简单的幂函数及函数的奇偶性

高中数学题：简单的幂函数与函数的奇偶性一、幂函数的定义例1、已知函数是幂函数，求m的值。

分析：由幂函数的定义可知，只有形如的函数才是幂函数，故本题前的系数且，由此可解。

解：令及，可解得：m=2。

例2、当时，幂函数是减函数，则实数m的值为。

解答：依题意，。

又因为函数在时为减函数，故，故m=-1应舍去，从而m=2。

二、判断函数的奇偶性一般地，判断函数的奇偶性首先应确认函数的定义域关于原点对称，然后再根据f（x）和f（-x）的关系进行判断，若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数。

也可以根据图像的对称性来判断：若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y轴对称，则为偶函数。

例3、判断函数的奇偶性。

解答：因为函数的定义域是{x|x≠1}，关于原点不对称，所以该函数为非奇非偶函数。

若将此函数先化简得到f（x）= - x，则极易得到该函数是奇函数这样一个错误的结论；另外，本题最后的结论是该函数是非奇非偶函数，不可以说成“不具有奇偶性”。

例4、判断函数的奇偶性。

解答：分段函数的奇偶性的判断是一个难点，要注意分段进行判断，并要注意是将f（-x）和哪个区间上的f（x）进行比较。

三、复合函数的奇偶性复合函数y=f[g（x）]的奇偶性可以这样判断：当内外函数均为奇函数时，复合函数是奇函数；当内外函数中有一个是偶函数，而另一个函数无论是奇函数或偶函数，复合函数均为偶函数。

例5、判断函数的奇偶性。

解答：设，则g（x）是偶函数；又因为可视为的复合函数，故为偶函数。

四、利用函数的奇偶性解题例6、已知函数是奇函数，当x>0时，；求当x<0时的解析式。

解答：例7、试探究是否存在实数，使得函数是奇函数？若存在，求出实数，并证明函数是奇函数；若不存在，请说明理由。

解答：函数的定义域是（-1，1），若函数是奇函数，必有f（0）=0，解得，易证这是一个奇函数。

若奇函数在x=0时有意义，则必有f（0）=0。

五、幂函数的图像例8、函数的图像是（）解答：由是偶函数，排除B、C；又当0<x<1时，>x，故选D。

幂函数知识总结幂函数知识总结幂函数复习y某(R)的函数称为幂函数，其中某是自变量，是一、幂函数定义：形如常数。

注意：幂函数与指数函数有何不同？【思考提示】本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．观察图：归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：二、幂函数的性质归纳：幂函数在第一象限的性质：0，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（0,）上单调递增。

0，图像过定点（1,1），在区间（0,）上单调递减。

探究：整数m,n的奇偶与幂函数y某(m,nZ,且m,n互质)的定义域以及奇偶性有什么关系？结果：形如y某(m,nZ,且m,n互质)的幂函数的奇偶性（1）当m，n都为奇数时，f（某）为奇函数，图象关于原点对称；（2）当m为奇数n为偶数时，f（某）为偶函数，图象关于y轴对称；（3）当m为偶数n为奇数时，f（某）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.三、幂函数的图像画法：关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。

指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1,在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0,在第一象限为水平的射线；指数小于0,在第一象限为双曲线型；四、规律方法总结：y某(0,1)的图像：1、幂函数mnmny某(q,p,qZ,p,q互质)p的图像：2、幂函数3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．题型一：幂函数解析式特征例1.下列函数是幂函数的是（）A．y=某某B.y=3某C.y=某+1D.y=某m2m1y(mm1)某练习1：已知函数是幂函数，求此函数的解析式．2a9f(某)(a9a19)某练习2：若函数是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．题型二：幂函数性质例2：下列命题中正确的是（）A．当0时，函数y某的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点C．幂函数的y某图象不可能在第四象限内3D．若幂函数y某为奇函数，则在定义域内是增函数练习3：如图，曲线c1,c2分别是函数y＝某m和y＝某n在第一象限的图象，那么一定有（）A．n0yc1练习4：．（1）函数y＝某的单调递减区间为（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞)D．（－∞，＋∞）（2）．函数y＝某（3）．幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是．题型三：比较大小.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）2.3，2.4;（2）0.31，0.35；（3）(2)，(3)；（4）1.1，0.9．.经典例题：例1、已知函数f(某)某2mm3(mZ)为偶函数，且f(3)f(5)，求m的值，并确定f(某)的解析式．例2、若(m1)1(32m)1，试求实数m的取值范围．例3、若(m1)3(32m)3，试求实数m的取值范围．例4、若(m1)4(32m)4，试求实数m的取值范围．例5、函数y(m某4某m2)(m2m某1)的定义域是全体实数，求m的c20某34在区间上是减函数．13434取值范围。

