高一上册数学教案：2.4《基本不等式及其应用》(2)(沪教版)

若 a、b∈R＋，且 ab＝P，P 为定值，则 a b 2 P ，
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2） 若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ； （2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2

解 因为 x 0，
所以 x 1≥2 x 1 2．
x
x
当且仅当 x 1 ，即 x 1时，等号成立． x
因此，所求最小值为 2．
基本不等式的应用 例 已知 x， y 都是正数，求证： （1）如果积 x y 等于定值P，那么当 x y 时，和 x y 有最小值2 P ． （2）如果和 x y 等于定值S ，那么当 x y 时，积 x y 有最大值 S 2 ．
2.2 基本不等式
高一年级 数学
主讲人
基本不等式的定义
前一节课我们学习了与乘法公式相关的重要不等式： a，b R，有 a2 b2≥2ab， 当且仅当 a b 时，等号成立．
如果 a 0，b 0 ，我们用 a 代替a，用 b 代替b，可得什么结论？
基本不等式的定义
几何平均数
ab≤ a b 2
课堂检测 1．（1）已知 x 0，求 2x 1 的最小值及相应的 x 值；
x
（2）已知 0 x 1，求 x(1 x)的最大值及相应的 x 值．
解（1）因为 x 0，则 2x 1≥2 2x 1 2 2
x
x
当且仅当 2x 1 即 x 2 时，等号成立．
x
2
所以 2x 1 的最小值为 2 2 ． x
2
xy≤81 ，当且仅当 x y 9 时，等号成立．
所以，当矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园面积最大， 最大面积为81m2．
基本不等式的实际应用
例 某工厂要建造一个长方体形贮水池，其容积为4 800m3，深为 3m ．如果池底每平方米的造价为150 元，池壁每平方米的造价为 120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？
2
所以 x(1 x)的最大值为 1 ．

基本不等式2a bab 上述不等式对a ≥0,b ≥０时仍成立。

．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．．基本不等式的变形公式： 2ab22(,)2a b a bR ； 2(,)bab a bR ；2()(,)2a baba bR 。

