导数及其应用单元测试(带答案)

一、选择题1．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）A ．0B ．2C ．2019D ．20202．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（ ）A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为1653．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞4．已知()1()2ln 0f x a x x a x ⎛⎫-⎪⎝⎭=->在[1)+∞，上为单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．[0)+∞，B ．(0)+∞，C ．(1)+∞，D ．[1)+∞， 5．已知函数f (x )(x ∈R )满足(1)1f =，且()f x 的导数f ′(x )>12，则不等式1()22x f x <+的解集（ ） A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－1，1)6．已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，若()01f =，则不等式()xf x e >的解集为（ ）A ．()01，B ．()1+∞， C ．()1-∞， D ．()0-∞，8．函数()262xf x x x e =-+的极值点所在的区间为（ ） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,1--9．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤10．函数()ln 22f x x x x a =-++，若()f x 与()()f f x 有相同的值域，则a 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞B ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞11．已知函数2()sin cos f x x x x x =++，则不等式1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<的解集为（ ） A ．(,)e +∞B ．(0,)eC ．1(,)e eD ．1(0,)(1,)e e12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>，则（ ） A ．()()21ln 2f f -< B ．()()21ln 2f f -> C ．()()211f f -<D ．()()211f f ->二、填空题13．已知曲线()32351f x x x x =+-+，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，则点P 的横坐标为______________.14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()xf x f x '<，若()10f =，则不等式()0f x x>的解集为________. 15．已知函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是_____________．16．函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则+a b 的值为________． 17．已知曲线x xy e=在1x x =处的切线为1l ，曲线ln y x =在2x x =处的切线为2l ，且12l l ⊥，则21x x -的取值范围是_________.18．已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，那么此函数在[]22-,上的最大值为______.19．已知函数()sin f x x x =+，若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为______________. 20．已知函数f (x )＝ln x －f ′ (12)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________． 三、解答题21．已知函数321()12f x x x ax =-++． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求函数()f x 在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．22．已知函数2()ln f x x x =-，()g x kx =． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若()g x 是()f x 的切线，求实数k 的值；（3）若()f x 与()g x 的图象有两个不同交点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，求证：121x x >． 23．已知函数311()ln 62f x x x x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程； （2）若()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，求a 的最小值. 24．已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.25．已知集合M 是同时满足下列两个性质的函数()f x 的全体①函数()f x 在其定义域上是单调函数；②()f x 的定义域内存在区间[]a b ，，使得()f x 在[]a b ，上的值域为22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．（1）判断()3g x x =是否属于M ，若是，求出所有满足②的区间[]a b ，，若不是，说明理由；（2）若()h x t M =∈，求实数t 的取值范围．26．已知a ∈R ，函数()2ln f x x a x =-. （1）若有极小值0，求a 的值；（2）若存在1x 、()20,1x ∈，使得不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+， 所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.2．D解析：D 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线22260x y ln +--=上，则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出d 的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M 的最小值，并可求出此时对应的2x 从而得解． 【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线24220x y ln +--=上，221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方．由2y lnx x =-+，得11y x'=-，与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12k =-．令1112x -=-，得2x =，则切点坐标为(2,2)ln ， 切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=的距离d == 即221212()()M x x y y =-+-的最小值为165． 又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-，即2420x y ln --+=，联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩，解得145x =，即当M 最小时，2145x =． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．3．D解析：D 【分析】 根据条件()()12122f x f x x x ->-可变形为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，构造函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-，利用其为增函数即可求解. 【详解】根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-， 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数，所以()()'200,0ag x x x a x=+-≥>>恒成立， 分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1， 故1a ≥. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题由条件()()12122f x f x x x ->-恒成立，转化为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-恒成立是解题的关键，再根据此式知函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题. 4．D解析：D 【分析】首先求导，由题意转化为在[1,)x ∈+∞，220ax x a -+≥恒成立，即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立.再利用基本不等式求出221xx +的最大值即可. 【详解】222()ax x af x x-+'=，(0)a > 因为()f x 在[1,)+∞上为单调递增，等价于220ax x a -+≥恒成立. 即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立. 因为222111x x x x x x=≤=++，当1x =时，取“=”， 所以1a ≥，即a 的范围为[1,)+∞.故选：D 【点睛】本题主要考查利用导数的单调区间求参数的问题，同时考查了学生的转化思想，属于中档题.5．A解析：A 【分析】 根据f ′(x )>12，构造函数 ()()122x g x f x =-- ，又()()1111022=--=g f ，然后将不等式1()22x f x <+，转化为1()022--<x f x ，利用单调性的定义求解. 【详解】 因为f ′(x )>12，所以()102f x '-> 所以()()()()()110222x g x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增， 又()()1111022=--=g f ， 所以不等式1()22x f x <+，即为1()022--<x f x ， 即为：()()1g x g <， 所以1x <， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】利用函数的定义域和函数的值域排除BD ，通过函数的单调性排除C ，推出结果即可. 【详解】令()ln 1g x x x =--，则11()1x g x x x-'=-=， 由()0g x '>得1x >，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增， 由()0g x '<得01x <<，即函数()g x 在(0,1)上单调递减， 所以当1x =时，()()min 10g x g ==， 于是对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，有()0g x >，则()0f x >，故排除BD ，因为函数()g x 在()0,1单调递减，则函数()f x 在()0,1递增，故排除C. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数对函数图象辨别，属于中档题.7．D解析：D 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，用导数法得到()g x 在R 上递减，然后由()01f =，得到()01g =，再利用函数的单调性定义求解.【详解】令()()x f x g x e=，因为()()f x f x '<， 则()()()0xf x f xg x e'-'=<， 所以()g x 在R 上递减， 又()01f =，则()01g =， 不等式()xf x e >等价于()()10xf xg e>= ， 所以0x <. 故选：D 【点睛】本题主要考查函导数与函数的单调性以及函数单调性解不等式，还考查了构造函数求解问题的能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】求出函数的导数，根据函数的零点判定定理求出函数的极值点的区间即可. 【详解】()262x f x x e '=-+，且()f x '为单调函数，∴()12620f e '=-+>，()0620f '=-+<， 由()()010f f ''<，故()f x 的极值点所在的区间为()0,1， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的应用，函数的极值点的意义，考查转化思想，属于中档题.9．D解析：D 【分析】求出函数的导数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，即可得结果 【详解】 解：由()32114332f x x mx x =-+-，得'2()4f x x mx =-+， 因为函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数， 所以240x mx -+≥在[]1,2上恒成立，得4m x x≤+恒成立因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号，所以4m ≤， 故选：D 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数最值的求值，考查基本不等式应用，考查转化思想，属于中档题10．B解析：B 【分析】判断()f x 的单调性，求出()f x 的值域，根据()y f x =与(())y f f x =有相同的值域得出()f x 的最小值与极小值点的关系，得出a 的范围．【详解】()f x lnx '=，故而当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()f x ∴的最小值为()121f a =+，且x →+∞时，()f x →+∞即()f x 的值域为[)21,a ++∞，函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，且()f x 的定义域为(0,)+∞，0211a ∴<+≤，解得：102-<≤a ．故选：B 【点睛】本题考查了导数研究函数的单调性，考查函数最值的计算，属于中档题．11．C解析：C 【分析】先判断出()f x 为R 上的偶函数，再利用当0x >时，()'0f x >得到函数的单调性，从而可解原不等式. 【详解】因为()()()()22()sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，所以()f x 为R上的偶函数，又1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<等价于(ln )(ln )2(1)0f x f x f +--<即：(ln )(1)f x f <，()'()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+为增函数，故(ln )(1)f x f <等价于ln 1x <即1ln 1x -<<即1x e e <<，故不等式的解集为1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,，故选C.【点睛】对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x fx f x ==-，对于奇函数()g x ，其单调性在两侧是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．12．B解析：B 【解析】分析：根据题意，由()1xf x '>可得()()'1f x lnx x='>，构造函数()()g x f x lnx =-，可得()()()110xf x g x f x x x-=-=''>'，故()g x 单调递增，根据单调性可得结论．详解：令()(),0g x f x lnx x =->，∴()()()11xf x g x f x x x=''-'-=，∵()1xf x '>， ∴()0g x '>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ∴()()21g g >，即()()2211f ln f ln ->-， ∴()()21ln2f f ->． 故选B ．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．二、填空题13．0或或【分析】设切点的坐标由求出切线方程把代入切线方程可求得切点坐标【详解】设的坐标为过点的切线方程为代入点的坐标有整理为解得或或故答案为：0或或【点睛】本题考查导数的几何意义求函数图象的切线方程要解析：0或1-或53【分析】设切点P 的坐标，由P 求出切线方程，把(1,0)代入切线方程可求得切点坐标． 【详解】设P 的坐标为()32,351m m m m +-+，2()9101f x x x +'=-，过点P 的切线方程为()()3223519101()m m m m x y m m +-+=+---，代入点()1,0的坐标有()()()32235191011mm m mm m --+-+=+--，整理为323250m m m --=，解得0m =或1m =-或53m =， 故答案为：0或1-或53. 【点睛】本题考查导数的几何意义．求函数图象的切线方程要分两种情况：（1）函数()y f x =图象在点00(,)P x y 处的切线方程，求出导函数，得出切线方程000()()y y f x x x '-=-；（2）函数()y f x =图象过点00(,)P x y 处的切线方程：设切线坐标11(,)x y ，求出切线方程为111()()y y f x x x '-=-，代入00(,)x y 求得11,x y ，从而得切线方程．14．【分析】令对其求导由时可知从而在上单调递减由的奇偶性可得是定义域上的偶函数从而可得出在上的单调性再结合可求出的解集【详解】由题意令则因为时则故在上单调递减又是定义在上的奇函数所以所以即是上的偶函数根 解析：()()1,00,1-【分析】 令()()f xg x x=，对其求导，由0x >时，()()xf x f x '<，可知()0g x '<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减，由()f x 的奇偶性，可得()g x 是定义域上的偶函数，从而可得出()g x 在(),0-∞上的单调性，再结合()()110g g -==，可求出()0g x >的解集.【详解】 由题意，令()()f x g x x =，则()()()2xf x f x g x x'-'=， 因为0x >时，()()xf x f x '<，则()()()20xf x f x g x x'-'=<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知()g x 在(),0-∞上单调递增，且()()()11101f g g -===，所以()()1,00,1x ∈-时，()0g x >.