对数与对数运算(第二课时)课件

值域；
③当a>1时，函数y＝af(x)与函数f(x)的单调性相同；当0<a<1时，函 数y＝af(x)与函数f(x)的单调性相反．
2.求函数y＝22x－x2的单调区间．
【解析】 由题意得，函数的定义域是R，
令u＝2x－x2，则y＝2u， ∵u＝2x－x2＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上是增函数，
2．1.2 指数函数及其性质(第2课时 指数函数及其性质的应用)
1．指数函数是形如 y＝ax 的函数．
2．指数函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 且过 (0,1) 点． 增函数 3．当a>1时，指数函数在R上为 ；当底数0<a<1时，指数
函数在R上为 减函数 ．
1．已知am>an(a>0，且a≠1)，如果m>n，则a的取值范围是 a>1 ； 如果m<n，则a的取值范围是 0<a<1 . 2．复合函数y＝af(x)单调性的确定： 当a>1时，单调区间与f(x)的单调区间相同； 当0<a<1时，f(x)的单调增区间是y的单调 减区间 ．f(x)的单调减 区间是y的单调增区间 ．
பைடு நூலகம்
∴函数 f(x)在[1，＋∞)上是减函数．
对于形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)一类的函数，有以下结论：
①函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同，如y＝21/x与y＝1/x的
定义域都是{x|x≠0}； ②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定y＝af(x)的
1．复合函数y＝af(x)的单调性应注意哪些问题？
【提示】 复合函数y＝af(x)单调性的判定需注意： (1)函数定义域；
(2)底数a的大小．

例2
求下列各式的值：
(1) log2（47×25）； (2) lg5
100
；
(3) log318 -log32 ；
(4)
3
1 log3 2
.
例3 计算:
2 log 5 2 log 5 3 1 1 log 5 10 log 5 0.36 log 5 8 2 3
巩固练习
1、求下列各式的值
复习引入
1、对数的定义
一般地, ax=N(a>0,a≠1),那么数x 叫做以a为底 N的对数, 记作logaN=x。( 式中的a叫做对数的底数,N叫做真数.) 2、指数式和对数式的互换； log N = x a x = N (a 0, 且a 1) a
复习引入
3、对数的性质 (a 0, 且a 1)
的值。
对数运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
(1).loga (M N ) = loga M loga N ;
M (2).log a = log a M log a N ; N
ห้องสมุดไป่ตู้
(3).loga M = n loga M (n R).
n
应用实例
例1
用logax，logay，logaz表示下列 各式： 2 xy x y (1) log a ; (2) log a 3 . z z
(1).lg 4 2lg 5;
(2).2
2log2 5
(3).2
(6).3
1log2 7
(4).2
log2 3
(5).lg 5 lg 2 lg5 lg 2;
2
1log3 4
（1）负数和零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） log 1 = 0 即：1的对数是0 （ 2） a log a = 1 即：底数的对数是1 （ 3） a

对数与对数运算
第二课时
复习
定义：一般地，假如 aa 0, a 1
旳b次幂等于N, 就是 ab N ，那么数 b叫做
以a为底 N旳对数，记作 loga N b a叫做对数旳底数，N叫做真数。
新知学习
填出下表各组旳值，并从数据中分析等量关系， 猜测对数旳运算性质
式 值
▪ 成果 ▪ 猜测ห้องสมุดไป่ตู้
log2 8
1.证明:设 M am , N an m loga M , n loga N M N am an amn
loga (M N ) m n
loga M loga N
练习1:
用 lg x,lg y,lg z表达下列各式 lg(xyz) lg x lg y lg z
求下列各式旳值:
lg5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
log5
3
log5
1 3
log5
(3
1) 3
log5 1
0
a 0, a 1, M 0, N 0, n R
loga
M N
loga M
loga N
2.证明:设 M am , N an
m loga M , n loga N
M N
巩固练习
1.求log(12x) (3x 2) 中旳x旳取值范围. 解: 1 2x 0 x 1 2
1 2x 1 x 0
3x 2 0 x 2 3
{x | 2 x 1 且x 0} ( 2 ,0) (0, 1)
3
2
3
2
2.已知 log(a3) (a2 a 5) 0,试求a.
N
logc logc
N a
(a, c (0,1) (1,), N 0)

