2000年普通高等学校春季招生考试数学试卷(北京、安徽卷)理(附解答)

2000年全国高考数学试题(新课程卷/理工农医类)（江西 天津）一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的⑴设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ∈∈,|,，映射B A f →:把集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是（A ）()1 ,3 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ,23 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21 ,23 （D ）()3 ,1⑵在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是（A ）23 （B ）i 32- （C ）i 33- （D ）3i 3+⑶一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体 对角线的长是（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 ⑷设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①()()0=⋅-⋅b a c c b a ； ②b a b a -<-③()()b a c a c b ⋅-⋅不与c 垂直 ④()()22492323b a b a b a ==-⋅+中，是真命题的有（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④⑸函数x x y cos -=的部分图象是⑹《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800此项税 款按下表分段累进计算：（A ） 800~900元 （B ）900~1200元 （C ）1200~1500元 （D ）1500~2800元⑺若1>>b a ，P=b a lg lg ⋅，Q=()b a lg lg 21+，R=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则 （A ）R <P <Q （B ）P <Q <R（C ）Q <P <R （D ）P <R <Q ⑻右图中阴影部分的面积是（A ）32 （B ）329- （C ）332 （D ）335 ⑼一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+ ⑽过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x 33 （D ）x 33- ⑾过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则q p 11+等于（A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4⑿如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A ）321arccos （B ）21arccos （C ）21arccos（D ）421arccos二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上⒀某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品ξ的概率分布是⒁椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________⒂设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a na na a n （n =1，2，3，…），则它的通项公式是n a =________⒃如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B B C C 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______（要求：把可能的图的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤⒄（本小题满分10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个甲、乙二人依次各抽一题（I ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ （18甲）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC -111C B A ，底面ΔABC 中，CA=CB=1，BCA= 90，棱1AA =2，M 、N 分别是11B A 、A A 1的中点（I ）求的长；（II ）求1cos BA <，1CB >的值； （III ）求证M C B A 11⊥（18乙）（本小题满分12分）如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且=∠=∠=∠6011BCD CD C CB C(Ⅰ)证明：C C 1⊥BD ；(Ⅱ)假定CD=2，C C 1=23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值；(Ⅲ)当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明 （19）（本小题满分12分）设函数()ax x x f -+=12，其中>a(Ⅰ)解不等式()1≤x f ；(Ⅱ)求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数（20）（本小题满分12分）用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积 （21）（本小题满分12分）(Ⅰ)已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数(Ⅱ)设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围2000年全国高考数学试题(新课程卷/理工农医类)参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分（1）B （2）B （3）C （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A （10）C （11）C （12）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分（13）（14）553<<-x （15）n（16）②③三、解答题（5满分10分解：（I ）甲从选择题中抽到一题的可能结果有16C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有14C 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有16C 14C 个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为110C 19C 个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为154191101416=C