幂函数的概念、解析式、定义域、值域练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 幂函数f(x)的图象过点(3, √3)，则f(x)的解析式为（）A.f(x)=3xB.f(x)=x3C.f(x)=x 12 D.f(x)=(12)x2. 已知幂函数f(x)＝x a的图象过点(2, 4)，则这个函数的解析式为（）A.f(x)＝x2B.f(x)＝x 12 C.f(x)＝2x D.f(x)＝x√23. 函数f(x)=(x−1)α（α为常数）的图象均过点（）A.(1, 0)B.(0, 1)C.(1, 1)D.(2, 1)4. 已知函数f(x)=(a2−a−1)x1a−2是幂函数，则a=( )A.1B.−1C.−1或2D.1或−25. 函数y=(m2−m+1)x m2−2m−3是幂函数，且f(−x)=f(x)，则实数m的值为（）A.0或1B.1C.0D.1±√726. 下列函数为幂函数的是（）A.y=x2−1B.y=2x +1 C.y=1xD.y=−x3−x7. 已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m2−m−2的图象不经过原点，则m=()A.1B.2C.1或2D.38. 若幂函数y=f(x)的图象过点(4, 2)，则f(12)=()A.√2B.2√2C.√22D.29. 幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A.y=f(x)的定义域为RB.y=f(x)是减函数C.f(4)=2√2D.f(0)=010. 给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数y=|x+2|−2x在R上有3个零点；③√x−1(x−2)≥0的解集为[2, +∞)；④当n≤0时，幂函数y=x n的图象与两坐标轴不相交；其中正确的命题是（）A.①②④B.①②③④C.②④D.①②③11. 已知点P(2, √22)在幂函数f(x)的图象上，则f(9)=________．12. 幂函数f(x)=xα的图像经过点(12++,2)，则f(16)=________．13. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则它的解析式为________．14. 已知幂函数f(x)=x a的图象经过点(4, 2)，则f(100)=________．15. 已知幂函数过(12，√22)，则f(16)=________．16. 若幂函数f(x)的图象经过点(2, √2)，则该函数的表达式f(x)=________．17. 幂函数y=1x2−m−m2在第二象限内为减函数，则m的最大负整数值为________．18. 函数f(x)=(m2−m−1)x m是幂函数，且对区间(0, +∞)上任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)成立，则实数m的值是________ ．19. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(12，√22)，则log2f(2)的值是________．20. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(12，√22)，则log2f(2)的值为________．21. 己知幂函数y=x m2−2m−3(m∈N∗)为偶函数，且在(0, +∞)是减函数，求m的取值集合．22. 已知f(x)=(m2+2m)x m2+m−1，当m取什么值时，（1）f(x)是幂函数；（2）f(x)是正比例函数（3）f(x)是反比例函数．23. 证明：函数f(x)=x 23在[0, +∞)上是增函数．24. 已知幂函数f(x)的图象经过点(3, 19)(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0, +∞)上的单调性，并用定义证明．25. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)（1）求函数的解析式．（2）求函数的定义域与值域．（3）判断函数单调性，并证明你的结论．26. 已知幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求m的值，并且画出它的图象．27. 已知幂函数g(x)=(m2−2)x m(m∈R)在(0, +∞)为减函数，已知f(x)是对数函数且f(−m+1)+f(−m−1)=12．(1)求g(x)，f(x)的解析式；(2)若实数a满足f(2a−1)<f(5−a)，求实数a的取值范围．28. 已知幂函数f(x)=xα的图象经过点A(12,√2)．(1)求实数α的值；(2)求证：f(x)在区间(0, +∞)内是减函数．29. 已知幂函数y=x（m−6）(m∈Z)与y=x（2−m）(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且y=x（m−2）(m∈Z)的图象关于y轴对称，求m的值．30. 设P表示幂函数y=x c2−5c+6在(0, +∞)上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x−1|+|x−2c|>1对任意x∈R恒成立的c的集合．