故答案为：()()1,00,1-.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数()()f xg x x=，求导并结合当0x >时，()()xf x f x '<，可求出函数()g x 在()0,∞+上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出()g x 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．15．【分析】根据题意将问题转化为以在区间上恒成立再分类讨论即可得答案【详解】解：因为函数在上单调递增所以在区间上恒成立当时显然在区间上恒成立当时因为在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以 解析：()[),01,-∞+∞【分析】根据题意将问题转化为以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，再分类讨论即可得答案. 【详解】解：因为函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增， 所以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 当0a <时，显然()22211'10ax f x ax ax -=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 当0a >时，因为()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 所以210ax -≥在区间(),1-∞-上恒成立， 所以21≥a x 在区间(),1-∞-上恒成立， 所以2max11a x ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭ 综上实数a 的取值范围是()[),01,-∞+∞故答案为：()[),01,-∞+∞【点睛】本题考查根据函数在区间上单调求参数范围问题，考查化归转化思想与数学运算能力，是中档题.16．【分析】先根据极值列方程组解得值再代入验证即可确定结果【详解】解∵函数∴又∵函数当时有极值10∴∴或当时有不等的实根满足题意；当时有两个相等的实根不满足题意；∴【点睛】本题考查根据极值求参数考查基本 解析：7a b +=【分析】先根据极值列方程组解得a b ，值，再代入验证，即可确定结果. 【详解】解∵函数322()f x x ax bx a =--+∴2()32f x x ax b '=--，又∵函数322()f x x ax bx a =--+，当1x =时有极值10，∴2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，∴411a b =-⎧⎨=⎩或33a b =⎧⎨=-⎩当411a b =-⎧⎨=⎩时，2()32(1)(311)0f x x ax b x x '=--=-+=有不等的实根满足题意； 当33a b =⎧⎨=-⎩时，22()323(1)0f x x ax b x '=--=-=有两个相等的实根，不满足题意； ∴7a b += 【点睛】本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.17．【分析】由求导根据得到由得到而然后令用导数法求解【详解】令则所以因为故所以因为故又令则当时为减函数故所以在上恒成立故在上为减函数所以即因此的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义导数 解析：(),1-∞-【分析】由()xx f x e =，()ln g x x =，求导，根据12l l ⊥，得到1121x x x e -=，由20x >，得到11x >.而112111x x x x x e --=-，然后令()1,1x x h x x x e-=->，用导数法求解.【详解】令()x x f x e =，()ln g x x =，则()1x xf x e -'=，()1g x x'=，所以1111x x k e -=，221k x =， 因为12l l ⊥，故112111x x e x -⨯=-，所以1121x x x e -=， 因为20x >，故11x >.又112111x x x x x e --=-，令()1,1x x h x x x e -=->，则()221xx xx x e h x e e---=-='， 当()1,x ∈+∞时，2xy x e =--为减函数，故12210x x e e --<--<，所以()0h x '<在()1,+∞上恒成立， 故()h x 在()1,+∞上为减函数，所以()()11h x h <=-，即211x x -<-. 因此，21x x -的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．43【分析】先求导数判断函数单调性和极值结合（为常数）在上有最小值3求出的值再根据单调性和极值求出函数的最大值【详解】令解得或当时单调递减当时单调递增当时单调递减所以在时有极小值也是上的最小值即函数解析：43. 【分析】先求导数，判断函数单调性和极值，结合32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，求出m 的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值. 【详解】32()26f x x x m =-++， 2()6126(2)f x x x x x '∴=-+=--,令 ()0f x '=，解得 0x =或2x =，当20x -<<时，()0,()f x f x '<单调递减，当02x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，当2x >时，()0,()f x f x '<单调递减，所以()f x 在0x =时有极小值，也是[]22-,上的最小值， 即(0)3f m ==，函数在[]22-,上的最大值在2x =-或2x =时取得， 3232(2)2(2)6(2)343;(2)2262311f f -=-⨯-+⨯-+==-⨯+⨯+=，∴函数在[]22-,上的最大值为43.故答案为：43 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题.19．1【分析】由知为奇函数求导分析为增函数故利用可以算得的关系再利用基本不等式的方法求的最小值即可【详解】故为奇函数又所以为增函数又故所以当且仅当时取得最小值1故答案为1【点睛】本题主要考查函数的奇偶性解析：1 【分析】由()sin f x x x =+知()f x 为奇函数,求导分析()f x 为增函数,故利用()()490f a f b +-=可以算得,a b 的关系,再利用基本不等式的方法求11a b+的最小值即可. 【详解】()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-,故()f x 为奇函数,又()'1cos 0f x x =+≥,所以()f x 为增函数.又()()()()()490,499f a f b f a f b f b +-==--=-, 故49,49a b a b =-+=,所以()11111144599b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1519⎛≥+= ⎝,当且仅当4b aa b =时取得最小值1. 故答案为1 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.20．-1【分析】根据题意由函数f （x ）的解析式对其求导可得在其中令可得再令即可解可得f′（1）的值【详解】根据题意函数f(x)＝lnx －f′()x2＋3x －4其导数令令则即答案为-1【点睛】本题考查导数解析：-1 【分析】根据题意，由函数f （x ）的解析式对其求导可得112'32f x xf x '=-+（）（） ，在其中令12x =可得12f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，再令1x =即可解可得f′（1）的值， 【详解】根据题意，函数f (x )＝ln x －f ′ (12)x 2＋3x －4， 其导数112'32f x xf x '=-+（）（），令12x =，1111152'3,,1222222f f f '=-⨯⨯+∴'=（）（）（） 令1x =，则15213 1.12f x '=-⨯⨯+=-（） 即答案为-1. 【点睛】本题考查导数的计算，注意12f ⎛⎫'⎪⎝⎭为常数． 三、解答题21．（1）210x y -+=；（2）4927． 【分析】（1）当2a =时，求得函数的导数2()32f x x x '=-+，得到(0)2f '=，即可求解曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）由函数在1x =处有极小值，求得2a =-，得到2()32f x x x '=--，根据导数的符号，求得函数的单调性，进而求得函数的最大值，得到答案. 【详解】（1）当2a =时，函数321()212f x x x x =-++， 可得2()32f x x x '=-+，可得(0)2f '=又由()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程12(0)y x -=-，即210x y -+=.（2）由321()12f x x x ax =-++，可得2()3f x x x a '=-+， 因为函数在1x =处有极小值，可得(1)20f a '=+=，解得2a =-，此时321()212f x x x x =--+，且2()32f x x x '=--， 令()0f x '=，即2320x x --=，解得23x =-或1x =， 当23x <-或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当213x -<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 在23(2,),(1,)32--上单调递增，在区间2(,1)3-上单调递减，所以()11,(2)52f f =--=-， 因为24931(),()32724f f -==， 所以函数()f x 的最大值为249()327f -=. 【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 22．（1）11ln 222+；（2）1；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出其单调性，即可得出函数()f x 的最小值；（2）利用导数的几何意义得出切线方程20000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，再由2000012,1ln 0x k x x x -=-+-=求出k 的值； （3）将22111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加相减化简得出2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=-，令211x t x =>，构造函数2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，利用单调性证明2(1)ln 1t t t ->+，从而得出1212ln 22x x x x +>，再由令()ln 2G x x x =+的单调性得出12()(1)G x x G >，从而得出121x x >. 【详解】解：（1）∵2()ln f x x x =-，∴2121()2(0)x f x x x x x-'=-=>当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x在2⎛ ⎝⎭上单调递减；当,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，∴()f x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 故函数()f x的最小值为211ln ln 222222f ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）若()g x 是()f x 的切线，设切点为00(,())x f x 则过点00(,())x f x 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+即20000012()ln y x x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即20000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭ 由题意知2000012,1ln 0x k x x x -=-+-= 令2()1ln (0)h x x x x =-+->，则0x >时，1()20h x x x'=--< ∴2()1ln h x x x =-+-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =∴2001ln 0x x -+-=有唯一的实根01x =，则0012211k x x =-=-=． （3）由题意知22111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加得22121212ln ()x x x x k x x +-=+两式相减得22221211ln ()x x x k x x x --=-，即212121ln x x x x k x x +-=-∴22211212211221ln ln ()x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪+-=+-+-⎪ ⎪⎝⎭，即2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=- 不妨令120x x <<，记211x t x =>，则2121212211ln 2ln x x xx x x x x x x ++==-1ln 1t t t +- 令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+∴2l ())1n 1(t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+ ∴2(1)ln 1t t t ->+，因而1212ln 2x x x x +=112(1)ln 2111t t t t t t t ++->⋅=--+ 令()ln 2G x x x =+，则0x >时，1()20G x x'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增∵121212()ln 22(1)G x x x x x x G =+>=，∴121x x >． 【点睛】在处理极值点偏移问题时，关键是构造新函数，结合单调性解决极值点偏移问题. 23．（1）23y =；（2）31162e e -. 【分析】 （1）求导211'()ln 22f x x x =--，再分别求得(1)f ，'(1)f ，用点斜式写出切线方程.（2）根据()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，则()max a f x >，再利用导数求解()max f x 即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得211'()ln 22f x x x =--，且2(1)3f =. 所以'(1)0f =.所以曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为23y =. （2）设()'()g x f x =，（1x e e<<） 则211'()x g x x x x-=-=. 令'()0g x =得1x =.当x 变化时，'()g x 符号变化如下表：x 1(,1)e1 (1,)e '()g x-+()g x极小则，即，当且仅当时，所以()f x 在1(,)e e上单调递增. 又311()62f e e e =-， 因为()f x a <对1(,)x e e∈恒成立， 所以31162a e e ≥-， 所以a 的最小值为为31162e e -. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<；24．（1）54a =；（2）单调递减区间是()0,5，单调递增区间是()5,+∞. 【分析】（1）求导，使()12f '=-求解a 的值；（2）将（1）中所求a 的值代入，求解()0f x '>和()0f x '<的区间，从而得出函数()f x 的单调区间.【详解】（1）对()f x 求导得()2114a f x x x=--'， 由()f x 在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =， 知()3124f a '=--=-，解得54a =. （2）由（1）知()()53ln 0442x f x x x x =+-->，则()22454x x f x x'--=， 令()0f x '=，解得1x =-或5x =，因为1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，所以舍去.当()0,5x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,5内单调递减；当()5,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()5,+∞内单调递增.故()f x 的单调递减区间是(0，5)，单调递增区间是()5,+∞.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求解，难度一般.25．(1) ()g x 属于M ，且满足②的区间[a ，b ]为00⎡⎤⎡⎡⎢⎥⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， ; (2) 102⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【分析】（1）可以看出()g x 为增函数，满足条件①，而方程32x x =有三个不同的解，从而满足条件②，从而说明()g x 属于M ，且可写出所有满足②的区间[a ，b ]；（2）()h x 属于M 2x t =至少有两个不同的实数根，从而得到12x x t -=-，两边平方并整理可得()221104x t x t -+++= 从而20t∆=>，得到t ＞0，而02x t -≥即2x t ≤恒成立，且1≥x ，从而又得到12t ≤，这样便可得出实数t 的取值范围．【详解】 （1）()3g x x =在R 上为增函数，满足性质①； 解32x x =得，x ＝0，或2x =± ； ∴()g x 属于M ，且满足②的区间[a ，b ]为2222002222⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，，，，； （2）()1h x x t =-+在定义域内单调递增，满足①；∵h （x ）∈M ；∴h （x ）满足②；则方程12x x t -=-少有两个解； 即函数1y x =-与函数2x y t =-的图象有两个不同的交点. 如图当直线2x y t =-过点()1,0时，12t = 设直线2x y t =-与曲线1y x =-相切于点()00,A x y 由函数1y x =-的导函数为21'=-y x 所以01221k x ==-，所以02x =，则()2,1A 由()2,1A 在直线2x y t =-上，解得0t = 根据图象可得函数1y x =-与函数2x y t =-的图象有两个不同的交点，得102t <≤∴实数t 的取值范围为102⎛⎤ ⎥⎝⎦，．【点睛】考查函数单调性的定义，函数值域的定义，()f x 满足性质②便说明方程()2x f x =至少有两个不同解，即函数y =2x y t =-的图象有两个不同的交点，数形结合可得出答案,属于中档题.26．（1）2a e =；（2）(),2-∞.【分析】（1）求导，分类讨论得出()f x 的单调性及极值，让极小值为0，求出a 的值； （2）只需使函数()2ln f x x a x =-在()0,1x ∈上存在单调递增区间，然后求解a 的取值范围.【详解】解：（1）()f x 的定义域是()0,∞+，()22a x a f x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，无极小值；当0a >时，令()0f x '<，解得02a x <<；令()0f x '>，解得2a x >， 则()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增， 故()f x 有极小值ln 022a a f a a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， ∴1ln 02a -=，∴2a e =； （2）不妨设12x x <，由()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦知，()()12f x f x <， ∴()f x 在()0,1存在增区间，①由（1）可知，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上为增函数，符合要求；②当0a >时，由（1），()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增， ∴只需102a >>，则有02a <<， 综上，实数a 的取值范围为(),2-∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题.。

