阶段质量检测(一) 导数及其应用

第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析∵y'=2x+a,∴曲线y=x2+ax+b在(0,b)处的切线的斜率为a,切线方程为y-b=ax,即ax-y+b=0.∴a=1,b=1.答案A2若函数f(x)=ax5+bx3+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0解析f'(x)=5ax4+3bx2为偶函数,∴f'(-1)=f'(1)=2.答案C3若函数f(x)=a ln x+x在x=1处取得极值,则a的值为()A.12B.-1 C.0 D.-12解析f'(x)=ax+1,令f'(x)=0,得x=-a, 易知函数f(x)在x=-a处取得极值.所以a=-1.答案B4已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是() A.(-1,+∞) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案B5设f(x)={x2,x∈[0,1],1x,x∈(1,e],则∫ef(x)d x等于()A.43B.54C.65D.76解析∫e0f(x)d x=∫1x2d x+∫e11xd x=13x3|1+ln x|e1=43.故选A.答案A6已知点P在曲线y=4e x+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[0,π4) B.[π4,π2)C.(π2,3π4] D.[3π4,π)解析因为0>y'=-4e x(e x+1)2=-4e x+2+1e x≥-1,当且仅当x=0时取等号.即-1≤tan α<0,所以3π4≤α<π.答案D7∫1(e x+2x)d x等于() A.1 B.e-1C.eD.e+1解析∵(e x+x2)'=e x+2x,∴∫10(e x+2x)d x=(e x+x2)|1=(e1+12)-(e0+0)=e.答案C8设a∈R,若函数y=e ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则() A.a>-3 B.a<-3C.a>-13D.a<-13解析令y'=a e ax+3=0,∴e ax=-3a.设x=x0为大于0的极值点,∴e ax0=-3a.∴a<0,ax0<0.∴0<e ax0<1,即0<-3a<1.∴a<-3.答案B9设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()解析y'=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),令y'=0,得x=a或x=a+2b3.∵a<b ,∴a<a+2b3. ∴当x=a 时,y 取极大值0;当x=a+2b3时,y 取极小值,且极小值小于零.故选C . 答案C10若函数f (x ),g (x )满足∫ 1-1f (x )g (x )d x=0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x+1,g (x )=x-1;③f (x )=x ,g (x )=x 2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0B.1C.2D.3解析对于①,∫ 1-1sin 12x ·cos 12x d x=∫ 1-112sin x d x=12∫ 1-1sin x d x=12(-cos x )|-11=12{-cos 1-[-cos(-1)]}=12(-cos 1+cos 1) =0.故①为一组正交函数;对于②,∫ 1-1(x+1)(x-1)d x=∫ 1-1(x 2-1)d x=(13x 3-x)|-11=13-1-(-13+1)=23-2=-43≠0,故②不是一组正交函数;对于③,∫1-1x·x2d x=∫1-1x3d x=(14x4)|-11=0.故③为一组正交函数,故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11∫-1-21(11+5x)3d x=.解析取F(x)=-110(5x+11)2,从而F'(x)=1(11+5x)3.则∫-1-21(11+5x)3d x=F(-1)-F(-2)=-110×62+110×12=110−1360=772.答案77212若函数f(x)在x=a处的导数为A(aA≠0),函数F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则A=.解析由题知f'(a)=A,又F'(x)=f'(x)-2A2x,且F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.∵aA≠0,∴A=12a.答案12a13已知函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x+e x ,则f'(1)= . 解析令e x =t ,则x=ln t ,∴f (t )=ln t+t ,∴f'(t )=1t +1,∴f'(1)=2.答案214设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P 处的切线垂直,则点P 的坐标为 .解析曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1x,可得y'=-1x2,因为曲线y=1x(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,所以-1x P2=-1,解得x P =1,由y=1x,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 答案(1,1)15已知函数f (x )为一次函数,其图象经过点(3,4),且∫ 10f (x )d x=1,则函数f (x )的解析式为 .解析设函数f (x )=ax+b (a ≠0).