(新)安徽大学2013—2014学年第一学期《高等数学C(一)》 考试试卷 (A卷)及答案(张春杰)

安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C (二)》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------考场登记表序号_______题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设，1224311A t−⎛⎞⎜⎟=⎜3⎜⎟−⎝⎠⎟B 为三阶非零矩阵，若0AB =，则__________． t =2、若A 为三阶矩阵，行列式 2A =，2B A =，B ∗为B 的伴随矩阵，则 B ∗=__________．3、若行列式 33 ij D a ×=满足111a =，122a =，130a =，且余子式，31 8M =−32M x =，，则3319M =x =__________．4、已知向量组，，，，若1(1, 0, 2)T α=2(1, 1, 3)T α=3(1,1, 2)T k α=−+(1, 2, 5)T β=β不．能．由12,,3ααα线性表示，则k =__________．5、若阶矩阵n A 的秩为，且1n −A 的各行元素之和均为，则齐次线性方程组00AX =的通解是__________．二、选择题（每小题3分，共15分）得分6、已知A ，B ，C 均为阶矩阵，则下列结论正确的是 （ ）n A ． 22()2A B A AB B +=++2m B ．，其中为正整数 ()m m AB A B =m C ．若AB AC =且，则0A ≠B C =D ．若，则ABCE =BCA E =，其中E 为n 阶单位矩阵7、设1α，2α均为维向量，向量n 1β，2β，3β均可以由1α，2α线性表示，则下列结论正确的是 （ ） A ．1β，2β，3β必线性无关 B ．1β，2β，3β必线性相关C ．仅当1α，2α线性无关时，1β，2β，3β线性无关D ．仅当1α，2α线性相关时，1β，2β，3β线性相关8、设A 为矩阵，则下列结论正确的是 （ ） m n × A ．若，则方程组m n <AX b =必有无穷多解B ．若，则方程组m n <0AX =必有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量 n m −C ．若A 有阶子式不为零，则方程组n 0AX =仅有零解D ．若A 有n 阶子式不为零，则方程组AX b =有唯一解9、下列选项中，哪个不是．．“()ij n n A a ×=为正交矩阵”的充分条件 （ ） A ．A 的行向量组与列向量组均为正交向量组 B ．1A =，且对任意i j ,1,2,,n "，有ij ij a A = =C ．为正交矩阵 T A D ．1T A A −=10、若三阶矩阵A 有特征值122λλ==，E 为三阶单位矩阵，且|，则||A E −=0|A 为 （ ）A ．−B ．C ．224−D ．4三、计算题（每小题9分，共54分）得分11、计算n 阶行列式1211111111n n a a D a ++=+"""""""1，其中．120n a a a ≠"答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------12、若三维向量123(,,)a a a α=，123(,,)b b b β=，且211211211T A αβ⎛⎞⎜⎟==−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求:（1）T βα；（2）． 2A13、已知矩阵，判断021332121A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A 是否可逆．如果可逆，求；如果不可逆，请说明理由． 1A −14、求向量组，，，的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示． 1(1,0,2,0)T α=2(0,1,1,2)T α=−3(1,2,4,4)T α=−4(2,1,4,2)T α=−15、已知，，若20000101A a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠20003402B b ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟−⎝⎠⎟⎟A 与B 相似，求a ，b 的值．答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16、已知方程组有无穷多个解，求123123123112x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=−⎩λ的值及方程组的通解．四、分析计算题（每小题10分，共10分）得分17、设二次型222123123121323(,,)4484f x x x x x x x x x x x x =++−−−,（1）判断二次型是否正定；（2）利用正交变换X QY =化二次型为标准形，并求出相应的正交矩阵． Q得分五、证明题（每小题6分，共6分）18、已知n 阶矩阵A 满足 32A E =，其中E 为阶单位矩阵，若n 2B A A =+，证明B 可逆，并求B 的逆矩阵．安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C （二）》考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1、；2、256；3、；4、3−4−1−；5、，其中为任意常数(1,1,,1)T k "k二、选择题（每小题3分，共15分）6、D ；7、B ；8、C ；9、A ； 10、D三、计算题（每小题9分，共54分）11、解：从第二行起，每行减去第一行，再从第二列起，第i 列的1ia a 倍加到第一列上，得(2,3,,i n =")111221311111110011111100n nna a a a a D a a a a ++−+==−+−""""""""""""""""10a ．．．．．．（4分） 112212131111001(1)000000ni in n i ina a a a a a a a a a ==++==∑+∑""""""""""．．．．．．．（9分） 12、解：（1）因为，()111121321232122233313233211211211T a a b a b a b a b b b a b a b a b a a b a ba b αβ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠−−+=所以． ()1123211223332(1)12T a b b b a a b a b a b a βα⎛⎞⎜⎟==++=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠．．．．．．（5分）（2）2422()22422422T T T A A αβαβαβ⎛⎞⎜⎟====−−−⎜⎜⎟⎝⎠⎟． ．．．．．．（9分）13、解：利用初等变换法可以直接判断A 是否可逆，并求出1A −：()021100,332010121001A E ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠121001021100332010⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10010102022613001322⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠100101010113001326−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，．．．．．．（7分）故A 可逆，且1101113326A −−⎛⎞⎜=−−⎜⎜⎟⎟⎟−⎝⎠． ．．．．．．（9分）（注：若先由02133210121A ==≠判断出A 可逆，则给3分；之后正确求出1A −，则给9分．）14、解：依题意，将向量组按列排成矩阵并作初等行变换()123410120121,, , 21440242αααα⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012101200242⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012100010000⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟−⎜⎟⎝⎠1010012000010000⎛⎞⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠， ．．．．．．（5分）故，()1234, , , 3r αααα=124,,ααα为向量组的一个极大无关组，且3122ααα=+． ．．．．．．（9分）15、解：由相似矩阵的性质，一方面A B =，即381b +=−，得．3b =− ．．．．．．（5分）另一方面，相似矩阵有相同的特征值，故()()tr A tr B =， 即2，得．5a +=+b 0a =．．．．．．（9分）16、解：依题意，对方程组的增广矩阵作初等行变换111112111111112111A λλλλλλ−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠2112011301112λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−−+⎝⎠ 112011300(1)(2)2(2)λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−++⎝⎠， 故当2λ=−时，()()2r A r A ==，方程组有无穷多个解． ．．．．．．（4分）此时对应的同解方程组为1232322333x x x x x +−=−⎧⎨−+=⎩，令自由未知量，得该方程组的一个特解．30x =(1,1,0)T η=−−其对应齐次方程组1232320330x x x x x +−=⎧⎨−+=⎩的基础解系为，(1,1,1)T ξ=因此原方程组的通解为，其中为任意常数． ．．．．．．（9分）(1,1,1)(1,1,0)T x k k ξη=+=+−−T k四、分析计算题（每小题10分，共10分）17、解：（1）因为二次型的矩阵为124242421A −−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠，2124242(5)(4)421E A λλλλλλ−−=−=−+=−0，所以A 的特征值为125λλ==，34λ=−．由于A 有一个特征值为负数，故A 不正定，该二次型不正定．．．．．．．（4分）（2）对于方程组(5，)0E A x −=解得基础解系为11(,1,0)2T ξ=−，．2(1,0,1)T ξ=−先正交化，得111(,1,0)2T ηξ==−，2122111(,)42(,,1)(,)55T ξηηξηηη=−=−−，再单位化，得111(T )ηγη==，222(Tηγη==． 对于方程组(4，解得基础解系， )0E A x −−=3(2,1,2)T ξ=单位化得333212(,,333T ξγξ==． ．．．．．．（6分） 故所求正交矩阵()123,,0Q γγγ⎛⎜⎜⎜==⎜⎜⎜⎜⎝， f 的标准形为221255423f y y y =+−． ．．．．．．（10分）五、证明题（每小题6分，共6分）18、证明：一方面，由32A E =知，A 可逆且1212A A −=． 另一方面，由32A E =得，33A E E +=，即2()()3A E A A E E +−+=，所以A E +可逆，且121()(3)A E A A −E +=−+． ．．．．．．（4分）由A ，A E +均可逆知，2()B A A A A E =+=+也可逆，且11(())()11B A A E A E A −−=+=+−−2243111()(3262)A A E A A A A =−+=−+． ．．．．．．（6分）。