高三数学 导数及其应用多选题单元测试及答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得152x -±=，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)()x xx x x x f x e e--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．2．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．函数在x e =处取得极大值12eB ．函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．()f x 有两个不同的零点D ．(2)()(3)f f f π<<【答案】ABD 【分析】求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项. 【详解】函数的定义域为()0,∞+，求导2431ln 212ln ()x x xx x f x x x ⋅-⋅-'==， 令()0f x '=，解得：x e = x()0,ee(),e +∞ ()'f x+-()f x极大值所以当x e =时，函数有极大值()2fe e=，故A 正确； 对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x在)+∞2<<<，则(2)f f f <<，故D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的有（ ） A ．()f x在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点 C．(2)f f f <<D ．若21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，则2e k <【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】函数2ln ()x f x x =，所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =，解得x =当0x <<()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．所以()f x在x =12f e=，故A 正确；当0x <<()0f x '>，()f x 在上为单调递增函数，因为()10f =，所以函数()f x 在上有唯一零点，当x ≥2ln ()0xf x x=>恒成立，即函数()f x 在)+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．由于当x >()0f x '<，()f x 在)+∞上为单调递减函数，因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；由于21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解， 所以2ln 1()max x k x +<，设2ln 1()x g x x +=，则32ln 1()x g x x --'=，令()0g x '=，解得x=当x>()0f x '<，故()f x 在)+∞上为单调递减函数． 当0x<<时，()0f x '>，故()f x 在上为单调递增函数． 所以()22max e eg x g e ==-=． 故2ek <，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.4．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】 因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦， 令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.5．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故1515y -≤≤，当y =时，有1cos 4ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max y =B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一解0x ，故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．6．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'， 所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.7．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--， 所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34， 则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.8．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1x x >≤，即0f x，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin x f x x =+，()e cos x f x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 04f -⎛⎫'-= ⎪⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减，令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin3π45π5π42π4e g g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小， 当3ππ,4x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144e g --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a --<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.9．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】CD【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-，∴()()()()()12112x x f x x e a x x e a '=-+-=-+， ①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=， 函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意；②若0a >，那么20x e a +>恒成立，当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数；此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点；当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+- ()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <，则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->，故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意；③若02e a -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减， 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦ (){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若2e a =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若 2e a <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120x f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减， 当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，故选：CD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.10．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点 【答案】CD【分析】令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f（x）＝t1∈（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解，即函数y＝f[f（x）]+1有4个零点．②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，∴此时方程f（t）＝﹣1有一个根t1，其中0＜t1＜1，由f（x）＝t1∈（0，1），此时x只有1个解，即函数y＝f[f（x）]+1有1个零点．故选：CD．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．。

第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。

单元质量评估(三)第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2019·台州高二检测)函数y=lgx的导数为( )A. B.ln10C. D.【解析】选C.因为(log a x)′=,所以(lgx)′=.2.(2019·泉州高二检测)已知f(x)=sinx+lnx,则f′(1)的值为( )A.1-cos1B.1+cos1C.-1+cos1D.-1-cos1【解析】选B.f′(x)=cosx+,f′(1)=cos1+1.3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是( )A. B.C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪【解析】选A.f(x)=2x2-x3,f′(x)=4x-3x2,由f′(x)>0得0<x<.4.已知物体的运动方程是s=t3-4t2+12t(t表示时间,s表示位移),则瞬时速度为0的时刻是( )A.0秒、2秒或6秒B.2秒或16秒C.2秒、8秒或16秒D.2秒或6秒【解析】选D.s′=t2-8t+12=0,解得t=2或t=6.5.函数y=2x3-2x2在[-1,2]上的最大值为( )A.-5B.0C.-1D.8【解析】选D.y′=6x2-4x=2x(3x-2),列表:-所以y max=8.6.(2019·临沂高二检测)曲线y=3lnx+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是( )A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,3)D.(1,0)【解析】选C.f′(x)=+1.设P0(x0,y0),则+1=4,解得x0=1.因为(x0,y0)在直线4x-y-1=0上,所以y0=3.所以点P0的坐标为(1,3).7.若x=1是函数f(x)=(ax-2)·e x的一个极值点,则a的值为( )A.1B.2C.eD.5【解析】选A.因为f′(x)=ae x+(ax-2)e x,所以f′(1)=ae+(a-2)e=0,解得:a=1,把a=1代入函数得:f(x)=(x-2)·e x,所以f′(x)=e x+(x-2)e x=e x(x-1),所以f′(1)=0,且x<1时,f′(x)<0,x>1时,f′(x)>0.故a=1符合题意.8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π且用料最省,则圆柱的底面半径为( )A.5B.6C.3D.2【解析】选C.设圆柱的底面半径为R,母线长为l,则V=πR2l=27π,所以l=.要使用料最省,只需使水桶的表面积最小,而S表=πR2+2πR l=πR2+,令S表′=2πR-=0,解得R=3,即当R=3时,S表最小.9.(2019·菏泽高二检测)函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是( )A.(0,1)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.【解析】选D.f′(x)=3x2-6b,因为f(x)在(0,1)内有极小值,所以f′(x)=0在x∈(0,1)有解.所以所以0<b<.10.(2019·合肥高二检测)设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( )【解析】选C.y′=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)·(3x-a-2b),由y′=0得x=a或x=.因为a<b,所以a<,所以当x=a时,y取极大值0;当x=时,y取极小值且极小值为负.11.(2019·烟台高二检测)已知a<0,函数f(x)=ax3+lnx,且f′(1)的最小值是-12,则实数a的值为( )A.2B.-2C.4D.-4【解析】选B.f′(x)=3ax2+,所以f′(1)=3a+≥-12,即a+≥-4,又a<0,有a+≤-4.故a+=-4,此时a=-2.12.(2019·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )A.[-1,1]B.C. D.【解析】选C.方法一:用特殊值法:取a=-1,f(x)=x-sin2x-sinx,f′(x)=1-cos2x-cosx,但f′(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A,B,D.方法二:f′(x)=1-cos2x+acosx≥0对x∈R恒成立,故1-(2cos2x-1)+acosx≥0,即acosx-cos2x+≥0恒成立,令t=cosx,所以-t2+at+≥0对t∈[-1,1]恒成立,构造函数f(t)=-t2+at+, 开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值,故只需解得-≤a≤.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2019·中山高二检测)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为.【解析】y′=3lnx+1+x·=3lnx+4,所以y′|x=1=3ln1+4=4.又f(1)=1×(3ln1+1)=1,所以所求的切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.答案:4x-y-3=014.(2019·郑州高二检测)已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0,则a= ,b= .【解析】f′(x)=-.由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1).故即解得a=1,b=1.答案:1 115.函数y=x+2cosx-在区间上的最大值是.【解析】y′=1-2sinx=0,在区间上解得x=,故y=x+2cosx-在区间上是增函数,在区间上是减函数,所以x=时,y=,而x=0时,y=2-,x=时y=-,且>2->-,故函数y=x+2cosx-在区间上的最大值是.答案:【补偿训练】曲线y=x3-2以点为切点的切线的倾斜角为. 【解析】y′=x2,当x=1时,y′=1,从而切线的倾斜角为45°.答案:45°16.设f(x)=x3-x2-2x+5,当x∈[-1,2]时,f(x)<m恒成立,则实数m的取值范围是.【解析】f′(x)=3x2-x-2=(x-1)(3x+2),令f′(x)=0,得x=1或x=-.f(x)极小值=f(1)=1--2+5=,f(x)极大值=f=--++5=5.又f(-1)=-1-+2+5=,f(2)=8-2-4+5=7,比较可得f(x)max=f(2)=7.因为f(x)<m对x∈[-1,2]恒成立.所以m>7.答案:(7,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2019·南昌高二检测)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值.(2)是否存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.【解析】f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a.(1)由已知有f′(x1)=f′(x2)=0,从而x1x2==1,所以a=9.(2)由于Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a2+4)>0,所以不存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数.【补偿训练】已知函数f(x)=ax2+2x-lnx.(1)当a=0时,求f(x)的极值.(2)若f(x)在区间上是增函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为(0,+∞).