二年级奥数 第七讲：重叠问题

重叠问题---趣味数学
例：某小学二（1）班人人都参加课外活动，有20人参加数学兴趣班，有25人参加作文兴趣班，其中5人两项都参加，问二（1）班共有多少人？
动脑筋：图中左圈中表示数学兴趣班的人数，右圈表示作文兴趣班的人数，两圈重叠的部份（即图中阴影部份），表示两项都参加的人数。

从图中可以看出，两项都参加的5人被算了2次，重复了。

所以要从两组共有的人数中减去重复的5人。

列式如下：
20+25=45（人）45-5=40（人）
答：二（1）班共有40人。

我会啦！
1、二（2）班同学人人都订阅报纸，订《数学报》的有38人，订
《中国儿童报》的有30人，其中8人这两种都订，问二（2）
班共有多少人？
2、老师出了两组题给全班45名同学做，做对第一组有38人，做
对第二组的有42人，两组题全做对的有多少名同学？
数独-----九宫格。

第七讲 重叠问题 哪吒智闯水晶宫---哪吒被骗了哪吒继续往前去寻宝，只见一位白胡子老爷爷拿着哪吒地乾坤圈站在大厅中间。

“那是我的乾坤圈！”哪吒激动的叫起来。

哪吒赶紧跑过去一看，“怎么有两个乾坤圈？”　白胡子老爷爷微笑的说：“哪吒不认识我了？”哪吒仔细打量了这位老爷爷后说：“我记起来了，你是太白金星。

”太白金星：“哪吒，我听说了你的事后，特意来帮助你的，你看，我帮你把乾坤圈要回来了。

”哪吒：“那怎么有两个乾坤圈？”太白金星：“这其中一个是我的金钢圈，另一个是你的乾坤圈，刚才我拿一个圈称连我共重67千克，拿另一个圈称连我共重68千克，我的金刚圈比你的乾坤圈重，你猜得出来你的乾坤圈和我的金刚圈多重，我就把你的宝贝还给你”哪吒：“太白金星，你说话可得算数！”太白金星：“那当然了，我胡子都白了，还会骗你？你就在这里想吧，我有事先走，一会儿就回来”哪吒在原地想了一天一夜，也没有想出答案，他明白了，他并不知道太白金星的体重是不可能算出乾坤圈和金刚圈的重量的，他被骗了，那个老人根本不是太白金星！他不过是中了龙王的圈套而已，哪吒气冲冲的继续前进，心想，要再被我碰到这假冒的太白金星，我一定把他的胡子拔了！例题精讲例1 小朋友们排队练体操，小红的左边有6个人，右边有2个人，这一排共有几个人？6 小红 2分析：由图知道，小红所在一队的小朋友，可以分成三部分：第一部分是小红的左边的6个人，第二部分是小红这1个人，第三部分是小红右边的2个人。

要求一共有多少人，就是把这三部分加起来。

即6+1+2=9（人）。

小朋友排队去春游，小云的前面有5个同学，小云的后面有几个同学？小云分析：这一队的小朋友，可以分成三部分：要求小云后面有几个同学，就要从总人数12里面去掉小云前面的5个同学，再去掉小云1个人，才能求出问题。

即12―5―1=6（人）。

例3 幼儿园小朋友排队参观盆景，从前面数，小林是第10个，从后面数，小林是第17个，这一排共有几个小朋友？分析：“从前面数，小林是第10个”说明小林和他前面同学一共是10人，这个“10”里面包括小林，也包括他前面的同学；“从后面数，小林是第17个”，说明小林和他后面同学一共是17人，这个“17”里面包括小林，也包括他后面的同学。

1、先包含——A ＋B 重叠部分A ∩B 计算了2次，多加了1次；2、再排除——A ＋B －A ∩B小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习容斥原理1：两量重叠问题计算公式：A ∪B=A ＋B-A ∩B说明：A ∪B 读作：“A 并B ”，表示A 、B 情况的总和。

A ∩B 读作：“A 交B ”，表示A 、B 的公共部分。

容斥原理2：三量重叠问题计算公式： A ∪B ∪C= A ＋B ＋C －A ∩B －B ∩C －A ∩C －A ∩B ∩C说明：A ∪B ∪读作：“A 并B 并C ”，表示A 、B 、C 情况的总和。

A ∩B ∩C 读作：“A 交B 交C ”，表示A 、B 、C 的公共部分。

1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。

中间重叠部分长11厘米。

这两块木板各长多少厘米？3、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？4、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。

问两项比赛都参加的有几人？5、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。

这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？6、三（2）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三(1)班有学生多少人？7、校运动会上，四个年级共有118人参加跑步比赛。

其中一、二年级共有70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加。

问:四年级有多少学生参加跑步比赛？8、某校三年级共有三个班级128名学生，一班和二班共有89人，二班和三班共有87人。

三年级各班有多少名学生？A ∩C A ∩B ∩C B ∩C A ∩B 图中小圆表示A 的个数，中圆表示B 的个数，大圆表示C 的个数 1、先包含——A ＋B ＋C 重叠部分A ∩B 、 B ∩C 、 A ∩C 重叠了2次， A ∩B ∩C 重叠了3次。

