北师大版高中数学必修一教案简单幂函数的图象和性质 Word版含解析 (1)

5 简单的幂函数如果一个函数的底数是自变量x ，指数为常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．例如y ＝x 2，13y x -=，y =y ＝x π等都是幂函数．谈重点 幂函数的形式特征 (1)幂x α的系数是1；(2)幂的底数为自变量x 而不是x 的其他代数式，如2x 或x －1等；(3)幂的指数位置的数是常数，指数α确定则幂函数确定．对于形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…等形式的函数都不是幂函数．【例1－1】下列函数是幂函数的为( )．①21y x=；②y ＝2x 2；③y ＝x 2＋x ；④y ＝(x －2)3；⑤y ＝1. A ．①⑤ B ．② C ．① D ．①②④ 解析：函数21y x=可写成y ＝x －2的形式，是幂函数；y ＝2x 2的系数不是1，y ＝x 2＋x 等式右边是两个幂和的形式，y ＝(x －2)3底数不是自变量x ，y ＝1与y ＝x 0(x ≠0)不是同一函数，所以它们都不是幂函数．答案：C解技巧 幂函数的本质特征幂函数y ＝x α(α∈R )的本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．【例1－2】若函数y ＝(a 2－3a －3)x 2为幂函数，则a 的值为________．解析：根据幂函数的定义，若函数y ＝(a 2－3a －3)x 2为幂函数，则x 2的系数必为1，即a 2－3a －3＝1，所以a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或a ＝4.答案：－1或42．几个常见幂函数的图像特征及性质 根据课程标准的要求，在中学阶段我们只关注y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，12y x =和y ＝x －1这5个幂函数．下面，在同一平面直角坐标系内作出它们的图像，并观察其图像特征．从上面的5(1)幂指数α＝－1,1,3时，对应幂函数的图像分布于第一、三象限，且都关于原点对称． (2)幂指数α＝2时，对应幂函数的图像分布于第一、二象限，它关于y 轴对称．(3)幂指数12α=时，对应幂函数的图像只分布于第一象限．(4)在第一象限内，①图像都过点(1,1)；②当幂指数12α=，1,2,3时，对应的幂函数图像从左向右呈上升趋势，且在(1，＋∞)上，α的值越大，图像越靠上；③当幂指数α＝－1时，对应的幂函数图像从左向右呈下降趋势．析规律幂函数的性质一般地，幂函数y＝xα有以下性质：当α＞0时：①图像都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；③在第一象限内，α＞1时，图像是向下凸的；0＜α＜1时，图像是向上凸的；④在第一象限内，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展，而且α的值越大，图像越靠上．当α＜0时：①图像都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图像是向下凸的；③在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；④在第一象限内，过(1,1)点后，|α|越大，图像下落的速度越快．当α为奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称．【例2－1】幂函数y＝xα中α的取值集合C是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为()．A．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C．11,,1,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭解析：根据幂函数y＝x－1，y＝x0，12y x=，y＝x，y＝x2，y＝x3的图像和解析式可知，当α＝－1，12，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．答案：C【例2－2】下列函数在(－∞，0)上为减函数的是()．A．13y x=B．y＝x2C．y＝x3D．y＝x－2解析：对于函数13y x=和y＝x－2的单调性我们不太熟悉，但对于y＝x2的图像和性质我们记忆深刻，知道y＝x2在(－∞，0)上为减函数．故选B.答案：B【例2－3】图中的曲线是四个幂函数在第一象限内的图像，记曲线C1，C2，C3，C4.对应幂函数的幂指数分别为a，b，c，d，则a，b，c，d的大小顺序正确的一组是()．A ．a ＞b ＞c ＞dB ．c ＞d ＞a ＞bC ．a ＞b ＞d ＞cD ．c ＞d ＞b ＞a解析：因为在第一象限内，曲线C 1，C 2的函数值随x 的增大而增大，所以a ＞0，b ＞0；又因为C 1的图像是下凸的，C 2的图像是上凸的，所以a ＞1,0＜b ＜1.因为曲线C 3，C 4的函数值随x 的增大而减小，所以c ＜0，d ＜0；又因为当指数为负时，过(1,1)点后，|a |越大，图像下落的越快，所以d ＜c .故a ，b ，c ，d 的大小顺序为a ＞b ＞c ＞d .答案：A析规律 幂函数的图像变化规律在第一象限内，幂函数y ＝x α的过(1,1)点后的图像越靠上，幂指数越大；图像越靠下，幂指数越小．【例2－4】比较下列各数的大小： (1)1.10.9与0.90.9；(2)2.5－2与2.4－2.分析：两个幂比较大小，若两个幂指数相同，则构造幂函数，利用幂函数的单调性比较幂的大小．对于幂函数y ＝x α，当α＞0时，在区间(0，＋∞)上是增函数；当α＜0时，在区间(0，＋∞)上是减函数．解：(1)考察幂函数y ＝x 0.9，由于该函数在(0，＋∞)上是增函数，且1.1＞0.9，所以1.10.9＞0.90.9.(2)考虑幂函数y ＝x －2，由于该函数在(0，＋∞)上是减函数，又2.5＞2.4，所以2.5－2＜2.4－2.3．幂函数解析式的确定幂函数y ＝x α的解析式比较简单，仅含有一个参数α，因此，指数α确定则幂函数确定．常见的求幂函数解析式的题型有：(1)已知幂函数图像上一个点的坐标，求其解析式．这时，常用待定系数法，先设幂函数的解析式为y ＝x α，再把已知点的坐标代入，得到关于参数α的一个指数方程，然后解方程求出α，从而确定幂函数的解析式．(2)已知一个含有参数的幂函数解析式和此函数的一个性质，求其解析式．这时常常结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征来确定参数的值．【例3－1】已知函数f (x )为幂函数，并且过(2)点，则f (x )＝________. 解析：∵函数f (x )为幂函数， ∴可设其解析式为f (x )＝x α.∵f (x )的图像过(2)点，∴f (2)，即2α，∴12α=.故f (x )＝12x .答案：12x【例3－2】已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则m 的值为( )．A ．m ＝2B ．m ＝－1C ．m ＝－1，或m ＝2D ．m ≠解析：因为函数2223(1)m m y m m x --=--是幂函数，所以，根据幂函数的定义可得，m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝－1，或m ＝2.又因为当x ∈(0，＋∞)时幂函数为减函数，所以，根据幂函数的性质可知，m 2－2m －3＜0，把m ＝－1,2依次代入不等式，经检验m＝－1不符合不等式，故只有m ＝2.此时幂函数解析式为y ＝x －3.答案：A4．幂函数的单调性证明我们常用函数单调性的定义证明幂函数的单调性，其基本步骤为：取值—作差变形—定号—判断．在比较两个函数值的大小时，除了用作差法外，结合幂函数的特点亦可采用作商法，即任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，作商21()()f x f x ，当此值大于1时为增函数，当此值小于1时为减函数(此时f (x 1)＞0)．【例4】证明函数f (x )[0，＋∞)上是增函数．证明：(方法1)任取x，x ∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝＝0，即f (x 1)＜f (x 2)．由函数单调性的定义可知，f (x )[0，＋∞)上是增函数． (方法2)任取x 1，x2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则12x x ＜1，且f (x 2)＞0， ∴12()1()f x f x ==<， 即f (x 1)＜f (x 2)，由函数单调性的定义可知，f (x )[0，＋∞)上是增函数． 5．