2013—2014学年第一学期《高等数学I 、II 》考试试卷（A 卷）一、填空题（每小题3分，共48分）1. 2()ln(1)f x x =-, 已知 000()(2)3lim2h f x f x h h →--=, =0x 13- .2. 2sin 10()0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a = 1- . 3. 函数32()391f x x x x =--+的既递减又上凸的区间是 (1,1)- .4. 21tx t y e ⎧=+⎨=⎩，则22d d y x 4t t． 5. 设)(x f 在0=x 点处连续，且0()lim12x f x x→=，那么(0)f '= 2 6. 222||2x x dx x -++⎰ ln3 .7.x y dye dx+=的通解为 y x e e c --=+ 8. 设3(1)f x x +=，则(1)f x '-= 23(2)x - ．9. 方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。

10. 若函数)(x f 具有二阶连续导数，,0)()(21='='x f x f ),(0)( 21x f x f ''<<''则12(),().f x f x 的大小关系为 ).()(21x f x f >11. 变上限函数⎰21sin x tdt 的导数等于 2sin 2x x12. 设x ，x e ，x e -是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，则该方程的通解为x x e C x e C y x x +-+-=-)()(21。

得 分13. 广义积分21(ln )edx x x +∞⎰= 1 。

14. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为12(cos 2sin 2)x y e c x c x =+ 15. ⎰⎰'+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 2sin 2sin x x x C -+ .16. 函数x e x f -=)(的四阶麦克劳林公式是)(!!!443243211x o xx x x ++-+-二、计算题（满分24分，每小题6分）17.求020()lim (0,0)ln(1)xt t xx a b dt a b t dt→->>+⎰⎰)(b a ≠原式=-+→limln()x x x a b x 0212 3分=-+→lim ln ln x x x a a b b x 0412=14lna b 3分18、求曲线xex y 12-+=)(的渐近线。

2013-14-1高等数学期末考试（试卷A ）参考答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、ln(dy x dx = 2、(0)f e = 3、(0,14]4、212x x C -+ 5、212()x y C C x e -=+ 二、选择题 (本大题共5小题，每小题4分，共20分)1、B2、C3、A4、D5、A三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题7分，总计21分)1、解：原式=22111arctan arctan arctan 11xdx xdx xdx x x ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰…………………2分 arctan arctan arctan arctan x x xd x xd x =--⎰⎰………………………………4分()()22211arctan arctan arctan ln arctan 122x x x dx x x x x C x =--=-++⎰…7分 2、解：令2sin x t =，则2cos dx tdt =，原式02sin 2cos 2cos t t tdt π=⋅⋅⎰………………3分2300888cos cos cos 33td t t ππ=-=-=⎰………每步2分 3、解：作图（略）。

所求22a a a V dx x π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰………………………………………………4分 2212aa a a x ππ=-=……………………………………………7分 四、解答下列各题(本大题共3小题，每小题7分，总计21分)1、解：原式=2420ln(1)lim cos sin x x x x x→++………………………………………………………3分 2420lim cos 1x x x x x→+==…………………………………………………………7分 2、解：由题意，0t =时，0,1x y ==；且有(1)t dx e t dt=+， 同时第二个方程两端同时对t 求导，有t tyt tydy ye ye dt e te +=-+………………………………4分 故0012(1)t ty t ty t t t dy ye ye dx e te e t ==+=-⋅=-++……………………………………………………7分 3、解：1()P x =，()x Q x =，于是所求通解为：()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰=⋅+⎰……………………………………………………3分 dx dx e x e dx C -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰=⋅+⎰1x Ce x -+-=……………………………………………每步2分 五、证明下列各题(本大题共3小题，每小题6分，总计18分)1、证：因00()()()a a a a f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰， 而000()()()x t a a a f x dx f t dt f x dx =--=--=-⎰⎰⎰，故命题得证。