∵函数f (x )的图象经过点(3,4),∴b=4-3a.∴∫ 10f (x )d x=∫10(ax+4-3a )d x =[12ax 2+(4-3a )x]|01=12a+4-3a=1, ∴a=65.∴b=25.∴f (x )=65x+25.答案f (x )=65x+25三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)求定积分∫0-1x2x2+2xd x的值.解∫0-1x2x2+2xd x=∫0-1x2+2x-2xx2+2xd x=∫0-1(1-2x+2)d x=∫0-11d x-∫0-12x+2d x=1-2∫0-11x+2d x=1-2ln(x+2)|-10=1-2ln 2.17(8分)已知曲线f(x)=2x3-3x,过点M(0,32)作曲线f(x)的切线,求切线的方程.解设切点坐标为N(x0,2x03-3x0),由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值,而f'(x)=6x2-3,所以切线的斜率k=f'(x0)=6x02-3.所以切线方程为y=(6x02-3)x+32.又点N在切线上,所以2x03-3x0=(6x02-3)x0+32,解得x0=-2.故切线方程为y=21x+32.18(9分)求函数y=13x3+3-ln x的单调区间.解函数的定义域为(0,+∞),y'=x2-1x =(x-1)(x2+x+1)x.令y'>0,则{(x-1)(x2+x+1)x>0,x>0,解得x>1;令y'<0,则{(x-1)(x2+x+1)x<0, x>0,解得0<x<1.故函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).19(10分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f'(x)=2a(x-5)+6x.令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=12.(2)由(1)知,f(x)=12(x-5)2+6ln x(x>0),f'(x)=x-5+6x =(x-2)(x-3)x.令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+∞);当2<x<3时,f'(x)<0,故f(x)的单调递减区间为(2,3).由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=92+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.20(10分)已知f(x)=a(x-ln x)+2x-1x2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1,2]成立.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x )=a-a x −2x 2+2x 3=(ax 2-2)(x -1)x 3. 当a ≤0时,x ∈(0,1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,x ∈(1,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.当a>0时,f'(x )=a (x -1)x 3(x -√2a )(x +√2a ).①0<a<2时,√2a >1,当x ∈(0,1)或x ∈(√2a ,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(1,√2a)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.②a=2时,√2a =1,在x ∈(0,+∞)内,f'(x )≥0,f (x )单调递增.③a>2时,0<√2a <1,当x ∈(0,√2a )或x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(√2a ,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;当0<a<2时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,√2a)内单调递减,在(√2a,+∞)内单调递增;当a=2时,f (x )在(0,+∞)内单调递增;当a>2时,f (x )在(0,√2a )内单调递增,在(√2a ,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知,a=1时,f (x )-f'(x )=x-ln x+2x -1x 2−(1-1x −2x 2+2x 3)=x-ln x+3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].设g (x )=x-ln x ,h (x )=3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].则f (x )-f'(x )=g (x )+h (x ).由g'(x )=x -1x≥0, 可得g (x )≥g (1)=1, 当且仅当x=1时取得等号.又h'(x )=-3x 2-2x+6x 4, 设φ(x )=-3x 2-2x+6,则φ(x )在x ∈[1,2]单调递减, 因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x 0∈(1,2),使得x ∈(1,x 0)时,φ(x )>0,x ∈(x 0,2)时,φ(x )<0. 所以h (x )在(1,x 0)内单调递增,在(x 0,2)内单调递减.由h (1)=1,h (2)=12,可得h (x )≥h (2)=12, 当且仅当x=2时取得等号.所以f (x )-f'(x )>g (1)+h (2)=32,即f (x )>f'(x )+32对于任意的x ∈[1,2]成立.。