幂函数的特点与变化规律幂函数是高中数学中常见的一类函数，它的数学表达式为y=x^n，其中x代表自变量，n代表指数。

在本文中，我们将探讨幂函数的特点以及其在图像上的变化规律。

一、幂函数的特点：1. 定义域和值域：幂函数的定义域是实数集，值域则取决于指数n 的奇偶性。

当指数n为奇数时，幂函数的值域也是实数集；当指数n 为偶数且大于0时，幂函数的值域是非负实数集[0,+∞)。

2. 奇偶性：当指数n为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x)=-f(x)；而当指数n为偶数时，幂函数关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。

3. 单调性：当指数n大于0时，幂函数为严格递增函数或严格递减函数，具体取决于n的正负性。

当n大于0时，幂函数递增；当n小于0时，幂函数递减。

4. 零点与渐近线：幂函数的零点为x=0，当n大于0时，幂函数图像与x轴交于(0, 0)点；当n小于0时，幂函数图像不与x轴交于任何点。

当n大于0时，幂函数没有水平渐近线；当n小于0时，幂函数有y=0作为水平渐近线。

5. 二次导数：幂函数的二次导数为f''(x) = n(n-1)x^(n-2)。

根据二次导数的正负性，可以进一步研究幂函数的凹凸性。

二、幂函数在图像上的变化规律：1. 当n为正偶数时，幂函数的图像呈现开口向上的U形曲线。

随着指数n的增大，曲线越陡峭。

2. 当n为负偶数时，幂函数的图像呈现开口向下的倒U形曲线。

随着指数n的增大，曲线越平缓。

3. 当n为正奇数时，幂函数的图像从第三象限穿过原点，向第一象限递增。

曲线整体呈现右上方倾斜的趋势。

4. 当n为负奇数时，幂函数的图像从第二象限穿过原点，向第四象限递减。

曲线整体呈现左下方倾斜的趋势。

总结：通过对幂函数的特点和变化规律的探讨，我们可以清楚地看到幂函数图像的特征。

幂函数的指数n决定了函数的奇偶性、单调性、零点和渐近线等属性。

同时，幂函数在图像上的变化规律也随指数n的不同而有所差异。

北师大版高中数学必修第一册《函数的奇偶性与简单的幂函数》说课稿一、教材内容概述《函数的奇偶性与简单的幂函数》是北师大版高中数学必修第一册的一章内容。

该章主要介绍了函数的奇偶性及简单的幂函数的相关概念和性质。

通过学习本章内容，学生能够理解函数奇偶和幂函数的特点，并能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学目标1.了解函数的奇偶性的概念和判断方法；2.掌握简单的幂函数及其图象的性质；3.能够应用函数的奇偶性及简单的幂函数解决实际问题。

三、教学重点1.函数的奇偶性的概念和判断方法；2.简单的幂函数的图象和性质。

四、教学难点1.如何准确地判断函数的奇偶性；2.理解和应用幂函数的图象和性质。

五、教学内容及方法5.1 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数图象关于坐标原点的对称性。

奇函数关于坐标原点对称，即f(−x)=−f(x)；偶函数关于坐标原点对称，即f(−x)=f(x)。

如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称其为一般函数。

教学方法：通过举例、图表和实际问题引出函数奇偶性的概念，引导学生进行讨论和总结，然后讲解函数奇偶性的判断方法，并进行练习。

5.2 简单的幂函数幂函数是指以变量的某个整数次幂为自变量的函数。

本章主要讲解一次幂函数和二次幂函数的性质。

1.一次幂函数：y=ax+b。

其中a为常数，a eq0。

一次幂函数的图象是一条直线，斜率为a，在坐标平面上表现为直线的斜率性质。

教学方法：通过具体的实例和图象，引导学生理解一次幂函数的特点并进行练习。

2.二次幂函数：y=ax2+b。

其中a和b为常数，a eq0。

二次幂函数的图象是一个开口向上或向下的抛物线，通过分析二次函数的系数a和b的正负关系，引出图象和性质的讨论。

教学方法：通过图象、实例和推导，引导学生掌握二次幂函数的图象和性质。

5.3 函数应用问题教学方法：通过实际问题的引入，结合函数的奇偶性和幂函数的性质，引导学生分析问题，建立方程并解决问题。

六、教学过程1.导入：引出函数的奇偶性的概念，并让学生观察、分析一些函数的图象，引导学生发现函数奇偶性的特点。

函数简单的幂函数课件pptxx年xx月xx日contents •幂函数概述•幂函数的图象和性质•幂函数的应用•幂函数的拓展•总结与反思目录01幂函数概述幂函数定义：形如y=x^a的函数，其中a为常数。

