幂函数解析

专题10 幂函数以及函数的应用【考点预测】 考点一、幂函数概念形如y x α=的函数，叫做幂函数，其中α为常数． 考点诠释：幂函数必须是形如y x α=的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数．例如：4223,1,(2)y x y x y x ==+=-等都不是幂函数．考点二、幂函数的图象及性质 1．作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．考点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点()1,1；（2）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸；（3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．2．作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为(0,)+∞或[0,)+∞，作图已完成； 若在(0)-∞，或0]-∞(，上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3．幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a f x x =． 4．幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 考点三、解决实际应用问题的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x ，函数为y ，并用x 表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：再转译为具体问题作出解答．【典型例题】例1．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+为奇函数.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()132f a f a +<-，求a 的取值范围. 【解析】（1）由题意，幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+，可得2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =， 当1m =时，函数()311322f x x x ++==为奇函数，当2m =时，()21152322f x xx ++==为非奇非偶函数，因为()f x 为奇函数，所以()3f x x =.（2）由（1）知()3f x x =，可得()f x 在R 上为增函数，因为()()132f a f a +<-，所以132a a +<-，解得23<a ， 所以a 的取值范围为2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.例2．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数， (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为2，求实数m 的值．【解析】（1）因为2()(33)af x a a x =-+为幂函数，所以2331a a -+=，解得2a =或1a = 因为()f x 为偶函数，所以2a =，故()f x 的解析式2()f x x =；（2）由（1）知()()2213g x x m x =+--，对称轴为122mx -=，开口向上，当1212m-≤即12m ≥-时，()()max 3362g x g m ==+=，即16m =-； 当1212m ->即12m <-时，()()max 1122g x g m =-=--=，即32m =-； 综上所述：16m =-或32m =-．例3．（2022·全国·高一课时练习）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本()h x 万元，当产量小于或等于50万盒时()180100h x x =+；当产量大于50万盒时()2603500h x x x =++，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【解析】（1）当产量小于或等于50万盒时，20020018010020300y x x x =---=-， 当产量大于50万盒时，222002006035001403700y x x x x x =----=-+-， 故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为220300,050,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩（2）当050x ≤≤时，2050300700y ≤⨯-=； 当50x >时，21403700y x x =-+-， 当140702x ==时，21403700y x x =-+-取到最大值，为1200．因为7001200<，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．例4．（2022·全国·高一课时练习）如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年⨯月⨯日，天气：阴；能见度：1.8千米；11:40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；12:10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；12:35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离x （千米）与时间t （分钟）的函数关系用图3表示.其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点(0,12)A ，点B 坐标为(,0)m ，曲线BC 可用二次函数：21(125s t bt c b =++，c 是常数）刻画. (1)求m 值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；(2)11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度02(30)125v v t =+-，0v 是加速前的速度） 【解析】（1）11:40到12:10的时间是30分钟，则(30,0)B ，即30m =， 潮头从甲地到乙地的速度120.430=（千米/分钟）. （2）因潮头的速度为0.4千米/分钟，则到11:59时，潮头已前进190.47.6⨯=（千米）， 此时潮头离乙地127.6 4.4-=（千米），设小红出发x 分钟与潮头相遇， 于是得0.40.48 4.4x x +=，解得5x =， 所以小红5分钟后与潮头相遇.（3）把(30,0)，(55,15)C 代入21125s t bt c =++，得221303001251555515125b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，解得225b =-，245c =-， 因此21224125255s t t =--，又00.4v =，则22(30)1255v t =-+， 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分，即0.48v =时，22(30)0.481255t -+=，解得35t =，则当35t =时，21224111252555s t t =--=， 即从35t =分钟(12:15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头，设小红离乙地的距离为1s ，则1s 与时间t 的函数关系式为10.48(35)s t h t =+≥， 当35t =时，1115s s ==，解得：735h =-，因此有11273255s t =-，最后潮头与小红相距1.8千米，即1 1.8s s -=时，有212241273 1.8125255255t t t ---+=， 解得150t =，220t =（舍去），于是有50t =，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时0.48560.4⨯=（分钟）， 因此共需要时间为6503026+-=（分钟），所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.例5．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()()2253mf x m m x =-+的定义域为全体实数R.(1)求()f x 的解析式；(2)若()31f x x k >+-在[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（1）∵()f x 是幂函数，∴22531m m -+=，∴12m =或2.当12m =时，()12f x x =，此时不满足()f x 的定义域为全体实数R ， ∴m ＝2,∴()2f x x =.（2）()31f x x k >+-即2310x x k -+->，要使此不等式在[]1,1-上恒成立，令()231g x x x k =-+-,只需使函数()231g x x x k =-+-在[]1,1-上的最小值大于0.∵()231g x x x k =-+-图象的对称轴为32x =，故()g x 在[]1,1-上单调递减， ∴()()min 11g x g k ==--， 由10k -->，得1k <-， ∴实数k 的取值范围是(,1)-∞-.【过关测试】 一、单选题1．（2022·全国·高一单元测试）若函数()f x x α=的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则19f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．3C ．9D ．8【答案】B【解析】由题意知()193f =，所以193α=，即2133α-=， 所以12α=-，所以()12f x x -=，所以1211399f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B2．（2022·全国·高一课时练习）已知432a =，254b =，1325c =，236d =，则（ ） A ．b a d c <<< B ．b c a d <<< C ．c d b a <<< D ．b a c d <<<【答案】D 【解析】由题得4133216a ==，2155416b ==，1325c =，2133636d ==，因为函数13y x =在R 上单调递增，所以a c d <<．又因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <．故选:D ．3．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()a f x x 的图象过点(9,3)，则函数1()()1f x y f x -=+在区间［1,9]上的值域为（ ） A ．［－1,0] B ．1[,0]2-C ．［0,2]D ．