第二课时对数的运算
【选题明细表】
知识点、方法题号
对数的运算性质1,6,8,10,11,13 换底公式2,7 附加条件的对数式求值3,4,5,9
与对数有关的方程问题12
1.下列等式成立的是( C )
(A)log2(8-4)=log28-log24
(B)=log2
(C)log28=3log22
(D)log2(8+4)=log28+log24
解析:由对数的运算性质易知C正确.
2.计算(log54)·(log1625)等于( B )
(A)2 (B)1 (C)(D)
解析:(log54)·(log1625)=×=×=1.故选B.
3.设lg 2=a,lg 3=b,则log125等于( A )
(A)(B)(C)(D)
解析:因为lg 2=a,lg 3=b,则log125==.故选A.
4.如果lg 2=m,lg 3=n,则等于( C )
(A)(B)
(C)(D)
解析:因为lg 2=m,lg 3=n,
所以===.故选C.
5.若lg x=m,lg y=n,则lg -lg()2的值为( D )
(A)m-2n-2 (B)m-2n-1
(C)m-2n+1 (D)m-2n+2
解析:因为lg x=m,lg y=n,
所以lg -lg()2=lg x-2lg y+2=m-2n+2.故选D.
6.(2019·上海高一月考)若lo2=a,则log123= . 解析:lo2=a,可得2log32=a,
log123===.
答案:
7.已知3a=5b=A,若+=2,则A= .
解析:因为3a=5b=A>0,所以a=log3A,b=log5A.
由+=log A3+log A5=log A15=2,
得A2=15,A=.
答案:
8.计算下列各题:
(1)0.008 +()2+(-16-0.75;
(2)(lg 5)2+lg 2·lg 50+.
解:(1)原式=(0.34++-24×(-0.75)=0.3+2-3+2-2-2-3=0.55.
(2)原式=(lg 5)2+lg 2·lg(2×52)+2·
=(lg 5)2+lg 2·(lg 2+2lg 5)+2
=(lg 5+lg 2)2+2=1+2.
9.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36等于( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:log36===,故选B.
10.化简+log2,得( B )
(A)2 (B)2-2log23
(C)-2 (D)2log23-2
解析:==2-log23,所以原式
=2-log23+log23-1=2-2log23.
11.下列给出了x与10x的七组近似对应值:
假设在上表的各组对应值中,有且仅有一组是错误的,它是第组. 解析:由指数式与对数式的互化可知,
10x=N?x=lg N,
将已知表格转化为下表
:
所以第一组、第三组对应值正确.
又显然第六组正确,
因为lg 8=3lg 2=3×0.301 03=0.903 09,
所以第五组对应值正确.
因为lg 12=lg 2+lg 6=0.301 03+0.778 15=1.079 18,
所以第四组、第七组对应值正确.
所以只有第二组错误.
答案:二
12.已知a,b,c是△ABC的三边,并且关于x的二次方程
x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有等根,试判断△ABC的形状.
解:由题意知Δ=0,
即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,
2lg a-lg(c2-b2)=0,
lg =0,=1,a2+b2=c2,
故△ABC是直角三角形.
13.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R=(lg E-11.4).A地地震级别为9.0级,B地地震级别为8.0级,那么A地地震的能量是B 地地震能量的倍.
解析:由R=(lg E-11.4),得R+11.4=lg E,
故E=1.
设A地和B地地震能量分别为E1,E2,
则==1=10.
即A地地震的能量是B地地震能量的10倍.
答案:10
【教师备用】求值:
(1)2log2-lg 2-lg 5+;
(2)lg 14-2lg+lg 7-lg 18;
(3)计算:.
解:(1)2log2-lg 2-lg 5+=2×-lg 10+()=1-1+=.
(2)lg 14-2lg+lg 7-lg 18=lg[14÷()2×7÷18]=lg 1=0.
(3)分子=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+
lg 2)=3,
分母=(lg 6+2)-lg 6+1=3,
所以原式=1.