（1）求P∩Q；（2）试写出一个解集为P∩Q的不等式．31. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(4, 2)．（1）求f(x)的解析式；（2）画出f(x)的图象，判断它的奇偶性、单调性，并指出它的值城．32. 已知幂函数f(x)=(m2−4m+4)x m−2在(0, +∞)上单调递减．（1）求f(x)的解析式；（2）若正数a，b满足2a+3b＝m，求3a +2b的最小值．33. 已知幂函数f(x)＝x m的图象过(2, √2)．(Ⅰ)求m的值与函数f(x)的定义域；(Ⅱ)已知g(x)=12x−1+12+lg1−x1+x+m，求g(m)+g(−m)的值．34. 已知幂函数f(x)的图象经过点(2,14)．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(0, +∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．35. 已知点(12, 16)在幂函数y=f(x)的图象上．（1）求f(x)的解析式；（2）写出f(x)的单调区间；（3）求不等式f(2x−1)<f(x)的解集．36. 已知幂函数y=f(x)的图象过点．（1）求函数f(x)的解析式（2）记g(x)=f(x)+x，判断g(x)在(1, +∞)上的单调性，并证明之．+2n−3是幂函数，求m、n的值．37. 已知y=(m2+2m−2)1x m2−138. 已知幂函数f(x)=x（2−k）（1+k）(k∈Z)，且f(x)在(0, +∞)上单调递增．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；（2）试判断是否存在正数q，使函数g(x)=1−qf(x)+(2q−1)x在区间[−1, 2]上的]．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．值域为[−4, 17839. 已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2在(0, +∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k (Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)当x∈[1, 2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．40. 已知函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且x∈(0, +∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．参考答案与试题解析幂函数的概念、解析式、定义域、值域练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设出幂函数f(x)的解析式，由图象过点(3, √3)，求出解析式来．【解答】解：设幂函数f(x)=x a，其图象过点(3, √3)，∴3a=√3；，解得a=12∴f(x)=x12．故选：C．2.【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】把点的坐标代入函数f(x)的解析式，求出a的值即可．【解答】由幂函数f(x)＝x a的图象过点(2, 4)，则2a＝4，解得a＝2，所以函数的解析式为f(x)＝x2．3.【答案】D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由函数f(x)=(x−1)α的图象恒过定点，说明此点的函数值与参数α无关，利用1α=1这个结论．【解答】解：∵函数f(x)=(x−1)α的图象恒过定点，∴此点的函数值与参数α无关，∵1α=1，∴x=2时，(x−1)α=1，∴f(2)=1，∴函数f(x)=(x−1)α的图象恒过定点(2, 1)．故选D．4.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】本题主要考查幂函数的基本概念，通过基本定义要求即可【解答】解：因为f(x)=(a2−a−1)x1a−2为幂函数，所以{a2−a−1=1，a−2≠0，⇒a=−1.故选B.5.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用已知条件直接推出m的范围，利用函数的奇偶性确定m的值．【解答】解：因为函数y=(m2−m+1)x m2−2m−3是幂函数，所以m2−m+1=1，解得m=1或m=0．因为f(−x)=f(x)，所以函数是偶函数，当m=0时，幂函数为y=x−3．函数表示奇函数，当m=1时y=x−4．函数是偶函数．故选B．6.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的定义即可判断出．【解答】解：根据幂函数的定义可知：y=x−2=1x2是幂函数．故选C．7.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的概念可得m 2−3m +3=1，可解得m ，结合函数图象不经过原点，即可得答案． 