因为f(x)=ax2+2x-lnx,当a=0时,f(x)=2x-lnx,则f′(x)=2-,令f′(x)=0得x=,所以当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表所以当x=时,f(x)的极小值为1+ln2,无极大值.(2)由已知,得f(x)=ax2+2x-lnx,且x>0,则f′(x)=ax+2-=.若a=0,由f′(x)>0得x>,显然不合题意;若a≠0,因为函数f(x)在区间上是增函数,所以f′(x)≥0对x∈恒成立,即不等式ax2+2x-1≥0对x∈恒成立,即a≥=-=-1恒成立,故a≥.而当x=时,函数-1的最大值为3,所以实数a的取值范围为a≥3. 18.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程. 【解析】(1)因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)因为切线与直线y=-+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3+1=4,所以x0=±1,所以或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.19.(12分)(2019·临沂高二检测)已知函数f(x)=lnx-ax2-2x.(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值.(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=-(x>0),因为x=2时,f(x)取得极值,所以f′(2)=0,解之得a=-,经检验符合题意.(2)由题意知f′(x)≥0在x>0时恒成立,即ax2+2x-1≤0在x>0时恒成立,则a≤=-1在x>0时恒成立,即a≤(x>0),当x=1时,-1取得最小值-1.所以a的取值范围是(-∞,-1].20.(12分)某5A级景区为提高经济效益,现对某景点进行改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足:y=f(x)=ax2+x-bln,a,b为常数,当x=10万元时,y=19.2万元;当x=50万元时,y=74.4万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6)(1)求f(x)的解析式.(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入) 【解析】(1)由条件可得解得a=-,b=1.则f(x)=-+x-ln(x≥10).(2)由T(x)=f(x)-x=-+x-ln(x≥10),则T′(x)=-+-=-,令T′(x)=0,则x=1(舍)或x=50,当x∈(10,50)时,T′(x)>0,因此T(x)在(10,50)上是增函数;当x>50时,T′(x)<0,因此T(x)在(50,+∞)上是减函数,故x=50为T(x)的极大值点,也是最大值点,且最大值为24.4万元.即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元.21.(12分)(2019·绍兴高二检测)已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.(1)设a=1,求函数f(x)的极值.(2)若a>,且当x∈[1,4a]时,f(x)≥a3-12a恒成立,试确定a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=x3-3x2-9x+1且f′(x)=3x2-6x-9,由f′(x)=0得x=-1或x=3.当x<-1时,f′(x)>0,当-1<x<3时,f′(x)<0,因此x=-1是函数f(x)的极大值点,极大值为f(-1)=6;当-1<x<3时f′(x)<0,当x>3时f′(x)>0,因此x=3是函数的极小值点,极小值为f(3)=-26.(2)因为f′(x)=3x2-6ax-9a2=3(x+a)(x-3a),a>,所以当1≤x<3a时,f′(x)<0;当3a<x≤4a时,f′(x)>0.所以x∈[1,4a]时,f(x)的最小值为f(3a)=-26a3.由f(x)≥a3-12a在[1,4a]上恒成立得-26a3≥a3-12a.解得a≤-或0≤a≤.又a>,所以<a≤.即a的取值范围为.22.(12分)奇函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象过点A(-,),B(2,10).(1)求f(x)的表达式.(2)求f(x)的单调区间.(3)若方程f(x)+m=0有三个不同的实数根,求m的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=ax3+bx2+cx为奇函数,所以f(-x)=-f(x)(x∈R).所以b=0.所以f(x)=ax3+cx.因为图象过点A(-,),B(2,10),所以即所以所以f(x)=x3-3x.(2)因为f(x)=x3-3x,所以f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),所以当-1<x<1时,f′(x)<0;当x<-1或x>1时,f′(x)>0,所以f(x)的递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞),递减区间是(-1,1).(3)因为f(-1)=2,f(1)=-2,为使方程f(x)+m=0,即f(x)=-m有三个不等实数根,则-2<-m<2,即-2<m<2,所以m的取值范围是(-2,2).。

高中数学导数及其应用多选题单元测试及解析一、导数及其应用多选题1．已知函数()xf x e =，()1ln22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点，则（ ）A ．AB 的最小值为2ln2+B ．m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C ．函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D ．m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线 【答案】ABD 【分析】求出A 、B 两点的坐标，得出AB 关于m 的函数表达式，利用导数求出AB 的最小值，即可判断出A 选项的正误；解方程()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】令()xf x e m ==，得ln x m =，令()1ln22x g x m =+=，得122m x e -=， 则点()ln ,A m m 、122,m B e m -⎛⎫⎪⎝⎭，如下图所示：由图象可知，122ln m AB e m -=-，其中0m >，令()122ln m h m em -=-，则()1212m h m em-'=-，则函数()y h m '=单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102m <<时，0h m，当12m >时，0h m.所以，函数()122ln m h m e m -=-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以，min 112ln 2ln 222AB h ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭，A 选项正确； ()x f x e =，()1ln 22x g x =+，则()x f x e '=，()1g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()ln f m m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1212122m m g e e --⎛⎫'= ⎪⎝⎭，令()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，即1212m m e -=，即1221m me -=， 则12m =满足方程1221m me -=，所以，m ∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数()()()1ln22xx F x f x g x m e m =-+=-+-，可得()1x F x e x'=-， 函数()1xF x e x '=-在()0,∞+上为增函数，由于120F e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110F e -'=>，则存在1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()10t F t e t '=-=，可得ln t t =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>.()()min 1111ln ln ln 2ln 22222t t t F x F t e m e t m t m t ∴==-+-=-++-=+++-13ln 2ln 2022m m >+-=++>，所以，函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项错误；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ， 则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln ln my m ex m -=-，即()1ln y mx m m =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-，所以，()111ln ln 22m nn m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得()11ln ln 202m m m --++=，令()()11ln ln 22G x x x x =--++，则()111ln ln x G x x x x x-'=--=-， 函数()y G x '=在()0,∞+上为减函数，()110G '=>，()12ln 202G '=-<，则存在()1,2s ∈，使得()1ln 0G s s s'=-=，且1s s e =. 当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<.所以，函数()y G x =在()2,+∞上为减函数，()5202G =>，()17820ln 202G =-<， 由零点存在定理知，函数()y G x =在()2,+∞上有零点， 即方程()11ln ln 202m m m --++=有解. 所以，m ∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.2．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x=-+， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ，同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.3．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则2123x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴213x x -==≥，B对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.4．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知，方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.5．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上B ．若阿基米德三角形PABC ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x =-⇒=， 因此正三角形PAB， 所以正三角形PAB的面积为11sin 6022︒==， 故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+， 因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.6．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>【答案】ABC 【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得13ax -=-，23a x -= 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：x,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值 极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当3a x -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需0303a f a f ⎧⎛--<⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a ab -<<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨-⎪>⎪⎩，即20332033a ab a a b ⎧->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，即2033a ab ->>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意；故选：ABC 【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.7．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=>(0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．8．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．9．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e > B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭，1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.10．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x =+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10nn a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确；B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10nna a +->，则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。

章末检测一、选择题1.设 f(x)为可导函数，且知足 lim f 1－f 1－2x＝－ 1，则过曲线 y＝ f(x)上点 (1，f(1)) 处的切线x→02x斜率为 ()B.－1D. －2答案B分析lim f 1 － f 1－ 2x＝ lim f 1－2x－f 1＝－ 1，即 y′ |x＝1＝－ 1，则 y＝f(x)在点 (1，f(1))x→ 02x x→0－ 2x处的切线斜率为－ 1.2.函数 y＝ x4－ 2x2＋ 5 的单一减区间为 ()A.( －∞，－ 1)和 (0,1)B.( － 1,0)和 (1，＋∞ )C.(－ 1,1)D.( －∞，－ 1)和 (1，＋∞ )答案A分析y′＝ 4x3－ 4x＝4x(x2－ 1)，令 y′ <0 得 x 的范围为 (－∞，－ 1)∪ (0,1)，应选 A.3.一物体在变力F(x)＝5－ x2(力单位： N ，位移单位： m)作用下，沿与F(x)成 30°方向做直线运动，则由 x＝1 运动到 x＝ 2时 F(x)做的功为 ()23A. 3 JB. 3J43C.3J 3 J答案C分析因为 F(x)与位移方向成30°角 .如图： F 在位移方向上的分力F ′＝F ·cos 30，°W＝2(51 3312－ x2) · cos 30x＝°d2(5－ x2)dx＝5x－ x322311＝3×8＝43(J). 2334.若 f(x)＝ x2＋ 21f(x)dx，则1f(x)dx 等于 ()001A.－1B.－3第1页共6页1C.3答案B分析∵ f(x)＝ x2＋ 21f(x)dx，11∴1f(x)dx) 1f(x)dx＝ ( x3＋ 2x0300＝1＋21f(x)dx，31∴1f(x)dx＝－3.5.已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax2－ x－ 1 在(－∞，＋∞ )上是单一函数，则实数 a 的取值范围是 ( )A.( －∞，－ 3)B.[ － 3， 3]C.( 3，＋∞ )D.( －3，3)答案B分析 f ′(x)＝－ 3x2＋2ax－ 1≤0 在 (－∞，＋∞ )恒建立，＝4a2－12≤0?－3≤ a≤ 3. 6.设 f(x)＝ xln x，若 f′ (x0)＝2，则 x0等于 ()2 B.ln 2 C.ln 22答案D分析∵ f′ (x)＝x(ln x)′＋ (x)′ ·lnx＝ 1＋ ln x，∴f′ (x0)＝1＋ ln x0＝ 2，∴ln x0＝ 1，∴x0＝e.17.设函数 f(x)＝3x－ ln x(x＞0)，则 y＝ f(x)()1，1， (1， e)内均有零点A. 在区间e1B. 在区间e， 1， (1， e)内均无零点1， 1内无零点，在区间(1， e)内有零点C.在区间e1D.在区间e，1内有零点，在区间(1， e)内无零点答案Cx－ 3分析由题意得 f ′ (x)＝3x，令 f′ (x)＞0得 x＞ 3；令 f′ (x)＜ 0 得 0＜ x＜3；令 f′ (x)＝0得 x＝3，故知函数 f(x)在区间 (0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x＝ 3 处有极小值 1－ ln 3 ＜ 0；又 f(1)＝1＞0， f(e)＝e－1＜ 0， f1＝1＋1＞0. 33e3e第2页共6页8.已知一物体在力F(x)＝ 4x－ 1(单位： N) 的作用下，沿着与力 F 同样的方向，从x＝ 1 m 处运动到 x＝ 3 m 处，则力 F(x)所做的功为 ()A.10 JB.12 JC.14 JD.16 J答案C3分析力 F(x)所做的功 W＝3F(x)dx＝3(4x－ 1)dx＝ (2x2－ x)＝ 14(J).1119.由 x 轴和抛物线y＝ 2x2－ x 所围成的图形的面积为()A. 5(2x2－ x)dxB.5(x－ 2x2)dxC.1(x－ 2x2)dx 2D.1(x＋ 2x2)dx 2答案C11分析先计算出抛物线与x 轴的交点的横坐标，分别为 x1＝ 0，x2＝2，且在 0＜x＜2内，函数1图象在 x 轴下方，则由定积分的几何意义可知，所求图形面积的积分表达式为2 (x－ 2x2)dx.10.函数 f(x)＝ xe x－ e x＋1的单一递加区间是 ()A.( －∞， e)B.(1 ， e)C.(e，＋∞ )D.(e － 1，＋∞ )答案D分析x x x＋1xf ′(x)＝ e ＋ xe － e＝(x－e＋ 1)e ，由 f′ (x)＞ 0，得 x＞ e－ 1.应选 D.二、填空题11.