第八章 相关与回归分析

Cov( X ,Y )
Var( X ) Var(Y )
第一节 相关分析
二、相关关系的描述与度量
相关系数
总体相关系数通常是未知的。一般我们从总体中
随机抽取一定样本容量n的样本，利用样本相关系数作 为总体相关系数的估计。样本相关系数r的计算公式为 ：
一、函数关系与相关关系 二、相关关系的描述与度量
第一节 相关分析
一、函数关系与相关关系
变量之间有确定的关系，称为函数关系。如销售额与 价格、销售量的关系，圆的面积与半径的关系等，这 些可由数学来给出描述
变量之间有关系，但不确定，称为相关关系。如学生 的学习时间与考试成绩之间的关系。还有：居民消费 与居民家庭收入的关系、受教育年限与工资水平的关 系、储蓄利率与银行年末储蓄额之间关系等。
第一节 相关分析
二、相关关系的描述与度量
相关分析一般按照以下步骤进行： （1）确认变量之间是否存在关系，如果存在关系，
确认它们之间是否是相关关系。（绘制散点图） （2）如果是相关关系，确认变量之间关系的类型、
方向与强度。（计算相关系数） （3）样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变
量之间的关系？（相关系数的显著性检验）
第八章 相关与回归分析
为解决此问题，高尔顿（1886）设父亲的身 高为自变量x，儿子的身高为因变量y，收集了父 亲和他们成年儿子的身高数据，从（ x ，y ）的 散点图、直线模型得到直观启发，将最小二乘法
（高斯，1801）用到身高数据，结果是：矮于父
辈平均身高父亲的儿子有高于父亲的趋势，而高
于父辈平均身高父亲的儿子有矮于父亲的趋势，
从统计角度来看，回归分析的一个基础和前 提是考察变量之间需要有一定的相关关系，相关 与回归分析是本章学习的内容。

相关分析的内容 1.判断现象之间是否存在相关关系； 2.如果存在相关关系，则要进一步判断相
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表

700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为

相关分析和回归分析都是分析客观事物之间相关关 系的数量分析方法。
第八章-spss相关分析和回归分析
双变量的关系强度如何测量？
• 变量关系强度的含义 指两个变量相关程度的高低。统计学中是以准实 验的思想来分析变量相关的。通常从以下的角度 分析： A）两变量是否相互独立。 B）两变量是否有共变趋势。 C）一变量的变化多大程度上能由另一变量的变 化来解释。
定距
积矩相关 pearson correlation
回归 regression
第八章-spss相关分析和回归分析
•双变量关系强度测量的主要指标
定类
定序
定距
定类
卡方类测量 卡方类测量 Eta 系 数
定序 定距
Spearman Spearman 相 相关系数 关系数
同Ken序da-l异l τ 序 对相关测系量数
r (xix)(yiy) (xix)2•(yiy)2
Pearson简单相关系数的检验统计量为：
r n2 t
1 r2
第八章-spss相关分析和回归分析
8.2.2.2 Spearman等级相关系数
• Spearman等级相关系数用来度量定序变量间的线性
相关关系，设计思想与Pearson简单相关系数相同， 只是数据为非定距的，故计算时并不直接采用原始数
Partial过程，当进行相关分析的两个变量的取值都受到 其他变量的影响时，就可以利用偏相关分析对其他变量进 行控制，输出控制其他变量影响后的偏相关系数。
Distances过程用于对各样本点之间或各个变量之间进行 相似性分析，一般不单独使用，而作为聚类分析和因子分 析等的预分析。
第八章-spss相关分析和回归分析
量之间的线性关系较弱

第八章相关分析与回归分析一、单项选择题(以下每小题各有四项备选答案，其中只有一项是正确的。

)1．根据散点图8-1，可以判断两个变量之间存在( )。

A．正线性相关关系B．负线性相关关系C．非线性关系D．函数关系[答案] A2．假设某品牌的笔记本市场需求只与消费者的收入水平和该笔记本的市场价格水平有关。

则在假定消费者的收入水平不变的条件下，该笔记本的市场需求与其市场价格水平的相关关系就是一种( )。

A．单相关B．复相关C．偏相关D．函数关系[答案] C[解析] 在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变量不变，专门考察其中两个变量的相关关系称为偏相关。

在假定消费者的收入水平不变的条件下，该笔记本的市场需求与其市场价格水平的关系就是一种偏相关。

3．相关图又称( )。

A．散布表B．折线图C．散点图D．曲线图[答案] C[解析] 相关图又称散点图，是指把相关表中的原始对应数值在乎面直角坐标系中用坐标点描绘出来的图形。

4．下列相关系数取值中错误的是( )。

A．-0.86 B．0.78 C．1.25 D．0[答案] C[解析] 相关系数r的取值介于-1与1之间。

5．如果相关系数r=0，则表明两个变量之间( )。

A．相关程度很低B．不存在任何关系C．不存在线性相关关系D．存在非线性相关关系[答案] C[解析] 相关系数r是根据样本数据计算的度量两个变量之间线性关系强度的统计量。

如果相关系数r=0，说明两个变量之间不存在线性相关关系。

6．当所有观测值都落在回归直线上，则两个变量之间的相关系数为( )。

A．1 B．-1C．+1或-1 D．大于-1，小于+1[答案] C[解析] 当所有观测值都落在回归直线上时，说明两个变量完全线性相关，所以相关系数为+1或-1。

即当两个变量完全正相关时，r=+1；当两个变量完全负相关时，r=-1。

7．对于回归方程，下列说法中正确的是( )。

A．只能由自变量x去预测因变量yB．只能由因变量y去预测自变量xC．既可以由自变量x去预测因变量y，也可以由变量因y去预测自变量xD．能否相互预测，取决于自变量x和变量因y之间的因果关系[答案] A[解析] 回归方程中，只能由自变量x去预测因变量y，而不能由因变量y不能预测自变量x。