【解答】解：∵ f(x)=(m 2−3m +3)x m 2−m−2为幂函数，且函数图象不经过原点， ∴ m 2−3m +3=1， ∴ m =1或m =2．当m =1时，f(x)=x −2，其图象不经过原点，符合题意； 当m =2时，f(x)=x 0，其图象不经过原点，也符合题意； 故选C ． 8. 【答案】 C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】设幂函数f(x)=x α，根据y =f(x)的图象过点(4, 2)，可得 4α=2，解得 α的值，可得函数解析式 从而求出f(12)的值． 【解答】解：∵ 幂函数y =f(x)的图象过点(4, 2)，设 f(x)=x α，∴ 4α=2，解得 α=12． ∴ f(x)=x 12． ∴ f(12)=(12)12=√12=√22， 故选C ． 9.【答案】 D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】设出幂函数的解析式，根据幂函数y =f(x)的图象过点(2, √2)，得到方程求出指数的值，即可得到函数的解析式，然后判断选项即可． 【解答】解：设幂函数的解析式为y =x a ， ∵ 幂函数y =f(x)的图象过点(2, √2)， ∴ √2=2a ， 解得a =12，∴ f(x)=√x ．函数定义域不是R ，A 不正确； 函数是增函数，所以B 不正确； f(4)=2，所以C 不正确． F(0)=0，所以D 正确． 故选：D ． 10.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】根据幂函数的定义对①进行判断；根据函数零点的求法，我们将问题转化为两个基本函数图象交点个数判断后，可以得到②的真假；根据不等式的√x−1(x−2)≥0的解集对③进行判断；根据幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0对④进行判断即可．【解答】解：：①y=1与幂函数y=x0的定义域不同，故y=1不是幂函数；②在同一平面坐标系中画出y=2x与函数y=|x+2|的图象，易得两函数的图象共有3个交点，故③函数y=|x+2|−2x在R上有3个零点正确；③√x−1(x−2)≥0的解集为[2, +∞)∪{1}，故不正确；④根据幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0时，幂函数y=x n的图象与两坐标轴不相交，正确．故选C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】13【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】先设出函数的解析式，利用待定系数法求出函数的表达式，代入求值即可．【解答】解：设幂函数的解析式为：f(x)=xα，)在幂函数f(x)的图象上，点P(2, √22=2−12，则2α=√22∴α=−1，2∴f(9)=9−12=1，3故答案为：1．312.【答案】 4【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】 将点(122)代入求得a ，再求函数值即可．【解答】 将(12√2)代入f (x )=x a得α=12 ，则f (x )=x 12 ，则f (16)=1612=4故答案为：413. 【答案】f(x)=√x 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】利用幂函数的定义即可求出． 【解答】解：设幂函数f(x)=x α，∵ 幂函数y =f(x)的图象过点(2,√2)，∴ √2=2α，∴ α=12． ∴ f(x)=x 12=√x ． 故答案为f(x)=√x ． 14.【答案】 10【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】根据条件，求出a 的值，进行求解即可． 【解答】解：∵ 幂函数f(x)=x a 的图象经过点(4, 2)， ∴ f(4)=4a =2，则a =12，即f(x)=x 12=√x ， 则f(100)=√100=10， 故答案为：10 15.【答案】 4【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】设幂函数为f(x)=x a ，由幂函数过(12，√22)，得到f(x)=x 12，由此能求出f(16)．【解答】解：设幂函数为f(x)=x a ， ∴ 幂函数过(12，√22)， ∴ (12)a =√22，解得a =12，∴ f(x)=x 12， ∴ f(16)=1612=4． 故答案为：4．16. 【答案】√x【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】用待定系数法，设出幂函数f(x)的解析式，由图象经过点(2, √2)，求出α的值即可． 【解答】解：设幂函数f(x)=x α(α∈R)， ∵ 它的图象经过点(2, √2)， ∴ 2α=√2， 解得：α=12； ∴ f(x)=x 12=√x ． 故答案为：√x ． 17.【答案】 −3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】 幂函数y =1x 2−m−m2在第二象限内为减函数，可得2−m −m 2<0，解出即可．