2014-2015学年人教a版数学选修2-2第1章《导数及其应用》综合检测(含答案)

第一章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0⇒y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数⇒f ′(x )≥0⇒f ′(x )>0.答案 A2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程是2x ＋y －1＝0，则( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析 曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝－2<0.答案 B3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－53)处切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°解析 ∵y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1， ∴α＝45°. 答案 B4．曲线f (x )＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标为( )A ．(0，－1)或(1,0)B ．(1,0)或(－1，－4)C ．(－1，－4)或(0，－2)D ．(1,0)或(2,8)解析 设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 20＝1，∴x 0＝1，或x 0＝－1.∴P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4)． 答案 B5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝x 3－x C ．y ＝x e x D ．y ＝－x ＋ln(1＋x )解析 对于C ，有y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)>0. 答案 C6．下列积分值为2的是( ) A.⎠⎛05(2x －4)d xB .⎠⎛0πcos x d xC .⎠⎛131x d x D .⎠⎛0πsin x d x解析 ⎠⎛πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪⎪π0＝－cos π＋cos 0＝2.答案D7．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图所示，则导函数y＝f′(x)的图象为()解析由y＝f(x)的图象知，有两个极值点，则y＝f′(x)的图象与x轴应有两个交点，又由增减性知，应选D项．答案D8．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有()A．极大值5，极小值为－27B．极大值5，极小值为－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析 f ′(x)＝3x 2－6x －9 ＝3(x ＋1)(x －3)． 当x<－1时，f ′(x)>0， 当－1<x<3时，f ′(x)<0. ∴x ＝－1是f(x)的极大值点．且极大值为f(－1)＝5，在(－2,2)内无极小值． 答案 C9．已知f(x)为三次函数，当x ＝1时f(x)有极大值4，当x ＝3时f(x)有极小值0，且函数f(x)过原点，则此函数是( )A ．f(x)＝x 3－2x 2＋3xB ．f(x)＝x 3－6x 2＋xC ．f(x)＝x 3＋6x 2＋9xD ．f(x)＝x 3－6x 2＋9x 解析 设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx(a ≠0)，则f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a(x －1)(x －3)＝3ax 2－12ax ＋9a. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝4，f (3)＝27a ＋9b ＋3c ＝0，c ＝9a.解得a ＝1，b ＝－6，c ＝9. 所以f(x)＝x 3－6x 2＋9x. 答案 D10．由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )A .23 B ．1 C .43 D .53解析 如图所示，阴影部分的面积为S 1＝⎠⎛0－1(x 2－x)d x＝(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪⎪ 0－1 ＝56.S 2＝ ⎪⎪⎪⎪ ⎠⎛01(x 2－x)d x ⎪⎪⎪⎪ ＝－(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪⎪ 10＝16， 故所求的面积为S ＝S 1＋S 2＝1. 答案 B11．函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a 处有极值，则ac ＋2b 的值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．3解析 f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，依题意知，3a ×(1a )2＋2b ×1a ＋c ＝0， 即3a ＋2ba ＋c ＝0， ∴2b ＋ac ＝－3. 答案 A12．设函数f(x)满足x 2f ′(x)＋2xf(x)＝e x x ，f(2)＝e28，则x>0时，f(x)( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析 由题意知，f ′(x)＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g(x)＝e x－2x 2f(x)，则g ′(x)＝e x －2x 2f ′(x)－4xf(x)＝e x －2[x 2f ′(x)＋2xf(x)]＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x . 由g ′(x)＝0，得x ＝2.当x ＝2时，g(x)有极小值g(2)＝e 2－2×22f(2)＝e 2－8·e 28＝0.∴g(x)≥0.当x>0时，f ′(x)＝g (x )x 3≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)既无极大值也无极小值．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．函数f(x)在R 上可导，且f ′(0)＝2.∀x ，y ∈R ，若函数f (x＋y )＝f (x )f (y )成立，则f (0)＝________.解析 令y ＝0，则有f (x )＝f (x )f (0)． ∵f ′(0)＝2，∴f (x )不恒为0，∴f (0)＝1. 答案 114．解析答案 π2－115．若函数f(x)＝13x 3－f ′(1)·x 2＋2x ＋5，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋2， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)＋2. ∴f ′(1)＝1. ∴f ′(x)＝x 2－2x ＋2. ∴f ′(2)＝22－2×2＋2＝2. 答案 216．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4 s 内经过的路程是________．解析 ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t)⎪⎪⎪⎪84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26 ＝261.2. 答案 261.2米三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f(x)＝13x 3－4x ＋m 在区间(－∞，＋∞)上有极大值283.(1)求实数m 的值；(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值． 解 f ′(x)＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x)＝0，得x ＝－2，或x ＝2. 故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞)， 减区间为(－2,2)．(1)当x ＝－2，f(x)取得极大值， 故f(－2)＝－83＋8＋m ＝283， ∴m ＝4.(2)由(1)得f(x)＝13x 3－4x ＋4， 又当x ＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.18．(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．解 设容器底面宽为x m ，则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x)m .由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x>0，x>0，解得0<x<1.6， 设容器的容积为y m 3，则有y ＝x(x ＋0.5)(3.2－2x)＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y ′＝0，即－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0， 解得x ＝1，或x ＝－415(舍去)．∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x ＝1使y ′＝0，且x ＝1是极大值点，∴当x ＝1时，y 取得最大值为1.8. 此时容器的高为3.2－2＝1.2 m .因此，容器高为1.2 m 时容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3. 19．(12分)设函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求证：f (x )为R 上的单调递增函数； (2)当x ∈[1,3]时，若f (x )的最小值为4，求实数a 的值． 解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ，则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6＝6(x －1)2≥0，∴f (x )为R 上的单调增函数．(2)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．①当a ≤1时，f (x )在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f (1)＝3a －1，∴3a －1＝4，∴a ＝53>1(舍去)；②当1<a <3时，f (x )在(1，a )上是减函数，在区间(a,3)上是增函数，故在[1,3]上的最小值为f (a )＝2a 3－3(a ＋1)a 2＋6a 2＝4.化简得(a ＋1)(a －2)2＝0，∴a ＝－1<1(舍去)，或a ＝2；③当a ≥3时，f (x )在区间(1，a )上是减函数，故f (3)为最小值， ∴54－27(a ＋1)＋18a ＝4， 解得a ＝229<3(舍去)． 综上可知，a ＝2.20．(12分)设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两根分别为1,4.(1)当a ＝3，且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． 解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根分别为1,4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*) (1)当a ＝3时，由(*)得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a .又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)，解⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0，得a ∈[1,9]， 即a 的取值范围是[1,9]．21．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，∴a ＋b ＝4.①又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b ，由条件f ′(1)(－19)＝－1，得3a ＋2b ＝9.②由①，②解得a ＝1，b ＝3.(2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0，或x ≤－2，若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，∴m ≥0，或m ＋1≤－2，即m ≥0，或m ≤－3，∴m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．22．(12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.(1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围；(2)证明：(x －1)f (x )≥0.解 (1)f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x ，xf ′(x )＝x ln x ＋1，题设xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a .令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x －1.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点，g (x )≤g (1)＝－1.综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1，即g (x )＋1≤0，即ln x －x ＋1≤0，当0<x <1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)≤0；当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x (ln x ＋1x －1)＝ln x －x (ln 1x －1x ＋1)≥0.所以(x －1)f (x )≥0.。