C C C ，所求概率为154； ——5分（II ）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101314C C CC ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为15131191101314=-C C C C 15或 +191101516C C C C +191101416C C C C 191101614C C C C 151315415431=++=15 ——10分（18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识12分如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O xyz -（I ）解：依题意得B ()0 ,1 ,0，N ()1 ,0 ,1，∴()()()3011001222=-+-+-=——2分（II ）解：依题意得1A ()2 ,0 ,1，B ()0 ,1 ,0，C ()0 ,0 ,0，1B (2 ,1 ,0 ∴ ()2 ,1 ,11-=BA ，(2 ,1 ,01=CB⋅1BA 1=CB 6=5= ——5分∴ <cos ⋅1BA 301011==>CB ——9分 （III ）证明：依题意得1C ()2 ,0 ,0，M ⎪⎭⎫⎝⎛2 ,21 ,21=A 1()2 ,1 ,1--，=C 1⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ,21,21 ，∴ ⋅A 1=C 1002121=++-，∴⊥ 1A C 1 ——12分 （18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力12分（I ）证明：连结11C A 、AC ，AC 和BD 交于O ，连结C 1∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，BC=CD又∵ C C C C DCC BCC 1111 , =∠=∠， ∴ DC C BC C 11∆≅∆， ∴ D C B C 11=， ∵ DO=OB ，∴ ⊥O C 1BD ， ——2分 但 AC ⊥BD ，AC ∩O C 1=O ， ∴ BD ⊥平面1AC又 ⊂C C 1平面1AC ，∴ ⊥C C 1BD ——4分（II ）解：由（I ）知AC ⊥BD ，⊥O C 1BD ， ∴ OC C 1∠是平面角βα--BD 的平面角在BC C 1∆中，BC=2，231=C C ， 601=∠BCC ， ∴ 460cos 23222322221=⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B C ——6分 ∵ ∠OCB= 30， ∴ OB=21BC=1∴ 49141322121=-=-=OB B C O C ， ∴ 231=O C 即C C O C 11= 作H C 1⊥OC ，垂足为H ∴ 点H 是OC 的中点，且OH 23=， 所以 33cos 11==∠O C OH OC C ——8分 （III ）当11=CC CD时，能使C A 1⊥平面BD C 1 证明一： ∵11=CC CD， ∴ BC=CD=C C 1，又 CD C CB C BCD 11∠=∠=∠， 由此可推得BD=C B C 11=∴ 三棱锥C- BD C 1是正三棱锥 ——10分设C A 1与O C 1相交于G∵ 11C A ∥AC ，且11C A ∶OC=2∶1， ∴ G A 1∶GO=2∶1又 O C 1是正三角形BD C 1的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形BD C 1的中心，∴ CG ⊥平面BD C 1即 C A 1⊥平面BD C 1 ——12分证明二：由（I ）知，BD ⊥平面1AC ，∵ C A 1⊂平面1AC ，∴ BD ⊥C A 1 ——10分当11=CC CD时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD ⊥C A 1的证法可得1BC ⊥C A 1 又 BD ∩1BC =B ，∴C A 1⊥平面BD C 1 ——12分（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的 数学思想方法和运算、推理能力满分12分解：（I ）不等式()1≤x f 即ax x +≤+112，由此可得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数>a 所以，原不等式等价于()⎩⎨⎧≥+≤+0,1122x ax x即 ()⎩⎨⎧≥+-≥02102a x ax ——3分所以，当10<<a 时，所给不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120|a a x x ； 当1≥a 时，所给不等式的解集为{}0|≥x x ——6分（II ）在区间[)+∞,0上任取1x ，2x ，使得1x <x()()()2122212111x x a x x x f x f --+-+=- ()212221222111x x a x x x x --+++-=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-=a x x x x x x 1122212121 ——8分 （i ）当1≥a 时， ∵111222121<++++x x x x ， ∴011222121<-++++a x x x x又 021<-x x ， ∴ ()()021>-x f x f ， 即 ()(21x f x f >所以，当1≥a 时，函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调递减函数 ——10分（ii ）当10<<a 时，在区间[)+∞,0上存在两点01=x ，2212a ax -=，满足()11=x f ，()12=x f ，即()=1x f ()2x f ，所以函数()x f 在区间[)+∞,0上不是单调函数综上，当且仅当1≥a 时，函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数——12分（20）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识满分12分解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为()5.0+x m ，高为()x x x 22.345.0448.14-=+--由022.3>-x 和0>x ，得6.10<<x ，设容器的容积为3ym ，则有()()x x x y 22.35.0-+= ()6.10<<x 整理，得x x x y 6.12.2223++-=， ——4分 ∴ 6.14.462++-='x x y ——6分 令0='y ，有06.14.462=++-x x ， 即 0411152=--x x ， 解得 11=x ，1542-=x （不合题意，舍去） ——8分 从而，在定义域（0，1，6）内只有在1=x 处使='y 由题意，若x 过小（接近0）或过大（接受1.6）时，y 值很小（接近0），因此，当1=x 时y 取得最大值，8.16.12.22=++-=最大值y ，这时，高为.1122.3=⨯-答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为38.1m ——12分（21）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力12 