安徽大学2008—2009学年第二学期院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------《高等数学C （二）》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）题 号 一 二 三 四 五 总 分得 分阅卷人得分一、填空题（每小题2分，共10分）1．已知两个4维向量与21(1,,1,0)t α=2(2,1,3,2)t α=−正交，则＝ t . 2．幂级数221212n nn n x ∞−=−∑的收敛半径为 . 3．设，100220345A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ∗是A 的伴随矩阵，则1()A ∗−= .4．设平面区域：0,D 01x y y ≤≤≤≤(,)，f x y 在上连续，则利用极坐标变换可将二重积分D (,)Df x y d σ∫∫ 化为 .5．二次型22212312224243x x x x x x ++++x 的秩为 .得分 二、单项选择题（每小题2分，共10分）6. 二元函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点处( ).(0,0)A. 连续，偏导数也存在 B. 连续，偏导数不存在C. 不连续，偏导数存在D. 不连续，偏导数也不存在7．若,A B 均为同阶可逆矩阵，则必有( ) . A. A 可经行初等变换变到B B. A B =C. 存在可逆矩阵，使得P 1P AP B −=D. A B +为可逆矩阵8．若阶矩阵n A 的一个特征值为2，则23A A E ++必有一个特征值为( ) .A. 0B. 1C. 11D. 不能确定9．若级数收敛，则( ) .1(n n n a b ∞=+∑)A. 、中至少有一个收敛 B. 1n n a ∞=∑1n n b ∞=∑1n n a ∞=∑、1n n b ∞=∑均收敛C. 1n n n a b ∞=+∑收敛 D. 1n n a ∞=∑、1n n b ∞=∑敛散性相同10. 差分方程的通解为 ( ) (其中为任意常数) .2132t t t y y y ++−+=02222C 1,C C A. B. C. 1C t C +12t C C +1(2)t C −+ D.12(1)t C C −+三、计算题得分(第11小题至第14小题每题8分，第15小题至第17小题每题10分，共62分)11. 已知sin y z x =，求(1) zx ∂∂、z y ∂∂； (2) ； (3) d z 2z x y ∂∂∂.12. 求二重积分cos Dxdxdy x∫∫，其中为直线D y x =与抛物线2y x =所围成的区域.院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13. 求微分方程32x y y y e −′′′−+=的通解.14. 将1()f x x=展开成的幂级数，并求该幂级数的收敛半径、收敛域. (3x −)⎟⎟15. 已知，. 若201030202A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠100010000B ⎛⎞⎜=−⎜⎜⎟⎝⎠X 满足22AX B BA X +=+，求X .16．求矩阵的特征值和特征向量；判断它是否可以对角化，并说明理由.110430102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎜⎟⎝⎠⎟0,院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------17．对于非齐次线性方程组1231231231,220.x x x x x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩(1) a 为何值时，方程组无解；(2) a 为何值时，方程组有解，并求其解.得分 四、应用题（本题10分）18．在平面上求一点，使它到三条直线0x =、0y =、2160x y +−=距离的平方和最小.五、证明题（本题8分） 得分19．设A 为矩阵，其秩为，m n ×AX b =r β是非齐次线性方程组的一个解，0AX =12,,,n r ααα−"是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明：向量组12,,,,n r ααα−"β 线性无关.安徽大学2008－2009学年第二学期《高等数学 C（二）》考试试卷（A 卷）参考答案及评分细则一、填空题（每小题2分，共10分）1．1或； 3. 110A ； 4.csc 204(cos ,sin )d f r r r πθπθθ∫∫dr θ； 5. .2二、单项选择题（每小题2分，共10分）6. C；7. A；8. C；9. D； 10. B.三、计算题(第11小题至第14小题每题8分， 第15小题至第17小题每题10分，共62分)11. 已知sin yz x =，求(1) z x ∂∂、z y ∂∂； (2) ； (3) d z 2z x y ∂∂∂.解：2cos z y y x x x ∂=−∂,1cos z y y x x∂=∂ 21cos cos y y ydz dx dy x x x x=−+22(cos )z y y x y y x ∂∂=−∂∂∂x 231cos sin y y y x x x x =−+ 12. 求二重积分cos Dxdxdy x∫∫，其中为直线D y x =与抛物线2y x =所围成的区域. 解：cos Dxdxdy x ∫∫210cos x x x dx dy x=∫∫120cos ()xx x dx x=−∫1(cos cos )x x x d =−∫x=1cos1−13. 求微分方程32x y y y e −′′′−+=的通解.解：方程对应的齐次微分方程为：32y y y 0′′′−+= 0 其特征方程为，解得232λλ−+=121, 2λλ==.故齐次方程的通解为：212x x C e C e +. 设非齐次方程的一个特解为x y Ae ∗−=代入原方程得到32x x x x Ae Ae Ae e −−−++=−，故16A =这样原方程的通解为：21216x x x C e C e e −++.14. 将1()f x x =展开成的幂级数，并求该幂级数的收敛半径、收敛域.解：(3x −)1111()33331()3f x x x x ===⋅−+−+ 而01(1)1n n n x x ∞==−+∑，，(1,1)x ∈− 故11331()3x ⋅−+013(1)()33n n n x ∞=−=−∑＝1(3)(1)3n n n n x ∞+=−−∑ 且313x −<，于是33x −<，收敛半径为3r =， 收敛区域为.(0,6)15．已知，.若201030202A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠100010000B ⎛⎞⎜⎟⎟=−⎜⎜⎟⎝⎠X 满足22AX B BA X +=+，求X . 解：由 22AX B BA X +=+得到：(2)(2)A E X B A E −=−，从而1(2)(2)X A E B A E −=−−又，001(2)010200A E ⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠11002(2)010100A E −⎛⎞⎜⎟⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠这样，1200100001010010010100000200X ⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎟⎠000010001⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜=−⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎜⎟⎝⎠⎟⎟16．求矩阵的特征值和特征向量；判断它是否可以对角化，并说明理由.110430102A −⎛⎞⎜=−⎜⎜⎟⎝⎠解：1104301022(1)(2λλE A λλλλ+−−=−−−)=−− 令0E A λ−=解得特征值为12λ=，231λλ== 对于12λ=，解方程组，得基础解系为：123(2)0x E A x x ⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠=1(0,0,1)T η=故属于12λ=的全部特征向量为1(0,0,1)T k 1(0k )≠ 对于231λλ==，解方程组，得基础解系为：123()x E A x x ⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠0=2(1,2,1)T η=−故属于231λλ==的全部特征向量为2(1,2,1)T k −2(0k )≠ 因A 只有两个线性无关的特征向量，故A 不能对角化.17．对于非齐次线性方程组1231231231,220.x x x x x x x x ax 0,++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩(1) 为何值时，方程组无解；a (2) 为何值时，方程组有解，并求其解. a 解：方程组对应系数的增广矩阵为：11 1 112 2 011 0A a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠111 1011 102 1 1 a ⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠11 1 1011 100 13 a ⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠(1) 当时方程组无解；10a +=(2) 当即时，方程组有唯一解，其解为：10a +≠1a ≠− 123 23 113 1x x a x a ⎧⎪=⎪⎪=−⎨+⎪⎪=−⎪+⎩. 四、应用题（本题10分）18．在平面上求一点，使它到直线0x =，0y =及2160x y +−=的距离的平方和最小.解：设所求的点为(,)x y ，则它到0x =，0y =及2160x y +−=的距离分别为x ，y，于是由题意，距离的平方和为：221(216)5s x y x y =+++−2令22(216)0542(216)05s x x y x s y x y y∂⎧=++−=⎪∂⎪⎨∂⎪=++−=∂⎪⎩，解得唯一驻点816(,)55根据实际意义所求的点一点存在，即为816(,55.五、证明题（本题8分）设β是非齐次线性方程组AX b =的一个解，12,,,n r ααα−"是对应的齐次方程组的一个基础解系，证明：12,,,,n r ααα−"β线性无关.证明：设11220n r n r k k k k ααα−−++++="βr ，因为0,(1,2,,)i A i n α=="−，于是A 左乘上式两端得到0kA β=，而0A b β=≠，故0k =于是11220n r n rk k k ααα−−+++="，而12,,,n r ααα−"是0AX =的一个基础解系，从而线性无关，故，这样120n r k k k k −====="12,,,,n r ααα−"β线性无关.。