3[,1]2-【答案】B【解析】解法一：因为幂函数()a f x x 的图象过点()9,3 ，所以93=a ，可得12a =，所以()f x x =1()12(1)1()1111f x x x y f x x x x ---+===++++．因为19x ≤≤，所以214x ≤≤，故11,021y x ⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦．因此，函数1()()1f x y f x -=+在区间[1,9]上的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B ．解法二：因为幂函数()a f x x 的图象过点(9,3)，所以93a =，可得12a =， 所以()f x x =[1,9]x ∈，所以()[1,3]f x ∈．因为y =1()()1f x f x -+，所以1()1y f x y -=+，所以1131y y -≤≤+，解得102y -≤≤，即函数1()()1f x y f x -=+在区间[1,9]上的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B ．4．（2022·全国·高一课时练习）如图所示是函数mn y x =(*N m n ∈、且互质)的图象，则（ ）A ．m n 、是奇数且1mn< B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n> C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n< D ．m n 、是偶数，且1m n> 【答案】C【解析】函数n m nm y x x =y 轴对称，故n 为奇数，m 为偶数， 在第一象限内，函数是凸函数，故1mn<， 故选：C.5．（2022·全国·高一期中）幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（ ） A ．27 B ．9C ．19D ．127【答案】A【解析】由题意，令251m m +-=，即260m m +-=，解得2m =或3m =-， 当2m =时，可得函数3()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意； 当3m =-时，可得2()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意， 即幂函数3()f x x =，则(3)27f =. 故选：A.6．（2022·全国·高一课时练习）向高为H 的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当容器是圆柱时，容积V =πr 2h ，r 不变，V 是h 的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D 不满足条件；由函数图象可以看出，随着高度h 的增加V 也增加，但随h 变大，每单位高度的增加，体积V 的增加量变小，图象上升趋势变缓，∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小， ∴A 、C 不满足条件，而B 满足条件. 故选：B ．7．（2022·全国·高一单元测试）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位60030x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元（试剂的总产量为x 单位，50200x ≤≤），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位【答案】D【解析】设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元， 职工的工资总额为750020x +元，后续保养总费用为60030x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元， 则250750020306008100810040240220x x x x y x x x x x+++-+==++≥⋅=， 当且仅当8100x x=，即90x =时取等号， 满足50200x ≤≤，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位． 故选：D ．8．（2022·全国·高一课时练习）给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3f x x =；④()f x x ()1f x x =．其中满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由题，满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）幂函数()()22657mf x m m x--=+在()0,∞+上是增函数，则以下说法正确的是（ ） A ．3m =B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．函数()f x 是偶函数D ．函数()f x 的图象关于原点对称 【答案】ABD【解析】因为幂函数()()22657m f x m m x--=+在()0,∞+上是增函数，所以2257160m m m ⎧-+=⎨->⎩，解得3m =，所以()3f x x =，所以()()()33f x x x f x -=-=-=-，故()3f x x =为奇函数，函数图象关于原点对称，所以()f x 在(),0∞-上单调递增； 故选：ABD10．（2022·全国·高一课时练习）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润()p x （单位：万元）与每月投入的研发经费x （单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且21()6205p x x x =-+-，利润率()p x y x =.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ） A ．此时获得最大利润率B ．再投入6万元研发经费才能获得最大利润C ．再投入1万元研发经费可获得最大利润率D ．再投入1万元研发经费才能获得最大利润 【答案】BC【解析】当16x ≤时，2211()620(15)2555p x x x x =-+-=--+，故当15x =时，获得最大利润，为()1525p =，故B 正确，D 错误；()12012012066262555p x y x x x x x x x ⎛⎫==-+-=-++≤-⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当1205x x=，即10x =时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C 正确，A 错误.故选：BC.11．（2022·全国·高一课时练习）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y 1(千元)､乙厂的总费用y 2(千元)与印制证书数量x (千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（ ）A ．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B ．甲厂的总费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为10.51y x =+C ．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D ．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y 2与证书数量x 之间的函数关系式为21542y x =+ 【答案】ABCD【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A 正确； 设甲厂的费用1y 与证书数量x 满足的函数关系式为y kx b =+，代入点(0,1),(6,4)，可得164b k b =⎧⎨+=⎩，解得0.5,1k b ==，所以甲厂的费用1y 与证书数量x 满足的函数关系式为10.51y x =+，故B 正确； 当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为32 1.5÷=元，故C 正确； 设当2x >时，设2y 与x 之间的函数关系式为y mx n =+代入点(2,3),(6,4)，可得2364m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得15,42k b ==，所以当2x >时，2y 与x 之间的函数关系式为21542y x =+，故D 正确.故选：ABCD.12．（2022·全国·高一课时练习）若函数()f x 在定义域内的某区间M 是增函数，且()f x x在M 上是减函数，则称()f x 在M 上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ） A ．若()2f x x =，则不存在区间M 使()f x 为“弱增函数” B ．若()1f x x x=+，则存在区间M 使()f x 为“弱增函数”C ．若()3f x x x =+，则()f x 为R 上的“弱增函数”D ．若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则4a =【答案】ABD【解析】对于A ：()2f x x =在[)0,∞+上为增函数，()==f x y x x在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M 使()2f x x =为“弱增函数”，A 正确；对于B ：由对勾函数的性质可知：()1f x x x=+在[)1,+∞上为增函数，()21f x y x x-==+，由幂函数的性质可知，()21f x y x x-==+在[)1,+∞上为减函数，故存在区间[)1,M =+∞使()1f x x x =+为“弱增函数”，B 正确；对于C ：()3f x x x =+为奇函数，且0x ≥时，()3f x x x =+为增函数，由奇函数的对称性可知()3f x x x=+为R 上的增函数，()21f x y x x==+为偶函数，其在0x ≥时为增函数，在0x <时为减函数，故()3f x x x=+不是R 上的“弱增函数”，C 错误；对于D ：若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则()()24f x x a x a =+-+在(]0,2上为增函数，所以402a --≤，解得4a ≤，又()()4f x ay x a x x==+-+在(]0,2上为减函数，由对勾函数的单调性可知，2a ≥，则4a ≥，综上4a =.故D 正确． 故选：ABD ． 三、填空题13．（2022·全国·高一单元测试）已知1114,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若函数()af x x =在()0,+∞上单调递减，且为偶函数，则=a ______． 【答案】4-【解析】由题知：0a <， 所以a 的值可能为4-，1-，12-．