对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质
例1．已知x = 4 9 时，不等式 log a (x 2–x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16 39 . 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 12211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3．已知f (x ) = log a (a –a x ) (a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a –a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数.
《§2.2.1 对数与对数运算（第二课时）》教学设计 一．教学目标： 1．知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点 重点：对数运算的性质与对数知识的应用 难点：正确使用对数的运算性质 三．学法和教学用具 学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程 1．设置情境 复习：对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）， 指数的运算性质. ;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷= ();n m n mn m a a a == 2．讲授新课 探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的 关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？ 如：,,m n m n m n a a a M a N a +?===设。于是,m n MN a +=由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =?==?= log m n a MN a m n MN +=?+= log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘 提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？ （让学生探究，讨论） 如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： （1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log a a a M M N N =- （3）log log ()n a a M n M n R =∈ 证明： （1）令,m n M a N a ==
2.2.1 对数与对数运算（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数的概念； 2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的定义． 教学难点 对数概念的理解． 教学过程 一、复习引入： 假设 20XX 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年国民生产总值是 20XX 年的 2 倍？ 1 8% = 2 x=? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容： aa 0,a 1 的b 次幂等于 N ,就是a b N ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对 ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 ⑵ log a 1 0 ， log a a 1 ； ∵对任意 a 0且 a 1, 都有 a 0 1 ∴log a 1 0 同样易知： log a a 1 ⑶对数恒等式 如果把 a b N 中的 b 写成 log a N , 则有 a logaN N ． 定义：一般地，如果 数，记作 log a N b ， a 叫做对数的底数， N 叫做真数． a b log a Nb 例如： 42 16 log 4 16 2 2 102 100 log 10 100 2 ； 探究： 1。 1 42 2 log 42 12 ； 是不是所有的实数都有对数？ 10 2 0.01 log 10 0.01 2． log a N b 中的 N 可以取哪些值？ 2． 根据对数的定义以及对数与指数的关系， log a 1 ？ log a a ？
2.2.1对数与对数运算（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的定义． 教学难点 对数概念的理解． 教学过程 一、复习引入： 假设20XX 年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是20XX 年的2倍？ ()x %81+=2?x =? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容： 定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b =，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对 数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数． b N N a a b =?=log 例如：1642= ? 216log 4=； 100102 =?2100log 10=； 242 1= ?2 12log 4= ； 01.0102 =-?201.0log 10-=． 探究：1。是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 可以取哪些值？ ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ） 2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？ ⑵ 01log =a ，1log =a a ； ∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10 =a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式 如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log ．
教案 对数的运算法则 【教学目标】 知识目标： ⑴ 理解对数的概念，了解常用对数的概念． ⑵ 掌握对数的运算法则． 能力目标： 会运用对数的运算法则进行计算． 【教学重点】 对数的概念和对数的运算法则． 【教学难点】 对数的运算法则． 【教学过程】 一、课程导入 以复习指数的相关知识导入新课．（板书，提问等．5分钟） 问题1：2的多少次幂等于8？ 问题2：2的多少次幂等于9？ 显然，这是同一类问题．就是已知底数和幂如何求指数的问题．为了解决这类问题，我们引进一个新数——对数． 二、新课教学 1．新概念 法则1 lg lg lg MN M N =+（M >0，N >0）. 法则2 lg lg lg M M N N =-（M >0，N >0）. 法则3 lg n M =n lg M （M >0，n 为整数）. 上述三条运算法则，对以)1,0(≠>a a a 为底的对数，都成立. 2．概念的强化 例4 （讲授）用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1）lg xyz ；（2）lg x yz ；（3）z .
