(★★★)
有四块各长80厘米的木板，钉成一块木板(如图)，中间钉在一起重叠的部分是10厘米，钉成的木板长多少厘米？
【例1拓展】(★★★)
小玲用胶水将两张同样长的纸粘成了一张长为80厘米的长纸条，其中粘在一起的部分长10厘米，这两张纸条各长多少厘米？
(★★★)
二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班。其中4人两个班都参加。二（1）班一共有多少人？
【例2拓展】(★★★)
老师出了两道测试题，全班每个同学都至少答对了一道，答对第一道题的有30人，答对第二道题的有28人，两道都答对的有18人，那么全班同学总共有多少人？
(★★★★)
20个同学报名参加美术组和舞蹈组，其中有16人参加了美术组，12人参加了舞蹈组．问两个小组都参加的有多少个同学？
重叠问题
【例3拓展】(★★★★)
春天来了，全班52人到北海公园划船，有27人划了手摇船，29人划了脚踏船，4名同学因身体不好没有划船而去游览了白塔。问：既划了手摇船也划了脚踏船的同学有多少人？
(★★★★)
学校乐器队按计划招收了42名新学员，会拉小提琴的有27人，会弹电子琴又会拉小提琴的有16人，两项都不会的有1人．会弹电子琴的有多少人？
(★★★★★)
新一期的猫咪训练营开始了，总共有60只小猫咪报名参加．经过一段时间的训练后，有33只猫咪学会了爬树，有25只猫咪学会了抓老鼠，其中既会爬树又会抓老鼠的有10只。那么既不会爬树又不会抓老鼠的猫咪有多少只?
【例5拓展】(★★★★★)
某班组织了一次跳绳和呼啦圈比赛活动，参加跳绳比赛的有29人，参加呼啦圈比赛的有23人，两项都参加的有6人，两项都没有参加的有4人。问全班共有多少人？
(★★★) 有四块各长80厘米的木板，钉成一块木板(如图)，中间钉在一起重叠的部分是10厘米，钉成的木板长多少厘米？ 【例1拓展】(★★★) 小玲用胶水将两张同样长的纸粘成了一张长为80厘米的长纸条，其中粘在一起的部分长10厘米，这两张纸条各长多少厘米？ (★★★) 二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班。其中4人两个班都参加。二（1）班一共有多少人？ 【例2拓展】(★★★) 老师出了两道测试题，全班每个同学都至少答对了一道，答对第一道题的有30人，答对第二道题的有28人，两道都答对的有18人，那么全班同学总共有多少人？ (★★★★) 20个同学报名参加美术组和舞蹈组，其中有16人参加了美术组，12人参加了舞蹈组．问两个小组都参加的有多少个同学？
【例3拓展】(★★★★) 春天来了，全班52人到北海公园划船，有27人划了手摇船，29人划了脚踏船，4名同学因身体不好没有划船而去游览了白塔。问：既划了手摇船也划了脚踏船的同学有多少人？ (★★★★) 学校乐器队按计划招收了42名新学员，会拉小提琴的有27人，会弹电子琴又会拉小提琴的有16人，两项都不会的有1人．会弹电子琴的有多少人？ (★★★★★) 新一期的猫咪训练营开始了，总共有60只小猫咪报名参加．经过一段时间的训练后，有33只猫咪学会了爬树，有25只猫咪学会了抓老鼠，其中既会爬树又会抓老鼠的有10只。那么既不会爬树又不会抓老鼠的猫咪有多少只? 【例5拓展】(★★★★★) 某班组织了一次跳绳和呼啦圈比赛活动，参加跳绳比赛的有29人，参加呼啦圈比赛的有23人，两项都参加的有6人，两项都没有参加的有4人。问全班共有多少人？
重叠问题简析 三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。 数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。 例题1六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？ 思路导航：根据题意，画出下图： 从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。 例题2 同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？ 思路导航：根据题意，画出下图：
由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。 例题3把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？ 思路导航：把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。 例题4一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？ 思路导航：根据题意，画出下图： 图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了39－36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。 例题5三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？ 思路导航：根据题意，画出下图： +
重叠问题 1、学校组织看文艺表演，冬冬的座位从左数是第7个，从右数是第10个，这一行座位有多少个？ 2、为庆祝六一，小朋友们排成方形的鲜花队，无论从前、从后数，还是从左、从右数，李丽都在第5个，鲜花队一共有多少个小朋友？ 3、同学们排成方形的队伍跳集体舞，无论从前从后数，还是从左从右数，赵英都是第4个。跳集体舞的一共有多少个同学？ 4、三（5）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组。已知参加音乐组的有32人，参加美术组的有30人，两个小组都参加的有10人。三（5）班共有学生多少人