当4a =-时，()()1440f x x x x -==≠为偶函数，符合题意．当1a =-时，()()110-==≠f x x x x为奇函数，不符合题意． 当12a =-时，()12f x x x-==，定义域为()0,+∞，则()f x 为非奇非偶函数，不符合题意．综上，4a =-． 故答案为：4-14．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()2232(1)m m f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.【答案】()2f x x =【解析】()f x 是幂函数，211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m =，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递减，不满足条件； 若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件； 即()2f x x =. 故答案为：()2f x x =15．（2022·全国·高一课时练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩()*1620,n n n ∈<<N 粒.则红豆和白豆共有________粒. 【答案】58【解析】设红豆有x 粒，白豆有y 粒， 由第一轮结果可知：1042x y -=，整理可得：220x y =-； 由第二轮结果可知：2yx n =-，整理可得：22y x n =-； 当17n =时，由220234x y y x =-⎧⎨=-⎩得：883743x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）；当18n =时，由220236x y y x =-⎧⎨=-⎩得：923763x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）；当19n =时，由220238x y y x =-⎧⎨=-⎩得：3226x y =⎧⎨=⎩，322658x y ∴+=+=，即红豆和白豆共有58粒. 故答案为：58.16．（2022·全国·高一期中）已知幂函数()223()p p f x x p N --*=∈ 的图像关于y 轴对称，且在()0+∞，上是减函数，实数a 满足()()233133pp a a -<+，则a 的取值范围是_____．【答案】14a <<【解析】幂函数()()223*p p f x xp N --=∈在()0+∞，上是减函数， 2230p p ∴--<，解得13p -<<，*p N ∈，1p ∴=或2．当1p =时，()4f x x -=为偶函数满足条件，当2p =时，()3f x x -=为奇函数不满足条件，则不等式等价为233(1)(33)ppa a -<+，即()11233(1)33a a -<+，()13f x x =在R 上为增函数， 2133a a ∴-<+，解得：14a <<.故答案为：14a <<. 四、解答题17．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小： (1)()32--，()32.5--； (2)788--，7819⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)3412⎛⎫ ⎪⎝⎭，3415⎛⎫ ⎪⎝⎭，1412⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为幂函数3y x -=在(),0∞-上单调递减，且2 2.5->-，所以()()332 2.5---<-． （2）因为幂函数78y x =在[)0,∞+上为增函数，且7788188-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1189>，所以77881189⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以77881189⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7788189-⎛⎫-<- ⎪⎝⎭．（3）41341128⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3144115125⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11112582<<，因为幂函数14y x =在()0,∞+上单调递增，所以331444111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x x =()2g x x =-.(1)求方程()()f x g x =的解集；(2)定义：{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩.已知定义在[)0,∞+上的函数{}()max (),()h x f x g x =，求函数()h x 的解析式；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数()h x 的简图，并根据图象写出函数()h x 的单调区间和最小值. 【解析】（12x x =-，得2540x x -+=且0x ≥，解得11x =，24x =；所以方程()()f x g x =的解集为{1,4}（2）由已知得()2,01,2,14222,4x x x x x h x x x x x x x x -≤<⎧⎧-⎪⎪==≤≤⎨⎨-<-⎪⎪⎩->⎩. （3）函数()h x 的图象如图实线所示：函数()h x 的单调递减区间是[]0,1，单调递增区间是()1,+∞，其最小值为1.19．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）已知幂函数()a g x x =的图像经过点(22,，函数2(4)()1g x af x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数a 的值；(2)判断函数f （x ）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明【解析】(1)由条件可知22a=12a =，即()12g x x x ==，()42g =，因为()221x a f x x +=+是奇函数，所以()00f a ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以2a =成立； (2)由（1）可知()221xf x x =+， 在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <， ()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.20．（2022·全国·高一课时练习）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量t （件）与销售价格x （元/件）（*x ∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，()()2510050t x a x =-++；②当6076x ≤≤时，()1007600t x x =-+.记该店月利润为M （元），月利润=月销售总额-月总成本.(1)求M 关于销售价格x 的函数关系式；(2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格.【解析】（1）当60x =时，()260510050100607600a -++=-⨯+，解得2a =.∴()()()()()2**220100003420000,3460,,10076003420000,6076,x x x x x N M x x x x x N ⎧--+--≤≤∈⎪=⎨-+--≤≤∈⎪⎩即()32*2*24810680360000,3460,,10011000278400,6076,x x x x x N M x x x x x N ⎧-++-≤≤∈=⎨-+-≤≤∈⎩（2）当3460x ≤≤，x ∈R 时，设()3224810680360000g x x x x =-++-，则()()26161780g x x x '=---.令()0g x '=，解得182461x =-，()28246150,51x =+， 当3450x ≤≤时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当5160x ≤≤时，()0g x '<，()g x 单调递减.∵*x ∈N ，()5044000M =，()5144226M =，()M x 的最大值为44226.当6076x ≤≤时，()()21001102784M x x x =-+-单调递减，故此时()M x 的最大值为()6021600M =.综上所述，当51x =时，()M x 有最大值44226.∴该打印店的最大月利润为44226元，此时产品的销售价格为51元/件. 21．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数， (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为1，求实数m 的值. 【解析】（1）因为()f x 为幂函数所以233112a a a a -+===，得或 因为()f x 为偶函数所以2a = 故()f x 的解析式2()f x x =.（2）由（1）知()()2213g x x m x =+--，当1212m-≤即12m ≥-时，()()max 3361g x g m ==+=，即13m =- 当1212m ->即12m <-时，()()max 1121g x g m =-=--=即1m =- 综上所述：13m =-或1m =-22．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()()()22tf x t t x t R -=+∈，且()f x 在区间()0,∞+上单调递减.(1)求()f x 的解析式及定义域； (2)设函数()()()221g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦，求证：()g x 在()0,∞+上单调递减.【解析】（1）因为幂函数()()()22t f x t t x t R -=+∈，()f x 在区间()0,+∞上单调递减，所以221+=t t ，解得1t =-或12t =， 所以()12f x x -=，定义域为()0,+∞.（2）由（1）知函数()()()()2222110--=-=-≠⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦g x f x x x x f x ，设120x x >>，则()()()222222211212212222121211------=--+=-+x x g x g x x x x x x x x x因为120x x >>，所以2212x x >，222221210,0-<>x x x x ，所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <， 所以()g x 在()0,+∞上单调递减.。

