+π4)=tanθ+tan π41−tanθtan π4=tanθ+11−tanθ=2tanθ−7，整理得tan 2θ﹣4tan θ+4＝0，解得tan θ＝2， 所以sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=45．故选：D ．6．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与以△ABC 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（ ） A ．12B ．2πC ．22D ．2解：设△ABC 的边长为a ，外接圆半径为r ，AA 1＝b ，由正弦定理得√32=2r ，则r =√33a ，V ABC−A 1B 1C 1=12⋅a ⋅a ⋅√32b =√34a 2b ，设圆柱的高为h ，V 圆柱=13a 2πℎ=√34a 2b ，∴b =4π3√3，正三棱柱的侧面积S 棱柱=3ab =4π33，圆柱的侧面积S 圆柱=2πrℎ=2π⋅√33aℎ，正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为3a⋅3√3ℎ2π⋅√33a⋅ℎ=2，故选：D ．7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x ﹣4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝（ ） A ．45B ．35C ．−35D ．−45解：∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴F 点的坐标为（1，0）又∵直线y ＝2x ﹣4与C 交于A ，B 两点，则A ，B 两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4）， 则FA →=（0，﹣2），FB →=（3，4），则cos ∠AFB =FA →⋅FB→|FA →|⋅|FB →|=−810=−45， 故选：D ．8．已知平面向量a →，b →，c →．满足|a →|＝2，|a →−b →|＝2√3，若对于任意实数x 都有|b →−x a →|≥|b →−a →|成立，且|c →−a →|≤1，则b →•c →的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8解：设a →=OA →，b →=OB →，c →=OC →，xa →=OM →，b →，c →则如图所示，因为|b →−xa →|⩾|b →−a →|，所以|OB →−OM →|⩾|OB →−OA →|，即|MB →|⩾|AB →|，所以BA ⊥OA ， 因为|a →|=2，|a →−b →|=2√3，所以∠AOB =60°，|b →|=4，由|c →−a →|⩽1，可得点C 在以A 为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），过圆周上一点C 作OB 的垂线，垂足为D ，且DC 与⊙A 相切，延长DC 交OA 于N ，则b →⋅c →=|b →|⋅|c →|cos ＜b →，c →＞⩽|b →||OD →|=4|OD →|，又根据相似知识可得OD =CA ⋅OA AN +CA =cos60°OA +CA =12×2+1=2，所以b →⋅c →的最大值为8，故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于函数f （x ）＝2sin （2x −134π）的图象，下列说法正确的是（ ） A ．（π8，0）是曲线y ＝f （x ）的一个对称中心B ．x =5π8是曲线y ＝f （x ）的一个对称轴 C ．曲线y ＝2sin2x 向左平移58π个单位，可得曲线y ＝f （x ）D ．曲线y ＝2sin2x 向右平移58π个单位，可得曲线y ＝f （x ）解：函数f（x）＝2sin（2x−134π）的图象，对于A：当x=π8时，f（π8）＝2sin（﹣3π）＝0，故A正确；对于B：当x=5π8时，f（5π8）＝2sin（5π4−13π4）＝0，故B错误；对于C：曲线y＝2sin2x向左平移58π个单位，得到y＝f（x）＝2sin（2x+5π4）＝﹣2sin（2x+π4）的图象，故C错误；对于D：曲线y＝2sin2x向右平移58π个单位，可得曲线y＝f（x）＝2sin（2x−5π4）＝2sin（2x−134π）的图象，故D正确．故选：AD．10．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：W/m2）之间的关系是：Li=10lg II0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1W/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中正确的是（）A．闻阈的声强级为0.1dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围为[10﹣5，10﹣4]（单位：W/m2）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍解：因为Li＝101g II0=10lgI﹣10lgI0，当I＝1W/m2时，Li＝120，代入公式可得I0＝10﹣12W/m2，对于A，当I＝I0时，Li＝10lg1＝0，故选项A错误；对于B，由题意可得，70≤10lgI﹣10lg10﹣12≤80，即70≤10lgI+120≤80，所以﹣5≤lgI≤﹣4，解得10﹣5≤I≤10﹣4，故选项B正确；对于C，当I变为2I时，代入Li'＝10lg（2I）﹣10lgI0≠2Li，故选项C错误；对于D，设声强变为原来的k倍，则10lg（kI）﹣10lgI＝10，解得k＝10，故选项D正确．故选：BD．11．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，且P A＝AC＝BC＝2，E为线段PC上的一个动点，则下列选项正确的是（）A ．三棱锥P ﹣ABC 的表面积是4+4√2B ．直线PC 与直线AB 所成的角为60°C ．|AE |+|BE |的最小值为√2+√6D ．三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为12π解：如图所示，三棱锥P ﹣ABC 的表面积S ＝S △P AC +S △ACB +S △P AB +S △PCB =12×2×2+12×2×2+12×2√2×2+12×2×2√2=4+4√2，故A 正确； 建立如图所示空间直角坐标系，则C （0，0，0），A （2，0，0）， B （0，2，0），P （2，0，2），AB →=(−2，2，0)，CP →=（2，0，2），设直线PC 与直线AB 所成的角为θ，则cos θ＝|cos ＜AB →，CP →＞|＝|AB →⋅CP→|AB →||CP →||=−422×22=12，∴θ＝60°，即直线PC 与直线AB 所成的角为60°，故B 正确； 把三角形PCB 沿PC 翻折至平面P AC 内，则AB 1为所求，由题意可知，B 1G =CG =√2，则AB 12=(√2)2+(2+√2)2=8+4√2， 则AB 1=2√2+√2，即|AE |+|BE |的最小值为2√2+√2，故C 错误；取PB 中点O ，则OP ＝OA ＝OB ＝OC ，即O 为三棱锥P ﹣ABC 外接球的球心， 半径为12PB =12√22+22+22=√3，外接球的表面积为4π×(√3)2=12π，故D 正确．故选：ABD ．12．已知a ＞0，b ＞0，a 2+b 2﹣ab ＝2，|a 2﹣b 2|≤2，下面结论正确的是（ ） A ．a +b ≥2√2 B ．．a −b ≤√63C ．log 2a +log 2b ≤1D ．log 2a +log 23b ≥2解：a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ≥（a +b ）2−3(a+b)24=(a+b)24，所以a +b ≤2√2，a 2+b 2﹣ab ≥2ab ﹣ab ＝ab ，所以ab ≤2，log 2a +log 2b ＝log 2ab ≤1， A 选项错，C 选项对，令m＝a+b，n＝a﹣b，由对称性，不妨设a＞b，所以m＞n＞0，4（a2+b2﹣ab）＝m2+3n2＝8，（a2﹣b2）2＝（mn）2＝（8﹣3n2）n2≤4，解得，n2≤23或n2≥2，若n2≥2，则m2≤2，与假设矛盾，所以n2≤23，所以a﹣b≤√63，所以有ab=m2−n24=2﹣n2≥43，所以log2a+log23b≥2，B，D选项正确，故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=1a x+1−m（a＞0，且a≠1）是奇函数，则m＝12．解：∵f(x)=1a x+1−m，∴f(−x)=1a−x+1−m=a xa x+1−m，又f（x）是奇函数，则f（x）+f（﹣x）＝0，∴1a x+1−m+a xa x+1−m=0，解得m=12．故答案为：1 2．14．从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则3个数的积为3的倍数的不同取法有25．解：2至8的7个整数中是3的倍数的有3和6两个，从2至8的7个整数中任取3个数，按3和6中取1个和2个分类可得取法数为C21C52+C22C51=25．故答案为：25．15．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|=2√3b，则C的离心率为√3+2．解：如图所示：设直线方程为y=ba(x−c)，与双曲线方程x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)联立，解得x=a2+c22c，y=−b32ac，因为|AB|=2√3b，所以2×b32ac=2√3b，即b2=2√3ac，即c2−2√3ac−a2=0，解得e=ca=√3+2．故答案为：√3+2．16．已知函数f （x ）＝x 3+bx 2+cx +c 有三个零点，且它们的和为0，则b ﹣c 的取值范围是 （274，+∞） ．解：设x 1，x 2，x 3是f （x ）的三个零点，则f （x ）＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）， 所以b ＝﹣（x 1+x 2+x 3）＝0，所以f （x ）＝x 3+cx +c ，f ′（x ）＝3x 2+c ， 若f （x ）有三个零点，则f （x ）有两个极值点， 故对于方程f ′（x ）＝0，Δ＝﹣12c ＞0，c ＜0，f （x ）的两个极值点分别为x 4=−√−c 3和x 5=√−c3，其中x 4为极大值点，x 5为极小值点．若f （x ）存在三个零点，则需满足f （x 4）＞0，且f （x 5）＜0， 所以(−√−c 3)3−c√−c 3+c ＞0，解得c ＜−274，又因为f （x 5）＜f （0）＝c ＜0，所以b ﹣c 的取值范围是(274，+∞)． 故答案为：(274，+∞)． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且（a ﹣c ）（a +c ）sin C ＝c （b ﹣c ）sin B ． （1）求A ；（2）若△ABC 的面积为√3，sin B sin C =14，求a 的值．解：（1）因为（a ﹣c ）（a +c ）sin C ＝c （b ﹣c ）sin B ，所以由正弦定理可得（a ﹣c ）（a +c ）c ＝bc （b ﹣c ），整理可得b 2+c 2﹣a 2＝bc ， 所以cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，因为A ∈（0，π）， 所以A =π3；（2）因为A =π3，△ABC 的面积为√3=12bc sin A =√34bc ，所以bc ＝4，又sin B sin C =14，a sinA =b sinB =c sinC，所以bc sinBsinC=（a sinA）2，即414=（√32）2，解得a ＝2√3．18．（12分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，S n =na n −n 2+n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n=(−1)n+1⋅a n+a n+1a n⋅a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意，由S n=na n−n2+n，①可得S n+1=(n+1)a n+1−(n+1)2+n+1，②②﹣①，可得a n+1=(n+1)a n+1−(n+1)2+n+1−na n+n2−n，化简整理，得a n+1﹣a n＝2，∴数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a n＝3+2•（n﹣1）＝2n+1，n∈N*．（2）由（1），可得b n=(−1)n+1⋅a n+a n+1a n⋅a n+1=(−1)n+1⋅(1a n+1a n+1)=−(−1)na n+(−1)n+1a n+1，则T n＝b1+b2+…+b n=[−−1a1+(−1)2a2]+[−(−1)2a2+(−1)3a3]+⋯+[−(−1)na n+(−1)n+1a n+1]=−−1a1+(−1)n+1a n+1=13+(−1)n+12n+3，∴T n=13+(−1)n+12n+3．19．（12分）如图所示，△ABC为等边三角形，EA⊥平面ABC，EA∥BD，AB＝BD＝2，AE＝1，M为线段AB上一动点．（1）若M为线段AB的中点，证明：ED⊥MC．（2）若AM＝3MB，求二面角D﹣CM﹣E的余弦值．（1）证明：因为M为线段AB的中点，且△ABC为等边三角形，所以CM⊥AB，因为EA⊥平面ABC，所以EA⊥CM，因为EA∥BD，所以A，B，D，E四点共面，因为AB∩AE＝A，AB⊂平面ABDE，AE⊂平面ABDE，所以CM⊥平面ABDE，因为DE⊂平面ABDE，所以ED⊥MC；（2）解：设AB 的中点为O ，连接OC ，在平面ABDE 内，过点O 作ON ⊥AB 交ED 于点N ，所以ON ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，ON 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为AB ＝BD ＝2，AE ＝1，AM ＝3MB ，所以M （12，0，0），C （0，√3，0），E （﹣1，0，1），D （1，0，2），所以MC →=（−12，√3，0），ME →=（−32，0，1），MD →=（12，0，2），设平面MCE 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅MC →=−12x +√3y =0m →⋅ME →=−32x +z =0，令x ＝2√3，则y ＝1，z ＝3√3， 所以平面MCE 的一个法向量为m →=（2√3，1，3√3）， 设平面MCD 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅MC →=−12a +√3b =0n →⋅MD →=12a +2c =0，令a ＝2√3，则b ＝1，c =−√32，所以平面MCD 的法向量为n →=（2√3，1，−√32），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=17240×√554=17√22220， 所以二面角D ﹣CM ﹣E 的余弦值为17√22220． 20．（12分）小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到．小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为12，且相互独立．已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司．求： （1）要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发； （2）若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率；（3）小李上班路上的平均时长．解：（1）易知可知若7点46分出门，则一定不会迟到； 若7点47分出门，仅当遇到4个红灯时才会迟到， 此时迟到的概率为(12)4=116，不迟到的概率为1516＞90%；若7点48分出门，则遇到3个或4个红灯会迟到，此时迟到的概率为C 43×(12)3×12+(12)4=516，不迟到的概率为1116＜90%，所以若保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在7点47分从家出发； （2）由（1）可知，小李7点48分从家出发迟到的概率为516，不迟到的概率为1116， 所以若两天都是7点48分出发，则恰有一天迟到的概率P =C 21×516×1116=55128； （3）易知X 的所有可能取值为10，11，12，13，14， 此时P(X =10)=P(X =14)=(12)4=116，P(X =11)=P(X =13)=C 41×(12)4=14，P(X =12)=C 42×(12)4=38，则X 的分布列为：故上班路平均时长为E(X)=10×116+11×14+12×38+13×14+14×16=12（分钟）． 21．（12分）已知椭圆C ：x 28+y 24=1，点N （0，1），斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，与圆N 相切且切点为M ，M 为AB 中点． （Ⅰ）求圆N 的半径r 的取值范围； （Ⅱ）求|AB |的取值范围．解：（1）如图所示， 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线/方程 为 y ＝kx +m （k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设圆N 的半径为r ， 联立方程组得{y =kx +mx 28+y 24=1，消去y 得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，Δ＝16k 2m 2﹣4（2k 2+1）（2m 2﹣8）＝8（8k 2﹣m 2+4）＞0，x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1， 所以 y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =−4k 2m 2k 2+1+2m =2m2k 2+1，又因为M为AB的中点，所以M(−2km2k2+1，m2k2+1)，又因为圆N与直线l相切于点M，所以NM⊥l，且r＝|MN|，k NM×k1＝﹣1，所以k NM=m2k2+1−1−2m2k2+1−0=−1k，解得2k2+1＝﹣m，所以M（2k，﹣1），Δ＝8（8k2﹣m2+4）＝8（8k2﹣（2k2+1）2+4]＝8（2k2+1）（3﹣2k2）＞0，解得：0＜k2＜32，所以r=|MN|=√(2k−0)2+(−1−1)2=2√k2+1（0＜k2＜3），所以1＜k2+1＜52⇒2＜2√k2+1＜√10，即2＜r＜√10，所以圆N的半径r的取值范围为(2，√10)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2k2+1＝﹣m，所以|AB|=√1+k2×√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2×√(−4km2k2+1)2−4×2m2−82k2+1=√8(3−2k2)(k2+1)2k2+1(0＜k2＜32)，令t＝2k2+1，则k2=t−12（1＜t＜4），所以|AB|=√8(4−t)⋅t+12t=2√−t+4t+3，显然y=−t+4t+3在（1，4）上单调递减，所以0＜−t+4t+3＜6，所以0＜2√−t+4t+3＜2√6，即0＜|AB|＜2√6．故|AB|的取值范围为(0，2√6)．22．（12分）已知函数f（x）＝e2x+（a﹣2）e x﹣ax﹣1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若g（x）＝f（x）+（2﹣a）e x在区间（0，+∞）上存在唯一零点x0，求证：x0＜a﹣2．解：（1）由f（x）＝e2x+（a﹣2）e x﹣ax﹣1，得f'（x）＝2e2x+（a﹣2）e x﹣a＝（e x﹣1）（2e x+a）．（i）当a＜0时，令f′（x）＝0，则x1＝0，x2=ln(−a )，①当ln(−a2)＞0，即a＜﹣2时，若0＜x＜ln(−a2)，则f′（x）＜0，f（x）在(0，ln(−a2))上递减；若x＜0或x＞ln(−a2)，则f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0），(ln(−a2)，+∞)上递增．②当ln(−a2)＜0，即﹣2＜a＜0时，若ln(−a2)＜x＜0，则f′（x）＜0，f（x）在(ln(−a2)，0）上递减；若x＞0或x＜ln(−a2)，则f′（x）＞0，f（x）在(−∞，ln(−a2))，（0，+∞）上递增．③当ln(−a2)=0，即a＝﹣2时，则f′（x）≥0，f（x）在R上递增．（ii）当a≥0时，令f′（x）＝0，则x＝0．若x＜0，则f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上递减；若x＞0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增．综上，当a≥0时，f（x）的递减区间为（﹣∞，0），递增区间为（0，+∞）；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为(ln(−a2)，0)，递增区间为(−∞，ln(−a2))，（0，+∞）；当a＝﹣2时，f（x）的在R上单调递增；当a＜﹣2时，f（x）的递减区间为(0，ln(−a2))，递增区间为（﹣∞，0），(ln(−a2)，+∞)．（2）证明：g（x）＝e2x﹣ax﹣1，g'（x）＝2e2x﹣a，g（0）＝0．当a≤2时，g'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故g（x）在（0，+∞）上递增，则g（x）＞g（0）＝0，故不可能有零点．当a＞2时，g（x）在(0，12lna2)上递减，在(12lna2，+∞)上递增，且g（0）＝0，所以在(0，12lna2)上g（x）＜0无零点，即g(12lna2)＜0，且x趋向于正无穷时g（x）趋向正无穷，所以在(12lna2，+∞)上存在唯一x0，使g(x0)=e2x0−ax0−1=0．要证x0＜a﹣2，只需g（a﹣2）＝e2（a﹣2）﹣a（a﹣2）﹣1＞0在a＞2上恒成立即可．令t＝a﹣2＞0，h（t）＝e2t﹣t（t+2）﹣1则h'（t）＝2（e2t﹣t﹣1）．令p（t）＝e2t﹣t﹣1，则p'（t）＝2e2t﹣1＞0，即p（t）在（0，+∞）上递增，p（t）＞p（0）＝0．所以h'（t）＞0，即h（t）在（0，+∞）上递增，h（t）＞h（0）＝0．所以g（a﹣2）＝e2（a﹣2）﹣a（a﹣2）﹣1＞0在a＞2上恒成立，得证．故x0＜a﹣2．。