幂函数在高等数学中占有重要地位，其性质和应用有着广泛的应用。

0102非零的常数次幂函数$y=x^a$，当a>0时，函数在$(0,+\infty)$上单调递增；当a<0时，函数在$(0,+\infty)$上单调递减。

幂函数的图象幂函数的图象由点$(1,1)$出发，在$y$轴右侧的图象是上升的，在$y$轴左侧的图象是下降的，并且图象过点$(0,0)$。

幂函数的奇偶性当$a$为整数时，幂函数为奇函数；当$a$为偶数时，幂函数为偶函数。

当$a$为负奇数时，幂函数为既奇又偶函数；当$a$为负偶数时，幂函数为非奇非偶函数。

幂函数的对称性$y=x^a$的图象关于原点对称；$y=x^{-a}=1/x^a$的图象关于$y$轴对称。

幂函数的扩展在实际应用中，可以将幂函数扩展到多个变量的情形，如二元三次幂函数等。

03040502幂函数的图象和性质幂函数图象的绘制步骤、要点、注意事项总结词步骤要点注意事项1.定义域，2.函数式，3.图象1.定义域的确定，2.函数式的变换，3.图象的绘制1.定义域的边界值的处理，2.函数式变换的准确性，3.图象的精确度幂函数性质的运用基本性质、应用、实例总结词1.单调性，2.奇偶性，3.周期性基本性质1.函数的单调性，2.函数的奇偶性，3.函数的周期性应用 1.幂函数的单调递增区间，2.幂函数的奇偶性判断，3.幂函数的周期求解实例03幂函数的应用总结词了解幂函数与方程根的关系，掌握利用幂函数求解方程的方法。

利用幂函数求解方程通过对幂函数的性质和图像的掌握，利用幂函数求解方程的解，特别注意在特定区间求解方程时需要注意的问题。

幂函数与方程根的关系幂函数在方程中的应用，主要是指利用幂函数的性质和图像特点，通过观察幂函数的图像来确定方程的根。

专题6 简单的幂函数与函数的奇偶性【知识回顾】一、简单的幂函数1．幂函数的定义 如果一个函数， 是自变量x ， 是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：二、函数的奇偶性1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是奇函数。