函数与导数06 函数 幂函数一、具体目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象,了解它们的变化情况.二、知识概述： 1.幂函数的概念(1)一般地，形如ny x =的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，n 是常数．(2)在同一平面直角坐标系中，幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象的比较如下．2.幂函数的性质：（1）恒过点(1,1)；（2）在第一象限当0n >时ny x =是增函数，当0n <时ny x =是减函数； （3）幂函数的图象不经过第四项限. 3.判数函数是幂函数的依据：【考点讲解】幂函数错误!未找到引用源。

，其中错误!未找到引用源。

为常数，其本质特征是以幂的底错误!未找到引用源。

为自变量，指数错误!未找到引用源。

为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 4.在错误!未找到引用源。

上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴 (简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．5.幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．1. 【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=【解析】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性问题，由题意可知函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增.故选A.【答案】A【真题分析】2.【2018优选题】函数()()952411＝－－-+m m f x m m x是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，+∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，ab <0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【解析】由题意可知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递增．∵()()952411＝－－-+m m f x m m x是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，4m 9－m 5＋1＝4×29－25＋1＝2017， f (x )＝x 2017 在(0，＋∞)上为增函数，符合题意；当m ＝－1时，4m 9－m 5＋1＝4×(－1)9－(－1)5＋1＝－2, f (x )＝x -2在 (0，＋∞)上为减函数，不符合题意．∴f (x )＝x 2017，该函数为R 上的奇函数，且为R 上的增函数．∵a ＋b >0，∴a >－b ，∴f (a )>f (－b )＝－f (b )，即f (a )＋f (b )>0.故选A. 【答案】A3.【2018优选题】在同一平面直角坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax ＋1a的图像可能是( )【解析】当a ＞0时，函数y ＝x a 在第一象限单调递增，直线y ＝ax ＋1a 经过第一、二、三象限，无选项符合题意；当a ＜0时，函数y ＝x a 在第一象限单调递减，直线y ＝ax ＋1a 经过第二、三、四象限，选项B 符合题意．故选B. 【答案】B4.【2016全国Ⅲ】已知a ＝432，b ＝233，c ＝1325，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】∵b ＝233＝433，c ＝1325＝235＝435，a ＝432，且函数y ＝43x 在区间(0，＋∞)上单调递增，5>2>3，∴)435>432>433，∴b <a <c .故选A.【答案】A5.【2019优选题】幂函数f (x )的图像经过点(4，2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a ) < f (b ) < f ⎝⎛⎭⎫1a < f ⎝⎛⎭⎫1bB ．f ⎝⎛⎭⎫1a < f ⎝⎛⎭⎫1b < f (b ) < f (a )C ．f (a ) < f (b ) < f ⎝⎛⎭⎫1b < f ⎝⎛⎭⎫1aD ．f ⎝⎛⎭⎫1a < f (a ) < f ⎝⎛⎭⎫1b < f (b ) 【解析】设幂函数的解析式为f (x )＝x α，由f (x )的图像经过点(4，2)，得4α＝2，解得α＝12，即f (x )＝12x .∵f (x )＝12x 在(0，＋∞)上是增函数，且0 < a < b < 1，∴0 < a < b < 1b < 1a ，∴f (a )< f (b ) < f ⎝⎛⎭⎫1b < f ⎝⎛⎭⎫1a . 【答案】C6.【2018上海卷7】已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧---∈3,2,1,21,21,1,2α，若幂函数αx x f =)(为奇函数，且在0+∞（，）上递减，则α=_____【解析】本题考点是幂函数与奇函数的综合应用，由题意可知幂函数要满足两个条件，一个条件就是奇函数，此时3,1,1-=α，另一个条件是在区间0+∞（，）上递减，此时1-=α，所以答案是-1. 【答案】1-7.【2014上海,理9】若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .【解析】根据幂函数的性质，由于1223<，所以当01x <<时2132x x <，当1x >时，2132x x >，因此()0f x <的解集为(0,1). 【答案】(0,1)8.【2019优选题】幂函数1222)33)(+-+-=m m x m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．【解析】若幂函数1222)33)(+-+-=m m xm m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则由2331m m -+=，解得：2m =或1m =，2m =时，()f x x =，是增函数，1m =时，()1f x =，是常函数，故答案为2．【答案】29.【2017优选题】幂函数错误!未找到引用源。

幂函数解析式的求法对某些幂函数问题来说，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出其解析式．本文就常见的幂函数解析式的求法归类例析如下：一、利用幂函数的定义例１ 已知函数是幂函数，求此函数的解析式．解：∵是幂函数，∴y 可以写成如下形式（是常数）．∴，解得． 当时，有（2为常数），（－1为常数）．∴函数的解析式为或．评注：幂函数（x 为自变量，是常数）的定义强调：系数为１，幂指数为常数.求出参数m 后要注意检验幂指数是否为常数．二、利用幂函数的图象例２ 若函数是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．分析：对于幂函数（是常数）而言，要使幂函数的图象不过原点，则指数≤0． 解：∵函数是幂函数，且图象不经过原点，∴，且．∴或6．∴函数解析式为或．例３ 已知幂函数（m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称．求函数的解析式．解：∵函数的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴，解得．2221(1)m m y m m x --=--2221(1)m m y m m x--=--y x α=α211m m --=1212m m =-=，1212m m =-=，211212m m --=222211m m --=-1y x -=2y x =y x α=α29()(919)a f x a a x-=-+y x α=αα29()(919)a f x a a x-=-+29191a a -+=90a -≤3a =6()f x x-=3()f x x-=21()m f x x -=21()m f x x-=210m -≤11m -≤≤又图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0． ∴．评注：解决与幂函数有关的综合问题时，应抓住突破口，此两例的突破口是图象的特征，只要抓住图象特征，将其转化为代数语言，就能顺利解题．三、利用幂函数的性质例４ 已知幂函数（）是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，求函数的解析式．解：∵是幂函数，∴，解得t ＝－1，t ＝0或t ＝1，∴当t ＝０时，，是非奇非偶函数，不满足条件．当t ＝1时，是偶函数，但在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．当时，满足题设． 综上所述，实数t 的值为－1，所求解析式为．评注：涉及求与幂函数有关的参数问题，掌握幂函数的概念和性质是解题的关键．解含参问题有时还应注意分类讨论．幂的十位数“求一个自然数的高次幂的个位数，应该说是不难的”，布鲁斯博士接着说，“比方说求20022002的个位数．顺便说一下，如果有哪位孩子说他准备用计算机把这个幂算出来，然后看一下个位数是什么，那我只能对他表示敬意．但我在这里说的不是‘算’出来，而是‘求’出来．那位举手的孩子，你想问什么？”“我想知道‘算’与‘求’有什么区别？”一个胖嘟嘟的男孩站起来问道． “很好，等我把20022002的个位数‘求’出来以后，你就明白了．好，我们继续．” 博士在投影仪上放了一张胶片，他身后的墙上映出了一张巨大的表格：“一个自然数，若它的个位数是2，那么它的1次幂的个位数仍然为2，它的2次幂的1()f x x -=21(14)32()(1) t t f x t t x --=-+t ∈Z ()f x 311t t -+=12()f x x =2()f x x -=1t =-2()f x x =个位数为4，3次幂的个位数为8，4次幂的个位数为6，5次幂的个位数又为2了．”博士说道，“这张表格的第一行是幂的次数，第二行就是相应次数的幂的个位数．我们看到了什么？我们看到这些个位数以2，4，8，6为基本模块不断地循环，其循环周期为4．由此我们知道，20022与20024n+2的个位数都是4．令n=500，即可知20022002的个位数为４．”布鲁斯博士用得意的眼光扫过全场，一阵热烈的掌声随即响起．“那么幂的十位数，比方说，19978，19989，19991073的十位数，该怎样‘求’呢？”胖男孩又站起来问道，他有意重读了那个“求”字．“唔，唔……，这个问题有点儿麻烦．”博士的额头出现了一些汗珠，“让我们来试试看……”博士绞尽脑汁，使出浑身解数，想“求”出这三个幂的十位数……你能帮他“求”出这三个幂的十位数吗？提示：注意1997，1998，1999都是离2000很近的数。

幂函数的定义：一般地，函数y=x的a次幂叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y=x的a次幂=xp\q
定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．。

幂函数1.幂函数：一般地，形如y=x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数.要准确理解幂函数的定义，注意以下四点：（1）幂函数具有严格的形式，形如 y=mx a， y=（mx）a， y=x a+m，y=（x+m）a（以上m均为不等于零的常数，且前两个函数中的m也不等于1）的函数都不是幂函数，二次函数中只有y=x2是幂函数，其他的二次函数都不是幂函数，幂函数y=x a要满足三个特征：○1幂x a前的系数是1；○2底数只能是自变量x，指数是常数；○3项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数；（2）求函数解析式时，若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法设函数为f（x）=x a，根据条件求出a即可.（3）不要把幂函数与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量.当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识解决.2.幂函数在第一象限的图象：幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性做出．α＝n／m (其中m∈N*，n∈Z且m，n互质)．(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称．(3)当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限．3.幂函数当α＝1,2,3，0.5，－1时的图象与性质．(1)图象(如图所示)(2)性质(如表)4.幂函数的性质：(1)所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图像都通过点（1,1）；(2)如果a＞0，则幂函数的图像过原点，并且在区间（0，+∞）上为增函数；(3)如果a＜0，则幂函数的图像在区间（0，+∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于零时，图像在y轴右方无限逼近y轴，当x趋向于无穷大时，图像在x轴上方无限逼近x轴；（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数.(5)①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，y=x a表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1))5.幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数y=x a的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数y=x a的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数y=x a的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。