函数奇偶性的概念及图像特征一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f (x )中，f (x )和f (－x )的绝对值相等，符号相反，即f (－x )＝－f (x )；反之，满足f (－x )＝－f (x )的函数y ＝f (x )一定是奇函数．图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f (x )中，f (x )和f (－x )的值相等，即f (－x )＝f (x )；反之，满足f (－x )＝f (x )的函数y ＝f (x )一定是偶函数．当函数f (x )是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性．谈重点 奇函数、偶函数定义的理解(1)如果函数f (x )是奇函数或偶函数，那么函数f (x )的定义域一定关于原点对称．因为若x 属于f (x )的定义域，－x 也必须属于f (x )的定义域，这样才能保证函数图像关于原点对称或关于y 轴对称．所以，定义域无此特征的函数一定既不是奇函数也不是偶函数．(2)当函数f (x )是奇函数或偶函数时，f (－x )＝－f (x )与f (－x )＝f (x )应对定义域内的每一个x 都成立．(3)若函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝－f (x )与f (－x )＝f (x )同时成立，则函数f (x )既是奇函数又是偶函数．如函数f (x )＝0，x ∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．(4)若奇函数f (x )在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.因为f (x )为奇函数时，对于定义域内的任意x ，有f (－x )＝－f (x )成立，从而有f (－0)＝－f (0)，故f (0)＝0，这是奇函数的一条非常重要的性质，在做题时要引起重视．(5)在研究函数时，如果知道其图像具有关于y 轴或原点对称的特点，那么我们可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半，从而减少工作量．【例5－1】下面四个结论：①偶函数的图像一定与y 轴相交；②奇函数的图像一定过原点；③偶函数的图像一定关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是y ＝0(x ∈R )．其中正确的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：可结合我们已学过的函数及奇、偶函数的图像特征来判断．偶函数的图像一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如函数y＝x0，y＝x－2都是偶函数，但它们的图像不与y 轴相交，故①错误，③正确；奇函数的图像关于原点对称，但不一定过原点，如y＝x－1，故②错误；若函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，如x∈(－1,1)，只要其定义域关于原点对称即可，故④错误．所以，四个结论中只有③正确，故选A.答案：A【例5－2】已知函数f(x)(x∈R)是偶函数，则下列各点中必在函数y＝f(x)图像上的是()．A．(－a，f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，－f(a))解析：因为函数f(x)(x∈R)是偶函数，所以，若点(a，f(a))在函数y＝f(x)的图像上，由偶函数的图像关于y轴对称可知，点(a，f(a))关于y轴的对称点(－a，f(a))必在函数图像上．判断函数奇偶性的方法主要有定义法和图像法．利用定义判断函数y＝f(x)奇偶性的步骤是：(1)首先考查函数的定义域是否关于原点对称．若定义域关于原点对称，再进行第二步；若不关于原点对称，则说明函数是非奇非偶函数．(2)验证f(－x)与f(x)的关系．若f(－x)＝－f(x)，则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则函数为偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则函数既不是奇函数，也不是偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数．也可利用函数的图像特征来判断函数的奇偶性，即函数图像关于原点对称，则为奇函数；函数图像关于y轴对称，则为偶函数；函数图像关于原点和y轴均对称，则既是奇函数也是偶函数；函数图像关于原点和y轴均不对称，则既不是奇函数也不是偶函数．【例6－1】下列函数中是偶函数的是()．A．y＝2|x|－1，x∈[－1,2]B．y＝x2＋xC．y＝x3D．y＝x2，x∈[－1,0)∪(0,1]解析：在A中，因为函数y＝2|x|－1的定义域[－1,2]不关于原点对称，故不是偶函数；在B中，函数y＝x2＋x的定义域为R，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x≠f(x)，不是偶函数；在C中，函数y＝x3的定义域为R，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，此函数是奇函数；在D中，函数y＝x2的定义域[－1,0)∪(0,1]关于原点对称，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，故此函数是偶函数．答案：D【例6－2】下图是根据y＝f(x)绘出来的，则表示偶函数的图像是图中的________．(把正确图像的序号都填上)解析：(3)关于y答案：(3)7．利用函数的奇偶性求值或比较大小利用函数的奇偶性可以求函数值或代数式的值，也可以比较两个函数值的大小．例如，如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，试作出y轴右侧的图像并求出f(3)的值．根据奇函数的定义，函数y＝数图像上，由此可将图像补充如下：由图像可知f(3)＝－2.该题也可用奇函数的定义来解．由图像可得，f(－3)＝2.根据奇函数定义，得f(－3)＝－f(3)，所以，f(3)＝－f(－3)＝－2.【例7－1】函数f(x)＝x＋a2－1是定义在区间(－a2,2a＋3)上的奇函数，则a2 013的值为________．解析：因为函数f(x)＝x＋a2－1是定义在区间(－a2,2a＋3)上的奇函数，所以，其定义域应关于原点对称，故(－a2)＋(2a＋3)＝0，即a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3.又因为函数f(x)在x＝0处有意义，所以f(0)＝0，即a2－1＝0，所以a＝1或a＝－1.综上可知a＝－1，因而a2 013＝(－1)2 013＝－1.答案：－1【例7－2】定义在R上的偶函数f(x)在x＞0上是增函数，则()．A．f(3)＜f(－4)＜f(－π) B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)C．f(3)＜f(－π)＜f(－4) D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)解析：∵f(x)在实数集R上是偶函数，∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．而3＜π＜4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(3)＜f(π)＜f(4)，即f(3)＜f(－π)＜f(－4)．答案：C【例7－3】已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝()．A．4B．2C．0D．不确定解析：因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.当x＝2时，由f(2＋x)＝f(2－x)得f(4)＝f(0)＝0.答案：C8．利用函数的奇偶性求函数的解析式定义域关于原点对称的函数，若已知它一侧的解析式，可利用它的奇偶性求出另一侧的解析式．求解方法是：求谁设谁，然后转化到已知的区间上，再利用函数的奇偶性解出要求的f(x)．【例8】已知函数是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f(x)＝－x＋1，则f(x)的解析式为________．解析：设x＜0，则－x＞0.∵当x≥0时，f(x)＝－x＋1，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1.∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴当x＜0时，f(x)＝x＋1.∴f(x)的解析式为f(x)＝1010.x xx x-+≥⎧⎨+<⎩，，，答案：f(x)＝1010x xx x-+≥⎧⎨+<⎩，，，9．利用函数的奇偶性判断函数的单调性函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要性质．