厦门双十中学2022-2023学年（上）期中考试高 三 数 学 试 题注意事项：1．答题前，考生务必用0.5mm 黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2+x ＝0}，则下列关于集合A ，B 关系的韦恩图正确的是A ．B ．C ．D ．2．已知复数z =√3+i，则z 的共轭复数z =A ．−1−√3i4B ．−1−√3i2C ．−1+√3i4D ．−1+√3i23．已知a ，b ∈R ，ab ≠0，则使1a ＜1b 成立的一个充分不必要条件是 A ．a ＞b B ．a ＜b ＜0 C ．ab （a ﹣b ）＞0 D ．a ＞b ＞04．将y ＝sin （3x −3π4）图像上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到y ＝g （x ）的图像，再将y ＝g （x ）图像向左平移3π4，得到y ＝φ（x ）的图像，则y ＝φ（x ）的解析式为 A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin9xD ．y ＝sin （9x −3π2）5．在△ABC 中，∠BAC =π3，AD →=2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=m AC →+12AB →， 若|AC →|＝2，|AB →|＝3，则|AP →|的值为 A ．√13B ．√132C ．√133D ．√1346．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cos α＝5，则sin2α＝ A ．−49B ．−4√59C ．−4√527D ．√527．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式()()310304log log t T T T T =---⎡⎤⎣⎦得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈） A ．3.048分钟B ．4.048分钟C ．5.048分钟D ．6.048分钟8．设a ＝0.01e 0.01，b =199，c ＝﹣ln 0.99，则 A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知sinα−cosα=15，且α为锐角，则下列选项中正确的是 A ．sinαcosα=1225B ．sinα+cosα=75C ．α∈(0，π4)D ．tanα=4310．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，|PM |＝|MF 1|，下列判断正确的是 A ．∠PF 2F 1=π3B ．|MF 2|=12|PF 1|C ．E 的离心率等于√2D ．E 的渐近线方程为y ＝±√2x11．已知f （x ）＝sin x +x （x ∈[﹣1，1]），且实数a ，b 满足f （a ）+f （b ﹣1）＝0成立，则以下正确的是A ．ab 的最大值为14 B ．ab 的最小值为﹣2 C ．1a +4b 的最小值为9D ．b ﹣a 的最大值为312．如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面ADD 1A 1上的一个动点（含边界），P 是棱CC 1的中点，则下列结论正确的是 A ．当M 为AD 中点时，三棱锥M ﹣BDP 的体积为124 B ．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为√132C ．若保持PM =√2，则点M 在侧面内运动路径的长度为π3D ．若M 在平面ADD 1A 1内运动，且∠MD 1B ＝∠B 1D 1B ，点M 的轨迹为抛物线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →，b →满足a →=（3，4），a →•b →=6，|a →−b →|=7，则|b →|=_______． 14．若函数f(x)=x 2ln(√x 2+a −x)为奇函数，则a ＝_______．15．写出与圆x 2+y 2＝1和圆（x ﹣4）2+（y +3）2＝16都相切的一条切线方程_______．16．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，△ABE 是等边三角形，AD ⊥AH ，AD ＝1，AB ＝2．则平面展开图中sin ∠GCF ＝_______，四棱锥P ﹣ABCD 的外接球半径为_______． （第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（10分）正项等差数列{a n }，满足a 1=4，且a 2，a 4+2，2a 7−8成等比数列，{a n }的前n 项和为S n ． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =12+S n，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．18．（12分）如图，在△ABC 中，AB ＝2，3a cos B ﹣b cos C ＝c cos B ，点D 在线段BC 上． （1）若∠ADC =3π4，求AD 的长；（2）若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为43√2，求sin∠BADsin∠CAD 的值．19．（12分）某“花式风筝冲浪”集训队在海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y （米）是随着一天的时间t （0≤t ≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t 的水深数据的近似值如表：（1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卡中）．观察散点图，从①y ＝A sin （ωt +φ），②y ＝A cos （ωt +φ）+b ，③y ＝﹣A sin ωt +b （A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式（必要时可以化简）；（2）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练才能确保集训队员的安全？20．（12分）如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1，底面ABC 是边长为2的正三角形，A 1A =A 1B ， 平面ABC ⊥平面AA 1C 1C . (1)证明：A 1C ⊥平面ABC ；(2)若BC 与平面AA 1B 所成角的正弦值为√217，求平面AA 1B 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为(3,0)，且经过点(2√2,1)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知A ，B 是双曲线C 上关于原点对称的两点，垂直于AB 的直线l 与双曲线C 有且仅有一个公共点P. 当点P 位于第一象限，且△PAB 被x 轴分割为面积比为3：2的两部分时，求直线AB 的方程．22．（12分）已知函数f(x)=a+lnx x(a ∈R).(1)当函数f(x)与函数g(x)=lnx 图像的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的值； (2)证明：当a ∈(0,12)时，函数ℎ(x)=f(x)−ax 有两个零点x 1，x 2，且满足1x 1+1x 2<1a ．厦门双十中学2022-2023学年（上）期中考试高三数学试题参考答案及评分标准一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．A【第8题解答】令函数y ＝xe x，t =x1−x ，u ＝﹣ln （1﹣x ），x ∈（0，√2−1）． 显y ＞0，t ＞0，则lny ﹣lnt ＝lnx +x ﹣[lnx ﹣ln （1﹣x ）]＝x +ln （1﹣x ）． 令f （x ）＝x +ln （1﹣x ），x ∈（0，√2−1）．求导f ′（x ）＝1+1x−1=xx−1＜0，f （x ）在x ∈（0，√2−1）上单调递减． ∀x ∈（0，√2−1）f （x ）＜f （0）＝0，即lny ＜lnt ⇔y ＜t ． 因此当x ∈（0，√2−1）时，xe x ＜x1−x． 取x ＝0.01，则有a ＝0.01e0.01＜0.011−0.01=199=b ．令g （x ）＝y ﹣u ＝xe x+ln （1﹣x ），x ∈（0，√2−1）．g ′（x ）＝（x +1）e x+1x−1=(x 2−1)e x +1x−1．令h （x ）＝（x 2﹣1）e x+1，x ∈（0，√2−1）．h ′（x ）＝（x 2+2x ﹣1）e x＜0，h （x ）在x ∈（0，√2−1）．上单调递减．∀x ∈（0，√2−1），h （x ）＜h （0）＝0，有g ′（x ）＞0． g （x ）在x ∈（0，√2−1）上单调递增．∀x ∈（0，√2−1），g （x ）＞g （0）＝0，因此当x ∈（0，√2−1）时，xe x＞﹣ln （1﹣x ）．x ＝0.01，则有a ＝0.01e 0.01＞﹣ln （1﹣0.01）＝﹣ln 099＝c ．所以c ＜a ＜b ． 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．ABD 10．BD 11．ABD 12．ABC【第12题解答】选项A ：当M 为AD 中点时，V M−BDP =V P−BDM =13S △BDM ⋅|PC|=13×12×12×1×12=124，判断正确； 选项B ：将平面ABCD 与平面BB 1C 1C 展开在同一平面，连接AP ，则AP =√AD 2+PD 2=√12+(32)2=√132，又将平面ABCD 与平面DD 1C 1C 展开在同一平面，连接AP ， 则AP =√AB 2+PB 2=√12+(32)2=√132，综上，沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为√132．判断正确； 选项C ：取DD 1中点E ，连接PE ，ME ，PM ，则PE ⊥平面AA 1D 1D ，PE ⊥ME ，则ME =√PM 2−PE 2=√(√2)2−12=1， 则点M 在侧面AA 1D 1D 内运动轨迹为以E 为圆心半径为1的劣弧， 分别交AD 、A 1D 1于M 2，M 1，则∠M 1ED 1=∠M 2ED =π3，则∠M 1EM 2=π3，劣弧M 1M 2̂的长为π3×1=π3．判断正确；选项D ：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x ，y 、z 轴建立空间直角坐标系如图： 则B （1，1，0），B1（1，1，1），D （0，0，0），D 1（0，0，1）， 设M （m ，0，n ），m ，n ∈[0，1]，则D 1B →=(1，1，−1)，D 1M →=(m ，0，n −1)，D 1B 1→=(1，1，0)， cos ∠MD 1B =D 1B →⋅D 1M→|D 1B →|⋅|D 1M →→|=m−n+1√3⋅√m +(n−1)2，cos ∠B 1D 1B =D 1B →⋅D 1B 1→|D 1B →|⋅|D 1B 1→|=√3⋅√2=√63， 又∠MD 1B ＝∠B 1D 1B ∈[0，π）， 则cos ∠MD 1B ＝cos ∠B 1D 1B ，即√3⋅√m 2+(n−1)2=√63， 整理得m 2+n 2+2mn ﹣2m ﹣2n +1＝0即m +n ﹣1＝0，m +n ﹣1＝0，m ，n ∈[0，1]表示线段，则点M 的轨迹不为抛物线．判断错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．6 14．1 15．y ＝1（填4x ﹣3y ﹣5＝0；24x +7y +25＝0都正确）． 16．35，√576． 【第16题解答】因为在四棱锥P ﹣ABCD 的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，△ABE 是等边三角形，AD ⊥AH ，AD ＝1，AB ＝2， 所以sin ∠BCF =sin ∠DCG =√5， 所以sin ∠GCF =sin(2π−∠BCF −∠DCG −π2)=sin(2π−2∠DCG −π2)=−cos2∠DCG=2sin 2∠DCG −1=2×45−1=35，如图，连接AC ，BD 交于点M ， 设四棱锥P ﹣ABCD 的外接球球心为O ，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥AP ，AD ⊥AB ，AP ∩AB ＝A ， 所以AD ⊥平面ABP ， 因为AD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面ABP ， 取AB 的中点H ，连接PH ，因为△P AB 为等边三角形，所以PH ⊥AB ， 因为平面ABCD ∩平面ABP ＝AB ，PH ⊂平面 ABP ， 所以PH ⊥平面ABCD ，设△ABP 的外接圆圆心为N ，连接OM ，ON ， 则OM ⊥平面ABCD ，ON ⊥平面ABP ， 则OM ∥PH ，可证得ON ∥MN ， 所以四边形OMHN 是矩形，连接OD ， 由于△P AB 为等边三角形， 所以NH =13PH =13×√32×2=√33，所以OM =√33， 设四棱锥P ﹣ABCD 的外接球半径为R ， 则R 2=OM 2+DM 2=13+54=1912， 解得R =√576，故答案为：35，√576． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（10分）解：(1)设数列{a n }的公差为d(d >0)，则由已知得a 2(2a 7−8)=(a 4+2)2， ················································································ 1分 即有(a 1+d)(2a 1+12d −8)=(a 1+3d +2)2，化简得，d 2+4d −12=0，解得d =2或d =−6 ································································· 3分 等差数列{a n }为正项等差数列，故d =−6(舍)，所以a n =a 1+(n −1)d =2n +2．··················································································· 5分 (2)因为S n =n(a 1+a n )2=n(2n+6)2=n 2+3n ， ········································································ 7分所以b n =1Sn+2=1n 2+3n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2． ······························································ 8分 所以T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =12−13+13−14+...+1n +1−1n +2=12−1n+2=n2n+4． ········································································································ 10分 18．（12分）解：（1）∵3a cos B ﹣b cos C ＝c cos B ，∴3sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ，3sin A cos B ＝sin （B +C ）， ·················································· 1分 ∵B +C ＝π﹣A ， ∴3sin A cos B ＝sin A ， ∵A ∈（0，π），∴sin A ＞0，cosB =13． ································································································· 2分 ∵B ∈（0，π），∴sinB =2√23． ··········································································································· 3分 ∵∠ADC =3π4， ∴∠ADB =π4，在△ABD 中，由正弦定理得，ADsinB=AB sin∠ADB，······························································· 4分∴2√23=√22， ············································································································· 5分∴AD =83． ················································································································· 6分 （2）设DC ＝a ，则BD ＝2a ， ∵BD ＝2DC ，△ACD 的面积为43√2，∴S △ABC =3S △ACD =4√2，····························································································· 7分 ∴4√2=12×2×3a ×2√23，∴a ＝2． ···················································································································· 8分 ∴AC =√4+36−2×2×6×13=4√2， ·········································································· 9分 由正弦定理可得4sin∠BAD=2sin∠ADB，∴sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB ， ···························································································· 10分∴2sin∠CAD=4√2sin∠ADC，∴sin ∠CAD =√24sin∠ADC ， ························································································· 11分 ∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ， ∴sin∠BAD sin∠CAD=4√2． ··································································································· 12分19．（12分）解：（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：·············································· 1分依题意，选②y ＝A cos （ωt +ϕ）+b 作为函数模型， ∴A =2.4−0.62=0.9，b =2.4+0.62=1.5， ········································································· 3分 ∵T =2πω=12∴ω=π6， ······························································································· 4分 ∴y =0.9cos(π6t +φ)+1.5又∵函数y ＝0.9cos （π6t +φ）+1.5的图象过点（3，2.4），∴2.4＝0.9×cos （π6×3+φ）+1.5， ················································································ 5分∴cos （π2+φ）＝1，∴sin φ＝﹣1，又∵﹣π＜φ＜0，∴φ=−π2， ························································································· 6分 ∴y =0.9cos(π6t −π2)+1.5=0.9sin(π6t)+1.5 ··································································· 7分 （2）由（1）知：y =0.9sin(π6t)+1.5令y ≥1.05，即0.9sin(π6t)+1.5≥1.05，∴sin(π6t)≥−12········································· 9分 ∴2kπ−π6≤π6t ≤2kπ+7π6(k ∈Z)， ············································································· 10分 ∴12k ﹣1≤t ≤12k +7，又∵5≤t ≤18，∵5≤t ≤7或11≤t ≤18， ·················································································· 11分 答：这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全． ······························································································································· 12分20．（12分）(1)证明：如图，取AB 的中点O ，AC 的中点H ，连接OC ，OA 1，BH ， ∵A 1A =A 1B ，AC =BC ，O 是AB 的中点，所以OA 1⊥AB ，OC ⊥AB ， 又OA 1∩OC =O ，OA 1，OC ⊂平面A 1OC ，所以AB ⊥平面A 1OC ，A 1C ⊂平面A 1OC ，A 1C ⊥AB ； ··························································· 2分 AB =BC ，H 是AC 的中点，所以BH ⊥AC ，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C =AC ， BH ⊂平面ABC ，所以BH ⊥平面AA 1C 1C ，又A 1C ⊂平面AA 1C 1C ，所以BH ⊥A 1C ， ·········································································································· 4分 又BH ∩AB =B ，BH ，AB ⊂平面ABC ，所以A 1C ⊥平面ABC ； ··································································································· 5分 (2)以O 为坐标原点，建系如图所示，设A 1C =a ， ······························································· 6分 则A (−1,0,0)，B (1,0,0)，C(0,√3,0)，A 1(0,√3,a)，BC →=(−1,√3,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，AA 1→=(1,√3,a)， ···························································· 7分 设平面AA 1B 的法向量为m⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， {m ⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{x 1+√3y 1+az 1=02x 1=0，所以可取m ⃗⃗⃗ =(0,a,−√3)， ········································ 8分 设BC 与平面AA 1B 所成的角为θ， 则sin θ=|cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗,m ⃗⃗⃗ >|=√3a||2×√a 2+3|=√217，解得a =2， ················································· 9分从而m ⃗⃗⃗ =(0,2,−√3)，BB 1→=AA 1→=(1,√3,2)， 设平面BB 1C 1C 的法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， {n ⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{x 2+√3y 2+2z 2=0−x 2+√3y 2=0,所以可取n ⃗ =(√3,1,−√3)， ·························································································· 10分 设平面AA 1B 与平面BB 1C 1C 夹角为φ， 所以cos φ=|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=√7×√7=57， 所以平面AA 1B 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值为57． ······························································· 12分 21．（12分）解：(1)因为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为(3,0)，且经过点(2√2,1)， 所以{a 2+b 2=9,8a 2−1b 2=1,解得{a 2=6,b 2=3． 故双曲线C 的标准方程为x 26−y 23=1． ············································································· 4分。