2、函数图像关于y 轴对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是偶函数。

【典例应用】考点1 幂函数的概念例1 下列所给出的函数中，是幂函数的是______（填序号）.①3y x =-；①3y x -=；①32y x =；①31y x =-【答案】①【解析】【分析】由幂函数的定义，排除不是幂函数的选项【详解】根据幂函数的定义可知，形如()y f x x α==的函数是幂函数①中，3x 的系数不为1；①中，=-3α的幂函数；①中，3x 的系数不为1；①中，3x 之后不能加常数项；故答案为①【点睛】本题考查了幂函数的定义，判断函数是否为幂函数，注意x α的系数为1且不含常数项，属于基础题.练习：已知幂函数2223(1)mm y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域. 【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠.【解析】【分析】由幂函数的概念求解．【详解】2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠； 当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．考点2 幂函数的图像例2 如图，给出四个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）① ① ① ①A ．①12y x =；①2y x ；①3y x =；①1y x -=B ．①3y x =；①12y x =；①2y x ；①1y x -=C ．①2y x ；①3y x =；①12y x =；①1y x -=D ．①3y x =；①2y x ；①12y x =；①1y x -= 【答案】D【解析】【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性、定义域等来分析判断图象得解.【详解】3y x =是奇函数，且在R 上递增，对应题图①；2y x 是偶函数，对应题图①；12y x =的定义域为[)0,+∞，对应题图①；1y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，对应题图①．故选D ．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域、单调性和奇偶性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.练习：幂函数24m m y x =－（m Z ∈）的图象如图所示，则m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，然后逐一代入验证即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，幂函数为偶函数，且幂指数小于0，当0m =时，240m m -=，不合题意；当1m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意；当2m =时，244m m -=-，满足幂函数为偶函数，且幂指数小于0，符合题意； 当3m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意．①m 的值为2．故选C ．【点睛】本题考查了幂函数的图象，考查了幂函数的性质，训练了代入验证法，是基础题． 考点3 利用幂函数的特点求参数的值例3 已知幂函数()()23m f x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（ ）AB ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】【分析】 根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.练习：若函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（ ）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．3 【答案】A【解析】【分析】 根据幂函数的定义和性质列方程和不等式，求解即可．【详解】解：函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-． 故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义和性质，是基础题．考点4：函数奇偶性例4.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图像．练习：已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减小的，且f (3)＝0，则使f (x )<0的x 的范围为________．【等级过关练】1．幂函数()y f x =图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（ ）A B ．3 C ．13 D2．已知幂函数223()m m f x x --=（m ∈Z ）是偶函数，且112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，则m 的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 3．下列幂函数中过点)0,0(，)1,1(的偶函数是（ ）A ．21x y = B ．4x y = C ．1y x -= D ．3y x =4．已知一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -,则m n +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．25．判断下列函数的奇偶性; (1)1()f x x x=+;(2)()2||f x x =-;(3)()1x f x x =-. 参考答案1．A【解析】【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，然后用代入法进行求解即可.【详解】设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42， 所以有11()24α=，解得12α=，所以12()y f x x ===因为(9)3f ==，所以[(9)](3)f f f ==故选：A【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力.2．C【解析】【分析】 先化简112⎛⎫> ⎪⎝⎭f 得到实数m 的范围，再检验即得解. 【详解】 因为112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，所以2230211(),31()230,122m m m m m -->-=-∴-<∴<<. 因为m ∈Z ，所以0,1,2m =.经检验，当1m =时，函数是偶函数，当0,2m =时，函数是奇函数.故选：C【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，考查指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B【解析】试题分析：根据幂函数nx y =的性质，当0>n 时，图象过)1,1()0,0(、点，在第一象限部分图象为增函数；当0<n 时，图象过点)1,1(，在第一象限部分图象为减函数；排除C ，而D B A 、、中只有B 是偶函数，因此选B .考点：1.幂函数图象和性质;2.函数的奇偶性；4．B【解析】【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得结果．【详解】解：如果一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -,则210m n -+++=，得1m n +=，故选：B ．【点睛】本题考查奇偶函数的性质，奇偶函数的图像不仅自身具有对称性，定义域也必须要关于原点对称，本题难度不大．5．(1)奇函数.(2)偶函数.(3)非奇非偶函数.【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义判断得解.【详解】解:(1)函数()f x 的定义域是{|R x x ∈且0x ≠},关于原点对称,11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭,()f x ∴为奇函数. (2)函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称,()2||2||()f x x x f x -=--=-=,()f x ∴为偶函数.(3)①函数()f x 的定义域为{|R x x ∈且1x ≠},显然不关于原点对称, ()f x ∴为非奇非偶函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

幂函数1.幂函数：一般地，形如y=x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数.要准确理解幂函数的定义，注意以下四点：（1）幂函数具有严格的形式，形如 y=mx a， y=（mx）a， y=x a+m，y=（x+m）a（以上m均为不等于零的常数，且前两个函数中的m也不等于1）的函数都不是幂函数，二次函数中只有y=x2是幂函数，其他的二次函数都不是幂函数，幂函数y=x a要满足三个特征：○1幂x a前的系数是1；○2底数只能是自变量x，指数是常数；○3项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数；（2）求函数解析式时，若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法设函数为f（x）=x a，根据条件求出a即可.（3）不要把幂函数与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量.当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识解决.2.幂函数在第一象限的图象：幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性做出．α＝n／m (其中m∈N*，n∈Z且m，n互质)．(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称．(3)当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限．3.幂函数当α＝1,2,3，0.5，－1时的图象与性质．(1)图象(如图所示)(2)性质(如表)4.幂函数的性质：(1)所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图像都通过点（1,1）；(2)如果a＞0，则幂函数的图像过原点，并且在区间（0，+∞）上为增函数；(3)如果a＜0，则幂函数的图像在区间（0，+∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于零时，图像在y轴右方无限逼近y轴，当x趋向于无穷大时，图像在x轴上方无限逼近x轴；（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数.(5)①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，y=x a表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1))5.幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数y=x a的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数y=x a的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数y=x a的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。