2013—2014学年第一学期高等数学期末考试试题参考答案一、 选择题（每小题4分，共20分）D B D C A二、 填空题（每小题4分，共20分）1.（0，2）2. cos sin x dy xe dx =-3. (1)x e x C --++4.15.0 三、 计算题（每小题5分，共20分） 1. 31lim (2cos )1x x x x →∞++-解：由于2333111lim lim 0111x x x x x x x →∞→∞++==--或者3211lim lim 013x x x x x →∞→∞+==-―――（2分） 2cos x +为x →∞时的有界量，――――――――――――――（4分）所以原式极限为0. ―――――――――――――――――――（5分） 2.设0x >时，可导函数()f x 满足：13()2()f x f x x+=，求'()f x (0)x > 令1t x =，则原式变为：1()2()3f f t t t +=――――――――――――――――――――――（2分） 连立得13()2(),1()2()3f x f x x f f x x x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1()2f x x x =-―――――――――（4分） 所以21()2f x x '=+. ――――――――――――――――――――（5分） 3.设2cos xy e x =，求y '' 解：21(cos sin )2x y e x x '=-―――――――――――――――――（3分）23[cos sin ]4x y e x x ''=-+―――――――――――――――――――（5分）4.x 011lim()1x x e →-- 解：原式=x 01lim (1)x x e x x e →---――――――――――――――――――（1分） =01lim (1)1x x x e e x →-+-―――――――――――――――――（3分） =01lim 2x x →+=12――――――――――――――――――（5分） 四．计算题（每小题5分，共20分） 1.2arctan 1x x dx x ++⎰解：原式=22arctan 11x x dx dx x x +++⎰⎰――――――――――――――（1分） =2211(1)arctan arctan 21d x xd x x+++⎰⎰―――――――――――――（3分） =221[ln(1)(arctan )]2x x +++C ―――――――――――――――――（5分） 2.2156dx x x -+⎰ 解：原式=11()32dx x x ---⎰―――――――――――――――――（3分） =3ln2x C x -+-―――――――――――――――――――（5分） 3.3cos()3x dx πππ+⎰解：法一：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰―――――――――――（2分）=3sin()3x πππ+――――――――――――――――――（4分）=（5分）法二：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰――――――――――――――――（2分） 43323cos x tdt πππ+==⎰t=换元―――――――――――――――――――（4分）4323sin tππ=-=――――――――――――――――――（5分） 4.120arcsin xdx ⎰解：原式=1212001arcsin 2x x +⎰―――――――――――――（2分）=12π――――――――――――――――――（4分）=122π+――――――――――――――――――――（5分） 五．求由抛物线21y x =+与直线1y x =+所围成的面积.解：如图所示――――――――――――――――――――――（2分） 联立方程，解出交点：（0，1）（1，2）――――――――（6分） 积分：1122300111()()236x x dx x x -=-=⎰―――――――――――（10分） 六．某服装有限公司确定，为卖出x 套服装，其单价为1500.5p x =-.同时还确定，生产x 套服装的总成本为：2()40000.25C x x =+.（10分）(1)写出边际成本'()C x 的表达式；(2)求总利润()L x 以及边际利润'()L x ；(3)服装产量x 为多少时，利润达到最大，最大利润是多少？解：1.()0.5C x x '=――――――――――――――――――――（2分） 2.2()()()0.751504000L x R x C x x x =-=-+-―――――――（4分） () 1.5150L x x '=-+――――――――――――――――――――（6分）3.令()0L x '=得到唯一驻点100x =，由题设可知此唯一驻点即使总利润最大时的服装产量，则(100)3500L =――――――――――――――――（10分）。