【解答】解：∵ 幂函数y =1x 2−m−m2在第二象限内为减函数，∴ 2−m −m 2<0， 解得m >1或m <−2，∴ m 的最大负整数值为−3． 此时y =x 4． 故答案为：−3． 18.【答案】 2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】求出函数f (x )的单调性，再根据f (x )是幂函数求出m 的值即可． 【解答】 解：：对区间(0,+∞)上任意两个不相等的实数x 1 x 2不等式x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1)恒成立， ：不等式等价为(x 1−x 2)[f (x 1)−f (x 2)]>0恒成立， 即函数f (x )是定义域上的增函数，由函数f (x )=(m 2−m −1)x m 是幂函数，得：m 2−m −1=1，解得：m =2可km =−1 又函数f (x )是定义域上的增函数， 故m =2，故答案为：2． 19. 【答案】12【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】可设幂函数y =f(x)=x α，由题意可求得α的值，从而可得f(2)，可得答案． 【解答】解：设幂函数y =f(x)=x α， ∵ 其图象过点(12，√22)， ∴ f(12)=(12)α=√22， ∴ α=12．∴ f(2)=212=√2， ∴ log 2f(2)=log 2212=12.故答案为：12．20. 【答案】12【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】可设幂函数y =f(x)=x α，由题意可求得α的值，从而可得f(2)，可得答案． 【解答】解：设幂函数y =f(x)=x α，∵ 其图象过点(12，√22)， ∴ f(12)=(12)α=√22， ∴ α=12．∴ f(2)=212=√2， ∴ log 2f(2)=log 2212=12.故答案为：12．三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21. 【答案】解：∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)为偶函数， 且在区间(0, +∞)上是减函数， ∴ m 2−2m −3<0， 解得−1<m <3， ∵ m ∈N ∗，∴ m =0，1或2， 又∵ 函数为偶函数， ∴ m 2−2m −3为偶数， ∴ m 2−2m 为奇数， ∴ m =1． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由幂函数f(x)为(0, +∞)上递减，推知m 2−2m −3<0，解得−1<m <3因为m 为整数故m =0，1或2，又通过函数为偶函数，推知m 2−2m −3为偶数，进而推知m 2−2m 为奇数，进而推知m 的值． 【解答】解：∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)为偶函数， 且在区间(0, +∞)上是减函数， ∴ m 2−2m −3<0， 解得−1<m <3， ∵ m ∈N ∗，∴ m =0，1或2， 又∵ 函数为偶函数， ∴ m 2−2m −3为偶数， ∴ m 2−2m 为奇数， ∴ m =1． 22.【答案】 解：（1）若f(x)是幂函数，则m 2+2m =1 解得：−1±√2所以当m =−1±√2时，f(x)是幂函数（2） 若f(x)是正比例函，则{m 2+m −1=1m 2+3m ≠0解得m =1 所以当m =1时，f(x)是正比例函（3） 若f(x)是反比例函数，则{m 2+m −1=−1m 2+3m ≠0，解得m =−1 所以当m =−1时，f(x)是反比例函数．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）直接利用f(x)是幂函数得到方程求出m 值即可； （2）f(x)是正比例函数，列出不等式组求解即可． （3）利用f(x)是反比例函数，列出不等式组求解即可． 【解答】 解：（1）若f(x)是幂函数，则m 2+2m =1 解得：−1±√2所以当m =−1±√2时，f(x)是幂函数（2） 若f(x)是正比例函，则{m 2+m −1=1m 2+3m ≠0解得m =1 所以当m =1时，f(x)是正比例函（3） 若f(x)是反比例函数，则{m 2+m −1=−1m 2+3m ≠0，解得m =−1 所以当m =−1时，f(x)是反比例函数． 23. 【答案】证明：∵ 函数f(x)=x 23，x ∈[0, +∞)， ∴ f′(x)=23x−13=3√x3>0，∴ 函数f(x)在[0, +∞)上是增函数． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】可以利用函数的导数大于0，则函数是增函数，进行证明． 【解答】证明：∵ 函数f(x)=x 23，x ∈[0, +∞)， ∴ f′(x)=23x −13=3√x3>0，∴ 函数f(x)在[0, +∞)上是增函数． 24. 【答案】解：(1)设幂函数f(x)=x α，其图象过点(3, 19)， ∴ 3α=19.解得α=−2，∴f(x)=x−2.(2)函数f(x)=x−2=1x2，在(0, +∞)上是单调减函数. 