2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜05．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ=．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于时取到最大值．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．21．已知⊥，|AB1|=3，|AB2|=4， =+．（1）若B1，P，B2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求•的取值范围．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2+1≥1，即M=[1，+∞），由N中y=ln（x+1）+1，即N=（﹣∞，+∞），则M∩N=[1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】原命题和其逆否命题同真假，故只需找出命题“若¬p，则q”的逆否命题即可．【解答】解：四种命题中原命题和其逆否命题同真假，而“若￢p，则q”的逆否命题为“若￢q，则p”即￢q⇒p，p是￢q的必要条件，故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系及复合命题真假判断，难度不大．3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】向量法；平面向量及应用．【分析】由向量模的公式可得||，再由向量投影的概念可得在上的投影等于||cos120°．【解答】解： =（﹣2，﹣4），可得||=2，由题意可得在上的投影为||cos120°=2×（﹣）=﹣．故选B．【点评】本题考查向量的数量积的模的公式，以及向量的投影的计算，考查运算能力，属于基础题．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜0【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q成立的m的范围，取交集即可．【解答】解：关于p：存在x∈R，mx2+1≤0，∴m＜0，关于q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，则△=m2﹣4＜0，解得：﹣2＜m＜2，若p且q为真命题，则p，q均为真命题，则实数m的取值范围是：﹣2＜m＜0，故选：D．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；换元法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】以O为原点，OA方向为x轴正方向建立坐标系，分别求出A，B的坐标，进而根据则=（cosα，sinα），根据正弦函数的性质，即可得到的取值范围．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可设A（1，0），B（0，1），设∠AOC=α（0≤α≤），则=（cosα，sinα）．由=（x，2y）=（cosα，sinα），则=（cosα+sinα）=sin（α+）（0≤α≤），由≤α+≤，可得sin（α+）∈[，1]，即有∈[，]．故选：B．【点评】本题考查的知识点是平面向量的综合应用，三角函数的性质，其中建立坐标系，分别求出A，B，C点的坐标，将一个几何问题代数化，是解答本题的关键．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数是奇函数，求出φ．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）=2sin（x+φ﹣），（0＜φ＜π）为奇函数，∴φ=，f（x）=2sinx，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数的解析式为：y=2sin2x；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式：g（x）=2sin2（x﹣）=2sin （2x﹣）．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简，三角函数的奇偶性，考查基本知识的应用能力，计算能力，属于中档题．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤【考点】函数的图象．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对选项一一利用排除法分析可得答案．【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对于①，当x＞0时，y=f（|x|）=y=f（x），其图象在y轴右侧与图一的相同，不合题意，故排除①．对于②，当x＞0时，对应的函数是y=f（x）﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除②．对于③，当x＞0时，对应的函数是y=﹣f（x），是把（1）中图象位于y轴右侧的部分关于x轴对称得到的，显然不正确，故排除③．对于④，当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），是把（1）中图象位于y轴左侧的部分关于y轴对称得到的，满足条件．对于⑤，当x＞0时，对应的函数是y=|f（x）|﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除⑤，故选：A．【点评】本题考查函数的图象、函数的图象与图象变化，考查学生读图能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题．9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】函数思想；构造法；导数的概念及应用．【分析】构造函数g（x）=xf（x），判断g（x）的单调性与奇偶性即可得出结论．【解答】解：令g（x）=xf（x），则g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）∴g（x）是偶函数．g′（x）=f（x）+xf′（x）∵∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＜0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．∵＜ln2＜1＜∴g（）＜g（ln2）＜g（）∵g（x）是偶函数．∴g（﹣）=g（），g（ln）=g（ln2）∴g（﹣）＜g（ln）＜g（）故选：B．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据已知中函数f（x）（x∈R）关于对称，且，分析出函数的周期性，对称性和奇偶性，可得答案．【解答】解：∵，∴f（x+3）===f（x），故f（x）的最小正周期是3，故（1）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，∴f（x）=﹣==f（﹣x），即f（x）是偶函数，故（2）正确；又∵f（3﹣x）=f（﹣x）=f（x），故f（x）关于对称，故（3）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，f（x）的最小正周期是3，故f（x）关于对称，故（4）正确；故正确的命题有4个，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性和函数的周期性，其中熟练掌握函数对称性的法则“对称变换二倍减”，是解答的关键．11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过t=0时y=0，排除选项C、D，利用x的增加的变化率，说明y=sin2x的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项C，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反，故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．【解答】解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．故选：D．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用两角和的正切函数，求出正切函数值，然后求解即可．【解答】解：tan（θ+）=，=，可得tanθ=﹣．sin2θ===．故答案为：；【点评】本题考查两角和的正切函数以及三角函数的化简求值，考查计算能力．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于7 时取到最大值．【考点】等差数列的前n项和．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和题意可得通项公式，可得前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得a3+a8+a13=3a8=C，a4+a14=2a9=2C，∴a8=，a9=C，∴公差d=，∴a1=﹣7×=﹣，∴a n=﹣+（n﹣1）=C（2n﹣15），令a n=C（2n﹣15）≤0可得2n﹣15≥0，解得n≥∴递减的等差数列{a n}前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当n=7时，S n取最大值．故答案为：7【点评】本题考查等差数列的前n项和，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是b≤．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；集合．【分析】作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象，从而可得A=[2，4]；再化简g（x）=﹣（sinx﹣）2+1+，从而可得g（a）=1+，再求g（a）的最小值即可．【解答】解：作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象如下，，∵f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]，∴2≤a≤4，故A=[2，4]；g（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣（sinx﹣）2+1+，∵≤≤1，∴g（a）=1+，∵A=[2，4]，∴g min（a）=1+=，∵g（a）≥b对任意实数a∈A恒成立，∴b≤，故答案为：b≤．【点评】本题考查了二次函数的性质与应用，三角函数的最值的求法，同时考查了恒成立问题．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为 6 ．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象．【专题】综合题；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】由题意得f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）=﹣x4﹣x3+x2+4x．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，∴f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，即b=0且（1﹣4）[（﹣4）2+a•（﹣4）+b]=0，解之得a=4，b=0，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+4x）=﹣x4﹣x3+x2+4x，求导数，得f′（x）=﹣x3﹣3x2+2x+4=﹣（x+1）（x+1+）（x+1﹣）当x∈（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1，﹣1+）时，f'（x）＞0，当x∈（﹣1﹣，﹣1）∪（﹣1+，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣）单调递增，在（﹣1﹣，﹣1）单调递减，在（﹣1，﹣1+）单调递增，在（﹣1+，+∞）单调递减，故当x=﹣1﹣和x=﹣1+时取极大值，f（﹣1﹣）=f（﹣1+）=6．故答案为：6．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣1对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）先求出圆的直角坐标方程和直线l：，由此能求出直线l和圆C交点的极坐标．（2）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，先求出直线直角坐标方程，由此能求出直线l的极坐标方程．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为（θ为参数），∴圆的直角坐标方程是x2+y2=16，…．（1分），∵直线l的参数方程为（t为参数），∴当a=0时，直线l：，…（2分）代入x2+y2=16得x=±2，P，Q…．（3分）则直线l和圆C交点的极坐标分别是，…．（5分）（2）由于P、Q间的劣弧长是，则圆心角，…．（6分）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，…．（7分），，直线直角坐标方程是：或，…．（8分）直线l的极坐标方程：或…．（10分）即或（写成或给满分）【点评】本题考查直线和圆交点的极坐标及直线的极坐标方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化公式的合理运用．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．【考点】不等式的证明；函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】（1）由绝对值的含义，将|2x﹣1|+|x+2|写成分段函数式，分别求出各段的范围，可得最小值，进而得到m2+m+2≤，解不等式可得m的范围；（2）运用两边夹法则，可得++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++），展开后运用基本不等式，即可得证．【解答】解：（1）|2x﹣1|+|x+2|=，当x≤﹣2时，﹣1﹣3x递减，取值范围是[5，+∞）；当﹣2＜x≤时，3﹣x的范围是[，5）；当x＞时，3x+1的范围是（，+∞）．从而|2x﹣1|+|x+2|≥，解不等式m2+m+2≤，得m∈[﹣1，]．（2）证明：由（1）知（|2x﹣1|+|x+2|）≥1，则++≤1，又1≤++，则++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2=9．当且仅当a=2b=3c=时，等号成立．因此a+2b+3c≥9．【点评】本题考查绝对值函数的最值的求法，不等式恒成立问题的解法和不等式的证明，注意运用函数的单调性求最值，以及基本不等式的运用，属于中档题．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）把已知点坐标代入求出φ的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（Ⅱ）由第一问确定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）把（0，）代入解析式得：sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=，∵相邻两条对称轴间的距离为，∴函数的周期为π，即ω=2，∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由第一问得：f（）=sin（A+），代入得：sin（A+）﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）=，∴A﹣=或，即A=或A=π（舍去），∵bc=1，b+c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=9﹣3=6，则a=．【点评】此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：，c n=（n∈N+），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），∴当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：2a n=a n+1﹣a n﹣2n，化为：，∵c n=（n∈N+），∴，∴{c n}是等比数列，公比为，首项为．∴c n+1=，∴c n=﹣1，∴=﹣1，可得a n=3n﹣2n．（2）b n=n（a n+2n）=n•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+2×32+3×23+…+n•3n，∴3T n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2T n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=，∴T n=．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知⊥，|AB1|=3，|AB2|=4， =+．（1）若B1，P，B2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求•的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；配方法；换元法；平面向量及应用．【分析】（1）利用B1，P，B2三点共线， =+，可求得+=1；再结合⊥，|AB1|=3，|AB2|=4，可得||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，于是可求得||的最小值及取得最小值时λ、μ的值，从而可用，表示；（2）以A为原点，AB1、AB2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B1（3，0），B2（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），于是利用||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，再令λ﹣1=rcosθ，μ﹣1=sinθ（0＜r≤2）可得•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r2﹣rcosθ﹣2rsinθ﹣5，利用辅助角公式及配方法即可求得•∈[﹣，2﹣1]．【解答】解：（1）∵B1，P，B2三点共线， =+，∴+=1．又⊥，|AB1|=3，|AB2|=4，∴||2=||2+||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，当时，||min=，此时， =+；（2）以A为原点，AB1、AB2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B1（3，0），B2（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，令λ﹣1=rcosθ，μ﹣1=sinθ，0＜r≤2．=（λ﹣3，μ），=（λ，μ﹣4），•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r2﹣rcosθ﹣2rsinθ﹣5=r2﹣rsin（θ+φ）﹣5，其中tanφ=．又r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≤r2+r﹣5≤2﹣1，r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≥r2﹣r﹣5=（r﹣）2﹣≥﹣，∴•∈[﹣，2﹣1]．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，突出考查共线向量基本定理、向量垂直性质的应用，也考查了三角换元思想及辅助角公式的综合应用，考查运算能力，属于难题．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【专题】转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）①由题知M（5，80）代入y=，则a=400，进而求出y=，得出坐标N（100，4），利用导数求出斜率，得出直线的方程，进而求出与坐标轴的交点A（0，），B（2t，0），利用勾股定理可得（t∈[5，100]）；②运用基本不等式可得最小值，注意求出等号成立的条件；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为，得出山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，进而得出绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400．【解答】解：（1）①由题意M（5，80）代入y=，则a=400，∴y=，N（100，4），∴定义域为[5，100]．∴P（t，），∵，则公路l的方程：，令x=0，可得y=；令y=0，可得x=2t．∴（t∈[5，100]）；②A（0，），B（2t，0），=，当且仅当t=20∈[5，100]时等号成立，所以当t为20时，公路l的长度最短长度是3200千米；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为dx=400lnx|=400（ln100﹣ln5）=400ln20，山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，L与y，x轴交点分别是A（0，40），B（40，0），公路与L1、L2围成的面积是800，所以绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400（平方公里）．答：当t为20时，公路L的长度最短，最短长度是3200千米；在公路长度最短时，需在公路L与山体之间修建绿化带的面积是400ln20﹣400平方公里．【点评】本题考查了利用导数求直线方程和积分的应用，考查运算求解能力，难点是对题意的理解．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）求出f（x）的导数，设g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，讨论m的范围，结合单调性，即可得到m的范围；（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）m=2时，f（x）=e2x﹣2x2，f′（x）=2e2x﹣4x；∴f′（0）=2，又f（0）=1；则切线L1方程为：y=2x+1；（2）f′（x）=me mx﹣2mx，设g（x）=f′（x），g′（x）=m2e mx﹣2m=m（me mx﹣2），令g′（x）=0，由m＞0，；①当m≥2时，因为x≥0，则e mx≥1，所以me mx﹣2≥m﹣2≥0，g'（x）≥0，∴f′（x）在[0，+∞）单调递增；∴f′（x）≥f′（0）=m＞0；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；所以当m≥2时满足条件；②当时，1≥，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以=；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；∴当时满足条件；③当时，，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递增，f′（x）=0在（0，x0）至多只有一个零点x1；又因为=，f′（0）=1＞0，所以f′（x）=0在（0，x0）有且只有一个零点x1；则当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，x1）单调递增，在（x1，x0）单调递减，所以存在x使得f（x）＜f（0）=1，不满足条件．终上所述：当时，f（x）≥1对一切x≥0的实数恒成立．（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），则，当i=1时，，当i=2时，，当i=3时，，…，当i=n时，，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题和不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和裂项相消求和及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。