根据奇偶函数的图像特征，可以发现，奇函数在y轴的一侧图像上升时，那么它在y轴的另一侧图像也上升；偶函数在y轴的一侧图像上升时，那么它在y轴的另一侧图像则下降．利用这一性质，我们可以判断函数的单调性．例如：下图是偶函数f(x)的一部分图像，则该函数的单调递增区间是________．f(x)左侧的图像，如下图，观察图像可得该函数的单调递增区间是(－4，－2)，(0,2)，(4，＋∞)．也就是说，偶函数在y轴右侧的单调递减区间关于原点的对称区间，就是函数在y轴左侧的单调递增区间．根据这一结论，不补充图像也可写出该函数的所有单调递增区间．【例9】已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)＜0，试问F(x)＝1 f x()在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．分析：根据函数奇偶性与单调性的关系可知，f (x )在(－∞，0)上是增函数，故F (x )＝1f x ()在(－∞，0)上是减函数，要证明此函数的单调性，根据函数的增减性的定义，可以任取x 1＜x 2＜0，进而判定F (x 1)－F (x 2)＝21121211f x f x f x f x f x f x ()-()-=()()()⋅()的正负．为此，需分别判定f (x 1)，f (x 2)与f (x 2)－f (x 1)的正负，而这可以从已知条件中推出．解：函数F (x )＝1f x ()在(－∞，0)上是减函数，下面进行证明：任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则有－x 1＞－x 2＞0.∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )＜0， ∴f (－x 2)＜f (－x 1)＜0.①又∵f (x )是奇函数，∴f (－x 2)＝－f (x 2)，f (－x 1)＝－f (x 1)．② 由①②得f (x 2)＞f (x 1)＞0.于是F (x 1)－F (x 2)＝21121211f x f x f x f x f x f x ()-()-=()()()⋅()＞0， 即F (x 1)＞F (x 2)．∴F (x )＝1f x ()在(－∞，0)上是减函数．解技巧 抽象函数单调性的证明1．本例为抽象函数问题，证明函数单调性的主要方法是定义法，证明时，应在(－∞，0)内任取x 1，x 2，且令x 1＜x 2，并通过考察其相反数－x 1＞－x 2＞0，充分利用已知条件有针对性地进行证明．2．本题最容易发生的错误是受已知条件的影响，一开始就在(0，＋∞)内任取x 1＜x 2展开证明．这样就不能保证－x 1，－x 2在(－∞，0)内的任意性而导致错误．10．利用函数的奇偶性和单调性解抽象函数不等式例如：设f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f (2a 2＋a ＋1)＜f (3a 2－2a ＋1)，求a 的取值范围．要求a 的取值范围，就要列关于a 的不等式(组)，因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”是关键．由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增知，f (x )在(0，＋∞)上递减．∵2a 2＋a ＋1＝2⎝⎛⎭⎫a ＋142＋78＞0， 3a 2－2a ＋1＝3⎝⎛⎭⎫a －132＋23＞0， 且f (2a 2＋a ＋1)＜f (3a 2－2a ＋1)， ∴2a 2＋a ＋1＞3a 2－2a ＋1， 即a 2－3a ＜0. 解得0＜a ＜3.故a 的取值范围是(0,3)．【例10】若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )＞0的x 的取值范围是( )．A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以它的图像关于y 轴对称．又它在(－∞，0]上是减函数，所以可知该函数在(0，＋∞)上为增函数．根据这些特征及f (2)＝0，可作出它的图像(如下图)，观察图像可得，使f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：D析规律抽象函数不等式的解法求解抽象函数不等式，一般是借助于函数的图像，利用函数的性质(奇偶性、单调性等)，等价转化不等式，得出不等式的解集．判断分段函数的奇偶性时，往往不知如何下手，突破方法是理解分段函数与函数奇偶性的含义，利用定义法判断分段函数的奇偶性．其判断方法是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(－x)与f(x)的关系．这里要特别注意x与－x的范围，将它代入相应段的函数表达式中，不能混代．虽然f(x)与f(－x)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较即可．有些时候，可以先画出分段函数的图像，再借助对称性来判断奇偶性．【例11】判断函数f(x)＝(1),0,(1),0x x xx x x->⎧⎨-+≤⎩的奇偶性．解：函数f(x)的定义域是(－∞，0]∪(0，＋∞)＝R，其关于原点对称．当x＞0时，有f(x)＝x(x－1)，－x＜0，∴f(－x)＝－(－x)·(－x＋1)＝－x(x－1)＝－f(x)；当x＜0时，有f(x)＝－x(x＋1)，－x＞0，∴f(－x)＝f(－x)(－x－1)＝x(x＋1)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，f(－0)＝0＝－f(0)，综上可得，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)是奇函数．谈重点分段函数奇偶性的判断1．分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用．2．判断分段函数的奇偶性，首先要判断其定义域是否关于原点对称．12．抽象函数奇偶性的判断方法没有给出函数f(x)的解析式，仅给出了f(x)满足的条件(通常至少有一个恒等式)，这样的函数f(x)称为抽象函数．由于解决抽象函数的策略是赋值法，因此判断抽象函数的奇偶性也是利用赋值法凑出f(－x)与f(x)的关系式．例如：已知函数f(x)的定义域是不为0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．求证：f(x)是偶函数．函数的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称．根据偶函数的定义，只需证f(－x)＝f(x)．令x1＝x2＝1，由f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)可得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0.∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f[(－1)·x]＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．【例12】已知定义在实数集上的函数y＝f(x)满足条件：对于任意的x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．求证：(1)f(0)＝0.(2)f(x)是奇函数，试举出两个这样的函数．(3)若当x≥0时，f(x)＜0，①试判断函数f(x)在R上的单调性，并证明之；②判断函数|f(x)|＝a所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围．证明：(1)∵对于任意的x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.(2)令y＝－x，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，即f(0)＝f(x)＋f(－x)．∵f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．故f(x)是奇函数．例如：y＝－2x，y＝3x.(3)①函数f(x)在R上是减函数，下面进行证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0.∵当x≥0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.又∵f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)，∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．∴函数f(x)在R上是减函数．②根据函数f(x)的单调性可知，当a＞0时，|f(x)|＝a的解有两个；当a＝0时，|f(x)|＝a的解有一个；当a＜0时，|f(x)|＝a无解．。

