习题1-6

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习题1-6
1.计算下列极限:
(1)xxxsinlim0;(2)xxx3tanlim0;(3)xxx5sin2sinlim0;

(4)xxxcotlim0;(5)xxxxsin2cos1lim0;(6)为不等于零的常数xxnnn2sin2lim。
解:(1)xxxxxxsinsinlimlim00原式;
(2)原式=33cos133sin33cos3sin3cos3sinlimlimlimlim0000xxxxxxxxxxxxx;
(3)原式=525sin522sin525sin522sin52limlimlim000xxxxxxxxxxx;
(4)原式=1cossinsincoslimlimlim000xxxxxxxxx;
(5)原式= 2sin2sinsin2sinsin211limlimlim02020xxxxxxxxxxx;

(6)原式=xxxxxxxnnnnnn2sin22sin2limlim。
2.计算下列极限:
(1)xxx101lim; (2)xxx1021lim;

(3)xxxx21lim; (4)为正整数kxkxx11lim。
解:(1)令t=x1,tx,0,则原式=111limettt;
(2)令 t=x21,tx,0,则原式=2211limettt;
(3)原式=2211limexxx;
(4)令t=x,tx,,则原式=kkttet11lim。
3.证明极限存在准则1’。
证明:

Axgxx


lim

0










。时,可类似证明当。存在且等于,,即即,时,,当,,,取对于上述,,即时,有,当,对于,,,即时,有,当,对于xAxf

AxfAxfA

AxhxfxgA
xxrAxhAAxhxxAxhAxgAAxgxxxxxxlimlim00012021010min0
000
000








4.利用极限存在准则证明:
(1)111limnn;(2)
11211222limnnnnn

n

(3)数列,,,22222,2存在;
(4)11lim0nxx;(5)11lim0xxx。

证明:(1),nn11111

。,,11111111limlimlim


nnn
nn

(2)

22222221211nnnnnnnnn

n


,,11111122222limlimlimlim
nnnnnn

n

nnnn


11211222limnnnnn
n

(3)观察可知22222221211aaaaann,,由归纳法
得1221naann,

数列为有界数列na。




必有极限。数列是单调递增数列。数列,nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa

0221222
2
1

(4)①当0x时,xxn111,


。,,111111limlimlim000nxxxx
x

②当11111-nxxx时,,


。,,,11111111limlimlimlim0000nxnxxxx
x
x


。,,,111111111115limlimlim000xx
xxxxxx

x
xx