突破15 幂函数重难突破一、基础知识【知识点一、幂函数】 1．幂函数的概念一般地，函数(y x αα=是常数）叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2．幂函数的结构特征幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： （1）指数为常数； （2）底数为自变量； （3）系数为1．3．幂函数与指数函数的区别与联系函数 解析式相同点不同点指数函数 (0,1)x y a a a =>≠且右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数()y x αα=∈R底数是_______，指数是_______【知识点二、幂函数的图象与性质】 1．几个常见幂函数的图象与性质函数y x =2y x =3y x =12y x =1y x=图象定义域 R R R [0,)+∞ {|0}x x ≠ 值域 R[0,)+∞R[0,)+∞{|0}y y ≠奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性 在R 上单调递增在(,0)-∞上单调递减；在[0,)+∞上单调递增在R 上单调递增在[0,)+∞上单调递增在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减 过定点过定点(0,0),(1,1)过定点(1,1)【注】幂函数(y x αα=是常数）中，α的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样．注意α是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同．2．幂函数(y x αα=是常数）的指数对图象的影响（1）当_______时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于1y x -=的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；（2）当_______时，函数图象向x 轴弯曲，类似于y x =的图象；（3）当_______时，函数图象向y 轴弯曲，类似于2y x =的图象，而且逆时针方向指数在增大．具体如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点 过（0，0），（1，1） 过（0，0），（1，1）过（1，1） 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增递减举例y =x 212y x =1y x -=、12y x -=3．常用结论（1）幂函数在_______ 上都有定义． （2）幂函数的图象均过定点_______．（3）当0α>时，幂函数的图象均过定点(0,0),(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______． （4）当0α<时，幂函数的图象均过定点(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______． （5）幂函数在第四象限无图象．知识参考答案： 一、3．自变量常数二、2．（1）0α< （2）01α<< （3）1α> 3．（1） (0,)+∞（2） (1,1)（3） 递增（4） 递减二、题型分析1．K 重点——幂函数的定义判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y x α=（α是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1． 【例1】已知幂函数()f x 的图象过点（2， 41），试求该函数的解析式． 【答案】2y x -=．【名师点睛】虽然幂函数y x α=（α是常数）和指数函数(0,1)xy a a a =>≠都具有幂的形式，但幂函数以幂的底数x 为自变量，指数α为常数；指数函数以幂的底数a 为常数，指数x 为自变量．当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数的知识解决，还是用指数函数的知识解决．【变式训练1】（2019春•闵行区校级月考）已知函数()f x 是幂函数，且2f （4）(16)f =，则()f x 的解析式是 ．【分析】设f （x ）＝x α，根据条件建立方程求出α的值即可． 【答案】解：设f （x ）＝x α， ∵2f （4）＝f （16）， ∴2×4α＝16α，即＝2，则4α＝2，α＝，即f （x ）＝x ， 故答案为：f （x ）＝x【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．【变式训练2】（2018秋•道里区校级月考）已知幂函数2242()(1)m m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减，则函数()f x 的解析式为 ．【分析】利用幂函数的性质直接求解． 【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m +1）2在（0，+∞）上单调递减，∴，解得m ＝0，∴函数f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣2．故答案为：f （x ）＝x ﹣2．【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查幂函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式训练3】已知幂函数22(29)()(919)()m m f x m m x m Z --=-+∈的图象不过原点，则()f x 的解析式为 ．【分析】由幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，列举方程组，求出m ，由此能求出f （x ）的解析式．【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，∴，解得m ＝3，∴f （x ）＝x ﹣6．故答案为：f （x ）＝x ﹣6．【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 2．幂函数的图象要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：（1）当α的值在（0，1）上时，幂函数中指数越大，函数图象越接近x 轴（简记为“指大图低”）；当α的值在（1，+∞）上时，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．（2）任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限． 【例2】已知函数ay x =，by x =，cy x =的图象如图所示，则实数,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【名师点睛】本题也可采用特殊值法，如取2x =，结合图象可知222a b c >>，又函数2xy =是增函数，于是a b c >>．【变式训练1】（2019秋•涪城区校级月考）幂函数a y x =，b y x =，c y x =的图象如图所示，则实数a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【分析】利用幂函数图象和单调性即可得出．【答案】解：由幂函数图象和单调性可知：a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0． ∴a ＞b ＞c ．故选：A ．【点睛】本题考查了幂函数图象和单调性，属于基础题．【变式训练2】已知幂函数n y x =，m y x =，p y x =的图象如图，则( )A ．m n p >>B ．m p n >>C ．n p m >>D ．p n m >>【分析】根据幂函数的图象特征：在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴，结合图象即可得到答案．【答案】解：因为在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴， 所以由图象可得：n ＞p ＞m ，故选：C ．【点睛】本题考查幂函数图象的特征，以及数形结合思想，属于基础题． 【变式训练3】（2019•开福区校级模拟）如图，函数1y x=、y x =、1y =的图象和直线1x =将平面直 角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．则函数1y x=的图象经过的部分是( )A ．④⑦B ．④⑧C ．③⑦D ．③⑧【分析】根据幂函数的图象和性质即可得到结论． 【答案】解：∵y ＝＝，幂指数，∴函数在第一象限内单调递减， 当x ＞1时，函数y ＝x a 为增函数，则此时＞x ﹣1，即函数y ＝的图象经过的部分是④⑧，故选：B ．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，根据幂函数的性质和指数函数的性质是解决本题的关键． 3．幂函数性质的应用（1）幂函数的单调性主要用来比较指数相同、底数不同的幂的值的大小，这时需要注意幂函数的定义域和利用幂函数的奇偶性进行转化；（2）与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等． 【例3】如图，幂函数()37m y xm -=∈N 的图象关于y 轴对称，且与x 轴，y 轴均无交点，求此函数的解析式及不等式(2)16f x +<的解集．【答案】函数的解析式是4y x -=，不等式的解集为53(,)(,)22-∞--+∞．【名师点睛】解决与幂函数有关的综合性问题时，一定要考虑幂函数的概念．对于幂函数y x α=（α是常数），由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．4．幂函数单调性的应用（1）注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤． 第一步，根据指数分清正负；第二步，正数区分大于1与小于1的情况，a >1，α>0时，a α>1；0<a <1，α>0时，0<a α<1；a >1，α<0时，0<a α<1；0<a <1，α<0时，a α>1；第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形． （2）给定一组数值，比较大小的步骤．第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1．