第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。

一元函数的导数及其应用（模块综合调研卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（

本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）1．若曲线

exya

在0x处的切线也是曲线

lnyx

的切线，则a（）

A．2B．1C．1D．

e

【答案】A【分析】求出exya的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程1yxa，再设与曲线lnyx相切的切点为00(,)xy，求得函数lnyx的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得00

,xy的值，进

而得到a的值.【详解】由曲线exya

，得exy，

在0x处的切线斜率为1，当0x时，1ya，曲线exya在0x处的(1)1(0)yax，即1yxa，

曲线lnyx，导数为1yx，

设切点为00(,)xy，则011x，解得001,0xy，切点在切线1yxa上，即有011a，得2a.

故选：A.

2．已知函数





23,0,2,

22,2,,xxx

fxfxx









则fx在点5,5f处的切线方程为（）

A．

4280xyB．4120xyC．4120xyD．4220xy

【答案】B【分析】根据分段函数结合导函数求出5f，再根据点斜式得出直线方程.【详解】当0,2x时，23fxx，当4,6x时，2244fxfxfx，则44fxfx，所以5418ff，5414ff．则所求的切线方程为845yx，即4120xy．故选：B.3．某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为

第三章 一元函数的导数及其应用（中档卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））函数()ln f x x x =+在1x =处的切线的斜率为（ ） A ．2 B ．-2 C ．0 D ．1【答案】A ()11f x x'=+，故()12f '=， 故曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2， 故选：A.2．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））已知()()221f x x x f =+⋅'，则()3f '等于（ ）A ．-4B ．2C ．1D ．-2【答案】B()()221f x x f +'='，令1x =得：()()1221f f =+''，解得：()12f '=-， 所以24fx x ，()3642f ='-=故选：B3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）若函数()2()e x f x x ax a =--在区间(2,0)-内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞【答案】C∵()()2e x f x x ax a =-+，∴()()()2e 2e 2x x f x x a x x x a '⎡⎤=+-=+-⎣⎦，∵x ∈(2,0)-时，e 0x x <，∴若()f x 在(2,0)-内单调递减，则20x a +-≥在(2,0)-上恒成立， 即得2a x ≤+在(2,0)-恒成立，∴0a ≤. 故选：C.4．（2022·四川·成都七中高二期中（理））各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制.通常我们用函数()ln ln M xf x M x=⋅表示在x 进制下表达()1M M >个数字的效率，则下列选项中表达M 个数字的效率最高的是（ ） A ．四进制B ．三进制C ．八进制D ．七进制设ln ()x g x x =，则21ln ()xg x x -'=， 0e x <<时，()0g x '>，()g x 递增，e x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以max 1()(e)eg x g ==，由于()f x 中*x N ∈，下面比较ln 22和ln 33的大小即得． ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366---==<，所以ln 2ln 323<，所以(3)f 最大． 故选：B ．5．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））若函数f x （）=e e x x ax -+-有大于零的极值点，则a 的取值范围为（ ）A ．()0,∞+B ．(),0∞-C ．()e,+∞D ．()e -∞，【答案】A 原命题等价于'e ex xf xa 有大于零的零点，显然()'f x 在()0,x ∈+∞上单调递增，又因为x →+∞时，()'f x →+∞，所以'00f a ，所以0a >故选：A.6．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知实数a ，b ，()0,1c ∈，e 为自然对数的底数，且2e 2e a a =，3e 3e b b =，2e ln 2c c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A解：由2e 2e aa =，3e 3e bb =，2e ln 2cc =得2e e 2a a =，3e e 3b b =，ln 4e 24e ln 2ln 4ln 4c c ===， 构造函数()()e 0xf x x x >=，求导得()()2e 1x xf x x -'=，令()0f x '=，得1x =．当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增． 因为1ln 423<<<，所以()()()ln 423f f f <<，所以()()()f c f a f b <<， 又因为(),,0,1a b c ∈，()f x 在()0,1上单调递减，所以b a c <<. 故选：A ．7．