5、三（1）班订《数学报》的有32人，订《语文报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三（1）班有学生多少人？ 6、、三（1）班有学生55人，每人至少参加跳绳和踢毽子比赛的一种，已知参加跳绳的有36人，参加踢毽子的有38人。两项都参加的有几人？ 7、三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名同学，两种都不会的有10名同学。两种都会下的有多少名同学？ 8、学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，两项都不会的有3名。两项都会的有多少名？
9、三（6）班有学生55人，参加学校绘画比赛的有20人，既参加绘画比赛又参加书法比赛的有12人，两项比赛没参加的有14人。参加书法比赛的有多少人？ 10、乐器兴趣小组有４２人其中会弹钢琴的有２７人，既会弹钢琴又会弹古筝的有１６人，两项都不会的只有１人。会弹古筝的有多少人？ 11、同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个；从前数是第5个，从后数是第6个。做操的同学一共有多少个？ 12、三（4）班有学生56人，做对第一道思考题的有29人，做对第二道思考题的有27人，两道题都做错的有7人。两道思考题都做对的有几人？
第七讲重叠问题 哪吒智闯水晶宫---哪吒被骗了哪吒继续往前去寻宝，只见一位白胡子 老爷爷拿着哪吒地乾坤圈站在大厅中间。“那是我的乾坤圈！”哪吒激动的叫起来。哪吒赶紧跑过去一看，“怎么有两个乾坤圈” 白胡子老爷爷微 笑的说：“哪吒不认识我 了”哪吒仔细打量了这位 老爷爷后说：“我记起来 了，你是太白金星。”太 白金星：“哪吒，我听说 了你的事后，特意来帮助 你的，你看，我帮你把乾 坤圈要回来了。”哪吒：“那怎么有两个乾坤圈”太白金星：“这其中一个是我的金钢圈，另一个是你的乾坤圈，刚才我拿一个圈称连我共重67千克，拿另一个圈称连我共重68千克，我的金刚圈比你的乾坤圈重，你猜得出来你的乾坤圈和我的金刚圈多重，我就把你的宝贝还给你”哪吒：“太白金星，你说话可得算数！”太白金星：“那当然了，我胡子都白了，还会骗你你就在这里想吧，我有事先走，一会儿就回来”哪吒在原地想了一天一夜，也没有想出答案，他明白了，他并不知道太白金星的体重是不可能算出乾坤圈和金刚圈的重量的，他被骗了，那个老人根本不是太白金星！他不过是中了龙王的圈套而已，哪吒气冲冲的继续前进，心想，要再被我碰到这假冒的太白金星，我一定把他的胡子拔了！ 例题精讲 例1 小朋友们排队练体操，小红的左边有6个人，右边有2个人，这一排共有几个人 6 小红 2 分析：由图知道，小红所在一队的小朋友，可以分成三部分：第一部分是小红的左边的6个人，第二部分是小红这1个人，第三部分是小红右边的2个人。要求一共有多少人，就是把这三部分加起来。即6+1+2=9（人）。 例2 12个小朋友排队去春游，小云的前面有5个同学，小云的后面有几个同学 小云
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-2.容斥原理之重叠问题（二） 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； A B A B +-1 A B 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， C 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次， 多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- A B C 3A B C ++-
知识要点：前面已学过排队问题，从前面数，从后面数，丽丽都排第 6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。 [例1 ]洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两 块手帕的两边，这样一共要多少个夹 子？ 分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用 3 个夹子。三块手帕有两边重叠，用 4 个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此 8 块手帕就要用 9 个夹子。 [例2 ]把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有 5 张画要多少个图钉呢？ 分析：每排两张画要 6 个图钉，每排三张画要 8 个图钉，每排四张画要 10 个图钉。可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加 2 颗，那么 5 张画要 12 个图钉。 [例3 ]有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25 厘米，中间钉在一起的长 5 厘米，现在长木板有多长？ 分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。现 在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长 45 厘米。 [ 例 4 ] 张老师出了两道题，做对第一题的有 13 人，做对第二题的有 22 人，两道题都做对的有 8 人，这个班一共有多少人？ 分析：做对第一题的 13 个人里，有 8 个人也做对第二题，那么做对第二题的 22 个人里这 8 个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第 二题的人数和起来，再减去重复数的这8 个人。算式： 13+22-8=27（人）所以这个班一共有 27 人。 [ 例 5 ] 四根长都是 8 厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长 绳，打结处每根绳用去 1 厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？ 分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。一个 结用去 1+1=2 厘米，那么三个结用去 2+2+2=6厘米，绳子总长 8+8+8+8=32厘米，减去打结的 6 厘米， 32-6=26，现在这根长绳是 26 厘米。
第七讲 重叠问题 哪吒智闯水晶宫---哪吒被骗了哪吒继续往前去寻宝，只见一位白胡子老爷爷拿着哪吒地乾坤圈站在大厅中间。“那是我的乾坤圈！”哪吒激动的叫起来。哪吒赶紧跑过去一看，“怎么有两个乾坤圈？” 白胡子老爷爷微笑的说：“哪吒不认识我了？”哪吒仔细打量了这位老爷爷后说：“我 记起来了，你是太白金星。”太白金星：“哪吒，我听说了你的事后，特意来帮助你的，你看，我帮你把乾坤圈要回来了。”哪吒：“那怎么有两个乾坤圈？”太白金星：“这其中一个是我的金钢圈，另一个是你的乾坤圈，刚才我拿一个圈称连我共重67千克，拿另一个圈称连我共重68千克，我的金刚圈比你的乾坤圈重，你猜得出来你的乾坤圈和我的金刚圈多重，我就把你的宝贝还给你”哪吒：“太白金星，你说话可得算数！”太白金星：“那当然了，我胡子都白了，还会骗你？你就在这里想吧，我有事先走，一会儿就回来”哪吒在原地想了一天一夜，也没有想出答案，他明白了，他并不知道太白金星的体重是不可能算出乾坤圈和金刚圈的重量的，他被骗了，那个老人根本不是太白金星！他不过是中了龙王的圈套而已，哪吒气冲冲的继续前进，心想，要再被我碰到这假冒的太白金星，我一定把他的胡子拔了！ 例题精讲 例1 小朋友们排队练体操，小红的左边有6个人，右边有2个人，这一排共有几个人？ 6 小红 2 分析：由图知道，小红所在一队的小朋友，可以分成三部分：第一部分是小红的左边的6个人，第二部分是小红这1个人，第三部分是小红右边的2个人。要求一共有多少人，就是把这三部分加起来。即 6+1+2=9（人）。
小朋友排队去春游，小云的前面有5个同学，小云的后面有几个同学？ 小云 分析：这一队的小朋友，可以分成三部分：要求小云后面有几个同 学，就要从总人数12里面去掉小云前面的5个同学，再去掉小云1个 人，才能求出问题。即12―5―1=6（人）。 例3 幼儿园小朋友排队参观盆景，从前面数，小林是第10个，从后面数，小林是第17个，这一排共有几个小朋友？ 分析：“从前面数，小林是第10个”说明小林和他前面同学一共是10人，这个“10”里面包括小林，也包括他前面的同学；“从后面数，小林是第17个”，说明小林和他后面同学一共是17人，这个“17”里面包括小林，也包括他后面的同学。如果“10+17”的话，小林就算了两次，所以还要从“10+17”里面去掉小林多算的那一次。即10+17－1=26（个）。 例4 10 个小朋友按1~3的顺序循环报数，报双数的离队，队伍还剩多少人？ 分析：队伍还剩的人就是报单数的人。这10名队员报数结果是：1、 2、3、1、2、3、1、2、3、1，这里面双数只有2，出现了3次，其他 都是单数，所以报单数的人有7人。即10－3=7（人）。 例5 洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？ 分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用3个夹子。三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此8块手帕就要用9个夹子。
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一 切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-3.几何中的重叠问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．
小学奥数重叠问题专题 日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。 重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。下面小编给大家分享解决重叠的方法。 1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。 3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的部代表集合和集合之间的关系。这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。 4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。 5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。 . .
