§5 简单的幂函数

§5简单的幂函数导学案一、学习目标通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图像和性质，并进行简单的应用。二、重点、难点重点：从五个具体幂函数图像中认识幂函数的一些性质难点：画五个具体幂函数图像并由图像概况其性质，体会图像的变化。规律。三、学习内容1、问题引入（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要支付y=_______元。（2）如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y=______。（3）如果立方体的边长为x，那么立方体的体积y=______。（4）如果正方形的场地面积为x，那么正方形的边长y=______。（5）如果某人x秒骑车行进了1千米，那么他的速度y=______千米/秒。讨论：根据函数的定义，以上五个式子都是函数表达式，它们是指数函数吗？指数函数的形式是什么样的？差别在哪里？以上五个式子有什么共同特征？2、引出定义由上面五个函数表达式的共同特征得出的新的函数--------幂函数。幂函数的定义: 3、幂函数的图象（学生讨论完成）在同一平面直角坐标系中作出幂函数xy,2xy,3xy,21xy,1

xy

的图象。x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …xy……

2xy

……

3xy

……

21xy…

1xy

……4、幂函数的性质（学生讨论完成）幂函数性质xy2xy3xy21xy1

xy

定义域值域奇偶性单调性公共点共同的性质：1. 2.如果α>0，

如果α<0，

5、探讨1y和0xy是不是同一个函数？6、课堂达标1．比较下列两个代数式值的大小：（1）5.1)1(a,5.1a; (2)322)2(a,322.

7、小结。8、作业

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第二章 函数§5 简单的幂函数(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝|x |＋1是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【解析】 函数定义域为R ，f (－x )＝|－x |＋1＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故选B.【答案】 B2．下列函数中，定义域为R 的是( )A ．y ＝x －2B ．12y x =C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1 【解析】 对A ，由y ＝x －2＝1x 2知x ≠0；对B ，12y x =＝x ，知x ≥0；对D ，由y ＝x －1＝1x知x ≠0，故A 、B 、D 中函数定义域均不为R ，从而选C. 【答案】 C3．函数y ＝(x ＋2)(x －a )是偶函数，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1【解析】 结合选项，a ＝2时，f (x )＝x 2－4是偶函数，故选A.【答案】 A4．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( ) A ．1,3 B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3【解析】 α＝1,3时，定义域为R ，α＝－1,1,3时为奇函数，∴α＝1,3时符合题意．【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．设f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2＋1，则f (－2)＝________.【解析】 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (－x )＝－f (x )，所以f (－2)＝－f (2)＝－(22＋1)＝－5.【答案】 －56．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (12)x －3 (x ≤0)x 12 (x ＞0)，已知f (a )＞1，则实数a 的取值范围是________．【解析】 若(12)a －3＞1，则a ＜－2； 若a 12＞1，则a ＞1. 综上所述，a ＜－2或a ＞1.【答案】 a ＜－2或a ＞1三、解答题(每小题10分，共20分)7．判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3 (x >0)0 (x ＝0)2x －3 (x <0)的奇偶性．【解析】 ①当x >0时，－x <0，则f (－x )＝2·(－x )－3＝－(2x ＋3)＝－f (x )②当x <0时，－x >0f (－x )＝－2x ＋3＝－(2x －3)＝－f (x )③当x ＝0时，f (0)＝0即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．8．已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？奇偶性如何？单调性如何？【解析】 由于2223(1)mm y m m x --=--为幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2，或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，y ＝x －3，在(0，＋∞)上为减函数； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，y ＝x 0＝1(x ≠0)在(0，＋∞)上为常函数，不合题意，舍去．故所求幂函数为y ＝x －3.这个函数是奇函数，其定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，根据函数在x ∈(0，＋∞)上为减函数，推知函数在(－∞，0)上也为减函数．9．(10分)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2.(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间．【解析】 (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x 2＋2x －2，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2 (x ＜0)0 (x ＝0)－x 2＋2x ＋2 (x ＞0).(2)先画出y ＝f (x )(x ＞0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x ＜0)的图象，其图象如图所示：由图可知，其增区间为[－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)．。