分解：（I ）因为{}n n pc c -+1是等比数列，故有 ()()()11221-+++--=-n n n n n n pc c pc c pc c ， 将n n n c 32+=代入上式，得 ()[]2113232n n n n p +-+++=()[]()[]112111132323232--+++++-+⋅+-+n n n n n n n n p p ， ——3分即 ()()[]23322n n p p -+-=()()[]()()[]111133223322--++-+--+-n n n n p p p p ， 整理得()()0323261=⋅⋅--n n p p ， 解得 p =2或p =3 ——6分 （II ）设{}n a 、{}n b 的公比分别为p 、q ，n n n b a c +=为证{}n c 不是等比数列只需证122c c c ⋅≠ 事实上， ()pq b a q b p a q b p a c 11221221211222++=+=， =⋅31c c ()()(2211221221212111q p b a q b p a q b p a b a +++=++由于 q p ≠，pq q p 222>+，又1a 、1b 不为零，因此，3122c c c ⋅≠，故{}n c 不是等比数列 ——12分 （22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力满分14分解：如图，以AB 为垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称 ——2分普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞依题意，记A ()0 ,c -，C ⎪⎭⎫ ⎝⎛h c , 2，E ()00 ,y x ，其中||21AB c =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高由定比分点坐标公式得()()122120+-=++-=λλλλc c c x ， λλ+=10h y 设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a e = 由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和a c e =代入双曲线方程得 14222=-bh e ， ① 11124222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b h e λλλλ ② ——7分 由①式得 14222-=e bh ， ③ 将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ， 故 1312+-=e λ ——10分 由题设4332≤≤λ得，4231322≤+-≤e 解得 107≤≤e 所以双曲线的离心率的取值范围为[]10, 7——14分。

普通高等学校春季招生考试高三数学卷第Ⅰ卷参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= S 台侧=l c c )(23+')]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= 其中 c '、c 分别表示上下底面周长l 表示斜高或母线长)cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= 球的体积公式)]cos()[cos(21cos sin βαβαβα--+= V 锥334R π=表示R 表示球的半径第I 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）2i -的共轭复数是A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- （2）函数2()log f x x =的图象是（3）有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线—定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线； ③过平面。

的一条斜线有一个平面与平面。

垂直． 其中正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 （4）假如函数()sin()f x x πθ=+(02)θπ<<的最小正周期是T ，且当2x =时取得最大值，那么A ．2,2T πθ==B ．1,T θπ==C ．2,T θπ==D ．1,2T πθ==（5）设0abc ≠．“0ac >”是“曲线22ax by c +=为椭圆”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件（6）已知双曲线的两个焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，P 是此双曲线上的一点，且12PF PF ⊥，122PF PF ⋅=，则该双曲线的方程是A ．22123x y -= B ．22132x y -= C ．2214x y -= D ． 2214y x -=（7）在ABC ∆中，已知2sin cos sin A B C =，那么ABC ∆一定是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 （8）若不等式1(1)(1)2n na n+--<+关于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范畴是A ．32,2-⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3(2,)2-C ．33,2-⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3(3,)2-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. （9）222lim23n n n n →∞+=- ．（10）已知23sincos223θθ+=，那么sin θ的值为 ，cos2θ的值为 ．（11）若圆22104x y mx ++-=与直线1y =-相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为 ． （12）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ．将该正方体沿对角面11BB D D 切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为 ．（13）从—1，０，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数2()f x ax bx c =++的系数，可组成不同的二次函数共有 个，其中不同的偶函数共有 个(用数字作答)．（14）若关于x 的不等式20x ax a -->的解集为(,)-∞+∞，则实效a 的取值范畴是 ；若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范畴是 ． 三．解答题：本大题共6小题，共80分．解承诺写出文字说明，证明过程或演算步聚 (15)(本小题满分12分)记函数()lg(23)f x x =-的定义域为集合M ，函数2()11g x x =--的定义域为集合N ．