导数及其应用单元测试题

一、选择题1．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）A ．0B ．2C ．2019D ．20202．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（ ）A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为1653．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞4．已知()1()2ln 0f x a x x a x ⎛⎫-⎪⎝⎭=->在[1)+∞，上为单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．[0)+∞，B ．(0)+∞，C ．(1)+∞，D ．[1)+∞， 5．已知函数f (x )(x ∈R )满足(1)1f =，且()f x 的导数f ′(x )>12，则不等式1()22x f x <+的解集（ ） A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－1，1)6．已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，若()01f =，则不等式()xf x e >的解集为（ ）A ．()01，B ．()1+∞， C ．()1-∞， D ．()0-∞，8．函数()262xf x x x e =-+的极值点所在的区间为（ ） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,1--9．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤10．函数()ln 22f x x x x a =-++，若()f x 与()()f f x 有相同的值域，则a 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞B ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞11．已知函数2()sin cos f x x x x x =++，则不等式1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<的解集为（ ） A ．(,)e +∞B ．(0,)eC ．1(,)e eD ．1(0,)(1,)e e12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>，则（ ） A ．()()21ln 2f f -< B ．()()21ln 2f f -> C ．()()211f f -<D ．()()211f f ->二、填空题13．已知曲线()32351f x x x x =+-+，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，则点P 的横坐标为______________.14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()xf x f x '<，若()10f =，则不等式()0f x x>的解集为________. 15．已知函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是_____________．16．函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则+a b 的值为________． 17．已知曲线x xy e=在1x x =处的切线为1l ，曲线ln y x =在2x x =处的切线为2l ，且12l l ⊥，则21x x -的取值范围是_________.18．已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，那么此函数在[]22-,上的最大值为______.19．已知函数()sin f x x x =+，若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为______________. 20．已知函数f (x )＝ln x －f ′ (12)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________． 三、解答题21．已知函数321()12f x x x ax =-++． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求函数()f x 在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．22．已知函数2()ln f x x x =-，()g x kx =． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若()g x 是()f x 的切线，求实数k 的值；（3）若()f x 与()g x 的图象有两个不同交点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，求证：121x x >． 23．已知函数311()ln 62f x x x x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程； （2）若()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，求a 的最小值. 24．已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.25．已知集合M 是同时满足下列两个性质的函数()f x 的全体①函数()f x 在其定义域上是单调函数；②()f x 的定义域内存在区间[]a b ，，使得()f x 在[]a b ，上的值域为22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．（1）判断()3g x x =是否属于M ，若是，求出所有满足②的区间[]a b ，，若不是，说明理由；（2）若()h x t M =∈，求实数t 的取值范围．26．已知a ∈R ，函数()2ln f x x a x =-. （1）若有极小值0，求a 的值；（2）若存在1x 、()20,1x ∈，使得不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+， 所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.2．D解析：D 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线22260x y ln +--=上，则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出d 的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M 的最小值，并可求出此时对应的2x 从而得解． 【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线24220x y ln +--=上，221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方．由2y lnx x =-+，得11y x'=-，与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12k =-．令1112x -=-，得2x =，则切点坐标为(2,2)ln ， 切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=的距离d == 即221212()()M x x y y =-+-的最小值为165． 又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-，即2420x y ln --+=，联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩，解得145x =，即当M 最小时，2145x =． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．3．D解析：D 【分析】 根据条件()()12122f x f x x x ->-可变形为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，构造函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-，利用其为增函数即可求解. 【详解】根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-， 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数，所以()()'200,0ag x x x a x=+-≥>>恒成立， 分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1， 故1a ≥. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题由条件()()12122f x f x x x ->-恒成立，转化为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-恒成立是解题的关键，再根据此式知函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题. 4．D解析：D 【分析】首先求导，由题意转化为在[1,)x ∈+∞，220ax x a -+≥恒成立，即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立.再利用基本不等式求出221xx +的最大值即可. 【详解】222()ax x af x x-+'=，(0)a > 因为()f x 在[1,)+∞上为单调递增，等价于220ax x a -+≥恒成立. 即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立. 因为222111x x x x x x=≤=++，当1x =时，取“=”， 所以1a ≥，即a 的范围为[1,)+∞.故选：D 【点睛】本题主要考查利用导数的单调区间求参数的问题，同时考查了学生的转化思想，属于中档题.5．A解析：A 【分析】 根据f ′(x )>12，构造函数 ()()122x g x f x =-- ，又()()1111022=--=g f ，然后将不等式1()22x f x <+，转化为1()022--<x f x ，利用单调性的定义求解. 【详解】 因为f ′(x )>12，所以()102f x '-> 所以()()()()()110222x g x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增， 又()()1111022=--=g f ， 所以不等式1()22x f x <+，即为1()022--<x f x ， 即为：()()1g x g <， 所以1x <， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】利用函数的定义域和函数的值域排除BD ，通过函数的单调性排除C ，推出结果即可. 【详解】令()ln 1g x x x =--，则11()1x g x x x-'=-=， 由()0g x '>得1x >，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增， 由()0g x '<得01x <<，即函数()g x 在(0,1)上单调递减， 所以当1x =时，()()min 10g x g ==， 于是对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，有()0g x >，则()0f x >，故排除BD ，因为函数()g x 在()0,1单调递减，则函数()f x 在()0,1递增，故排除C. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数对函数图象辨别，属于中档题.7．D解析：D 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，用导数法得到()g x 在R 上递减，然后由()01f =，得到()01g =，再利用函数的单调性定义求解.【详解】令()()x f x g x e=，因为()()f x f x '<， 则()()()0xf x f xg x e'-'=<， 所以()g x 在R 上递减， 又()01f =，则()01g =， 不等式()xf x e >等价于()()10xf xg e>= ， 所以0x <. 故选：D 【点睛】本题主要考查函导数与函数的单调性以及函数单调性解不等式，还考查了构造函数求解问题的能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】求出函数的导数，根据函数的零点判定定理求出函数的极值点的区间即可. 【详解】()262x f x x e '=-+，且()f x '为单调函数，∴()12620f e '=-+>，()0620f '=-+<， 由()()010f f ''<，故()f x 的极值点所在的区间为()0,1， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的应用，函数的极值点的意义，考查转化思想，属于中档题.9．D解析：D 【分析】求出函数的导数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，即可得结果 【详解】 解：由()32114332f x x mx x =-+-，得'2()4f x x mx =-+， 因为函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数， 所以240x mx -+≥在[]1,2上恒成立，得4m x x≤+恒成立因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号，所以4m ≤， 故选：D 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数最值的求值，考查基本不等式应用，考查转化思想，属于中档题10．B解析：B 【分析】判断()f x 的单调性，求出()f x 的值域，根据()y f x =与(())y f f x =有相同的值域得出()f x 的最小值与极小值点的关系，得出a 的范围．【详解】()f x lnx '=，故而当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()f x ∴的最小值为()121f a =+，且x →+∞时，()f x →+∞即()f x 的值域为[)21,a ++∞，函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，且()f x 的定义域为(0,)+∞，0211a ∴<+≤，解得：102-<≤a ．故选：B 【点睛】本题考查了导数研究函数的单调性，考查函数最值的计算，属于中档题．11．C解析：C 【分析】先判断出()f x 为R 上的偶函数，再利用当0x >时，()'0f x >得到函数的单调性，从而可解原不等式. 【详解】因为()()()()22()sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，所以()f x 为R上的偶函数，又1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<等价于(ln )(ln )2(1)0f x f x f +--<即：(ln )(1)f x f <，()'()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+为增函数，故(ln )(1)f x f <等价于ln 1x <即1ln 1x -<<即1x e e <<，故不等式的解集为1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,，故选C.【点睛】对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x fx f x ==-，对于奇函数()g x ，其单调性在两侧是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．12．B解析：B 【解析】分析：根据题意，由()1xf x '>可得()()'1f x lnx x='>，构造函数()()g x f x lnx =-，可得()()()110xf x g x f x x x-=-=''>'，故()g x 单调递增，根据单调性可得结论．详解：令()(),0g x f x lnx x =->，∴()()()11xf x g x f x x x=''-'-=，∵()1xf x '>， ∴()0g x '>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ∴()()21g g >，即()()2211f ln f ln ->-， ∴()()21ln2f f ->． 