厦门双十中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷考试时间14：30-16：30祝考试顺利!一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2{17},450A x x B x x x =<<=--≤∣∣，则A B = （）A.(1,1)-B.(1,1)(5,7)-⋃ C.[1,7)- D.(1,5]【答案】D 【解析】【分析】由不等式的解法化简集合，再求交集.【详解】因为{15},{17}B xx A x x =-≤≤=<<∣∣，所以{15}A B x x =<≤∣ .故选：D 2.若2ii 3ia b +=-，其中i 是虚数单位，,a b ∈R 且0b ≠，设i z a b =+，则z 为（）A.2B.C.6D.【答案】D 【解析】【分析】化简可得2i 3i a b b +=+，然后根据复数相等的条件列出关系式，求出,a b 的值，根据共轭复数的概念以及复数的求模运算，即可得出答案.【详解】由2ii 3ia b +=-得，()2i i 3i 3i a b b b +=-=+，所以2b =且3b a =，解得6a =，2b =，所以，62i z =+，所以62i z =-=故选：D.3.在平行四边形ABCD 中，点E 满足4BD BE = ，(,)CE BA BC λμλμ=+∈R，则λμ=（）A.316-B.38-C.316D.1【答案】A【分析】根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.【详解】因为4BD BE =，则()4CD CB CE CB -=- ，整理得13134444CE CD CB BA BC =+=- ，可得13,44λμ==-，所以1334416λμ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：A.4.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若33S =，8596S S -=-，则6S =（）A.3- B.6- C.21- D.24-【答案】C 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q （0q ≠），根据5858763123S S a a a q S a a a -++==++求得q ，再由等比数列的性质得到()3631S S q=+，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q （0q ≠），则555585876321312312332S S a a a a q a q a q q S a a a a a a -++++====-++++，解得：2q =-，又()3336123456123123S a a a a a a a a a a q a q a q =+++++=+++++，所以()()363131821S S q =+=⨯-=-，故选：C.5.已知πtan 2tan 74θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（）A.2B.2± C.45±D.45【解析】【分析】根据题意利用两角和的正切公式可得tan 2θ=，再利用倍角公式结合齐次式问题运算求解.【详解】因为πtan tanπtan 14tan 2tan 7π41tan 1tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理得2tan 4tan 40θθ-+=，解得tan 2θ=，所以2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++.故选：D.6.已知正三棱柱111ABC A B C -与以ABC 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（）A.12B.2πC.2D.π2【答案】C 【解析】【分析】设正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，表达出体积，求出ABC 的外接圆半径，设圆柱的高为m，表达出圆柱的体积，根据体积相等，列出方程，得到h m =，表达出正三棱柱与圆柱的侧面积，得到两者的比值.【详解】设正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，等边ABC 的面积为2213sin 6024a a ︒=，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为24a h ，设ABC 的外接圆半径为R ，则2sin 60a R =︒，解得3R a =，设圆柱的高为m ，则圆柱的体积22ππ3R m a m =，由题意得22π43a h a m=，解得h m =，故正三棱柱111ABC A B C -的侧面积为3ah，圆柱的侧面积为2ππ3R m am ⋅=，故正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为2==.故选：C7.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于()A.45B.35C.－35D.－45【答案】D 【解析】【详解】方法一：由224{4y x y x=-=得1{2x y ==-或44==⎧⎨⎩x y 令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝3．∴cos ∠AFB ＝2222BF AF ABBF AF+-⋅＝42545225+-⨯⨯＝－45．方法二：由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)，∴FA ＝(3,4)，FB＝(0，－2)，∴|FA |＝5，|FB|＝2．∴cos ∠AFB ＝FA FB FA FB ⋅⋅＝()304252⨯+⨯-⨯＝－45．8.已知平面向量a ，b ，c，满足2= a，a b -=r r ，若对于任意实数x ，都有b xa b a -≥- 成立，且1c a -≤ ，则b c ⋅的最大值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】把三个向量平移到同起点，由向量运算及b xa b a -≥-得MB AB ≥ ，从而BA OA ⊥，又由1c a -≤得点C 在以A 为圆心半径为1的圆面上（包括边界），利用数量积的几何意义求得4b c OD ⋅≤ ，再利用三角形相似求OD 长度即可求出最值.【详解】设a OA =，b OB =，c OC =，xa OM =，b，c则如图所示，因为b xa b a -≥-，所以OB OM OB OA -≥- ，即MB AB ≥，所以BA OA ⊥，因为2=a ，ab -=r r ，所以60AOB ∠=︒，4b = ，由1c a -≤，可得点C 在以A 为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），过圆周上一点C 作OB 的垂线，垂足为D ，且DC 与A 相切，延长DC 交OA 于N ，则cos ,4b c b c b c b OD OD ⋅=⋅≤=，此时ODN △∽ACN △，根据相似知识可得OD ON OA ANCA AN AN+==，所以1cos 602122OA OD CA CA OA CA AN =⋅+=︒+=⨯+=，所以b c ⋅的最大值为4428OD =⨯= ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.关于函数()132sin 2π4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，下列说法正确的是（）A.π,08⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心B.5π8x =是曲线()y f x =的一条对称轴C.曲线2sin 2y x =向左平移5π8个单位，可得曲线()y f x =D.曲线2sin 2y x =向右平移5π8个单位，可得曲线()y f x =【答案】AD 【解析】【分析】利用诱导公式化简函数()f x ，再逐项计算判断作答.【详解】依题意，函数ππ()2sin(23π)2sin(2)44f x x x =--=--，对于A ，πππ()2sin(20884f =-⨯-=，π,08⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心，A 正确；对于B ，5π5ππ()2sin(2)0884f =-⨯-=，5π8x =不是曲线()y f x =的对称轴，B 错误；对于C ，曲线2sin 2y x =向左平移5π8个单位，得5π5ππ2sin[2()]2sin(2)2sin(2)844y x x x =+=+=-+，C 错误；对于D ，曲线2sin 2y x =向右平移5π8个单位，得5π5ππ2sin[2()]2sin(2)2sin(2)844y x x x =-=-=--，D 正确.故选：AD10.声强级Li （单位：dB ）与声强I （单位：2W/m ）之间的关系是：010lgILi I =，其中0I 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为21W/m ，对应的声强级为120dB ，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为[]70,80（单位：dB ），下列选项中正确的是（）A.闻阈的声强级为0.1dBB.此歌唱家唱歌时的声强范围为5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2W/m ）C.如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D.声强级增加10dB ，则声强变为原来的10倍【答案】BD 【解析】【分析】根据题中所给声强级与声强之间的关系式，结合对数的运算以及函数的性质逐一分析四个选项，即可得到答案.【详解】由题意，0110lg120I =，则122010ω/m I -=，所以()1210lg 1012010lg Li I I ==+，当12210ω/m I -=时，1212010lg100Li -=+=，故A 错误；当70dB Li =时，即10lg 50I =-，则5210ω/m I -=，当80dB Li =时，即10lg 40I =-，则4210ω/m I -=，故歌唱家唱歌时的声强范围为5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2ω/m ），故B 正确；将声强为,2I I 对应的声强级作商为()()()()1212121210lg 210lg 210210lg 10lg 10I I I I ⨯⨯=≠，故C 错误；将Li ，10Li +对应声强作商为101201012010101010Li Li +--=，故D 正确.故选：BD.11.在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2PA AC BC ===，E 为线段PC 上的一个动点，则下列选项正确的是（）A.三棱锥-P ABC的表面积是4+B.直线PC 与直线AB 所成的角为60︒C.AE BE ++D.三棱锥-P ABC 外接球的表面积为12π【答案】ABD 【解析】【分析】由题意可判定三棱锥各个面都是直角三角形，可求表面积，把三棱锥放入正方体易求异面直线所成角及外接球的表面积，把侧面展开即可求AE BE +的最小值.【详解】∵PA ⊥平面ABC ，ACBC⊥∴PA BC PA AB PA AC ⊥⊥⊥，，，又AC BC PA AC C ⊥= ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC PC ⊥，又2PA AC BC ===∴三棱锥-P ABC 的表面积是111122+22+22442222⨯⨯⨯⨯⨯+=+，故选项A 正确；可以把三棱锥放入棱长为2正方体中如图，则易知直线PC 与直线AB 所成的角为60︒，三棱锥-P ABC 外接球即正方体的外接球，所以外接球的表面积为222(222)12ππ⨯++=，故选项B 、D 正确；把PCB 沿PC 分翻折至平面PAC 内，则1AB 的长即为AE BE +的最小值，如图由题意可知1B G CG ==，则2221(28AB =++=+，∴1AB =AE BE +的最小值为C 错误.故选：ABD.12.已知0,0a b >>，222a b ab +-=，222a b -≤，下面结论正确的是（）A.a b +≥B.3a b -≤C.22log log 1a b +≤D.22log log 32a b +≥【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，变形得到()223a b ab +=+，由基本不等式求出最值，A 错误；B 选项，先推出a 2b ≤和2b a ≤，结合222a b ab +-=得到33b ≤≤，同理得到33a ≤≤，可得结论；C 选项，先根据基本不等式得到02ab <£，从而证明出结论；D 选项，由B 选项得到122ab≤≤，由导函数得到函数最值，求出2252a b a b ab b a +=+≤，从而得到43ab ≥，证明出结论.【详解】A 选项，222a b ab +-=变形得到()223a b ab +=+，因为0,0a b >>，所以()24a b ab +≤，故()()223423a a a b b b ≤-++=，解得0a b <+≤a b =时，等号成立，A 错误；B 选项，因为222a b -≤，所以2222a b -≤-≤，即222a b ≤+，又222a ab b =+-，所以2222ab b b +-≤+，即22ab b ≤，因为0,0a b >>，所以a 2b ≤，同理可得2b a ≤，由a 2b ≤可得a b b -≤，故()22a a b b -≤，222a b ab +-=，所以()22a a b b -=-，故2222b b -≤，解得b ≥，又2b a ≤，即2b a ≥，所以()24a b b a -≥-，即2224b b --≥，解得283b ≤，解得2603b <≤，综上，62633b ≤≤，同理可得62633a ≤≤，所以33a b -≤-≤，故B 正确；C 选项，因为222a b ab +-=，所以2222a b ab ab +=+≥，解得02ab <£，当且仅当a b =时，等号成立，222log log log 1a b ab +=≤，C 正确；D 选项，由B 可知，122ab≤≤，设()1g t t t =+，122t ≤≤，则()222111t g t t t-'=-=，故当1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g t '<，()1g t t t=+单调递减，当(]1,2t ∈时，()0g t '>，()1g t t t=+单调递增，又()15222g g ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以()52g t ≤，所以2252a b a b ab b a +=+≤，即222512a b ab ab +=+≤，解得43ab ≥，2222log log 3log 3log 42a b ab +=≥=，故选：BCD【点睛】方法点睛：不等式证明或比较大小经常用到基本不等式及其变形：2112a ba b+≤≤≤+，当且仅当a b =时，等号成立，解题中要结合题目条件灵活运用.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若()11xf x m a =-+（0a >，且1a ≠）是奇函数，则m =_____________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意，函数()f x 是奇函数，结合()()0f x f x +-=，列出方程，即可求解.【详解】由()11x f x m a =-+，可得()111xx x a f x m m a a --=-=-++，因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x +-=，所以1011xx x a m m a a -+-=++，解得12m =.故答案为：12.14.从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则3个数的积为3的倍数的不同取法有__________.【答案】25【解析】【分析】按其中3和6两个数取1个和两个分类可得．【详解】从2至8的7个整数中3的倍数的有3和6两个，任取3个数，按3和6中取1个和2个分类可得取法数为12212525C C C C 25+=．故答案为：25.15.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 分别作C 的两条渐近线的平行线与C 交于A ，B 两点，若||AB =，则C 的离心率为________【答案】2+##2+【解析】【分析】设直线方程为()b y x c a=-与双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>联立，根据||AB =求解.【详解】解：如图所示：设直线方程为()b y x c a=-与双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>联立，解得223,22a c b x y c ac+==-，因为||AB =，所以322b ac⨯=，即2b =，即220c a --=，解得2ce a==，2+16.已知函数()32f x x bx cx c =+++有三个零点，且它们的和为0，则b c -的取值范围是______.【答案】27,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据三个零点可得()()()()123f x x x x x x x =---，由此易得0b =，从而可得()3f x x cx c =++，()23f x x c '=+，()f x 有三个零点，则()f x 有两个极值点45,x x 且需满足()40f x >，()50f x <，代入可得关于c 的不等式求解即可.【详解】设1x ，2x ，3x 是()f x 的三个零点，则()()()()123f x x x x x x x =---，所以()1230b x x x =-++=，所以()3f x x cx c =++，()23f x x c '=+，若()f x 有三个零点，则()f x 有两个极值点，故对于方程()0f x '=，120c ∆=->，0c <，()f x 的两个极值点分别为4x =和5x =，其中4x 为极大值点，5x 为极小值点.若()f x 存在三个零点，则需满足()40f x >，且()50f x <，所以30c ⎛-> ⎝，解得274c <-，又因为()()500x f c f <=<，所以b c -的取值范围是27,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故答案为：27,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：运用待定系数法求出0b =是化简()f x 的关键，再根据零点的个数得出极值点的正负从而可列出不等式.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin a c a c C c b c B -+=-.（1）求A ；（2）若ABC 1sin sin 4B C =，求a 的值.【答案】（1）π3A =（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可；（2）由正弦定理及面积公式求解.【小问1详解】因为()()()sin sin a c a c C c b c B -+=-，所以()()()a c a c c c b c b -+⋅=-⋅，即222122b c a bc +-=，所以1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由正弦定理知，2sin sin sin a b cR A B C===，所以221(2)sin sin (2)4bc R B C R ==⋅，所以2211π1sin (2)sin (2)28316ABC S bc A R R ===⋅△，解得24R =，所以2sin 42a R A ==⨯=.18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且13a =，2n n S na n n =-+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1111n n n n n n a a b a a ++++=-⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+（2）()111323n nT n +-=++【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系分析可得数列{}n a 是3为首项，2为公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；（2）由（1）可得：()()1111nn n nn b a a ++--=-+，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】因为2n n S na n n =-+，可得()()211111n n S n a n n ++=+-+++，两式相减得()()2211111n n n a n a n n na n n ++=+-+++-+-，整理得12n n a a +-=，可知数列{}n a 是3为首项，2为公差的等差数列，所以()32121na n n =+-=+．【小问2详解】由（1）可得：()()()()1111111111111n n n n n n n n n nn n n a a b a a a a a a +++++++--⎛⎫+=-⋅=-⋅+=-+ ⎪⋅⎝⎭，则()()()()()22311212231111111n n n n n n T b b b a a a a a a ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤------=++⋅⋅⋅+=-++-++⋅⋅⋅+-+⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()11111111323n n n a a n +++---=-+=++，所以()111323n nT n +-=++．19.如图所示，ABC 为等边三角形，EA ⊥平面ABC ，//EA BD ，2AB BD ==，1AE =，M 为线段AB 上一动点．（1）若M 为线段AB 的中点，证明：ED MC ⊥．（2）若3AM MB =，求二面角D CM E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）22220【解析】【分析】（1）根据线面垂直可得EA CM ⊥，再证明CM ⊥平面ABDE ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）设AB 的中点为O ，连接OC ，在平面ABDE 内，过点O 作ON AB ⊥交ED 于点N ，以O 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为M 为线段AB 的中点，且ABC 为等边三角形，所以CM AB ⊥，因为EA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以EA CM ⊥，因为//EA BD ，所以A ，B ，D ，E 四点共面，因为AB ⊂平面ABDE ，AE ⊂平面ABDE ，AB AE A = ，所以CM ⊥平面ABDE ，因为DE ⊂平面ABDE ，所以ED MC ⊥；【小问2详解】设AB 的中点为O ，连接OC ，在平面ABDE 内，过点O 作ON AB ⊥交ED 于点N ，由（1）可得,,OC ON AB 两两垂直，分别以OB ，OC ，ON 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为2AB BD ==，1AE =，3AM MB =，所以1,0,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，()3,0C ，()1,0,1E -，()1,0,2D ，所以12MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，3,0,12ME ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，1,0,22MD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．