求（Ⅰ）集合M ，N ；（Ⅱ）集合,M N M N ． (16)(本小题满分14分)如图，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作BC 边的平行线，分别交AB ，AC 于11,B C ．将11AB C ∆沿11B C 折起到111A B C ∆的位置，使点1A 在平面11BB C C 上的射影恰是线段BC 的中点M ．求（Ⅰ）二面角111A B C M --的大小；（Ⅱ）异面直线11A B 与1CC 所成角的大小(用反三角函数表示)．(17)(本小题满分14分)已知{}n a 是等比数列，132,18a a ==；{}n b 是等差数列，12,b =123412320b b b b a a a +++=++> （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S 的公式； （Ⅲ）设14732n n P b b b b -=++++，10121428n n b b b b Q +=++++其中n ＝1，2，…，试比较n P 与n Q 的大小，并证明你的结论 (18)(本小题满分14分)如图，Ｏ为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b (0,0a b >≠)，且交抛物线22(0)y px p =>于11(,)M x y ，22(,)N x y 两点． （Ⅰ）写出直线l 的截距式方程； （Ⅱ）证明：12111y y b+=（Ⅲ）当2a p =时，求MON ∠的大小(19)(本小题满分13分)通过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆／小时)与汽车的平均速度v ／(千米／小时)之间的函数关系为2920(0)31600vy v v v =>++（Ⅰ）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大?最大车流量为多少? (精确到0．1千辆／小时)（Ⅱ）若要求在该时段内车流量超过10千辆／小时，则汽车的平均速度应在什么范畴内? (20)(本小题满分13分)现有一组互不相同且从小到大排列的数据：012345,,,,,,a a a a a a 其中00a =．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记015,T a a a =+++，5n n x =，1,1()nn y a a a T =+++作函数()y f x =，使其图象为逐点依次连接点(,)(0,1,2,,5)n n n P x y n =的折线．（Ⅰ）求(0)f 和(1)f 的值；（Ⅱ）设1n n P P -的斜率为(1,2,3,4,5)n k n =，判定12345,,,,k k k k k 的大小关系； （Ⅲ）证明：当(0,1)x ∈时，()f x x <；（Ⅳ）求由函数y=x 与()y f x =的图象所围成图形的面积(用12345,,,,a a a a a 表示)．一般高等学校春季招生考试数学参考答案一．选择题：本大题要紧考查差不多知识和差不多技能．每小题5分，满分40分． (1)D (2)A (3)C (4)A (5)B (6)C (7)B (8)A二．填空题：本大题要紧考查差不多知识和差不多运算．每小题5分，满分30分．(9)12 (10)17,39(12)2(4a + (13)18,6 (14) (][)(4,0),,62,--∞-+∞三．解答题：本大题共6小题，共80分．解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤 (15)本小题要紧考查集合的差不多知识，考查逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）{}{}32302M x x x x =->=>；{}{}{}2113003,11N x xx x x x x x =-=--≥≥=≥<-或（Ⅱ）{}3MN x x =≥，{}31,2MN xx x =<>或(16)本小题要紧考查直线与平面的位置关系等差不多知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．满分14分． 解：（Ⅰ）连接AM ，1A G∵Ｇ是正三角形ABC 的中心．且Ｍ为ＢC 的中点， ∴Ａ，Ｇ，Ｍ三点共线，AM ⊥BC ． ∵11B C ∥BC ，∴11B C ⊥AM 于Ｇ，即GM ⊥11B C ，1GA ⊥11B C ， ∴1A GM ∠是二面角111A B C M --的平面角． ∵点1A 在平面11BB C C 上的射影为Ｍ， ∴1A M MG ⊥，190A MG ∠=︒．在Rt 1A MG ∆中，由12A G AG GM ==得160AGM ∠=︒，即二面角111A B C M --的大小是60︒．(Ⅱ)过1B 作1C C 的平行线交BC 于Ｐ，则11A B P ∠等于异面直线11A B 与1C C 所成的角． 由11PB C C 是平行四边形得111B P C C BP ===，PM=BM －BP ＝12，1112A B AB ==．∵1A M ⊥面11BB C C 于Ｍ， ∴1A M ⊥BC ，190A MP ∠=︒．在1Rt A GM ∆中，1133sin 60322A M A G =⋅︒=⋅=在1Rt A MP ∆中，2222211315()()222A P A M PM =+=+=在11A B P ∆中，由余弦定理得2222211111111152152cos 22218A B B P A P A B P A B B P+-+-∠===⋅⋅⨯⨯∴异面直线11A B 与1CC 所成角的大小为5arccos 8(17)本小题要紧考查等差数列、等比数列等差不多知识，考查逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由231a a q =得3q =±当3q =-时，123202618a a a ++=-+<，这与12320a a a ++>矛盾，故舍去； 当3q =时，12320261826a a a ++=++=>，故符合题意． 设数列{}n b 的公差为d ，由123426b b b b +++=得1434262b d ⨯+=又12,b =，解得3d =，因此31n b n =-． (Ⅱ)21()31222n n n b b S n n +==+(Ⅲ) 14732,,,,n b b b b -组成以3d 为公差的等差数列，因此21(1)953222n P nb n n d n n =-+⋅=- 10121428,,,,n b b b b +组成以2d 为公差的等差数列，1029b =，因此210(1)23226nnb n n d n n Q =-+⋅=+223)95)(26223((19)2n n n n n n P Q n n =--+-=-因此，关于正整数n ，当20n ≥时，n n P Q >；当19n =时，n n P Q =；当18n ≤时，n n P Q <．(18)本小题要紧考查直线、抛物线等差不多知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．满分14分。