第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________；4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

第一章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·天津红桥区高二段测)二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限[答案] A[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，由y ＝f ′(x )的图象可知，2a <0，b >0，∴a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a>0，故选A.2．(2013·华池一中高二期中)曲线y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x －4[答案] B[解析] ∵y ′＝1x 2，∴y ′|x ＝12＝4，∴k ＝4，∴切线方程为y ＋2＝4(x －12)，即y ＝4x －4.3．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( ) A ．f (x )＝－x 3B ．f (x )＝－cos xC ．f (x )＝sin x －xD ．f (x )＝1x[答案] B[解析] 对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sin x，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cos x在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝1x在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.4．(2013·北师大附中高二期中)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－3)，∪(3，＋∞) B．(－3，3)C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．[－3，3][答案] D[解析] f′(x)＝－3x2＋2ax－1，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴f′(x)≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，∴－3≤a≤3，故选D.5．(2013·武汉实验中学高二期末)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )[答案] A[解析] f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f′(x)的图象在(－∞，0)上，f′(x)>0，在(0，＋∞)上f′(x)的符号变化规律是负→正→负，故选A.6．(2012·陕西文，9)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点[答案] D[解析] 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x)＝0可得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >2时f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点．7．(2014·天门市调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且图象关于点(3π2，0)对称C ．奇函数且图象关于点(3π2，0)对称D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称 [答案] D[解析] ∵f (x )的图象关于x ＝π4对称，∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)，∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.8．(2013·武汉实验中学高二期末)定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.9．(2013·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f1<0，f 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2.10．(2013·河南安阳中学高二期末)f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )[答案] A[解析] 令F (x )＝xf (x )，(x >0)，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴F (a )>f (b )，即af (a )>bf (b )，与选项不符； 由于xf ′(x )＋f (x )≤0且x >0，f (x )≥0，∴f ′(x )≤－f xx≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴f (a )>f (b )， ∴bf (a )>af (b )，结合选项知选A.11．(2014·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.12．(2013·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )[答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2013·华池一中高二期中)已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．[答案] 57[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.14．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－2>0，f 1<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－2<0，f 1>0，6 5<a<－316，综上知，－65<a<－316.∴－15．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x、y 2＝x 与直线x ＝2、y ＝0围成，则其面积为______．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f(x)的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝－2，f ′1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(本题满分12分)(2014·北京海淀期中)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．[解析] (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ， ∴f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x(x >0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2a ＋1x ＋2a x＝2x －1x －ax(x >0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0<a <1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2x －12x≥0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >1时，在x ∈(0,1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调增区间为(0,1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2.20．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.21．(本题满分12分)(2014·荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中期中联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1，a 为常数．(1)若a ＝92，求函数f (x )在[1，e ]上的值域；(e 为自然对数的底数，e ≈2.72)(2)若函数g(x)＝f(x)＋x在[1,2]上为单调减函数，求实数a的取值范围．[解析] (1)由题意f ′(x )＝1x－a x ＋12，当a ＝92时，f ′(x )＝1x －92x ＋12＝x －22x －12x x ＋12. ∵x ∈[1，e ]，∴f (x )在[1,2)上为减函数，[2，e ]上为增函数， 又f (2)＝ln2＋32，f (1)＝94，f (e )＝1＋92e ＋2，比较可得f (1)>f (e )，∴f (x )的值域为[ln2＋32，94]．(2)由题意得g ′(x )＝1x－a x ＋12＋1≤0在x ∈[1,2]上恒成立，∴a ≥x ＋12x＋(x ＋1)2＝x 2＋3x ＋1x＋3恒成立，设h (x )＝x 2＋3x ＋1x＋3(1≤x ≤2)，∴当1≤x ≤2时，h ′(x )＝2x ＋3－1x2>0恒成立，∴h (x )max ＝h (2)＝272，∴a ≥272，即实数a 的取值范围是[272，＋∞)．22．(本题满分14分)(2014·北京海淀期中)如图，已知点A (11,0)，直线x ＝t (－1<t <11)与函数y ＝x ＋1的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记△APH 的面积为f (t )．(1)求函数f (t )的解析式； (2)求函数f (t )的最大值．[解析] (1)由已知AH ＝11－t ，PH ＝t ＋1，所以△APH 的面积为f (t )＝12(11－t )t ＋1，(－1<t <11)．(2)解法1：f ′(t )＝33－t 4t ＋1，由f ′(t )＝0得t ＝3，函数f (t )与f ′(t )在定义域上的情况如下表：t (－1,3) 3 (3,11)所以当t ＝3时，函数f (t )取得最大值8. 解法2.由f (t )＝12(11－t )t ＋1＝1211－t2t ＋1，－1<t <11，设g (t )＝(11－t )2(t ＋1)，－1<t <11，则g ′(t )＝－2(11－t )(t ＋1)＋(11－t )2＝(t －11)(t －11＋2t ＋2)＝3(t －3)(t －11)．g (t )与g ′(t )在定义域上的情况见下表：t (－1,3) 3 (3,11) g ′(t ) ＋ 0 － g (t )单调递增极大值单调递减所以当t ＝3所以当t ＝3时，函数f (t )取得最大值12g3＝8.一、选择题1．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝(2x ＋a )|x ＝0＝a ＝1， 将(0，b )代入切线方程得b ＝1.2．(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5.3．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15D ．5，－16[答案] A[解析] ∵y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.4.⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2[答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.5．(2013·吉林白山一中高二期末)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e)C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e)>f (d )[答案] C[解析] 由图可知f ′(x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上取正值，在(c ，e)上取负值，故f (x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上单调递增，在(c ，e)上单调递减，∵a <b <c ，∴f (a )<f (b )<f (c )，故选C.6．已知函数f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1，1)，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[答案] B[解析] ∵f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)，∴f ′(x )＝4＋3cos x >0在x ∈(－1,1)上恒成立，∴f (x )在(－1,1)上是增函数，又f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0可化为f (1－a )<f (a 2－1)，从而可知，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1.