解 （1） lg xyz =lg x +lg y +lg z ； （2） lg x yz =lg lg lg lg lg x yz x y z -=-+（）=lg lg lg x y z --； （3） z 2lg x +3lg z -=2lg x +2 1lg y 3lg z -. 例5 （启发学生回答或提问）已知2ln =0.6931，3ln =1.0986．计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）)34ln(75?； （2）18ln . 分析 关键是利用对数的运算法则，将所求的对数用2ln 与3ln 来表示. 解 （1）)34ln(75?=54ln +73ln =54ln +73ln =522ln +73ln （2）18ln =2118ln =2192ln ?=2 1（2ln +9ln ）=21（2ln +23ln ） =0986.16931.02 1+?=1.44515≈1.4452. 例6 求下列各式的值： （1）lg2lg5+； （2）lg600lg2lg3--． 分析 逆向使用运算法则，再利用性质lg101=进行计算． 解 （1）lg2lg5lg(25)lg101+=?==； （2）2600lg600lg2lg3lg( )lg100lg102lg10223 --=====?． 3．巩固性练习 练习3.3.3 ( 12分钟) 1．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1） （2）lg xy z ； （3）2lg()y x ； （4） 2．已知2ln =0.6931，3ln =1.0986，计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）ln 36； （2）ln 216； （3）ln12； （4）911ln(23)?． 答案：1．（1）1lg 2 x ；（2）lg lg lg x y z +-；（3）2lg 2lg y x -；（4）111lg lg lg 243x y z +-. 2．（1） 3.5834；（2）5.3751；（3）1.2424；（4）18.3225. 三、小结（讲授，5分钟） 1．本节内容
2.2.1对数与对数运算 共三课时 教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质． 2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 4．对数的初步应用. 教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则 教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导 教学方法：学导式 教学过程设计 第二课时 师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下． 生：m n m n a a a+ ?= (m,n∈Z)；()m n mn a a = (m,n∈Z)；()n n n ab a b =? (n∈Z)， 师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书） （1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即 log a （MN）=log a M+log a N． （请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．） 师：我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式． 师：（板书）设log a M=p，log a N=q，由对数的定义可以写成M=a p，N=a q．所以 M·N=a p·a q=a p+q， 所以log a （M·N）=p+q=log a M+log a N． 即log a （MN）=log a M+log a N． 师：这个法则的适用条件是什么？ 生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
对数与对数的运算第一第二课时
第二课时对数的运算 【选题明细表】 知识点、方法 题号 易中 对数运算性质的应用1、7 5、6、10 换底公式的应用2、3 8 附加条件的对数式求值问题 4 9 基础达标 1.(2012年温州市六校协作体高一期中)若10a=5,10b=2,则a+b等于(C) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 解析:∵a=lg 5,b=lg 2, ∴a+b=lg 5+lg 2=lg 10=1,故选C. 2.(2012年昆明一中高一期中)若lg 2=a,lg 3=b,则log23等于(B) (A)(B)(C)a+b (D)a-b 解析:log23==,故选B. 3.设log34·log48·log8m=log416,则m的值为(B) (A)(B)9 (C)18 (D)27 解析:由题意得··=log416=log442=2, ∴=2, 即lg m=2lg 3=lg 9. ∴m=9,选B. 4.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则(lg)2的值等于(A)
(A)2 (B)(C)4 (D) 解析:由根与系数的关系, 得lg a+lg b=2,lg a·lg b=, ∴(lg)2=(lg a-lg b)2 =(lg a+lg b)2-4lg a·lg b =22-4× =2.故选A. 5.(2013偃师高中高一月考)定义新运算“&”与“*”:x&y=x y-1,x*y=log(x-1)y,则函数 f(x)=是(A) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数(D)既是奇函数又是偶函数 解析:因为f(x)====(x≠0),所以函数f(x)=是奇函数.故选A. 6.(2013长春十一中高一期中)已知2x=3,log4=y,则x+2y等于(A) (A) 3 (B)8 (C)4 (D)log48 解析:∵2x=3,∴x=log23. 又log4=y, ∴x+2y=log23+2log4 =log23+2(log48-log43) =log23+2 =log23+3-log23=3.故选A.