2013年安徽高考数学真题及解析数学(理科)本试卷分第【卷和第∏卷(非选择题)两部分，第【卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分 150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么P(A + B) = P(A) +P(B)如果事件A 与B 相互独立，那么P(AB) = P(A)P(B)第I 卷(选择题共50分)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

(1)设是虚数单位，Z 是复数Z 的共辄复数，若∕=I Λ-∣∕(X )>0∣.^+2=2Z ,则Z =(A) I+/ (B) I-Z (C) -1+/(D) -1√【答案】A【解析】设 z = a + bi,贝IJZ = a - bi.z ・ zz + 2 = 2z => (a + bi)・(a - bi)i + 2 = (a 2+b 2)i + 2 = 2a + 2bi【解析】・.・$ = 0 +丄+丄+丄=6 + 3 + 2=q.. S = Ii 所以选 2 46 12 12 12(3) 在下列命题中，不是公理的是• •(A) 平行于同一个平而的两个平而相互平行(B) 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平而(C) 如果一条直线上的两点在一个平而内，那么这条直线上所有的点都在此平而内 (D) 如果两个不重合的平而有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线a~ + b~ = 2ba = 1=> Z = 1 + /2 = 2ab = ∖ ■所以选A(2) 如图所示，程序框图(算法流程图)的输岀结果是1 25 (A)-(B)—6 24(C) 2(D)Il412【答案】D9(2)ASD【解析】B.CQ说法均不需证明，也无法址明，是公理：C选项可以推导证明，故是泄理。

(A) θ=O(p∈ /?)和PCOS=2 (B) θ=-{pe /?)和PCOS=2(4)''a < O" “是函数/(x)=∣(drl)x∣在区间(0,+S)内单调递增”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当沪O时，f(x)=∣Λ∣=>y = f(x)¢(0,+ 00)上单调递增；当GVo且x>0时，/(x) = (-OX+1)Λ,y = /(Λ∙)在(O, + =)上单调递增所以a ≤ 0⅛y =八力在(0, +CO)上单调递增的充分条件相反，÷⅛y = ∕(x)在(0, + s)上单调递增=>a≤0,=> a 5 O是y = /(;V)在(0, + CO)上单调递增的必要条件故前者是后者的充分必要条件。

本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ） 16 （B ）2524 （C ）34（D ）1112（3）在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 （6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x（C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x（7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22R πθρρ∈和（C ） =()cos=12R πθρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和（8）函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3（9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈所表示的区域的面积是（A） （B）（C ）（D）（10）若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

安徽大学2011—2012学年第一学期《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（闭卷 时间120分钟）考场登记表序号题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分 一、选择题（每小题2分，共10分）1.设A 为阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ）。

n （A）； （B）1(2)2A −=1A −11(2)(2)T T A A −−=； （C）； （D）。

1111(())(())T T A A −−−−=11(())(())T T T A A −−−=12.若向量组12,,,r αα α可由另一向量组12,,,s ββ β线性表示，则下列说法正确的是（ ）。

（A）； （B）r ；r s ≤s ≥（C）秩(12,,,r ααα )≤秩(12,,,s ββ β)； （D）秩(12,,,r ααα ≥)秩(12,,,s ββ β)。

3.设,A B 为阶矩阵，且n A 与B 相似，E 为阶单位矩阵，则下列说法正确的是（ ）。

n （A）E A E B λλ−=−；（B）A 与B 有相同的特征值和特征向量； （C）A 与B 都相似于一个对角矩阵；（D）对任意常数，与k kE A −kE B −相似。