函数简单的幂函数课件pptxx年xx月xx日contents •幂函数概述•幂函数的图象和性质•幂函数的应用•幂函数的拓展•总结与反思目录01幂函数概述幂函数定义：形如y=x^a的函数，其中a为常数。

幂函数在高等数学中占有重要地位，其性质和应用有着广泛的应用。

0102非零的常数次幂函数$y=x^a$，当a>0时，函数在$(0,+\infty)$上单调递增；当a<0时，函数在$(0,+\infty)$上单调递减。

幂函数的图象幂函数的图象由点$(1,1)$出发，在$y$轴右侧的图象是上升的，在$y$轴左侧的图象是下降的，并且图象过点$(0,0)$。

幂函数的奇偶性当$a$为整数时，幂函数为奇函数；当$a$为偶数时，幂函数为偶函数。

当$a$为负奇数时，幂函数为既奇又偶函数；当$a$为负偶数时，幂函数为非奇非偶函数。

幂函数的对称性$y=x^a$的图象关于原点对称；$y=x^{-a}=1/x^a$的图象关于$y$轴对称。

幂函数的扩展在实际应用中，可以将幂函数扩展到多个变量的情形，如二元三次幂函数等。

03040502幂函数的图象和性质幂函数图象的绘制步骤、要点、注意事项总结词步骤要点注意事项1.定义域，2.函数式，3.图象1.定义域的确定，2.函数式的变换，3.图象的绘制1.定义域的边界值的处理，2.函数式变换的准确性，3.图象的精确度幂函数性质的运用基本性质、应用、实例总结词1.单调性，2.奇偶性，3.周期性基本性质1.函数的单调性，2.函数的奇偶性，3.函数的周期性应用 1.幂函数的单调递增区间，2.幂函数的奇偶性判断，3.幂函数的周期求解实例03幂函数的应用总结词了解幂函数与方程根的关系，掌握利用幂函数求解方程的方法。

利用幂函数求解方程通过对幂函数的性质和图像的掌握，利用幂函数求解方程的解，特别注意在特定区间求解方程时需要注意的问题。

幂函数与方程根的关系幂函数在方程中的应用，主要是指利用幂函数的性质和图像特点，通过观察幂函数的图像来确定方程的根。

课题5 简单的幂函数自主备课一、学习目标1、了解简单幂函数的概念； 会利用定义证明简单幂函数的奇偶性2、了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。

3、 学习重点：幂函数的概念和奇偶函数的概念4、 学习难点：简单的幂函数的图像性质。

函数奇偶性的判断。

二、教学过程幂函数的概念：1、形如 的函数叫幂函数，它的形式非常严格． ①前面的系数是1；②底数自变量x ； ③指数是常数a;④只有一项例如：11232,,,,y x y x y x y x y x -=====常见的幂函数： 2、在坐标系中画函数图象：y=x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x 21、y ＝x 1-幂函数的图像和性质与幂指数α有关，①当α>0时，过0（0，0），（1,1）且在[0，＋∞)上为增函数， ②当α<0时，过（1,1），且在(0，＋∞)上为减函数.奇偶函数的概念一般地，函数()f x 图像关于原点对称的函数叫奇函数。

如f(x)=x 3 函数()f x 图像关于y 轴对称的函数叫偶函数。

如f(x)=x 2 当函数()f x 是奇函数或者是偶函数时，称函数()f x 具有判断函数奇偶性方法图像法_____________________________________________________________________________________________________ 定义法（1）定义域是否关于原点对称；（2）对定义域中任意x，①当有f(-x)=f(x)时，称f(x)是奇函数；②当有f(-x)=-f(x)时，称f(x)是偶函数。