，设平面MCE 的法向量为()111,,m x y z =，则1111102302m MC x m ME x z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得11y =，1z =所以平面MCE的一个法向量为(m =，设平面MCD 的法向量为()222,,x n y z =，则22221021202n MC x n MD x z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令2x =21y =，22z =-，所以平面MCD的一个法向量为2n ⎛=- ⎪⎝⎭ ，所以1717222cos ,220m nm n m n⋅==，所以二面角D CM E --的余弦值为220．20.小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到.小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为12，且相互独立.已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司.求：（1）要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发；（2）若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率；（3）小李上班路上的平均时长.【答案】（1）7点47分（2）55 128（3）12【解析】【分析】（1）利用独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式即可求解；（2）根据（1）结论及独立事件的乘法公式即可求解；（3）方法1：根据已知条件求出随机变量的可能取值，利用独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式求出随机变量的取值相应的概率，进而得出随机变量的分布列，再利用随机变量的期望公式即可求解；方法2：利用二项分布的性质及随机变量的期望性质即可求解.【小问1详解】根据题意可知若7点46分出门，则一定不会迟到；若7点47分出门，仅当遇到4个红灯时才会迟到，则迟到的概率为411216⎛⎫=⎪⎝⎭，不迟到的概率为1590%16>，若7点48分出门，则遇到3个或4个红灯会迟到，迟到的概率为34341115C22216⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，迟到的概率为1190% 16<，所以若保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在7点47分从家出发.【小问2详解】由（1）可知，小李7点48分从家出发迟到的概率为516，不迟到的概率为1116，所以若两天都是7点48分出发，则恰有一天迟到的概率为1251155C1616128⨯⨯=.【小问3详解】方法1：根据题意可知小李每天上班时长X可能得取值为10，11，12，13，14（分钟），则()()4111014216P X P X ⎛⎫=====⎪⎝⎭，()()414111113C 24P X P X ⎛⎫====⨯= ⎪⎝⎭，()4241312C 28P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，X 的分布列为X1011121314P116143814116所以上班路平均时长为()11311101112131412164846E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）.方法2：设小李每天上班时长10X =，11，12，13，14（分钟），易知遇到的红灯个数Y 0=，1，2，3，4服从1~4,2Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()2E Y np ==，所以()()1012E X E Y =+=（分钟）.21.已知椭圆22:184x y C +=，点()0,1N ，斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于点,A B ，与圆N 相切且切点为,M M 为AB 中点.（1）求圆N 的半径r 的取值范围；（2）求AB 的取值范围.【答案】（1）（2）(0,【解析】【分析】（1）设直线l 方程，联立直线l 方程与椭圆方程可得12x x +，12x x ，进而可求得点M 坐标，由圆N 与直线l 相切于点M 可得1NM k k =-，进而可求得221k m +=-，代入0∆>可求得2302k <<，进而求出r =.（2）由弦长公式可得||AB =（2302k <<），运用换元法即可求得结果.【小问1详解】如图所示，由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为y kx m =+（0k ≠），11(,)A x y ，22(,)B x y ，设圆N 的半径为r ，22222(21)4280184y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，222222164(21)(28)8(84)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，122421km x x k -+=+，21222821m x x k -=+，所以212122242()222121k m my y k x x m m k k -+=++=+=++，又因为M 为AB 的中点，所以222(,)2121km mM k k -++，又因为圆N 与直线l 相切于点M ，所以NM l ⊥，且||r MN =，所以1NM l k k ⨯=-，所以2211212021NMmk k km k k -+==---+，解得221k m +=-，所以(2,1)M k -，22222228(84)8[8(21)4]8(21)(32)0k m k k k k ∆=-+=-++=+->，解得：2302k <<，所以||r MN ===（2302k <<），所以251122k <+<⇒<<，即2r <<，所以圆N 的半径r的取值范围为.【小问2详解】由（1）知，221k m +=-，所以||AB ==（2302k <<），令221t k =+，则212t k -=（14t <<），所以||AB ==，显然43y t t=-++在(1,4)上单调递减，所以4036t t <-++<，所以0<<，即0||AB <<故||AB的取值范围为(0,.【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法1.数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解；2.构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解；3.构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．22.已知函数2()e (2)e 1x x f x a ax =+---.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()(2)e x g x f x a =+-在区间(0,)+∞上存在唯一零点0x ，求证：02x a <-.【答案】（1）答案见解析（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导得()()1()2e exxaf x '+-=，所以首先分0a ≥和a<0两种情况，在讨论a<0时，以()f x '的两个零点120,ln 2a x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭为分界点又可以分三种小情况来讨论，根据导数与原函数单调性的关系即可求解.（2）由题意可得020e 1x a x -=，若要证明02x a <-，则只需00202e 1x x x -<-，即只需()()02200e 10,0x x x -+>>，通过构造函数()()22=e 1,0x h x x x -+>，连续求导即可得证.【小问1详解】对2()e (2)e 1x x f x a ax =+---求导得，()()2()2e (2)1e 2e e xx x x f x a a a '-+=+--=，分以下两大情形来讨论()f x 的单调性：情形一：当0a ≥时，有2e 0x a +>，令()()01()2e exxf ax '+-==，解得0x =，所以当0x <时，有()()01()2e e xxf ax '+-=<，此时()f x 单调递减，当0x >时，有()()01()2e exxf ax '+-=>，此时()f x 单调递增；所以()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增；情形二：当a<0时，令()()01()2e exxf ax '+-==，解得120,ln 2a x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，接下来又分三种小情形来讨论()f x 的单调性：情形（1）：当2a <-时，有120ln 2a x x ⎛⎫=<=- ⎪⎝⎭，此时()12,),,e e (x xf x f x a +'-随x 的变化情况如下表：(),0∞-0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2e x a+--+e 1x --++()f x '+-+()f x由上表可知()f x 在(),0∞-和ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减；情形（2）：当2a =-时，有120ln 2a x x ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，此时()2()e 10xf x '=-≥，所以此时()f x 在R 上单调递增；情形（3）：当20a -<<时，有120ln 2a x x ⎛⎫=>=- ⎪⎝⎭，此时()12,),,e e (x xf x f x a +'-随x 的变化情况如下表：,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,∞+2e x a+-++e 1x ---+()f x '+-+()f x由上表可知()f x 在,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减.综上所述：当2a <-时，()f x 在(),0∞-和ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减；当2a =-时，()f x 在R 上单调递增；当20a -<<时，()f x 在,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减；当0a ≥时，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.【小问2详解】因为2()e (2)e 1x x f x a ax =+---，所以由题意2()()(2)e e 1x x g x f x a ax ==+---，又因为()()(2)e x g x f x a =+-在区间(0,)+∞上存在唯一零点0x ，所以存在唯一的()00,x ∈+∞，有0200()e10x g x ax --==，化简得020e 1x a x -=，若要证明02x a <-，则只需00202e 1x x x -<-，即只需()()02200e 10,0x x x -+>>，不妨设()()22=e 1,0x h x x x -+>，求导得()()2=2e21,0xh x x x '-+>，令()()()2=2e21,0xu x h x x x '=-+>，继续求导得()2=4e 24220,0x u x x '->-=>>，所以当0x >时，()()2=2e 21xh x x '-+单调递增，所以()()()2=2e2100xh x x h ''-+>=，所以当0x >时，()()22=e 1x h x x -+单调递增，所以()()()22=e 100x h x x h -+>=，即当00x >时，有不等式()0220e 10x x -+>成立，综上所述：若()()(2)e x g x f x a =+-在区间(0,)+∞上存在唯一零点0x ，则02x a <-.【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是明确含参的函数的单调性首先要分类讨论，在讨论a<0时，通过比较()f x '的两个零点120,ln 2a x x ⎛⎫==-⎪⎝⎭的大小关系可知又要分三种小情况来讨论；而第二问的关键是首先得到020e 1x a x -=，然后分析出只需证明()()02200e 10,0x x x -+>>即可，对此构造函数()()22=e 1,0x h x x x -+>，连续求导即可顺利得证.。

2020-2021学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−2x −3=0}，B ={x|ax −1=0}，若B ⊆A ，则实数a 的值构成的集合是( )A. {−1,0，13}B. {−1,0}C. {−1,13}D. {13,0}2. 已知a >b >0，则下列不等式中总成立的是( )A. a +1b >b +1aB. a +1a >b +1bC. b a >b+1a+1D. b −1b >a −1a3. “跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是( )A. 9B. 10C. 12D. 134. 已知函数f(x)=√ax 2−4x −2a +8对任意两个不相等的实数x 1，x 2∈[1,+∞)，都有不等式f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，则a 的取值范围是( )A. [2,4]B. [2,+∞)C. (0,2]D. [4,+∞)5. 3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术(即“积层造型法”).过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用(比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等).已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为10√2cm ，母线与底面所成角的正切值为√2.打印所用原料密度为1g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为(取π≈3.14，精确到0.1)( )A. 609.4gB. 447.3gC. 398.3gD. 357.3g6. 已知正项等比数列{a n }中a 9=9a 7，若存在两项a m 、a n ，使a m a n =27a 12，则1m +16n的最小值为( )A. 5B. 215C. 516D. 6547. 设O 为△ABC 所在平面内一点，满足2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为( )A. 6B. 83C. 127D. 48. 已知函数f(x)=sinωx −√3cosωx(ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为π，把f(x)图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移π3个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数g(x)的图象，若g(x)在[−a,a]上单调递增，则a 的最大值为( )A. π12B. π6C. π4D. 5π12二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B =∠F =90°，∠A =60°，∠D =45°，BC =DE ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F −CAB ，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是( )A. 直线BC ⊥平面OFMB. AC 与平面OFM 所成的角为定值C. 设平面ABF ∩平面MOF =l ，则有l//ABD. 三棱锥F −COM 体积为定值10. 已知数列{a n }满足：a 1=3，当n ≥2时，a n =(√a n−1+1+1)2−1，则关于数列{a n }说法正确的是( )A. a 2=8B. 数列{a n }为递增数列C. 数列{a n }为周期数列D. a n =n 2+2n11. 已知正数x ，y ，z 满足3x =2y =12z ，下列结论正确的有( )A. 6z>2y>3xB. 1x +2y=1zC. x+y>(3+2√2)zD. xy>8z212.在△ABC中，已知bcosC+ccosB=2b，且1tanA +1tanB=1sinC，则()A. a、b、c成等比数列B. sin A：sin B：sinC=2：1：√2C. 若a=4，则S△ABC=√7D. A、B、C成等差数列三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记S n为数列{a n}的前n项和，若S n=2a n−1，则a6等于．14.若sin(π3−α)=13，则cos(π3+2α)=．15.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，BC=2√3，PA=4，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为．16.若对任意正实数x，y，不等式(2x−y)⋅(lny−lnx+1)≤xa恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①n(a n+1+1)=(n+1)(a n+4n+1)；②a n+1−a n=2(√a n+1+1+√a n+1)；③a n−a n−1=8n−4(n≥2)三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．问题：已知数列{a n}中，a1=3，_____．(1)求a n；(2)若数列{1a n }的前n项和为T n，证明：13 ≤ T n<12．18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bsinA=√3acosB+asinB．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设点D是AC的中点，若BD=√3，求a+c的取值范围．19.如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB//CD，∠ABC=∠ADB=90°，CD=1，BC=2．(1)求证：BE//平面DCF；(2)当AE的长为何值时，直线AD与平面BCE所成角的大小为45°．20.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)=1600x2+x+150万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m),1≤m≤30480,m>30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆C上一点，且△PF1F2的周长是6．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过椭圆C的右焦点F2且与C交于不同的两点M，N，试问在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知函数f(x)=x−2alnx−1x+1，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=1时，正数x1，x2满足f(x1)+f(x2)=2，证明：x1+x2≥2．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用集合的子集关系确定参数问题，注意集合B为空集时也满足条件，属于基础题．先化简集合A，利用B⊆A，求出a的取值，注意要分类讨论．【解答】解：∵A={x|x2−2x−3=0}={−1,3}，若B⊆A，当a=0时，此时B=⌀，满足条件B⊆A；当a≠0时，则B={x|ax−1=0}={1a}，要使B⊆A，则1a =−1或1a=3，解得a=−1或a=13．综上a=0或a=−1或a=13．故选：A．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，属于基础题．由a>b>0，可得．利用不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a>b>0，∴1b >1a．∴a+1b >b+1a．故选：A．【解析】 【分析】首先将所给的问题转化为数列求和的问题，然后结合数列的求和公式得到关于n 的不等式，求不等式确定n 的值即可求得剩余铅笔的根数．本题主要考查等差数列的求和公式，数列模型及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 【解答】解：设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于n +1， 于是：n(n+1)2≤100，且 100−n(n+1)2<n +1， 解得n =13，剩余的根数为100−13×142=9．故选：A ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的、根式函数的性质．由题意利用复合函数的单调性，二次函数的、根式函数的性质，可得{a >02a ≤1a −4−2a +8≥0，由此求得a 的范围． 【解答】解：∵函数f(x)=√ax 2−4x −2a +8对任意两个不相等的实数x 1，x 2∈[1,+∞)， 都有不等式f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，∴当x ≥1时，f(x)为增函数，∴{a >02a ≤1a −4−2a +8≥0，得2≤a ≤4， 故选：A ．【解析】【分析】作出几何体的截面图，由已知求得圆锥的高，再由三角形相似对应边成比例求出正方体的棱长，运用圆锥与正方体的体积公式求解．本题考查空间多面体与旋转体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．【解答】解：如图，是几何体的轴截面，∵圆锥底面直径为10√2cm，∴半径为5√2cm，∵母线与底面所成角的正切值为√2，∴圆锥的高为10cm，设正方体的棱长为a，则√2 2 a5√2=10−a10，解得a=5．∴该模型的体积V=13π×(5√2)2×10−53=500π3−125(cm3).∴制作该模型所需原料的质量约为(500π3−125)×1=500π3−125≈398.3(g)．故选：C．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，还考查了利用乘1法在基本不等式的应用条件配凑中的应用，属于中档试题．由已知结合等比数列的性质及通项公式可求m+n，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正项等比数列{a n}中a9=9a7，所以q2=a9a7=9，即q=3，若存在两项a m、a n，使a m a n=27a12，则a12⋅3n+m−2=27a12，则1m +16n=15(m+nm+16(m+n)n)=15(17+n m+16m n)≥15(17+8)=5，当且仅当nm =16m n且n +m =5即m =1，n =4时取等号，故选：A ．7.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算问题，也考查了向量的线性表示与运算问题，是中档题．延长OB 至B 1，使OB 1=7OB ；延长OC 至C 1，使OC 1=3OC ；延长OA 至A 1，使OA 1=2OA ； 可得O 是△A 1B 1C 1的重心，利用三角形重心的性质，即可得到结论． 【解答】解：由2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，延长OB 至B 1，使OB 1=7OB ；延长OC 至C 1，使OC 1=3OC ；延长OA 至A 1，使OA 1=2OA ； 可得OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以点O 是△A 1B 1C 1的重心， 所以S △OA 1B 1=S △OA 1C 1=S △OB 1C 1=k ， 如图所示又S △OBCS △OB1C 1=OB⋅OCOB1⋅OC 1=121，S △OABS△OA 1B 1=OA⋅OBOA1⋅OB 1=114，S △OAC S △OA 1C 1=OA⋅OC OA 1⋅OC 1=16，所以S △OBC =121k ，S △OAB =114k ，S △OAC =16k ，所以△ABC的面积与△BOC的面积的比值为2 7 k 121k=6．