若曲线 y＝ kx＋ ln x 在点 (1 ，k)处的切线平行于 x 轴，则 k＝.答案－ 11分析求导得 y′＝ k＋x，依题意 k＋1＝ 0，因此 k＝－ 1.12.已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax 在区间 (－ 1,1)上是增函数，则实数 a 的取值范围是.答案a≥ 3分析由题意应有f′ (x)＝－ 3x2＋ a≥0 在区间 (－ 1,1)上恒建立，则a≥ 3x2在 x∈ (－ 1,1)时恒建立，故a≥ 3.13.已知函数y＝xf′ (x)的图象如下图( 此中 f′ (x)是函数 f(x)的导函数 )，给出以下说法：第3页共6页①函数 f(x)在区 (1，＋∞ )上是增函数；②函数 f(x)在区 (－1,1)上无性；1③函数 f(x)在 x＝－获得极大；④函数 f(x)在 x＝1 获得极小.此中正确的法有.答案①④分析从象上能够，当x∈ (1，＋∞ )，xf′ ( x)＞0，于是f′ ( x)＞0，故f(x)在区(1，＋∞ )上是增函数，故① 正确；当 x∈ (－1,1)， f′ (x)＜ 0，因此函数f(x) 在区 (－ 1,1)上是减函数，②，③也；当 0＜x＜ 1 ， f(x)在区 (0,1) 上是减函数，而在区(1，＋∞ )上是增函数，因此函数f(x)在x＝ 1 获得极小，故④正确 .n ＋1*)在 (1,1)的切与 x 的交点的横坐 x n， log2 015x1＋ log2 015x214.曲 y＝ x(n∈N＋⋯＋ log 2 015x2 014的.答案－1分析∵ y′ |x＝1＝ n＋1，∴切方程y－ 1＝ (n＋ 1)(x－ 1)，令 y＝0，得 x＝1－1＝n，即 x n＝n. n＋ 1 n＋ 1n＋ 1∴log 2 015x1＋ log 2 015x2＋⋯＋ log2 015x2 014＝log 2 015(x1·x2·⋯·x2 014)1 2 2 014＝ log2 0151＝－ 1.＝ log 2 015··⋯ ·2 3 2 015 2 015三、解答15.函数 f( x)＝2x3－ 3(a＋ 1)x2＋ 6ax＋ 8，此中 a∈R .已知 f(x)在 x＝ 3 获得极 .(1)求 f( x)的分析式；(2)求 f( x)在点 A(1,16)的切方程.解 (1)f′ (x)＝ 6x2－ 6(a＋ 1)x＋ 6a.∵ f(x) 在 x＝ 3 获得极，∴f′ (3)＝ 6× 9－ 6(a＋ 1)× 3＋ 6a＝ 0，解得 a＝ 3.∴f(x) ＝2x3－ 12x2＋ 18x＋ 8.第4页共6页(2)A 点在 f(x)上，由 (1) 可知 f ′ (x)＝ 6x 2－ 24x ＋ 18，f ′ (1) ＝ 6－ 24＋18＝ 0，∴ 切线方程为 y ＝ 16.2 3 616.设 3<a<1 ，函数 f(x)＝ x 3－ 2ax 2＋ b (－ 1≤x ≤ 1)的最大值为1，最小值为－2 ，求常数 a ，b.解 令 f ′( x)＝ 3x 2－ 3ax ＝ 0， 得 x 1＝ 0，x 2＝a.a 3f(0) ＝b ， f( a)＝－ 2 ＋ b,3f(－ 1)＝－ 1－ 2a ＋ b ，3f(1) ＝1－ 2a ＋ b.23因为 3<a<1，因此 1－ 2a<0，故最大值为 f(0) ＝ b ＝ 1，因此 f(x)的最小值为f(－1) ＝－3 a ＋ b ＝－ 3 1－ a ，2 2因此－ 3 a ＝－ 662 ，因此 a ＝3 .2故 a ＝ 36，b ＝ 1.17.已知函数 f(x)＝ ( x ＋1)ln x －x ＋ 1.(1)若 xf ′ (x)≤ x 2＋ax ＋ 1，求 a 的取值范围；(2)求证 (x － 1)f(x)≥ 0.(1)解 f ′ (x)＝x ＋ 1＋ ln x － 1＝ln x ＋1， xf ′ (x)＝xln x ＋ 1，而 xf ′ (x)≤ x 2＋ax ＋ 1 等价于 ln xx x－ x ≤ a.令 g(x)＝ ln x － x ，则 g ′ (x)＝1x － 1，当 0＜ x ＜ 1 时， g ′ (x)＞ 0；当 x ＞ 1 时， g ′ (x)＜＝ 1 是 g(x)的极大值点，也是最大值点， ∴ g(x)≤ g(1) ＝－ 1.综上可知， a 的取值范围是 [－ 1，＋ ∞ ).(2)证明 由(1) 知， g(x)≤ g(1) ＝－ 1，即 ln x －x ＋ 1≤ 0.当 0＜ x ＜ 1 时， f( x)＝ (x ＋ 1)ln x － x ＋ 11－ 1＝ xln x ＋ (ln x － x ＋ 1)≤ 0；当 x ≥ 1 时， f(x)＝ ln x ＋ (xln x － x ＋1)＝ ln x ＋ x ln x ＋ x ＝ ln x －11x ln － ＋ 1 ≥ 0.∴(x － 1)f(x) ≥0.第 5页共6页18.已知函数 f(x)＝－ 1 3 2 23x ＋ 2ax － 3a x ＋b(a ＞0).7(1) 当 f( x)的极小值为－ 3，极大值为－ 1 时，求函数 f(x)的分析式；(2) 若 f( x)在区间 [1,2] 上为增函数，在区间 [6，＋∞ )上为减函数，务实数a 的取值范围 .解 (1)f ′ (x)＝－ x 2＋ 4ax － 3a 2＝－ (x － a)(x － 3a)，令 f ′ (x)≥ 0，得 a ≤ x ≤ 3a ，令 f ′ (x)≤0，得 x ≥ 3a 或 x ≤ a ，∴ f(x)在 (－ ∞， a]上是减函数，在[a,3a]上是增函数，在 [3a ，＋ ∞ )上是减7函数， ∴ f( x) 在 x ＝ a 处取极小值，在x ＝ 3a 处取极大值 . 由已知有f a ＝－ 3， 即f 3a ＝－ 1，13337－ 3a ＋ 2a － 3a＋ b ＝－ 3， a ＝ 1， 1 解得b ＝－ 1，－ 3× 27a 3＋18a 3－ 9a 3＋ b ＝－ 1，∴ f(x) ＝－ 1x 3＋ 2x 2－ 3x －1. 3(2)由 (1)知 f(x)在 (－ ∞， a]上是减函数，在[a,3a] 上是增函数，在 [3a ，＋ ∞)上是减函数， ∴要a ≤ 1，2≤ a ≤1.使 f(x)在区间 [1,2] 上为增函数，在区间 [6，＋∞)上是减函数， 则一定有 3a ≥ 2，解得3a ≤ 6，3第 6页共6页。

高三数学章末综合测试题导数及其应用一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.232．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( ) A ．4 B ．－14 C ．2D ．－125．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3D ．a ≤36．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (－1)与f (1) C ．f (2)与f (－2)D ．f (－2)与f (2)7．若函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π48．下图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )9．若函数f (x )在R 上满足f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝3x －2C ．y ＝x ＋1D ．y ＝－2x ＋310．如图，函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下面判断正确的是( ) A ．在(－2,1)内f (x )是增函数 B ．在(1,3)内f (x )是减函数新 课标 第 一 网 C ．在(4,5)内f (x )是增函数 D ．在x ＝2时，f (x )取到极小值11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.427、0 B ．0、427 C ．－427、0 D ．0、－42712．若函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝( ) w w w .x k b 1.c o m A ．1 B ．2 C ．3D ．4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．14．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )，若f (x )≤g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________．15．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为__________．16．已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________． ①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减；②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值；④当x ＝7时，函数f (x )有极小值． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值； (2)若对任意a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值． 18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围． 19．(12分)已知函数f (x )＝2mx －m 2＋1x 2＋1(x ∈R )． (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当m ＞0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 20．(12分)已知函数f (x )＝(a －12)x 2＋ln x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．21．(12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋bx，函数f (x )的图像与x 轴的交点也在函数g (x )的图像上，且在此点有公共切线． (1)求a ，b 的值； (2)对任意x ＞0，试比较f (x )与g (x )的大小．22．(12分)设函数f (x )＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图像关于原点对称，且x ＝1时，f (x )取极小值－23. (1)求a ，b ，c ，d 的值； (2)当x ∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论； (3)若x 1，x 2∈[－1,1]，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23解析：y ′＝x 2＋1，当x ＝1时，k ＝y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －43＝2(x －1)．当x ＝0时，y ＝－23，当y ＝0时，x ＝13.∴三角形的面积S ＝12×|－23|×13＝19.答案：A2．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 解析：由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2. 令y ′＞0，即8x －1x 2＞0，解得x ＞12，∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上递增. 答案：B3．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：据已知可得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，故f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1.由两直线的位置关系可得－a2×1＝－1，解得a ＝2. 答案：D4．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( ) A ．4B ．－14C ．2D ．－12解析：∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，X k b 1 . c o m f ′(1)＝g ′(1)＋2＝2＋2＝4. 答案：A5．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3D ．a ≤3解析：由f (x )＝x 3－ax ，得f ′(x )＝3x 2－a ， 由3x 2－a ≥0对于一切x ∈(－∞，－1]恒成立， 3x 2≥a ，∴a ≤3.若a ＜3，则f ′(x )＞0对于一切x ∈(－∞，－1]恒成立． 若a ＝3，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0恒成立． x ＝－1时，f ′(－1)＝0，∴a ≤3. 答案：D6．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (－1)与f (1) C ．f (2)与f (－2)D ．f (－2)与f (2)解析：由y ＝xf ′(x )的图像知±2是y ＝f ′(x )的两个零点，设f ′(x )＝a (x －2)(x ＋2)．当x ＞2时，xf ′(x )＝ax (x －2)(x ＋2)＞0，∴a ＞0.由f ′(x )＝a (x －2)(x ＋2)知，f (－2)是极大值，f (2)是极小值，故选D. 答案：D7．若函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )A.π4 B.π3 C.2π3D.3π4解析：由题意，得f ′(x )＝x 2＋f ′(1)x －f ′(2)， 令x ＝0，得f ′(0)＝－f ′(2)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1＋f ′(1)－f ′(2)， ∴f ′(2)＝1，∴f ′(0)＝－1，即f (x )在点(0，f (0))处切线的斜率为－1， ∴倾斜角为3π4.答案：D8．下图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图像知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )图像上任意一点切线的斜率在(0，＋∞)也单调递减，故可排除A ，C.又由图像知，y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线斜率相同，故可排除B.故选D. 答案：D9．若函数f (x )在R 上满足f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝x ＋1D ．y ＝－2x ＋3解析：令x ＝0，解得f (0)＝1.对f (x )求导，得f ′(x )＝e x ＋2x －1＋cos x ，令x ＝0，解得f ′(0)＝1，故切线方程为y ＝x ＋1. 答案：C10．如图，函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下面判断正确的是( )A ．在(－2,1)内f (x )是增函数B ．在(1,3)内f (x )是减函数新 课 标 第 一 网C ．在(4,5)内f (x )是增函数D ．在x ＝2时，f (x )取到极小值解析：在(－2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f (x )在这个区间上不是单调函数；同理，函数f (x )在(1,3)上也不是单调函数，在x ＝2的左侧，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－32，2上是增函数．在x ＝2的右侧，函数f (x )在(2,4)上是减函数，所以在x ＝2时，f (x )取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数f (x )在这个区间上为增函数. 答案：C11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.427、0 B ．0、427C ．－427、0D ．0、－427解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13，或x ＝1.从而求得当x ＝13时，f (x )取极大值427；当x ＝1时，f (x )取极小值0.故选A.答案：A12．如右图，若函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝( ) w w w .x k b 1.c o m A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由图像知f (1)＝3，f ′(1)＝1，故f (1)＋f ′(1)＝ 3＋1＝4. 答案：D第Ⅱ卷 (非选择 共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________． 解析：设P (a ，a 2－a ＋1)，y ′|x ＝a ＝2a －1∈[]－1，3， ∴0≤a ≤2.从而g (a )＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34. 当a ＝12时，g (a )min ＝34；a ＝2时，g (a )max ＝3. 故P 点纵坐标范围是⎣⎡⎦⎤34，3.答案：⎣⎡⎦⎤34，314．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )，若f (x )≤g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 解析：设F (x )＝f (x )－g (x )，其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝1x ＋2－2ax －a ＝－(2x ＋1)(ax －1)x ，x ∈(0，＋∞)．当a ≤0时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增，F (x )≤0不可能恒成立． 当a ＞0时，令F ′(x )＝0，得x ＝1a ，或x ＝－12(舍去)．当0＜x ＜1a 时，F ′(x )＞0；当x ＞1a 时，F ′(x )＜0.故F (x )在(0，＋∞)上有最大值F ⎝⎛⎭⎫1a ，由题意F ⎝⎛⎭⎫1a ≤0恒成立，即ln 1a ＋1a －1≤0.令φ(a )＝ln 1a ＋1a －1，则φ(a )在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故ln 1a ＋1a －1≤0成立的充要条件是a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为__________．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b .又f (x )在x ＝0处有极值，故f ′(0)＝0，从而b ＝0.由曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，可知该切线斜率为2，即f ′(1)＝2，∴2a ＝2，得a ＝1.∴a ＋b ＝1＋0＝1. 答案：116．已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________．(填写正确命题的序号) ①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减； ②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值； ④当x ＝7时，函数f (x )有极小值．