故选B ．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．二、填空题13．0或或【分析】设切点的坐标由求出切线方程把代入切线方程可求得切点坐标【详解】设的坐标为过点的切线方程为代入点的坐标有整理为解得或或故答案为：0或或【点睛】本题考查导数的几何意义求函数图象的切线方程要解析：0或1-或53【分析】设切点P 的坐标，由P 求出切线方程，把(1,0)代入切线方程可求得切点坐标． 【详解】设P 的坐标为()32,351m m m m +-+，2()9101f x x x +'=-，过点P 的切线方程为()()3223519101()m m m m x y m m +-+=+---，代入点()1,0的坐标有()()()32235191011mm m mm m --+-+=+--，整理为323250m m m --=，解得0m =或1m =-或53m =， 故答案为：0或1-或53. 【点睛】本题考查导数的几何意义．求函数图象的切线方程要分两种情况：（1）函数()y f x =图象在点00(,)P x y 处的切线方程，求出导函数，得出切线方程000()()y y f x x x '-=-；（2）函数()y f x =图象过点00(,)P x y 处的切线方程：设切线坐标11(,)x y ，求出切线方程为111()()y y f x x x '-=-，代入00(,)x y 求得11,x y ，从而得切线方程．14．【分析】令对其求导由时可知从而在上单调递减由的奇偶性可得是定义域上的偶函数从而可得出在上的单调性再结合可求出的解集【详解】由题意令则因为时则故在上单调递减又是定义在上的奇函数所以所以即是上的偶函数根 解析：()()1,00,1-【分析】 令()()f xg x x=，对其求导，由0x >时，()()xf x f x '<，可知()0g x '<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减，由()f x 的奇偶性，可得()g x 是定义域上的偶函数，从而可得出()g x 在(),0-∞上的单调性，再结合()()110g g -==，可求出()0g x >的解集.【详解】 由题意，令()()f x g x x =，则()()()2xf x f x g x x'-'=， 因为0x >时，()()xf x f x '<，则()()()20xf x f x g x x'-'=<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知()g x 在(),0-∞上单调递增，且()()()11101f g g -===，所以()()1,00,1x ∈-时，()0g x >.故答案为：()()1,00,1-.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数()()f xg x x=，求导并结合当0x >时，()()xf x f x '<，可求出函数()g x 在()0,∞+上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出()g x 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．15．【分析】根据题意将问题转化为以在区间上恒成立再分类讨论即可得答案【详解】解：因为函数在上单调递增所以在区间上恒成立当时显然在区间上恒成立当时因为在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以 解析：()[),01,-∞+∞【分析】根据题意将问题转化为以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，再分类讨论即可得答案. 【详解】解：因为函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增， 所以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 当0a <时，显然()22211'10ax f x ax ax -=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 当0a >时，因为()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 所以210ax -≥在区间(),1-∞-上恒成立， 所以21≥a x 在区间(),1-∞-上恒成立， 所以2max11a x ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭ 综上实数a 的取值范围是()[),01,-∞+∞故答案为：()[),01,-∞+∞【点睛】本题考查根据函数在区间上单调求参数范围问题，考查化归转化思想与数学运算能力，是中档题.16．【分析】先根据极值列方程组解得值再代入验证即可确定结果【详解】解∵函数∴又∵函数当时有极值10∴∴或当时有不等的实根满足题意；当时有两个相等的实根不满足题意；∴【点睛】本题考查根据极值求参数考查基本 解析：7a b +=【分析】先根据极值列方程组解得a b ，值，再代入验证，即可确定结果. 【详解】解∵函数322()f x x ax bx a =--+∴2()32f x x ax b '=--，又∵函数322()f x x ax bx a =--+，当1x =时有极值10，∴2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，∴411a b =-⎧⎨=⎩或33a b =⎧⎨=-⎩当411a b =-⎧⎨=⎩时，2()32(1)(311)0f x x ax b x x '=--=-+=有不等的实根满足题意； 当33a b =⎧⎨=-⎩时，22()323(1)0f x x ax b x '=--=-=有两个相等的实根，不满足题意； ∴7a b += 【点睛】本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.17．【分析】由求导根据得到由得到而然后令用导数法求解【详解】令则所以因为故所以因为故又令则当时为减函数故所以在上恒成立故在上为减函数所以即因此的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义导数 解析：(),1-∞-【分析】由()xx f x e =，()ln g x x =，求导，根据12l l ⊥，得到1121x x x e -=，由20x >，得到11x >.而112111x x x x x e --=-，然后令()1,1x x h x x x e-=->，用导数法求解.【详解】令()x x f x e =，()ln g x x =，则()1x xf x e -'=，()1g x x'=，所以1111x x k e -=，221k x =， 因为12l l ⊥，故112111x x e x -⨯=-，所以1121x x x e -=， 因为20x >，故11x >.又112111x x x x x e --=-，令()1,1x x h x x x e -=->，则()221xx xx x e h x e e---=-='， 当()1,x ∈+∞时，2xy x e =--为减函数，故12210x x e e --<--<，所以()0h x '<在()1,+∞上恒成立， 故()h x 在()1,+∞上为减函数，所以()()11h x h <=-，即211x x -<-. 因此，21x x -的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．43【分析】先求导数判断函数单调性和极值结合（为常数）在上有最小值3求出的值再根据单调性和极值求出函数的最大值【详解】令解得或当时单调递减当时单调递增当时单调递减所以在时有极小值也是上的最小值即函数解析：43. 【分析】先求导数，判断函数单调性和极值，结合32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，求出m 的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值. 【详解】32()26f x x x m =-++， 2()6126(2)f x x x x x '∴=-+=--,令 ()0f x '=，解得 0x =或2x =，当20x -<<时，()0,()f x f x '<单调递减，当02x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，当2x >时，()0,()f x f x '<单调递减，所以()f x 在0x =时有极小值，也是[]22-,上的最小值， 即(0)3f m ==，函数在[]22-,上的最大值在2x =-或2x =时取得， 3232(2)2(2)6(2)343;(2)2262311f f -=-⨯-+⨯-+==-⨯+⨯+=，∴函数在[]22-,上的最大值为43.故答案为：43 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题.19．1【分析】由知为奇函数求导分析为增函数故利用可以算得的关系再利用基本不等式的方法求的最小值即可【详解】故为奇函数又所以为增函数又故所以当且仅当时取得最小值1故答案为1【点睛】本题主要考查函数的奇偶性解析：1 【分析】由()sin f x x x =+知()f x 为奇函数,求导分析()f x 为增函数,故利用()()490f a f b +-=可以算得,a b 的关系,再利用基本不等式的方法求11a b+的最小值即可. 【详解】()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-,故()f x 为奇函数,又()'1cos 0f x x =+≥,所以()f x 为增函数.又()()()()()490,499f a f b f a f b f b +-==--=-, 故49,49a b a b =-+=,所以()11111144599b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1519⎛≥+= ⎝,当且仅当4b aa b =时取得最小值1. 故答案为1 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.20．-1【分析】根据题意由函数f （x ）的解析式对其求导可得在其中令可得再令即可解可得f′（1）的值【详解】根据题意函数f(x)＝lnx －f′()x2＋3x －4其导数令令则即答案为-1【点睛】本题考查导数解析：-1 【分析】根据题意，由函数f （x ）的解析式对其求导可得112'32f x xf x '=-+（）（） ，在其中令12x =可得12f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，再令1x =即可解可得f′（1）的值， 【详解】根据题意，函数f (x )＝ln x －f ′ (12)x 2＋3x －4， 其导数112'32f x xf x '=-+（）（），令12x =，1111152'3,,1222222f f f '=-⨯⨯+∴'=（）（）（） 令1x =，则15213 1.12f x '=-⨯⨯+=-（） 即答案为-1. 【点睛】本题考查导数的计算，注意12f ⎛⎫'⎪⎝⎭为常数． 三、解答题21．（1）210x y -+=；（2）4927． 【分析】（1）当2a =时，求得函数的导数2()32f x x x '=-+，得到(0)2f '=，即可求解曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）由函数在1x =处有极小值，求得2a =-，得到2()32f x x x '=--，根据导数的符号，求得函数的单调性，进而求得函数的最大值，得到答案. 【详解】（1）当2a =时，函数321()212f x x x x =-++， 可得2()32f x x x '=-+，可得(0)2f '=又由()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程12(0)y x -=-，即210x y -+=.（2）由321()12f x x x ax =-++，可得2()3f x x x a '=-+， 因为函数在1x =处有极小值，可得(1)20f a '=+=，解得2a =-，此时321()212f x x x x =--+，且2()32f x x x '=--， 令()0f x '=，即2320x x --=，解得23x =-或1x =， 当23x <-或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当213x -<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 在23(2,),(1,)32--上单调递增，在区间2(,1)3-上单调递减，所以()11,(2)52f f =--=-， 因为24931(),()32724f f -==， 所以函数()f x 的最大值为249()327f -=. 【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 22．（1）11ln 222+；（2）1；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出其单调性，即可得出函数()f x 的最小值；（2）利用导数的几何意义得出切线方程20000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，再由2000012,1ln 0x k x x x -=-+-=求出k 的值； （3）将22111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加相减化简得出2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=-，令211x t x =>，构造函数2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，利用单调性证明2(1)ln 1t t t ->+，从而得出1212ln 22x x x x +>，再由令()ln 2G x x x =+的单调性得出12()(1)G x x G >，从而得出121x x >. 【详解】解：（1）∵2()ln f x x x =-，∴2121()2(0)x f x x x x x-'=-=>当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x在2⎛ ⎝⎭上单调递减；当,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，∴()f x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 故函数()f x的最小值为211ln ln 222222f ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）若()g x 是()f x 的切线，设切点为00(,())x f x 则过点00(,())x f x 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+即20000012()ln y x x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即20000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭ 由题意知2000012,1ln 0x k x x x -=-+-= 令2()1ln (0)h x x x x =-+->，则0x >时，1()20h x x x'=--< ∴2()1ln h x x x =-+-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =∴2001ln 0x x -+-=有唯一的实根01x =，则0012211k x x =-=-=． （3）由题意知22111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加得22121212ln ()x x x x k x x +-=+两式相减得22221211ln ()x x x k x x x --=-，即212121ln x x x x k x x +-=-∴22211212211221ln ln ()x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪+-=+-+-⎪ ⎪⎝⎭，即2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=- 不妨令120x x <<，记211x t x =>，则2121212211ln 2ln x x xx x x x x x x ++==-1ln 1t t t +- 令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+∴2l ())1n 1(t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+ ∴2(1)ln 1t t t ->+，因而1212ln 2x x x x +=112(1)ln 2111t t t t t t t ++->⋅=--+ 令()ln 2G x x x =+，则0x >时，1()20G x x'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增∵121212()ln 22(1)G x x x x x x G =+>=，∴121x x >． 