证明如下：任取x1，x2∈(0, +∞)，且x1<x2，∴f(x1)−f(x2)=1x12−1x22=(x2−x1)(x1+x2)x12x22>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在(0, +∞)上的是单调减函数．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】(1)设幂函数f(x)=xα，利用图象过点(3, 19)求出α的值，即得解析式；(2)函数f(x)在(0, +∞)上是单调减函数，利用单调性定义即可证明．【解答】解：(1)设幂函数f(x)=xα，其图象过点(3, 19)，∴3α=19.解得α=−2，∴f(x)=x−2.(2)函数f(x)=x−2=1x2，在(0, +∞)上是单调减函数.证明如下：任取x1，x2∈(0, +∞)，且x1<x2，∴f(x1)−f(x2)=1x12−1x22=(x2−x1)(x1+x2)x12x22>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在(0, +∞)上的是单调减函数．25.【答案】解：（1）由题意可设f(x)=xα，又函数图象过定点(2, √2)，∴2α=√2，∴α=12，∴f(x)=√x，（2）由函数f(x)=√x可知定义域为[0, +∞)，值域为[0, +∞)，（3）f(x)为增函数，理由如下设x1，x2∈[0, +∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=√x1−√x2=12√x+√x<0，∴f(x)为增函数．【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，（2）由解析式直接求出定义域和值域，（3）利用函数的单调性的定义证明即可．【解答】，解：（1）由题意可设f(x)=xα，又函数图象过定点(2, √2)，∴2α=√2，∴α=12∴f(x)=√x，（2）由函数f(x)=√x可知定义域为[0, +∞)，值域为[0, +∞)，（3）f(x)为增函数，理由如下<0，设x1，x2∈[0, +∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=√x1−√x2=12√x+√x∴f(x)为增函数．26.【答案】解：幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m2−2m−3<0，且m2−2m−3为奇数，即−1<m<3且m2−2m−3为奇数，∴m=0或2，∴y=x−3，其图象为：【考点】函数的图象变换幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由题意知，m2−2m−3<0，且m2−2m−3为奇数，解此不等式组可得m的值．【解答】解：幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m2−2m−3<0，且m2−2m−3为奇数，即−1<m<3且m2−2m−3为奇数，∴m=0或2，∴y=x−3，其图象为：27.【答案】解：(1)∵ 幂函数g(x)=(m 2−2)x m (m ∈R )在(0, +∞)上为减函数，∴ {m 2−2=1m <0， 解得m =−√3， ∴ g(x)=x −√3；又∵ f(x)是对数函数，且f(−m +1)+f(−m −1)=12， ∴ 设f(x)=log a x(a >0且a ≠1)， ∴ log a (−m +1)+log a (−m −1)=12， 即log a (m 2−1)=log a 2=12，解得a =4，∴ f(x)=log 4x .(2)∵ 实数a 满足f(2a −1)<f(5−a)， 且f(x)=log 4x 在(0, +∞)上单调递增，∴ {2a −1>0，5−a >0，2a −1<5−a ，解得{a >12，a <5，a <2，即12<a <2，∴ 实数a 的取值范围是(12, 2)． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 函数单调性的性质函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据题意，求出m 的值，得出g(x)的解析式，再求出f(x)的解析式； （2）根据题意，利用f(x)的单调性，列出不等式组，求出实数a 的取值范围． 【解答】解：(1)∵ 幂函数g(x)=(m 2−2)x m (m ∈R )在(0, +∞)上为减函数，∴ {m 2−2=1m <0，解得m =−√3， ∴ g(x)=x −√3；又∵ f(x)是对数函数，且f(−m +1)+f(−m −1)=12， ∴ 设f(x)=log a x(a >0且a ≠1)， ∴ log a (−m +1)+log a (−m −1)=12，即log a (m 2−1)=log a 2=12， 解得a =4，∴ f(x)=log 4x .(2)∵ 实数a 满足f(2a −1)<f(5−a)， 且f(x)=log 4x 在(0, +∞)上单调递增，∴ {2a −1>0，5−a >0，2a −1<5−a ，解得{a >12，a <5，a <2，即12<a <2，∴ 实数a 的取值范围是(12, 2)．28.【答案】解：(1)设幂函数的解析式为y =x a ， 又∵ 幂函数的图象经过点A(12, √2)．