解得1<a < 2.7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )[答案] D[解析] A 中，当f (x )为二次函数时，f ′(x )为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A 可以是正确的，同理B 、C 都可以是正确的，但D 中f (x )的单调性为增、减、增，故f ′(x )的值应为正负正，因此D 一定是错误的．8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.9．如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18J B ．0.26J C ．0.12JD ．0.28J[解析] 设F(x)＝kx，当F(x)＝1时，x＝0.01m，则k＝100，∴W＝∫0.060100x d x＝5010．(2014·甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B.11．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.12．(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′0>0，f ′1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>loga3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B.二、填空题13．(2014·杭州七校联考)若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极值，则实数b 的取值范围是________．[答案] (0,1)[解析] f ′(x )＝3x 2－3b ，∵f (x )在(0,1)内有极值， ∴f ′(x )＝0在(0,1)内有解，∴0<b <1.14．(2013·泰州二中高二期中)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________.[答案] 5[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是f ′(x )＝0的根，即f ′(－3)＝0，∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.15．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是__________________． [答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n(1－x )，∴y ′＝(x n)′(1－x )＋(1－x )′·x n＝n ·x n －1(1－x )－x n.f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1.在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n. ∴切线方程为y ＋2n＝(－n －2)·2n －1(x －2)．令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n， ∴a n ＝(n ＋1)·2n，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为22n－12－1＝2n ＋1－2.16．(2014·哈六中期中)已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________．[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图象，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，fx ＋3>0，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，f x ＋3<0.(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，0<x ＋3<4.∴－2<x <1，综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1) 三、解答题17．(2013·四川达州诊断)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数．(1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )， 令f ′(x )＝0得x ＝±b ，x (－∞，－b )－b (－b ，b )b(b ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )增极大值减极小值增依题意有⎩⎨⎧f －b >0，fb <0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．18．在曲线y ＝x 3(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴围成图形的面积为112，试求过切点A 的切线方程． [解析] 设切点A (x 0，x 30)，切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.∴切线的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)． 令y ＝0，得x ＝2x 03.依题意S ＝∫x 00x 3d x －12×(x 0－2x 03)·x 3＝14x 40－16x 40＝112x 40＝112， ∵x 0≥0，∴x 0＝1.∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.19．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′23＝3×232＋2a ×23＋b ＝0，f ′1＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.经检验得x ＝23时，y ＝f (x )有极小值，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23，f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表： x －4 (－4，－2)－2 (－2，23)23 (23，1) 1 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增极大值 单调递减极小值 单调递增函数值－111395274∵f (3)＝27，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4，∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.20．(2013·海淀区高二期中)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b的值；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值．[解析] (1)f′(x)＝a2x2－4ax＋b，由题意f′(0)＝b＝3.(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，1)1 (1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，13)13 (13，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1.21．(2013·武汉实验中学高二期末)已知曲线f (x )＝ax 2＋2在x ＝1处的切线与直线2x －y ＋1＝0平行．(1)求f (x )的解析式；(2)求由曲线y ＝f (x )与y ＝3x 、x ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的平面图形的面积． [解析] (1)由已知得：f ′(1)＝2，求得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2.(2)由题意知阴影部分的面积是：S ＝⎠⎛01(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12(3x －x 2－2)d x＝(13x 3＋2x －32x 2)|10＋(32x 2－13x 3－2x )|21＝1. 22．(2013·福州文博中学高二期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[解析] (1)由题设知g (x )＝ln x ＋1x，∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间． 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －12x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．文档可能无法思考全面，请浏览后下载!19 / 31 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)， 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)． (3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a， 即ln a <1，从而得0<a <e ，即a 的取值范围为(0，e)．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作数学人教A 选修2-2第一章 导数及其应用单元检测(时间：60分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后走过的路程为43215243s t t t =-+，那么速度为0的时刻是( )A ．1 s 末B ．0 sC ．4 sD ．0 s 末，1 s 末，4 s 末2．当x 在(－∞，＋∞)上变化时，导函数f ′(x )的符号变化如下表：x (－∞，1) 1 (1,4) 4 (4，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 －则函数f (x )的图象的大致形状为( )3．当x ＝a 时，函数y ＝ln(x ＋2)－x 取到极大值b ，则ab 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．π4π41cos 2d 3x x -⎰＝( )A ．13 B ．23C ．23D ．23-5．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)6．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m 时F (x )做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J7．已知f (x )＝(x ＋a )2，且1'32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．28．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a ＜0或a ＞21 D ．a ＝0或a ＝21 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________． 10．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为__________．11．若函数()241xf x x =+在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．．三、解答题(共34分)12．(10分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋4ln x 的极值点为1和2． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间(0,3]上的最大值．13．(10分)甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？14．(14分)已知a ∈R ，f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求f ′(x )；(2)若f ′(1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a 的取值范围．参考答案1答案：D 解析：s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0得t ＝0,1,4．2答案：C 解析：从表中可知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．3答案：A 解析：y ′＝[ln(x ＋2)－x ]′＝112x -+．令y ′＝0，得x ＝－1，此时y ＝ln 1＋1＝1，即a ＝－1，b ＝1，故ab ＝－1．4答案：A 解析：ππ44ππ441111cos 2d sin 23323x x x--=⨯=⎰． 5答案：C 解析：f ′(x )＝2bx x -++．