【点睛】在处理极值点偏移问题时，关键是构造新函数，结合单调性解决极值点偏移问题. 23．（1）23y =；（2）31162e e -. 【分析】 （1）求导211'()ln 22f x x x =--，再分别求得(1)f ，'(1)f ，用点斜式写出切线方程.（2）根据()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，则()max a f x >，再利用导数求解()max f x 即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得211'()ln 22f x x x =--，且2(1)3f =. 所以'(1)0f =.所以曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为23y =. （2）设()'()g x f x =，（1x e e<<） 则211'()x g x x x x-=-=. 令'()0g x =得1x =.当x 变化时，'()g x 符号变化如下表：x 1(,1)e1 (1,)e '()g x-+()g x极小则，即，当且仅当时，所以()f x 在1(,)e e上单调递增. 又311()62f e e e =-， 因为()f x a <对1(,)x e e∈恒成立， 所以31162a e e ≥-， 所以a 的最小值为为31162e e -. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<；24．（1）54a =；（2）单调递减区间是()0,5，单调递增区间是()5,+∞. 【分析】（1）求导，使()12f '=-求解a 的值；（2）将（1）中所求a 的值代入，求解()0f x '>和()0f x '<的区间，从而得出函数()f x 的单调区间.【详解】（1）对()f x 求导得()2114a f x x x=--'， 由()f x 在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =， 知()3124f a '=--=-，解得54a =. （2）由（1）知()()53ln 0442x f x x x x =+-->，则()22454x x f x x'--=， 令()0f x '=，解得1x =-或5x =，因为1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，所以舍去.当()0,5x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,5内单调递减；当()5,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()5,+∞内单调递增.故()f x 的单调递减区间是(0，5)，单调递增区间是()5,+∞.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求解，难度一般.25．(1) ()g x 属于M ，且满足②的区间[a ，b ]为00⎡⎤⎡⎡⎢⎥⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， ; (2) 102⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【分析】（1）可以看出()g x 为增函数，满足条件①，而方程32x x =有三个不同的解，从而满足条件②，从而说明()g x 属于M ，且可写出所有满足②的区间[a ，b ]；（2）()h x 属于M 2x t =至少有两个不同的实数根，从而得到12x x t -=-，两边平方并整理可得()221104x t x t -+++= 从而20t∆=>，得到t ＞0，而02x t -≥即2x t ≤恒成立，且1≥x ，从而又得到12t ≤，这样便可得出实数t 的取值范围．【详解】 （1）()3g x x =在R 上为增函数，满足性质①； 解32x x =得，x ＝0，或2x =± ； ∴()g x 属于M ，且满足②的区间[a ，b ]为2222002222⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，，，，； （2）()1h x x t =-+在定义域内单调递增，满足①；∵h （x ）∈M ；∴h （x ）满足②；则方程12x x t -=-少有两个解； 即函数1y x =-与函数2x y t =-的图象有两个不同的交点. 如图当直线2x y t =-过点()1,0时，12t = 设直线2x y t =-与曲线1y x =-相切于点()00,A x y 由函数1y x =-的导函数为21'=-y x 所以01221k x ==-，所以02x =，则()2,1A 由()2,1A 在直线2x y t =-上，解得0t = 根据图象可得函数1y x =-与函数2x y t =-的图象有两个不同的交点，得102t <≤∴实数t 的取值范围为102⎛⎤ ⎥⎝⎦，．【点睛】考查函数单调性的定义，函数值域的定义，()f x 满足性质②便说明方程()2x f x =至少有两个不同解，即函数y =2x y t =-的图象有两个不同的交点，数形结合可得出答案,属于中档题.26．（1）2a e =；（2）(),2-∞.【分析】（1）求导，分类讨论得出()f x 的单调性及极值，让极小值为0，求出a 的值； （2）只需使函数()2ln f x x a x =-在()0,1x ∈上存在单调递增区间，然后求解a 的取值范围.【详解】解：（1）()f x 的定义域是()0,∞+，()22a x a f x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，无极小值；当0a >时，令()0f x '<，解得02a x <<；令()0f x '>，解得2a x >， 则()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增， 故()f x 有极小值ln 022a a f a a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， ∴1ln 02a -=，∴2a e =； （2）不妨设12x x <，由()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦知，()()12f x f x <， ∴()f x 在()0,1存在增区间，①由（1）可知，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上为增函数，符合要求；②当0a >时，由（1），()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增， ∴只需102a >>，则有02a <<， 综上，实数a 的取值范围为(),2-∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题.。

数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。

《导数及其应用》单元测试题姓名 得分一、选择题（本大题共12小题，共60分，只有一个答案正确）1．函数()22)(x x f π=的导数是 （ ） A x x f π4)(=' B x x f 24)(π=' C x x f 28)(π=' D x x f π16)(='2．函数xx y 142+=单调递增区间是 （ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),21(+∞ D ．),1(+∞3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时 （ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则 （ ）Ａ． 10<<b B ． 1<b C ．0>b D ． 21<b 5．设x x x f +=3)(，则⎰-22)(dx x f 的值等于 （ ）A.0B.8C.⎰20)(dx x f D.⎰20)(2dx x f 6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ） Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ）8．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-9．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的 （ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件 10．函数()323922y x x x x =---<<有 （ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值11．设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(2)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是（ ） A ．(－2,0)∪(2,+∞) B ．(－2,0)∪(0, 2)C ．(－∞,－2)∪(2,+∞)D ．(－∞,－2)∪(0, 2)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12. 下列定积分值为1的是（ ） A ．10tdt ⎰ B 。

单元测试六（导数及其应用）（理）一.单项选择题（本题8小题，每小题5分，计40分）1.函数32)(sin x y =的导数是 ( C )（A ）222sin sin 3x x x ⋅⋅ （B ）22)(sin 3x （C ）2226(sin )cos x x x ⋅ （D ）22cos sin 6x x ⋅2.(原创题)函数()x f =x，则12007'12008f ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=B A 0 B 1 C 2008 D 20073.(改编题)设()0cos f x x = ,()()x f x f '01= ,()()x f x f '12=， …，()()x f x f n n '1=+ n +∈N ，()2008f x =BA sinxB cosxC -sinxD -cosx4.已知函数()x f ,(R x ∈)上任一点(0x ,()0x f )处的切线斜率为k=()()20012+-x x ，则该函数的单调递减区间为BA [)∞+- 1B (]2 ∞-C ()1-∞- 和（1 2）D [)∞+ 2 5.若曲线xy 1=有一切线与直线012=+-y x 垂直，则切点为（ A ） （A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,2 （B ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22（C ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,2 （D ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,2 6.若)(x f 是在()l l ,-内的可导的偶函数，且)(x f '不恒为零，则)(x f ' （ B ）（A ） 必定是()l l ,-内的偶函数 （B ） 必定是()l l ,-内的奇函数 （C ） 必定是()l l ,-内的非奇非偶函数 （D ） 可能是奇函数，也可能是偶函数7.nx x x x x f )1()1()1()1(1)(32++⋯+++++++= ，则)0('f 等于( )A.nB.1-nC.!nD.21n （n ＋1） 答案.D 提示：令221032)1()1()1()1(1)(x a x a a x x x x x f n ++=++⋯+++++++=n n x a +⋯+，1232132)('-+⋯+++=n n x na x a x a a x f ，1)0('a f = ，又a 1=1＋2＋3＋…＋n=21n （n＋1）8（理科）曲线)50)...(2)(1(---=x x x x y 在原点处的切线，方程为 （ ） A 、x y 1275= B 、x y 250= C 、x y 100= D 、x y !50= 答案：D提示：本题考查导数的运算，51502551...(1)(2)...(50)y x x x =-⨯++-⋅--'504951502551...50!y x x =-⨯⨯++ ，∴0'50!x y == ，∴在原点处的切线方程为50!y x =⋅，故选D 项。

全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(四)第四单元导数及其应用(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知f(x)=cos x,则f'()等于A. B.- C. D.-解析:f'()=-sin=-.答案:D2.已知点A是曲线y=ln x(x≥1)上的动点,在点A处的切线倾斜角为θ,则θ的取值范围是A.[0,]B.[0,]C.(0,]D.[,)解析:y'=,∵x≥1,∴y'∈(0,],由导数的几何意义及直线倾斜角的定义知0<tanθ≤,∴0<θ≤.答案:C3.已知函数f(x)=x3-的导函数为f'(x),则f'(x)的最小值为A.1B.2C.4D.8解析:f'(x)=4x2+≥4.答案:C4.若函数f(x)=x3-3x+m恰有2个不同的零点,则实数m的值为A.±2B.±1C.-2或1D.-1或2解析:f'(x)=3(x2-1),所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上都递增,在[-1,1]上递减,因此要使f(x)恰有2个零点,则只需f(-1)=0或f(1)=0,由此得m=±2.答案:A5.函数f(x)=x+2cos x在[0,]上取得最大值时,x的值为A.0B.C.D.解析:f(x)=(x+2cos x)'=1-2sin x,令1-2sin x=0,且x∈[0,]时,x=,当x∈[0,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈[,]时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减.∴f(x)max=f().答案:B6.若a>3,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰有A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根解析:令f(x)=x3-ax2+1,则f'(x)=3x2-2ax=3x(x-a).由f'(x)=0,得x=0或x=a(∵a>3,∴a>2),∴当0<x<2时,f'(x)<0,即f(x)在(0,2)上单调递减.又f(0)·f(2)=8-4a+1=9-4a<0,∴f(x)在(0,2)上有一个零点,即方程在(0,2)上有一实根.答案:B7.如图是二次函数f(x)=x2-bx+c的部分图象,则函数g(x)=ln x+f'(x)的零点所在的区间是A.(,)B.(,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:由图可知,0<b<1,0<c<1,b-c=,∴<b<1,g(x)=ln x+x-b为增函数,g(1)=1-b>0,g()=-ln2+-b<0,故零点所在的区间为(,1).答案:B8.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)<0的解集为A.(-∞,0)∪(,2)B.(-∞,)∪(,2)C.(-∞,)∪(,+∞)D.(-∞,)∪(2,+∞)解析:由f(x)图象的单调性可得f'(x)在(-∞,)和(2,+∞)上大于0,在(,2)上小于0,∴xf'(x)<0的解集为(-∞,0)∪(,2).答案:A9.已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象在点x=1处的切线l为直线3x-y-1=0,T n=f(n)为等差数列{a n}的前n项和,若数列{}的前n项和为S n,则S2013的值为A. B. C. D.解析:∵T n=f(n)=an2+bn+c为等差数列{a n}的前n项和,∴c=0,f(x)=ax2+bx,由题意可得∴a=1,b=1,==-,S n=(1-)+(-)+…+(-)=,∴S2013=.答案:D10.已知f(x)=-x3-ax在(-∞,-1]上递减,且g(x)=2x-在区间(1,2]上既有最大值又有最小值,则a的取值范围是A.a>-2B.a≥-3C.-3≤a<-2D.-3≤a≤-2解析:由f'(x)=-3x2-a≤0对于一切x∈(-∞,-1]恒成立,得-3x2≤a,∴a≥-3.又由g(x)在(1,2]上有最大最小值知-4≤a<-2,∴-3≤a<-2.答案:C11.偶函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,对任意x都有f(x)=-f(-x+2),且函数f(x)在x=1处的切线与抛物线y2=4x在点(4,4)处的切线恰好垂直,则曲线y=f(x)在点(-9,f(-9))处切线的斜率为A.2B.