∴ √2=12a， 解得a =−12. (2)由(1)得y =x −12，任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2， 则x 2−x 1>0，∴ f(x 1)−f(x 2)=x 1−12−x 2−12=√x 1√x 2 =√x −√x √x x =21√x x (√x +√x )>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)=x −12在区间(0,+∞)上是减函数. 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 函数单调性的判断与证明【解析】（1）由于已知函数为幂函数，我们可以使用待定系数法进行求解，设出幂函数的解析式，再由幂函数的图象经过点A(12, √2)，构造关于a 的方程，解方程即可得到实数α的值；（2）根据（1）中所求的函数的解析式，我们求出函数的导函数的解析式，分析x ∈(0, +∞)时，导函数值的符号，即可得到结论． 【解答】解：(1)设幂函数的解析式为y =x a ， 又∵ 幂函数的图象经过点A(12, √2)． ∴ √2=12a， 解得a =−12.(2)由(1)得y =x −12，任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2， 则x 2−x 1>0， ∴ f(x 1)−f(x 2)=x 1−12−x 2−12=√x 1√x 2 =√x 2√x 1√x 1x 2=21√x x (√x +√x )>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)=x −12在区间(0,+∞)上是减函数. 29.【答案】解：∵幂函数y=x（m−6）(m∈Z)与y=x（2−m）(m∈Z)的图象与x、y轴没有公共点，∴m−6<0，且2−m<0，解得2<m<6，∴m的可能取值为3，4，5，又∵y=x（m−2）的图象关于y轴对称，∴y=x（m−2）为偶函数，即m−2为偶数，∴m=4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由已知条件推导出m−6<0，且2−m<0，m−2为偶数，由此能求出m的值．【解答】解：∵幂函数y=x（m−6）(m∈Z)与y=x（2−m）(m∈Z)的图象与x、y轴没有公共点，∴m−6<0，且2−m<0，解得2<m<6，∴m的可能取值为3，4，5，又∵y=x（m−2）的图象关于y轴对称，∴y=x（m−2）为偶函数，即m−2为偶数，∴m=4．30.【答案】解：（1）∵幂函数y=x c2−5c+6在(0, +∞)上是增函数，∴c2−5c+6>0，即P=(−∞, 2)∪(3, +∞)，又不等式|x−1|+|x−2c|>1对任意x∈R恒成立，∴c<0或c>1，即Q=(−∞, 0)∪(1, +∞)，∴P∩Q=(−∞, 0)∪(1, 2)∪(3, +∞)．（2）解集为P∩Q的不等式为：x(x−1)(x−2)(x−3)>0．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）由已知得P=(−∞, 2)∪(3, +∞)，Q=(−∞, 0)∪(1, +∞)，由此能求出P∩Q．（2）解集为P∩Q的不等式为：x(x−1)(x−2)(x−3)>0．（答案不唯一）【解答】解：（1）∵幂函数y=x c2−5c+6在(0, +∞)上是增函数，∴c2−5c+6>0，即P=(−∞, 2)∪(3, +∞)，又不等式|x−1|+|x−2c|>1对任意x∈R恒成立，∴c<0或c>1，即Q=(−∞, 0)∪(1, +∞)，∴P∩Q=(−∞, 0)∪(1, 2)∪(3, +∞)．（2）解集为P∩Q的不等式为：x(x−1)(x−2)(x−3)>0．31.【答案】解：（1）设幂函数y=f(x)=x a，其图象过点(4, 2)，∴4a=2，，解得a=12∴f(x)=x12=√x(x≥0)；（2）画出f(x)的图象，如图所示：f(x)=√x(x≥0)的定义域不关于原点对称，它既不是奇函数也不是偶函数；函数图象从左向右上升，是增函数；图象落在y轴以及上方，值域是[0, +∞)．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）利用待定系数法求出函数f(x)的解析式；（2）画出f(x)的图象，结合图象得出f(x)的奇偶性与单调性和值域．【解答】解：（1）设幂函数y=f(x)=x a，其图象过点(4, 2)，∴4a=2，，解得a=12∴f(x)=x12=√x(x≥0)；（2）画出f(x)的图象，如图所示：f(x)=√x(x≥0)的定义域不关于原点对称，它既不是奇函数也不是偶函数；函数图象从左向右上升，是增函数；图象落在y轴以及上方，值域是[0, +∞)．32.【答案】解：(1)因为f (x )=(m 2−4m +4)x m−2是幂函数， 所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3． 又f (x )在(0,+∞)上单调递减， 所以m =1，故f (x )=1x ．(2)由(1)可知2a +3b =1， 则3a +2b =(2a +3b )(3a +2b )=12+4a b+9b a≥24，当且仅当a =14，b =16时取等号．