问题：1、二次函数都是偶函数吗？2、一次函数都是奇函数吗？例题讲解例题1、画出函数3=的图像，并讨论单调性。

f x x()x ... -2 -1 1-0 12 1 2 ...2f x...()54=+例2、判断=-2和的奇偶性f x xg x x()()22例3、已知f(x)的定义域为R的奇函数，当时x>0时，f(x)=x-2x （1）求函数f(x)在R上的解析式（2）画f(x)的图像221()0()=1,(2)23,02()=0023,0()0()=-+22(1)()(2)()()f x R x f x x f x x f x x x x f x R x f x x x f x f x f x >+-+>⎧⎪=⎨⎪-<⎩>+当堂练习题、函数是定义在的奇函数，当时，求。

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．幂函数f (x )的图像过点(2，m )，且f (m )＝16，则实数m 的值为( ) A ．4或12B ．±2C ．4或14D.14或2 【解析】 设f (x )＝x α，则2α＝m ，m α＝(2α)α＝2α2＝16， ∴α2＝4，∴α＝±2，∴m ＝4或14.【答案】 C2．函数f (x )＝x 2＋x ( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数【解析】 函数的定义域为[0，＋∞)，故函数f (x )是非奇非偶函数． 【答案】 C 3．若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34 D ．1 【解析】f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ≠－12，且x ≠a .∵f (x )为奇函数，∴定义域关于原点对称，∴a ＝12.【答案】 A4.设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2)．【答案】 A5. 定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为( )A．(－3,0)∪(0,3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)【解析】∵f(x)为奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，0)上是增函数．当x>0，∵xf(x)<0，∴f(x)<0＝f(3)，∴0<x<3，当x<0，∵xf(x)<0，∴f(x)>0＝f(－3)，∴－3<x<0，∴不等式的解集为(－3,0)∪(0,3)．【答案】 A二、填空题6. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减小的，且f(3)＝0，则使f(x)<0的x的取值范围为________．【解析】由已知可得f (－3)＝f (3)＝0，结合函数的奇偶性和单调性可画出函数f (x )的大致图像(如图)．由图像可知f (x )<0时，x 的取值范围为(－3,3)． 【答案】 (－3,3)7. 设f (x )是奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ＋1，则x ∈(－∞，0)时，f (x )＝________.【解析】 令x <0，∴－x >0，∴f (－x )＝2－x ＋1，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝2－x ＋1，∴f (x )＝－2－x ＋1＝2x －1.【答案】2x －18. 已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________. 【解析】 g (－2)＝f (－2)＋9＝－f (2)＋9＝3，∴f (2)＝6. 【答案】 6 三、解答题9. 已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. (1)求实数α的值；(2)用定义证明f (x )在区间(0，＋∞)内的单调性． 【解】 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，∴α＝－12.(2)∵f (x )＝x －12＝1x.∴任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2. ∴f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＝x 2－x 1x 1x 2(x 2＋x 1). ∵x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2， ∴x 2－x 1>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 10. 已知函数f (x )＝1x 2＋1，令g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . (1)如图2­5­5，已知f (x )在区间[0，＋∞)上的图像，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图像，请说明你的作图依据；(2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0). 【导学号：04100035】图2­5­5【解】 (1)∵f (x )＝1x 2＋1，所以f (x )的定义域为R ，又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为偶函数．故f (x )的图像关于y 轴对称，其图像如图所示．(2)证明：∵g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＝x 21＋x 2(x ≠0)，∴f (x )＋g (x )＝11＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1，即f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．[能力提升]1．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 【解析】 ∵偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的， ∴f (x )在区间(－∞，0)上是减少的，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，∵f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，∴－13<2x －1<13，∴13<x <23. 【答案】 A2. 已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( )A ．f (6)＞f (7)B ．f (6)＞f (9)C ．f (7)＞f (9)D ．f (7)＞f (10)【解析】 y ＝f (x ＋8)为偶函数⇒f (x ＋8)＝f (－x ＋8)，即y ＝f (x )关于直线x ＝8对称．又f (x )在(8，＋∞)上为减函数，故在(－∞，8)上为增函数，检验知选D.【答案】 D3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x <0，g (x )， x >0，若f (x )是奇函数，则g (2)的值是________．【解析】 ∵f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)， ∴－4＝－g (2)，∴g (2)＝4. 【答案】 44．已知函数f (x )是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f (m －1)＋f (1－2m )≥0，求实数m 的取值范围．【解】 ∵f (m －1)＋f (1－2m )≥0， ∴f (m －1)≥－f (1－2m )． ∵f (x )为奇函数， ∴f (m －1)≥f (2m －1)， ∵f (x )为减函数．∴m －1≤2m －1， ∴m ≥0.∵f (x )的定义域为(－2,2)， ∴⎩⎨⎧－2<m －1<2，－2<1－2m <2，解得⎩⎨⎧－1<m <3，－12<m <32，∴－12<m <32，又m ≥0，∴0≤m <32.初中数学试卷。