2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上，同时将才生号条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2．每小题选出答案后，用铅笑把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式)]cos()[cos(21sin sin )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαφαβα--+-=--+=-++=正棱台、圆台的侧面积公式l S )c c (21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式h S S S V )S (31+'+=台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合},43,2,1{=A ，那么A 的真子集的个数是：（A ）15 （B ）16 （C ）3 （D ）4（2）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是： （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是：（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 （4）已知sinα＞sin β，那么下列命题成立的是（A ）若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β （B ）若α、β是第二象限角，则tgα＞tg β（C ）若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β （D ）若α、β是第四象限角，则tg α＞tg β （5）函数x x y cos -=的部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A ）800~900元 （B ）900~1200元 （C ）1200~1500元 （D ）1500~2800元（7）若a ＞b ＞1，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⋅=2lg ),lg (lg 21,lg lg b a R b a Q b a P ，则 （A ）R ＜P ＜Q （B ）P ＜Q ＜R （C ）Q ＜P ＜R （D ）P ＜R ＜Q（8）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 （A ）⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 2πθρ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ （C ）()1cos 2-=θρ （C ）()1sin 2-=θρ（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+ （10）过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x y 33=（D ）x y 33-= （11）过抛物线)0(2 a ax y =的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则p 1+q1等于 （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4 （12）如图，OA 是圆雏底面中心O 互母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（A ）321（B ）21 （C ）21 （D ）n 212000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2004年普通高等学校春季招生考试（安徽卷）理科数学一、选择题1.5(4+ⅈ)2ⅈ(2+ⅈ)=(A)5(1−38ⅈ)(B) 5(1+38ⅈ)(C) 1+38ⅈ(D) 1−38ⅈ2. 不等式|2x 2−1|≤1的解集为(A){x |−1≤x ≤1}(B){x |−2≤x ≤2}(C){x |0≤x ≤2}(D){x |−2≤x ≤0}3. 已知F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点,M 为椭圆上一点,MF 1垂直于x 轴, 且∠F 1MF 2=600, 则椭圆的离心率为(A)12(B)√22(C)√33(D)√324.lⅈm n→∞(n−2)2(2+3n )3(1−n )5=(A)0(B)32(C)−27(D)275. 等边三角形ABC 的边长为4，M,N 分别为AB,AC 的中点, 沿MN 将ΔAMN 折起, 使得面AMN 与面MNCB 所处的二面角为300, 则四棱锥A −MNCB 的体积为(A)32 (B)√32(C)√3(D)26. 已知数列{a n }满足a 0=1,a n =a 0+a 1+⋯+a n−1(n ≥1), 则当n ≥1时,a n =(A)2n(B)n (n+1)2(C)2n−1(D)2n−17. 若二面角α−l−β为1200, 直线m⊥α, 则β所在平面内的直线与m所成角的取值范围是(A)(00,900](B)[300,600](C)[600,900](D)[300,900]8. 若f(sⅈn x)=2−cos2x, 则f(cos x)=(A)2−sⅈn2x(B)2+sⅈn2x(C)2−cos2x(D)2+cos2x9. 直角坐标xOy平面上, 平行直线x=n(n=0,1,2,...,5)与平行直线y=n(n=0,1,2, (5)组成的图形中, 矩形共有(A) 25 个(B) 36 个(C) 100 个(D) 225 个10. 已知直线l:x−y−1=0,l1:2x−y−2=0. 若直线l2与l1关于l对称, 则l2的方程是(A)x−2y+1=0(B)x−2y−1=0(C)x+y−1=0(D)x+2y−1=011. 已知向量集合M={a⃗|a⃗=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a⃗|a⃗=(−2,−2)+λ(4,5),λ∈R}，则M∩N=(A){(1,1)}(B){(1,1),(−2,−2)}(C){(−2,−2)}(D)∅12. 函数y=sⅈn4x+cos4x的最小正周期为(A)π4(B)π2(C)π(D)2π二、填空题13. 抛物线y2=6x的准线方程为14. 在5 名学生(3 名男生, 2 名女生) 中安排2 名学生值日, 其中至少有1 名女生的概率是 .15. 函数y=√x−x(x≥0)的最大值为 .16. 若(x+1x −2)n的展开式中常数项为−20, 则自然数n= .三、解答题17. 解关于x的不等式:log a3 x<3log a x(a>0,a≠1).(b n+1)2, 求{b n}的通项公式.18. 已知正项数列{b n}的前n项和B n=1419.已知k>0，直线l1:y=kx,l2:y=−kx(1) 证明:到l1,l2的距离的平方和为定值a(a>0)的点的轨迹是圆或椭圆;(2) 求到l1,l2的距离之和为定值c(c>0)的点的轨迹.20. 已知三棱柱ABC−A1B1C1中, 底面边长和侧棱长均为a, 侧面A1ACC1⊥底面ABC,A1B=√6a.2(1) 求异面直线AC与BC1所成角的余弦值(2) 求证: A1B⊥面AB1C21. 已知盒中有10 个灯泡, 其中8 个正品, 2 个次品. 现需要从中取出2 个正品, 每次取出1 个, 取出后不放回, 直到取出2 个正品为止. 设ξ为取出的次数, 求ξ的分布列及Eξ., 过C上一点M, 且与M处的切线垂直的直线称为C在点M 22. 已知抛物线C:y=x2+4x+27的法线., 求点M的坐标(x0,y0);(1) 若C在点M的法线的斜率为−12(2)设P(−2,a)为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P，若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程，若没有，请说明理由。