二进制数的运算方法---【转载】 二进制数的运算方法 ? 电子计算机具有强大的运算能力，它可以进行两种运算：算术运算和逻辑运算。 1．二进制数的算术运算 二进制数的算术运算包括：加、减、乘、除四则运算，下面分别予以介绍。 （1）二进制数的加法 根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为： 0＋1＝1＋0＝1 1＋1＝0 （进位为1）? 1＋1＋1＝1 （进位为1） 例如：1110和1011相加过程如下： （2）二进制数的减法 根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为： 0－1＝1 （借位为1） 例如：1101减去1011的过程如下： （3）二进制数的乘法 二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。二进制数乘法的法则为：
0×1＝1×0＝0 例如：1001和1010相乘的过程如下： 由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。 （4）二进制数的除法 二进制数除法与十进制数除法很类似。可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。 例如：100110÷110的过程如下： 所以，100110÷110＝110余10。 2．二进制数的逻辑运算 二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。 （1）逻辑“或”运算 又称为逻辑加，可用符号“＋”或“∨”来表示。逻辑“或”运算的规则如下： 0＋0＝0或0∨0＝0 0＋1＝1或0∨1＝1
教案：（作：数应3班向世威） 《对数与对数运算（第一课时）》教学设计 所用教材：数学必修（一） 目次：人民出版社，2007年1月,第2版第4次印刷 1教材分析 1.1内容与内容解析 《对数函数》是普通高中数学人教A版必修1第二章对数函数内容的第一课时，本节讲对数的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数的图像性质作准备。对数概念是在指数概念的基础上定义的，是继研究指数函数之后的另一种重要基本函数，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。 1.2地位与作用解析 通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 2学情分析 学生在前面的课程中已学习了函数的基本概念、图像及其基本性质，在第二章又进一步学习了指数函数及其运算、图像和性质，特别是指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，本节课我利用多媒体辅助
教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。 3教学目标 1.能初步判别具体函数是否为对数函数，了解对数的概念并能用语言刻画，以及对数与指数的关系；通过观察、分析掌握指数式与对数式的互化； 2．（经历观察、分析、猜想、验证、证明、概括等数学活动），通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过探究理解对数的性质。领悟从（）的思想方法 3.感知对数的重要性，从“发现”中体验成功，进一步提高学习和探索的兴趣。同时培养严谨的思维品质和探究意识； 4教学重难点 重点：对数函数概念的形成和初步应用，指数式与对数式的互化 难点：对数概念的理解，对数性质的理解 5教法学法 以引导发现法为主，结合直观教学法和讲授法，引导学生学会观察分析、思考探究、合作交流，提高学生分析、解决问题的能力。对数的教学采用讲练结合的教学模式。教学中，采用讲讲练练的教学程序，运用指数式与对数式的转化策略，通过教师的讲，数学家对对数的痴迷激发学生好奇，从实际问题导入对数概念、对数符号，理解对数的意义，通过典型例题的讲授，充分揭示对数式与指数式间的关系，掌握求对数值的方法，通过学生典型习题的练，使学生进一步理解对数式与指数式间的关系，掌握求对数的一些方法，在讲练结合中实现教学目标。 6教学媒体
对数的运算法则 教学目标 1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题． 2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神． 教学重点是对数的运算法则及推导和应用难点是法则的探究与证明． 一. 引入新课 我们前面学习了对数的概念，那么什么叫对数呢?通过下面的题目来回答这个问题 如果看到这个式子会有何联想? 由学生回答(1)(2) (3)(4)． 也就要求学生以后看到对数符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则． 二．对数的运算法则(板书) 对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则． 由学生回答后教师让学生看：，，．
然后直接提出课题：若是 否成立? 由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举而 )，教师在肯定结论的正确性的同时再提出 可提示学生利用刚才的反例，把5改写成应为，而32 =2，还可以让学生再找几个例子， ．之后让学生大胆说出发现有什么规律? 由学生回答应有成立． 现在它只是一个猜想，要保证其对任意都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢? 你学过哪些与之相关的证明依据呢? 学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书． 证明：设则，由指数运算法则 得， 即．(板书) 法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识： (1) 公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件)．