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）利用幂函数的定义和单调性列出方程，能求出f(x)．（2）由2a +3b ＝1，a ，b 都是正数，利用基本不等式的性质能求出的最小值．【解答】解：(1)因为f (x )=(m 2−4m +4)x m−2是幂函数， 所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3． 又f (x )在(0,+∞)上单调递减， 所以m =1，故f (x )=1x ．(2)由(1)可知2a +3b =1， 则3a +2b =(2a +3b )(3a +2b )=12+4a b+9b a≥24，当且仅当a =14，b =16时取等号． 33. 【答案】（1）幂函数f(x)＝x m 的图象过(2,√2)， 即2m =√2，解得m =12；∴ f(x)=√x ，函数的定义域为[0, +∞)； （2）设ℎ(x)=12x −1+12+lg 1−x 1+x，则g(x)＝ℎ(x)+m ；∴ ℎ(x)+ℎ(−x)=12x −1+12+lg 1−x1+x +12−x −1+12+lg 1+x1−x ＝(12x −1+12−x −1+1)+(lg 1−x1+x +lg 1+x1−x ) ＝(12x −1+2x1−2x )+lg 1 ＝0；∴ℎ(x)为奇函数，则ℎ(m)+ℎ(−m)＝0，∴g(m)+g(−m)＝ℎ(m)+m+ℎ(−m)+m＝2m＝（1）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】(Ⅰ)根据幂函数f(x)的图象过点A求得m的值，再写出f(x)的解析式与定义域；(Ⅱ)设ℎ(x)=12x−1+12+lg1−x1+x，用定义判断ℎ(x)为奇函数，再求g(m)+g(−m)的值．【解答】（1）幂函数f(x)＝x m的图象过(2,√2)，即2m=√2，解得m=12；∴f(x)=√x，函数的定义域为[0, +∞)；（2）设ℎ(x)=12x−1+12+lg1−x1+x，则g(x)＝ℎ(x)+m；∴ℎ(x)+ℎ(−x)=12x−1+12+lg1−x1+x+12−x−1+12+lg1+x1−x＝(12x−1+12−x−1+1)+(lg1−x1+x+lg1+x1−x)＝(12x−1+2x1−2x)+lg1＝0；∴ℎ(x)为奇函数，则ℎ(m)+ℎ(−m)＝0，∴g(m)+g(−m)＝ℎ(m)+m+ℎ(−m)+m＝2m＝（1）34.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)是幂函数，则设f(x)=xα（α是常数），∵f(x)的图象过点(2,14)，∴f(2)=2α=14=2−2，∴α=−23，故f(x)=x−2，即f(x)=1x(x≠0)；(Ⅱ)f(x)在区间(0, +∞)上是减函数．证明如下：设x1，x2∈(0, +∞)，且x1<x2，∴f(x1)−f(x2)=1x12−1x22=x22−x12x12⋅x22=(x2+x1)⋅⋅(x2−x1)x12⋅x22，∵0<x1<x2∈(0, +∞)，∴x2−x1>0，x1+x2>0,x12⋅x22>0，∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在区间(0, +∞)上是减函数．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（Ⅰ）利用幂函数的定义，设f (x )=x a （α是常数），根据f (x )的图象过点(2,14) ，列出关于α的方程，求解即可得到答案；（Ⅱ）设x 1,x 2∈(0,+∞) ，且x 1<x 2 ，作差f (x 1)−f (x 2)化简到能直接判断符号为止，利用函数单调性的定义，即可证得答案． 【解答】 此题暂无解答 35. 【答案】解：（1）设幂函数y =f(x)=x α，根据点(12, 16)在幂函数y =f(x)的图象上， 可得(12)α=16=(12)−4，解得α=−4，∴ 函数的解析式为f(x)=x −4．（2）∵ f(x)=1x 4，它在(0, +∞)上是减函数，在(−∞, 0)上是增函数， 故函数的减区间为(0, +∞)，增区间为(−∞, 0)．（3）由不等式f(2x −1)<f(x)，可得|2x −1|>|x|，平方可得3x 2−4x +1>0， 求得x >43或x <13，故不等式的解集为(43, +∞)∪(−∞, 13)．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）设幂函数y =f(x)=x α，根据点(12, 16)在幂函数y =f(x)的图象上，求得α的值，可得函数的解析式为f(x)．（2）由函数的解析式f(x)=1x 4，求得函数的减区间．（3）由不等式f(2x −1)<f(x)，可得|2x −1|>|x|，平方可得3x 2−4x +1>0，由此求得它的解集． 【解答】解：（1）设幂函数y =f(x)=x α，根据点(12, 16)在幂函数y =f(x)的图象上， 可得(12)α=16=(12)−4，解得α=−4，∴ 函数的解析式为f(x)=x −4．（2）∵ f(x)=1x 4，它在(0, +∞)上是减函数，在(−∞, 0)上是增函数， 故函数的减区间为(0, +∞)，增区间为(−∞, 0)．