解析：由图像可得，在区间(－3,1)内f (x )的导函数数值大于零，所以f (x )单调递增；在区间(1,7)内f (x )的导函数值小于零，所以f (x )单调递减；在x ＝－3左右的导函数符号不变，所以x ＝－3不是函数的极大值点；在x ＝7左右的导函数符号在由负到正，所以函数f (x )在x ＝7处有极小值．故②④正确． 答案：②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值；(2)若对任意a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值． 解析：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132＞0，故函数有极值点； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，故函数无极值点； 故b 的值为－11.(2)方法一：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 则F (a )＝2xa ＋3x 2＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． ∵x ≥0，F (a )在a ∈[－4，＋∞)上单调递增或为常数函数，∴得F (a )min ＝F (－4)＝－8x ＋3x 2＋b ≥0对任意的x ∈[0,2]恒成立，即b ≥(－3x 2＋8x )max ， 又－3x 2＋8x ＝－3⎝⎛⎭⎫x －432＋163≤163， 当x ＝43时，(－3x 2＋8x )max ＝163，得b ≥163，故b 的最小值为163.方法二：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 即b ≥－3x 2－2ax 对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，即b ≥(－3x 2－2ax )max . 令F (x )＝－3x 2－2ax ＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32＋a 23， ①当a ≥0时，F (x )max ＝0，于是b ≥0； ②当－4≤a ＜0时，F (x )max ＝a 23，于是b ≥a 23.又∵⎝⎛⎭⎫a 23max ＝163，∴b ≥163. 综上，b 的最小值为163.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，因f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0，即3x 2－x ＋b ≥0， ∴b ≥x －3x 2在(－∞，＋∞)恒成立．设g (x )＝x －3x 2，当x ＝16时，g (x )max ＝112，∴b ≥112.(2)由题意，知f ′(1)＝0，即3－1＋b ＝0，∴b ＝－2.x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，只需f (x )在[－1,2]上的最大值小于c 2即可．因f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1，或x ＝－23.∵f (1)＝－32＋c ，f (－23)＝2227＋c ，f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c ，∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，∴2＋c ＜c 2，解得c ＞2，或c ＜－1， 所以c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 19．(12分)已知函数f (x )＝2mx －m 2＋1x 2＋1(x ∈R )．(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当m ＞0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 解析：(1)当m ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45，又因为f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2，则f ′(2)＝－625.所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0. (2)f ′(x )＝2m (x 2＋1)－2x (2mx －m 2＋1)(x 2＋1)2＝－2(x －m )(mx ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1m ，x 2＝m .∵m ＞0，∴－1m＜m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－1m－1m ⎝⎛⎭⎫－1m ，m m (m ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )递减极小值递增极大值递减从而f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－1m ，(m ，＋∞)内为减函数，在区间⎝⎛⎭⎫－1m ，m 内为增函数， 故函数f (x )在点x 1＝－1m 处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫－1m ，且f ⎝⎛⎭⎫－1m ＝－m 2，函数f (x )在点x 2＝m 处取得极大值f (m )，且f (m )＝1.20．(12分)已知函数f (x )＝(a －12)x 2＋ln x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2＋ln x ，f ′(x )＝x ＋1x ＝x 2＋1x.对于x ∈[1，e]有f ′(x )＞0， ∴f (x )在区间[1，e]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝1＋e 22，f (x )min ＝f (1)＝12.(2)令g (x )＝f (x )－2ax ＝(a －12)x 2－2ax ＋ln x ，则g (x )的定义域为(0，＋∞)．在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方等价于g (x )＜0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∵g ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋1x＝(2a －1)x 2－2ax ＋1x＝(x －1)[(2a －1)x －1]x，①若a ＞12，令g ′(x )＝0，得极值点x 1＝1，x 2＝12a －1，当x 2＞x 1＝1，即12＜a ＜1时，在(x 2，＋∞)上有g ′(x )＞0，此时g (x )在区间(x 2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g (x )∈(g (x 2)，＋∞)，不符合题意； 当x 2≤x 1＝1，即a ≥1时，同理可知，g (x )在区间(1，＋∞)上，有g (x )∈(g (1)，＋∞)，也不符合题意； ②若a ≤12，则有2a －1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g ′(x )＜0，从而g (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．要使g (x )＜0在此区间上恒成立，只需满足g (1)＝－a －12≤0⇒a ≥－12， 由此求得a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. 综上可知，当a ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方． 21．(12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x，函数f (x )的图像与x 轴的交点也在函数g (x )的图像上，且在此点有公共切线．(1)求a ，b 的值；(2)对任意x ＞0，试比较f (x )与g (x )的大小．解析：(1)f (x )＝ln x 的图像与x 轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g (1)＝a ＋b ＝0.①又f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝a －b x 2， 且f (x )与g (x )在点(1,0)处有公共切线，∴g ′(1)＝f ′(1)＝1，即a －b ＝1.②由①②得，a ＝12，b ＝－12. (2)令F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －12x ＝ln x －12x ＋12x， ∴F ′(x )＝1x －12－12x 2＝－12⎝⎛⎭⎫1x－12≤0. ∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数．当0＜x ＜1时，F (x )＞F (1)＝0，即f (x )＞g (x )；当x ＝1时，F (1)＝0，即f (x )＝g (x )；当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即f (x )＜g (x )．22．(12分)设函数f (x )＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图像关于原点对称，且x ＝1时，f (x )取极小值－23. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)当x ∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x 1，x 2∈[－1,1]，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43. 解析：(1)∵函数f (x )的图像关于原点对称，∴对任意实数x 有f (－x )＝－f (x )，∴－ax 3－2bx 2－cx ＋4d ＝－ax 3＋2bx 2－cx －4d ， 即bx 2－2d ＝0恒成立，∴b ＝0，d ＝0，∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，∵当x ＝1时，f (x )取极小值－23， ∴3a ＋c ＝0，且a ＋c ＝－23， 解得a ＝13，c ＝－1. (2)当x ∈[－1,1]时，图像上不存在这样的两点使结论成立． 假设图像上存在两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f ′(x )＝x 2－1知，两点处的切线斜率分别为k 1＝x 12－1，k 2＝x 22－1， 且(x 12－1)(x 22－1)＝－1.(*)∵x 1，x 2∈[－1,1]，∴x 12－1≤0，x 22－1≤0. ∴(x 12－1)(x 22－1)≥0.此与(*)相矛盾，故假设不成立．(3)f ′(x )＝x 2－1，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x ∈(－∞，－1)或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，∴f (x )在[－1,1]上是减函数，且f (x )max ＝f (－1)＝23，f (x )min ＝f (1)＝－23. ∴在[－1,1]上，|f (x )|≤23， 于是x 1，x 2∈[－1,1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x 1)|＋|f (x 2)|≤23＋23＝43.。

阶段质量检测：导数及其应用(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 2．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上的极大值点为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π23．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．若函数()ln f x x a x=+不是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[)0,+∞B ．(],0-∞C ．(),0-∞D ．()0,+∞5．若e x ≥k ＋x 在R 上恒成立，则实数k 的取值范围为( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[－1，＋∞)6．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，103 B.⎣⎡⎭⎫2，103 C.⎝⎛⎭⎫103，174 D.⎝⎛⎭⎫2，174 7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67B.⎝⎛⎭⎫－85，－316C.⎝⎛⎭⎫－83，－116D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )9．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( ) A ．6千台 B ．7千台 C ．8千台D ．9千台10．.已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( )A.4f (1)<f (2)B.4f (1)>f (2)C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)11．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3 ·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.c >a >b12．若函数f (x )＝sin xx ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝21sin x x ，12sin b x x =，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．16．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17． (本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．18． (2021·百师联盟考试)设函数f (x )＝ln x ＋ax(a 为常数).(2)不等式f(x)≥1在x∈(0，1]上恒成立，求实数a的取值范围.19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．20．(本小题满分12分) (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝e x＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥12x3＋1，求a的取值范围.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax＋1(a∈R).(2)若函数f (x )的图象与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2.22． (本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．参考答案1.【解析】选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 2.答案：B3.【解析】选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4.【答案】C【解析】由题意知0x >,()1af x x'=+,要使函数()ln f x x a x =+不是单调函数,则需方程10ax+=在0x >上有解,即x a =-,所以0a <,故选C ． 5.解析：选A 由e x ≥k ＋x ，得k ≤e x －x . 令f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1. 当f ′(x )<0时，解得x <0，当f ′(x )>0时，解得x >0.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∴f (x )min ＝f (0)＝1. ∴实数k 的取值范围为(－∞，1]．故选A.6.解析：选D 因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点可化为f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解， 即a ＝x ＋1x 在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解，设t (x )＝x ＋1x ，则t ′(x )＝1－1x 2， 令t ′(x )>0，得1<x <4，令t ′(x )<0，得13<x <1.所以t (x )在(1,4)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减．所以t (x )min ＝t (1)＝2，又t ⎝⎛⎭⎫13＝103，t (4)＝174，所以a ∈⎝⎛⎭⎫2，174. 7.【解析】选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67. 故选D. 8.【解析】选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9.【解析】选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．10.答案 B【解析】设函数g (x )＝f （x ）x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′（x ）－2xf （x ）x 4＝xf ′（x ）－2f （x ）x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，因此g (1)>g (2)， 即f （1）12>f （2）22，所以4f (1)>f (2). 11.答案 D【解析】 设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，∴x <0时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减.由y ＝f (x )在R 上为奇函数， 知g (x )在R 上为偶函数，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴c ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319＝g (－2)＝g (2)，又0<log π3<1<30.3<3<2， ∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，即b <a <c .12.