课题： 2.2.1 对数与对数运算 科目：数学教学对象：高一年级学生课时：第一课时 提供者：赵晓云单位：阳泉一中 一、教学内容分析 让学生在实际背景中认识对数概念，既是本节的重点又是难点。要通过适当的素材创设情境，使学生认识到引入对数的必要性，从而调动学生学习对数的积极性。 根据底数、指数与幂之间的关系，从已知底数和幂如何求指数入手，引导学生借助指数函数的图像，分析问题中幂指数的存在性，从而引出对数的概念。 通过对指数式与对数式中各字母进行对比分析，引导学生认识对数与指数的相互联系，利用指数式与对数式的互化，帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数运算中的作用。 二、教学目标 1、知识技能 理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系。 2、过程与方法 通过与指数式的比较，引出对数的定义和性质；由易到难。 3、情感、态度、价值观 通过对数式与指数式的互化，培养学生分析、类比、归纳的能力；在学习过程中，培养学生探究的意识；培养学生了解事物间的联系，培养学生用已有知识解决未知问题的能力。 三、学习者特征分析 通过平时的观察发现，高一学生通过前段时间的学习，已经基本上学会了自学，并能自主学习，能够从课本中学习并总节所学知识点，但有部分学生只看不动笔，所以第一课时主要以书本内容为主。 四、教学策略选择与设计 利用多媒体：学生喜欢自己上网，并喜欢去了解未知的东西，所以提前布置任务，让学生阅读课本68页的阅读材料，并上网查找有关对数的介绍，了解对数的重要性。 采用“学案导学”的教学方法：高一学生通过前段时间的学习，已经基本上学会了自学，并能自主学习，所以学生完全可以学懂课本的有关知识，所以，以问题与练习的形式制成学案，让学生自学课本62页——63页后完成，达到进一步理解对数概念，并体会转化思想在对数运算中的目的。 小组讨论：对数恒等式的得出，即较难的对数求解问题，让学生讨论得出，培养学生合作学习的能力。 五、教学重点及难点 教学重点：指数式与对数式的互相转化，对数性质的推导。 教学难点：对数概念以及对数符号的理解,对数性质的 六、教学过程 教师活动学生活动设计意图 这些式子，都是已知底数和幂的值，求指数，而且我们不能根据熟悉的数据解出来。要解决这个问题，就要用到我们这节课将要 思考问题一：截止到1999年底，我国 人口约13亿,如果今后能将人口平均增长 率控制在1%,那么经过20年后我国人口数 最多为多少亿？ 让学生在实际背 景中认识对数概念，通 过适当的素材创设情 境，使学生认识到引入
对数几率回归（Logistic Regression）分析与实践 1 对数几率回归原理分析 1.2?损失函数 1.3 ?求最优解 2 对数几率回归实践 Logistic回归的一般过程 Logistic回归的优缺点 Logistic回归算法描述（改进的随机梯度下降） 《机器学习实战》第五章代码解析 5-1 Logistic回归梯度上升优化方法 5-2 画出数据集和Logistic回归最佳拟合直线的函数 5-3 随机梯度上升算法 5-4 改进的随机梯度上升算法 5-5 ?示例：从疝气病症预测病马的死亡率 1 对数几率回归原理分析 Logistic Regression，对数几率回归，又称逻辑斯谛回归。该模型最初是用来解决0-1二分类问题，明明是分类问题，为何叫回归？科普一下，线性回归是找到一条直线或超平面尽可能地接近所有的训练数据点（就是用线性方程来拟合数据），而对数几率回归是找到一条直线或超平面尽可能地分开两种不同类别的数据点（就是在公式中的线性部分来做了回归）。首先，我们要解决的问题是：在线性模型
上做二分类（这里不讨论多分类）。 ? 把问题转化为，让模型输出为0或者1，而且在分界处变化很陡。 ? 直接想法是套一个函数来实现一个单位阶跃函数，如下: 也就是把?线性模型?看作为一个两种类别的分界线。 由于分段函数性质太差，不符合优化问题的目标函数要连续可微的特点。所以我们找一个形似的函数（由下图可见），Sigmoid 函数（S型函数）中的杰出代表——对数几率函数（一个任意阶可导的凸函数，有良好的数学性质，很适合优化问题）。 将线性模型代入就得到总的模型 其实，对数几率回归模型就是在拟合?线性模型，使得这条直线尽可能地将原始数据中的两个类别正确的划分开（引用张磊的知乎）。 1.2?损失函数 解决机器学习问题就要明确损失函数，回归问题一般用均方误差（平均损失）或者其平均数——平均误差平方损失来作为损失函数（这就是最小二乘法，用来找到一条直线使所有样本到直线的欧式距离之和最小）。 平均误差平方损失公式如下： Logistic回归模型，要用到的是对数损失来作为损失函数 先来看它的效果，再来说怎么得来的 效果：真实值?是有 0-1 两种情况，而推测值由于借助对数几率函数，其输出是介于0~1之间连续概率值。这个损失函数其实在每次
1 / 1 §3.2 对数与对数函数 3．2.1 对数及其运算(一) 一、基础过关 1．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是 ( C ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 2．在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围是 ( C ) A ．a>5或a<2 B ．2