-2C.D.-解析:由f(x)为偶函数及f(x)=-f(-x+2)知,f(x)是一个周期为4的周期函数.所以y=f(x)在x=-9处的切线与x=-1处的切线斜率相等,又根据图象对称性知x=-1处的切线斜率与x=1处的切线斜率互为相反数,求得y2=4x在点(4,4)处的切线斜率为,所以y=f(x)在x=1处的切线斜率为-2,即在x=-9处的切线斜率为2.答案:A12.为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,当a、b各为()米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?A.a=2,b=9B.a=9,b=2C.a=3,b=6D.a=6,b=3解析:经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y=(k>0为比例系数),要求y的最小值,只需求ab的最大值.-.其中a、b满足2a+4b+2ab=60,b=-(0<a<30).记u=ab=-,令u'=0得a=6.由u'=且当0<a<6时,u'>0,当6<a<30时u'<0,∴u=-在a=6时取最大值,此时b=3.从而当且仅当a=6,b=3时,y=取最小值.答案:D第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数f(x)=(x>0)的单调增区间为.->0得x>1,解析:由f'(x)=即函数f(x)的单调增区间为(1,+∞).答案:(1,+∞)14.已知二次函数f(x)=af'(1)x2+2f'(0)x,则a=.解析:因为f'(x)=2af'(1)x+2f'(0),由f'(0)=2f'(0),知f'(0)=0,所以f'(1)=2af'(1),且f(x)为二次函数知f'(1)≠0,所以a=.答案:15.已知函数f(x)=x3-3x+1,则过点(1,-1)的切线方程为.解析:设切点为(a,a3-3a+1),则斜率k=3a2-3,切线方程为y-(a3-3a+1)=(3a2-3)(x-a).又切线过点(1,-1),所以有2a3-3a2+1=0,解得a=1或a=-,所以切线方程为y=-1或9x+4y-5=0.答案:y=-1或9x+4y-5=016.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,f(2)=0,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0成立(其中f'(x)是f(x)的导函数),则不等式xf(x)>0的解集是.解析:当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,即(xf(x))'<0,令y=xf(x),则函数y=xf(x)在区间(-∞,0)上为减函数,又f(x)在定义域上是偶函数,∴函数y=xf(x)在定义域上是奇函数,且2f(-2)=2f(2)=0,则xf(x)>0在(-∞,0)上的解集是(-∞,-2),∴xf(x)>0的解集是(-∞,-2)∪(0,2).答案:(-∞,-2)∪(0,2)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知a>0,函数f(x)=ln x-a2x2-ax,1≤x≤e,f'(2)=0,求函数f(x)的最小值.-,∴f'(2)=--=0,又∵a>0,解析:∵f'(x)=-∴4a-1=0,a=,∴f(x)=ln x-x2-x,f'(x)=--,1≤x≤e,4分∴1≤x≤2时,f'(x)>0;2≤x≤e时,f'(x)<0,f(x)在区间[1,2]上是增函数,在区间(2,e]上是减函数,∴f(x)min={f(1),f(e)}min.8分∵f(1)-f(e)=-+-=-<-=0,∴f(x)min=f(1)=-.10分18.(本小题满分12分)设f(x)=e x(ax2+3),其中a为实数.(1)当a=-1时,求f(x)的极值;(2)若f(x)为[1,2]上的单调函数,求a的取值范围.解析:(1)当a=-1时,有f(x)=e x(-x2+3),f'(x)=e x(-x2-2x+3)=-e x(x+3)(x-1),由f'(x)>0知f(x)在(-3,1)上递增,由f'(x)<0知f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上都递减,所以f(x)极小值=f(-3)=-6e-3,f(x)极大值=f(1)=2e.5分(2)要使f(x)在[1,2]上递增,则f'(x)=e x(ax2+2ax+3)≥0恒成立,即ax2+2ax+3≥0恒成立,a≥(-)max=-;要使f(x)在[1,2]上递减,则f'(x)=e x(ax2+2ax+3)≤0恒成立,即ax2+2ax+3≤0恒成立,a≤(-)min=-1.综上,f(x)在[1,2]上单调,则a≤-1或a≥-.12分19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)对于函数图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函数图象上存在点P(x0,y0)(其中x0在x1与x2之间),使得点P处的切线l平行于直线AB,则称AB存在“伴随切线”,当x0=时,又称AB存在“中值伴随切线”.试判断函数f(x)的图象上是否存在“中值伴随切线”,若存在,请求出“中值伴随切线”.解析:(1)f'(x)=-,由f'(x)>0知递增区间为(1,+∞),由f'(x)<0知递减区间为(0,1].3分(2)假设存在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨设0<x1<x2),使得AB存在“中值伴随切线”,则--=f'(),化简得:=--,即·-=ln.设函数g(x)=ln x--,则g'(x)=-=-,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,即g(x)在(0,1]上是增函数.又0<<1,所以g()<g(1)=0,即·->ln,与上面结论矛盾,所以在函数f的图象上是不存在不同两点A,B,使得AB存在“中值伴随切线”.12分20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R).(1)若y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值;(2)当a≠0时,若f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.解析:(1)f'(x)=x2-2ax+a2-1.∵(1,f(1))在x+y-3=0上,∴f(1)=2,∵(1,2)在y=f(x)的图象上,∴2=-a+a2-1+b,又f'(1)=-1,∴1-2a+a2-1=-1,∴a2-2a+1=0,解得a=1,b=,∴f(x)=x3-x2+,f'(x)=x2-2x.5分由f'(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点.∵f(0)=,f(2)=,f(-2)=-4,f(4)=8,∴f(x)在区间[-2,4]上的最大值为8.7分(2)因为函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,所以函数f'(x)在(-1,1)上存在零点.而f'(x)=0的两根为a-1,a+1,a+1-(a-1)=2,∴在区间(-1,1)上不可能有2个零点.∴f'(-1)f'(1)<0,即a2(a+2)(a-2)<0.10分∵a2>0,∴(a+2)(a-2)<0,∴-2<a<2.又∵a≠0,∴a∈(-2,0)∪(0,2).12分21.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(1)当a>0时,若f(x)满足y极小值=1,y极大值=,试求f(x)的解析式;(2)若x∈[0,1]时,y=f(x)图象上的任意一点处的切线斜率k满足|k|≤1,求a的取值范围.解析:(1)f'(x)=-3x2+2ax=0,得x=0或x=a.2分a>0时,x所以f(0)=b=1,f(a)=-a3+a·a2+1=,4分即a=1,b=1.故f(x)=-x3+x2+1.6分(2)由题设x∈[0,1]时,恒有|k|=|f'(x)|≤1,即-1≤-3x2+2ax≤1在x∈[0,1]上恒成立.8分当x=0时,a∈R;当x∈(0,1]时,由-3x2+2ax≥-1恒成立,即2ax≥3x2-1,a≥(3x-),所以a≥1(函数(3x-)在(0,1]上为增函数).10分另一方面,由-3x2+2ax≤1恒成立,得a≤(3x+),所以a≤(当且仅当x=时,取最值).综上所述:1≤a≤.12分22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2-ln x.(1)求函数的单调区间与最值;(2)当a=1时,函数g(x)=1-,求证:++…+<.(其中e为自然对数的底数)-(x>0),解析:(1)因为f'(x)=所以①当a≤0时,f'(x)<0恒成立,故递减区间为(0,+∞),无最值;②当a>0时,递增区间为[,+∞),递减区间为(0,),所以有最小值f()=[1+ln(2a)].5分(2)当a=1时,函数g(x)=(x>0),g'(x)=-,函数g(x)在(,+∞)上单调递减,在(0,)上单调递增,所以有g(x)=≤g()=,≤·,且有<·<·(--),取x=2,3,…,则++…+<·[(1-)+(-)+…+(--)],所以++…+<·(1-)<.12分。

一、选择题1．若函数21()f x x ax x =++在1,12⎛⎤⎥⎝⎦是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]-B ．[1,)-+∞C ．[0,3]D ．[3,)+∞2．已知函数ln ,1()1,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，则12x x ⋅的取值范围是（ ） A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．(],42ln2-∞-D ．[)42ln2,-+∞3．已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的112[,]2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（e ，4）B ．（e 14+，4] C ．（e 14+，4） D ．（14，4] 4．对任意的0a b t <<<，都有ln ln b a a b <，则t 的最大值为（ ） A ．1B ．eC ．2eD ．1e5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x xf'x 0->（x 0>），则（ ）A ．()()()6f 13f 22f 3->->-B ．()()()2f 33f 26f 1->->-C ．()()()6f 12f 33f 2->->-D ．()()()3f 22f 36f 1->->-6．已知函数f (x )在x =x 0处的导数为12，则000()()lim3x f x x f x x∆→-∆-=∆（ ）A ．-4B ．4C ．-36D ．367．如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是29y x =-+，则()()44f f '+的值为（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．28．函数()22xx f x e-=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数()33=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,4- B ．()1,4- C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．311．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x y e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),2-∞C ．()0,1D ．()1,212．已知奇函数()f x 在R 上是增函数且当0x ≥时()0f x ≥ ，()()g x xf x =．若()2log 5.1a g =-，()0.82b g =，()3c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<二、填空题13．函数()2ln 2x f x x =-在其定义域内的一个子区间[]1,1k k -+内不是单调函数，则k的取值范围是______________．14．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且()()0f x f x +'>，则()2ln 2a f =，()1b ef =，()0c f =的大小关系为_____15．如图，C 、D 是两所学校所在地，C 、D 到一条公路的垂直距离分别为8,27CA km DB km ==.为了缓解上下学的交通压力，决定在AB 上找一点P ，分别向C 、D修建两条互相垂直的公路PC 和PD ，设02APC πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则当PC PD +最小时，AP =_______km .16．已知函数()1ln f x x x =--，对定义域内的任意x 都有()2f x kx ≥-，则实数k 的取值范围是______.17．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且对任意0x >都有()()0x f x f x '⋅->成立，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是______.18．已知函数()32331f x x ax x =-++在区间()2,3上至少有一个极值点，则a 的取值范围为__________．19．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e =__________．20．设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则(3)f '＝______．参考答案三、解答题21．已知函数ln ()1xf x x=+． （1）求()f x 的最大值；（2）设实数0a >，求函数()(()1)F x a f x =-在[,2]a a 上的最小值．22．已知函数()(ln )xe f x a x x x=--，a R ∈．（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性： （2）当1a =-时，函数1()()xg x f x x e mx x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有()1g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．23．已知函数()2()(2,)xf x x ax a e a x R =++≤∈. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使()f x 的极大值为3；若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.24．已知函数()1ln f x ax x =--，a ∈R . （1）当a =2时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在x =1处取得极值，对x ∀∈(0，+∞)，()2f x bx -≥恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当1x y e >>-时，求证：ln(1)e ln(1)x yx y -+>+.25．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．26．