知识要点：前面已学过排队问题，从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。

[ 例1 ]洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用3个夹子。

三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此8块手帕就要用9个夹子。

[ 例2 ]把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。

可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。

[ 例3 ]有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在长木板有多长？分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。

现在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。

算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长45厘米。

[ 例4 ]张老师出了两道题，做对第一题的有13人，做对第二题的有22人，两道题都做对的有8人，这个班一共有多少人？分析：做对第一题的13个人里，有8个人也做对第二题，那么做对第二题的22个人里这8个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8个人。

算式：13+22-8=27（人）所以这个班一共有27人。

[ 例5 ]四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。

一个结用去1+1=2厘米，那么三个结用去2+2+2=6厘米，绳子总长8+8+8+8=32厘米，减去打结的6厘米，32-6=26，现在这根长绳是26厘米。

2019年二年级奥数重叠问题1，小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。

重叠问题：提高数学教案二年级的动手能力在数学教学中，动手能力是非常重要的一环。

二年级的孩子们正处于认识世界、完善自我认知能力和表达能力的关键时期，他们向往亲手制造某些东西，及探究人们感兴趣的对象的动机也难以想象，教师需要根据学生接受的能力和特点灵活地设计教学方案，以开发学生的动手能力。

其中的一个重要练习就是“重叠问题”。

一、重叠问题的定义和元素“重叠问题”是指将不同形状的图形，按照一定的要求重叠在一起，形成新的图形，而求出新图形的面积、周长、体积的问题。

重叠问题具有如下的元素：（1）形状不同的图形（2）要求对这些图形进行重叠处理（3）求出新图形的面积、周长、体积二、重叠问题的教学策略1.引入问题学习新知识，引入问题是非常重要的一步。

在引入重叠问题时，可以让学生察觉到日常生活中有很多物品都是由不同的图形重叠而成的，比如灯箱、折叠箱、玩具、建筑物等等，这都需要具备一定的技巧和知识才能制作。

鼓励学生团队合作，相互协助，以完成良好的成果，这样既能激发学生的兴趣，又能使他们充分了解重叠问题的应用意义和实际背景。

2. 制定计划在教学中，需要制定详细的教学计划，将整个复杂任务分解为一步一个步骤，来方便学生的学习。

制定现实可行的计划，逐步升级操作的难度，给学生提供足够的时间和机会，让他们能够熟练掌握操作技巧，以此激发个人与团队的自信心。

3. 操作技术操作技术是完成一道数学题的重要环节。

在学生的操作过程中，教师不仅要提供实际指导，帮助学生克服操作和计算困难，还要注重提高学生的自我学习和独立思考能力。

当学生由独立运算到合作运算的转变时，教师应该适时调整指导策略，帮助他们发展团队精神和协作独立性。

4. 思维的转化在教学中，要注意培养学生思维的转化能力。

当学生在完成一次重叠问题时，教师应该将求解的策略、思路和方法讲解清楚，让学生能够将问题的解决办法应用于其他的现实问题中，扩展思维，将知识点灵活应用，从而发现更多的规律和特性，在掌握复杂题目求解技巧的同时，提高学生的综合素质和人才培养水平。

二年级数学重叠问题一、知识点讲解1. 重叠问题的概念在数学中，重叠问题是指有部分元素在不同的集合中重复出现的情况。

例如，同学们参加语文小组和数学小组，有一些同学既参加了语文小组又参加了数学小组，这就是重叠部分。

2. 解决重叠问题的方法常用的方法是画韦恩图（集合图）来直观地表示各个集合以及它们之间的重叠关系。

另外，也可以通过计算来解决，计算时要注意避免重复计算重叠部分。

例如：计算参加两个小组的总人数时，如果直接把参加语文小组的人数和参加数学小组的人数相加，就会把既参加语文小组又参加数学小组（重叠部分）的人数多计算一次，所以需要减去重叠部分的人数。

二、经典例题及解析1. 例题1题目：二（1）班同学参加课外活动，有20人参加英语班，25人参加电脑班，其中有10人两个班都参加了。

二（1）班一共有多少人参加课外活动？解析：我们可以画韦恩图来理解。

先画两个相交的圆，一个圆表示参加英语班的同学，另一个圆表示参加电脑班的同学，相交的部分就是两个班都参加的同学。

如果直接把参加英语班的20人和参加电脑班的25人相加：20 + 25=45（人），这里面把两个班都参加的10人重复计算了一次。

所以正确的计算方法是：20+25 10 = 35（人）。

2. 例题2题目：学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹钢琴的有22名，两项都不会的有3名。

两项都会的有多少名？解析：我们知道总共有42名新学员，其中两项都不会的有3名，那么至少会一项乐器的学员有42 3 = 39（名）。

会拉小提琴的有25名，会弹钢琴的有22名，那么25+22 = 47（名），这个数字比至少会一项乐器的39名多。

多出来的部分就是两项都会的人数，即47 39 = 8（名）。

3. 例题3题目：把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板，中间重叠部分长11厘米。

这两块木板各长多少厘米？解析：两块木板钉在一起后总长度是35厘米，但是中间重叠了11厘米。