§5 简单的幂函数一、课标三维目标：1．知识技能：了解简单幂函数的概念；通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2．过程与方法：通过作函数图像，让学生体会幂函数图像的特点，会利用定义证明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。

3．情感、态度、价值观：进一步渗透数形结合与类比的思想方法；培养从特殊归纳出一般的意识，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。

二、教学重点与难点：重点：幂函数的概念，函数奇、偶性的概念。

难点：判断函数的奇偶性。

三、学法指导：通过数形结合，类比、观察、思考、交流、讨论，理解幂函数的概念和函数的奇偶性。

四、教学方法：对奇偶性要求不高，题目不需要过难，尽量用多媒体和计算机画函数的图像，重在从图上看出图像关于谁对称，着重从对称的角度应用这一性质，培养学生自己归纳总结的能力。

五、教学过程：（一）创设情境（生活实例中抽象出几个数学模型）1.如果张红购买每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要付的钱数p=x元,这里p是s的函数.2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数4.如果正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=S1/2,这里a是S的函数.5.如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v=t-1km/s,这里v 是t的函数.【思考】上述函数解析式有什么形式特征？具有什么共同点？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，板书课题并归纳幂函数的定义。

）（二）探究幂函数的概念、图象和性质1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y = xα，这样的函数称为幂函数．如【练】为了加深对定义的理解，让学生判别下列函数中有几个幂函数？22x 23212(1)y =x +x (2)y = (3)y = (4)y =2 (5)y =2x (6)y =x x x 2.幂函数的图象和性质【1】通过几何画板演示让学生认识到，幂函数的图象因a 的不同而形状各异【2】引导学生从5个具体幂函数的图象入手，研究幂函数的性质① 画出12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象（重点画y=x 3和y=x 1/2的图象----学生画，再用几何画板演示）学生活动：1.学生自己说出作图步骤，交流讨论单调性。

简单的幂函数教学目的：了解简单幂函数的概念，理解图像和性质，理解函数奇偶性及图像特征，能基本运用；培养学生形数结合的能力，及图像对称性的审美能力。

教学重点：理解幂函数的图像和性质，理解函数奇偶性及图像特征。

难点：判断函数奇偶性，及运用幂函数的图像和性质、函数奇偶性解决问题。

教学过程：一.导入：观察--- 正比例函数 y=x （即x1 )反比例函数 y= （即x-1)二次 函数 y=x 2（即x 2)-------------三者有何共性？ 二.知识构建： 1．幂函数 （1）定义：（略）[注] 哪个是幂函数？ A.y=2x B.y=x2 C.y=xx D. y=-x2 [答] B （2）图像：【探究1】幂函数y=x 3【探究2】幂函数y=x1/2 【2、（3）性质：(引导学生发现下列特点) 1).特征点：(1,1)?; (0,0)?2).单调性：略. 2.函数的奇偶性【观察1】以上各幂函数图像关于y 轴对称吗？偶函数定义：若一个函数的图像关于y 轴对称，则称之为偶函数.【观察2】以上各幂函数图像关于原点对称吗？奇函数定义：若一个函数的图像关于坐标原点对称，则称之为奇函数.【观察3】奇偶函数的图像有什么特点吗？（通过观察课件，知：）偶函数满足f(-x )=f(x )， 奇函数满足f(-x )=-f(x ) 【设问2】以上各幂函数x 1、x -1、x 3、x 2、x 1/2各有怎样的奇偶性？ 答：略.【观察4】哪些函数定义域关于原点O 对称？1.定义域对称O ？2.公式f(-x)成立？三.用法示范例1.已知f(x )=(2m 2-1)·x 是幂函数，且在区间 （0，+∞）上递增.(1)试求f(x)的解析式,并画图；(2)判断f(x)奇偶性及单调性.（黑板讲解分析后，图像可由课件给出）练习1：幂函数f(x)=(m-1)·xm-1.5,试画图象，并判断其单调性、奇偶性.213m m 212-+y（图像、答案由课件给出）例2.判断奇偶性，并说明图像特征：(1) f (x)=- 2x -1； (2) f(x)=x 2+2; (3) f(x)=(x-1) ; (4) f(x)= .. （黑板讲解分析后，图像可由课件给出）练习2：p50(1)、(2)、(3)、(4) （学生动手过程中，逐次给出由课件图像、答案） 四.小结（以课件诱导进行）【设问3】本节课学习的第一个核心内容是什么？-------幂函数: 1.特征点; 2.单调性.【设问4】本节课学习的第二个核心内容是什么？-------奇偶性: 1.图对称; 2.公式f(-x).五. 智力冲浪----激趣、提升及备用 你能解决下列问题吗？1.已知函数f(x)=ax2+bx+(3a+b)为偶函数，其定义域为[a-1,2a],求f(x)的值域.2.若(a+1)-1<(3-2a)-1,求实数a 的取值范围.3.若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0 时， f(x)=x(1-x). (1)求证：f(0)=0.(2)求当x ＞0时，f(x)的表达式. （结合课件诱导关键处，在黑板上推导）[答]:1.a=1/3,b=0.故(-∞，1];2. a<-1,或2/3<a<3/2.3.(1)f(-0)=-f(0);(2)x(1+x). 六.作业（略）1x x 122-+-x1x 1-+。

2019北师大版必修一《简单的幂函数》word 教案学习目标：1、 了解指数是整数的简单幂函数的概念，能够判断幂函数；2、 会利用定义判定、证明简单函数的奇偶性；3、 了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。

学习重点：幂函数的概念；奇偶性的定义及简单函数奇偶性的判定与证明。

难点：利用奇偶性画函数图像和研究函数 学习过程: 一、引入：我们已经很熟悉y=x 是正比例函数，y=x 2是二次函数， y=x1(即y=x -1)是反比例函数，它们有什么共同特点呢？根据这一特点它们有个怎样的共同名字？ 二、 阅读导学 阅读P 481，2两段，1、回答：一般的，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。

2、判断下列函数，其中那些是幂函数：y=x 3，y=x 2+x , y=2x 2, y=(2x)4幂函数的系数是 底数是 ， 是任意实数。

例1画出函数f(x)= x 3的图像，讨论其单调性。

再用描点法画出图像： 从图像上可以看出f(x)= x 3是R 上的 函数阅读P 483、观察f(x)= x 3的图像，说出他有那些特征？什么是奇函数？奇函数满足关系式 ？4、观察f(x)= x 2的图像说出他有那些特征？什么是偶函数？偶函数满足关系式 ？例2判断f(x)= -2x 2和g(x)= x 4+2的奇偶性 方法小结：三、 动手实践在P 49图2-28中，只画出了函数图像的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据 结论：四、 自我展示1、下列函数中是幂函数的是（ ）①y=21x②y=ax m (a,m 为非零常数，且a ≠1)③y=x 31+ x 2④y= x π⑤y=(x-1)32、画出下列函数图像，判断奇偶性 f(x)= -x3 y=x 2,x ∈(]33-，f(x)=3x 2-3 f(x)=2(x+1)2+1 五、拓展练习1.已知y=(m 2+2m-2)x 112-m+2n-3是幂函数，求m,n 的值。