4.设123,,ααα为3R 的一组基，则下列向量组中，（ ）可作为3R 的另一组基。

（A）11212,,3ααααα−−； （B）1212,,2αααα+； （C）12231,,3αααααα++−； （D）12231,,3αααααα+++。

安徽师范大学2013－2014学年第一学期化材学院专业基础课2013级《线性代数》课程期末考试试卷(A 卷 闭卷 120分钟)1. 设A , B , C 都是n 阶方阵，且ABC =E ，其中E 是n 阶单位阵，则必有⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()(A) BCA =E (B) CBA =E (C) BAC =E (D) ACB =E2. 在下列五个矩阵中，①⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011 ②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1110 ③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 ④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001 ⑤⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110 属于初等矩阵的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()(A) ①③④⑤ (B) ①②③⑤ (C) ①②③ (D) ①③⑤3. 设A 是m ⨯n 矩阵，m <n ，且A 的行向量组线性无关. 对于线性方程组Ax =b ，下列结论中正确的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅( )(A) A 的列向量组线性无关 (B) 增广矩阵的行向量组线性无关 (C) 增广矩阵的列向量组的线性无关 (D) 方程组有唯一解4. 设向量组(I)α1, α2,…, αs 可以由向量组(II)β1, β2,…, βt 线性表示，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) s ≤t (B) t ≤s (C) 秩(I) ≤ 秩(II) (D) 秩(II) ≤ 秩(I)5. 设A ,B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) A 与B 有相同的特征值和特征向量 (B) A 与B 相似于同一个对角阵(C) 如果λ是A 的特征值，则A -λE = B -λE(D) 对任意常数t ， A - t E 与B -t E 相似1. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010301，f (x )=x +2，则f (A -1) = .2. 设A 是3⨯4矩阵，B 是4⨯2矩阵， B 的每一列都是齐次线性方程组Ax =0的解，若R (A )=1，则R (B )最大值是 .3. 设 α1, α2, α3是 n 维列向量，记矩阵A =(α1,α2,α3)，已知R (A )=2， α1=α2+α3，则齐次线性方程组Ax =0的通解为 .4. 设A 是3阶方阵，且032=+=+=+E A E A E A ，则=A .5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A 和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a 00020002B 相似，则a = .一、单项选择题（每小题4分，共20分）二、填空题（每小题4分，共20分）1. 设齐次线性方程组(I): ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛003131********x x x x ；(II):⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00125135114321x x x x k 已知方程组(I)和(II)有公共的非零解. 求参数k 的值.2. 设4维列向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12212α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02113α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41314α.求该向量组的秩，并写出一个最大无关组.3. 向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=143β能否由向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4322α, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8523α线性表示？ 如果不能，说明理由；如果能，求出线性表示的表达式.三、计算题（每小题7分，共35分）4. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110011001，求 (A -2E )-1(A +2E )5. 用施密特正交化方法，将向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1322α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0483α规范正交化1. 已知A 是m ⨯n 矩阵，B 是n ⨯m 矩阵，m >n ，令矩阵C =AB ， 证明： C 的列向量组和行向量组都是线性相关的.2. 设A 是正交矩阵，λ1=1, λ2= -1是A 的两个特征值，ξ1, ξ2是相应的特征向量. 证明：ξ1, ξ2正交.四、证明题（每小题6分，共12分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112001001A .① 矩阵A 是可对角化的，试说明理由； ② 求可逆矩阵P和对角阵Λ，使得P -1AP =Λ； ③ 设k 是正的偶数，求A k .五、解答题（13分）。