幂函数的增减性和奇偶性幂函数是高中数学中常见的函数类型，它具有一定的性质和规律。

其中，增减性和奇偶性是幂函数的两个重要特征。

本文将详细介绍幂函数的增减性和奇偶性，并分析其应用和意义。

一、幂函数的增减性幂函数的一般形式为：f(x) = ax^k，其中a≠0，k是实数。

根据系数a和指数k的不同取值，幂函数可以具有不同的增减性。

1. 当a>0且k>0时，幂函数f(x) = ax^k在定义域上单调递增。

即随着自变量x的增大，函数值f(x)也随之增大。

例如，当a=2，k=2时，f(x) = 2x^2就是一个典型的上升的二次函数。

2. 当a<0且k>0时，幂函数f(x) = ax^k在定义域上单调递减。

即随着自变量x的增大，函数值f(x)反而减小。

例如，当a=-3，k=3时，f(x) = -3x^3就是一个典型的下降的三次函数。

3. 当k<0时，幂函数f(x) = ax^k在定义域上并不具有单调性。

而是随着自变量x的取值增大或减小而出现正负交替的变化。

例如，当a=4，k=-2时，f(x) = 4/x^2就是一个典型的具有正负交替的双曲线函数。

总结起来，幂函数的增减性取决于系数a和指数k的正负以及奇偶性。

当a>0且k为偶数时，函数单调递增；当a>0且k为奇数时，函数单调递减；当a<0且k为奇数时，函数单调递增；当a<0且k为偶数时，函数单调递减。

二、幂函数的奇偶性幂函数的奇偶性可以通过考察指数k的奇偶性来判断。

1. 当k为偶数时，幂函数f(x) = ax^k是一个偶函数。

即对于任意实数x，都有f(-x) = f(x)。

例如，f(x) = x^4是一个关于y轴对称的四次函数，无论x取正值还是负值，函数值都相同。

2. 当k为奇数时，幂函数f(x) = ax^k是一个奇函数。

即对于任意实数x，都有f(-x) = -f(x)。

例如，f(x) = x^3是一个关于原点对称的三次函数，当x取正值和负值时，函数值的相反数。

简单的幂函数与函数的奇偶性一、简单的幂函数1．幂函数的定义如果一个函数，是自变量x，是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：从图中可以观察得到：例1.下列函数中是幂函数的是()①y＝1x3；②y＝axm(a，m为非零常数，且a≠1)；③y＝＋x4；④y＝x n；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；⑦y＝x2＋x；⑧y＝1.A．①②③⑧B．①④C．③④⑤⑥D．②④⑦例2.函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的，求f(x)的解析式．【名师指津】1．形如y ＝x a 的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x .2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值．例3.点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图像上，当x 为何值时，有①f (x )＞g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )＜g (x )?变式练习1．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点A ⎝⎛⎭⎫12，2.(1)求实数α的值；(2)用定义证明f (x )在区间(0，＋∞)内的单调性．二、函数的奇偶性1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是奇函数。

2、函数图像关于y 轴对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是偶函数。

3、奇偶性当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有 ．例4.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇函数的图像一定过原点．( )(2)定义在R 上的函数f (x )，若存在x 0，使f (－x 0)＝f (x 0)，则函数f (x )为偶函数．( )(3)函数y ＝x 2，x ∈(－1,1]是偶函数．( )例5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝13x 5； (2)f (x )＝3x 2；(3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x －3，x ＞0，x 2＋2x ＋3，x ＜0.例6．已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x （x ﹣2），求f （x ）的解析式．【名师指津】判断函数奇偶性的方法变式练习1．函数f (x )＝x 2(x ＜0)的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数2.函数f (x )＝x 2＋x ( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．即是奇函数又是偶函数三、函数单调性与奇偶性的综合应用（一）比较大小例1、已知函数f （x ）是偶函数，且在区间[0，1]上是增函数，则)0(),1(),5.0(f f f --的大小关系是__________.（二）解不等式例2、定义在（－2，2）上的函数f （x ）是奇函数，并且在（－2，2）上是增函数，求满足条件0)21()2(>-++m f m f 的实数m 的取值范围。