§5 简单的幂函数知识点一 幂函数性质与图像[填一填]1．幂函数如果一个函数,底数是自变量x ,指数是常数α,即y ＝x α,这样的函数称为幂函数． 2．幂函数性质与图像所有的幂函数在(0,＋∞)上有定义,并且图像都过点(1,1),如果α>0,则幂函数的图像还过(0,0),并在区间[0,＋∞)上递增；如果α<0,则幂函数在区间(0,＋∞)上递减,在第一象限内,当x 从右边趋向于原点时,图像与y 轴无限接近；当x 趋向于＋∞时,图像与x 轴无限接近．[答一答]1．幂函数y ＝x α的图像在第一象限内有何特征？提示：幂函数y ＝x α的图像在第一象限内具有如下特征：直线x ＝1,y ＝1,y ＝x 将直角坐标平面在第一象限的直线x ＝1的右侧分为三个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)如图：则α∈(1,＋∞)⇔y ＝x α的图像经过区域(Ⅰ) ,如y ＝x 2； α∈(0,1)⇔y ＝x α的图像经过区域(Ⅱ),如y ＝x ； α∈(－∞,0)⇔y ＝x α的图像经过区域(Ⅲ),如y ＝1x.并且在直线x ＝1的右侧,从x 轴起,幂函数y ＝x α的指数α由小到大递增,即“指大图高”、“指小图低”,在直线x ＝1的左侧,图像从下到上,相应的指数由大变小．知识点二 奇函数与偶函数[填一填]3．奇函数与偶函数(1)一般地,图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中,f(x)与f(－x)绝对值相等,符号相反,即f(－x)＝－f(x)；反之,满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．(2)一般地,图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中,f(x)与f(－x)的值相等,即f(－x)＝f(x)；反之,满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称函数f(x)具有奇偶性．[答一答]2．(1)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义,则f(0)的值是否唯一确定？提示：若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义,由f(0)＝－f(0)可知,f(0)＝0,故f(0)的值是唯一确定的,即一定有f(0)＝0.(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,最值相同吗？提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,最值不同．1．幂函数图像的分布特点和规律幂函数在第一象限内的图像,在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧,按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像和性质(1)当α>0时,图像过点(1,1),(0,0)且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间[0,＋∞)上是单调增函数．(2)当α<0时,幂函数y＝xα图像的基本特征：过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,＋∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴．(3)当α为奇数时,幂函数为奇函数；当α为偶数时,幂函数为偶函数．3．奇、偶函数图像对称性的缘由若函数f(x)是奇函数,对函数f(x)图像上任一点M(x,f(x)),则点M关于原点的对称点为M′(－x,－f(x))．又f(－x)＝－f(x),则有M′(－x,f(－x)),所以点M′也在函数f(x)的图像上,所以奇函数的图像关于原点对称．同理可证偶函数的图像关于y轴对称．4．奇、偶函数图像的几点说明(1)一个函数为偶函数,其图像一定关于y轴对称,但是却不一定与y轴相交．(2)既是奇函数又是偶函数的函数图像在x轴上．如y＝0,x∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．(3)从图像上看：函数的奇偶性体现的是对称性,单调性体现的是升降性．(4)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像,画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.类型一幂函数的概念【例1】已知函数y＝(m2－m－5)x m＋1是幂函数,求m的值,并写出函数解析式．【思路探究】幂函数的解析式形如y＝xα(α∈R),幂值前面的系数为1,底数为x,α∈R为常数．【解】 ∵y ＝(m 2－m －5)x m＋1为幂函数,∴y 可以写成y ＝x α(α为常数)的形式, ∴m 2－m －5＝1,解得m ＝3或m ＝－2. 当m ＝3时,m ＋1＝4,此时y ＝x 4； 当m ＝－2时,m ＋1＝－1,此时y ＝x －1.规律方法 判断一个函数是否为幂函数,依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式．幂函数的解析式为一个幂的形式,且满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反过来,若一个函数为幂函数,则该函数也必具有上述形式,这是我们解决某些问题的一个隐含条件．(1)以下四个函数：y ＝x 0；y ＝x －2；y ＝(x ＋1)2；y ＝2·x 13 中,是幂函数的有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：形如y ＝x α(α为常数)的函数为幂函数,所以只有y ＝x 0,y ＝x －2为幂函数．(2)f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数,则实数m ＝2或－1.解析：f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数,所以m 2－m －1＝1,解得m ＝－1或2. 类型二 幂函数的性质【例2】 幂函数y ＝x α中α的取值集合C 是{－1,0,12,1,2,3}的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C 为( )A ．{－1,0,12}B ．{12,1,2}C ．{－1,12,1,3}D ．{12,1,2,3}【思路探究】 根据常见的幂函数的图像与性质进行逐一判断．【解析】 根据幂函数y ＝x －1,y ＝x 0,y ＝x 12,y ＝x ,y ＝x 2,y ＝x 3的图像和解析式可知,当α＝－1,12,1,3时,相应幂函数的值域与定义域相同．【答案】 C规律方法 1.画幂函数的图像时,可先画出其在第一象限内的图像,再由定义域、单调性、奇偶性得出在其他象限内的图像．2．幂函数图像的特征：(1)在第一象限内,直线x ＝1的右侧,y ＝x α的图像由上到下,指数α由大变小；在第一象限内,直线x ＝1的左侧,y ＝x α的图像由上到下,指数α由小变大．(2)当α>0时,幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点,在第一象限内,当0<α≤1时,曲线上凸；当α≥1时,曲线下凸；当α<0时,幂函数的图像都经过(1,1)点,在第一象限内,曲线下凸．如图,图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图像．已知α取－2,－12,12,2四个值,则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α的值依次为( B )A ．－2,－12,12,2B ．2,12,－12,－2C ．－12,－2,2,12D ．2,12,－2,－12解析：解法1：在第一象限内,在直线x ＝1的右侧,y ＝x α的图像由上到下,指数α由大变小,故选B.解法2：赋值法．令x ＝4,则4－2＝116,4－12＝12,412＝2,42＝16,易知选B.类型三 幂函数性质的应用【思路探究】 注意分情况讨论要做到不重不漏．先根据条件确定m 的值,再利用幂函数的增减性求实数a 的取值范围．【解】 因为函数在(0,＋∞)上递减, 所以m 2－2m －3<0,解得－1<m <3. 又因为m ∈N ＋,所以m ＝1或2,由函数图像关于y 轴对称知,m 2－2m －3为偶数,所以m ＝1.把m ＝1代入不等式得(a ＋1) － 13<(3－2a ) － 13.因为y ＝x － 13在(－∞,0)和(0,＋∞)上均递减,所以有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ,解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围是(－∞,－1)∪(23,32)．规律方法 作直线x ＝m (m >1),它与若干个幂函数的图像相交,交点从上到下的排列顺序正是幂指数的降序排列,故可利用其比较指数α的大小．(1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ,则m 的取值范围是m >0.解析：根据幂函数y ＝x 1.3的图像,当0<x <1时,0<y <1,所以0<0.71.3<1,又根据幂函数y ＝x 0.7的图像,当x >1时y >1,所以1.30.7>1,于是有0.71.3<1.30.7,又(0.71.3)m <(1.30.7)m ,所以m >0. (2)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2,22),试求出此函数的解析式,并作出图像,判断奇偶性、单调性．解：设幂函数解析式为y ＝x α,将点(2,22)的坐标代入,得2α＝22,解得α＝－12,所以函数的解析式y ＝x － 12.定义域为(0,＋∞),它不关于原点对称,所以,y ＝f (x )是非奇非偶函数．当x >0时,f (x )是单调减函数,函数的图像如图．下面用定义证明y ＝x － 12 ＝1x 在(0,＋∞)上为减函数：设x 1,x 2∈(0,＋∞),且x 1<x 2,则Δx ＝x 2－x 1>0, Δy ＝y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2(x 1＋x 2)＝－Δxx 1x 2(x 1＋x 2)<0,所以y ＝x － 12 ＝1x 在(0,＋∞)上为减函数．类型四 函数奇偶性的判断 【例4】 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 4＋3x 2； (2)f (x )＝x －1x ；(3)f (x )＝0,x ∈(－1,1]； (4)f (x )＝－2x ＋1.