基于时间分割的前加减速快速插补算法

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在一个△t内：（1）原理：设刀具沿逆时针
在0～t内(取△t=1)：
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• (2）与直线插补原理的区别： • 圆弧插补中被积函数是变量，被积函数为动点坐标，每进 一步x坐标-1,y坐标+1，直线插补的被积函数是常数（Xe， Ye）。 • x轴的累加用y坐标，y轴的累加用x坐标. • 圆弧插补终点判别需采用两个终点计数器。 • 对于直线插补，如果寄存器位数为n ,无论直线长短都需迭 代次到达终点。
•
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插补误差不得大于一个脉冲当量。这种方法控制精度和进给 速度低，主要运用于以步进电动机为驱动装置的开环控制系 统中. • 二、数据采样插补 • 数据采样插补又称时间标量插补或数字增量插补。这类 插补算法的特点是数控装置产生的不是单个脉冲，而是一组 数字量。插补运算分两步完成。 第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入 若干个点，即用若干条微小直线段来拟合给定曲线，每一微 小直线段的长度△L都相等，且与给定进给速度有关。粗插 补时每一微小直线段的长度△L与进给速度F和插补T周期有 关，即△L＝FT。
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四个步骤： 1.偏差判别 2.坐标进给 3.新点偏差计算 4.终点判别
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1）偏差判别 在直线插补时，以第一象限直线OE为例，直线的起点O在坐 标原点，终点坐标为E（xe，ye），如图1.10所示，对直线上任一 点（x，y），则由直线方程, xey—xye=0 设P（xi，yi）为加工动点，则： 若P位于该加工直线上，有：xe yi—xiye=0 若P位于该加工直线上方，有：xe yi—xiye>0 若P位于该加工直线上方，有：xe yi—xiye<0 由此定义偏差判别函数Fi为：Fi= xe yi—xiye 当Fi=0时，加工动点在直线上； 当Fi>0时，加工动点在直线上方； 当Fi<0时，加工动点在直线下方。

5. 运算举例（第Ⅰ 象限逆圆弧） 运算举例（ 象限逆圆弧） 加工圆弧AE 起点(4,3) AE， (4,3)， 终点(0,5) E=(4-0)+(5加工圆弧AE，起点(4,3)， 终点(0,5) ，E=(4-0)+(53)=6 插补过程演示
三.逐点比较法的进给速度 逐点比较法的进给速度
逐点比较法除能插补直线和圆弧之外，还能插补椭圆、 逐点比较法除能插补直线和圆弧之外，还能插补椭圆、 抛物线和双曲线等二次曲线。此法进给速度平稳， 抛物线和双曲线等二次曲线。此法进给速度平稳， 精度较高。在两坐标联动机床中应用普遍. 精度较高。在两坐标联动机床中应用普遍. 对于某一坐标而言， 对于某一坐标而言，进给脉冲的频率就决定了进给速 度 ：
插补是数控系统最重要的功能； 插补是数控系统最重要的功能； 插补实际是数据密集化的过程； 插补实际是数据密集化的过程； 插补必须是实时的； 插补必须是实时的； 插补运算速度直接影响系统的控制速度； 插补运算速度直接影响系统的控制速度； 插补计算精度影响到整个数控系统的精度。 插补计算精度影响到整个数控系统的精度。 插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、 插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、二次插补器及高 次曲线插补器； 次曲线插补器； 根据插补所采用的原理和计算方法不同， 根据插补所采用的原理和计算方法不同，分为软件插补和硬件 插补。目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。 插补。目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。 根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。 根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。
脉冲当量： 脉冲当量：每一个脉冲使执行件按指令要求方向移动的直线 距离，称为脉冲当量， 表示。一般0.01mm 0.001mm。 0.01mm～ 距离，称为脉冲当量，用δ表示。一般0.01mm～0.001mm。 脉冲当量越小， 脉冲当量越小，则机床精度越高