容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。 . .
一、重叠问题之长度： （1）拼接（对接） （2）搭接 （3）打结 题目1：（搭接正问题：求总长度） 把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？ 题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度） 把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠的部分是6厘米，原来两条纸条各长多少厘米？ 题目3：（搭接反问题一：不等长搭接，求原来长度） 两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。另一根木棍长是多少厘米？ 题目4：（搭接反问题二：求粘合长度，或重叠长度） 把两段同样是15厘米长的纸条粘合在一起，形成一段24厘米长的纸条，请问中间粘合的长度是多少厘米？ . .
六年级奥数重叠问题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
第十二讲重叠问题姓名 容斥原理就是：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 公式法： 运用容斥原理一：C＝A＋B－AB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题（C表示两个集合的并集，A、B表示两个集合，AB表示两个集合的交集）。 运用容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，这一公式可计算出三个集合的有关问题。（D表示三个集合的并集，A、B、C表示三个不同的集合，AB、AC、BC表示两个不同集合的交集，ABC表示三个集合的交集） 图象法： 根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题。 例1：某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对 例2：某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛。那么 （1）只参加数学竞赛的有多少人 （2）参加竞赛的一共有多少人 （3）没有参加竞赛的一共有多少人 例3：某校有三个兴趣小组，体育、书法和美术。已知参加这三个兴趣小组的学生人数分别是25人、24人和30人。同时参加体育、书法兴趣小组的有5人，同时参加体育、美术兴趣小组的有2人，同时参加书法、美术兴趣小组的有4人，有1人同时参加了这三个兴趣小组，问：共有多少人参加兴趣小组 例4：某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人，喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。问有多少同学只喜欢语文 例5：分母是1001的最简真分数有多少个它们的和是多少 例6：某商店调查该商店出售的A、B两种商品销售情况，在被调查的家庭对象中，有1/3不用A商品，有4/7不用B商品，另外有22家既用A商品也用B商品，有1/6的家庭则两种产品都没有用，问该商店共调查了多少户家庭 例7：某班学生中78%喜欢游泳，80%喜欢玩游戏机，84%喜欢下棋，88%喜欢看小说。该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少 练习 1、一批教师中，会英语的有65人，会俄语的有58人，会日语的有51人，既会英语又会俄语的有21人，既会英语又会日语的有19人，既会俄语又会日语的有17人，三种都会的有5人，三种都不会的有8人。这批教师共有多少人 2、某班有36个同学，在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，那么两题都不对的有多少人 3、分母是105的最简真分数，共有多少个 4、在1～1000的自然数中，不能被5或7整除的数共有多少个
知识要点 【课前引入】 脑筋急转弯：两位妈妈和两位女儿一起去参加动漫节，可是她们只买了两张票，便顺利地通过了检票处，这是怎么回事？答案：外婆、妈妈、女儿 排队：小明在超市排队付款，从前数小明排在第三，从后数小明排在第四， 你能算出排队的一共有多少人？（请学生用自己喜欢的方式解释一下，排队的一共有8人） 排队 【例 1】 学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少 个？ 【例 2】 同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？ 重叠问题
【例3】同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？ 【例4】为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个； 从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？ 简单计算 【例5】洗好的8块手帕用夹子夹在绳子上晾干，每一块手帕的两边必须用夹子夹住，同1个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子? 【例6】把10块木块用铁钉钉成一条长木条，每两块之间加钉4个，如下图，共需钉上多少个钉？