【思路探究】 先确定函数的定义域是否关于原点对称,再看f (－x )与f (x )之间的关系． 【解】 (1)函数f (x )的定义域为R ,关于原点对称． ∵f (－x )＝(－x )4＋3(－x )2＝x 4＋3x 2＝f (x ), ∴函数f (x )为偶函数．(2)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0},关于原点对称． ∵f (－x )＝－x －1－x ＝－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝－f (x ), ∴函数f (x )为奇函数．(3)函数f (x )的定义域为(－1,1],不关于原点对称, 故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ,关于原点对称． ∵f (－x )＝－2(－x )＋1＝2x ＋1≠±f (x ), ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 规律方法 1.用定义判断函数奇偶性的步骤是：2．在客观题中,多个函数有公共定义域时也可以利用如下性质判断函数的奇偶性： (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； (2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)两个奇函数的积为偶函数,两个奇函数的商(分母不为零)也为偶函数； (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋1x 3；(2)f (x )＝x － 53； (3)f (x )＝x 4＋1x 2＋1；(4)f (x )＝2－x ＋x －2.解：(1)函数f (x )＝x 3＋1x 3的定义域是(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称．又∵f (－x )＝－x 3＋1－x 3＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 3＝－f (x ), ∴函数f (x )＝x 3＋1x3是奇函数．(2)函数f (x )＝x － 53的定义域是(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称． 又∵f (－x )＝(－x ) － 53＝13(－x )5＝－13x 5＝－x － 53＝－f (x ),∴函数f (x )＝x － 53是奇函数．(3)函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的定义域是R ,关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x ),∴函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1是偶函数．(4)函数f (x )＝2－x ＋x －2的定义域为{2},不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．类型五 利用函数奇偶性求函数的解析式【例5】 若f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )＝x (1－x ),求当x ≥0时,函数f (x )的解析式．【思路探究】 解决本题的关键是利用奇函数的关系式f (－x )＝－f (x )将x <0时f (x )的解析式转化到x >0上．同时要注意f (0)＝0.【解】 ∵f (x )是奇函数,∴当x >0时,f (x )＝－f (－x )＝－{(－x )[1－(－x )]}＝x (1＋x ), 当x ＝0时,f (0)＝－f (0),即f (0)＝0. ∴当x ≥0时,f (x )＝x (1＋x )．规律方法 1.解答本题时,很容易遗漏x ＝0的情况,在区间转化时要细心．2．利用函数的奇偶性求解函数的解析式,主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x ,即求哪个区间上的解析式,就设x 在哪个区间上．(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内．(3)利用函数奇偶性的定义f (x )＝－f (－x )或f (x )＝f (－x )求解所求区间内的解析式．(1)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数,其定义域为[a －1,2a ],则a ＝13,b ＝0.解析：因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数,且定义域为[a －1,2a ],所以a －1＋2a ＝0,a ＝13,所以f (－x )＝f (x )恒成立．所以－bx ＝bx ,所以b ＝0.(2)函数f (x )为R 上的奇函数,且当x <0时,f (x )＝x (x －1),则当x >0时,f (x )＝－x (x ＋1)． 解析：当x >0时,－x <0,所以f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1), 又因为f (x )为R 上的奇函数,所以f (－x )＝－f (x ),所以－f (x )＝x (x ＋1), 所以f (x )＝－x (x ＋1)．——易错误区—— 函数奇偶性判断中的误区【例6】 以下说法中：(1)函数f (x )＝5x 2,x ∈(－3,3]是偶函数．(2)f (x )＝x 3＋1x 是奇函数．(3)函数f (x )＝|x －2|是偶函数．(4)函数f (x )＝0,x ∈[－2,2]既是奇函数,又是偶函数．正确的有( )A ．(1)(2)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(3)(4)【错解】 选B 或选D【正解】 C 对于(1),函数f (x )＝5x 2,x ∈(－3,3]的定义域不关于原点对称①,故该函数是非奇非偶函数,故(1)错误．对于(2),函数f (x )＝x 3＋1x 的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),且能满足f (－x )＝－f (x ),所以是奇函数,故(2)正确．对于(3),函数f (x )＝|x －2|是由f (x )＝|x |的图像向右平移了两个单位得到的②,图像不关于y 轴对称,所以(3)错误．对于(4),函数f (x )＝0,x ∈[－2,2]图像既关于原点对称又关于y 轴对称,所以(4)正确,因此正确的只有(2)(4)．【错因分析】 1.忽视了①处函数的定义域x ∈(－3,3]不关于原点对称,出现只是根据f (－x )＝f (x )而判定为偶函数的错误；2．忽视了②处函数f (x )＝|x －2|的图像不关于y 轴对称,出现只看到绝对值,就认为是偶函数的错误．【防范措施】 1.定义域优先的原则由奇偶函数的定义,“对于函数定义域内任意一个x ,都有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )”可知,具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称．如本例中(1)函数f (x )＝5x 2,x ∈(－3,3]的定义域不关于原点对称,所以不具有奇偶性．2．注意图像的变换一些常用的图像平移、变换要牢记,如本例中函数f(x)＝|x－2|,就是要根据y＝|x|的图像特征来平移得到,因为函数y＝|x|的图像关于y轴对称,而向右平移2个单位后图像就不再关于y 轴对称,故可得结论．函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|是(C)A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：f(x)＝|x－2|－|x＋1|当x≥2时,f(x)＝x－2－x－1＝－3,当x≤－1时,f(x)＝2－x＋x＋1＝3,当－1<x<2时,f(x)＝2－x－x－1＝1－2x.画出图像如图．由图知f(x)为非奇非偶函数．一、选择题1．下列所给函数中,是幂函数的是(C)A．y＝－x3B．y＝3xC．y＝x 12D．y＝x2－1解析：幂函数的形式为y＝xα,只有C符合．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(A)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：∵α∈R,x>0,∴y＝xα>0,∴图像不可能经过第四象限,故选A.3．已知函数f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)＝x2＋2x,则当x<0时,f(x)＝(D)A．x2＋2x B．x2－2xC．－x2－2x D．－x2＋2x解析：令x<0,则－x>0,∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x,又∵f(x)为奇函数,∴f(x)＝－f(－x )＝－(x 2－2x )＝－x 2＋2x .二、填空题4．已知幂函数f (x )的图像经过点(2,2),则f (4)＝2. 解析：设f (x )＝x α,∴α＝12,∴f (4)＝412 ＝2.5．已知函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1的图像关于原点对称,则实数a ＝2.解析：由题意可知f (x )为奇函数,且奇函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1在x ＝0处有意义,∴f (0)＝0,∴a －21＝0,∴a ＝2. 三、解答题6．已知f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数,且在(0,＋∞)上单调递增．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1在区间[2,3]上的最小值h (a )． 解：(1)∵f (x )＝(m 2－2m －2)x m－1是幂函数,∴m 2－2m －2＝1,解得m ＝3或m ＝－1；又f (x )在(0,＋∞)上单调递增,∴m －1>0,∴m 的值为3.(2)函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2,当a <2时,g (x )在区间[2,3]上单调递增,最小值为h (a )＝g (2)＝5－4a ；当2≤a ≤3时,g (x )在区间[2,3]上先减后增,最小值为h (a )＝g (a )＝1－a 2； 当a >3时,g (x )在区间[2,3]上单调递减,最小值为h (a )＝g (3)＝10－6a .。