已知函数f （x ）＝ax 3+bx +c 在x ＝2处取得极值为c ﹣16. （1）求a 、b 的值；（2）若f （x ）有极大值28，求f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先求出()32221212x ax f x x a x x +-=+-='，由()f x 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦是增函数，则()0f x '≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，即32210x ax +-，也即212a x x -+在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立， 【详解】()32221212x ax f x x a x x+-=+-='， 令32()21g x x ax =+-，要使函数21()f x x ax x =++在1,12⎛⎤⎥⎝⎦是增函数， 则有()32210g x x ax =+-≥在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立， 即32210x ax +-，即212a x x -+在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立， 令21()2h x x x =-+，32()20h x x '=--<，所以()h x 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减， 故1()32h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以3a ≥ 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数单调性求参数的范围，解答本题的关键是()f x 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦是增函数转化为()0f x '≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，即32210x ax +-，分离参数即212a x x -+在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，属于中档题.2．A解析：A 【分析】根据题中条件，得到()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <；令112m t e -=->，得到()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，对其求导，判定其单调性，求出值域，即可得出结果. 【详解】 当1≥x 时，()ln 0f x x =>，∴()11f x +≥， 当1x <时，()1122x f x ->=，()312f x +>； ∴()()1ln 1f f x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，等价于方程()()1ln 10F f x f x m +=++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦有两个根1x ，2x ， 则()1mf x e-+=，即()1mf x e-=-有两个根1x ，2x （不妨设12x x <），则1≥x 时，2ln 1mx e -=-；当1x <时，1112m x e --=-，令112mt e-=->，则2ln x t =，112x t -=；所以2tx e =，122x t =-； 则()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，12t >，则()2tg t te '=-，当1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g t '<显然恒成立，所以函数()g t 单调递减，则()12g t g ⎛⎫<=⎪⎝⎭所以()g x 的值域为(-∞，即12x x 的取值范围为(-∞. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据函数零点个数结合函数解析式，得到()1mf x e-=-有两个根为1x 和2x ，再构造函数，利用导数的方法求解即可.3．B解析：B 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出()f x 和()g x 的值域，结合已知条件可得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：g （x ）=x 2e x 的导函数为g ′（x ）=2xe x +x 2e x =x （x +2）e x ，当0x =时，()0g x '=， 由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ， 所以对于任意的2[1,1]x ∈-，2()[0,e]g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴，又10202--<-，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-， 则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，且函数f （x ）在11[,]22-，图象关于y 轴对称，在（12，2]上，函数()f x 单调递减．由题意，得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -， 可得a –4≤0<e <14a -，解得e 14+<a ≤4．故选:B ．【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是12()()f x g x =这一条件的转化.4．B解析：B 【分析】令ln xy x=，问题转化为函数在(0,)t 递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出t 的最大值即可． 【详解】0a b t <<<，ln ln b a a b <，∴ln ln a ba b<，()a b <， 令ln xy x=，则函数在(0,)t 递增， 故21ln 0xy x -'=>， 解得：0x e <<，所以(0,)t 是(0,)e 的子集， 可得0t e <≤，故t 的最大值是e ， 故选：B ． 【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围．5．B解析：B 【分析】根据条件的结构特点构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可． 【详解】设g （x ）=()2x f x ，定义在R 上的奇函数f （x ），所以g （x ）是奇函数，x ＞0时，g′（x ）=()()()()22'x f x xf x f x -，因为函数f （x ）满足2f （x ）﹣xf'（x ）＞0（x ＞0），所以g′（x ）＞0，所以g （x ）是增函数，g (g =()11f -，可得：((()2361f f f -＞＞． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中构造新函数()()2x g x f x =，利用导数得到函数()g x 的单调性，利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6．A解析：A 【分析】根据题意，由极限的性质可得则000000()()()()1lim =lim 33x x f x x f x f x f x x x x∆→∆→-∆---∆-∆∆，结合导数的定义计算可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 在0x x =处的导数为12，则000000()()()()112lim=lim 4333x x f x x f x f x f x x x x ∆→∆→-∆---∆-=-=-∆∆；故选：A ． 【点睛】本题考查极限的计算以及导数的定义，属于容易题．7．C解析：C 【分析】由切线方程可得切点坐标和切线斜率，进而可得结果. 【详解】切线方程为：29y x =-+，当4,1x y ==，()4-2'=f 则()41=f ，()(4)4-1'+=f f 故选：C 【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.8．D解析：D 【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性确定正确选项.【详解】()f x 的定义域为R ，()()22x x f x f x e--==，所以()f x 为偶函数，排除AB 选项.当0x >时，()22xx f x e -=， ()2'22xx x f x e-++=，令'0f x 解得31x =+，所以()f x 在()0,31+递增，在()31,++∞上递减.所以C 选项不符合，D 选项符合. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数研究函数的单调性.9．C解析：C 【分析】对函数()f x 进行求导，可得函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，可得()f x 的图像，由函数在区间()5,21a a -+上有最小值，数形结合可得关于a的不等式，计算可得答案. 【详解】解：由3()3f x x x =-，可得()2333(1)(1)f x x x x '=-+=--+，当11x -<<，()0f x '>，当1x <-或1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，则()f x 的图像如图所示，因为函数在区间()5,21a a -+上有最小值，故51212a a -<-<+，解得：112a -<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题，体现了数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】根据函数()xf x e =与函数()lng x x =互为反函数，将问题转化为求函数()xf x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果. 【详解】因为函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，所以||MN 的最小值为函数()xf x e =的图象上的点M 到直线y x =的距离的2倍，即为函数()xf x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，因为()xf x e '=，所以函数()xf x e =的图象上与直线y x =平行的切线的斜率01x k e ==，所以00x =，所以切点为(0,1)，它到直线y x =的距离2d ==，所以||MN 故选：B. 【点睛】本题考查了互为反函数的图象的对称性，考查了导数的几何意义，属于中档题.11．B解析：B 【解析】分析：先根据图像求出()1f x e '≤，即得()0f x '≤，也即得结果. 详解：因为当2x ≤时，()1f x e '≤，所以当2x ≤时，()0f x '≤， 所以()y f x =的单调减区间是(),2-∞， 选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.12．C解析：C 【分析】可判断函数()g x 为偶函数，再利用导数可证明()g x 在[)0,+∞为增函数，利用指数函数和对数函数的单调性可得0.823log 5.12>>，从而可得三个函数值之间的大小关系.【详解】因为()()()g x xf x xf x -=--=，故()f x 为偶函数， 当0x ≥时，因为()()()0g x f x f x ''=+≥（不恒为零）， 故()g x 在[)0,+∞为增函数， 又()()22log 5.1log 5.1a g g =-=， 因为0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，所以c a b >>，故选：C. 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和指数、对数的大小比较，注意两个增函数的乘积不一定是增函数，另外函数值的大小比较一般要利用函数的单调性来处理，本题属于中档题.二、填空题13．【分析】求出函数的定义域利用导数求出函数的极值点由题意可知函数的极值点在区间内结合题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】函数的定义域为令可得列表如下： 极 解析：()1,2【分析】求出函数()f x 的定义域，利用导数求出函数()f x 的极值点，由题意可知，函数()f x 的极值点在区间()1,1k k -+内，结合题意可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围. 【详解】函数()2ln 2x f x x =-的定义域为()0,∞+，()211x f x x x x ='-=-. 令()0f x '=，0x ，可得1x =，列表如下：所以，函数f x 在1x =处取得极小值，由于函数()2ln 2x f x x =-在其定义域内的一个子区间[]1,1k k -+内不是单调函数，则()11,1k k ∈-+，由题意可得111110k k k -<⎧⎪+>⎨⎪->⎩，解得12k <<.因此，实数k 的取值范围是()1,2. 故答案为：()1,2. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 内存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.14．【分析】令则可以判断出在上单调递增再由根据单调性即可比较大小【详解】令则因为对于恒成立所以所以在上单调递增因为所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数利用导数判断出在上单调递增更关 解析：c a b <<【分析】令()()xg x f x e =，则()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，可以判断出()()xg x f x e =在R上单调递增，再由()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =根据单调性即可比较大小. 【详解】令()()xg x f x e =，则()()()()()xxxg x f x e f x e e f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，因为()()0f x f x +'>对于x ∈R 恒成立， 所以()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以()()xg x f x e =在R 上单调递增，()()()ln22ln 2ln 2ln 2a f e f g ===，()()()1111b ef e f g ===， ()()()0000c f e f g ===，因为0ln 21<<，所以()()()0ln 21g g g <<，所以c a b <<， 故答案为：c a b << 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()xg x f x e =，利用导数判断出()g x 在R 上单调递增，更关键的一点要能够得出()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =，根据单调性即可比较大小.15．12【分析】由题意得：再利用导数求函数的最小值即可；【详解】由题意得：当时当得：当得：当时取得最小值故答案为：12【点睛】利用导数求函数的最值注意不一定要把的值求出直接利用复合函数的性质可简化计算量解析：12 【分析】 由题意得：827sin sin cos sin()2AC DB y PC PD πθθθθ=+=+=+-，再利用导数求函数的最小值即可； 【详解】 由题意得：827sin sin cos sin()2AC DB y PC PD πθθθθ=+=+=+-，33'228cos 27sin sin cos y θθθθ-=-，当'0y =时，2tan 3θ=， 当'0y >得：2tan 3θ>，当'0y <得：2tan 3θ<， ∴当2tan 3θ=时，y 取得最小值， ∴8122tan 3AC AP θ===， 故答案为：12. 【点睛】 利用导数求函数的最值，注意不一定要把θ的值求出，直接利用复合函数的性质，可简化计算量.16．【分析】不等式分离变量等价变形为构造函数函数求导求出单调区间可得函数最小值【详解】∵∴也即在时恒成立令则令易知在上单调递减在上单调递增故∴故答案为：【点睛】本题考查数的单调性及不等式恒成立问题转化为 解析：21(,1]e -∞-【分析】不等式()2f x kx ≥-分离变量,等价变形为1ln 1x k x x≤+-，构造函数()1ln 1x g x x-=+，函数求导()2ln 2x g x x -'=，求出单调区间，可得函数最小值.【详解】∵()1ln 2f x x x kx =--≥-，∴1ln kx x x ≤+-，0x >，也即1ln 1xk x x≤+-在0x >时恒成立.令()1ln 1x g x x-=+，0x >，则()2ln 2x g x x -'=，0x >，令()20g x x e '=⇒=.易知()g x 在()20,x e ∈上单调递减，()g x 在()2,x e ∈+∞上单调递增，故()()22min 11g x g ee ==-，∴211k e ≤-. 故答案为：21(,1]e -∞- 【点睛】本题考查数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数最值问题.不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式()0f x λ≥，(λ为实参数)对任意的x D ∈恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.17．