【例 7】 把10张图片用图钉像下图那样钉在橱窗里，一共要用多少个图钉? 【例 8】 把两根长为20厘米的筷子用绳子捆成一根长筷子，中间捆在一起的重叠部分是3厘米。捆成的长 筷子长多少厘米？ 【例 9】 有四块各长80厘米的木板，钉成一块木板(如图)，中间钉在一起重叠的部分是10厘米，钉成的 木板长多少厘米？ 【例 10】 两块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分 是15厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？ 我要认真思考一下， 怎么算！ 难不住我
小学奥数专题-重叠问 题(精华版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
小学奥数重叠问题专题 日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。 重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。下面小编给大家分享解决重叠的方法。 1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。 3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。 4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几 个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结 果既无遗漏又不重复。这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。 5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象 的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。
容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。
之前，我们遇到过这样一些问题，两根木头钉在一起还有多长；把两块毛巾挂在铁丝上需要几个夹子等等.解答这些问题的时候都要考虑重叠的部分.在这节课中我们将这些类似的问题归纳在一起，让学生通过有目的的研究，来找到解决重叠问题的方法. 同学们，我们都玩过剪纸，如果把两张纸用胶水粘贴在一起，两张纸必然会有一端上下重合在一起，这重合的部分就是重叠部分.以前我们也遇到过一些重叠问题，解决重叠问题首先要弄清楚是哪部分重叠，还要弄清重叠了几部分，然后再来根据题目的意思具体分析.这节课我们就专门来研究这个问题. 【例1】 洗好的8块手帕用夹子夹在绳子上晾干，每一块手帕的两边必须用夹子夹住，同1个夹子夹住相邻 的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子? 【例2】 把两根长为20厘米的筷子用绳子捆成一根长筷子，中间捆在一起的重叠部分是3厘米.捆成的长筷 子长多少厘米？ 例题精讲 知识框架 重重叠叠
【例3】小玲用胶水将两张同样长的纸粘成了一张长为80厘米的长条，其中粘在一起的部分长10厘米，这两张纸条各长多少厘米？ 【例4】有两根铁丝，一根长为30厘米，另一根长为50厘米，将这两根铁丝焊接成一根长为75厘米的长铁丝.那么，中间的焊接重叠部分长为多少厘米？ 【例5】有四块各长80厘米的木板，钉成一块木板(如图)，中间钉在一起重叠的部分是10厘米，钉成的木板长多少厘米? 【例6】把10张图片用图钉像下图那样钉在橱窗里，一共要用多少个图钉? …… 【例7】二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班.其中4人两个班都参加.二（1）班一共有多少人？
【例8】20个同学报名参加美术组和舞蹈组，其中有16人参加了美术组，12人参加了舞蹈组.问两个小组都参加的有多少个同学？ 【例9】某班有20个同学参加作文和数学竞赛，其中参加数学竞赛的有15人，参加作文竞赛的有13人，问只参加数学竞赛和只参加作文竞赛的各有多少人？ 【例10】学校乐器队按计划招收了42名新学员，会拉小提琴的有27人，会弹电子琴又会拉小提琴的有16人，两项都不会的有1人.会弹电子琴的有多少人? 课堂检测 【随练1】小朋友们去喝冷饮，只能选择可乐和雪碧两种饮料.可以选择一种或两种，也可以不选.选择可乐的有18名，不选雪碧的有15名，两种都选的有10名，两种都没选的有多少名？
小学奥数： 知识要点：前面已学过排队问题，从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。 [ 例1 ] 洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？ 分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用3个夹子。三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此8块手帕就要用9个夹子。 [ 例2 ] 把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？ 分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。 [ 例3 ] 有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在长木板有多长？