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知函数()x f x e =，函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，若()()h x g x kx =-无零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(e,)+∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭由题知()ln g x x =，ln ()()0x h x g x kx k x =-=⇒=，设2ln 1ln ()()x xF x F x x x-'=⇒=，当()0F x '<时，()e,x ∈+∞，此时()F x 单调递减，当()0F x '>时，()0,e x ∈，此时()F x 单调递增，所以max 1()(e)eF x F ==，()F x 的图象如下，由图可知，当1ek >时，()y F x =与y k =无交点，即()()h x g x kx =-无零点.故选：D.8．（2022·湖北恩施·高二期中）已知1a >，1x ，2x ，3x 均为2x a x =的解，且123x x x <<，则下列说法正确的是（ ）A ．1(2,1)x ∈--B ．2e (1,e )a ∈ C ．120x x +< D ．232e x x +<【答案】B对于A ，令2()x f x a x =-，因为1a >，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，与x 轴有唯一交点，由零点存在性定理，得1(1)10f a --=-<，0(0)00f a =->，则1(1,0)x ∈-，故A 错误.对于B ，C ，D ，当0x >时，两边同时取对数，并分离参数得到ln ln 2a xx=， 令ln ()x g x x =，()21ln xg x x -'∴=， 当()0,e x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 如图所示，∴当0x >时，ln 2a y =与ln ()xg x x=的图象有两个交点，ln 1(0,)2ea ∈，解得2e (1,e )a ∈，故B 正确； ∴2(1,e)x ∈，由A 选项知1(1,0)x ∈-，120x x ∴+>，故C 错误；由极值点偏移知识，此时函数()g x 的极值点左移，则有23e 2x x +>，故D 错误. 故选：B.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·黑龙江·高二期中）若函数()()22ln 12x axf x x -=++的图象上，不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是（ ） A ．-1 B ．3 C ．1 D ．2【答案】AC解：因为函数()()()22ln 112-=++>-x axf x x x ，所以()11111111'=+-=++--≥-=-++f x x a x a a a x x ， 当且仅当111x x +=+，即0x =时，等号成立， 因为函数()f x 的图象上，不存在互相垂直的切线， 所以()min 0f x '≥，即10a -≥， 解得1a ≤， 故选：AC10．（2022·江苏·高二期末）【多选题】已知函数()ln xe f x x=，则（ ）A ．()0,1x ∈时，()f x 的图象位于x 轴下方B ．()f x 有且仅有一个极值点C ．()f x 有且仅有两个极值点 D ．()f x 在区间()1,2上有最大值 【答案】AB由题，函数 ()ln xe f x x= 满足 0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，故函数的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞ 由()ln xe f x x= 当(0,1)x ∈ 时 , ln 0,0x x e <> ， 所以()0f x <则()f x 的图象都在轴的下方，所以A 正确； 又21ln ()(ln )x e x x f x x '⎛⎫- ⎪⎝⎭=，再令1()ln g x x x =-则 211()g x x x'=+，故()0g x '> 故()g x 单调递增， 当1x >时，由()()1110,3303g g ln =-=-， 故()g x 存在唯一的00(1)x x >，使得()00g x '=， 此时当()01,x x ∈,()0f x '<，()f x 单调递减， 当()()0,,0x x f x ∈+∞>'，()f x 单调递增. 又当()0,1x ∈时，()()110g x g <=-<， 故此时()0f x '<恒成立，即()f x 单调递减，综上函数只有极值点且为极小值点，所以B 正确，C 不正确； 又1(1)10,(2)ln 202g g =-<=-> 所以函数在(1,2)先减后增，没有最大值，所以D 不正确. 故选：AB .11．（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：e x y =在点()0,1处的切线为1y x =+，如图所示，易知除切点()0,1外，e x y =图象上其余所有的点均在1y x =+的上方，故有e 1x x ≥+．该结论可构造函数()e 1xf x x =--并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（ ）A ．0x ∀>，1e ln 1x x -≥+B ．a ∀∈R ，x ∀∈R ，()e e 1x ax a ≥-+C ．x ∀∈R ，11e 02x x ---> D ．0x ∀>，e ln 1x x x x ≥++【答案】ABD对于A ，当1x >-时，由e 1x x ≥+得：()lne ln 1xx ≥+，即()ln 1x x ≥+；()()1e 11ln 111ln 1x x x x x -∴≥=-+≥-++=+，A 正确；对于B ，由e 1xx ≥+得：e1x ax a -≥-+，即e 1ex a x a ≥-+，()e e 1x ax a ∴≥-+，B 正确；对于C ，由e 1x x ≥+得：1e x x -≥；当1x =时，1e 1x x -==，此时1322x +=， 则11e2x x -<+，即11e 02x x --->不成立，C 错误；对于D ，令()e ln 1xf x x x x =---，则()()()111e 11e x x f x x x x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭， 令()()g x f x '=，则()()212e 0xg x x x '=++>，()g x ∴在()0,+∞上单调递增，又)132022f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()()12e 10f '=->，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，∴当()00,x x ∈时，0fx；当()0,x x ∈+∞时，0fx ；f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()00000e ln 1x f x f x x x x ∴≥=---；由()00f x '=得：001e x x =，00ln x x =-，()000110f x x x ∴=-+-=， ()0f x ∴≥，即0x ∀>，e ln 1x x x x ≥++，D 正确.