2.5简单的幂函数教案●三维目标1．知识与技能(1)了解简单幂函数的概念．(2)会用定义证明简单幂函数的奇偶性．(3)了解利用奇偶性画函数图像及研究函数的方法．2．过程与方法类比研究一般函数的方法研究幂函数的图像和方法．3．情感、态度与价值观在幂函数的研究过程中让学生体会数学的科学价值和应用价值，引导学生发现数学的对称美，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．●重点难点重点：幂函数的概念及函数奇偶性的概念．难点：简单幂函数的图像和性质，函数奇偶性的判断．幂函数的概念和性质的突破方法是通过教材中的实例，概括它们解析式的共性来获得幂函数的定义，再根据它们的图像概括出性质；函数的奇偶性的突破方法是让学生观察图像，归纳、猜想概括得出定义，从而也掌握了函数奇偶性的几何意义．●教学建议本节课可以采用直观式教学，启发学生，放手让学生去探索与研究，并在一旁适时地引导学生根据几个实例函数的公共特点归纳、总结幂函数的定义，对几个特殊幂函数的性质先进行初步探索，再根据研究的结果结合描点作图画出幂函数的图像，让学生观察和分析所作的图像，归纳得出图像特征，并由图像特征得到相应的函数性质及函数奇偶性的初步认识，让学生体会系统研究函数的方法．整个教学过程的绝大部分时间都留给学生，让学生动脑动手．通过对同类旧知识的回忆，引导学生利用数形结合，找出与新知识的连接点，并在对照、类比分析中找出规律．可以提高学生学习的积极性和自学能力，培养了他们的归纳演绎能力和创新思维习惯．●教学流程通过几何画板演示部分幂函数的图像，加深对定义的感性认识，为顺利引出幂函数定义作铺垫⇒利用图像，数形结合，理解幂函数的图像和性质⇒通过例1及其变式训练，加深对幂函数的概念及性质的理解⇒通过f(x)＝x3的图像关于原点对称并且对任意的xf(－x)＝(－x)3＝－x 3即f (－x )＝－f (x )，完成对定义的理解⇒通过例2及其变式训练，加深定义及证明步骤的理解和掌握⇒通过例3及其变式训练，加深对函数奇偶性的理解和应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第29页)课标解读1.了解幂函数的概念．2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图像，了解它们的变化情况．(难点、易混点)3．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(重点)【问题导思】我们学习过几种基本初等函数如正比例函数y ＝x ，反比例函数y ＝x －1，二次函数y ＝x 2.看下面两个例子：(1)如果正方体的棱长为x ，正方体的体积为y ； (2)如果正方形场地面积为x ，其边长为y .1．在第一个例子中，y 关于x 的函数关系式怎样？ 【提示】 y ＝x 3.2．在第二个例子中，y 关于x 的函数关系式怎样？ 【提示】 y ＝x 2.3．这两个问题中的函数关系式与y ＝x ，y ＝x －1，y ＝x 2有什么共同特点． 【提示】 从形式上看，它们只是指数不同． 1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数． 2．简单的幂函数的图像和性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示．从图中可以观察得到：【问题导思】画出函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 的图像．1．它们的图像具有怎样的对称性？【提示】 y ＝x ，y ＝1x的图像关于原点对称，y ＝x 2关于y 轴对称．2．在函数y ＝x 2中，x 取－1时和取1时的函数值相同吗？在函数y ＝1x 中呢？【提示】 在函数y ＝x 2中相同，在y ＝1x 中互为相反数．1．奇函数的定义一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f (x )中，f (x )和f (－x )的绝对值相等，符号相反，即f (－x )＝－f (x )．反之，满足f (－x )＝－f (x )的函数y ＝f (x )一定是奇函数．2．偶函数的定义一般地，图像关于y 轴对称，像这样的函数叫作偶函数．在偶函数 f (x )中，f (x )和f (－x )的值相等，即f (x )＝f (－x )；反之，满足f (x )＝f (－x )的函数y ＝f (x )一定是偶函数．3．奇偶性当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性.(见学生用书第30页)下列函数是幂函数的为()①y＝1x2；②y＝2x2；③y＝x2＋x；④y＝(x－2)3；⑤y＝1.A．①⑤B．②C．①D．①②④【思路探究】紧扣幂函数的概念，y＝xα的形式是解题的关键．【自主解答】函数y＝1x2可写成y＝x－2的形式，是幂函数；y＝2x2的系数不是1，y＝x2＋x等式右边是两个幂和的形式，y＝(x－2)3底数不是自变量x，y＝1与y＝x0(x≠0)不是同一函数，所以它们都不是幂函数．【答案】 C若一个函数是幂函数，则该函数一定是形如y＝xα(α为常数)的形式，即函数解析式的右边是一个幂的形式，其中指数为常数，底数为自变量，系数为1，这是我们解决某些问题的一个隐性条件．若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则a的值为________．【解析】根据幂函数的定义，若函数y＝(a2－3a－3)·x2为幂函数，则x2的系数必为1，即a2－3a－3＝1，所以a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4.【答案】－1或4判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋2x；(2)f(x)＝x2－|x|＋1；(3)f(x)＝x2x－1x－1；(4)f(x)＝0.【思路探究】首先判断定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看是否满足f(－x)＝±f(x)即可．【自主解答】(1)函数的定义域是R，又f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－(x3＋2x)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R，且f(－x)＝(－x)2－|－x|＋1＝x2－|x|＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(3)由于x－1≠0，所以x≠1，即函数的定义域是{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(4)由于f(x)＝0的定义域为R，且f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以f(x)既是奇函数，又是偶函数．1．判断函数的奇偶性时，首先考虑函数的定义域，并判断其是否关于原点对称．2．若定义域不关于原点对称，则函数f(x)不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，可再利用定义验证f(－x)与f(x)的关系．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2，x∈(－1,2)；(2)f(x)＝x3＋x，x∈[0,1]；(3)f(x)＝x x－1x－1，x∈(－1,1)．【解】(1)由于定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)因为定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由于x∈(－1,1)，且关于原点对称，所以f(x)＝x，且f(－x)＝－x＝－f(x)，因此，f(x)为奇函数.图2－5－1已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)在图2－5－1中画出函数f(x)的图像．【思路点拨】根据题中条件，当x>0时的解析式已知，需求x≤0时的解析式，故需借助奇函数的性质求解，根据对称性即可画出图像．【自主解答】(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ， 综上：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x >0，0， x ＝0，－x 2－2x ， x <0.(2)图像如图：1．奇、偶函数的图像有以下特征：若f (x )为奇函数，则它的图像关于原点对称，反之也成立；若f (x )为偶函数，则它的图像关于y 轴对称，反之也成立．这个结论提供了结合图像处理函数奇偶性问题的依据，也是数形结合思想的体现．2．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的表达式，求函数f (x )在区间[－b ，－a ]上的表达式的一般方法：设－b ≤x ≤－a ，则a ≤－x ≤b ；根据已知条件f (x )在区间[a ，b ]上的表达式可求得f (－x )的表达式；然后根据函数f (x )的奇偶性来实现函数的解析式在f (x )与f (－x )之间的相互转化(若函数f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )；若f (x )为偶函数，则f (x )＝f (－x ))．特别值得一提的是：设－b ≤x ≤－a ，转化为a ≤－x ≤b 是解决问题的关键．(1)已知函数是定义在R 上的偶函数，且x ≥0时，f (x )＝－x ＋1，则f (x )的解析式为________．(2)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )>0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】 设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝－x ＋1，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1. ∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴当x <0时，f (x )＝x ＋1.∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0.(2)由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以它的图像关于y 轴对称．又它在(－∞，0]上是减函数，所以可知该函数在(0，＋∞)上为增函数．根据这些特征及f (2)＝0，可作出它的图像(如下图)．观察图像可得，使f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．【答案】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0 (2) D。