第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性． 第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底（化同指）、或放缩、有时作商（或作差）、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．【例4】设525352)52(,)52(,)53(===c b a ，则c b a ,,的大小关系是A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a【答案】A【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量．【变式训练1】（2019秋•武邑县校级期中）若120.5a =，130.5b =，140.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．a c b >>【分析】利用指数函数的单调性进行判断．【答案】解：构造函数f （x ）＝0.5x ，因为函数f （x ）＝0.5x ，为单调递减函数．且，所以，即，所以a ＜b ＜c ．故选：B ．【点睛】本题主要考查指数幂的大小比较，构造指数函数利用指数函数的单调性是解决本题的关键． 【变式训练2】（2019秋•开封校级期中）下列大小关系，正确的是( ) A ． 3.3 4.50.990.99< B ．23log 0.8log π< C ． 5.2 5.20.530.35<D ．0.3 3.11.70.9<【分析】结合函数y ＝0.99x ，y ＝x 5.2，等指数函数、对数函数和幂函数的单调性判断各函数值的大小或与0和1的大小，从而比较大小．【答案】解：对于A ：考察指数函数y ＝0.99x ，由于0.99＜1，故它在R 上是减函数， ∵3.3＜4.5，∴0.993.3＞0.994.5 故A 错；对于B ：考察对数函数log 2x ，由于2＞1，故它在（0，+∞）上是增函数， ∴log 20.8＜log 21＝0，而log 3π＞log 31＝0，∴log 20.8＜log 3π 故B 正确；对于C ：考察幂函数y ＝x 5.2，由于5.2＞0，故它在（0，+∞）上是增函数， ∵0.53＞0.35，∴0.535.2＞0.355.2故C 错；对于D ：考考察指数函数y ＝1.7x ，由于1.7＞1，故它在R 上是增函数， ∴1.70.3＞1.70＝1，考考察指数函数y ＝0.9x ，由于0.9＜1，故它在R 上是减函数， 0.93.1＜0.90＝1，故1.70.3＞0.93.1故D 错； 故选：B ．【点睛】本题是幂函数、指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．【变式训练3已知432a =，254b =，1325c =，则( ) A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<【分析】a ＝＝，b ＝，c ＝＝，结合幂函数的单调性，可比较a ，b ，c ，进而得到答案．【答案】解：∵a ＝＝， b ＝＝（22）＝＜＜a ， c ＝＝＞＝＝a ，综上可得：b ＜a ＜c ， 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．【变式训练4】（2019秋•青阳县校级期中）若221333111(),(),()252a b c ===，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【分析】由在第一象限内是增函数，知．由是减函数，知．由此可知a 、b 、c 的大小关系．【答案】解：∵在第一象限内是增函数，∴，∵是减函数，∴，所以b ＜a ＜c ． 故选：D ．【点睛】本题考查指数函数和幂函数的性质及其应用，解题时要合理运用指数函数和对数函数的单调性． 5．求出参数后，忽略检验致错【例5】已知幂函数13()n y x n *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，则n =_______． 【错解】因为幂函数13()n y xn *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，所以103n <-，解得3n <．又因为n *∈N ，所以1n =或2．【错因分析】错解中对求出的n 的值没有代回题目中进行检验，造成多解．【正解】因为幂函数13()n y x n *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，所以103n <-，解得3n <．又因为n *∈N ，所以1n =或2．当1n =时，12y x -=，其定义域为(0,)+∞，且函数单调递减，符合题意； 当2n =时，1y x -=，其定义域是{|0}x x ≠，不符合题意，舍去．综上，得1n =．【名师点睛】根据题目条件及幂函数的定义求出参数的值后，一定要把参数的值代回题目中进行检验，看是否满足题意，否则容易造成多解或错解．【变式训练1】（2019秋•葫芦岛期末）幂函数2()(1)m g x m m x =--的图象关于y 轴对称． （1）求()g x 的解析式；（2）若函数()()21f x g x ax =-+在[1x ∈-，2]上单调递增，求a 的取值范围．【分析】（1）由幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称，列出方程组，能求出m ． （2）由函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1，其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增，能求出a 的取值范围．【答案】解：（1）幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称， ∴，解得m ＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1， 其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增， ∴a ≤﹣1，故a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式训练1】（2019秋•连江县校级期中）已知幂函数93*()()m f x x m N -=∈的图象关于原点对称，且在R 上单调递增．（1）求()f x 表达式；（2）求满足(1)(34)0f a f a ++-<的a 的取值范围．【分析】（1）由题意可得9﹣3m ＞0，解不等式可得m 的整数解，结合题意可得m ，即有函数的解析式； （2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增，原不等式可化为a +1＜4﹣3a ，解不等式即可得到所求范围．【答案】解：（1）幂函数f （x ）＝x 9﹣3m （m ∈N *）的图象关于原点对称， 且在R 上单调递增， 可得9﹣3m ＞0， 解得m ＜3，m ∈N *， 可得m ＝1，2，若m ＝1，则f （x ）＝x 6的图象不关于原点对称，舍去； 若m ＝2，则f （x ）＝x 3的图象关于原点对称， 且在R 上单调递增，成立． 则f （x ）＝x 3；（2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增， f （a +1）+f （3a ﹣4）＜0，可得f （a +1）＜﹣f （3a ﹣4）＝f （4﹣3a ）， 即为a +1＜4﹣3a ， 解得a ＜．【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，以及函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．【变式训练2】（2019秋•静宁县校级期中）已知函数()f x 是幂函数，()f x 在(,0)-∞上是减函数，且3((2))8f f =（1）求函数()f x 的解析式（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由（3）若函数23()[()]()g x f x ax a R -=-∈在[1，2]上的最小值为14-，求实数a 的值．【分析】（1）用待定系数法求得幂函数f （x ）的解析式； （2）根据奇偶性的定义判断函数f （x ）是定义域上的奇函数；（3）求出函数g （x ）的解析式，讨论a 的取值范围，利用g （x ）在区间[1，2]上的最小值求出a 的值． 【答案】解：（1）设幂函数f （x ）＝x α，α为常数；∴f（）＝＝，∴f（f（））＝＝8，∴＝3，解得α＝±3；又f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴α＝﹣3，∴f（x）＝x﹣3；（2）函数f（x）＝x﹣3，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；任取x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f（﹣x）＝（﹣x）﹣3＝﹣x﹣3＝﹣f（x），∴函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数；（3）函数g（x）＝[f（x）]﹣ax＝x2﹣ax（a∈R）；则函数g（x）＝x2﹣ax的对称轴为x＝，当＜1，即a＜2时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递增，g（x）的最小值为g（1）＝1﹣a＝﹣，解得a＝，满足题意；当1≤≤2，即2≤a≤4时，函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为g（）＝﹣＝﹣a2＝﹣，解得a＝±1（不合题意，舍去）；当＞2，即a＞4时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递减，g（x）的最小值为g（2）＝4﹣2a＝﹣，解得a＝（不合题意，舍去）；综上，a＝．【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了函数的奇偶性和单调性、最值的应用问题，是中档题．三、课后作业1．如果幂函数f（x）=xα的图象经过点139⎛⎫⎪⎝⎭，，则α=A ．–2B ．2C ．12-D ．12【答案】A2．若幂函数f （x ）的图象经过点（4，12），则f （14）的值是 A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】设幂函数f （x ）=x α，其图象过点（4，12），∴4α=12，解得α=–12，∴f （x ）=12x -，∴f （14）=1214-⎛⎫⎪⎝⎭=2．