【解析】选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x－cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，由0<x 1<x 2<1得12211212sin sin ,sin sin x x x x x x x x >∴>,a >b ，故选A. 13.【解析】f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23. 答案：2314.【解析】 对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)x ，x >0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0，且f (1)＝－12＋a ≥1，所以a ≥32.答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 15.【解析】f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]16.【解析】f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x≥0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b .答案：c <a <b17.【解析】(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时， g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2. 18.【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2，当a ≤0时，又x >0，∴x －a >0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，∴f (x )单调递增； 若0<x <a ，则f ′(x )<0，∴f (x )单调递减.综上可知：当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a >0时，f (x )在区间(0，a )上是减函数，在区间(a ，＋∞)上是增函数. (2)f (x )≥1⇔a x ＋ln x ≥1⇔ax ≥－ln x ＋1⇔a ≥ －x ln x ＋x 对任意x ∈(0，1]恒成立. 令g (x )＝－x ln x ＋x ，x ∈(0，1].则g ′(x )＝－ln x －x ·1x ＋1＝－ln x ≥0，x ∈(0，1]， ∴g (x )在(0，1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝1， ∴a ≥1，故a 的取值范围为[1，＋∞).19.【解析】(1)由投资额为零时收益为零，可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)．设投入经销B 商品的资金为x 万元(0＜x ≤5)， 则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元，设所获得的收益为S (x )万元， 则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1)＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0＜x ≤5)．S ′(x )＝6x ＋1－2，令S ′(x )＝0，得x ＝2.当0＜x ＜2时，S ′(x )＞0，函数S (x )单调递增；当2＜x ≤5时，S ′(x )＜0，函数S (x )单调递减．所以当x ＝2时，函数S (x )取得最大值， S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时， 他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，x ∈R ，f ′(x )＝e x ＋2x －1.故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增. (2)由f (x )≥12x 3＋1得，e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0， ①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a ∈R .②当x >0时，分离参数a ，得a ≥－e x －12x 3－x －1x 2，记g (x )＝－e x －12x 3－x －1x 2，g ′(x )＝－（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12x 2－x －1x 3.令h (x )＝e x－12x 2－x －1(x >0)， 则h ′(x )＝e x －x －1，令H (x )＝e x －x －1，H ′(x )＝e x －1>0，故h ′(x )在(0，＋∞)上是增函数，因此h ′(x )>h ′(0)＝0，故函数h (x )在(0，＋∞)上递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x －12x 2－x －1>0恒成立，故当x ∈(0，2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e 24，综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞. 21.【解析】(1) 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋a ＝ax ＋1x .当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，f ′(x )>0，f (x )单调递增；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，f ′(x )<0，f (x )单调递减.综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减.(2)证明 由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不满足条件. 所以a <0，此时f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－ln(－a )，由已知得－ln(－a )＝0，故a ＝－1，此时f (x )＝ln x －x ＋1.不妨设0<x 1<x 2，则f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2等价于ln x 2x 1<x 2x 1－x 1x 2＋x 2－x 1，即证：ln x 2x 1－x 2x 1＋x 1x 2<x 2－x 1.令g (x )＝ln x －x ＋1x (x >1)，则g ′(x )＝1x －1－1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34x 2<0，故g (x )在(1，＋∞)单调递减，所以g (x )<g (1)＝0<x 2－x 1.所以对于任意互不相等的正实数x 1，x 2， 都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2成立.22.【解析】(1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a .函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点．φ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点，则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．。

单元综合测试三(第三章)时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0， 且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)， 即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)． 要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ， 即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)， 则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54， 又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。

导数及其应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．函数的单调递增区间是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】本题考查导数的运算和导数的应用:利用导数求单调区间.不等式的解法. 函数()3ln f x x x =+的定义域为(0,);+∞()ln 1f x x '=+，由不等式()ln 10f x x '=+> 解得1;x e >则函数()3ln f x x x =+的单调递增区间是1(,).e+∞故选C2．已知函数()3232f x x x mx m =-+--，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x >，则m 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由题意设()()()323,2g x x x h x m x -+=+，则()()2'3632g x x x x x =-+=--，()g x ∴在()(),0,2,-∞+∞递减，在()0,2上递增，且()()()32030,22324g g g ===-+⋅=，在一个坐标系中画出两个函数图象如图：存在唯一的正整数0x ，使得()00f x >，即()()00g x h x >∴由图得02x =，则()()()(){22 11m g h g h >>≤，即0{44 133m mm>>-+≤，解得21,3m m ≤<∴的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、导数的应用及不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.3．已知函数()f x 在R 上满足f(x)=2f(4-x)-2x 2+5x ，则曲线()y f x =在点(2,f(2) ) 处的切线方程是（ ）A ．y=-xB ．y x =C ．y=-x +4D ．y=-2x+2 【答案】A【解析】因为解：∵f（x ）=2f （4-x ）-2x 2+5x ， ∴f（4-x ）=2f （x ）-（4-x ）2+5（4-x ） ∴f（2-x ）=2f （x ）-x 2+8x+4-5x将f （4-x ）代入f （x ）=2f （4-x ）-2x 2+5x得f （x ），y=f （x ）在（2，f （2））处的切线斜率为y′=-1． ∴函数y=f （x ）在（2，f （2））处的切线方程为．y=-x 答案A4．已知函数f (x )=x 33+12ax 2+2bx +c 的两个极值分别为f (x 1)， f (x 2)，若x 1， x 2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b −2a 的取值范围是（ ）A ．(2,7)B ．(−4,−2)C ．(−5,−2)D ．(−∞,2)∪(7,+∞) 【答案】A 【解析】 【分析】先根据导函数的两个根的分布建立a 、b 的约束条件，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可． 【详解】 ∵函数f (x )=x 33+12ax 2+2bx +c∴f′(x)=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2，∵x1，x2分别在区间(0,1)与(1,2)内∴{f′(0)>0f′(2)>0 f′(1)<0⇒{b>0a+b+2>0 a+2b+1<0做出可行域如图所示，令z=b−2a，平移直线b=2a+z.经过点A(-1,0)时，z最小为：2；经过点B(-3,1)时，z最大为：7∴b−2a∈(2,7)，故选：A.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=−13x3+81x−286，则该生产厂家获取的最大年利润为（）A．300万元B．252万元C．200万元D．128万元【答案】C【解析】【分析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案.【详解】由题意，函数y=−13x3+81x−286，所以y′=−x2+81，当0<x<9时，y′>0，函数f(x)为单调递增函数；当x>9时，y′<0，函数f(x)为单调递减函数，所以当x=9时，y有最大值，此时最大值为200万元，故选C.本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6．函数f （x ）=（x +1）（x 2－x +1）的导数是 （ ） A ．x 2－x +1B ．（x +1）（2x －1）C ．3x 2D ．3x 2+1【答案】C 【解析】7．定义在[a,3]上的函数f(x)=e x −1e x−2x （a >0）满足，f(a +1)⩽f (2a 2)，则实数a 的取值集合是（ ） A ．(0,√62] B ．(1,√62) C ．[2√33,√62] D ．[1,√62] 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得到函数的单调性，将不等式转化为a +1≤2a 2≤3结合a >0，解得a 的范围. 【详解】函数f(x)=e x −1e x −2x （a >0）,对函数求导得到f ′(x )=e x +e −x −2≥2√e x ⋅e −x −2=0故函数在所给区间上是单调递增的，f(a +1)⩽f (2a 2)等价于a +1≤2a 2≤3 结合a >0，解得1≤a ≤√62故答案为：D. 【点睛】这个题目考查了导数在研究函数单调性中的应用，通过研究函数单调性将函数值的大小转化为自变量的大小关系，进而得到结果.8．已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )=e x (2x −2)+f (x )（e 是自然对数的底数），f (0)=1，若方程f (x )=k 有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞,0]B ．(0,4e ) C ．(4e ,+∞) D ．[e,+∞)【解析】分析：因为f′(x )=e x (2x −2)+f (x )，所以f′(x )e x −(e x )′f (x )e 2x=2x −2，从而有[f (x )e x]′=2x −2，也就是f (x )=e x (x 2−2x +c )，结合f (0)=1得到c =1，从而利用导数研究y =f (x )的图像后利用直线y =k 与其有两个不同的交点即可得到k 的取值范围． 详解：因为f′(x )=e x (2x −2)+f (x )，所以f′(x )e x −(e x )′f (x )e 2x=2x −2，也就是[f (x )e x]′=2x −2，从而f (x )=e x (x 2−2x +c )，又f (0)=1，故c =1．f′(x )=e x (x 2−1)， 当x ∈(−∞,−1)时，f′(x )>0，f (x )为增函数； 当x ∈(−1,1)时，f′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1,+∞)时，f′(x )>0，f (x )为增函数，所以当f (1)<k <f (−1)即0<k <4e 时，直线y =k 与y =f (x )的图像有三个不同的交点，即方程f (x )=k 有三个不同的解．故选B ．点睛：当函数及其导数满足等式关系时，我们需要根据关系式的形式构建新函数，使得它的导数就是前述的关系式．另外，方程的零点的个数的讨论可以转化为定函数的图像与水平动直线的位置关系讨论．9．已知曲线f(x)=lnx+x 2a 在点（1，f （1））处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣4 C ．﹣12 D ．﹣1【答案】D 【解析】分析：求导f′(x)=1x +2x a，利用函数f （x ）在x=1处的倾斜角为3π4得f′（1）=﹣1，由此可求a 的值. 详解: 函数f(x)=lnx +x 2a（x ＞0）的导数f′(x)=1x +2x a，∵函数f （x ）在x=1处的倾斜角为3π4∴f′（1）=﹣1， ∴1+2a =﹣1，∴a=﹣1． 故选：D ．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x 0,y 0)及斜率，其求法为：设P(x 0,y 0)是曲线y =f(x)上的一点，则以P 的切点的切线方程为：y −y 0=f′(x 0)(x −x 0)．若曲线y =f(x)在点P(x 0,f(x 0))的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x =x 0．10．已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时， ()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20fx af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，所以()()()888f x f x f x T =-=-⇒= ，因为关于x 的不等式()()20fx af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，所以关于x 的不等式()()20fx af x +>在0,4（）上有且只有2个整数解，因为()21ln2e 02x f x x x -==⇒=' ，所以()f x 在e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()2,e f x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，在e ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递减，且()3ln22,4e f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此()0f x >，只需()f x a >-在0,4（）上有且只有2个整数解，因为()()ln61ln233f f =>= ，所以ln3ln3ln2ln266a a >-≥⇒-<≤-，选C. 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 11．函数()y f x =的导函数()y f x ='的大致图象如下图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意函数y=f(x)的导函数的大致图象如图所示可得，导函数的符号为负，正，负，正；对应函数的单调性为：减函数，增函数，减函数，增函数。

高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷班级： 姓名： 座号： 成绩：一、选择题（共7个小题,每小题6分）1、一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( )A ．5米/秒B ．6米/秒C ．7米/秒D ．8米/秒2、函数()3f x x x =+的单调递增区间是 ( )A ．()0,+∞B ．(),1-∞C ．(),-∞+∞D ．()1,+∞3、已知()3232f x ax x =++且()14f '-=,则实数a 的值等于 ( )A ．193B ．163C ．133D ．1034、函数()()22f x x π=的导数是 ( )A ．()4f x x π'=B ．()24f x x π'=C ．()28f x x π'=D ．()16f x x π'=5、“函数()00f x '=”是“可导函数()f x 在点0x x =处取到极值”的 条件。

( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、设()0sin f x x =,()()10f x f x '=,()()21f x f x '=,,()()1n n f x f x +'=,n ∈N ,则()2005f x = ( )A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -二、填空题（共3个小题,每小题6分）8、曲线31y x x =++在点()1,3处的切线方程是 ．9、已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切,则a = ．10、三次函数()3f x ax x =+在(),-∞+∞内是增函数,则a 的取值范围是 ．三、解答题（共2个小题,每题20分）11、已知函数()32f x x ax bx c =+++,当1x =-时,取得极大值7；当3x =时,取得极小值．试求a 、b 、c 的值及这个极小值．12、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+>.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷参考答案1-5 ACDCB 6-7 AC 8. 410x y --= 9. 1410. 0a > 11、解：()32f x x ax bx c =+++,∴()232f x x ax b '=++由题意知,1-和3是方程2320x ax b ++=的两个实数根 ∴2133133a b ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩,解得：39a b =-⎧⎨=-⎩()17f -=∴()()()()3211319157f c c -=--⨯--⨯-+=+=∴2c =∴极小值()32333393225f =-⨯-⨯+=-12、（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩（Ⅱ）∵3()3(0)f x x ax b a =-+>,由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,当(x ∈时,()'0f x <,函数()f x 单调递减,当)x ∈+∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,∴此时x =()f x 的极大值点,x =()f x 的极小值点.知识改变命运。

精选文档《导数及其应用》单元检测题（文科）一、选择题（此题共12题，每题4分,共48分）1 .一个物体的运动方程为S=1+t+t2此中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的刹时速度是（A）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒2若f(x)sin cosx,则f'()等于（A）A sinB cosC sin cos D2sin3．曲线f(x)=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（C）A (1,0)B(2,8)C(1,0)和(1,4)D(2,8)和(1,4)4.函数f(x)2x2lnx的递加区间是（C）A.(0,1)B.(1,0)及(1,)C.(1,)D.(,1)及(0,1)2222225.f'(x)0(x (a,b))是可导函数y=f(x)在区间(a,b)内单一递加的(B)A．充足不用要条件B ．必需不充足条件C．充要条件D．非充足非必需条件6.函数y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有（C）A 极大值5，极小值27B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值7 .函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是（a）A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-168.设函数f x的导函数为f x，且f x x22x f1，则f0等于(B)A、0B、4C、2D、29 .已知函数f(x)x3ax2x1在(,)上是单一函数,则实数的取值范围是（B）A(,3][3,)B[3,3]C(,3)(3,)D(3,3)10.已知函数y f(x)的导函数y f(x)的图像以下，则y（A）A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点????C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点x2x3O x4xx1D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点11．函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10,则点(a,b)为（B）A．(3,3)B．(4,11)C．(3,3)或(4,11)D．不存在12．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，此中必定不正确的序号是（C）A．①、②B．①、③C．③、④D．①、④二、填空题（此题共4个题，每题4分，共16分）13.（1）(sinx)=（2）(e x lnx)=x14.已知函数y f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y 1x2，则2f(1) f(1)．15.若直线y b与函数f x1x34x4的图象有3个交点，则b的取值范围316.已知函数y1x3x2ax5在[1,)上老是单一函数，则a的取值范围.3精选文档精选文档三、解答题（此题共5个答题，此中17,18每题10分，19,20,21每题12分，共56分）20．设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时获得极值．17．求以下直线的方程：、（1）求ab的值；（1）曲线yx3x21在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx2过点P(3,5)的切线；（2）若关于随意的x[0，3]，都有f(x)c2建立，求c的取值范围．18、设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，(1)试求a、b的值;(2)求出f（x）的单一区间.21、已知函数1af(x)lnxax1(aR)x（1）当a1时，求曲线y f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（2）当a 1时，议论f(x)的单一性. 219、某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价钱p(元/t)之间的关系式为:p=24200－12?最大5x,且生产xt的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每个月生产多少吨才能使收益达到最大收益是多少?(收益=收入－成本)精选文档精选文档《导数及其应用》单元检测题（文科）答案一、选择题（此题共 12题，每题 4分,共48分） 1-5 AACCB6-10 CABBA 11-12BC二、填空题（此题共 4个题，每题 4分，共16分）xcosxsinx14.315.( 4 28)16.[1,)13.x23 ,3三、解答题（此题共5个答题，此中17,18 每题10分，19,20,21 每题12分，共 56分）17、解：（1）点P(1,1)在曲线yx 3x 21上，y /3x22xky /|－1 3－2 1x所以切线方程为 y 1x1，即x y 2 0（2）明显点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x ,y )则 y 0 x 0 20 0①又函数的导数为 y /2x ，所以过 A(x 0,y 0) 点的切线的斜率为k y /|x x 0 2x 0 ，2x 0y 0 5又切线过A(x 0,y 0)、P(3,5)点，所以有x 03②，x 0 1或 x 0 5由①②联立方程组得，y 01 y 0 25 ，即切点为（1，1）时，切线斜率为 k 1 2x 0 2;；当切点为（5，25）时，切线斜率为 k 22x 0 10；所以所求的切线有两条，方程分别为y 1 2(x1)或y2510(x 5)，即y2x1或y 10x2518.解：(1)f （x ）=3x 2－6ax+2b ，由题意知3 126a 1 2b 0,36a 2b 0,1312即 23a 2b 0.3a 2b 11,解之得a=1，b=－1.经查验知切合题意 2）由（1）知f （x ）=x 3－x 2－x ，f （x ）=3x 2－2x －1=3（x+1）（x －1）.3当f （x ）>0时，x>1或x<－1，当f （x ）<0时，－1<x<1.33∴函数f （x ）的单一增区间为（－∞，－1）和（1，+∞），减区间为（－1，1）.33精选文档1219、解:每个月生产x 吨时的收益为f(x)=(24200－x)x －(50000+200x)51 3=－x+24000x －50000(x ≥0).5由f ′(x)=－3x 2+24000=0,解得x 1=200,x 2=－200(舍去).5f(x)在［0,+∞)内只有一个点x 1=200使f ′(x)=0,∴它就是最大值点 .f(x)的最大值为 f(200)=3150000(元).∴每个月生产200t 才能使收益达到最大,最大收益是 315万元.20.解：（1）f(x)6x 26ax 3b ，因为函数f(x)在x 1及x 2 获得极值，则f(1)0，f(2)0．6 6a 3b，解得a3，b 4．即24 12a 3b ．经查验知切合题意（2）由（1）可知，f(x)2x 3 9x 212x8c ，f(x)6x 2 18x 12 6(x 1)(x 2)．令f'(x) 0得x 1或x 2由f'(x)0得x 1或x 2 ；由f '(x)0得1x 2当x 在[0,3]变化时，f '(x),f(x)的变化状况以下表：x0 （0,1）1 (1,2)2 (2,3) 3f'(x)＋ 0－＋f(x)8c↗5 8c ↘4 8c↗98c则当x0，3 时，f(x)的最小值为f(0) 8c ．因为关于随意的x 0，3 ，有f(x)c 2恒建立，所以8c c 2，解得0c821.【命题立意】此题主要考察导数的观点、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力 .考察分精选文档类议论思想、数形联合思想和等价变换思想.【思路点拨】(1)依据导数的几何意义求出曲线y f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系议论函数的单一性,同时应注意分类标准的选择.【规范解答】（1）当a1时，f(x)lnxx 2(0,x2x2 1,x),所以fx2x x所以，f21,即曲线yf(x)在点（2，f(2))处的切线斜率为1，.又f(2)ln22,所以曲线y f(x)在点（2，f(2))处的切线方程为y(ln22)x2,即x y ln20.（2）因为f(x)1a,所以f'(x)1a1ax2x1alnxax1x a2x2x(0,),x x令g(x)ax2x1a,x(0,),（1）（2）当a0时，g(x)x1,x0,,所以当x0,1时，g x>0，此时f x0，函数f x单一递减；当x1,时，gx<0，此时fx0，函数f x单一递加.（3）当a0时，由f x0，即ax2x1a0，解得x11,x211.a①当a 1x2，gx0恒建立，此时fx0，函数f x在（0，+∞）上单一递减;时，x12②当0a110，时，112ax0,1时，gx0,此时f x0,函数f x单一递减x1,11时，gx<0,此时fx0,函数fx单一递加ax11,时，g x0，此时f x0，函数fx单一递减a③当a0时，因为110,ax0,1时，g x0,此时f x0,函数f x单一递减：x1,时，g x<0,此时f x0,函数f x单一递加.综上所述：当a0时，函数f x在0,1上单一递减;函数f x在1,上单一递加当a1时,函数f x在0,上单一递减2当0a1时，函数f x在0,1上单一递减；函数fx在1,11上单一递加；2a函数f x在11,上单一递减.a【方法技巧】1、分类议论的原由某些观点、性质、法例、公式分类定义或分类给出；(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数仍是负数等；含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不一样而致使结果发生改变；在研究几何问题时，因为图形的变化(图形地点不确立或形状不确立)，惹起问题的结果有多种可能.2、分类议论的原则要有明确的分类标准；对议论对象分类时要不重复、不遗漏；精选文档精选文档(3)当议论的对象不只一种时，应分层次进行. 3、分类议论的一般步骤明确议论对象，确立对象的范围；确立一致的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；(1)逐段逐类议论，获取阶段性结果；(2)概括总结，得出结论.精选文档。

高中数学选修2第五章一、单选题1．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V （单位：L ）与直径d （单位：dm ）的关系式为V =πd 36，当d =2dm 时，气球体积的瞬时变化率为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π42．若点P 是曲线y =lnx ―x 2上任意一点，则点P 到直线l ：x +y ―6=0的距离的最小值为( )A ．22B ．32C ．522D ．9223．函数f (x )=13a x 3+12a x 2―2ax +2a +1的图象经过四个象限的一个充分必要条件是( )A ．―43<a <―13B ．―1<a <―12C ．―2<a <0D ．―65<a <―3164．根据公式sin3α=3sin α―4sin 3α，sin10°的值所在的区间是（ ）A ．(17,16)B ．(16,15)C ．(15,14)D ．(14,13)5．已知函数f (x )=ax +ln a ，g (x )=x +e x ―ln x ，若关于x 的不等式f (x )>g (x )在区间(0，+∞)内有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(e ，e 2]B ．(e ，e 22]C ．(e 2，e 3]D ．(e 22，e 33]6．设函数 f (x )=e xx―t (ln x +x +2x ) 恰有两个极值点，则实数 t 的取值范围是（ ）A ．(―∞，12]B ．(12，+∞)C ．(12，e 3)∪(e3，+∞)D ．(―∞，12]∪(e3，+∞)7．已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数， f (―1)=0 ，当 x <0 时， x f ′(x )+f (x )<0 ，则使得 f (x)>0 成立的 x 的取值范围是（ ） A ．(―∞，―1)∪(0，1)B ．(―1，0)∪(1，+∞)C ．(―∞，―1)∪(―1，0)D ．(0，1)∪(1，+∞)8．函数 f (x )=|x |ex ，方程 [f (x )]2―(m +1)f (x )+1―m =0 有4个不相等实根，则 m 的取值范围是（ ）A ．(e 2―e e 2+e，1)B ．(e 2―e +1e 2+e ，+∞)C ．(e 2―e +1e 2+e ，1)D ．(e 2―e e 2+e，+∞)二、多选题9．对任意的x∈R，函数f(x)=x3＋ax2+7ax不存在极值点的充分不必要条件是（ ）A．0≤a≤21B．1≤a≤20C．a<0D．a=21 10．已知函数f(x)=e xx2―x+1，则下列结论正确的是（ ）A．函数f(x)存在极大值和极小值B．函数f(x)不存在最小值与最大值C．当x∈[0，3]时，函数f(x)最大值为eD．当x∈[12，e]时，函数f(x)最小值为e2311．已知函数f(x)=14x 4+12a x2+ax，则下面说法正确的是（ ）A．存在实数a，使f(x)有最小值且最小值小于0B．对任意实数a，f(x)有最小值且最小值不小于0C．存在正实数a和实数x0，使f(x)在(―∞，x0)上递减，在(x0，+∞)上递增D．对任意负实数a，存在实数x0，使f(x)在(―∞，x0)上递减，在(x0，+∞)上递增12．若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）若f(x)={x3e x,x≥0ax2,x<0恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ）A．0B．―12018C．―1eD．―12021三、填空题13．函数f(x)=12x―x3在区间[―3，3]的最小值是 .14．设曲线y=e ax+sine在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= ．15．关于x的方程kx―lnxx =2在区间[1e,e]上有两个实根，则实数k的最小值是 .16．已知函数f(x)=x3―a e x，若函数f(x)有三个极值点x1,x2,x3(x1<x2<x3)，若x3≥3x2，则实数a的取值范围是 .四、解答题17．求下列函数的导数：（1）f(x)=(1+sin x)(1―4x)；（2）f(x)=xx+1―2x.18．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．（1）求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．19．已知函数f (x )=x 3+a x 2+x (a ∈R )（1）若函数f (x )存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）若f (x )≥xlnx +x 在(0，+∞)恒成立，求a 的最小值.20．设f n （x ）=x+x 2+…+x n ﹣1，x≥0，n ∈N ，n≥2．（Ⅰ）求f n ′（2）；（Ⅱ）证明：f n （x ）在（0，23）内有且仅有一个零点（记为a n ），且0＜a n ﹣12＜13（23）n ．21．已知函数f （x ）=lnx+a （x 2﹣3x+2），其中a 为参数．（1）当a=0时，求函数f （x ）在x=1处的切线方程； （2）讨论函数f （x ）极值点的个数，并说明理由；（3）若对任意x ∈[1，+∞），f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围．22．设函数 f (x )=1x ―eex ,g (x )=a (x 2―1)―lnx （ a ∈R ， e 为自然对数的底数）.（1）证明：当 x >1 时， f (x )>0 ； （2）讨论 g (x ) 的单调性；（3）若不等式 f (x )<g (x ) 对 x ∈(1,+∞) 恒成立，求实数 a 的取值范围.参考答案1．A2．B解：已知函数y=lnx―x2，可得y′=1x―2x,(x>0)，直线l:x+y―6=0的斜率为-1，令y′=―1,即1x―2x=―1，可得(x―1)(2x+1)=0，因为x>0，可得x=1，则y=―1，即平行于直线l:x+y―6=0且与曲线y=lnx―x2相切的切点坐标为P(1,―1)，由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为d=|1―1―6|2=32.3．D。