故选：ABD.12．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知函数()e ,1e ,1x x x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，下列选项正确的是（ ）A ．点()0,0是函数()f x 的零点B ．()()120,1,1,3x x ∃∈∃∈，使()()12f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程()()220f x af x -=⎡⎤⎣⎦有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是()10,2e ⎧⎫+∞⋃-⎨⎬⎩⎭【答案】CD解：对于A ，因为()00f =，所以0x =是函数()f x 的零点，故A 错误；对于C ，当1x ≤时，()e x f x x =，则()()1e xf x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(),1-∞-上递减，在()1,1-上递增，所以()()1min 1e f x f -=-=-，又当x →-∞时，()0f x -→，()e e f =，故当1x ≤时，()1e ,ef x -⎡⎤∈-⎣⎦，当1x >时，()e xf x x =，则()()2e 10x xf x x -=>，所以函数()f x 在()1,+∞上递增， 故()()1e f x f >=，故当1x >时，()()e,f x ∈+∞，综上所述，函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣，故C 正确；对于B ，由C 可知，函数()f x 在()0,1上递增，在()1,3上递增， 则()()12e,e f x f x <>，所以不存在()()120,1,1,3x x ∈∃∈，使()()12f x f x >，故B 错误； 对于D ，关于x 的方程()()220f x af x -=⎡⎤⎣⎦有两个不相等的实数根， 即关于x 的方程()()20f x f x a -=⎡⎤⎣⎦有两个不相等的实数根， 所以()0f x =或()20f x a -=，由C 知，方程()0f x =只有一个实数根， 所以方程()20f x a -=也只有一个实数根， 即函数()y f x =与函数2y a =的图象只有一个交点， 如图，画出函数()y f x =的简图， 则12ea =-或20a >，所以12ea =-或0a >， 所以实数a 的取值范围是()10,2e ⎧⎫+∞⋃-⎨⎬⎩⎭，故D 正确.故选：CD.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）已知直线2y x a =+与曲线()ln y x b =+相切，则2-=b a ______． 【答案】1ln2+设切点为()00,P x y ，则002y x a =+，且()00ln y x b =+，因为函数()ln y x b =+的导函数为1y x b '=+，所以012x b =+，则012x b +=，所以()000ln ln 2212y x b x a b a =+=-=+=-+，得21ln 2b a -=+，故答案为：1ln2+.14．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数32()f x x ax =-+，写出一个同时满足下列两个条件的()f x ：___________.①在[1,)+∞上单调递减；②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线. 【答案】32()f x x x （答案不唯一）若()f x 同时满足所给的两个条件，则2()320f x x ax '=-+≤对[1,)x ∈+∞恒成立，解得：min32a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即32a ≤，且2()321f x x ax '=-+=-在[)1,+∞上有解，即3122x a x =-在[)1,+∞上有解，由函数的单调性可解得：31122x a x=-≥. 所以312a ≤≤.则32()f x x x （答案不唯一，只要()f x 满足32()f x x ax =-+（312a ≤≤即可） 故答案为：32()f x x x15．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知()e xf x k =对任意不相等的两个数1x 、2x 都有()()121212f x f x x x x x ->+-恒成立，则实数k 的取值范围为______．【答案】2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭不妨设12x x >，可得()()221212f x f x x x ->-，则()()221122f x x f x x ->-， 令()()22e x g xf x x k x =-=-，则()()12g x g x >，所以，函数()g x 在R 上为增函数，即对任意的x ∈R ，()e 20xg x k x '=-≥恒成立，所以，2e x x k ≥，令()2e x xh x =，其中x ∈R ，()()21e xx h x -'=. 当1x <时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，所以，()()max 21eh x h ==， 所以，2ek ≥，因此，实数k 的取值范围是2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.16．