（3）由不等式f(2x −1)<f(x)，可得|2x −1|>|x|，平方可得3x 2−4x +1>0， 求得x >43或x <13，故不等式的解集为(43, +∞)∪(−∞, 13)．36.【答案】解：由题意令y=f(x)=x a，由于图象过点(,)，得=a，a=−1∴y=f(x)=x−1解：g(x)=f(x)+x=x+函数在区间(1, +∞)上是增函数，证明：任取x1、x2使得x1>x2>1，都有由x1>x2>1得，x1−x2>0，x1x2>0，x1x2−1>0，于是g(x1)−g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)，所以，函数在区间(1, +∞)上是增函数．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式即可；（2）函数在区间(1,+∞)上为增函数，理由为：在区间(1,+∞)上任取x1>x2>1，求出f(x1)−f(x2)，通分后，根据设出的x1>x2>1，判定其差大于0，即f(x1)>f(x2)，从而得到函数为增函数．【解答】此题暂无解答37.【答案】解：∵f(x)是幂函数∴m2+2m−2=1，且m2−1≠0，且2n−3=0．解得m=−3，n=32．所以m=−3，n=32．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的定义：系数为1用常数为0，列出方程求出m、n值即可．【解答】解：∵f(x)是幂函数∴m2+2m−2=1，且m2−1≠0，且2n−3=0．解得m=−3，n=32．所以m=−3，n=32．38.【答案】解：因为幂函数f(x)=x（2−k）（1−k）在(0, +∞)上单调递增，所以(2−k)(1+k)>0，故−1<k <2．又因为k ∈Z ，故k =0，或k =1，所以f(x)=x 2 解：由(1)知g(x)=−qx 2+(2q −1)x +1， 假设存在这样的正数q 符合题意，则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线， 其对称轴为x =2q−12q=1−12q<1，因而，函数g(x)在[−1, 2]上的最小值只能在x =−1或x =2处取得又g(2)=−4q +4q −2+1=−1≠−4，从而必有g(−1)=2−3q =−4 解得q =2，此时，g(x)=−2x 2+3x +1，其对称轴x =34∈[−1, 2] ∴ g(x)在[−1, 2]上的最大值为g(34)=−2×(34)2+3×34+1=178符合题意【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）由f(2)<（3）知幂函数在(0,+∞)上为增函数，故(2−k )(1+k )>0，解出k 即可．（2）写出lg (x )的解析式:9(x )=−qx 2+(2−1)x +1，为二次函数，只需考虑二次函数的对称轴和单调性即可． 【解答】 此题暂无解答 39.【答案】(Ⅰ)依题意得：(m −1)2=1，⇒m =0或m =2， 当m =2时，f(x)=x −2在(0, +∞)上单调递减， 与题设矛盾，舍去， ∴ m =0．(Ⅱ)由(Ⅰ)得：f(x)=x 2，当x ∈[1, 2)时，f(x)∈[1, 4)，即A =[1, 4)，当x ∈[1, 2)时，g(x)∈[2−k, 4−k)，即B =[2−k, 4−k)， 若命题p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ， 则{2−k ≥14−k ≤4 ，即{k ≤1k ≥0， 解得：0≤k ≤1． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】(Ⅰ)根据幂函数的定义和性质求出m 检验即可，(Ⅱ)结合集合的关系进行求解． 【解答】(Ⅰ)依题意得：(m −1)2=1，⇒m =0或m =2， 当m =2时，f(x)=x −2在(0, +∞)上单调递减， 与题设矛盾，舍去， ∴ m =0．(Ⅱ)由(Ⅰ)得：f(x)=x 2，当x ∈[1, 2)时，f(x)∈[1, 4)，即A =[1, 4)，当x ∈[1, 2)时，g(x)∈[2−k, 4−k)，即B =[2−k, 4−k)， 若命题p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ， 则{2−k ≥14−k ≤4 ，即{k ≤1k ≥0 ， 解得：0≤k ≤1． 40.【答案】解：∵ f(x)是幂函数 ∴ m 2−m −1=1，… ∴ m =−1或m =2，…∴ f(x)=x −3或f(x)=x 3，…∵ f(x)=x −3在(0, +∞)上为减函数，不合题意，舍，… f(x)=x 3在(0, +∞)上为增函数．… ∴ f(x)=x 3．… 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由已知得m 2−m −1=1，从而f(x)=x −3或f(x)=x 3，由f(x)=x −3在(0, +∞)上为减函数，f(x)=x 3在(0, +∞)上为增函数，能求出f(x)=x 3． 【解答】解：∵ f(x)是幂函数 ∴ m 2−m −1=1，… ∴ m =−1或m =2，…∴ f(x)=x −3或f(x)=x 3，…∵ f(x)=x −3在(0, +∞)上为减函数，不合题意，舍，… f(x)=x 3在(0, +∞)上为增函数．… ∴ f(x)=x 3．…。