负对数似然(negative log-likelihood) negative log likelihood文章目录negative log likelihood似然函数(likelihood function)OverviewDefinition离散型概率分布(Discrete probability distributions)连续型概率分布(Continuous probability distributions)最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,MLE)对数似然(log likelihood)负对数似然(negative log-likelihood)Reference似然函数(likelihood function)Overview在机器学习中，似然函数是一种关于模型中参数的函数。“似然性(likelihood)”和"概率(probability)"词意相似，但在统计学中它们有着完全不同的含义：概率用于在已知参数的情况下，预测接下来的观测结果；似然性用于根据一些观测结果，估计给定模型的参数可能值。 Probability is used to describe the plausibility of some data, given a value for the parameter. Likelihood is used to describe the plausibility of a value for the parameter, given some data. ? —from wikipedia[3] ^[3] [ 3] 其数学形式表示为： 假设X XX是观测结果序列，它的概率分布fx f_{x}f x? 依赖于参数θ thetaθ，则似然函数表示为 ?L(θ∣x)=fθ(x)=Pθ(X=x) L(theta|x)=f_{theta}(x)=P_{theta}(X=x)L(θ∣x)=f θ? (x)=P θ? (X=x)
第二课时对数的运算 【选题明细表】 1.下列等式成立的是(C ) (A)log 2(8-4)=log 28-log 24 碣8 8 (B) I =log2, (C) log 28=3log 22 (D)log 2(8+4)=log 28+log24 解析：由对数的运算性质易知C正确. 2.计算(log 54) ? (log 花25)等于(B ) I I (A)2 (B)1 (C) (D): 培4记25 21耳2 21目5 解析:(log 54) ? (log 1625)=「x H" =1.故选B. 3.设lg 2=a,lg 3=b, 则log 125等于(A ) 1 - a 1 - a (A) ' ' ' (B) l 1 + ci (C) ' ' (D) l - lg2 1 -a 解析：因为lg 2=a,lg 3=b, 则log価二卅_1故选A. 空 4. 如果lg 2=m,lg 3二n,贝孔:厂等于(C )
2m 4- n m + 2n (A)丨‘ ’-(B):十：？ - ■ 2m + n m + 2n (C) I u (D)" 1 解析：因为lg 2=m,lg 3二n, ]gl2 21g2 + Ig3 2m 4- n 2m + n 所以増15 = 1率+ lg5 “+ 1 -lg2y+l-nt.故选 C. y_ 5. 若lg x=m,lg y=n,则lg -lg( )2的值为(D ) i i (A) m-2n-2 (B) m-2n-1 i i (C) m-2n+1 (D) m-2n+2 解析:因为lg x=m,lg y=n, - 上丄1 所以lg -lg( )2= lg x-2lg y+2= m-2n+2.故选D. 6. (2019 ?上海高一月考)若Io ? 2=a,则log仁3二________ 解析:lo 2=a,可得2log 32=a, 1 ____ 1 1 氏心-=：- -=". 1 答案：：1 I I 7. 已知3a=5b=A,若+ =2,则A= ______ . 解析:因为3a=5b=A>0,所以a=log 3A,b=log s A. 1 1 由，+ =log A3+log A5=log A15=2,
对数与对数运算法则 １、对数定义： 例子：8log 3,8223==则 ２、对数运算法则： （1）对数恒等式：y a y a =log （2）对数的积、商、幂对数 ()N M MN a a a log log log += ， N M N M a a a log log log -=， M M a a log log αα= （3）换底公式： b N N a a b l o g l o g l o g = 对数换底公式的推论及其应用 （1） 1 log b a = )1100(≠≠>>b a b a ，且，。 （2）log n n a b = (0010)a b a n >>≠≠，且，。 （3）log n m a b = (0010)a b a m n >>≠?≠，且，。 （4）log m a N = (01 0)a a m >≠≠且，。 一、积商幂的对数运算 例1.若a ＞0，a≠1，x ＞y ＞0,n ∈N +，则下列各式： ①(log )log n a a x n x =②(log )log n n a a x x =③1log log a a x x =-④log log log a a x x a y y = ⑤1log log n a a x x n =⑥log log n a x a x n =⑦log log n n a a x x =⑧log log x y x y x y x y -+=-+- 其中成立有__________________。 例2.用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式： （1）log xy z （2）35log ()a x y （3）log x a yz （4）23 log a x y z 例3.计算： （1）5lg 100 （2）752log (42)?