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）若函数()()e xf x a x a =-∈R 有两个不同的零点1x 和2x ，则a 的取值范围为________；若2123≤<x x x ，则a 的最小值为__________． 【答案】 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭()0e 0e x xx f x a x a =⇒-=⇒=，令()ex x g x =，则()()2e e 1e e x x x x x x g x --=='， 当1x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减； 故()max 1()1eg x g ==，当x →－∞时，g (x )→－∞，当x →+∞时，g (x )→0，则g (x )如图：故函数()()e xf x a x a =-∈R 有两个不同的零点1x 和2x ，则y =g (x )与y =a 图像有两个交点，则10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；若2123≤<x x x ，则212031xx x <≤<<，则()()22222122333ln3.3e 2e x x x x x g g xg x x ⎛⎫≤=⇒≤⇒ ⎪⎝⎭故()23ln323ln332ln32e a g x g ⎛⎫===⎪⎝⎭． 故答案为：10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知函数()xx f x e =，()21x g x e x x =-+-． (1)求证：函数()y g x =有唯一的零点，并求出此零点； (2)求曲线()y f x =过点()1,1A 的切线方程． 【答案】(1)证明见解析，零点为0(2)y x =(1)函数()g x 的定义域为R ，()21xg x e x '=-+， 令()21x h x e x =-+，而()2xh x e '=-，故()h x 在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞单调递增． 所以，()()min ln 232ln 20h x h ==->，即()0g x '>． 故()g x 在R 上是单调递增的．又因为()00g =，因此，函数()y g x =有唯一的零点，零点为0．(2)（2）显然，点()1,1A 不在函数()f x 图像上，不妨设切点坐标为()00,x y ．又()1x x f x e -'=，即0000000111x x x y e x x y e --⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩，消去0y 得，02001x e x x =-+由（1）知00x =，则00y =，()01001k f e -'===， 故所求的切线方程为：y x =．18．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）已知函数3()f x ax bx =+在1x =处有极值2． (1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 在区间[]22-，上的最大值． 【答案】(1)13a b =-⎧⎨=⎩(2)2 (1)因为函数3()f x ax bx =+在1x =处有极值2，且2()3f x ax b '=+，所以(1)2(1)30f a b f a b =+=⎧⎨=+='⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩. (2)由（1）得：3()3f x x x =-+， 2()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+- ，令()0f x '>，得11x -<<， 令()0f x '<，得1x <-或1x >，故()f x 在[2,1)--上单调递减，在(1,1)-上单调递增，在(1,2]上单调递减， 故()f x 的最大值是(2)f -或(1)f ， 而(2)862f -=-=(1)2f ==， 故函数()f x 的最大值是2．19．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））已知函数()ln f x x mx =+，其中m ∈R ． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若(0,)∀∈+∞x ，2()2f x x x ≤-，求m 的最大值． 【答案】(1)当0m ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m <时，()f x 在10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．(2)1-(1)1()(0)mxf x x x+'=>， 当0m ≥时，()0f x '>当0x >恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增； 当0m <时，令()0f x '>，得10x m <<-，令()0f x '<，得1x m>-， ()f x ∴在10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，综上所述：当0m ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m <时，()f x 在10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． (2)依题意得2ln 2x mx x x +≤-对任意,()0x ∈+∞恒成立， 即22ln x x x m x--≤对任意,()0x ∈+∞恒成立， 令22ln ()(0)--=>x x x g x x x ，则22ln 1()x x g x x'+-=， 令2()ln 1h x x x =+-，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，(1)0h =，∴当(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，min ()(1)1g x g ∴==-，1m ∴≤-，故m 的最大值为1-．