．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若0(i=1,2,…,n), 则1212nn na a a a a n(n>1,n例题序列题目涉及核心知识点设计意图1 例1．（1）如图,已知在正方形ABCD中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为a、b,则正方形ABCD的面积为S1=________,4个直角三角形面积的和为S2=________,则S1_______S2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a、b的式子表示),并且当a______b时,直角三角形变为________时,S1=S2.（2）已知0,0a b>>，求证：2a bab，你能解释2a bab+≤（,a b R+∈）的几何意义吗？师这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）师当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.生完全可以.师为什么？生因为不等式中的a、b∈R.师很好，我们来看一下代替后的结果.板书：abba≥+2即2baab+≤(a＞0,b＞0).本题涉及的内容及水平为：2.4.1B本题涉及的数学核心能力：数学表达能力师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把2ba +叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解） 师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式） 要证：ab ba ≥+2，① 只要证a +b ≥2ab ，②要证②，只要证：a +b -2ab ≥0，③要证③，只要证：,0)(2≥-b a ④显然④是成立的，当且仅当a =b 时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）2 ［合作探究］老师用投影仪给出下列问题.如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，A C=a,B C=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结A D、B D.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）［合作探究］师同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？生可证△A CD ∽△B CD,所以可得abCD=.生由射影定理也可得abCD=.师这两位同学回答得都很好，那ab与2ba+分别又有什么几何意义呢？生ab表示半弦长，2ba+表示半径长.师半径和半弦又有什么关系呢？生由半径大于半弦可得abba≥+2.师这位同学回答得是否很严密？本题涉及的内容及水平为：2.4.1C本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力生 当且仅当点C 与圆心重合，即当a =b 时可取等号，所以也可得出基本不等式2ba ab +≤ (a ＞0,b ＞0).课堂小结师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？ 生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a 2+b 2≥2ab .生 由a 2+b 2≥2ab ,当a ＞0，b ＞0时，以a 、b 分别代替a 、b ，得到了基本不等式2ba ab +≤(a ＞0,b ＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式. 生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式. （此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0，及当且仅当a =b 时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.[来源:]3问题1.已知x 、y 都是正数，求证： (1)2≥+yxx y ； 本题涉及的内容及水平为：13.1.1C 本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？ （思考两分钟） 生 不可以证明.师 是否可以用基本不等式证明呢？ 生 可以.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：∵x 、y都是正数，∴0＞yx，0＞x y .∴22=•≥+xyy x x y y x ，即2≥+x y y x .师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？ （齐声：完成） ［合作探究］师 请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？ （引导同学们积极思考）生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质. 师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.生 ∵x ，y 都是正数，∴x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0.∴x ＋y ≥2xy ＞0，x 2＋y 2≥2x 2y 2＞0, x 3+y 3≥2x 3y 3＞0.∴可得（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·222y x ＝８x 3y 3，即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到. （在表达过程中，对条件x ，y 都是正数往往忽视） 师 在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证. (此时，老师用投影仪给出下列问题)问题3.求证：2)2(222b a b a +≤+. （此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2.∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2.不等式两边同除以4，得222b a +≥2)2(b a +，即2)2(222b a b a +≤+. 师 下面同学都是用这种思路解答的吗？ 生 也可由结论到条件去证明，即用作差法.师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成. ［课堂练习］1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab c.[来源学科网]分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果. ∵a 、b 、c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab ＞0,b ＋c≥2bc ＞0,c+a ≥2ac ＞0. ∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８ab c, 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab c.4［合作探究］2.已知（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ），求证：2≥--+--yx ba b a y x . （老师先分析，再让学生完成）师 本题结论中，注意y x ba b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故本题涉及的内容及水平为：2.4.1C 本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力课堂小结师 本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？生 我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求） 师 本节课我们用到重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系)2(ab ba ≥+证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是此题应从已知条件出发，经过变形，说明yx ba b a y x ----与为正数开始证题. (在教师引导下，学生积极参与下列证题过程) 生 ∵（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ）,∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx . ∴ax －ay ＋by －bx ＞0. ∴（ax －bx ）－（ay －by ）＞0. ∴（a －b ）（x －y ）＞0, 即a －b 与x －y 同号. ∴yx ba b a y x ----与均为正数. ∴22=--•--≥----yx ba b a y x y x b a b a y x 与 (当且仅当yx b a b a y x --=--时取“＝”). ∴2≥--+--yx ba b a y x . 师生共析 我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了.而运用定理：“2ba +≥ab ”时，必须使a 、b 满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：222b a ab +≤，2)2(b a ab +≤. 师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.解)，从讨论因式乘积的符号来判断yx ba b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.2x (x>45x 的最大值且5x+7y=20 ,(4)已知x , y ∈R + 且x+2y=1 , 求11x y的最小值.【解】答案：（1）y 的最小值为6（x=2）．（２）y 的最大值为２(x=1)．（３）xy 的最大值为720(x=2,y=710)． （4）11x y的最小值为223+ (221,12-=-=y x )． 32.4.1C 本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力 4 ：本题涉及的内容及水平为：2.4.1C本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力。

（积为定值，和有 最小值）
即a,b 0, ab ( a b)2 2
（和为定值，积有 最大值）
a,b 0, a b ab,当且仅当 2
a b时等号成立。
扩充基本不等式2
高中数学沪教版高一第一学期 基本不等式及其应用PPT全文课件[ 1]【完 美课件 】
ab 0,| a b | ab,当且仅 2
即ab 1当且仅当a 1 ,b 1 时等号成立。
8
24
高中数学沪教版高一第一学期 基本不等式及其应用PPT全文课件[ 1]【完 美课件 】
高中数学沪教版高一第一学期 基本不等式及其应用PPT全文课件[ 1]【完 美课件 】
练习、
若0 x 1,求当x取何值时，x(1 x)的值最大。
解：
x 0,1 x 0
由基本不等式 2，有 b a 2 b a 2 a b ab
b a 2当且仅当b a ,
ab
ab
即b a 0时等号成立
高中数学沪教版高一第一学期 基本不等式及其应用PPT全文课件[ 1]【完 美课件 】
例3、比较大小
(1)a2 4b2与 4ab (2)a2 3 4 与4
a2 3
（注意等号成立的条件可否达到）
高中数学沪教版高一第一学期 基本不等式及其应用PPT全文课件[ 1]【完 美课件 】
例4、
若a,b R ,且a 2b 1,求证：ab 1 8
证明： 分析：和为定值时，积有最大值。
a 2b ( a 2b )2 1
2
4
当且仅当a 2b 1 时等号成立。 2
在客观世界中，有些不等关系是永远成立的。
例如，在周长相等时，圆的面积比正方 形面积大，正方形的面积比非正方形的 任意矩形面积都大。