安徽大学2011—2012学年第二学期《高等数学C(二)》考试试卷（A 卷）院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（闭卷 时间120分钟）考场登记表序号__________题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分 一、填空题（每小题2分，共10分）1．设A 为矩阵，且||33×1A =，把A 按列分块为123(, , )A ααα=，那么行列式3123|, 4, 2|αααα−−==⎜⎜⎟⎝⎠A ___________．2．若矩阵，123045002A ⎛⎞⎜⎟⎟∗为其伴随矩阵，则1()A ∗−=____________．3．若向量组，1(1, 3, 6, 2)T α=2(2, 1, 2, 1)T α=−，线性相关，3(1, 1, , 2)T a α=−−则___________． a =4．若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是___________．5. 如果n 阶矩阵A 满足()()r A E r A E n ++−=，且A E ≠，其中E 为阶单位矩阵，n那么矩阵A 必有一个特征值为___________．得分 二、选择题（每小题2分，共10分）6．下列条件中，哪个不能．．作为n 阶实矩阵A 可逆的充要条件 ( )A ．A 的特征值全为非负实数B ．A 可以表示为一些初等矩阵的乘积C ．A 的列向量组线性无关D ．当0x ≠时，0Ax ≠，其中12(,,,)T n x x x x ="7．设向量组12,,,s αα"α线性无关，则下列说法错误．．的是 ( ) A ．12,,,s αα"α都不是零向量B ．12,,,s αα"α中至少有一个向量可由其余向量线性表示C ．12,,,s αα"α中任意两个向量都不成比例D ．12,,,s αα"α中任一部分向量组都线性无关8．设A 是矩阵，m n ×B 是n m ×矩阵，对线性方程组()AB x 0=，有 ( ) A ．时，方程组仅有零解 n m >B ．时，方程组必有非零解 n m >C ．时，方程组仅有零解 m n >D ．时，方程组必有非零解m n >9．如果两个n 阶矩阵A 与B 相似，那么下列结论一定正确的是 ( ) A ．A 与B 都相似于同一个对角矩阵 B ．A 与B 的秩可能不相等 C ．A 与B 有相同的特征向量 D ．A 与B 有相同的行列式10．若A 是矩阵，，，则43×()2r A =102020103B ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠()r AB = ( ) A ． B ．1 C ． D ． 023三、计算题（每小题10分，共60分）得分11．计算n 阶行列式12341110000022000003300000011n n n n−−−−−−"""""""" ．12．设矩阵，求满足方程101210325A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟−−⎝⎠⎟X A AX −=的矩阵X ．答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13． 求向量组，，，，的秩和一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示． 1(1,1,2,4)T α=−2(0,3,1,2)T α=3(3,0,7,14)T α=4(1,2,2,0)T α=−−5(2,1,5,10)T α=14．求齐次线性方程组的基础解系．123412345023x x x x x x x x +−−=⎧⎨−++=⎩015．设1α，2α，3α是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量，且()3r A =，若，，求方程组1(1, 1, 1, 1)T α=23(2, 3, 4, 5)T αα+=Ax b =的通解．16．已知是矩阵111ξ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠212512A a b −⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟3⎟−−⎝⎠的一个特征向量，（1）求参数a ，b 及特征向量ξ所对应的特征值．答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（2）问A 能否相似于对角矩阵？并说明理由．四、分析计算题（每小题12分，共12分） 得分17．已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =−+−+++的秩为2． （1） 求a 的值．（2） 利用正交变换求出f 的标准形，并写出相应的正交矩阵Q ．得分五、证明题（每小题8分，共8分）18．设A ，B 均为n 阶方阵，（1）若，证明：0AB =()()r A r B n +≤．（2）若，且2A =A E 为阶单位矩阵，证明：n ()()r A r A E n +−=．安徽大学2011—2012学年第二学期 《高等数学C （二）》考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题（每小题2分，共10分）1．； 2．8−12388845882008⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜或⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠18A ； 3．2−； 4．(； ５．1− 二、选择题（每小题2分，共10分）６．A ； ７．B ； ８．； ９．D ； 10．C D三、计算题（每小题10分，共60分）11．从第二列起，每列都加到第一列去，再将行列式按第一列展开得原式=(1)23412010********* 003300000011n n n n n n+−−−−−−"""""""" ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）=1000022000(1)033002011n n n n−−+−−−"""""""=(1)(1)(2)(1)2n n n +×−×−××−" =1(1)(1)2n n −+−!. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）12． 依题意有，()E A X A −=，且001200326E A −⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，因为00120040326−−=−−≠，故E A −可逆，且1()X E A −=−A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）下求1()E A −−()001100,200010326001E A E −⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠200010001100326001−⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠ 11000023026012001100⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠110000231010342001100⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠− 故1100231()342100E A −⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）所以11001221013171321034242325100101X ⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−−−=−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠0−− (也可直接用初等变换法求X ).．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）13．依题意，将向量组按列排成矩阵并作初等行变换 ()123451031213021,, , , 217254214010ααααα−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠10312033330114102242−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠1031201111000500060−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10302011010001000000⎛⎞⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）故()12345, , , , 3r ααααα=，124,,ααα为向量组的一个极大无关组，且3132ααα=+，5122ααα=+.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）14．依题意1511151112130724−−−−⎛⎞⎛→⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝⎞⎟⎠0，得同解的方程组123423450724x x x x x x x +−−=⎧⎨−++=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）取3x ，4x 为自由未知量，得基础解系1372710η⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，21374701η⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）15．依题意，由1A b α=，2A b α=，3A b α=，得23()2A b αα+=，即23()2A b αα+=，故223αα+也是方程组Ax b =的解．于是231130, , 1, 22Tααα+⎛⎞−=⎜⎝⎠2⎟为导出组0Ax =的解． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）又因为知，故方程组()3r A =Ax b =的导出组0Ax =的基础解系中含有个向量，所以非零向量1n r −=130, , 1, 22T⎛⎞⎜⎟⎝⎠即为0Ax =的一个基础解系． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）由解的结构定理知的通解为Ax b =13(1, 1, 1, 1)0, , 1, 22TT k ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠k ，为任意常数.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）16．（1）设ξ是矩阵A 的对应特征值λ的特征向量，由特征值及特征向量的定义，A ξλξ=，即，21211531121a b λ−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠11−．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）得方程组2125312a b λλλ−−=⎧⎪+−=⎨⎪−++=−⎩，解得3a =−，0b =，1λ=−．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）（2）由（1）知，由212533102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠3212533(1)λ102E A λλλλ−−−=−+−=++0=得A 的特征值为1−（三重）．由()2r E A −−=知，A 只有一个线性无关的特征向量，故三阶矩阵A 不能相似于对角矩阵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）四、分析计算题（每小题12分，共12分）17．（1）依题意，二次型的矩阵为，且r A110110002a a A a a −+⎛⎞⎜⎟⎟=+−⎜⎜⎟⎝⎠()2=于是11011002a a a a −++−=0，解得0a =.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）（2）由（1）得，由110110002A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠2110110(2)002E A λλλλλλ−−0−=−−=−=−，得A 的特征值为10λ=，232λλ==.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）对于10λ=，解线性方程组(0)0E A x −=，得线性无关的特征向量，()11, 1, 0Tα=−对于232λλ==，解线性方程组(2)0E A x −=，得线性无关的特征向量，，()21, 1, 0T α=()30, 0, 1Tα=显然1α，2α，3α正交，将1α，2α，3α单位化得1 0T η⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，2 0Tη⎞=⎟⎠，. ()30, 0, 1T η=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）故f 的标准形为212323(,,)222f x x x y y =+，所用正交变换的矩阵为正交矩阵00001Q ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）五、证明题（每小题8分，共8分） 18．（1）设矩阵B 按列分块可写作()12, , , n B αα="α，由0AB =，得()12,,,0n A ααα="，即0i A α=，1,2,,i n =" ，故i α是齐次方程组的解．0Ax =当时，仅有零解，故()r A n =0Ax =0i α=，1,2,,i n ="，即0B = 当时，的基础解系中含有()r A n <0Ax =()n r A −个向量，故 ()()r B n r A ≤−于是．()()r A r B n +≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）（2）由2A A =，知，由（1）知()A A E −=0()()r A r A E n +−≤ )另一方面，由()(r A E r E A −=−，且()()()()r A r E A r A E A r E n +−≥+−==， 故.()()r A r A E n +−=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）5。

高数c大一期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(0)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：B2. 求极限lim (x→0) (sin(x)/x)的值。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 计算定积分∫(0 to 1) (3x^2 - 2x + 1)dx的值。

A. 1/3B. 1C. 2D. 3答案：B4. 已知序列{a_n}满足a_1 = 1, a_(n+1) = 2a_n + 1，求a_3的值。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = ln(x)，求f'(x)的值。

答案：1/x2. 求级数1 + 1/2 + 1/4 + ...的和。

答案：23. 已知向量a = (3, -4)，b = (2, 1)，求向量a与向量b的点积。

答案：-104. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵A的行列式值。

答案：-2三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 15在x = 2处的导数。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9，代入x = 2得到f'(2) =3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3。

2. 证明：若a > b > 0，则a^3 > b^3。

证明：由a > b > 0，得a^2 > b^2，两边同时乘以a，得a^3 > ab^2，又因为a > b，所以ab^2 > b^3，故a^3 > b^3。

四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上可积。

证明：根据连续函数的性质，若f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上满足黎曼可积的条件，即存在一个实数I，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得任意两个分划P1和P2，只要它们的最大子区间长度都小于δ，那么它们的黎曼和之差小于ε。