∵f (x )在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x )在(－1，＋∞)上小于零恒成立， 即2bx x -++≤0恒成立， ∴b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又∵x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1＜－1，∴b ≤－1． 6答案：C 解析：依题意F (x )做的功是 W ＝105⎰F (x )d x ＝105⎰(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )105＝825(J)．7答案：B 解析：∵f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，依题意有2×12＋2a ＝－3，解得a ＝－2．8答案：A 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．故选A ．9答案：a ＜0 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x (x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，则曲线f (x )上存在导数为0的点，即3ax 2＋1x ＝0有解，313a x=-，∵x ＞0，∴3103x-<．∴a ＜0．10答案：54 解析：由题意f (x )＝110,0,211010,1,2x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩则xf (x )＝22110,0,211010, 1.2x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(－10x 2＋10x )d x ＝1323120121010533x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝101105101553834384⎛⎫⎛⎫⨯+---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．11答案：－1＜m ≤0 解析：由已知得f ′(x )＝22244(1)x x -+在(m ,2m ＋1)上有f ′(x )≥0，即1－x 2≥0，－1≤x ≤1，∴1,211,2 1.m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩∴－1＜m ≤012答案：解：f ′(x )＝2ax ＋b ＋4x ＝224ax bx x ++，x ∈(0，＋∞)，由y ＝f (x )的极值点为1和2，∴2ax 2＋bx ＋4＝0的两根为1和2，∴240,8240,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩答案：由(1)得f (x )＝x 2－6x ＋4ln x ，∴f ′(x )＝2x －6＋4x＝22642(1)(2)x x x x x x-+--=，x ∈(0,3]．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2(2,3) 3 f ′(x ) ＋ 0 － 0＋f (x )单调递增 －5 单调递减 4ln 2－8 单调递增4ln 3－9∵f (3)＝4ln 3－9＞f (1)＝－5＞f (2)＝4ln 2－8， ∴f (x )max ＝f (3)＝4ln 3－9．13答案：解：设CD ＝x (km)，则CE ＝3－x (km)． 由题意得所需电线的长为l ＝AC ＋BC ＝2221 1.5(3)x x +++-(0≤x ≤3)． ∴22222(3)'212 1.5(3)x x l xx --=+++-．令l ′＝0，则222301 1.5(3)x xx x --=++-，即22231 1.5(3)x x x x -=++-，平方， 得22222(3)1 1.5(3)x x x x -=++-， 即1.52x 2＋x 2(3－x )2＝(3－x )2＋x 2(3－x )2， ∴1.52x 2＝(3－x )2，∴1.5x ＝±(3－x )，解得x ＝1.2或x ＝－6(舍去)，经检验x ＝1.2为函数的最小值点，故当CD ＝1.2 km 时所需电线最短．14答案：解：f ′(x )＝(x 2－4)′(x －a )＋(x 2－4)(x －a )′ ＝2x (x －a )＋x 2－4＝3x 2－2ax －4．答案：由f ′(1)＝0，得3－2a －4＝0，∴12a =-． 此时f (x )＝(x 2－4)12x ⎛⎫+⎪⎝⎭，f′(x)＝3x2＋x－4＝(x－1)(3x＋4)．∴x＝1和43x=-是函数f(x)的极值点．∵9(1)2f=-，450327f⎛⎫-=⎪⎝⎭，f(2)＝f(－2)＝0，∴f(x)max＝5027，f(x)min＝92-．答案：f′(x)＝3x2－2ax－4，如图，设f′(x)＞0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1＜x2，则有'(2)0,'(2)0,22223ffa⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪-≤≤⨯⎩⇒223(2)440,32440,66aaa⎧⨯-+-≥⎪⨯--≥⎨⎪-≤≤⎩⇒2,2,66,aaa≥-⎧⎪≤⎨⎪-≤≤⎩∴－2≤a≤2，即实数a的取值范围为{a|－2≤a≤2}．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末综合测评(一) 导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h 的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0【解析】 lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝2lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝2f ′(x 0)，故选B .【答案】 B2．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1【解析】 y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a ＝1. 【答案】 A3．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6【解析】 由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.【答案】 C4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．【答案】 D5．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．2 C ．1 D ．－1【解析】 f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x －1，则f ′(1)＝12－2f ′(1)·1－1，解得f ′(1)＝0. 【答案】 A6．如图1所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )图1A.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x －⎠⎛12(x 2－1)d x 【解析】 S ＝⎠⎛01[－(x 2－1)]d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .【答案】 C7．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是()A．2 B．1C．0 D．由a确定【解析】f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R 上单调递增，无极值．故选C.【答案】C8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A．－5 B．7C．10 D．－19【解析】∵f(x)′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.【答案】 A9．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，∴原不等式⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1)．∴x>1，故选C.【答案】 C10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a ln x，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()A．a≥0 B．a<－4C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0,1)， ∵f (x )在(0,1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0,1)上恒成立， 即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0,1)上恒成立．设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0,1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4. ∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4. 【答案】 C11．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．2【解析】 设曲线上的点A (x 0，ln(2x 0－1))到直线2x －y ＋3＝0的距离最短， 则曲线上过点A 的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． 因为y ′＝12x －1·(2x －1)′＝22x －1， 所以y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1. 所以点A 的坐标为(1,0)．所以点A 到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5. 【答案】 A12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，且对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( ) 【导学号：62952063】A ．3 B.52 C ．2D.32【解析】 由题意，得f ′(x )＝2ax ＋b .由对任意实数x ，有f (x )≥0，知图象开口向上，所以a >0，且Δ＝b 2－4ac ≤0，所以ac ≥b 24.因为f ′(0)>0，所以b >0，且在x ＝0处函数递增． 由此知f (0)＝c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥b ＋2b 24b＝2.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．⎠⎜⎛π2 (3x ＋sin x )d x ＝__________. 【解析】 ⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sin x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 22－cos x ⎪⎪⎪π20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫π22－cos π2－(0－cos 0)＝3π28＋1.【答案】 3π28＋114．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ， ∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2， ∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2)． 【答案】 (－ln 2,2)15．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是__________.【导学号：62952064】【解析】 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f (x )的极大值为f (－1)＝2， 极小值为f (1)＝－2，如图所示，－2<a <2时，恰有三个不同公共点．【答案】 (－2,2)16．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】 设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203， 且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3. 【答案】 4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限，(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－1 4，因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，所以直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a ln(x＋1)＋12x2－ax＋1(a>0)．(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．【解】(1)f(0)＝1，f′(x)＝ax＋1＋x－a＝x(x－a＋1)x＋1，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，即x(x－a＋1)x＋1＝0.解得x＝0或x＝a－1.