§5 简单的幂函数学 习目 标核 心 素 养1.了解幂函数的概念．(重点)2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图像，了解它们的变化情况．(难点、易混点)3．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(重点)1.通过幂函数的概念及幂函数的奇偶性的学习，提升数学抽象素养．2．结合幂函数的图像研究幂函数性质的过程，培养直观想像、逻辑推理素养.1．幂函数阅读教材P 49～“例1”结束之间的内容，完成下列问题． (1)幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数． (2)简单的幂函数的图像和性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：从图中可以观察得到：y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)单调性增函数 在(－∞，0] 上是减增函数增函数在(－∞，0)和(0，函数；在(0，＋∞)上是增函数＋∞)上均为减函数定点函数图像均过点(1,1)思考1：当x>0时，幂函数y＝xα的单调性与指数又有何关系？[提示]当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．2．函数的奇偶性阅读教材P49从“可以看出”～P50“练习”以上的有关内容，完成下列问题．(1)图像奇函数f(x)的图像偶函数．(2)解析式奇函数f(－x)＝－f(x)．偶函数f(－x)＝f(x)．(3)奇偶性当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性．思考2：(1)若对定义域的任意x都有f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是否是奇函数？(2)你认为应怎样判断函数的奇偶性？[提示](1)是奇函数．由f(－x)＋f(x)＝0，得f(－x)＝－f(x)．所以，对定义域内的任意x，点(x，f(x))与点(－x，－f(－x))关于原点对称，所以，函数f(x)的图像关于原点对称，所以，f(x)是奇函数．(2)第一步：求函数的定义域，并判断是否关于原点对称；第二步：若关于原点对称，则求f(－x)，并判断是否恒等于f(x)或－f(x)；第三步：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数；否则，既不是奇函数，也不是偶函数．1．下列函数中，是偶函数的是( )A．y＝x2(x>0) B．y＝|x－1|C．y＝11＋x2D．y＝x3C[令f(x)＝11＋x2，则其定义域是R，又f (－x )＝11＋－x 2＝11＋x2＝f (x )， 则f (x )是偶函数．]2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝________. 0 [由f (x )是奇函数，得f (－0)＝－f (0)， ∴2f (0)＝0， ∴f (0)＝0.]3．已知y ＝(m －1)x m是幂函数，则m ＝________. 2 [依题意，m －1＝1，解得m ＝2.]4．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α的值为________．1或3 [当α＝－1，12时，y ＝x α定义域分别为(－∞，0)∪(0，＋∞)，[0，＋∞)不合题意；当α＝1,3时，y ＝x α定义域均为R ，且都是奇函数，符合题意，所以α＝1或3.]幂函数的概念【例1】 f (x )的解析式．[解] 依题意，有m 2－m －1＝1，解得m ＝2或－1.当m ＝2时，f (x )＝x －1，不是偶函数； 当m ＝－1时，f (x )＝x 2，是偶函数． 综上，得m ＝－1.1．形如y ＝x α的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x .2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值．1．(1)下列函数中是幂函数的为________．①y ＝x 13；②y ＝2x 2；③y ＝x 23；④y ＝x 2＋x ；⑤y ＝－x 3.(2)若幂函数f (x )的图像经过点(2,22)，则f (9)＝________.①③ (2)27 [(1)根据幂函数的三个特点只有①③符合，②④⑤不符合． (2)设f (x )＝x α， 则2α＝22， 所以α＝32，所以f (x )＝x 32.所以f (9)＝932＝33＝27.幂函数的图像和性质【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图像，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)已知点(2，2)在幂函数f (x )的图像上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12在幂函数g (x )的图像上，当x为何值时：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．(1)B [令x ＝2，则22>212>2－12>2－2，故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为2，12，－12，－2.故选B.(2)设f (x )＝x α(α是常数)，则(2)α＝2，解得α＝2，所以f (x )＝x 2，定义域为R ；同理，可得g (x )＝x －1，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数f (x )＝x 2与g (x )＝x －1的图像(如图所示)，由图像可知：①当x <0或x >1时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当0<x <1时，f (x )<g (x )．