【分析】令可证为偶函数且为上的增函数考虑当时的解及当时的解它们的并是所求不等式的解集【详解】等价于令则当时有故为上的增函数而故当时的解为故当时的解为因故为偶函数当时等价于因为偶函数故当时的解为即当时 解析：(1,0)(1,)【分析】 令()()f xg x x=，可证()g x 为偶函数且为()0,∞+上的增函数，考虑当0x >时，()0g x >的解及当0x <时，()0g x <的解，它们的并是所求不等式的解集.【详解】2()0x f x ⋅>等价于0()0x f x ≠⎧⎨>⎩，令()()f x g x x =，则()()()2''xf x f x g x x-=， 当0x >时，有()'0g x >，故()g x 为()0,∞+上的增函数，而()10g =， 故当0x >时，()0g x >的解为()1,+∞， 故当0x >时，()0f x >的解为()1,+∞， 因()()()()f x f x g x g x x x--===-，故()g x 为偶函数，当0x >时，()0f x >等价于()0g x <，因()g x 为偶函数，故当0x <时，()0g x <的解为()1,0-即当0x <时，()0f x >的解为()1,0-，综上，2()0x f x ⋅>的解集是(1,0)(1,)，填(1,0)(1,).【点睛】如果题设中有关于函数()f x 及其导数()'f x 的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.18．【解析】【分析】由在区间中至少有一个极值点等价与方程在其判别式的条件下在区间有解即可求解【详解】因为而在区间中至少有一个极值点等价于方程在其判别式的条件下在区间有解所以由可得令求导数可得所以在上单调解析：55,43⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点，等价与方程()0f x '=在其判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解，即可求解． 【详解】因为()22363f x x ax =-+'，而()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点，等价于方程223630x ax -+=在其判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解， 所以由223630x ax -+=可得11()2a x x=+， 令()11()2g x x x =+，求导数可得()211(1)2g x x=-'， 所以()g x 在(2,3)上单调递增，所以5115()423x x <+<， 解得5543a <<，此时满足>0∆，故实数a 的取值范围是55(,)43．【点睛】本题主要考查了利用导数在函数中的应用，解题的关键是()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点转化为方程()0f x '=在判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．19．-1【解析】分析：先求导数解得代入解得详解：因为所以所以因此点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化解析：-1. 【解析】分析：先求导数，解得()'f e ，代入解得()f e . 详解：因为()()2'ln f x xf e x =+，所以1()2()f x f e x''=+ 所以11()2()(),f e f e f e e e''+∴=-'= 因此1()2()ln 1.f e e e e=-+=-，点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.20．【解析】结合导数的运算法则可得：则导函数的解析式为：据此可得： 解析：105【解析】结合导数的运算法则可得：()()2'152'1f x x f =+，则()()()'1152'1,'115f f f =+∴=-， 导函数的解析式为：()2'1530f x x =-，据此可得：()2'315330105f =⨯-=.三、解答题21．（1）11e+，（2）02a <≤时，min ()()ln F x F a a ==，当2a >时，，min 1()(2)ln 22F x F a a ==【分析】（1）令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最值（2）利用（1）的结论，判断出函数的最大值在e 处取得，最小值在端点处取得，通过对a 的分类讨论比较出两个端点值的大小，求出最小值【详解】解：（1）因为ln ()1x f x x =+，所以'21ln ()xf x x -=（0x >）， 令'()0f x =，得x e =，因为当0x e <<时，'()0f x >，当x e >时，'()0f x <， 所以()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 所以max ln 1()()11e f x f e e e==+=+，（2）ln ()(()1)xF x a f x a x=-=⋅， 因为0a >，由（1）知()F x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以{}min ()min (),(2)F x F a F a =， 因为ln ln 21()(2)ln 222a a aF a F a a a a a -=⋅-⋅=， 所以当02a <≤时，()(2)0F a F a -≤，min ()()ln F x F a a ==， 当2a >时，()(2)0F a F a ->，min 1()(2)ln 22F x F a a == 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，考查计算能力和分类讨论思想，属于中档题22．（1）函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）[2,)-+∞. 【分析】（1）先对函数求导，令()0f x '=求出1x =，根据导数的方法，即可得到函数单调性；（2）先由1a =-，得到()ln (1)xg x xe x m x =-++，由分离参数法方法，将原不等式化为1ln 1x x m e x +≥--，构造函数1ln ()1xx h x e x+=--，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，()22(1)()x x x ax e x a xe e f x a x x x+--'=--= ∵0a >，0x >，0x ax e ∴+>，令()0f x '=，得1x =，所以01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （2）当1a =-时，1()()ln (1)x xg x f x x e mx xe x m x x ⎛⎫=+++=-++ ⎪⎝⎭由()1g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，得1ln 1xx m e x+≥--， 设1ln ()1x x h x e x +=--，则222ln ln ()x x x x e xh x e x x-+'=-=-， 设2()ln xx x e x ϕ=+，则0x >时，()21()20xx x x e xϕ'=++>，所以()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0e ϕ=>，1ln 2024ϕ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，所以函数()ϕx 在(0,)+∞上有唯一的零点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭当00x x <<时，()0x ϕ<，()0h x '>，()h x 单调递增; 当0x x >时，()0x ϕ>，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以0x >时，()00max 001ln ()1x x h x h x e x +==-- 所以001ln 1x x m e x +≥--， ()02000ln 0xx x e x ϕ=+=，000011ln x x e x x ∴=，即000011ln ln ln ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为ln y x x =+是增函数，所以0001lnln x x x ==-， 000000001ln 11122x x x x x x m e e e e x x +-∴≥--=--=--=-， 即m 的取值范围为[2,)-+∞. 【点睛】 思路点睛：导数的方法研究由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.23．（1）()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-． 【分析】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得出函数()f x 的单调区间；（2）求导，分2a =和2a <两种情况得出导函数的正负，得出函数()f x 的单调性，从而得函数的极大值，建立方程，解之可得答案． 【详解】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，所以()()()'2()3212x x f x e x x e x x =++=++，令'()0f x =，得1x =-或2-，所以当2x <-或>1x -时，'()>0f x ；当21x -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-，理由如下：()()()'2()2+22x x f x e x a x a e x a x ⎡⎤=++=++⎣⎦，令'()0f x =，得x a =-或2-， 因为2,a ≤所以2,a -≥-所以当2a =时，'()>0f x 恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 不存在极值，所以2a ≠；当2a <时，>2a --，所以当2x <-或>x a -时，'()>0f x ；当2x a -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()a -+∞，上单调递增，在()2a --，上单调递减， 所以函数()f x 在2x =-时，取得极大值，所以()23f -=，即()2(2)243f a a e --=+=-，解得2432a e =-<，所以存在，243a e =-，使()f x 的极大值为3． 【点睛】利用导函数研究函数的单调性，极值，最值等问题时，关键在于分析出导函数取得正负的区间，如果有参数，需讨论参数的范围，使之能确定导函数取得正负的区间． 24．（1）函数()f x 的减区间是1(0,)2，增区间是1(,)2+∞；（2）b ≤211e -；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间即可；（2）根据极值点得出1a =，再将题设不等式化为1ln 1x b x x≤+-，求出1ln ()1xg x x x=+-的最小值，即可得出实数b 的取值范围； （3）将1x y e >>-变形为ln(+1)ln(+1)ln 1x y e >>=，结合分析法要证ln(1)ln(1)x yx ey -+>+只需证明ln(1)ln(1)x y e e x y >++，构造函数()ln(1)x e h x x =+，利用导数证明其在(1,)e -+∞上是增函数，从而得出()()h x h y >，即ln(1)e ln(1)x yx y -+>+.【详解】解：（1）当2a =时，()21ln f x x x =--，其中0x > 所以121()2x f x x x-'=-= 令()0f x '<，则210x x -<，即102x << 令()0f x '>，则210x x ->，即12x >所以函数()f x 的减区间是1(0,)2，增区间是1(,)2+∞ （2）因为函数()f x 在1x =处取得极值，所以()01f '= 又1()f x a x'=-，所以10a -=，1a = 因为()2f x bx -≥对x ∀∈(0，+∞)恒成立即()1ln 2f x x x bx =--≥-对x ∀∈(0，+∞)恒成立1ln 1x b x x≤+-对x ∀∈(0，+∞)恒成立令1ln ()1xg x x x=+-，则min ()b g x ≤ 22211ln ln 2()x x g x x x x--'=--=，由()0g x '=得2x e = 所以()g x 在2(0,]e 上是递减，2[,)e +∞上是递增，所以()()22min 11g x g ee ==-所以b ≤211e - （3）因为1x y e >>-，所以+1+1x y e >>，ln(+1)ln(+1)ln 1x y e >>=所以ln(1)ln(1)x yx ey -+>+等价于ln(1)ln(1)x y e x e y +>+，即ln(1)ln(1)x y e e x y >++ 要证明ln(1)ln(1)x yx ey -+>+，只要证明ln(1)ln(1)x y e e x y >++ 令()ln(1)x e h x x =+，只要证明()ln(1)xe h x x =+在(1,)e -+∞上是增函数又21[ln(1)]1()ln (1)x e x x h x x +-+'=+，易知1ln(1)1x x +-+在(1,)e -+∞上是增函数 所以111ln(1)ln 101x e x e e+->-=->+，所以21[ln(1)]1()0ln (1)x e x x h x x +-+'=>+ 所以()ln(1)xe h x x =+在(1,)e -+∞上是增函数又1x y e >>-，所以()()h x h y >，即ln(1)ln(1)x ye e x y >++，所以ln(1)ln(1)x yx ey -+>+.【点睛】本题的第三问中，关键是利用分析法从结论入手，构造函数结合导数证明单调性，从而利用单调性的性质证明不等式.25．（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥【分析】 （1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；（2）求出导函数'()g x ，假设存在，则'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值．【详解】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--= 令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<，所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在724a ≥，满足题设， 因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+ 所以224()23a g x x x x '=+-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞ 即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x x a +-≥-，(0,)x ∈+∞ 令32436()6x x x h x +-=，(0,)x ∈+∞， 则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴324366x x x +--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设． 【点睛】 本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．26．（1）1,12a b ==-；（2）最小值为4-，最大值为28.【分析】（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '=，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（2）根据导数可知()f x 在2x =-处取得极大值，即可求出c ，再求出端点处的函数值，即可判断.【详解】（1）因3()f x ax bx c =++ ，故2()3f x ax b '=+，由于()f x 在点2x =处取得极值，故有(2)0(2)16f f c ==-'⎧⎨⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ，解得112a b =⎧⎨=-⎩； （2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-令()0f x '= ，得122,2x x =-=，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数，当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数．由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-，由题设条件知1628c += ，得12c =，此时(3)921f c -=+=，(3)93f c =-+=，(2)164f c =-=-，因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-，最大值为28.【点睛】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．。