分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。现在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长45厘米。 [ 例4 ] 张老师出了两道题，做对第一题的有13人，做对第二题的有22人，两道题都做对的有8人，这个班一共有多少人？ 分析：做对第一题的13个人里，有8个人也做对第二题，那么做对第二题的22个人里这8个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8个人。算式：13+22-8=27（人）所以这个班一共有27人。 [ 例5 ] 四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？ 分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。一个结用去1+1=2厘米，那么三个结用去2+2+2=6厘米，绳子总长8+8+8+8=32厘米，减去打结的6 厘米，13人 22人 8人
排队问题例题 1、同学们排队做操，冬冬的前面有9个人，后面有8个人，这排 同学共有多少人？ 2、小朋友排队去看电影，从前面数玲玲是第5个，从后面数，玲 玲是第6个，这一排一共有多少人？ 3、18个小朋友排成一排做游戏，从前面数明明排第七，从后面 数她排第几？ 4、小朋友排队做操，小红的左边有8个人，右边有8个人。这一 排一共有多少人？ 5、二（1）班同学做操，全班排4行，每行人数相等，小红所站 在的一行中从前面数过去是第6个，从后面数过去是第5个，二（1）班一共有多少人？
6、18个同学排成同样多的两队去参观，王丽排在第一队的第3 个，王丽后面有几个同学？ 7、少先队去春游，从排头数起，小芳是第九个，从排尾数起，小 军是第九个，他们中间还有九个人。这队少先队员共有多少人？ 8、国庆节校门口挂了一行不同颜色的彩灯，无论从左从右数，第 九盏都是红灯，这一行共有彩灯多少盏？ 9、同学们做操排成方形队伍，无论从前从后数，还是从左从右数， 小刚都是第4个，这队伍共有多少人？
重叠问题 1、洗好的8块毛巾用夹子夹在铅丝上晾干，每一块毛巾的两边必 须用夹子夹住，同一个夹子可夹住相邻的两块毛巾的两边，这样一共要多少个夹子？ 2、54个同学带着水壶和水果去春游，带水壶的有18人，带水果的有41人，既带水壶又带水果的至少有多少人? 3、二年级（3）班有42人，全班都订了杂志。订《文艺》的有38人，订《少年科学通报》的有24人，两种杂志都订的至少有多少人？ 4、20个小朋友排队，从左边数起小华是第11名，从右边数起小刚是第16名，小华和小刚之间隔着几个小朋友？ 5、老师出了两道数学题，在20个人中，做对第一题的有13个人，
小学奥数之重叠问题 十三、重叠问题 一、知识要点: 在生活中，我们常常会碰到有关重叠的问题。什么是重叠呢,请看下面的图: A,B两个圆圈重叠放在一起，C是它们的重叠部分。 基本关系:联合体=A+B-C AB 重叠体:C=A+B-AB 对这类题目，我们要从信息入手，可以借助作图来分析，找出解题方法。 二、例题学习: 例1:老师出了两道题，在人中，做对第一题的有人，做对第二题的有40312人，每人至少做对一题，两道题都做对的有几人, 8 分析:如图所示:圆表示做对第题的人数，圆表示做对第二题的，两个圆A1B 的重叠部分表示两道题都做对的人数，31人与8人的和中2包含了两道题都做对 的人数，一共是(32+28=59人)，比人多出(59-40=19人)，这就是两道题40 都做对的人数。 解:31+38=59(人) 59-40=19(人) 试一试:教工运动会，参加跳绳比赛的有人，参加踢毽子比赛的有9人，因383病请假的有3人，如果全校教工有人，那么既参加跳绳比赛又参加踢毽子比赛55 的老师有多少人, 例2:校运动会上，四个年级共有人参加了跑步比赛。其中一、二年级共有118
70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加，问:四年 级有多少学生参加跑步比赛, 分析:在(70+65+59=194人)中，一、二、三年级的参赛人数均重复出现了两 次，因此一、二、三年级的参赛人数应是总人数的一半，这样四年级的参赛人数也 就可以算出来了。 解:(70+65+59)?2=97(人) 118-97=21(人) 试一试:某校三年级共有三个班级名学生，一班和二班共有人，二班和12889 三班共有人。三年级各班有多少名学生, 87 三、练一练: 1、有个同学参加“六一”游园活动，其中人要表演舞蹈，有人要参加1802862 合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有5人，那么既不参加合唱，又不表演舞1 蹈的有多少人, 2、三年级一班有人上美术课，其中人没带笔，带油画棒的有28人，带水彩 542 笔的有25人，两种笔都带到有多少人, 3、四年级同学参加语文、数学期终测试，有人语文不及格，有人数学不及 格，65若不及格的同学必须补考，四年级同学最少有多少同学补考,最多有多少人, 、四年级一共有人，一次考试中，语文得优秀的人，数学得优秀的421012015 人，两科都得优秀的人，两科都没得优秀的有多少人, 068 5.少先队员排队去参观蝴蝶展览。从排头数起，小江是第5个;从排尾数起，6 张颖是第8个。张颖的后面排着小江。你知道有多少同学去看蝴蝶展吗, 3 6、180个小朋友平均排成两队去春游。小刚和小明在一个队里。从排头往后 数，
学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：四年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 第18讲-重叠问题 授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标 ① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 授课日期及时段 T （Textbook-Based ）——同步课堂 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：A B A B A B =+-U I ，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类 知识梳理 1．先包含——A B + 重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；