《线性代数》试卷共8页第1页《线性代数》试卷共8页第2页安徽师范大学2013－2014学年第一学期化材学院专业基础课2013级《线性代数》课程期末考试试卷(A 卷闭卷120分钟)1.设A, B, C 都是n 阶方阵，且ABC =E ，其中E 是n 阶单位阵，则必有 ()(A) BCA=E(B) CBA =E(C) BAC=E(D) ACB=E2. 在下列五个矩阵中，①1011②1110③101④001⑤110属于初等矩阵的是()(A) ①③④⑤(B)①②③⑤(C)①②③(D) ①③⑤3. 设A 是m n 矩阵，m<n ，且A 的行向量组线性无关.对于线性方程组Ax=b ，下列结论中正确的是( )(A) A 的列向量组线性无关(B) 增广矩阵的行向量组线性无关(C) 增广矩阵的列向量组的线性无关(D) 方程组有唯一解4. 设向量组(I)1, 2,…,s 可以由向量组(II)1, 2,…,t线性表示，则( )(A) s t(B) t s(C) 秩(I)秩(II)(D) 秩题号一二三四五得分得分得分评卷人复核人一、单项选择题（每小题4分，共20分）院：年级/班级：姓名：学号：装订线内不要答题《线性代数》试卷共8页第3页《线性代数》试卷共8页第4页(II)秩(I) 5. 设A,B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则()(A) A 与B 有相同的特征值和特征向量(B) A 与B 相似于同一个对角阵(C) 如果是A 的特征值，则A-E = B-E (D) 对任意常数t ，A- tE 与B-tE 相似1.设矩阵A=1010301，f(x)=x+2，则f(A -1)=.2.设A 是34矩阵，B 是42矩阵，B 的每一列都是齐次线性方程组Ax=0的解，若R(A)=1，则R(B)最大值是.3. 设1, 2, 3是n 维列向量，记矩阵A=(1,2,3)，已知R(A)=2，1=2+3，则齐次线性方程组Ax=0的通解为.4.设A 是3阶方阵，且032EAEAEA ，则A.5.已知矩阵533242111A 和a020002B 相似，则a=.得分评卷人复核人二、填空题（每小题4分，共20分）得分评卷人复核人三、计算题（每小题7分，共35分）《线性代数》试卷共8页第5页《线性代数》试卷共8页第6页1. 设齐次线性方程组(I):00313111114321x x x x ；(II):0125135114321x x x x k已知方程组(I)和(II)有公共的非零解. 求参数k 的值.2. 设4维列向量组12011α,12212α,02113α,41314α.求该向量组的秩，并写出一个最大无关组.3.向量143β能否由向量组3211α, 4322α, 8523α《线性代数》试卷共8页第7页《线性代数》试卷共8页第8页线性表示？如果不能，说明理由；如果能，求出线性表示的表达式.4. 设矩阵A=110011001，求(A-2E)-1(A+2E)5.用施密特正交化方法，将向量组1101α,1322α,0483α规范正交化装订线内不要答题2. 设A是正交矩阵，1=1,2= -1是A的两个特征值，1,2是相应的特征向量.证明：1,2正交.得分评卷人复核人四、证明题（每小题6分，共12分）1. 已知A是m n矩阵，B是n m矩阵，m>n，令矩阵C=AB，证明：C的列向量组和行向量组都是线性相关的.得分评卷人复核人五、解答题（13分）《线性代数》试卷共8页第9页《线性代数》试卷共8页第10页《线性代数》试卷共8页第11页《线性代数》试卷共8页第12页设矩阵112001001A. ①矩阵A 是可对角化的，试说明理由；②求可逆矩阵P 和对角阵，使得P -1AP=；③设k 是正的偶数，求A k .。

12届一、求可重复排列，11个无区别的球，7个有区别的盒子。

1.无空盒，求排列数；C(11-1,7-1)2.允许空盒，但1号盒子最多只有一个球，求排列数。

C(6+11-1,11) + C(6+10-1,10)二、a（n）=a（n-1）+C（n-2，3）之类。

书上课后布置的题一样吧递推。

三、n个0、1的二进制的排列，求仅起始二位出现11的排列数。

bn = bn-1 + bn-2;an = bn-3=bn-4 + bn-5;即an = an-1 + an-2;a1 = 0; a2 =1;四、由1、2、3三个数字，组成的五位数的个数。

要求1和3出现偶次数，2出现奇次数。

(1+x2/2! + x4/4！)2 (x + x3/3! + x5/5!)五、n对夫妻排成一行，求每对夫妻不在一起的排列数。

六、3*3数格问题。

红蓝二种涂色，翻转和旋转结果一致的不重复计数。

1.求方案数(1)^9 一个；(1)^3 (2)^3 四个；(1)^1(2)^4 一个；(1)^1(4)^2 两个故总方案N = (2^9 + 4*2^6 + 2^5 + 2*2^3)/82.用2红7蓝涂色，方案数。

画出结果N = (r+b)^9 + 4*(r+b)^3(r^2 + b^2)^3 + (r+b)(r^2+b^2)^4 + 2*(r + b)(r^4+b^4)^23.不记得题目了。

2011-2012组合数学期末考试试题一．A={1,2,3,4,5,6,7}，从A中取11个数组成非递减序列，1最多出现1次，求方案数。

二．a1=0,a2=2，从a3开始，a n是a n-1与a n-2连线的中点，求a nan = (an-1 + an-2)/2特征方程为2x^2 - x -1 =0解得x1 = -1/2 x2 = 1 ;令an = A(-1/2)^n + B(1)^n又a1 = 0 ,a2 = 2 代入求得A = 8/3B = 4/3故an = 8/3*(-1/2)^n + 4/3三．写出n个元素的错排公式，并给出证明（方法不限）。