简单的幂函数教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。

幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。

组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。

对于幂函数只需重点掌握这五个函数的图象和性质。

学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。

学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。

因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

教学目标知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想过程与方法：使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到对任一幂函数性质的分析情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。

重难点重点：从五个具体幂函数中认识并总结幂函数的性质难点: 画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律教学方法与手段借助多媒体，探究反思总结教学过程设计：一、创设情境，概念引入引言：数学就在我们身边，生活中处处有数学问题，比如，今天老师去买蛋糕，遇到以下问题：（1）蛋糕每块1元，买块所花的钱数=（2）蛋糕的每个面为正方形，假设边长为x，面积为=3蛋糕是正方体，若边长为x，体积为=4 蛋糕的每个面为正方形，面积为,则边长=（5）一大块蛋糕重1斤，将它平均分给人，每人分得整个蛋糕的比为=请问这些函数的解析式有什么共同特征都是函数; 均是以自变量为底的幂; 指数为常数; 自变量前的系数为1; 幂前的系数也为1 【设计意图】：从生活实例中发现数学问题，激发学生的学习兴趣,自然引出幂函数的一般特征二、抽象归纳，概念生成引导学生观察以上5个函数解析式的结构特征，归纳得出幂函数的定义1．幂函数定义：一般地，函数＝α叫做幂函数，其中是自变量，α是常数。

2.3 幂函数刘晓杰一．教学目的1．了解幂函数的概念2．理解幂函数的性质3．能从幂函数图象发现并理解幂函数的性质。

二．教学重点1．理解幂函数的性质三．教学难点1．从具体图象的性质推广到一般并概括出幂函数的性质四．教学过程1．复习前面2个基本初等函数，点明研究函数的基本内容。

2．创设情景，引入新课多媒体显示五个例子，引导学生观察，并归纳他们的共同特征。

幂函数的概念一般地，函数y=x a叫做幂函数(power function)，其中x是自变量，a是常数。

练习1：下列函数中，那些是幂函数？(1)，y=x4 (2), y=1/x2(3), y= -x2(4), y=x1/2(5), y=2x2 (6), y=x3+2 （归纳判断的原则）几个常见幂函数的图象和性质借助计算机利用《几何画板》软件画出函数y=x3和y=x1/2结合学生课前画好的y=x,y=x2,y=x-1三个图象，在同个坐标系内讨论完成课本的表格。

讨论归纳幂函数的性质五．例题例1：判断正误1.函数f(x)=x+1/x 为奇函数.2.函数f(x)=x 2,x ∈[-1,1)为偶函数.练习1.函数y=f(x)在定义域R 上是奇函数,且在(-∞,0]上是递增的,则f(x)在[0,+ ∞)上也是递增的.2.函数y=f(x)在定义域R 上是偶函数,且在(-∞,0]上是递减的,则f(x)在[0,+ ∞)上也是递减的.3.函数y=f(x)在实数集R 上是奇函数, 则f(0)=0.例2 比较下列各组数的大小；练习（3）证明幂函数 在[0,+∞)上是增函数．六．课堂小结(1) 幂函数的定义；(2) 幂函数的性质；(3) 利用幂函数的单调性判别大小七．作业：复习参考题Ａ组 10题 ,B 组 3题高一（7）2005-10-21 87872525918 2133 1------)()(.)(和和x x f =)(32523283 14 2632 132-----..)()()()(和和π。

简单的幂函数
一、教学目标
1．了解指数是整数的简单幂函数的概念；
2．会利用定义证明简单函数的奇偶性；
3．了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法二、设计思路
考虑到学生的基础，这里只从y=x, y=x－1, y=x2等指数是整数的情况引入幂函数y=xα，而把α是实数的情况放到下一章．本节除幂函数外，另一点是给出函数的奇偶性．
我们突出了最重要的函数性质――单调性，奇偶性则未专列一节，而放在了这一节中一带而过．
三、教学建议
1．教学要有层次．从整数指数的幂函数自然引入，给出定义后，也只是推广到其他整数指数的情况；不过，要指出x为其他实数仍有意义，留待第三章解决．对于奇偶性，虽然给出了一般定义，但是应该知道，教材重在从图上看出图像关于谁对称，着重从对称的角度应用这一性质．也就是说，对奇偶性的要求是低的，习题不可搞得过分．
2．注意知识的发展．函数性质，主要指：定义域，值域，单调性，有界性，奇偶性，周期性，拐点，极值，有无反函数等．已经学过几种，今后会再学一些．教学中，教师要心中有数，对于已经学过的，要有意识滚雪球式地复习，但是，又要体现有计划有步骤地展开的特点．例1 有意识地在画出幂函数图像的同时讨论了单调性．如果学生条件允许，还可以顺便研究其他性质．3．阅读材料，应该注意“狄里克雷函数”，他告诉人们，函数并非都可以用三种方式表示．。