解决幂函数图像问题应把握的两个原则1依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：①在0，1上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴简记为指大图低；②在1，＋∞上，指数越大，幂函数图像越远离x 轴简记为指大图高.2依据图像确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像类似于y ＝x －1或y ＝x －1+y ＝x3来判断.2．(1)若幂函数y ＝(m 2＋3m ＋3)xm 2＋2m －3的图像不过原点，且关于原点对称，则m 的取值是( )A ．m ＝－2B ．m ＝－1C ．m ＝－2或m ＝－1D ．－3≤m ≤－1(2)已知幂函数y ＝(m 2－5m －5)x 2m ＋1在(0，＋∞)上是递减的，则实数m ＝( )A ．1B ．－1C ．6D ．－1或6(1)A (2)B [(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≤0，m 2＋3m ＋3＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，m ＝－1或－2.当m ＝－1时，y ＝x －4的图像关于y 轴对称(舍去)；当m ＝－2时，y ＝x －3的图像关于原点对称，符合题意．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1<0，m 2－5m －5＝1，所以m ＝－1.]函数奇偶性的判断【例3】 判断下列函数的奇偶性(1)f (x )＝x ＋1x；(2)f (x )＝x 2＋1；(3)f (x )＝x ＋1；(4)f (x )＝x 2，x ∈[－1,1)．[解] (1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 又f (－x )＝(－x )＋1－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )， 所以，函数f (x )＝x ＋1x是奇函数．(2)函数的定义域为R.又f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )， 所以，函数f (x )＝x 2＋1是偶函数．(3)因为f (－1)＝(－1)＋1＝0，f (1)＝1＋1＝2， 所以f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，所以f (x )＝x ＋1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)由于函数f (x )的定义域不关于原点对称，所以，f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．利用定义判断函数奇偶性的步骤：1先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称. 2若定义域不关于原点对称，函数非奇非偶； 若定义域关于原点对称，看f －x 与f x 的关系. 3若f －x ＝－f x，则函数是奇函数；若f －x ＝f x ，则函数是偶函数； 若f －x ＝－f x 且f －x ＝fx ，则函数既是奇函数又是偶函数.3．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝3x 2；(2)f (x )＝|x |x ；(3)f (x )＝0；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0.[解] (1)函数的定义域是R ， 又f (－x )＝3－x2＝3x 2＝f (x )，所以，f (x )是偶函数．(2)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， 又f (－x )＝|－x |－x ＝－|x |x ＝－f (x )，所以，f (x )是奇函数． (3)函数的定义域是R ，又f (－x )＝0＝f (x )，且f (－x )＝0＝－f (x )， 则f (x )既是奇函数，又是偶函数．(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，即f (x )＝x |x |，其定义域是R ，又f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )， 所以，f (x )是奇函数.函数奇偶性的应用[探究问题]1．如图所示，给出了奇函数y ＝f (x )在区间[0,3]上的图像，试画出其在[－3,0)上的图像．提示：根据奇函数的图像关于原点对称，可画出在区间[－3,0)上的图像如图．2．已知f (x )是偶函数，且当1≤x ≤2时，f (x )＝1x＋1.试问：当－2≤x ≤－1时，f (x )的解析式是什么？提示：当－2≤x ≤－1时，1≤－x ≤2. 又f (x )是偶函数， 则f (x )＝f (－x )＝1－x ＋1＝－1x＋1. 3．已知偶函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则它在区间[－b ，－a ]上的单调性如何？ 提示：单调递减，证明如下：任取x 1，x 2∈[－b ，－a ]，且x 1<x 2，则a ≤－x 2<－x 1≤b . 又f (x )在[a ，b ]上单调递增， 则f (－x 2)<f (－x 1)．