当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为x(－1,0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1，＋∞) f′(x) ＋0 －0 ＋f(x) 单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1,0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝a ln a－12a2＋32.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－m ln x，h(x)＝x2－x＋a，(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．【解】(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，得m≤xln x在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝xln x，则g′(x)＝ln x－1(ln x)2，故g′(e)＝0，当x∈(1，e)时，g′(x)<0；x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.所以m≤e.(2)由已知可知k(x)＝x－2ln x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点，φ′(x)＝1－2x＝x－2x，故φ′(2)＝0，所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln 2<a≤3－2ln 3.所以实数a的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)， 所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．21．(本小题满分12分)抛物线y ＝ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y ＝4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S .求使S 达到最大值的a ，b 值，并求S 的最大值．【解】 由题设可知抛物线为凸形，它与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝－b a ，所以S ＝⎠⎛0－ba (ax 2＋bx )d x ＝16a 2b 3， ①又直线x ＋y ＝4与抛物线y ＝ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点， 由方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝4，y ＝ax 2＋bx ，得 ax 2＋(b ＋1)x －4＝0，其判别式Δ＝0， 即(b ＋1)2＋16a ＝0.于是a ＝－116(b ＋1)2，代入①式得： S (b )＝128b 33(b ＋1)4(b >0)，S ′(b )＝128b 2(3－b )3(b ＋1)5；令S ′(b )＝0，得b ＝3，且当0<b <3时，S ′(b )>0； 当b >3时，S ′(b )<0.故在b ＝3时，S (b )取得极大值，也是最大值，即a ＝－1，b ＝3时，S 取得最大值，且S max ＝92. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求证：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1. 【导学号：62952065】【解】 (1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x(x ＋1)2－bx 2，由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，(2)证明：由(1)知，f (x )＝ln x x ＋1＋1x， 所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x －x 2－1x . 设函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2.所以当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0， 所以当x ∈(0,1)时，h (x )>0，得f (x )>ln xx －1； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，得f (x )>ln xx －1. 故当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1.。

第一章 导数及其应用 本章练测一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1.若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h →+--=（ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 2．函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值 3．函数xx y 142+=的单调递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),21(+∞ D ．),1(+∞4．函数xxy ln =的最大值为（ ）A ．1e -B ．eC ．2eD ．310 5.已知曲线32114732y x x x =++-在点Q 处的切线的倾斜角α满足216sin 17α=，则此切线的方程为（ ）Ａ．470x y -+=或4x −y −416=0Ｂ．4x −y −416=0Ｃ．470x y --=或4x −y −416=0Ｄ．470x y --=6.抛物线y = x 2在点M (12,14)处的切线倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 7.已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf ′(x)>0恒成立.若a ＝20.3f(20.3)，b ＝(log π 2)f(log π 2)，c ＝(log 2 14)f(log 2 14)，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．b >a >c D ．a >c >b 8.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内的极小值点有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为( )A ．f(－a 2)≤f(－1)B ．f(－a 2)<f(－1)C ．f(－a 2)≥f(－1)D ．f(－a 2)与f(－1)的大小关系不确定10.已知函数f(x)＝x 3＋(1－a)x 2－a(a ＋2)x ＋b －2(a ≠1)的图象过原点，且在原点处的切线的斜率是－3，则不等式组{x −ay ≥0，x −by ≥0所确定的平面区域在圆x 2＋y 2＝4内的面积为( )A.πB. π2C. π3D.2π11.已知函数f(x)＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)12.设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）A ．(－3，0)∪(3，+∞)B ．(－3，0)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(3，+∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a = 14．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数，则,,a b c 的关系式为 . 15.已知sin (ππ)1cos xy x x=∈-+，，，当2y '=时，x = ．14.在曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线斜率中斜率最小的切线方程是_________.三、解答题（本题共5小题，共74分）17.（本小题满分14分）求下列函数的导数：(1)y =x(x 2+1x +1x3)；(2)y =(x +1)(x +2)(x +3)； (3)y=(1-√x )(1+√x ).19.（本小题满分14分）已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-.（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间. 20.（本小题满分14分）已知函数2()ln (0).f x x ax x a =-->（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为-2，求a 的值以及切线方程； （2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围.21.（本小题满分16分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(2)求()f x 的单调区间；(3)设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.22.（本小题满分16分）已知平面向量a =(√3,−1),b =(12 ,√32)，若存在不同时为0的实数k和t ，使2(3),,t k t =+-=-+xa b y a b 且⊥x y ，试确定函数()k f t =的单调区间.第三章导数及其应用本章练测答题纸得分：_________一、选择题二、填空题13.___________ 14. ___________ 15. ___________ 16. ___________三、解答题17.18.19.20.21.第一章 导数及其应用 本章练测答案一、 选择题 1．D 解析：'0000000()(3)()(3)lim4lim 4()12.4h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===-2．C 解析：令'23690, 1.yx x x =--==-得 或x =3 ，当x =3时，不满足题意，故舍去.′由上表可知，函数y 有极大值5，无极小值.3．C 解析：令3'322181180,810,.2x y x x x x x -=-=>->>即得4．A 解析：令'''22(ln )ln 1ln 0, e.x x x x xy x x x -⋅-====得′由上表可知，函数y =ln x x 在x=e 时取得最大值，最大值为1e.5.C 解析：由sin 2α=1617得cos α=±√1717，则切线的斜率k =tan α=±4.因为y ′=x 2+x +4，当y ′=4时，x =0或x =−1，此时点Q 的坐标为(0，−7)或(−1,−656).切线方程为y +7=4x ，或y +656=4(x +1)，即4x −y −7=0或4x −y −416=0.当y ′=−4时，没有满足题意的点,故舍去.6.B 解析：因为y ′=2x ，所以抛物线y =x 2在点M(12,14)处的切线斜率为1,倾斜角为45°. 7.C 解析：设g(x)＝xf(x)，由y ＝f(x)为R 上的奇函数，可知g(x)为R 上的偶函数． 而g ′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf ′(x).由已知得，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x)>0，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增. 由偶函数的性质可知，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为a =g (20.3)，b =g (log π2)，c =g(log 214)＝g(－2)＝g(2)，且2>20.3>log π2>0，故c <a <b .8.A 解析：若f (x )在x =x 0处取得极小值点，则f ′(x 0)=0,在x =x 0的左侧f ′(x )<0，在x =x 0的右侧f ′(x )>0.据此可知，f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有1个.9.A 解析：由题意可得f ′(x)＝32 x 2－2x －72. 由f ′(x)＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f ′(x )>0，f(x)为增函数；当－1<x <73时，f ′(x )<0，f(x)为减函数，当x>73时，f ′(x )>0，f(x)为增函数.所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值.又因为－a 2≤0，故f(－a 2)≤ f(－1)． 10.B 解析：由题意得f ′(x)＝3x 2＋2(1－a)x －a(a ＋2)．{f (0)=b −2=0，f ′(0)=−a (a +2)=−3，解得{a =−3，b =2,则不等式组为{x +3y ≥0，x −2y ≥0.如图所示，阴影部分的面积即为所求．易知图中两锐角的正切值分别是tan α＝12，tan β＝13.设两直线的夹角为 γ，则tan γ＝tan(α＋β)＝12＋131－12×13＝1，所以γ＝π4，而圆的半径是2，所以不等式组所确定的区域在圆内的面积S ＝12|γ|r 2=12·π4·4＝π2.11.B 解析：函数f(x)＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值， 所以方程f ′(x )=3x 2+2mx +m +6＝0有两个不同的实数根.由Δ=4m 2−12(m +6)>0得m 的取值范围为(−∞，−3)∪(6，+∞)． 12.D 解析：因为f ′(x )g (x )+f (x )g ’(x)＞0，即[f(x)g(x)]′＞0， 令t (x )=f (x )g(x)，则t(x)在x ＜0时递增.