解：插补完这段直线刀具沿Ｘ和Ｙ轴应走的总步数为 = x e + y e ＝5 + 3＝8。 Y 刀具的运动轨迹如图 E(5，3) 3
2 1 O 1 2 3 4 5 X
第二节 基准脉冲插补
插补运算过程见表：
循环序号 偏差判别 F ≥0 坐标进给 +X 偏差计算 Fi+1=Fi-ye
教案 3
终点判别
m
Y
m(Xm,Ym) B(XB,YB)
+Y2
2 m-R
若Fm=0，表示动点在圆弧上；
若Fm>0，表示动点在圆弧外； 若Fm<0，表示动点在圆弧内。
Rm
R A(XA,YA)
第Ⅰ象限逆圆弧
X
第二节 基准脉冲插补
2）坐标进给
教案 3
与直线插补同理，坐标进给应使加工点逼近给定圆弧,规定如下： 当Fm≥0时，向-X方向进给一步； 当Fm＜0时，向+Y方向进给一步。
教案 3
若Fi=0，表示动点在直线OE上，如P； 若Fi>0，表示动点在直线OE上方，如P′； 若Fi<0，表示动点在直线OE下方，如P″。
O
xi 第Ι象限直线
X
第二节 基准脉冲插补
2）坐标进给
教案 3
坐标进给应逼近给定直线方向，使偏差缩小的方向进给一步，由插补装 置发出一个进给脉冲控制向某一方向进给。
教案 3
直线线型 进给方向 偏差计算 直线线型
L1、L4 L2、L3 +X -X Fi+1=Fi-ye L1、L2 L3、L4
偏差计算
Fi+1=Fi+xe
注：表中L1、L2、L3、L4分别表示第Ⅰ、第Ⅱ、 第Ⅲ、第Ⅳ象限直线，偏差计算式中xe、ye均代 入坐标绝对值。

yi − ∆yi −1 / 2 ∆xi = ∆L R xi +1 = xi + ∆xi yi +1 = R 2 − x 2 i +1 ∆yi = yi − yi +1
y ym （公式1） 公式1
A( x0 , y0 ) Pi ( xi , yi ) ∆xi
θi
D
β i ∆α i
d (∆yi ) = xi +1 / yi +1 d (∆xi )
d (∆xi ) = yi +1 / xi +1 d (∆yi )
当 xi ≤ y i 当 xi > yi
应选公式1 时，应选公式1。 应选公式2 时，应选公式2。
§2.5 刀具半径补偿
一、刀具补偿原理 数控系统对刀具的控制是以刀架参考点为基准 数控系统对刀具的控制是以刀架参考点为基准 刀架参考点 而零件加工程序给出的是零件轮廓轨迹 零件轮廓轨迹， 的，而零件加工程序给出的是零件轮廓轨迹，但实 际上是要用刀具的刀尖实现加工的， 刀尖实现加工的 际上是要用刀具的刀尖实现加工的，这样需要在刀 架的参考点与加工刀具的刀尖之间进行位置偏置 位置偏置。 架的参考点与加工刀具的刀尖之间进行位置偏置。 这种位置偏置由两部分组成： 这种位置偏置由两部分组成：刀具长度补偿及刀具 半径补偿。
Pi(xi,yi) x
∆xi = ∆L cos α ye ∆yi tan α = x = ∆x 任意T内 任意T e i xi +1 = xi + ∆xi xe 公式1 （公式1） cos α = 2 2 yi +1 = xi +1 tan α xe + ye ∆yi = yi +1 − yi

及
控
终点判别
N
终点？
制
方
法
结束
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二、逐点比较法圆弧插补---其它象限
y
F>0
y
F>0
第
F<0
F<0
三 章
o
x
o
x
插
补
原
理
逆圆
顺圆
及 控
各象限插补进给方向， 各象限插补进给方向，远
制
远离原点坐标值加一接 离原点坐标值加一，接近
方
近原点坐标值减一。
原点坐标值减一。
法
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作业
试推导逐点比较法第一象限顺圆弧 第 插补的递推公式，并画出程序流程图。
逐点比较插补计算法（简称逐点比较法）
第
三 章
数字积分插补计算法（简称数字积分法）
插 时间分割插补计算法（简称时间分割法）
补
原
理 及
样条插补计算方法等。
控
制
方
法
2
3-1 逐点比较法插补
逐点比较插补计算法（简称逐点比
第 较法）又称区域判别法。
三
章
其原理是：计算机在控制加工轨迹过
插 程中逐点计算和判断加工偏差以控制坐
章
当M点在直线上时， + Δ X
y
插 补
(αi= α)
原
M (x i y j )
A
理
及 控
tg αi= tg α
制
方 法
αi
oα
x
6
其中 tg αi= y j / xi
tgα= y e / x e
tg αi -tgα= y j / xi - y e / x e