一、选择题1．若幂函数()f x 的图象过点21,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()e x f x g x =的递减区间为（ ） A ．()0,2 B ．(),0-∞和()2,+∞ C ．()2,0-D ．()(),02,-∞+∞2．函数tan 22tan y x x =-42x ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．33-B ．3C ．0D ．3-3．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b 的取值范围为（ ）A ．1b <且0b ≠B ．1b >C ．2b <且0b ≠D ．2b >4．已知函数[](),1,2,xae f x x x =∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 5．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．{x |x ≠±1} B ．(－1，0)∪(0，1) C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)6．已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-8．已知函数()[]1sin ,0,3f x x x x π=-∈且[]001cos ,0,3x x π=∈那么下列命题中真命题的序号是（ ）①()f x 的最大值为()0f x ； ②()f x 的最小值为()0f x ； ③()f x 在上[]0,π是减函数； ④()f x 在上[]0,x π上是减函数. A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④9．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7B ．4C ．0D ．﹣410．已知函数2()f x x ax =-(1x e e≤≤，e 为自然对数的底数)与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．11,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,e e e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦D ．1,e e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．已知定义在[),e +∞上的函数()f x 满足()()ln 0f x xf x x '+<且()40f =，其中fx 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．[),4eB ．[)4,+∞C ．(),e +∞D ．[),e +∞12．已知函数f x =x+cosx （），则f'=6π⎛⎫⎪⎝⎭（ ） A ．12B ．32C ．31D 3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知x y ，均为正实数.1x y +=.则1y x y+的最小值为________． 14．已知函数2ln ()a xf x x x=-，对于12,[2,2020]x x ∈，且当21x x >时，恒有()()12210f x f x x x ->，则实数a 的取值范围为__________. 15．已知()32f x x ax bx =++，在1x =处有极值1-，则2+a b =_______16．已知位移和时间的关系是321()2533s t t t t =++-，则2t =时的瞬时速度是_______ 17．设定义在上的奇函数满足：时，（其中为常数）.若，，，则，，的大小关系是_________.（用“”连接）18．在二维空间中，正方形的一维测度（周长）（为正方形的边长），二维测度（面积）；在三维空间中，正方体的二维测度（表面积）（为正方形的边长），三维测度（体积）；应用合情推理，在四维空间中，“超立方”的三维测度，则其四维测度__________．19．已知函数()()221f x x xf '=+，则()1f 的值为__________． 20．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．三、解答题21．已知函数()3212f x x x bx c =-++，且()f x 在1x =处取得极值． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）若当[]1,2x ∈-时，()2f x c <恒成立，求c 的取值范围； （Ⅲ）对任意的[]12,1,2x x ∈-，()()1272f x f x -≤是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．22．已知函数()3f x x ax b =-+在1x =处的切线方程为0y =.（1）求实数a 、b 的值；（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值之和. 23．设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值； （2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值；（3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围.24．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图所示，x 轴与曲线相切于原点，所围成的区域(阴影)面积为2764.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[,]()m m >00上的值域. 25．已知函数()ln 1xf x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a 的值； （2）证明；当1a e≥时，()0f x ≥． 26．（1）求曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程. （2）求函数()316f x x x =+-过点()0,0的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据条件先求解出()f x 的解析式，然后利用导数求解出()()e xf xg x =的单调递减区间. 【详解】因为()f x 为幂函数，且过点212⎫⎪⎪⎝⎭，所以设()f x x α=，所以21=22α⎛ ⎝⎭，所以2α=，所以()2f x x =，所以2()ex x g x =，则(2)()e xx x g x '-=， 当2x >或0x <时，()0g x '<；当02x <<时，()0g x '>， 所以()()ex f x g x =的递减区间为(),0-∞和()2,+∞， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求解完()f x 的解析式之后，根据()0f x '<去分析()f x 的单调递减区间.2．A解析：A 【分析】化简可得322tan 1tan xy x=-，令tan t x =，()1,t ∈+∞，则3221t y t =-，求出函数导数，利用导数判断函数的单调性即可求出最值. 【详解】可得3222tan 2tan tan 22tan 2tan 1tan 1tan x xy x x x x x =-=-=--， 令tan t x =，则()1,t ∈+∞，则3221t y t=-， 则()()()()()22322222261222311t t t t t t y t t --⨯--'==--，当(t ∈时，0y '>，函数单调递增，当)t ∈+∞时，0y '<，函数单调递减，所以当t =时，()3max 221y ⨯==--.故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键是利用换元法将函数化为3221t y t =-，然后利用导数讨论其单调性即可求出最值.3．B解析：B 【分析】由x b =既是()f x 的极小值点，又是零点，且()f x 的最高次项系数为1，因此可设2()()()f x x b x m =-+，这样可求得1m =-，然后求出()'f x ，求得()'f x 的两个零点，一个零点是b ，另一个零点2x 必是极大值点，由2b x >可得b 的范围． 【详解】因为()0f b =，x b =是函数()f x 的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f x x b x m =-+，又2()()()f x x b x ax b =-++，令0x =得22b m b =-，1m =-，即2()(1)()f x x x b =--，22()3(42)2f x x b x b b '=-+++()(32)x b x b =---，由()0f x '=得1x b =，223b x +=， x b =是极小值点，则23b +是极大值点，23b b +>，所以1b >． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．4．A解析：A 【分析】根据条件变形可知()()F x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，转化()0F x '≤恒成立，即可求解. 【详解】 不妨设()()121212,1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减， 所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，()()2110,x ae x F x x--≤'=当1x =时，,a R ∈当(]1,2x ∈时，()()21xx a g x e x ≤=-， 而()()()222201x x x x g x e x -'-+=<-，所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2min 42g x g e==，所以24,a e ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题中[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，可转化为函数()()F x f x x =-递减是解题的关键，突破此点后，利用导数()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，分离参数就可求解.5．D解析：D 【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 【详解】解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：D ． 【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．6．A解析：A 【分析】利用函数的定义域和函数的值域排除BD ，通过函数的单调性排除C ，推出结果即可. 【详解】令()ln 1g x x x =--，则11()1x g x x x-'=-=，由()0g x '>得1x >，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增， 由()0g x '<得01x <<，即函数()g x 在(0,1)上单调递减， 所以当1x =时，()()min 10g x g ==， 于是对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，有()0g x >，则()0f x >，故排除BD ，因为函数()g x 在()0,1单调递减，则函数()f x 在()0,1递增，故排除C. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数对函数图象辨别，属于中档题.7．D解析：D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-， 故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.8．B解析：B 【解析】本题考查导数及函数的最值、单调性 由()1sin 3f x x x =-得()/1cos 3f x x =- 令()/1cos 03fx x =-=有1cos 3x =；因为01cos 3x =，则0x 为函数()1sin 3f x x x =-的一个极值点.当[]0,x π∈时，函数cos y x =递减，所以当()00,x x ∈时()/0f x >，函数递增，则③错误，；当()0,x x π∈时()/0fx <，函数递减，④正确．故0x 是函数的一个极大值点且唯一，故此点也是最大值点，①正确，②错误. 故正确答案为①④ 所以本题选B9．A解析：A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 10．A解析：A 【分析】根据题意可将问题转化为方程2ln x ax x -=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，分离参数可得2ln x x a x -=，令()2ln x xh x x-=，利用导数求出()h x 值域即可求解. 【详解】因为函数2()f x x ax =-(1x e e≤≤)与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点， 则函数2()f x x ax =-(1x e e≤≤，e 为自然对数的底数) 与函数()ln g x x =的图象有交点， 即2ln x ax x -=在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即2ln x x a x-=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令()2ln x xh x x-=，（1x e e ≤≤），()221ln x x h x x-+'=， 当11x e≤<时，()0h x '<，函数为减函数， 当1x e <≤时，()0h x '>，函数为增函数， 故1x =时，函数取得最小值1， 当1=x e 时，11h e e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当x e =时，()h e e =，故实数a 的取值范围是11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了转化与化归的思想，考查了计算求解能力，属于中档题.11．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()()g x f x lnx =，求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式()0f x >等价为()()4g x g >，进行求解即可．【详解】 解：x e ，1lnx ∴，则不等式()()0f x xf x lnx '+<等价为()()0f x f x lnx x'+<， 设()()g x f x lnx =， 则()()()0f x g x f x lnx x'='+<， 即()g x 在[e ，)+∞上为减函数，f （4）0=，g ∴（4）f =（4）40ln =，则不等式()0f x >等价为()0lnxf x >， 即()()04g x g >=，()g x 在[e ，)+∞上为减函数，4e x ∴<，即不等式()0f x >的解集为[e ，4)， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查不等式 的求解，根据条件构造函数，通过导数研究函数的单调性是解决本题的关键．属于中档题．12．A解析：A 【分析】 求导，将6x π=代入即可求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭'.. 【详解】已知函数f x =x+cosx,'x =1-sinx,f ∴（）（） 则 11sin .662f ππ⎛⎫=-'= ⎪⎝⎭故选A. 【点睛】本题考查函数在一点处的导数的求法，属基础题.二、填空题13．【分析】均为正实数可得所以再利用导数研究单调性极值与最值即可求解【详解】因为所以所以令则令即解得此时单调递增令即解得此时单调递减所以时所以时的最小值为3故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数求函数 解析：3【分析】x y ，均为正实数，1x y +=，可得10x y =->，所以01y <<， ()11111y f y x y y y+=+-=-再利用导数研究单调性极值与最值即可求解. 