又因为f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以 t (x )= f(x)g(x)为奇函数，关于原点对称，所以t(x)在x ＞0时也是增函数． 因为t (−3)=f (−3)g (−3)=0，所以t (3)=0，所以当x <0时，f (x )g (x )<0可转化为t (x )<t(−3)，即x <−3； 当x >0时，f (x )g (x )<0可转化为t (x )<t(3)，即0<x <3. 二、填空题13.14 解析：设切点P(x 0，y 0).因为y =ax 2，所以y ′=2ax .由题意知x 0-y 0-1=0， ①y 0=ax 02， ② 2ax 0=1， ③由①②③解得：a =14．14．23b ac ≤ 解析：由题意知'2()320f x ax bx c =++≥恒成立，已知a >0，则Δ=4b 2−12ac ≤0，即b 2≤3ac. 15.±2π3解析：y ′=cos x (1+cos x )+sin 2x(1+cos x )2=cos x+1(1+cos x )2=11+cos x=2,x =±23π.14.3x －y －11＝0 解析：因为y ′=3x 2+6x +6，令切线的斜率k =y ′=3x 2+6x +6，当k 取最小值时，x =−1，此时切线的斜率为3，切点为(-1,-14)，切线方程为y −(−14)=3(x +1)，即3x −y −11=0. 三、解答题17.解：(1)因为y =x (x 2+1x+1x 3)=x 3+1+1x 2，所以y ′=3x 2−2x 3.(2)因为y =(x +1)(x +2)(x +3)=x 3+6x 2+11x +6，所以y ′=3x 2+12x +11. (3)因为y =(1−√x)(1+√x)=1−√x √x−1=−√x √x，所以y ′=(−√x √x)′=−12x −12−12x −32=2x √x.18．解：（1）因为c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，所以1c = ①.'3'()42,(1)421f x ax bx k f a b =+==+= ②.由题意得切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-，得a +b +c =−1 ③.联立①②③得a =52，b =−92，c =1,f (x )=52x 4−92x 2+1.（2）令f ′(x )=10x 3−9x =0，得x 1=0，x 2=310√10，x 3=−310√10 . ′由上表可知，函数y =f(x)的单调递增区间为(−10√10，0)，(10√10，+∞). 19.解：(1)f ′(x )=1−2ax −1x .由题设，f '(1)＝－2a ＝－2，所以a ＝1，此时f(1)＝0，切线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0． (2) f '(x )＝－2ax 2−x+1x，令2ax 2−x +1=0,Δ ＝1－8a ．当a ≥18时，Δ≤0，f '(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)单调递减． 当0＜a ＜ 18时，Δ＞0，方程2ax 2－x ＋1＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，则当x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)时，f '(x)＜0，当x ∈(x 1，x 2)时，f '(x)＞0， 这时f(x)不是单调函数．综上，a 的取值范围是[ 18，＋∞)．20.解：(1)由已知1()2(0)f x x x'=+>，(1)213f '=+=. 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3. (2)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>.①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >， 所以函数()f x 的单调递增区间为 (0，+∞). ②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-. 在区间1(0,)a-上，()0f x '>；在区间1(,)a-+∞上，()0f x '<， 所以函数()f x 的单调递增区间为 (0，−1a )，单调递减区间为 (−1a ，+∞).(3)由已知，转化为max max ()()f x g x <，max ()2g x =.由(2)知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.)当0a <时，函数()f x 在(0，−1a )上单调递增，在(−1a，+∞)上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， 所以21ln()a >---，解得31ea <-.21．解：由11),(2=-=a b 得0,2, 1.===g a b a b 22222[(3)]()0,(3)(3)0t k t k t k t t t =+--+=-+--+-=g g g g 即，x y a b a b a a b a b b331430,()(3).4k t t k f t t t -+-===-即可化为令f ′(t )=14(3t 2−3)=0，得t 1=1，t 2=−1. 当t 变化时，f ′(t )，f (t )随t 的变化情况如下表：。

【优化方案】2014-2015学年高中数学 第一章 导数及其应用模块综合检测 新人教A 版选修2-2(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ．这个命题的大前提为( )A ．三角形的中位线平行于第三边B ．三角形的中位线等于第三边的一半C ．EF 为中位线D ．EF ∥CB答案：A2.⎠⎛01(ex ＋2x)dx ＝( ) A ．1 B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C ．⎠⎛01(ex ＋2x)dx ＝(ex ＋x2)10＝e ，故选C ． 3．复数(1－i 2)2＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a2－b2的值为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．－1解析：选D ．(1－i 2)2＝1－2i ＋i22＝－i ＝a ＋bi.所以a ＝0，b ＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1. 4．下列求导运算正确的是( )A ．(x ＋3x )′＝1＋3x2B ．(log2x)′＝1xln 2C ．(3x)′＝3xlog3eD ．(x2cos x)′＝－2xsin x解析：选B.(x ＋3x )′＝1－3x2，所以A 不正确；(3x)′＝3xln 3，所以C 不正确；(x2cos x)′＝2xcos x ＋x2·(－sin x)，所以D 不正确；(log2x)′＝1xln 2，所以B 正确．故选B.5．用反证法证明命题：“若(a －1)(b －1)(c －1)＞0，则a ，b ，c 中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都大于1B ．假设a ，b ，c 都不大于1C ．假设a ，b ，c 中至多有一个大于1D ．假设a ，b ，c 中至多有两个大于1解析：选B.a ，b ，c 中至少有一个大于1的否定为a ，b ，c 都不大于1.6．已知函数f(x)＝2x ＋1x ＋2，则函数y ＝f(x)的单调增区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)和(－2，＋∞)解析：选D ．据解析式可知函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，x≠－2}，由于f′(x)＝3x ＋22＞0，故函数f(x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上分别为增函数．7．已知集合A ＝{x|x2＋y2＝4}，集合B ＝{x||x ＋i|＜2，i 为虚数单位，x ∈R}，则集合A 与B 的关系是( )A ．AB B ．B AC ．A∩B ＝AD ．A∩B ＝∅解析：选B.|x ＋i|＝x2＋1＜2，即x2＋1＜4，解得－3＜x ＜3，∴B ＝(－3，3)，而A ＝[－2,2]，∴B A ，故选B.8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n2＋13时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k2B ．(k ＋1)2＋k2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]解析：选B.n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k2＋(k ＋1)2＋k2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k2.9．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定解析：选C ．要比较P 与Q 的大小，只需比较P2与Q2的大小，只需比较2a ＋7＋2a a ＋7与2a ＋7＋2a ＋3a ＋4的大小，只需比较a2＋7a 与a2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0＜12，故P ＜Q.10．如图，阴影部分的面积为( )A ．⎠⎛ab [f(x)－g(x)]dx B ．⎠⎛ac [g(x)－f(x)]dx ＋⎠⎛cb [f(x)－g(x)]dx C ．⎠⎛ac [f(x)－g(x)]dx ＋⎠⎛cb [g(x)－f(x)]dx D ．⎠⎛ab [g(x)－f(x)]dx 解析：选B.∵在区间(a ，c)上g(x)＞f(x)，而在区间(c ，b)上g(x)＜f(x)．∴S ＝⎠⎛a c [g(x)－f(x)]dx ＋⎠⎛cb [f(x)－g(x)]dx ，故选B.11．设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数y ＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析：选D ．由题图可知，当x ＜－2时，f′(x)＞0；当x ＝－2时，f′(x)＝0；当－2＜x ＜1时，f′(x)＜0；当1＜x ＜2时，f′(x)＜0；当x ＝2时，f′(x)＝0；当x ＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．12．观察数表：1 2 3 4 … 第一行2 3 4 5 … 第二行3 4 5 6 … 第三行4 5 6 7 … 第四行… … … …第一列 第二列 第三列 第四列根据数表中所反映的规律，第n 行与第n －1列的交叉点上的数应该是( )A ．2n －1B ．2n ＋1C ．n2－1D ．2n －2解析：选D ．根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行与第n 列交叉点上的数应该是2n －1，故第n 行与第n －1列的交叉点上的数应为2n －2.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．解析：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得到z ＝－3＋2i i －1＝2＋3i －1＝1＋3i.答案：1 14．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，则产量q ＝________时，利润L 最大．解析：收入R ＝q·p ＝q(25－18q)＝25q －18q2.利润L ＝R －C ＝(25q －18q2)－(100＋4q)＝－18q2＋21q －100(0＜q ＜200)，L′＝－14q ＋21，令L′＝0，即－14q ＋21＝0，求得唯一的极值点q ＝84.∴产量q 为84时，利润L 最大．答案：8415．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x ＋y0y ＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为________． 解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x a2＋y0y b2＝1.答案：经过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x a2＋y0y b2＝116．(2014·某某省实验中学月考)给出下列四个命题：①若f′(x0)＝0，则x0是f(x)的极值点；②“可导函数f(x)在区间(a ，b)上不单调”等价于“f(x)在区间(a ，b)上有极值”；③若f(x)＞g(x)，则f′(x)＞g′(x)；④如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b]上一定能取得最大值和最小值．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：②④显然正确；对f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故①错；f(x)＝x ＋1＞g(x)＝x ，但f′(x)＝g′(x)＝1，故③错．答案：②④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i ，z2＝15－5i 2＋i 2. 求：(1)z1＋z 2；(2)z1·z2；(3)z1z2.解：z2＝15－5i 2＋i 2＝15－5i 3＋4i ＝53－i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝5－15i 5 ＝1－3i.(1)z1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i.