对数及对数运算 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化； 2.了解常用对数与自然对数的意义； 3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算； 4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明． 5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用． 【要点梳理】 要点一、对数概念 1.对数的概念 如果()01b a N a a =>≠，且，那么数 b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底 数，N 叫做真数. 要点诠释： 对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R. 2.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =. 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作.以e （e 是一个无理数， 2.7182e =???）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作. 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示. 由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>L L L 、、、 (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数； log log log a a a M M N N =- (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα= 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能
2.2.1对数与对数运算（二） （一）教学目标 1．知识与技能：理解对数的运算性质． 2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．3．情感、态态与价值观 通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神． （二）教学重点、难点 1．教学重点：对数运算性质及其推导过程. 2．教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明. （三）教学方法 针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法． （四）教学过程
教 学 环 节 教学内容师生互动设计意图 复习引入 复习：对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?=（a＞0， 且a≠1，N＞0）， 指数的运算性质. ; m n m n m n m n a a a a a a +- ?=÷= ();m n m n mn n m a a a a == 学生口答，教师板书．对数的概 念和对数 恒等式是 学习本节 课的基础， 学习新知 前的简单 复习，不仅 能唤起学 生的记忆， 而且为学 习新课做 好了知识 上的准备．
提出问题 探究：在上课中，我们知道，对数 式可看作指数运算的逆运算，你能从 指数与对数的关系以及指数运算性 质，得出相应的对数运算性质吗？如 我们知道m n m n a a a+ ?=，那m n +如何 表示，能用对数式运算吗？ 如： ,, m n m n m n a a a M a N a + ?=== 设. 于是, m n MN a+ =由对数的定义得 到 log, m a M a m M =?= log n a N a n N =?= log m n a MN a m n MN + =?+= log log log() a a a M N MN ∴+=放出投影 即：同底对数相加，底数不变，真 数相乘 学生探究，教师启发引 导．
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 教学目标 1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质． 2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 教学重点与难点 重点是对数定义、对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导． 教学过程设计 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍 生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+％）20=，所以20年后国民生产总值是原来的倍． 师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题． 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍 师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程 =4． 我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题． 师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b， 其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 师：请同学谈谈对对数这个定义的认识． 生：对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法． 生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算． （此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．） 师：他们说得都非常好．实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开 记作logaN=b．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法． 师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．（打出幻灯） 式子