故选：A．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得g(x)的增区间，从而求得a 的最大值．【解答】解：∵函数f(x)=sinωx−√3cosωx=2sin(ωx−π3)(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离为12⋅2πω=π，∴ω=1，f(x)=2sin(x−π3).把f(x)图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，可得y=2sin(2x−π3)的图象，再沿x轴向左平移π3个单位长度，可得y=2sin(2x+π3)的图象．然后纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数g(x)=4sin(2x+π3)的图象．令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，求得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，故函数g(x)的增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z．若g(x)在[−a,a]上单调递增，则故[−a,a]⊆[−5π12,π12]，故a的最大值为π12，故选：A．9.【答案】ABC由三角形的中位线定理和线面垂直的判定定理可判断A；由线面角的定义可判断B；过F在平面OMF内作直线l//OM，可判断C；由三棱锥的体积可判断D．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查运算能力和推理能力，属于中档题．【解答】解：由OM为△ABC的中位线可得OM//AB，则BC⊥OM，BC⊥OF，且OM∩OF=O，可得BC⊥平面OFM，故A正确；由BC⊥平面OFM，可得AC与平面OFM所成角为∠CMO，而∠CMO=∠CAB=60°，故B正确；可过F在平面OMF内作直线l//OM，而OM//AB，所以l//AB，l为平面OMF和平面ABF的交线，故C正确；在三棱锥F−COM中，CO⊥平面OMF，由于CO为定值，△OMF的面积不为定值，所以三棱锥F−COM体积不为定值，故D错误．故选：ABC．10.【答案】ABD【解析】【分析】利用递推关系式推出√a n+1=√a n−1+1+1，说明数列{√a n+1}是首项为√a1+1= 2，公差为1的等差数列，然后求解通项公式，即可判断选项的正误；本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．【解答】解：a n=(√a n−1+1+1)2−1得a n+1=(√a n−1+1+1)2，∴√a n+1=√a n−1+1+1，即数列{√a n+1}是首项为√a1+1=2，公差为1的等差数列，∴√a n+1=2+(n−1)×1=n+1，∴a n=n2+2n．a2=4+4=8，由二次函数性质可得a n=n2+2n为递增数列;所以ABD正确．故选：ABD．11.【答案】BCD本题考查基本不等式，指对互化，考查学生对对数运算的掌握，属于拔高题．A.由3x=2y=12z取对数得xln3=yln2=zln12，然后找到x、y、z的关系，计算3x 与2y、3x与6z的比值即可；B.根据xln3=yln2=zln12表示出ln2、ln3、ln12，再根据这三者的等量关系，列出等式化简；C.根据1z =2y+1x，使用基本不等式即可证明；D.由xln3=yln2=zln12得xz =ln12ln3,yz=ln12ln2，将二者相乘后利用基本不等式证明即可．【解答】解：A.由3x=2y=12z取对数得xln3=yln2=zln12，设xln3=yln2=zln12=k(k>0)，则ln3=kx,ln2=ky,ln12=kz，∴3x2y =3ln22ln3=ln8ln9<1，即3x<2y，3x 6z =x2z=ln122ln3=ln12ln9>1，即3x>6z，∴6z<3x<2y，故A错误；B.∵ln12=ln3+ln4=ln3+2ln2，∴kz =2ky+kx，即1z=2y+1x，故B正确；C.由基本不等式可知(1x +2y)(x+y)=3+yx+2xy≥3+2√2，当且仅当y=√2x时等号成立，根据3x=2y可知y≠√2x，所以等号取不到，∴x+yz>3+2√2，即x+y>(3+2√2)z，故C正确；D.由xln3=yln2=zln12可知xz =ln12ln3,yz=ln121n2，∴xyz2=ln12×ln12ln3×ln2=(ln3+2ln2)2ln3×ln2>4×ln3×2ln2ln3×ln2=8，即xy>8z2，12.【答案】BC【解析】【分析】此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到a=2b，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAsinB=sin2C，由正弦定理可得ab=c2，可求a=√2c，进而逐项分析各个选项即可得解．【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin(B+C)=2sinB，∵sin(B+C)=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，又∵1tanA +1tanB=1sinC，即cosAsinA +cosBsinB=sinBcosA+sinAcosBsinAsinB=sin(A+B)sinAsinB =sinCsinAsinB=1sinC，∴sinAsinB=sin2C，由正弦定理可得ab=c2，∴a=√2c，∴a：b：c=a：12a：√2=2：1：√2，故A错误，由正弦定理可得sin A：sin B：sinC=2：1：√2，故B正确；若a=4，可得b=2，c=2√2，可得cosC=16+4−82×4×2=34，可得sinC=√74，可得S△ABC=12×4×2×√74=√7，故C正确；若A、B、C成等差数列，且A+B+C=π，2B=A+C，可得B=π3，由于cosB=a2+c2−b22ac =a2+a22−a242ac=5√28≠12，故D错误．故选：BC．13.【答案】32【解析】【分析】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．根据数列通项公式和前n项和之间的关系求出通项，即可求得结论．【解答】解：因为S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n−1，①∴a1=1，故S n−1=2a n−1−1，②①−②得：a n=2a n−2a n−1⇒a n=2a n−1(n≥2)，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a6=1×25=32．故答案为：32．14.【答案】−79【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用诱导公式可求cos(π6+α)的值，进而利用二倍角的余弦公式即可计算得解．【解答】解：∵sin(π3−α)=13，∴cos(π6+α)=13，∴cos(π3+2α)=cos[2(π6+α)]=2cos2(π6+α)−1=2×19−1=−79．故答案为：−79．15.【答案】32π【解析】【分析】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．直接利用正弦定理和球的表面积公式的应用求出结果．【解答】解：根据题意：设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，BC=2√3，PA=4，所以利用正弦定理2r=BCsin∠BAC=2√3√32=4，如图，设O为外接球的球心，E为△ABC的外接圆的圆心，则AE=r=2，OE=12PA=2，所以三棱锥的外接球的半径为R=√22+22=2√2，则S=4⋅π⋅(2√2)2=32π，故答案为：32π．16.【答案】(0,1]【解析】【分析】由题意可得(2−yx )⋅(ln yx+1)≤1a，可设t=yx(t>0)，可得f(t)=(2−t)(lnt+1)，求得导数和单调性，极值、最值，可得a的不等式，解不等式可得所求范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和换元法、构造函数法，以及导数的运用：求单调性和极值、最值，考查运算能力和推理能力，属于拔高题．【解答】解：不等式(2x−y)⋅(lny−lnx+1)≤xa对x、y>0恒成立，可得(2−yx )⋅(ln yx+1)≤1a，可设t=yx(t>0)，可得f(t)=(2−t)(lnt+1)，f′(t)=−(lnt+1)+2−tt =−lnt+2t−2，由y=−lnt和y=2t−2在t>0时单调递减，可得f′(t)在t>0时单调递减，则f′(1)=0，当t>1时，f′(t)<f′(1)=0，f(t)递减；0<t<1时，f′(t)>f′(1)=0，f(t)递增，可得f(t)在t=1处取得极大值，且为最大值f(1)=1，则1≤1a ，即a−1a≤0，解得0<a≤1，故答案为：(0,1]．17.【答案】解：选①．(1)由n(a n+1+1)=(n+1)(a n+4n+1)，得a n+1+1n+1=a n+4n+1n，即a n+1+1n+1−a n+1n=4，又a1=3，a1+11=4，所以{a n+1n}是首项为4，公差为4的等差数列，所以a n+1n=4n，所以a n=4n2−1．(2)证明：由(1)，得1a n =12(12n−1−12n+1)，所以T n=12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=12−14n+2．因为14n+2>0，所以T n<12，又因为T n=12−14n+2随着n的增大而增大，所以T n≥T1=13．综上13≤T n<12．若选②．(1)由a n+1−a n=2(√a n+1+1+√a n+1)，得n+1n√a+1+√a+1=2，即√a n+1+1−√a n+1=2，又√a1+1=2，所以{√a n+1}是首项为2，公差为2的等差数列，所以√a n+1=2n，所以a n=4n2−1．(2)证明：由(1)，得1a n =12(12n−1−12n+1)，所以T n=12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=12−14n+2．因为14n+2>0，所以T n<12，又因为T n=12−14n+2随着n的增大而增大，所以T n≥T1=13．综上13≤T n<12．若选③．(1)由a n−a n−1=8n−4(n≥2)可得：当n≥2时，a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=(8n−4)+(8n−12)+⋯+12+3=[(8n−4)+12](n−1)2+3=4n2−1．当n=1时，a1=3，符合，所以当n∈N∗时，a n=4n2−1．(2)证明：由(1)，得1a n =12(12n−1−12n+1)，所以T n=12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=12−14n+2．因为14n+2>0，所以T n<12，又因为T n=12−14n+2随着n的增大而增大，所以T n≥T1=13．综上13≤T n<12．【解析】本题主要考查等差数列和等比数列的概念、通项公式，数列求和，属于中档题．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养有数学运算等，体现基础性，综合性．(1)选①.推出{a n+1n}是首项为4，公差为4的等差数列，然后求解通项公式．若选②.推出{√a n+1}是首项为2，公差为2的等差数列，然后求解通项公式．若选③.由a n−a n−1=8n−4(n≥2)，利用累加法，求解通项公式．(2)由(1)，得1a n =12(12n−1−12n+1)，利用裂项消项法，求解数列的和，通过T n=12−14n+2随着n的增大而增大，T n≥T1=13，证明即可．18.【答案】解：(I)在△ABC中，因为2bsinA=√3acosB+asinB，由正弦定理可得：2sinBsinA=√3sinAcosB+sinAsinB，由于sinA>0，可得：2sinB=√3cosB+sinB，可得sinB=√3cosB，可得：tanB=√3，又因为B∈(0,π)，所以B=π3．(II)如图，延长BD到E，满足DE=BD，连接AE，CE，则四边形ABCE为平行四边形，且BE=2√3,∠BAE=2π3,AB=c,AE=BC=a，在△BAE中，由余弦定理得(2√3)2=a2+c2−2accos2π3，即a2+c2+ac=12，可得(a+c)2−ac=12，即ac=(a+c)2−12，由基本不等式得：ac=(a+c)2−12≤(a+c2)2，即34(a+c)2≤12，即(a+c)2≤16，可得a+c≤4，(当且仅当a=c=2取等号)，又由AE+AB>BE，即a+c>2√3，故a+c的取值范围是(2√3,4]．【解析】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(I)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanB =√3，结合范围B ∈(0,π)，可求B 的值．(II)延长BD 到E ，满足DE =BD ，连接AE ，CE ，在△BAE 中，由余弦定理，基本不等式可得a +c ≤4，又由AE +AB >BE ，即a +c >2√3，即可得解a +c 的取值范围．19.【答案】解：(1)由已知可得，同理可得AB//平面DCF ，又AE ∩AB =A ，AB ，AE ⊂平面ABE ， ∴面ABE//面DCF ，∵BE ⊂面ABE ，∴BE//平面DCF ；(2)因为平面ADFE ⊥平面ABCD ，平面ADFE ∩平面ABCD =AD ，FD ⊥AD ，FD ⊂平面ADFE ，所以FD ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ， 所以FD ⊥BD ，故DF ，DA ，DB 两两垂直．如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系， ∵AB//CD ，∠ABC =∠ADB =90°， 则△ADB∽△BCD ，⇒AD BC=DB CD∵CD =1，BC =2，BD =√5， ∴AD =2√5，AB =5．设DF =AE =m ，则D(0,0，0)，A(2√5,0，0)，B(0,√5,0)，√5√50)，E(2√5,0，m)．DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√5,0,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√5√50)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√5,−√5,m) 设面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， {n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√5−√5=0n⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√5x −√5y +mz =0，取n ⃗ =(2,−1,−5√5m)，∵直线AD 与平面BCE 所成角的大小为45°． ∴|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=√22，⇒m =5√153． ∴AE 的长为5√153时，直线AD 与平面BCE 所成角的大小为45°．【解析】本题考查了空间线面平行，线面角，属于中档题．(1)由已知可得面ABE//面DCF ，由面面平行的性质可得BE//平面DCF ； (2)以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．20.【答案】解：(1)由总成本p(x)=1600x 2+x +150，可得每台机器人的平均成本y =p(x)x =1600x 2+x +150x=1600x +150x +1≥2√1600x ⋅150x+1=2，当且仅当1600x =150x，即x =300时，等号成立，∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台； (2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60−m)=−160m 2+9600m ， ∴当m =30时，日平均分拣量有最大值144000； 当m >30时，日平均分拣量为480×300=144000， ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件． 若传统人工分拣144000件，则需要人数为1440001200=120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120−30=90(人)．【解析】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式与二次函数求最值，正确理解题意是关键，是中档题．(1)每台机器人的平均成本y =p(x)x ，整理后利用基本不等式求最值；(2)分类求出引进机器人后日平均分拣量的最大值，得到对应的m 值，再求出利用传统人工分拣所需人数，作差得答案．21.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c(c >0)，由椭圆的定义可知△PF 1F 2的周长为2a +2c ，即2a +2c =6．又e =c a =12，解得a =2，c =1，故b 2=a 2−c 2=3，∴椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．(2)假设在x 轴上存在点Q(t,0)满足条件，当直线l 的斜率存在时，设其方程为y =k(x −1)，联立{y =k(x −1)3x 2+4y 2=12， 可得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2．直线QM 与直线QN 的斜率的和为k QM +k QN =y 1x 1−t +y 2x 2−t =k(x 1−1)(x 2−t)+k(x 2−1)(x 1−t)(x 1−t)(x 2−t) =2kx 1x 2−k(1+t)(x 1+x 2)+2kt x 1x 2−t(x 1+x 2)+t 2 =6k(t−4)x 1x 2−t(x 1+x 2)+t 2，要使直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值，只有t =4，此时直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0．当直线l 的斜率不存在时，t =4，必有直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0．综上，在x轴上存在点Q(4,0)满足条件．【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的定点定值问题，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是拔高题．(1)根据C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且△PF1F2的周长是6，列出方程，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．(2)假设存在满足条件的点Q(t,0)，然后分为斜率存在和不存在两种情况进行讨论即可．22.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−2ax +1x2=x2−2ax+1x2，令ℎ(x)=x2−2ax+1，△=4a2−4=4(a−1)(a+1)，①当−1≤a≤1时，△≤0，f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，②当a>1或a<−1时，△>0，令f′(x)=0可得x1=a−√a2−1，x2=a+√a2−1，(i)当a<−1时，x1<x2<0，f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，(ii)当a>1时，0<x1<x2，若x∈(0,x1)，x∈(x2,+∞)，f′(x)>0，函数单调递增，x∈(x1,x2)时，f′(x)<0，函数单调递减，综上，a≤1时，f(x)在(0,+∞)单调递增，当a>1时，函数f(x)在(0,a−√a2−1)，(a+√a2−1,+∞)上单调递增，在(a−√a2−1,a+√a2−1)上单调递减；(2)当a=1时，由(1)知f(x)=x−2lnx−1x+1在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=1，且f(x1)+f(x2)=2，不妨取x1∈(0,1]，要证x1+x2≥2，只要证x2≥2−x1，只要证f(x2)≥f(2−x1)，即证2−f(x1)≥f(2−x1)，即f(x1)+f(2−x1)−2≤0，令g(x)=f(2−x)+f(x)−2=2−2ln(2−x)−12−x −2lnx−1x，x∈(0,1]，则g′(x)=22−x −1(2−x)2−2x+1x2=−4(x−1)3x2(2−x)2，当x∈(0,1]时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，则g(x)≤g(1)=0，所以f(x1)+f(2−x1)−2≤0，从而x1+x2≥2．【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及证明不等式，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于较难题．(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系及二次函数的性质进行求解即可；+1在(0,+∞)上单调递增，结合f(1)=1，(2)当a=1时，由(1)知f(x)=x−2lnx−1x且f(x1)+f(x2)=2可知，要证x1+x2≥2，只要证x2≥2−x1，只要证f(x2)≥f(2−x1)，即证2−f(x1)≥f(2−x1)，即f(x1)+f(2−x1)−2≤0，然后构造函数g(x)=f(2−x)+f(x)−2，x∈(0,1]，结合导数与单调性关系可证．。

