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24.7(2)向量的线性运算

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24.7向量的线性运算(2)
一、教学目标设计
1.知道向量的分解式，会画平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量.
2.在知识形成和运用过程中，体会向量的线性组合与分解的的辩证关系，体会数形结合、
化归等数学思想方法.
二、教学重点及难点
画一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量;

向量的线性组合与分解的的辩证关系.

三、教学用具准备
三角尺、圆规
四、学情分析
本节课研究如何将一个向量表示为两个给定向量的线性组合、画一个向量在已知两个不
平行向量方向上的分向量，为向量知识的进一步运用进行奠基．

五、教学流程设计

六、教学过程设计
（一） 复习引入
想一想

在图一中，任取一点Z作向量,OZ能用.,ba的线性组合表示,OZ吗？

b
a
图一

根据向量加法的意义， ab 所得的和向量是向量 a 与b的合成，如果 .,ba是两
个不平行的向量，cmanb（ m、n是实数），那么向量 c就是向量ma与nb的合成.
用 .,ba的线性组合表示向量 c ，也可以说是对向量c分解，这时，向量ma与nb是向量

复习引入 巩固练
习

布置作业
课堂小结
探索新知
c分别在.,ba 方向上的分向量，manb是向量 c

关于 .,ba的分解式.

(二)探索新知
例题4 如图二：已知平行四边形ABCD，点E、F在边AB上，AE=EF=FB，点P是边AD
的中点；直线EG、FH都与AD平行，分别交DC于点G、H；直线PQ与AB平行，分别交EG、

FH、BC于点O、M、Q.设bOGaOM,试用.,ba的线性组合表示向量：OC、OD、OA、

OB
、.OQ

Q
FE

HGMOPABD
C

图二
解：略

「说明」如例题4中， OB分别在 .,ba方向上的分向量是2a和 b ； OB关于
.,ba

的分解式是2ab .
思考
给定两个不平行的向量.,ba，对于平面内任意一个向量c，都可以确定它关于.,ba的分
解式吗？

N

M
C

0
A

B

图三
如图三，在平面内取一点O，作 OAa，OBb，OCc；再作直线OA、OB .
设点C 不在直线 OA和OB上，过点C分别作直线 OA、OB的平行线，由于向量.,ba不
平行，可知所作两直线分别与直线OB、OA 有唯一的交点，记为N、M. 作向量OM、ON.
因为//OMa，所以存在唯一的实数 x，使 OMxa ；
因为//ONb，所以存在唯一的实数 y，使 ONyb .
而四边形 OMCN是平行四边形，因此OCOMONxayb
即 cxayb
如果点 C 在直线OA或 OB上，那么//,ca或//cb .这时得
0cxaxab

或0cybayb

所以c关于a、b 的分解式总是确定的.
「说明」由此可知，平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分
解.用上面的方法画图，可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量.

例题5 如图四，已知向量OBOA;和p、q

求作：（1）向量p分别在OBOA、方向上的分向
量；
（2）向量q分别在OBOA、方向上的分向
量.
例题6 如图五，已知平行四边形ABCD，点M、
N分别是边DC、BC的中点，射线AM与BC相交

于点E.设aAB，bAD，分别求向量AM、
AN
、AE关于.,ba的分解式.

M
B

E
D
C

A
N

图五

（三）巩固练习
1．如图六，已知平行四边形ABCD，点 M、N是边DC、BC 的中点，设ABa，ADb分
别求向量MN、BN关于a、b的分解式.

p

B q
O A
图四
D
CABM
N
图六

2．如图七，已知平行四边形ABCD的对角线AC 与BD相交于点 O，设 ,OAa OBb，
分别求向量OC、OD、AB、BC 关于a、b的分解式.

O
D
C

A
B

图七

（四）课堂小结
（五）作业布置：练习24.7（2）

合集下载

向量及线性运算

向量及线性运算


按照向量与数的乘积的规定，
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
例1 化简
解
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
与 平行且相等,
结论得证.
习题7-1.2
四、小结
向量的概念
（注意与标量的区别）
向量的加减法
（平行四边形法则）
由三角形两边之和大于第三边的原理有
三、向量与数的乘法
结合律：
（2）分配律：
数与向量的乘积符合下列运算规律： 两个向量的平行关系
证 充分性显然； 必要性 ‖ 两式相减，得
.定理是建立数轴的理论依据
给定一个点及一个单位向量，就确定了一个数轴。 设点o及单位向量i确定了数轴ox, 如图 对于轴上任一点P,对应一个向量，
大小相等且方向相同的向量.记作
4
负向量：
5
大小相等但方向相反的向量.
6
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
空间两向量的夹角的概念：
01
02
设有两个向量a,b,任取空间一点O,
称为向量a与b的夹角。
向量的共面
向量的平行（共线）
二、向量的加减法
[1] 加法：
添加标题
1
（平行四边形法则）
添加标题
2
特殊地：若
添加标题
3
‖
添加标题
4
分为同向和反向
添加标题
5
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
添加标题
6
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
向量的线性运算