二、进给速度控制
CNC系统中进给速度控制方式：
软件控制 采用——程序计时法（程序延时法）。
软件与接口控制 采用——时钟中断法、 v/Δ L积分器法（适于采用DDA或 扩展DDA插补中的稳速控制）。
1、程序计时法（程序延时法）
其过程是：
(1)计算出每次插补运算所占用的时间；
(2)由给定的F值计算出相应的进给脉冲间隔时间 ；
前加减速控制是对编程的F指令值即合成速度进 行控制。首先要计算出稳定速度Fs和瞬时速度Fi。
稳定速度——就是系统处于恒定进给状态时， 在一个插补周期内每插补一次的进给量。实际上就 是编程给定F值（mm/min）在每个插补周期T（ms） 的进给量。
考虑调速方便，设置了快速和切削进给的倍率 开关，其速度系数设为K（％），可得Fs的计算公式 为：
设直线终点P坐标为（xe , ye），x为长轴，其 加工点A(xi , yi) 已知，则瞬时加工点A离终点P距 离si为：
si

xe
xi
1
c os
对于圆弧插补，
si的计算应按圆弧所 对应的圆心角小于及
大于π 两种情况进行 分别处理，如图。
小于π 时，瞬时加
工点离圆弧终点的直线
距离越来越小，以MP为
每加速一次，瞬时速 度为： Fi＋1＝Fi＋at
新的瞬时速度Fi＋1参 加插补计算，对各坐标轴 进行进给量的分配。
减速时，系统每进行一次插补运算后，都要进 行终点判断，也就是要计算出离终点的瞬时距离si 。
并按本程序段的减速标志，判别是否已到达减速区 ，若已到达，则要进行减速。
如图，如果稳定速度 Fs和设定的加/减速度a已 确定，可用下式计算出减 速区域：
后加减速控制的规律实际 上与前加减速一样，通常 有直线和指数规律的加减 速控制。

Numerical Control Technology
插补原理
Chapter 2 Interpolation Principle
algorithm
机床数控技术
Numerical Control Technology
1
插补的概念
2
常用的插补方法
3 4 5
逐点比较法
数字积分法 时间分割法
6
本章小结
机床数控技术
1 插补的基本概念 Basic Concepts
A 什么是插补
Numerical Control Technology
根据所给定的进给速度和轮廓线形的要求，在 轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方 法称为插补方法或插补原理。
机床数控技术
1 插补的基本概念 Basic Concepts
A 什么是插补 B 要解决的基本问题
(4) 终点判别
开始加工时，将刀具移到起点，刀具正好处于直线上，偏差为零， 即F＝0，根据这一点偏差可求出新一点偏差，随着加工的进行，每一新 加工点的偏差都可由前一点偏差和终点坐标相加或相减得到。 在插补计算、进给的同时还要进行终点判别。常用终点判别方法， 是设置一个长度计数器，从直线的起点走到终点，刀具沿X轴应走的步数 为X e，沿Y轴走的步数为Ye，计数器中存入X和Y两坐标进给步数总和∑＝ ∣Xe∣＋∣Ye∣，当X或Y坐标进给时，计数长度减一，当计数长度减到 零时，即∑＝0时，停止插补，到达终点。
图2 圆弧插补轨迹
图3 直线插补轨迹
机床数控技术
Numerical Control Technology
逐点比较法，就是每走一步都要和给定轨迹比较一次， 根据比较结果来决定下一步的进给方向，使刀具向减小偏差 的方向并趋向终点移动，刀具所走的轨迹应该和给定轨迹非 常相“象”。 算法的特点是；运算直观，插补误差小于一个脉冲当量， 进给速度波动小，调节方便，在两坐标联动的数控机床中应 用较为广泛， 逐点比较插补法通过比较刀具与所加工曲线的 相对位置，确定刀具的起动力向。