【详解】因为1x y +=，所以1x y =-， 所以()11111111111y y y x y y y y y y y--++=+=+=+----， 令()1111f y y y=+--， 则()()()222211211y f y y y y y -'=-+=--令()0f y '>，即210y ->，解得112y << ，此时()f y 单调递增，令()0f y '<，即210y -<，解得102y <<，此时()f y 单调递减， 所以12y =时，()min 11131122f y =+-=，所以12x y ==时1y x y+的最小值为3， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.14．【分析】依题意构造函数则函数在上单调递减利用导数研究函数的单调性则恒成立再根据参变分离即可得解【详解】解：由可知则函数在上单调递减∴∵∴∴实数a 的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数的求导构造函 解析：(,24]-∞【分析】依题意，构造函数()()F x xf x =，则函数在[2,2020]上单调递减，利用导数研究函数的单调性，则()0F x '≤恒成立，再根据参变分离，即可得解. 【详解】解：由()()12210f x f x x x ->，2120202x x ≥>≥，可知()()1122x f x x f x >，则函数()()F x xf x =在[2,2020]上单调递减.32()()ln ,()30aF x xf x a x x F x x x'==-=-≤，∴33a x ≤.∵[2,2020]x ∈，∴33224a ≤⨯=，∴实数a 的取值范围为(,24]-∞. 故答案为：(,24]-∞. 【点睛】本题考查函数的求导、构造函数、根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.15．【分析】求出由题意求出即得答案【详解】在处有极值即解得经检验当时在处有极值符合题意故答案为：【点睛】本题考查函数的极值点与极值属于中档题 解析：3-【分析】 求出()'fx .由题意，()()'10,11f f ==-，求出,a b ，即得答案.【详解】()()32'2,32f x x ax bx f x x ax b =++∴=++. ()f x 在1x =处有极值1-，()()'10,11f f ∴==-，即32011a b a b ++=⎧⎨++=-⎩，解得1a b ==-.经检验，当1a b ==-时，()32f x x x x -=-在1x =处有极值1-，符合题意.1a b ∴==-，23a b ∴+=-.故答案为：3-. 【点睛】本题考查函数的极值点与极值，属于中档题.16．17【分析】先求导再根据导数的定义求得时的瞬时速度是得解【详解】则时的瞬时速度故答案为：17【点睛】本题考查导数的定义在物理中的应用函数在处的瞬时变化率称函数在处的导数解析：17 【分析】先求导，再根据导数的定义求得2t =时的瞬时速度是(2)s '，得解. 【详解】321()2533s t t t t =++-，22()45=(2)1s t t t t '∴=++++则2t =时的瞬时速度2(2)(22)117v s '==++= 故答案为：17 【点睛】本题考查导数的定义在物理中的应用函数(=)y f x 在0=x x 处的瞬时变化率称函数(=)y f x 在0=x x 处的导数.17．a<c<b 【解析】【分析】先利用f0=0求出t 构建新函数gx=xfx 利用导数可判断gx 为-∞0上的增函数从而得到g-e<g-2<g-1即-ef-e<2f2<f1故可得a<c<b 【详解】因为fx 为R 上 解析：【解析】 【分析】 先利用求出，构建新函数，利用导数可判断为上的增函数，从而得到即，故可得.【详解】 因为为上的奇函数，故，而，所以，故当时，，令，则为上的偶函数， 当时，，，当时，则，所以，故，所以为上的增函数，所以 ，即，所以，故.填.【点睛】判断给定的各数的大小，我们可依据它们的形式构建具体的函数，通过函数的单调性来判断它们的大小，而单调性可根据导数的符号来讨论.18．12a4【解析】【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度）从而得到W=2a3从而得到W=12a4【详解】在二维空间中二维测度S=a2与一维测度（周 解析：【解析】 【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度），从而得到，从而得到．【详解】在二维空间中，二维测度与一维测度（周长）的关系是；在三维空间中，三维测度与二维测度的关系是，故在四维空间中，若“超立方”的三维测度，则其四维测度满足，所以，故（为常数），类比各个维度测度的解析式的形式可得，故，填．【点睛】本题考查类比推理，属于基础题．19．-3【解析】由函数则令所以解得即所以解析：-3 【解析】由函数()()221f x x xf =+'，则()()221f x x f +''=，令1x =，所以()()1221f f =+''，解得()12f '=-，即()24f x x x =-，所以()211413f =-⨯=-.20．【分析】先求导数再根据导数几何意义得切线斜率最后根据点斜式求切线方程【详解】【点睛】求曲线的切线要注意过点P 的切线与在点P 处的切线的差异过点P 的切线中点P 不一定是切点点P 也不一定在已知曲线上而在点P 解析：2y x =【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.三、解答题21．（Ⅰ）2b =-；（Ⅱ）c 的取值范围是()(),12,-∞-+∞．（Ⅲ）成立，证明见解析.【分析】（Ⅰ）由题意得f （x ）在x ＝1处取得极值所以f ′（1）＝3﹣1+b ＝0所以b ＝﹣2． （Ⅱ）利用导数求函数的最大值即g （x ）的最大值，则有c 2＞2+c ，解得：c ＞2或c ＜﹣1．（Ⅲ）对任意的x 1，x 2∈[﹣1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|72≤恒成立，等价于|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min 72=． 【详解】（Ⅰ）∵f （x ）＝x 312-x 2+bx +c ， ∴f ′（x ）＝3x 2﹣x +b ．∵f （x ）在x ＝1处取得极值， ∴f ′（1）＝3﹣1+b ＝0． ∴b ＝﹣2．经检验，符合题意．（Ⅱ）f （x ）＝x 312-x 2﹣2x +c ． ∵f ′（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1）， 当x ∈（﹣1，23-）时，f ′（x ）＞0 当x ∈（23-，1）时，f ′（x ）＜0 当x ∈（1，2）时，f ′（x ）＞0∴当x 23=-时，f （x ）有极大值2227+c ．又f （2）＝2+c 2227+＞c ，f （﹣1）12=+c 2227+＜c ∴x ∈[﹣1，2]时，f （x ）最大值为f （2）＝2+c ． ∴c 2＞2+c ．∴c ＜﹣1或c ＞2．（Ⅲ）对任意的x 1，x 2∈[﹣1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|72≤恒成立． 由（Ⅱ）可知，当x ＝1时，f （x ）有极小值32-+c ． 又f （﹣1）12=+c 32-+＞c ∴x ∈[﹣1，2]时，f （x ）最小值为32-+c ． ∴|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min 72=，故结论成立． 【点睛】本题考查函数的极值及最值的应用，易错点是知极值点导数为0要检验，结论点睛：|f （x 1）﹣f （x 2）|≤a 恒成立等价为f （x ）max ﹣f （x ）min ≤a 22．（1）3a =，2b =；（2）4. 【分析】（1）求出切点的坐标，利用切线的斜率和切点的坐标可得出关于实数a 、b 的方程组，进而可解得实数a 、b 的值；（2）利用导数分析函数()f x 在区间[]1,2-上的单调性，可求得该函数在区间[]1,2-上的最大值和最小值，由此可求得结果. 【详解】（1）由已知得切点为()1,0，且()23f x x a '=-，()()110130f a b f a ⎧=-+=⎪∴⎨=-='⎪⎩，解得3a =，2b =；（2）由（1）知()332f x x x =-+，233fxx ，当12x <≤时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增； 当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减. 所以，()()min 10f x f ==，又()14f -=，()24f =，()max 4f x ∴=.因此，函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值之和为4. 【点睛】在利用导数求解函数的最值的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数()y f x =在[],a b 内所有使()0f x '=的点，再计算函数()y f x =在区间内所有使()0f x '=的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 23．（1）0a =，4b =-；（2）3a =；（3）[0,)a ∈+∞. 【分析】（1）利用导数的几何意义，可得(1)12f '-=，(1)9f -=-，计算整理，即可求得a ，b 的值；（2）令'(3)0f =，即可求得a 的值，检验可得3x =为极值点，即可得答案； （3）令'()0f x =，解得1x a =，21x =，分别求得1a <和1a ≥时，()f x 的单调区间，结合题意，分析推理，即可得答案. 【详解】（1）因为32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，所以2()66(1)6f x x a x a '=-++，由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-， 解得0a =，4b =-.（2）因为()f x 在3x =取得极值， 所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.当3a =时，'2()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--， 令'()0f x =，解得x=1或3，所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意. （3）令()6()(1)0f x x a x '=--=， 得1x a =，21x =. 当1a <时，若(,)(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数， 故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立. 当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意， 当1a ≥时，若(,1)(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数， 从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题. 24．（1）323()2f x x x =-；（2）答案见解析. 【分析】（1）由图知(0)0f =得0c ，x 轴与曲线相切于原点得(0)0f '=，在利用定积分求阴影面积即可；（2）先求出()f x 在R 上的单调性，再根据m 的位置分类讨论，即可求出. 【详解】（1）由(0)0f =得0c，2()32f x x ax b '=++，由(0)0f '=得0b =，∴322()()f x x ax x x a =+=+，令()0f x =，得0x =或x a =-，由图知0a ->，即0a <，则易知图中所围成的区城(阴影)面积为()4343200()4312aaax ax a f x dx x ax dx ---⎛⎫-⎰=-⎰+=-+= ⎪⎝⎭， 即4271264a =，从而得32a =-， ∴323()2f x x x =-. （2）由（1）知2()333(1)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=，解得0x =或1x =，由题310,(1)22f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：①当01m <<时，()f x 在0,m 上单调递减，所以()()(0)f m f x f ≤≤，即323()02m m f x -≤≤； ②当312m ≤≤时，()f x 在[0,1)上单调递减，在(1,]m 上单调递增，所以(1)()(0)f f x f ≤≤，即1()02f x -≤≤； ③当32m >时，()f x 在[0,1)上单调递减，在(1,]m 上单调递增，所以(1)()()f f x f m ≤≤，即3213()22f x m m -≤≤-， 综上可知：当01m <<时，()f x 值域为323,02m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 当312m ≤≤时，()f x 值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 当32m >时，()f x 值域为3213,22m m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点晴】此题要抓住图像的特征，找寻特殊点，充分体现了函数部分数形结合思想和分类讨论思想. 25．（1）212a e=；（2）见解析. 【分析】（1）由题意得出()20f '=，可求得a 的值，然后对函数()y f x =是否在2x =取得极值进行验证，进而可求得实数a 的值；（2）当21a e ≥时，()ln 1x e f x x e ≥--，构造函数()ln 1xe g x x e=--，利用导数证明出当0x >时，()0g x ≥恒成立，即可证得结论成立. 【详解】（1）函数()ln 1xf x ae x =--的定义域为()0,∞+，()1xf x ae x'=-． 由题设知，()20f '=，所以212a e =，此时()212x e f x x-'=-，则函数()y f x '=在()0,∞+上为增函数，当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>. 此时，函数()y f x =在2x =处取得极小值，合乎题意. 综上所述，212a e =； （2）当1a e ≥时，()ln 1xe f x x e≥--，设()ln 1x e g x x e =--，则()1x e g x e x'=-．由于函数()y g x '=在()0,∞+上单调递增，且()10g '=. 当01x <<时，()0g x '<，此时，函数()y g x =单调递减；当1x >时，()0g x '>，此时，函数()y g x =单调递增．所以，函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，()()min 10g x g ∴==. 因此，当1a e≥时，()0f x ≥． 【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 26．（1）21y x =+；（2）13y x = 【分析】（1）对函数求导，代入切点横坐标即可得出斜率，进而可得结果.（2）设切点坐标3000(,16)+-P x x x ，用导数求出切线斜率，再用两点坐标求出斜率，列方程，即可求出切点坐标，进而求出切线方程. 【详解】 （1）()()222222x xy x x +-==++'，1|2x k y =-'==切线方程为：(1)2(+1)--=y x ，即2+1=y x（2）设切点为3000(,16)+-P x x x2'()3+1=f x x ，()32000001631x x k f x x x +-=='=+，解得0-2=x(-2,-26)P ，切线方程为：(26)13(2)--=+y x ，即13y x =【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了计算能力，属于基础题目.。

单元综合测试三(第三章)时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0， 且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)， 即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)． 要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ， 即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)， 则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54， 又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。