向量的线性运算

向量的线性运算向量是数学中一种非常常用的概念，可以用来表示物理空间内的一个方向或一个方向上的一个量。

在一个n维空间中，一个向量可以用n维的数组表示，如：[x1,x2,...,xn]。

两个向量可以使用线性运算进行组合，形成一个新的向量，这些线性运算包括加法、乘法，以及一些更复杂的运算。

首先来说向量的加法。

两个n维的向量可以按照分量逐个相加，形成一个新的n维向量。

若u=[u1,u2,...,un]和v=[v1,v2,...,vn]，则u+v=[u1+v1,u2+v2,...,un+vn]。

例如，若u=[1,2,3]，v=[4,5,6]，则u+v=[5,7,9]。

其次是乘法。

向量的乘法可以分为内积、外积以及点乘。

内积表示两个向量的方向一致的乘积，也称为内积。

向量的内积记为uv，它是两个向量的对应分量的乘积之和，即：uv=u1v1+u2v2+...+unvn。

例如，若u=[1,2,3],v=[4,5,6]，则uv=1×4+2×5+3×6=32。

外积表示两个向量的方向不一致的乘积，也称为外积。

外积记作u×v，它是一个新的n维向量，它的n个分量分别由u×v=<u1v2-u2v1,u1v3-u3v2,...,un-1vn-u2v1>所确定，例如，若u=[1,2,3],v=[4,5,6]，则u×v=[2×6-3×5,-1×6+3×4,-2×5+1×4]，即u×v=[-3,6,-3]。

最后是点乘。

点乘是一种乘法，表示的是两个向量的垂直投影的积。

点乘记作uv，其求解公式为uv=|u||v|cosθ。

其中|u|表示向量u的模，|v|表示向量v的模，而θ表示向量u和v的夹角。

例如，若u=[1,2,3],v=[4,5,6]，则uv=|u||v|cosθ=√14×√77cos10°=45.58。

向量的线性运算与向量的坐标表示

向量的线性运算与向量的坐标表示


向量的减法
定义：向量减法是通过将一个向量 的起点平移到另一个向量的终点， 然后按照向量加法的规则进行计算
运算性质：向量减法满足交换律和 结合律，即a-b=-(b-a)和(a-b)c=a-(b+c)
添加标题
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添加标题
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几何意义：向量减法可以理解为将 一个向量沿着相反方向平移，其结 果等于原向量与平移向量的和
感谢您的观看
汇报人：XX
定义：两个向量相加，得到 一个新的向量
几何意义：向量加法表示两 个向量的起点和终点的连线
运算规则：平行四边形法则 或三角形法则
向量的数乘
定义：数乘是向量的一种线性运算，表示向量与实数的乘积
性质：数乘满足结合律和交换律，但不满足消去律
几何意义：数乘可以改变向量的长度和方向 运算规则：向量与正数相乘，方向不变，长度变大；向量与负数相乘， 方向相反，长度变小
坐标表示：在二维坐标系中，向量 a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，则 向量a-b=(x1-x2,y1-y2)
向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积是一个向量，其模长等于以a和b为邻边的平行四边形的面积，方 向垂直于a和b所在的平面。
几何意义：向量积的方向垂直于a和b所在的平面，其大小等于以a和b为邻边的平行四边形的面 积。
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特殊情况：当两向量同向或反 向时，夹角为0°或180°
添加标题
几何意义：表示两个向量之间 的相对位置关系
向量的点积
定义：两个向量的点积定义为它们的对应坐标的乘积之和
几何意义：点积表示两个向量在垂直方向上的投影的乘积 计算公式：点积 = |a|*|b|*cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模长， θ是两向量的夹角 性质：点积满足交换律和分配律
高二数学下册向量的线性运算知识点

高二数学下册向量的线性运算知识点

高二数学下册向量的线性运算知识点数学是思维的体操，诚如科学家克莱因所说：“唱歌能使你焕发激情，美术能使你赏心悦目，诗歌能使你拨动心弦，哲学能使你增长智慧，科学能使你改善物质生活，但数学能给你以上的这一切！”那么同学们赶快一起来看看向量的线性运算知识点！向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)(5)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(6)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.②向量a，b相等记作a=b.③零向量都相等.④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.练习题：1、平面向量a,b共线的充要条件是( )A.a,b方向相同B.a,b两向量中至少有一个为0C.存在λ∈R,使b=λaD.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0解析:a,b共线时,a,b方向相同或相反,故A错.a,b共线时,a,b不一定是零向量,故B错.当b=λa时,a,b一定共线,若b≠0,a=0.则b=λa不成立,故C错.排除A、B、C,故选D.答案:D2、已知O A B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足则等于( )解析: ∴ 故选A.答案:A3、设D E F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且则与（）A.反向平行 B.同向平行C.不平行 D.无法判断答案:A以上就是我们给同学们整理的向量的线性运算知识点啦！想要了解更多精彩的内容，大家可点击【原创专栏】来看~~。