(3)z1z2＝2－3i 1－3i ＝2－3i 1＋3i 1－3i 1＋3i ＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. 18．(本小题满分12分)求函数f(x)＝ex x －2的单调区间． 解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝ex x －2－ex x －22＝ex x －3x －22. 因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex ＞0，(x －2)2＞0.由f′(x)＞0，得x ＞3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)＜0，得x ＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a2＋b2＋c2≥13； (2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明：(1)∵a2＋19≥23a ，b2＋19≥23b ，c2＋19≥23c ，∴(a2＋19)＋(b2＋19)＋(c2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23.∴a2＋b2＋c2≥13.(2)∵a·13≤a ＋132，b·13≤b ＋132，c·13≤c ＋132， 三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c)＋12＝1， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.20．(本小题满分12分)已知数列{an}满足Sn ＋an ＝2n ＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)由Sn ＋an ＝2n ＋1，当n ＝1时，S1＝a1，∴a1＋a1＝2×1＋1，得a1＝32.当n ＝2时，S2＝a1＋a2，则a1＋a2＋a2＝5，将a1＝32代入得a2＝74. 同理可得a3＝158.∴an ＝2n ＋1－12n ＝2－12n .(2)证明：当n ＝1时，结论成立．假设n ＝k 时，命题成立，即ak ＝2－12k ；当n ＝k ＋1时，Sn ＋an ＝2n ＋1，则a1＋a2＋…＋ak ＋2ak ＋1＝2(k ＋1)＋1.∵a1＋a2＋…＋ak ＝2k ＋1－ak ，∴2ak ＋1＝4－12k ，ak ＋1＝2－12k ＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．∴根据上述知对于任意自然数n ∈N*，结论成立．21．(本小题满分13分)设函数f(x)＝x3＋ax2＋x ＋1，a ∈R.(1)若x ＝1时，函数f(x)取得极值，求函数f(x)在x ＝－1处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间(12，1)内不单调，某某数a 的取值X 围．解：(1)由已知得f′(x)＝3x2＋2ax ＋1，f′(1)＝0，故a ＝－2，∴f(x)＝x3－2x2＋x ＋1，当x ＝－1时，f(－1)＝－3，即切点坐标为(－1，－3)． 又f′(－1)＝8，∴切线方程为8x －y ＋5＝0.(2)f(x)在区间(12，1)内不单调，即f′(x)＝0在(12，1)内有解，令f′(x)＝3x2＋2ax ＋1＝0，则2ax ＝－3x2－1.由x ∈(12，1)，得2a ＝－3x －1x . 令h(x)＝－3x －1x ，由h′(x)＝－3＋1x2＝0，知h(x)在(33，1)上单调递减，在(12，33]上单调递增，∴h(1)＜h(x)≤h(33)，即h(x)∈(－4，－23]．∴－4＜2a≤－23，即－2＜a≤－ 3.而当a ＝－3时，f′(x)＝3x2－23x ＋1＝(3x －1)2≥0，不满足题意． 综上，实数a 的取值X 围为(－2，－3)．22．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝38x2－2x ＋2＋ln x.(1)求函数y ＝f(x)的单调区间；(2)若函数y ＝f(x)在[em ，＋∞)(m ∈Z)上有零点，求m 的最大值．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝34x －2＋1x ＝3x －2x －24x， 当f′(x)＞0时，x ∈(0，23)∪(2，＋∞)；当f′(x)＜0时，x ∈(23，2)，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，23)和(2，＋∞)，单调递减区间为[23，2]．(2)由(1)知y 极大值＝f(23)＝56＋ln 23＞0，y 极小值＝f(2)＝ln 2－12＞0.当x ＞0且x→0时f(x)＜0，故f(x)在定义域上存在唯一零点x0，且x0∈(0，23)．若m≥0，则em≥1，[em ，＋∞)⊂(23，＋∞)，此区间不存在零点，舍去，故m ＜0.当m ＝－1时，x ∈[1e ，＋∞)，f(1e )＝1＋38e2－2e ＞0，又(1e ，23)为增区间，此区间不存在零点，舍去．当m ＝－2时，x ∈[1e2，＋∞)，f(1e2)＝1e2(38e2－2)＜0，又(1e2，23)为增区间，且y ＝f(23)＞0，故x0∈(1e2，23)．综上，m 的最大值为－2.。

评估验收卷(一)(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)．若()＝α－，则′()等于( )．α＋．α＋．．解析：函数是关于的函数，因此α是一个常数．答案：．函数()＝＋在点(，())处的切线方程为( )．－－＝．－＋＝．＋＋＝．＋－＝解析：′()＝－，′()＝－＝，又()＝＋＝，所以()在点(，())处的切线方程为－＝－，即－＋＝.答案：．一辆汽车按规律＝＋做直线运动，若汽车在＝时的瞬时速度为，则＝( )．．解析：由＝＋得()＝′＝，依题意()＝，所以·＝，得＝.答案：．函数()＝－的单调递减区间是( )，，解析：因为′()＝－＝，当＜≤时，′()≤.答案：．函数()＝－(∈)的最大值是( )．．．－解析：′()＝－，令′()＝，则＝－(舍去)或＝，因为()＝，()＝－，＝－＝，所以()在上的最大值为.答案：．函数()＝＋＋－，已知()在＝－处取得极值，则＝( )．．．．解析：′()＝＋＋，因为′(－)＝.所以×(－)＋·(－)＋＝，所以＝.答案：．做直线运动的质点在任意位置处所受的力()＝＋，则质点沿着与()相同的方向，从点＝处运动到点＝处，力()所做的功是( )．＋．．－解析：＝()＝(＋)＝(＋)＝(＋)－＝.答案：．设函数在定义域内可导，＝()的图象如图所示，则导函数的图象可能是( )解析：()在(－∞，)上为增函数，在(，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此′()的图象在(－∞，)上，′()＞，在(，＋∞)上′()的符号变化规律是负→正→负，故选项正确．答案：．(·山东卷)直线＝与曲线＝在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．．．．解析：直线＝与曲线＝交点坐标为(，)和(，)，依题意得＝(－)＝＝.答案：．定义域为的函数()满足()＝，且()的导函数′()＞，则满足()＜＋的的集合为( )．{＜－或＞}．{－＜＜}．{＞}．{＜}解析：令()＝()－－，因为′()＞，所以′()＝′()－＞，所以()为单调增函数，因为()＝，所以()＝()－－＝，所以当＜时，()＜，即()＜＋.答案：．函数()＝＋在(－∞，－)上单调递增，则实数的取值范围是( )．．(－∞，)∪上为单调减函数，则的取值范围是．．(，]。

第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析]y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为()A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析]因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是()A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率就是函数y ＝x 2＋3x 在x ＝2时的导数，y ′|x ＝2＝7，故选D.4．函数y ＝x |x (x －3)|＋1( ) A ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝1 B ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1 C ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝f (3)＝1 D ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1，f (－1)＝－3 [答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3) ∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3) x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表： x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋0 ＋0 －0 ＋f (x )无极值极大值5极小值1∴f (x )极大＝f (2)＝5，f (x )极小＝f (3)＝1 故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．5[答案] D[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3时取得极值，∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，∴a＝5，故选D.7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析]令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ [答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x ＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x ，所以 ⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0 令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图 过A ⎝⎛⎭⎫－6，－32得z 最大， 最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C[解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数 ∴F (x )在R 上为递减函数， 当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13.⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________. [答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2) ＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772. 14．若函数f (x )＝ax 2－1x 的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫ax －1x ′＝a ＋1x2， 由题意得，a ＋1x 2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质． k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg n n ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x 得交点B ⎝⎛⎭⎫2，12. 故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2. 由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x .因为⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝⎛⎭⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ， 所以S ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20－⎝⎛⎭⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪2＝4. 19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24. (2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点． 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x ，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x >0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，23上递增，在区间⎣⎡⎭⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞，求θ的取值范围； (3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝⎛⎭⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1. (2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝⎛⎭⎫x －a 32＋a23. 由a ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞，得a 3∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝⎛⎦⎤12，1，即a ∈⎝⎛⎦⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23， f (x )min ＝f ′(0)＝0. 此时0≤tan θ≤a 23.②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎡⎦⎤0，arctan a 23，当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0， 显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0 ∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。