2023-2024学年福建省部分达标学校高三上学期期中质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则()A. B. C. D.2.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知是三角形的内角，且，则的值是()A. B. C. D.4.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升到8000，则C大约增加了A. B.C. D.5.已知曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则下列曲线的方程正确的是()A. B. C. D.6.已知关于x的不等式的解集为，若，则的最小值是()A. B. C. D.7.函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的递增区间为()A. B. C. D.8.已知函数的定义域为R，满足，当时，，记的极小值为t，若对则m的最大值为()A. B.1 C.3 D.不存在二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若复数z满足其中i为虚数单位，则下列说法正确的是()A.B.z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限C.z的虚部为D.10.函数的部分图象如图所示，则()A. B.C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称11.下列大小关系中，正确的是()A. B. C. D.12.已知函数，其中e是自然对数的底数，下列说法中正确的是()A.的一个周期为B.在区间上单调递增C.是偶函数D.在区间上有且仅有一个极值点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省厦门市双十中学2019-2020学年高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合(){}ln 1A y y x ==-，{}=0,1,2,3B ，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}0,12．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ） A ．3y x =B ．ln()yx =-C ．x y xe -=D ．2y x x=+3．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为：A ．圆锥B ．三棱锥C ．三棱台D ．三棱柱4．已知cos 10α=，,0()απ∈-，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35 B ．45-C ．35D ．455．函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜06．已知两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，1l 与圆C ：224x y +=相切，2l 与C 相交于A ，B 两点，则AB =（ ） ABC ．3D．7．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知60A =︒，8c =，2a b =+，那么ABC ∆的周长等于（ ）A ．12B ．20C ．26D．8．在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则MD =（ ） A ．2136AB AC - B ．1136AB AC - C ．2133AB AC - D ．2136AB AC + 9．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知圆台轴截面ABCD 的高为2，2AB =，4CD =，E 是该圆台底面圆弧CD 的中点，则直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为（ ） A ．12B ．23CD11．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2,动点P满足PA PB=当P 、A 、B 不共线时，三角形PAB 面积的最大值是（ ）A ．BC ．3D ．312．已知函数()x a x a f x e e --+=+，若33log ab c ==，则（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f a f c f b <<D ．()()()f c f b f a<<二、填空题13．已知向量(1,2)a =，(2,)b m =，若()222a ba b +=+，则m =________.14．已知函数()2sin 222y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的值为________.15．若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点()2,1作圆224x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为 .16．已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是________.三、解答题17．已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，2cos 2c bC a+=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）已知点D 在BC 边上，22DC BD ==，AC =AD ．18．如图，在多面体111ABCC B A 中，四边形11BB C C为矩形，AB BC ==1CC ⊥面ABC ，11//AA CC ，1122AA CC AC ===，E ，F 分别是11A C ，AC 的中点，G 是线段1BB 上的任一点．（1）求证：AC EG ⊥； （2）求三棱锥1F EAG -的体积． 19．某工厂每日生产某种产品(1)x x 吨，当日生产的产品当日销售完毕，当120x 时，每日的销售额y （单位：万元）与当日的产量x 满足ln y a x b =+，当日产量超过20吨时，销售额只能保持日产量20吨时的状况.已知日产量为2吨时销售额为4.5万元，日产量为4吨时销售额为8万元. （1）把每日销售额y 表示为日产量x 的函数； （2）若每日的生产成本1()12c x x =+（单位：万元），当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值.（注：计算时取ln 20.7=，ln5 1.6=）20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF 的斜率为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程． 21．已知函数1()ln a f x x x+=+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当01a ≤≤时，证明：()(sin 1)xf x a x >+． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为12x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），直线l的方程为y =．（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程和直线l 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，直线m 的极坐标方程为()6πθρ=∈R ，设曲线C 与直线l 的交于点O 和点A ，曲线C 与直线m 的交于点O 和点B ，求OAB ∆的面积．参考答案1．A 【解析】 【分析】根据対数型函数的值域化简集合A ,再根据交集的概念进行交集运算即可. 【详解】因为A R =,{0,1,2,3}B =, 所以{0,1,2,3}A B ⋂=. 故选:A 【点睛】本题考查了集合的交集运算,対数型函数的值域,属于基础题. 2．D 【分析】先根据函数为奇函数排除，再根据存在极值排除即可. 【详解】由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值.故选D.考点：函数奇偶性的概念，函数单调性与函数极值. 3．D 【分析】根据各个几何体的特征观察即可. 【详解】根据三视图判断，该几何体为三棱柱 4．A 【解析】 【分析】运用同角三角函数的基本关系式，求得sin α的值，再利用两角和的余弦公式，即可求解． 【详解】∵cos α=，()-0απ∈，，∴sin α==，∴πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos cos 4α+sin απ3sin 41021025⎛=+-⨯=- ⎝⎭． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的化简求值，同时考查同角三角函数的基本关系式，其中解答熟记三角函数的基本公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 5．D 【分析】由函数的单调性得到0＜a ＜1，再根据函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，分析出b 的范围. 【详解】由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减， 所以0＜a ＜1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的， 所以b ＜0. 故选：D. 【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查图象变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．D 【解析】 【分析】根据题意，由直线与圆相切的性质可得圆心C 到直线1l 的距离为2，进而可得圆心C 到直线2l 的距离211d =-=，结合直线与圆的位置关系及垂径定理分析可得答案． 【详解】解：根据题意，1l 与圆C ：224x y +=相切，则圆心C 到直线1l 的距离为2，又由两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，则圆心C 到直线2l 的距离211d =-=，则2AB ==； 故选：D ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题． 7．B 【分析】根据余弦定理解得5b =,从而7a =,周长为20. 【详解】根据余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=,即22164(2)216b b b +-+=,整理得5b =, 所以27a b =+=,所以ABC ∆的周长等于7+5+8=20. 故选:B 【点睛】本题考查了余弦定理,利用余弦定理解三角形得5b =是关键,属于基础题. 8．A 【分析】作出图形，结合平面向量的线性运算，用基底,AB AC 表示MD . 【详解】 作出图形如下，1212()2323MD MC CD AC CB AC AB AC =+=+=+-2136AB AC =-,故选A. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基底向量表示目标向量注意向量方向和模长之间的关系. 9．A 【分析】先由()f x 的图象经过点π14⎛⎫⎪⎝⎭，求出ω；再由()f x 的图象经过点,02π⎛⎫⎪⎝⎭求出ω，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】函数()f x 的图象经过点（4π，1）时，有sin 14πω=，所以，242k k Z ，ππωπ=+∈，因为0ω>，所以28k ω=+，,k N ∈函数为：()()sin 28f x k x =+，k N ∈ 当2x π=时，()()sin 28sin 4022f k k ππππ⎛⎫=+⨯=+=⎪⎝⎭，所以，充分性成立； 当函数()f x 的图象经过点（,02π）时，sin02πω=，所以， ,2k k Z πωπ=∈，即2k ω=,k Z ∈，()sin2(0,)f x kx k k Z =>∈， 当4x π=时，sin 2sin 442k f k πππ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不一定等于1，所以，必要性不成立． 故选A 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 10．B 【分析】设CD 的中点为E ,可证OE ⊥平面ABCD ,在Rt △AOE 中计算sin OAE ∠即可. 【详解】 如图所示:设,AB CD 的中点分别为,O O ',连接,,OO AO AE ', 因为E 是CD 的中点,所以OE CD ⊥, 因为OO '⊥平面CDE ,所以OO OE '⊥,所以OE ⊥平面ABCD ,故OAE ∠为直线AE 与平面ABCD 所成的角, 因为2OO '=,1O A '=,所以AO =又2OE =,所以3AE ==,所以2sin 3OE OAE AE ∠==. 故选B 【点睛】本题考查了求直线与平面所成角,求解步骤是一作二证三求,属于中档题. 11．A 【分析】由题，设点A(-1,0), B(1,0)，根据题意，求得圆的方程，再求得P 点的位置，即可求得面积的最大值. 【详解】以经过,A B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：A(-1,0), B(1,0) 设P(x, y),||||PA PB ==， 两边平方并整理得：2222610(3)8x y x x y +-+=⇒-+= ， 当点P 到AB （x 轴）的距离最大时，三角形PAB 的面积最大，此时面积为122⨯⨯= 故选A 【点睛】本题考查了曲线的轨迹方程，熟悉圆的定义和求轨迹方程是解题的关键，属于中档题型. 12．C 【分析】由题，先求得函数()f x 在(,)a +∞上单调递增，再由33log ab c ==判断出a<c<b ，根据单调性可得结果. 【详解】由题意可得：()0x a x af x e e--+'=-≥ 可知()f x 在(,)a +∞上单调递增；作出y=c 与33,log ,xy y x y x ===的图象，33log a b c ==，可得a<c<b ，故f(a)<f(c)<f(b)，故选:C.【点睛】本题考查了函数的性质，利用函数的图像判断大小和熟悉对勾函数的性质是解题的关键，属于中档题. 13．－1 【分析】根据向量加法和数量积的坐标运算以及完全平方公式可得答案. 【详解】因为(1,2)a =，(2,)b m =,所以(3,2)a b m +=+,所以222()9(2)413a b m m m +=++=++, 又2145a =+=,224b m =+,所以2241354m m m ++=++,解得1m =-. 故答案为:1-. 【点睛】本题考查了向量加法和数量积的坐标运算,以及完全平方公式,属于基础题. 14．6π 【解析】 【分析】求解出函数对称轴方程后，代入6x π=，得到ϕ的取值集合；再根据ϕ的范围求得结果.【详解】()22x k k Z πϕπ+=+∈ ()422k x k Z ππϕ⇒=+-∈()2sin 2y x ϕ=∴+的对称轴为：()422k x k Z ππϕ=+-∈ 又6x π=为对称轴 ()2122k k Z ϕππ∴=+∈，即()6k k Z πϕπ=+∈又22ππϕ-<< 0k ∴=，即6π=ϕ本题正确结果：6π【点睛】本题考查根据三角函数图象特点求解解析式问题，具体考查的是根据对称轴方程求解初相，属于基础题. 15．【分析】 设，圆224x y +=的圆心为，则是圆224x y +=与以为直径的圆的公共弦所在直线，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减，即得的方程为，则直线与坐标轴的交点为，又因为焦点在x 轴上，则，，，所以椭圆方程为.【详解】 设，圆224x y +=的圆心为，则是圆224x y +=与以为直径的圆的公共弦所在直线，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减，即得的方程为，则直线与坐标轴的交点为，又因为焦点在x 轴上，则，，，所以椭圆方程为.考点：直线圆的位置关系、椭圆的标准方程. 16．[32ln 2,)-+∞ 【分析】首先可根据题意得出12x x 、不可能同时大于1，然后令121x x ，根据122f x f x 即可得出122212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g xx x x 以及对函数12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果．【详解】根据题意以及函数图像可知，12x x 、不可能同时大于1， 因为12x x ≠，所以可以令121x x ，即31121222ln f x f x x x ，因为122f x f x ，所以111222ln x x ，1212ln x x =-，122212ln x x x x ，构造函数12ln 1g x x x x ，则21xg x，令0g x ，则210x ，即2x >； 令0g x，则210x，即2x =；令0g x ，则210x，即12x <<；所以()g x 在1,2上单调递减，在2x =处取得极小值，在2,上单调递增，所以min232ln 2g xg ，32ln 2g x，1232ln 2x x ，故答案为[32ln 2,)-+∞． 【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查分段函数的相关性质、函数值与自变量之间的联系以及导数的相关性质，能否通过题意构造出函数12ln 1g x x x x 是解决本题的关键，考查推理能力，考查函数方程思想，是难题． 17．（Ⅰ）23A π=（Ⅱ）1 【分析】（Ⅰ）由余弦定理化简已知可得222b c a bc +-=-，可求得1cos 2A =-，结合范围(0,)A π∈，可求A 的值．（Ⅱ）由已知可求得3BC =，由余弦定理求得c 的值，可求cos C 的值，在ADC 中，由余弦定理可得AD 的值． 【详解】解：（Ⅰ）∵2222cos 22c b a b c C a ab++-==， ∴整理可得：222b c a bc +-=-，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，∵(0,)A π∈，∴23A π=，（Ⅱ）∵23A π=，22DC BD ==，b AC ==，可得：3a BC ==，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得219322c c ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭，可得：260c -=，∴解得：c =（负值舍去），∴222cos2a b c C ab +-===∴ADC 中，由余弦定理可得：AD ==1=． 【点睛】本题主要考查了余弦定理及方程思想，还考查了计算能力及转化能力，属于中档题． 18．（1）详见解析；（2）12. 【分析】（1）连接BF ．证明EF AC ⊥．AC BF ⊥．推出AC ⊥平面1BB EF ．即可证明AC EG ⊥．（2）利用三棱锥1F EAG -的体积为111113F EAG G A EF B A EF A EF V V S BF V ---∆===⨯⨯求解即可．【详解】（1）证明：连接BF ．因为E ，F 分别是11A C ，AC 的中点，且11//AA CC ， 所以1//EF CC ，又11//CC BB ，所以1//EF BB ， 所以E ，F ，B ，1B 四点共面． 因为1CC ⊥平面ABC ，所以EF ⊥平面ABC ，所以EF AC ⊥.因为AB BC =，F 是AC 的中点， 所以AC BF ⊥. 又EFBF F =，所以AC ⊥平面1BB EF .又因为1G BB ∈，所以EG ⊂面1EFBB ， 所以AC EG ⊥．（2）解：在Rt BCF ∆中，由BC =1CF =，得2BF =．因为1CC ⊥平面ABC ，所以1CC BF ⊥. 又AC BF ⊥，1CC AC C =，所以BF ⊥平面11ACC A ，因为11//AA CC ，1122AA CC ==，E ，F 分别是11A C ，AC 的中点， 所以32EF =. 又1AF=，所以1A EF ∆的面积1113312224A EF S EF AF ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 因为1//BB EF ，1BB ⊄面1A EF ，EF ⊂面1A EF ，所以1//BB 面1A EF ． 三棱锥1F EAG -的体积为111113F EA G G A EF B A EF A EF V V S BF V ---∆===⨯⨯1312342=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定和性质，空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．19．(1) 5ln 1,120,16,20.x x y x +⎧=⎨>⎩(2) 当日产量为10吨时，每日的利润可达到最大，最大利润为6.5万元.(1)将2, 4.5x y ==和4,8x y ==代入ln y a x b =+,解得,a b ,即可得到答案; (2)先写出分段函数的解析式,再分段求最大值即可得到答案. 【详解】解：（1）因为当2x =时， 4.5y =，所以0.7 4.5a b +=.① 当4x =时，8y =，所以1.48a b +=.②由①②解得5,1,a b =⎧⎨=⎩, 所以当120x ≤≤时，5ln 1y x =+.当20x >时，5ln 2015(2ln 21n5)1y =+=⨯++=5(1.4 1.6)116⨯++=. 所以5ln 1,120,16,20.x x y x +⎧=⎨>⎩（2）设当日产量为x 吨时，每日的利润为()l x ，则151,120,2()()115,20.2nx x x l x y c x x x ⎧-⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩①若120x ，则5110()22xl x x x-'=-=. 当110x 时，()0l x '≥；当1020x <时，()0l x '<.故10x =是函数()l x 在[1,20]内唯一的极大值点，也是最大值点，所以max 1()(10)5ln10105(ln 2ln 5)5 6.52l x l ==-⨯=+-=. ②若20x >，则1()152l x x =-，显然1()152l x x =-单调递减，故()5l x <.结合①②可知，当日产量为10吨时，每日的利润可达到最大，最大利润为6.5万元. 【点睛】本题考查了函数模型的应用,利用导数求函数的最大值,分段函数的最值,属于中档题.20．（1）22182x y +=；（2）22y x =±+【分析】（1）由题意可得2c ac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得即可得出。

2023—2024学年高三（上）期中考试数学试卷数学（答案在最后）一、单选题1.已知集合{1,0,1,2,3,4},{1,3,5},M N P M N =-== ，则P 的真子集共有（）A.2个B.3个C.4个D.8个【答案】B 【解析】【分析】根据交集运算得集合P ，再根据集合P 中的元素个数，确定其真子集个数即可.【详解】解：{1,0,1,2,3,4},{1,3,5}M N =-= {}13P ∴=，，P 的真子集是{}1,{3},∅共3个.故选：B.2.若函数()210f x x mx =-+在()2,1--上是减函数，则实数m 的取值范围是（）A.[)2,+∞ B.[)2,-+∞ C.(],2-∞ D.(],2-∞-【答案】B 【解析】【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得m 的取值范围.【详解】函数2()10f x x mx =-+的对称轴为2mx =，由于()f x 在()2,1--上是减函数，所以122mm ≥-⇒≥-.故选：B 3.若“103x x -<-”是“2x a -<”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A.13a <<B.13a ≤≤C.13a -<≤D.13a -≤≤【答案】B 【解析】【分析】根据分式的性质、解一元二次不等式的方法、解绝对值不等式的公式法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.【详解】因为103x x -<-，则()()13013x x x --<⇒<<，因为2x a -<，则2222x a a x a -<-<⇒-<<+，即13x <<是22a x a -<<+的充分而不必要条件，所以211323a a a -≤⎧⇒≤≤⎨+≥⎩，故选：B4.已知焦距为4的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线0x -=垂直，则该双曲线的方程为（）A.2213x y -= B.22126x y -=C.2213y x -= D.22162x y -=【答案】C 【解析】【分析】由已知焦距为4，得出2224a b c +==，又由双曲线方程求出渐近线方程，而直线与渐近线垂直，得出它们斜率之积为1-，从而得出a 、b 之间的关系，代入2224a b c +==，解出a 、b ，写出方程即可.【详解】由已知焦距为4，所以2c =，2224a b c +==，又双曲线方程的渐近线方程为：by x a=±，而直线的斜率k =1b a -=-，即b =，由224a b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为：2213y x -=故选：C.5.已知函数()y f x =在[,]-ππ上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是（）A.cos x xx y e e -=- B.cos x xx y e e -=+C.sin xxxy e e -=- D.sin x xc e y x--=【答案】C 【解析】【分析】根据特殊值可排除AB ，由定义域排除D ，即可求解.【详解】由图可得，02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，而A 、B 选项2x π=时，函数值均为0，A 、B 错误；由图可得()0f π=，而D 选项中函数定义域取不到π，故D 错误.故选:C 6.已知()()sin cos 6sin 22πθπθπθ⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭，则2sin cos cos θθθ+等于（）A.35 B.25C.35-D.25-【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式化简整理，可求得tan θ的值，将所求改写成2222sin cos cos sin cos cos sin cos θθθθθθθθ++=+，上下同除2cos θ，即可得结果.【详解】由题意得cos cos 6sin θθθ+=-，所以cos 3sin θθ=-，解得sin 1tan cos 3θθθ==-，所以222222sin cos cos tan 133sin cos cos 10sin cos tan 159θθθθθθθθθθ+++====++.