由f (x )是偶函数，知f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2)． 所以，f (x 2)<f (x 1)，所以，f (x )在区间[－b ，－a ]上单调递减．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．[思路探究] 先利用函数的奇偶性将f (m )＋f (m －1)>0转化为f (m －1)>f (－m )的形式，再利用函数的单调性将其转化为m －1与－m 的关系来求解．[解] 由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m －1)>－f (m )， 又f (x )是奇函数， 则f (－m )＝－f (m )． 所以，f (m －1)>f (－m )．因为f (x )在[0,2]上单调递减，且为奇函数， 所以，f (x )在[－2,2]上单调递减． 所以，⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m －1≤2，－2≤m ≤2，m －1<－m ，解得－1≤m <12.(变条件)将例题的条件变为“定义在区间[－2,2]上的偶函数，在[0,2]上单调递增，若f (1－m )<f (1)”，求实数m 的取值范围．[解] 由f (x )是偶函数，得f (1－m )＝f (|1－m |)． 所以，原不等式可化为f (|1－m |)<f (1)， 又f (x )在[0,2]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，|1－m |<1，解得0<m <2，所以，实数m 的取值范围是0<m <2.1．根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内； (2)转化代入已知区间的解析式；(3)利用函数f (x )的奇偶性写出－f (－x )或f (－x )，从而解出f (x )． 2．利用奇偶性与单调性解不等式的方法先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有“f ”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．列不等式(组)时，注意函数的定义域也是一个限制条件．1．幂函数y ＝x α(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂函数的底数x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．2．幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图像过(0,0)，(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．3．函数奇偶性的三个关注点(1)若奇函数在原点处有定义，则必有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空集合．(3)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 注意：函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称.1．思考辨析(1)y ＝x (x ≠0)是幂函数．( ) (2)奇函数的图像一定过原点．( )(3)定义在R 上的函数f (x )，若存在x 0，使f (－x 0)＝f (x 0)，则函数f (x )为偶函数．( ) (4)函数y ＝x 2，x ∈(－1,1]是偶函数．( )[解析] (1)√；(2)×，因为0不一定属于定义域．(3)×.只有对任意x ∈R，都有f (－x )＝f (x )，f (x )才是偶函数．(4)×，定义域不关于原点对称．[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．如果定义在区间[1－2a,3]上的函数f (x )为偶函数，则a ＝________. 2 [依题意，(1－2a )＋3＝0，解得a ＝2.]3．如果f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－1x，则f (－2)＝________.－72 [f (－2)＝－f (2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－12＝－72.]4．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 2－1x；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝x 2x ＋1x ＋1；(4)f (x )＝ax 3＋bx ，其中a ，b 不全为零．[解] (1)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 又f (－x )＝－x 2－1－x ＝－x 2－1x ＝－f (x )，所以，f (x )是奇函数． (2)函数的定义域是R.又f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，所以，f (x )是偶函数． (3)由x ＋1≠0，得x ≠－1，所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． 所以，定义域不关于原点对称，所以，f (x )不具有奇偶性． (4)函数的定义域是R ，又f (－x )＝a (－x )3＋b (－x )＝－ax 3－bx ＝－f (x )， 所以，f (x )是奇函数．。