人教课标版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》章末综合检测B卷

第三章《导数及其应用》章末综合检测B 卷(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝(2πx )2的导数是( ) A ．f ′(x )＝4πx B ．f ′(x )＝4π2x C ．f ′(x )＝8π2x D ．f ′(x )＝16πx2．已知物体的运动方程是s ＝13t 3－4t 2＋12t (t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或6秒B ．2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．2秒或6秒3．若曲线f (x )＝x 4－2x 在点P 处的切线垂直于直线 x ＋2y ＋1＝0，则点 P 的坐标为( ) A ．(1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,1) D ．(－1，－1) 4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)5．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点6．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a ＜0或a ＞21 D ．a ＝0或a ＝217．已知f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )8．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A ．10 B ．15C ．25D ．509．若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－33，⎝⎛⎭⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( )A ．a ＞0B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜110．若函数f (x )在(0，＋∞)上可导，且满足f (x )＞－xf ′(x )，则一定有( )A ．函数F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上为增函数B ．函数F (x )＝f (x )x在(0，＋∞)上为减函数C ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数D ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为减函数二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线的方程为________． 12．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________．13．函数f (x )＝x －ln x ，x ∈[1e，e]的值域是________．14．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程．16．已知实数a ＞0，求函数f (x )＝ax (x －2)2(x ∈R )的单调区间．17．若函数f (x )＝ax 2＋2x －43ln x 在x ＝1处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间及极值．18．某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入)19．已知函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (a ＞0)．(1)当f (x )的极小值为－73，极大值为－1时，求函数f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[1,2]上为增函数，在区间[6，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围．20．给定函数f (x )＝x 33－ax 2＋(a 2－1)x 和g (x )＝x ＋a 2x.(1)求证：f (x )总有两个极值点；(2)若f (x )和g (x )有相同的极值点，求a 的值．参考答案一、选择题1.解析：选C.f (x )＝(2πx )2＝4π2x 2，∴f ′(x )＝8π2x .2.解析：选D.s ′＝t 2－8t ＋12＝0⇒t ＝2或t ＝6.3.解析：选B. ∵f ′(x )＝4x 3－2，设 P (x 0，y 0)， 由题意得f ′(x 0)＝4x 30－2＝2， ∴x 0＝1，y 0＝－1.故 P 点坐标为(1，－1)．4.解析：选D.f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )＞0，得x ＞2.所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．5.解析：选D.∵f (x )＝2x＋ln x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x，令f ′(x )＝0，即－2x 2＋1x ＝x －2x 2＝0，解得x ＝2.当x <2时，f ′(x )<0； 当 x >2时， f ′(x )>0，所以 x ＝2为f (x )的极小值点．6.解析：选A.f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )不存在极值点．7.解析：选A.∵x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0.∴f (x )为减函数；同理f (x )在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．8.解析：选C.设内接矩形的长为x ，则宽为 25－x 24，∴S 2＝x 2·⎝⎛⎭⎫25－x 24＝y ，∴y ′＝50x －x 3. 令y ′＝0，得x 2＝50或x ＝0(舍去)， ∴S 2max ＝625，即S max ＝25.9.解析：选A.依题意y ′＝a (3x 2－1)＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－33，⎝⎛⎭⎫33，＋∞.故a 的取值范围是a ＞0.10.解析：选C.设y ＝xf (x )，则y ′＝xf ′(x )＋f (x )＞0，故y ＝xf (x )在(0，＋∞)上递增，故选C.二、填空题11.解析：由于y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e ，故切线的方程为y －1＝1e (x －e)，故y ＝1ex .答案：1ex －e y ＝012.解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎨⎧－2＋4＝－2a3－2×4＝b 3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－24.∴a －b ＝－3＋24＝21.答案：2113.解析：f ′(x )＝1－1x，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈[1e，1]时，f ′(x )＜0，当x ∈[1，e]时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[1e ，e]上的最小值是f (1)＝1，又f (1e )＝1e＋1，f (e)＝e －1，∴函数f (x )的值域是[1，e －1]． 答案：[1，e －1]14.解析：设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，所以L ＝27R2.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R ，令S ′表＝2πR －54πR2＝0，得R＝3，即当R ＝3时，S 表最小． 答案：3 三、解答题15.解：(1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a . ∵f (x )在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0，解得a ＝3. ∴f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8.(2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18，f ′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y ＝16.16.解：∵f (x )＝ax (x －2)2＝ax 3－4ax 2＋4ax ， ∴f ′(x )＝3ax 2－8ax ＋4a＝a (3x 2－8x ＋4)＝a (3x －2)(x －2)．令f ′(x )＞0，则x ＜23或x ＞2，∴函数f (x )的增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，23和(2，＋∞)； 令f ′(x )＜0，则23＜x ＜2，∴函数f (x )的减区间是⎝⎛⎭⎫23，2.17.解：(1)f ′(x )＝2ax ＋2－43x，由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.(2)f (x )＝－13x 2＋2x －43ln x (x ＞0)．f ′(x )＝－23x ＋2－43x ＝－2(x －1)(x －2)3x.由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝2. ①当f ′(x )＞0时，1＜x ＜2；②当f ′(x )＜0时，0＜x ＜1或x ＞2.当x因此f (x )的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)．函数的极小值为f (1)＝53，极大值为f (2)＝83－43ln 2.18.解：(1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)， 则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，所以当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，由此获得收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，所以g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2. 又当0≤x ＜2时，g ′(x )＞0；当2＜x ≤3时，g ′(x )＜0.所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的收益最大． 19.解：(1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )(x －3a )，令f ′(x )≥0，得a ≤x ≤3a ，令f ′(x )≤0，得x ≥3a 或x ≤a ，∴f (x )在(－∞，a ]上是减函数，在[a,3a ]上是增函数，在[3a ，＋∞)上是减函数，∴f (x )在x ＝a 处取极小值，在x ＝3a 处取极大值．由已知有⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－73，f (3a )＝－1，即⎩⎨⎧－13a 3＋2a 3－3a 3＋b ＝－73，－13×27a 3＋18a 3－9a 3＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴函数的解析式为f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x －1.(2)由(1)知f (x )在(－∞，a ]上是减函数，在[a,3a ]上是增函数，在[3a ，＋∞)上是减函数，∴要使f (x )在区间[1,2]上为增函数，在区间[6，＋∞)上是减函数，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，3a ≥2，3a ≤6，解得实数a 的取值范围为23≤a ≤1.20.解：(1)证明：因为f ′(x )＝x 2－2ax ＋(a 2－1)＝[x －(a ＋1)]·[x －(a －1)]， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝a ＋1，x 2＝a －1. 当x ＜a －1时，f ′(x )＞0；当a －1＜x ＜a ＋1时，f ′(x )＜0； 当x ＞a ＋1时，f ′(x )＞0，所以x ＝a －1为f (x )的极大值点， x ＝a ＋1为f (x )的极小值点． 所以f (x )总有两个极值点．(2)因为g ′(x )＝1－a 2x 2＝(x －a )(x ＋a )x 2.令g ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a .因为f (x )和g (x )有相同的极值点，且x 1＝a 和a ＋1，a －1不可能相等，所以当－a ＝a ＋1时，a ＝－12；当－a ＝a －1时，a ＝12.经检验，当a ＝－12和a ＝12时，x 1＝a ，x 2＝－a 都是g (x )的极值点．。