故选：A7.设0.01a =，ln1.01b =，3log 0.01c =，则（）A.a c b << B.c<a<bC.b<c<aD.c b a<<【答案】D 【解析】【分析】构造()()()ln 10f x x x x =+-≥，并利用导数、对数的性质研究大小关系即可.【详解】设函数()()()ln 10f x x x x =+-≥，则()01xf x x '=-≤+，所以()f x 为减函数，则()()0.0100f f <=，即ln1.010.01<，又0c b <<，所以c b a <<．故选：D8.已知定义在R 上的函数()f x 满足，①(2)()f x f x +=，②(2)f x -为奇函数，③当[)0,1x ∈时，()()()1212120f x f x x x x x ->≠-恒成立.则152f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、(4)f 、112f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系正确的是（）A.()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性和单调性即可比较()1511,4,22f f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小.【详解】由(2)()f x f x +=可得()f x 的周期为2，因为(2)f x -为奇函数，则(2)(2)f x f x --=--，又因为()f x 的周期为2，所以()()f x f x -=-，即()f x 为奇函数，因为[)0,1x ∈时，()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[)0,1x ∈上单调递增，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(]1,0-上单调递增，所以()f x 在()1,1-上单调递增，因为()f x 的周期为2，1515124222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(4)(0)f f =，1111123222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()11022f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.二、多选题9.下列函数中，满足“1x ∀，()20x ∈+∞，，都有1212()()0f x f x x x -<-”的有（）A.()31f x x =-+B.()e exxf x -=-C.()243f x x x =++ D.()2f x x=【答案】AD 【解析】【分析】根据题意可知满足题意的函数为在()0+∞，上减函数，由此一一判断选项中函数的单调性，可得答案.【详解】由1x ∀，()20x ∈+∞，，都有1212()()0f x f x x x -<-，可知函数()f x 在()0x ∈+∞，时减函数.函数()31f x x =-+在()0x ∈+∞，时为减函数，符合题意，故A 正确；函数1e ()exx y -=-=-在()0x ∈+∞，时为增函数，所以()e e x x f x -=-在()0x ∈+∞，时为增函数，故B 错误；函数()243f x x x =++图象的对称轴为2x =-，故在()0x ∈+∞，时()243f x x x =++为增函数，故C 错误；函数()2f x x=在()0x ∈+∞，时单调递减，符合题意，故D 正确.故选：AD.10.已知复数50i34iz -=+，则下列说法正确的是（）A.复数z 在复平面内对应的点在第四象限B.复数z 的虚部为6-C.复数z 的共轭复数86iz =-+ D.复数z 的模||10z =【答案】BCD 【解析】【分析】化简得86i z =--，再得到其在复平面内对应的点的象限，虚部，共轭复数，模即可得到答案.【详解】50i 50i(34i)50i(34i)86i 34i (34i)(34i)25z -----====--++-，,0a b < ，所以复数z 在复平面内对应的点在第三象限，故A 错误；虚部为6-，故B 正确；复数z 的共轭复数86i z =-+，故C 正确；复数z 的模||10z =，故D 正确；故选：BCD.11.设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的一个周期为2π-B.()y f x =的图象关于直线83x π=对称C.()f x π+的一个零点为6x π= D.()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】ABC 【解析】【分析】根据周期、对称轴、零点、单调性，结合整体思想即可求解.【详解】对于A 项，函数的周期为2k π，,0k k ∈≠Z ，当1k =-时，周期2T π=-，故A 项正确；对于B 项，当83x π=时，89cos cos coscos3cos 13333x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=-π=π=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最小值，此时()y f x =的图象关于直线83x π=对称，故B 项正确；对于C 项，4()cos 3f x x ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，43cos cos 0632πππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以()f x π+的一个零点为6x π=，故C 项正确；对于D 项，当2x ππ<<时，54633x πππ<+<，此时函数()f x 有增有减，不是单调函数，故D 项错误.故选：ABC.12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20220a >，202120220a a +<，则（）A.数列{}n a 是递增数列B.数列{}n S 是递增数列C.n S 的最小值是2021SD.使得n S 取得最小正数的4042n =【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，结合等差数列的性质以及前n 项和的公式与性质，一一判断即可.【详解】因为20220a >，202120220a a +<，所以20210a <，可得公差0d >，n S 的最小值是2021S ，故AC 正确；因为12021n ≤≤，n S 单调递减，2022n ≥，n S 单调递增，所以B 项错误；因为202120220a a +<，所以1404240424042()2a a S +=202120224042()02a a +=<，同理14043404320224043()404302a a S a +==>，所以n S 取得最小正数的4043n =，D 项错误.故选AC 项．三、填空题13.若π(0,)2θ∈，1tan 3θ=，则sin cos θθ-=________________．【答案】5-【解析】【分析】根据题意，利用三角函数的定义，准确运算，即可求解.【详解】因为π(0,2θ∈，且1tan 3yxθ==，可令3x =，则1y =，设θ终边上一点的坐标(3,1)P ，则||r OP ===，可得sin cos5θθ-===-．故答案为：5-．14.若直线()1y k x =-与曲线e x y =相切，则k 的值为___________.【答案】2e 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，利用导数的几何意义结合条件即得.【详解】设切点为()00,x y ，则00e xy =，()001y k x =-，e x y '= ，0e x k ∴=，()000e e 1x x x ∴=-，所以02x =，2e k =.故答案为：2e .15.记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()2f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．【答案】3【解析】【分析】首先表示出T ，根据()32f T =求出ϕ，再根据π9x =为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解；【详解】解：因为()()cos f x x ωϕ=+，（0ω>，0πϕ<<）所以最小正周期2πT ω=，因为()()2πcos cos 2πcos 2f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+==⎪⎝⎭，又0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又π9x =为()f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ω+=+∈，解得39,Z k k ω=+∈，因为0ω>，所以当0k =时min 3ω=；故答案为：316.已知函数()()2ln f x x a x =++存在极值，则实数a 的取值范围是___________.【答案】)+∞【解析】【分析】分析可知函数()f x 在(),a -+∞上存在极值点，求得()2221x ax f x x a++'=+，可得出02a a ∆>⎧⎪⎨-+>-⎪⎩，即可求得实数a 的取值范围.【详解】函数()()2ln f x x a x =++的定义域为(),a -+∞，且()212212x ax f x x x a x a++'=+=++，由题意可知，函数()f x 在(),a -+∞上存在极值点，对于方程22210x ax ++=，2480a ∆=->，解得a <或a >解方程22210x ax ++=可得122a a x -=，222a a x -=，且21x x >，故有22a a ->-a >-.若a <a a <=-，矛盾；若a >0a >>-.综上所述，实数a的取值范围是)+∞.故答案为：)+∞.四、解答题17.在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C的对边，且222a b c +=．（1）求C ；（2）若tan 2tan B a cC c-=，求A ．【答案】（1）45C =︒（2）75A =︒【解析】【分析】（1）由余弦定理即可求解，（2）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式即可得60B =︒，进而可求解.【小问1详解】∵222a b c +=，∴22222a b c ab +-=，∴cos 2C =，由于C 是三角形内角，∴45C =︒．【小问2详解】由正弦定理可得tan 22sin sin tan sin B a c A CC c C--==，∴sin cos 2sin sin cos sin sin B C A CB C C-=∴sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，∴sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，∴()sin 2sin cos B C A B +=，∴sin(π)sin 2sin cos A A A B ==-．∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =，由于B 是三角形内角，∴60B =︒，则180456075A ︒-︒-︒==︒．18.设各项非负的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知212n n S a n +=-*()n N ∈，且235,,a a a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若12nn n a a b +=，数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =-（2）1242n n n T -+=-【解析】【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥得出{}n a 的递推关系，从而得数列从第2项起为等差数列，结合等比数列的性质可求得2a ，这样可得通项公式(2)n a n ≥，然后由已知式中令1n =求得1a ，比较后可得结论；（2）用错位相减法求和．【小问1详解】当1n =时，21221a a =-，当2n ≥时，212n n S a n +=-①，212(1)n n S a n -=--②.①-②得22121n n n a a a +=--，即()2221211n n n n a a a a +=++=+，∵0n a ≥，∴11n n a a +=+，∴数列{}n a 从第2项起是公差为1的等差数列.∴22(2)n a a n n =+-≥，又2a ，3a ，5a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()222213a a a +=+，解得21a =，∴121(2)n a n n n =+-=-≥，∵21221a a =-，∴10a =，适合上式，∴数列{}n a 的通项公式为1n a n =-.【小问2详解】12n n n b -=，∴数列{}n b 的前n 项的和为01221123122222n n n n n T ---=+++++ ③123111*********n n n n n T --=+++++ ④③-④得211111122222n n n n T -=++++- 111122*********n n n n n n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--=--，∴1242n n n T -+=-.19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,AD BC AD AB ⊥∥，侧面PAB ⊥底面1,22ABCD PA PB AD BC ====，且,E F 分别为,PC CD的中点．（1）证明：//DE 平面PAB ；（2）若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取PB 中点M ，连接,AM EM ，通过证明四边形ADEM 为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，可得,,,,GF PG AG BG AB ，建立以G 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】证明：取PB 中点M ，连接,AM EM ，E 为PC 的中点，1,2ME BC ME BC ∴=∥，又1,2AD BC AD BC = ∥，,ME AD ME AD ∴=∥，∴四边形ADEM 为平行四边形：DE AM ∴∥，DE ⊄ 平面,PAB AM ⊂平面PAB ，DE ∴ 平面PAB ；【小问2详解】平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面ABCD ，,BC AB BC ⊥∴⊥平面PAB ，取AB 中点G ，连接FG ，则,FG BC FG ∴⊥∥平面PAB ，()160,32GPF GF AD BC ∴∠=︒=+=，3tan60,PGPG∴︒=∴=2,1,2PA PB AG GB AB ==∴===，如图以G 为坐标原点，GB 为x 轴，GF 为y 轴，GP 为z 轴建立空间直角坐标系，(()(),1,4,0,1,2,0P C D ∴-，(()1,4,2,2,0PC CD ∴=-=-- ，设平面PCD 的一个法向量，()1,,n x y z = ，则11430220n PC x y z n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1y =，则()11,1,3n =- ，平面PAB 的一个法向量可取()20,1,0n =u u r ，设平面PAB 与平面PCD 所成的夹角为θ，121215cos 55n n n n θ⋅∴=== ,平面PAB 与平面PCD 所成的夹角的余弦为5520.已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任一点，1F ，2F 为椭圆的焦点，124PF PF +=，离心率为22．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：()0y kx m m =+≠与椭圆的两交点为A ，B ，线段AB 的中点C 在直线12y x =上，O 为坐标原点，当OAB 2时，求直线l 的方程．【答案】（1）22142x y +=（2）30x y +=或30x y ++=【解析】【分析】()1由椭圆定义可得a 的值，进而由离心率可得c ，再求得b ，即可得到椭圆的方程；()2设出点A ，B 的坐标，联立直线l 与椭圆的方程，利用设而不求的方法，并依据题给条件列方程，即可求出k ，进而求得m 的值，从而求得直线l 的方程．【小问1详解】由椭圆定义得24a =，2a =，所以c ae ==，故b =，所以椭圆的方程为22142x y +=．【小问2详解】设()()1122A x y B x y ，，，，y kx m =+代入方程22142x y +=，得()()222124240*kx kmx m +++-=．所以1222212C x x km x k +-==+，212C C m y kx m k =+=+，所以221212212m km k k -=⋅++，解得1k =-，则()*式变为2234240x mx m -+-=，则123AB x =-=，OAB 底边AB上的高h =，所以OAB 的面积S ==，解得m =，把1k =-，m =代入()*式，经检验，均满足0∆>，此时直线l 的方程为0xy +-=或0x y +=．21.学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得5-分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为1p ，2p .（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果12p p -≥，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；（2）用X 表示教师乙的总得分，求X 的分布列与期望.【答案】（1）甲、乙获得冠军的实力没有明显差别（2）分布列见解析，5.25【解析】【分析】（1）设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为,,A B C ，利用互斥事件和独立事件的概率共求得10575p =.和20.425p =，结合12p p -<，即可得到结论；（2）根据题意，得到X 的可能取值为15,0,15,30-，利用独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，得出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】解：设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为,,A B C ，则教师甲获得冠军的概率()()()()1p P ABC P ABC P ABC P ABC =+++0.40.50.750.60.50.750.40.50.750.40.50.25=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.150.2250.150.050575=+++=.，由对立事件的概率公式，可得得2110.425p p =-=，0.4==，解得120.15p p -=，因为12p p -<，所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.【小问2详解】解：根据题意知，X 的可能取值为15,0,15,30-，可得()150.40.50.750.15P X =-=⨯⨯=，()00.60.50.750.40.50.750.40.50.250.425P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()150.40.50.250.60.50.250.60.50.750.35P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()300.60.50.250.075P X ==⨯⨯=.所以随机变量X 的分布列为X 15-01530P 0.150.4250.350.075所以期望为()150.1500.425150.35300.075 5.25E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=.22.已知函数()()ln ,x f x kx g x x==.（1）若不等式()()f x g x ≥在区间()0,∞+内恒成立，求实数k 的取值范围；（2）求证：444ln 2ln 3ln 1...232e n n +++<（2,N ,e n n *≥∈为自然对数的底数）【答案】（1）12e k ≥（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分离参数，转化为求定函数的最值问题；（2）根据第一问，合理构造，利用不等式的性质合理变形达到证明的目的.【小问1详解】因为0x >，ln x kx x ≥，所以2ln x k x ≥，令()2ln x h x x =，又()312ln x h x x -'=，令()0h x '=解得x =0x <<时，()0h x '>，()h x 递增，x >()0h x '<，()h x 递减，所以当x =时函数()h x 有最大值，且最大值为12e ，所以12e k ≥.【小问2详解】由（1）知2ln 12e x x ≤，所以42ln 11·2e x x x ≤，所以444222ln 2ln 3ln 1111......232e 23n n n ⎛⎫+++<+++ ⎪⎝⎭，又222111*********(1)n n n ++⋯+<++⋯+⨯⨯-1111111...112231n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以444222ln 2ln 3ln 11111......232e 232e n n n ⎛⎫+++<+++< ⎪⎝⎭，。

2020届福建省厦门市双十中学高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合(){}ln 1A y y x ==-，{}=0,1,2,3B ，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}0,1【答案】A【解析】根据対数型函数的值域化简集合A ,再根据交集的概念进行交集运算即可. 【详解】因为A R =,{0,1,2,3}B =, 所以{0,1,2,3}A B ⋂=. 故选:A 【点睛】本题考查了集合的交集运算,対数型函数的值域,属于基础题. 2．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值.故选D.【考点】函数奇偶性的概念，函数单调性与函数极值.3．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为： A ．圆锥 B ．三棱锥 C ．三棱台 D ．三棱柱【答案】D（第4题图）【解析】略4．已知cos 10α=，,0()απ∈-，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35-B ．45-C ．35D ．45【答案】A【解析】运用同角三角函数的基本关系式，求得sin α的值，再利用两角和的余弦公式，即可求解． 【详解】∵cos 10α=，()-0απ∈，，∴sin 10α==-，∴πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos cos 4α+sin απ3sin 41021025⎛⎫=+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的化简求值，同时考查同角三角函数的基本关系式，其中解答熟记三角函数的基本公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5．函数()x b f x a -=的图象如图所示，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是A ．01,0a b <<>B ．1,0a b ><C ．01,0a b <<<D ．1,0a b >>【答案】C【解析】【详解】试题分析：∵由函数图象单调递减得：底数a 满足0＜a ＜1，又x=0时，0＜y ＜1，∴a -b ＜a 0，∴结合指数函数的单调性可知，-b ＞0，b ＜0，故答案选 C ．【考点】本试题主要考查了指数函数的图象与性质的运用。