故选C ．3．幂函数的图象经过点333⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，则f （2）的值等于A ．4B ．14C ．2D ．22【答案】D【解析】幂函数f （x ）=x n的图象经过点333⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，可得3n =33，解得n =–12，则f （2）=21222-=，故选D ． 4．函数()21f x x=的单调递增区间为 A ．（–∞，0] B ．[0，+∞）C ．（0，+∞）D ．（–∞，0）【答案】D5．若幂函数y =f （x ）经过点333⎛ ⎝⎭，，则此函数在定义域上是A ．增函数B ．减函数C ．偶函数D ．奇函数【答案】B【解析】幂函数y =f （x ）是经过点3⎛ ⎝⎭，设幂函数为y =x α，将点代入可得3α，得到12α=-，此时函数12y x -=是（0，+∞）的减函数．故选B ．6．若函数f （x ）=（m 2–m –1）x m 是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f （x ） A ．是偶函数B ．是奇函数C ．是单调递减函数D ．在定义域内有最小值【答案】B【解析】幂函数f （x ）=（m 2–m –1）x m 的图象与坐标轴无交点，可得m 2–m –1=1，且m ≤0，解得m =–1，则函数f （x ）=x –1．是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值．故选B ．7．幂函数f （x ）=x α的图象经过点(3，则实数α=___________． 【答案】12【解析】∵幂函数f （x ）=x a 的图象经过点（3），∴（3）a a =12，故答案为：12． 8．幂函数y =f （x ）的图象经过点144⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】4【解析】根据题意，设幂函数f （x ）=x a ，幂函数y =f （x ）的图象经过点144⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则有14=4a，则a =–1，则f （x ）=x –1，14f ⎛⎫⎪⎝⎭=（14）–1=4；故答案为：4． 9．已知幂函数f （x ）经过点（2，8），则f （3）=___________． 【答案】27【解析】设f （x ）=x n ，由题意可得2n =8，解得n =3，则f （x ）=x 3，f （3）=33=27，故答案为：27． 10．函数()322(6)f x x x =--的单调递减区间为A ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．132⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【答案】A【解析】由题意，得26012x xx⎧--≥⎪⎨-≥-⎪-⎩，解得–12≤x≤2，故选A．11．已知点18a⎛⎫⎪⎝⎭，在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，则函数f（x）是A．定义域内的减函数B．奇函数C．偶函数D．定义域内的增函数【答案】B【解析】点（a，18）在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，∴a–1=1，解得a=2，故2b=18，解得b=–3，∴f（x）=x–3，∴函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选B．12．已知点（a，12）在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，则函数f（x）是A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数【答案】A【解析】点12a⎛⎫⎪⎝⎭，在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，∴a–1=1，解得a=2，又2b=12，解得b=–1，∴f（x）=x–1，∴函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A．学科&网13．已知幂函数f（x）=x a的图象经过函数g（x）=a x–2–12（a>0且a≠1）的图象所过的定点，则幂函数f（x）不具有的特性是A．在定义域内有单调递减区间B．图象过定点（1，1）C．是奇函数D．其定义域是R【答案】D14．若函数f（x）=（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=log a（x+m）的单调增区间为A ．（–2，+∞）B ．（1，+∞）C ．（–1，+∞）D ．（2，+∞）【答案】B【解析】由题意得：m +2=1，解得：m =–1，故f （x ）=x a ，将（2，4）代入函数的解析式得：2a =4，解得：a =2，故g （x ）=log a （x +m ）=log 2（x –1），令x –1>0，解得：x >1，故g （x ）在（1，+∞）递增，故选B ． 15．已知函数()12f x x=，则A ．存在x 0∈R ，使得f （x ）<0B ．对于任意x ∈[0，+∞），f （x ）≥0C ．存在x 1，x 2∈[0，+∞），使得()()12120f x f x x x -<-D ．对于任意x 1∈[0，+∞），∃x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）>f （x 2） 【答案】B【解析】由函数()12f x x=，知，在A 中，f （x ）≥0恒成立，故A 错误；在B 中，∀x [（0，+∞），f （x ）≥0，故B 正确；在C 中，∃x 1，x 2∈[0，+∞），使得()()1212f x f x x x -->0，故C 错误；在D 中，当x 1=0时，不存在x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）>f （x 2），故D 不成立．故选B ． 16．已知幂函数()22422m my m m x +=--的图象关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，则整数m 的值为___________． 【答案】–1【解析】()22422m my m m x+=--为幂函数，∴m 2–2m –2=1，解得m =–1或m =3；当m =–1时，函数y =x –3的图象关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，当m =3时，函数y =x 21的图象关于原点对称，与x 轴、y 轴有交点，综上整数m 的值为–1．故答案为：–1．17．幂函数f （x ）=（t 3–t +1）x 3t +1是奇函数，则f （2）=___________． 【答案】2【解析】函数f （x ）=（t 3–t +1）x 3t +1是幂函数，∴t 3–t +1=1，解得t =0或t =±1；当t =0时，f （x ）=x 是奇函数，满足题意；当t =1时，f （x ）=x 4是偶函数，不满足题意；当t =–1时，f （x ）=x –2是偶函数，不满足题意．综上，f （x ）=x ；∴f （2）=2．故答案为：2．18．已知33255()(3)m m m +≤-，求实数m 的取值范围． 【答案】m ∈[–3，1]19．已知幂函数f （x ）=x 21()mm -+（m ∈N *）的图象经过点(22，．（1）试求m 的值，并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f （1+a ）>f （3a a 的取值范围． 【答案】（1）m =1，f （x ）x x ∈[0，+∞）；（2）（1，9]． 【解析】（1）∵幂函数f （x ）的图象经过点(22，， 21()22mm -+=，即m 2+m =2，解得m =1或m =–2， ∵m ∈N *，故m =1，故f （x ）x ，x ∈[0，+∞）； （2）∵f （x ）在[0，+∞）递增， 由f （1+a ）>f （3a得103013a a a a+≥⎧⎪≥⎨⎪+>⎩， 解得1<a ≤9，故a 的范围是（1，9]．20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x ()21182m m --的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f（x+1）>f（x–2）．【答案】（1）f（x）=x–4；（2）{x|x<12，x≠0}．【解析】（1）因为f（x）是幂函数，所以m3–m+1=1，解得m∈{0，±1}，又f（x）的图象与x轴和y轴都无交点，经检验只有当m=1时符合题意，此时f（x）=x–4；（2）f（x）=x–4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f（x+1）>f（x–2）成立，学科&网只需|x+1|<|x–2|，解得x<12，又f（x）的定义域为{x|x≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x≠0}．21．已知f（x）=（m2–m–1）x–5m–1是幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．（1）求m的值；（2）解不等式f（x–2）>16．【答案】（1）m=–1；（2）x>4或x<0．22．已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且1222f⎛⎫=⎪⎝⎭．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．【答案】（1）()f x x =；（2）证明详见解析．【解析】（1）由12()22α=，得12α=，所以()f x x =；（2）函数f （x ）的定义域是[0，+∞）， 设任意的x 2>x 1≥0，则()()21212121x x f x f x x x x x --=-=+，∵212100x x x x -+＞，＞， ∴f （x 2）>f （x 1），函数f （x ）在定义域上是增函数．23．（2018•上海）已知α∈{–2，–1，–1122，，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=__________． 【答案】–1。