20．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））已知函数()()2e e R x f x x ax a =-+∈.(1)若()f x 在()11ln2-+，单调，求a 的取值范围. (2)若()e ln y f x x x =+的图像恒在x 轴上方，求a 的取值范围.【答案】(1)[)12e 22,n ,e l e ⎛⎤-∞--∞+ ⎥⎝⎦；(2)()0,∞+.(1)由题意得R x ∈，()()e 2e R x f x x a a '=-+∈.()f x 在()11ln2-+，上单调，即()()e 2e R x f x x a a '=-+∈在()11ln2-+，上大于等于0或者小于等于0恒成立.令()()e 2e R x g x x a a =-+∈，则()e 2e x g x '=-，当()0g x '=时，ln 2e 1ln 2x ==+.当11ln 2x -<<+时，()0g x '<，∴()g x 在()11ln2-+，上单调递减， ∴由题意得()1ln 20g +≥，或()10g -≤，解得2eln 2a ≥或12e ea ≤--， ∴a 的取值范围是[)12e 22,n ,e l e ⎛⎤-∞--∞+ ⎥⎝⎦.(2)2e e e ln x y x ax x x =-++的图象恒在x 轴上方，也即当()0,x ∈+∞时，0y >恒成立. 也即e e e ln xa x x x>--在()0,x ∈+∞上恒成立. 令()e e eln x h x x x x =--，()()()()222e e e e e 11x x x x x x x x h x x-----=='， 令()e e x m x x =-，则()e e x m x '=-，由()0m x '=得1x =，当1x <时()0m x '>，当1x >时，()0m x '<，即1x =时，()m x 有极大值，也是最大值，所以()(1)0m x m ≤=，所以e e x x ≤（当1x =时取等号），再由()0h x '=可得：1x =，列表如下：由上表知10h =为极大值，所以()(1)0h x h ≤=.∴a 的取值范围是()0,∞+.21．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()()21R 2f x x a a =-∈. (1)设()()e xg x f x =，讨论函数()()e x g x f x =的单调性；(2)当0x ≤时，()()211g x x a x ≤--+，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()g x 在(),2a -∞-，(),a +∞上单调递增，在(),2a a -上单调递减(2)⎡-⎣(1)()()21e 2x g x x a =-，则()()()12e 2x g x x a x a '=--+令()0g x '>，则x a >或2x a <-()g x 在(),2a -∞-，(),a +∞上单调递增，在(),2a a -上单调递减 (2)()()221e 112x x a x a x -≤--+⇔()()221112e x x a x x a --+-≤构建()()()22111e ,20x x a x a x F x x --+=-≤-，则()()()e 1e x x x a x F x +--'=∵()e 1=x h x x +-在(],0-∞单调递增，则()()00h x h ≤=即e 10x x +-≤当0x ≤时恒成立当0a ≥时，()0F x '≤当0x ≤时恒成立，则()F x 在(],0-∞单调递减∴()()210102F x F a ≥=-≥，则a ≤∴0a ≤当0a <时，令()0F x '>，则x a >()F x 在(),a -∞单调递减，在(],0a 单调递增∴()()10e a a F x F a +≥=≥，则1a ≥-∴10a -≤<综上所述：1a -≤≤22．（2022·云南临沧·高二期中）已知函数()()242ln f x ax x x a =-+∈R ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若2a =，证明：()()()22ln 2e 2x f x x x x +-⋅≤-．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析(1)解：由题可知，,()0x ∈+∞，()2224224ax x f x ax x x-+'=-+=． 若0a =，()42x f x x -+'=，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；若0a <，令()0f x '=，解得10x >或20x =<（舍），所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减； 若0a >，当16160a ∆=-≤，即1a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当01a <<时，令()0f x '=，解得1x =2x ，所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增； (2)证明：若2a =，要证()()()22ln 2e 2x f x x x x +-⋅≤-，即证2ln e x x x x +<，即证2ln e 1xx x x+<． 令函数()ln 1x g x x =+，则()21ln x g x x -'=． 令()0g x '>，得()0,e x ∈；令()0g x '<，得()e,x ∈+∞．所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max 1e 1eg x g ==+， 令函数()2e xh x x=，则()()3e 2x x h x x -'=． 当()0,2x ∈时，()0h x '<；当()2,x ∈+∞时，()0h x '>．所以()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()2mine 24h x h ==． 因为2e 1104e ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以()()min max h x g x >， 即2ln e 1xx x x +<，从而()()()22ln 2e 2x f x x x x +-⋅≤-得证．。