[规律总结] 灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则 的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析， 从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算．
跟踪练习
求下列各式的值：
(1)log318－log36； (2)log 1 3＋2log 1 2；
12
12
(3)lg2 8＋4 3＋log2 8－4 3；
于是 log3645＝lloogg11883465＝lloogg1188
9×5 18×2
＝log11＋89＋loglo18g2185
＝lo1g＋189l＋ogl1o81g98185＝log21－89＋loglo18g9185＝a2＋ －ba.
误区警示
已知 lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求 log 2yx的值.
[解] (1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7. (2)原式＝(log23＋lloogg2298)(log322＋lloogg3389＋log32) ＝(log23＋23log23)(2log32＋32log32＋log32) ＝(53log23)(92log32)＝125.
[解析] log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)＝3log32－2(log32＋1) ＝3a－2(a＋1)＝a－2.故选A.
[答案] A
4．2log525＋3log264－8ln1＝________.
[解析] 原式＝2×2＋3log226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22.
4．计算：log89·log332＝________.
[解析] 运用换底公式，得 log89·log332＝llgg98·llgg332＝23llgg32·5llgg32＝130.

初探新知
【活动1】 探究对数运算性质
【问题1】我们学过的对数的性质有哪些？
【问题2】我们知道了对数和指数间的关系，你打算怎么研究对数运算性质？
【问题3】计算log24,log216,log264的值，你有什么发现？
【问题4】对于logaM,logaN,loga(MN),你有何猜想？
【问题5】上述猜想是否具有一般性？如何证明？
【解】
(1) 原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝ 2－3＝－1.
(2)
原式＝12
lg
25 72
－43
3
lg 2 2 ＋ lg 5 72
1 2
＝1
2
×(5lg 2－2lg 7)－43
×32
lg 2＋12
(lg 5＋
那么1a
＋1b
＝1 log 2 10
1 log5 10
＝lg 2＋lg 5＝1.
【方法规律】 当底数不同时，考虑使用换底公式将不同底的对数化成 同底，然后使用同底对数的运算性质解决问题．在数学 运算中，常将底数转换为以e为底的自然对数或以10为底 的常用对数，方便计算．
【变式训练2】
(1) 设 lg 2＝a，lg 3＝b，则 log512 等于( C )
学科核心素养
运用类比和联想的方法,根据对 数的定义推导出对数的基本性质 和运算性质
在运用对数的定义推导对数的基 本性质的过程中,培养数学抽象素 养
能根据对数的运算性质推导出换 底公式,并理解对数的运算性质 与换底公式
在根据对数的运算性质推导对数 的换底公式的过程中,培养逻辑推 理素养
学会运用对数的基本性质、运算 性质和换底公式进行对数式的恒 等变形

x loga|x| (3)loga|xy|＝loga|x|· loga|y|；(4)log y＝ . loga|y|
a
A．1 C．3
B．2 D．4
2014-6-4
研修班
22
【错解】 D
【错因】 产生错解的主要原因是没有准确掌握对数的运算性质．
(1)logax2＝2logax，不能保证x>0； (3)(4)虽保证了真数大于零，但是公式应用有误．
在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (3)关于换底公式的另外两个结论： ①logac·logca＝1；②logab·logbc·logca＝1.
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研修班
21
设x，y为非零实数，a>0，a≠1，则下列式子中正确的个数为(
)
(1)logax2＝2logax；(2)logax2＝2loga|x|；
(1) (2) (3) loga(MN)＝logaM＋log .aN loga(M/N)＝
logaM－.logaN
logaMn＝ nlogaM (n∈R).
2.对数换底公式 logcb logab＝log a (a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1)； c 特别地：logab· logba＝1(a>0，a≠1，b>0，b≠1)．
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(1)本例的解法均利用了换底公式，关于换底公式： ①换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对 数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题． ②换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法． 解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、 自然对数． (2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的 对数式，进行求值；也可从结论入手，转化成能使用条件的形式； 还可同时化简条件和结论，直到找到它们之间的联系．

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例2
求下列各式的值：
(1) log2（47×25）；
(2) lg5
31log3 2
100
；
(3) log318 -log32 ；
(4)
3
1 log 3 2
.
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例3 计算：
2 log 5 2 log 5 3 1 1 log 5 10 log 5 0.36 log 5 8 2 3
对数与对数运算
第二课时
对数的运算
13
问题提出
1.对数源于指数，对数与指数是怎样互 化的？
2.指数与对数都是一种运算，而且它们 互为逆运算，指数运算有一系列性质， 那么对数运算有那些性质呢？
14
15
知识探究（一）：积与商的对数
思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28．你能发现这三个对数之 间有哪些内在联系？ 思考2:将log232＝log24十log28推广到一 般情形有什么结论？
48
思考3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的 位置关系？由此说明对数函数 y log a x x 的图象与指数函数 y a 的图象有怎样 的位置关系？ y Q P o x
49
思考4:一般地，对数函数的图象可分为 几类？其大致形状如何？ y 0 <a <1 y a >1
1 0 1 x 1 0 1
(5) lg0.01=－２;
化为指数式：
3
(6) ln10＝2.303.
10
2
例2.求下列各式中ｘ的值：
2 (1)log64x＝ ; (2) logx8＝6 ; 3
(3)lg100=x;
(4)－lne2＝ｘ .