幂函数与指数函数的图像变换解析幂函数和指数函数是数学中常见的两类函数，它们在自然科学、工程技术和经济管理等领域中有着广泛的应用。

本文将从图像的角度，对幂函数和指数函数的图像变换进行解析和讨论。

首先，我们来了解一下幂函数的图像变换。

幂函数的一般形式可以表示为 y = ax^b，其中 a 和 b 是实数，且a ≠ 0。

当 b 为正数时，图像呈现上升趋势；当 b 为负数时，图像呈现下降趋势。

1. 幂函数的图像拉伸和压缩：对于 y = ax^b 这样的幂函数，当 a > 1 时，图像会向上拉伸；当 0 < a < 1 时，图像会向上压缩。

这是因为 a 的变化会改变函数值的幅度，即放大或缩小函数的纵坐标。

另外，对于 x 的变化，当 b > 1 时，图像在原点附近的斜率更陡，表示函数在原点的增长速度更快；当 0 < b < 1 时，图像在原点附近的斜率更缓，表示函数在原点的增长速度更慢。

2. 幂函数的图像平移：幂函数的图像平移与一般的函数平移类似。

假设有一个幂函数 y = ax^b，在原函数的基础上，通过改变常数 c 来确定平移的位置。

当 c > 0 时，图像将沿负 x 轴方向平移 c 个单位；当 c < 0 时，图像将沿正 x 轴方向平移 c 个单位。

总结起来，幂函数的图像变换主要包括拉伸和压缩、以及在平面上的平移。

接下来，让我们讨论指数函数的图像变换。

指数函数的一般形式可以表示为 y = a^x，其中 a 是正实数且a ≠ 1。

1. 指数函数的图像拉伸和压缩：对于指数函数 y = a^x，当 a > 1 时，图像会向上拉伸；当 0 < a < 1 时，图像会向上压缩。

与幂函数不同的是，指数函数的 x 坐标的变化不会改变函数的斜率，而会改变函数值的幅度。

2. 指数函数的图像平移：指数函数的图像平移也与一般的函数平移类似。

假设有一个指数函数 y = a^x，在原函数的基础上，通过改变常数 c 来确定平移的位置。

知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质： 幂函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 321x yy ＝x －1教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.幂函数的概念数学抽象水平1水平11.了解幂函数的定义，能区别幂函数与指数函数。

2.能够使用幂函数的简单性质实行实数大小比较。

3.通过作出一些简单幂函数的图像，能根据图像描述出这些简单幂函数的基本性质。

【考查内容】幂函数的图像与性质、指数幂的大小比较。

【考查题型】选择题、填空题、解答题【分值情况】选择、填空题5分，解答题4分2.幂函数的图像与性质 直观想象 水平1 水平23.幂指数对图像的影响 数学运算 水平1 水平14.幂函数的凸凹性 数学运算 水平1 水平1第十二讲 幂函数知识通关{y|y∈R，且y≠0}奇x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减题型一幂函数的概念规律方法判断函数为幂函数的方法例1、(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3(2)若f(x)＝(m2－4m－4)x m是幂函数，则m＝________.解析：(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B．(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.答案(1)B (2)5或－1【变式训练1】（1）幂函数)(xf的图像过点)9,3(3，则)()8(=fA. 8B. 6C. 4D. 2（2）设}1,21,3,2,1{-∈α，则使函数αxy=的定义域为R且函数αxy=为奇函数的所有α的值为（）A .3,1- B. 1,1- C. 1,3 D. 3,1,1-2、(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在n 取±2，±12四个值，则相对C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点)21,2(--分别在幂函数f(x)，的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．（1）根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①幂函数图像在定义域(0,1)上的部分，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴 (简记为指大图低)； ②幂函数图像在定义域(1，＋∞)上的部分，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系， 即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或21x y =或y ＝x 3)来判断．（当0<α时，在第一象限内为双曲线型；当10<<α时，在第一象限内为抛物线型，且开口向右；当1>α时，在第一象限C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B ． （2）设f(x)＝x α，g(x)＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x 2，g(x)＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； ②当x ＝1时，f(x)＝g(x)； ③当x ∈(0,1)时，f(x)<g(x)． 答案 B【变式训练2】如图是函数nm x y = (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn>1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >1解析：由图象可知y ＝x mn 是偶函数，而m ，n 是互质的，故m 是偶数，n 是奇数，又当x ∈(1，＋∞)时，nm x y =的图象在y ＝x 的图象下方，故mn <1.答案 C题型三 利用幂函数的性质比较大小规律方法 比较幂值大小的三种基本方法例3、比较下列各组数中两个数的大小：(1)3.0)52(与3.0)31(；(2)1)32(--与1)53(--解析：(1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，又3152>，所以3.03.0)31()52(>. (2)因为幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又5332-<-，所以11)53()32(--->-. 【探究1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为")31()52("3.03.0-与，则二者的大小关系如何？ 解析：因为3.03.03)31(=-，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，又352<，所以3.03.03)52(<.即3.03.0)31()52(-<. 【探究2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为"3.0)52("523.0与，则二者的大小关系如何？ 解析：因为x y )52(1=在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以523.0)52()52(>，又因为函数522x y =在(0，＋∞)上为增函数，且3.052>，所以52523.0)52(>，所以523.03.0)52(>.【变式训练3】 比较下列各组数的大小：(1)33)5.2()2(----与；(2)8787)91(8---与；(3)533252)9.1()8.3()1.4(--与与.解析：(1)∵幂函数3-=x y 在)0,(-∞上为减函数， 又5.22->- ∴33)5.2()2(---<-(2)∵87x y =在),0(+∞上为增函数，9181,)81(88787>-=--，∴8787)91()81(-<-，∴8787)91(8-<--(3)∵11)1.4(5252=>，11)8.3(03232=<<--，0)9.1(53<-，533252)9.1()8.3()1.4(->>-∴考向一 幂函数的凸凹性 （1）上凸函数、下凸函数的定义设函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对于],[b a 中任意不同两点21,x x ，2)()()2(2121x f x f x x f +≥+都成立，则称)(x f 在],[b a 上是上凸的函数，即上凸函数。