三年级奥数《重叠问 题》
三年级奥数《重叠问 题》 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
第九讲：重叠问题 【知识要点】： 三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。 【例1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？ 【思路导航】根据题意画出下图。 从图上可以看出，从前数起红旗是第______面，从后数起是第______面，这样红旗就数了______次，重复了______次，所以这行彩旗共有[ ] ＋[ ]－[ ]＝[ ]面。 【课堂反馈1】 1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人？ 2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少个？ 【例2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
课题：重叠问题 【知识讲解】 重叠问题的解决方法。 例1.小丽将3块手帕用夹子夹在绳子上晾晒，每一块的手帕两边必须用夹子夹住，同一个夹子 夹住相邻两块手帕的两边，小丽一共要用多少个夹子？ 例2.人们排队上公共汽车，小红排在队伍的中间，无论是从前面数还是从后面数，她都是第4个，这一排队伍一共有多少人？ 例3.同学们排练舞蹈，15个同学排成一对，从左边数小宁排在第8，问从右边数小宁排在第几？ 例4.学校要举行鼓操表演，同学们排成方队，不论是从前往后数，还是从后往前数，或者从左 往右数，还是从右往左数，王洁都是第4，这支方队有多少人？ 例5.有两块塑料板各长50厘米，把两块板钉成一个塑料板，中间钉在一起的重叠部分是10厘米，钉成的塑料板长是多少厘米？ 例6.二年级一班有36名学生，期末测试后，老师问：语文得“优”的请举手！结果有25人举手。老师又问：数学得“优”的请举手！结果有30人举手。最后老师问：两门都没有得“优”的请举手！没有人举手。你知道这个班两门可都得“优”的有多少人吗？
【巩固练习】 1.幼儿园阿姨把洗好的6张床单用夹子夹在绳子上晾晒，每一张床单两边都用夹子夹住，同一 个夹子夹住相邻的两块床单，一共需要多少个夹子？ 2.小红准备把8张照片钉在墙上钉成一行，每一张照片两边都用钉子钉住，同一个钉子可以钉 住相邻的两张照片，一共需要多少个钉子？ 3.小朋友们排成一排做操，不论是从前往后数还是从后往前数，小红都是第6个，这一排一共有多少个小朋友？ 4.一串珠子摆放在桌子上，这一串珠子上有一颗红色的珠子。从左往右数这颗红色的珠子排在 第18，从右往左数这颗珠子排在第32，这一串珠子一共有多少颗？ 5.16辆七成排成一列车队向前行进，从前面数，唯一的一辆黑色是小汽车是第9辆，问从后面数它是第几辆？ 6.二年级两个班的同学在做操时正好排成一个方形队伍，不论是从前往后数，还是从后往前数， 或者从左往右数，还是从右往左数，李伟都是第5个，二年级两个班做操的同学一共有多少个？ 7.二（1）班同学排队做操，每行是人数同样多。小林的位置从左数是第4个，从右数是第3个，从前数是第5个，从后数是第4个，二（1）班一共有多少人?
三年级奥数《重叠问题》 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
第九讲：重叠问题 【知识要点】： 三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。 【例1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面 【思路导航】根据题意画出下图。 从图上可以看出，从前数起红旗是第______面，从后数起是第______面，这样红旗就数了______次，重复了______次，所以这行彩旗共有[ ] ＋[ ]－[ ]＝[ ]面。 【课堂反馈1】 1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人
2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少个 【例2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个 【思路导航】根据题意画出下图。 由图可看出： 小明的位置从左数第____个，从右数第____个，说明横行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]个人； 从前数第_____个，从后数第_____个，说明竖行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]人。 所以做操的同学共有：[ ]×[ ]＝[ ]人。 【课堂反馈2】 1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人 2、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人 【例3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米 【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长 度就是重叠部分，重叠的部分是____ _厘米，所以这两块木板 的总长度是[ ]＋[ ]＝[ ]厘米，每块木板的长度是 [ ]÷[ ]＝[ ]厘米。 【课堂反馈3】