数 log e N 称为自然对数，并记做 ln N .
三、指数式与对数式的互化
指
数
幂
真数
对 数
ax
底
N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
loga N 底
x
数
数
底数 a 的取值范围： (0,1) (1,) 负数和零没 有对数
真数N 的取值范围： (0,)
对数 x 的取值范围：(,)
学习探究
探究任务：对数的性质( a 0且a 1 )
（3） log9 27
log32 33
3 2
log 3 3
3 2
（4） log8 9 log 27 32
log 23 32 • log33 25
2 3
log 2 3 •
(5 3
log 3 2)
2 3
5 3
log23 log32
5 3
例6:
已知log23 a ，log37 b ,用 a , b 表示 log4256 .
bye!
log am
Nn
n m
log a
N
例5：计算下列各式：
（1）
（2）
（3）
五、其他重要公式：
如果 a 0, 且 a 1， M 0, N 0, 那 么
①
log a
N
log c N log c a
（换底公式）
②
log a
b
1 log b
a
巩固练习： 计算:
(1) log 16 2
（2）log 2 3 log3 7 log7 8
log a 1 0
log a a 1 log a an n alogan n
四、对数的运算法则：

第三章 基本初等函数(Ⅰ)
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
已知 2lg(3x－2)＝lgx＋lg(3x＋2)，
求 logx 2 2 2的值． [解析] 由 2lg(3x－2)＝lgx＋lg(3x＋2)，得 lg(3x－2)2
＝lg[x(3x＋2)]，∴(3x－2)2＝x(3x＋2)，即 3x2－7x＋2＝0，
解得 x＝13或 x＝2.
当 x＝13，3x－2<0(舍去)，∴x＝2.
故 logx
2
2
7
2＝log228
＝78log22＝78.
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
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第三章 基本初等函数(Ⅰ)
数学表达式
自然语言
loga(MN)＝__l_o_g_aM__＋__l_o_g_aN_
loga(N1·N2·…·Nk) ＝
正因数积的对数等于同一底
l_o_g_a_N_1_＋__lo_g_a_N_2_＋__…__＋__l_o_g_a_Nk 数的各因数__的__对__数__的__和____
(Ni＞0，i＝1,2，…k)
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
即 lga＋lgb＝2，lga·lgb＝12. ∴(lga＋lgb)·(llggba＋llggab) ＝lga＋lgblg[al·glgab2＋lgb2] ＝(lga＋lgb)lga＋lglgba2·－lgb2lga·lgb ＝2×22－12×12＝12.
logaMN ＝__l_o_g_aM__－__l_o_g_aN__

【深度思考】 结合教材P65例4，你认为应怎样利用对数的运算性质 计算对数式的值？ 第一步：_______________________________________ _______. 将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性 第质二转步化：_________________________.
利用对数的性质化简、求值
logaMn=nlogaM
主题2:换底公式
1.假设 log25 =x,则log25=xlog23，即log25=log23x， 从而有3lxo=g52 3，将其化为对数式，进一步可得到什么
结论？
提示：由3x=5知x=log35,即log35= log2 5 . log 2 3
2.同样由 提示：由
log356 log3(23 7) 3log32 log37 3b a . log314 log3(27) log32 log37 a b
【规律总结】换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同 底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常 用对数式来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变 形应用.
【规律总结】对数的运算性质在解题中的两种应用
提醒：对数的运算性质主要用于化简与求值，它只适 用于同底的对数的化简.
【巩固训练】(2016·长春高一检测)已知x，y，z都是 大于1的正数，m>0，m≠1，且logmx=24，logmy=40， logm(xyz)=80，则logmz的值为 ( )
A. 1
B.16
C. 200
D. 3
60
3
20
【解析】选B.由已知得logm(xyz)=logmx+logmy+ logmz=80， 而logmx=24，logmy=40，故logmz=80-2440=16.