第一章测评A(基础过关卷)(时间：90分钟 满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln xx 2，则f ′(e)＝( )A ．1e 3B ．1e 2C ．－1e 2D ．－1e32．曲线f (x )＝e x ＋x 在(1，f (1))的切线方程为( ) A ．(1＋e)x －y ＝0 B ．e x －y ＋1＝0C ．(1＋e)x ＋y －2(1＋e)＝0D ．x －(1＋e)y ＝03．函数f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝1处取得极值，则a 的值为( ) A ．12 B ．－1C ．0D ．－124．函数f (x )＝x 2x －1( )A ．在(0,2)上单调递减B ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增C ．在(0,2)上单调递增D ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝2x 2，x ∈(－1,1)．如果f (x )＜f (1－x )，则实数x 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－1,1) C ．⎝⎛⎭⎫－1，12 D ．⎝⎛⎭⎫0，12 6．13π4π4-⎰cos 2x d x ＝( )A ．13B ．23C ．23 D ．－237．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值8．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，且f (x )在x ＝a 处取得极大值，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞－1B ．－1＜a ＜0C ．0＜a ＜1D ．a ＞19．如果圆柱的轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A ．⎝⎛⎭⎫l 63π B ．⎝⎛⎭⎫l 33π C ．⎝⎛⎭⎫l 43π D ．14⎝⎛⎭⎫l 43π 10．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．由曲线y ＝e x ＋x 与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成图形的面积等于__________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为__________．13．函数f (x )＝(x 2－3)e x 在[0,2]上的最大值为__________．14．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x ≥0，－x ，x <0，则11-⎰f (x )d x ＝__________.15．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ＞0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的减区间是__________．三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题6分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[－2,2]的最大值与最小值．17．(本小题6分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围． 18．(本小题6分)已知函数f (x )＝ln xx .(1)判断函数f (x )的单调性；(2)若y ＝xf (x )＋1x的图象总在直线y ＝a 的上方，求实数a 的取值范围．19．(本小题7分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为ke x (e 为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )万元与每件产品的售价x 元的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L (x )最大，并求出L (x )的最大值．参考答案一、1．解析：∵f ′(x )＝x 2x －2x ln x x 4＝1－2ln xx 3， ∴f ′(e)＝1－2ln e e 3＝－1e 3. 答案：D2．解析：f ′(x )＝1＋e x ，k ＝f ′(1)＝1＋e. ∵f (1)＝1＋e ，∴切线方程为y －(1＋e)＝(1＋e)(x －1)， 即(1＋e)x －y ＝0. 答案：A3．解析：f ′(x )＝ax ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，所以函数f (x )在x ＝－a 处取得极值， 所以a ＝－1. 答案：B4．解析：f ′(x )＝2x (x －1)－x 2(x －1)2＝x 2－2x (x －1)2＝x (x －2)(x －1)2.令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.∴x ∈(－∞，0)和x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0， x ∈(0,1)和x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0，故选B ． 答案：B5．解析：∵f ′(x )＝2x 2≥0，∴f (x )在(－1,1)上单调递增，故x ＜1－x ，又－1＜x ＜1，－1＜1－x ＜1，解得0＜x ＜12.答案：D 6．解析：13π4π4-⎰cos 2x d x ＝13×12sin 2x π4π4|-＝13.答案：A7．解析：由图可知f (x )在(0,2)和(4，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)和(2,4)上单调递增，∴f (x )在x ＝0时取极大值，x ＝2取极小值，故C 正确．答案：C8．解析：∵f (x )在x ＝a 处取得极大值，∴f (x )在x ＝a 附近左增右减，分a ＞0，a ＝0，a ＜0讨论易知－1＜a ＜0.答案：B9．解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ， 则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r2.V ＝πr 2h ＝l2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎫0<r <l 4. 则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r ＞0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝⎛⎭⎫l 63π. 答案：A10．解析：f ′(x )＝－x ＋b x ＋2.∵f (x )在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立． 又∵x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1＜－1， ∴b ≤－1. 答案：C二、11．解析：由已知面积S ＝1⎰(e x ＋x )d x ＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12x 210|＝e ＋12－1＝e －12. 答案：e －1212．解析：∵y ′＝3x 2－10＝2，∴x ＝±2. 又点P 在第二象限，∴x ＝－2. ∴点P 的坐标为(－2,15)． 答案：(－2,15)13．解析：f ′(x )＝2x e x ＋e x (x 2－3)＝e x (x 2＋2x －3)， 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－3(舍)，∴在x ∈[0,1]上，f (x )递减，在[1,2]上，f (x )递增． 又∵f (0)＝－3，f (2)＝e 2， ∴f (x )max ＝e 2. 答案：e 2 14．解析：11-⎰f (x )d x ＝01-⎰(－x )d x ＋10⎰(x 2＋3)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 201|-＋⎝⎛⎭⎫13x 3＋3x 10|＝236. 答案：23615．解析：f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，得x ＝±a .∴f (x )在(－∞，－a )，(a ，＋∞)上单调递增，在(－a ，a )上单调递减． ∴f (－a )＝6，f (a )＝2.∴⎩⎨⎧(－a )3－3a (－a )＋b ＝6，(a )3－3a a ＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝4. ∴f ′(x )＝3x 2－3.∴令f ′(x )＜0，得－1＜x ＜1. 答案：(－1,1)三、16．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫－23＝0，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧43－4a 3＋b ＝0，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，经检验符合题意，∴f (x )＝x 3－12x 2－2x .(2)由(1)知f ′(x )＝3⎝⎛⎭⎫x ＋23(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：max min 17．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，∴a ＋b ＝4.① f ′(x )＝3ax 2＋2bx ， 则f ′(1)＝3a ＋2b .由已知得f ′(1)·⎝⎛⎭⎫－19＝－1， 即3a ＋2b ＝9.② 由①②，得a ＝1，b ＝3. (2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ， 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0， 得x ≥0或x ≤－2，故由f (x )在[m ，m ＋1]上单调递增，得[m ，m ＋1]⊆[0，＋∞)或[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]， ∴m ≥0或m ＋1≤－2， 即m ≥0或m ≤－3.∴m 的取值范围为(－∞，－3]∪[0，＋∞)． 18．解：(1)f ′(x )＝1－ln xx 2. 当0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数； 当x ＞e 时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数．(2)依题意得，不等式a ＜ln x ＋1x 对于x ＞0恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝1x ⎝⎛⎭⎫1－1x . 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝1x ⎝⎛⎭⎫1－1x ＞0， 则g (x )是(1，＋∞)上的增函数；当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，则g (x )是(0,1)上的减函数．所以g (x )的最小值是g (1)＝1，从而a 的取值范围是(－∞，1)． 19．解：(1)由题意，该产品一年的销售量y ＝ke x ，将x ＝40，y ＝500代入，得k ＝500e 40.该产品一年的销售量y (万件)关于x (元)的函数关系式为y ＝500e 40－x . L (x )＝(x －30－a )y ＝500(x －30－a )e 40－x (35≤x ≤41)． (2)L ′(x )＝500[e 40－x －(x －30－a )e 40－x ] ＝500e 40－x (31＋a －x )．①当2≤a ≤4时，L ′(x )≤500e 40－x (31＋4－35)＝0，当且仅当a＝4，x＝35时取等号．所以L(x)在[35,41]上单调递减．因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.②当4＜a≤5时，L′(x)＞0⇔35≤x＜31＋a；L′(x)＜0⇔31＋a＜x≤41.所以L(x)在[35,31＋a)上单调递增，在(31＋a,41]上单调递减．因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.答：当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；当4＜a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。