刀尖位置与机床控制刀位点不同时，需要刀尖位置 补偿。刀具磨损或者换了新的刀具后，实际刀尖位置变 化，需要补偿。
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3.6 刀具半径补偿 数 控 技 术
第 三 章
1）B功能刀具半径补偿计算： ◆直线加工时刀具补偿；
Y
A(x,y) ∆y r A’(x’,y’)
第 三 章
计 算 机 数 控 装 置
扩展DDA插补是在DDA插补的基础上发展起来，并将DDA法 用切线逼近圆弧的方法改进为用割线逼近，减少了逼近误差， 提高了圆弧插补的精度。
7
3.5 数据采样插补的原理 数 一. 数据采样插补的基本思想 控 (二) 数据采样法之二——扩展DDA法 技 1 .扩展DDA直线插补 V 术 X V T TX X
第 三 章
ΔPAG∽ΔAOC
AOC PAC i
i 1 i
1 i 2
计 算 机 数 控 装 置
插补步长和角步距的关系
l cos X
l sin Y
5
3.5 数据采样插补的原理
数 一. 数据采样插补的基本思想 控 直线函数法的主要问题： 技 1.用弦线逼近圆弧，因此插补误差主要为半径的绝对误差。 术 因插补周期是固定的，该误差取决于进给速度和圆弧半径，
第 三 章
直线与X轴夹角为，若已知轮廓步长，则本次插补周期内各坐 标轴进给量为： X l cos
计 算 机 数 控 装 置
Ye Y x Xe
下式可以避免计算三角函数：
cos
Xe X e2 Ye2一. 数据采样插补的基本思想 控 2. 直线函数法圆弧插补： 技 直线函数法圆弧插补，需先根据进给速度指令F，计算出 术 轮廓步长l，然后以长为l的弦线逼近圆弧，再将弦l分解到两个

2
2
(TF) 2 eR R 8 8R
– 由上式可以看出，圆弧插补时，插补周期T分 别与误差eR、圆弧半径R和进给速度F有关。在 给定圆弧半径和弦线误差极限的情况下，插补 周期短对获得高的加工速度有利。在插补周期 确定的情况下，加工给定半径的圆弧时，为了 保证加工精度，必须对加工速度进行限制。
以第一象限顺圆圆m
1 i 2
1 Yi Yi 1 2 cos cos i 2 R -
1 2
1 Yi Yi -1 2 cos R
X i f cos
数据采样插补原理
数据采样插补法又称数字增量插补法或时间标量 插补法，用在闭环、半闭环交直流伺服电机驱动 的控制系统中，插补结果输出的不是脉冲，而是 数据。计算机定时地对反馈回路采样，得到采样 数据与插补程序所产生的指令数据相比较后，以 误差信号输出，驱动伺服电动机。 数据采样插补可以划分两个阶段：粗插补和精插 补，其中粗插补是主要环节。粗插补是用微小的 直线段逼近给定的轮廓，该微小的直线段与指令 给定的速度有关，常用软件实现；精插补是在上 述微小的直线段上进行“数据点的密化”，这一 阶段其实就是对直线的脉冲增量插补，计算简单， 可以用硬件或软件实现。这种插补方法所产生的 最大速度不受计算机最大运算速度的限制，但插 补程序比较复杂。
– 数据采样插补的最大进给速度不受计算机最大运算速 度的限制，而主要受圆弧弦线误差和伺服系统性能的 限制。 – 在直线插补中，插补形成的每个微小线段与给定的直 线重和，不会造成轨迹误差。但在圆弧插补中，通常 用内接弦线或内、外均差弦线来逼近圆弧，这种逼近 必然要造成轨迹误差。
(TF) eR R 8 8R
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