专题3.5 幂函数知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考如何判断一个函数是幂函数？知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝12x；(3)y ＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义R R R[0，＋∞){x|x≠0}域值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．幂函数的概念 幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式．【例1】现有下列函数：①3y x =；②1()2x y =；③24y x =；④51y x =+；⑤2(1)y x =-；⑥y x =；⑦(1)xy a a =>，其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：形如(y x αα=为常数）的函数叫做幂函数，∴①3y x =、⑥y x =是幂函数，故①⑥满足条件；而②1()2xy =、⑦(1)xy aa =>是指数函数，故②⑦不满足条件；显然，③24y x =、④51y x =+；⑤2(1)y x =-不是幂函数，故③④⑤不满足条件；故其中幂函数的个数为2，故选：B ．【变式训练1】在函数①1y x=，②33y x =，③21y x =+，④1y =，⑤3y x =，⑥12y x -=中，是幂函数的是( ) A ．①②④⑤ B ．①⑤⑥ C ．①②⑥ D ．①②④⑤⑥【解答】解：根据幂函数的定义，在函数①11y x x-==，②33y x =，③21y x =+，④1y =，⑤3y x =，⑥12y x -=中，是幂函数的有①⑤⑥， 故选：B ． 【例2】已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则(α=)A ．1-B ．0C ．1D ．2【解答】解：幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，42α∴=，2α∴=， 故选：D ．【变式训练1】幂函数()a f x x =的图像过点(2,4)，且()16f m =，则实数m 的值为( ) A ．4或12B ．2±C ．4±D ．14或2【解答】解：幂函数()af x x =的图像过点(2,4)，24a∴=，2a ∴=，即2()f x x =．2()16f m m ==，则实数4m =±，故选：C ．【变式训练2】已知幂函数()(,)f x k x k R R αα=⋅∈∈的图象经过点1(4,)2，则(k α+= )A ．12B ．1C ．32D ．2【解答】解：幂函数()(,)f x k x k R R αα=⋅∈∈的图象经过点1(4,)2，∴1142k α=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1k =，12α=-，11122k α∴+=-=． 故选：A ．幂函数的图象及应用 (1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象． (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．【例3】幂函数1y x -=及直线y x =，1y =，1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），则幂函数12y x =的图象经过的“卦限”是()A ．①，⑦B ．④，⑧C ．③，⑦D ．①，⑤【解答】解：取12x =得，12112()(0,1)22y ==，故在第⑤卦限；再取2x =得，1222(1,2)y ==，故在第①卦限，故选：D ．【变式训练1】如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =D ．58y x =【解答】解：由于①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数(0,1)α∈， 故选：D ．【变式训练2】幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则幂函数()y f x =的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：设幂函数的解析式为ay x =， 幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，24a ∴=，解得12a =∴y x=，其定义域为[0，)+∞，且是增函数，当01x <<时，其图象在直线y x =的上方．对照选项． 故选：C ．【变式训练3】函数y x =，2y x =和1y x=的图象如图所示，有下列四个说法：①如果21a a a>>，那么01a <<；②如果21aa a>>，那么1a >； ③如果21aa a>>，那么10a -<<；④如果21aa a>>时，那么1a <-． 其中正确的是( )A ．①④B ．①C ．①②D ．①③④【解答】解：易知函数y x =，2y x =和1y x=的图象交点坐标为(1,1)， 函数y x =与1y x=的图象还有一个交点(1,1)--，当三个函数的图象依1y x=，y x =，2y x =次序呈上下关系时，01x <<，故①正确，当三个函数的图象依2y x =，y x =，1y x=次序呈上下关系时，10x -<<或1x >，故②错误，由于三个函数的图象没有出现1y x=，2y x =，y x =次序的上下关系，故③错误，当三个函数的图象依2y x =，1y x=，y x =次序呈上下关系时，1x <-，故④正确，所以正确的有①④， 故选：A ．【例4】已知幂函数21()(3)m f x m x -=-在(0,)+∞内是单调递减函数，则实数m =2-．【解答】解：由题意得，23110m m ⎧-=⎨-<⎩，解得2m =-．故答案为：2-．【变式训练1】已知幂函数2()(57)m f x mm x =-+是R 上的增函数，则m 的值为 3 ． 【解答】解：函数2()(57)m f x m m x =-+是幂函数，则2571m m -+=，即2560mm -+=，解得2m =或3m =；当2m =时，2()f x x =不是R 上的增函数，不满足题意；当3m =时，3()f x x =是R 上的增函数，满足题意．则m 的值为3 故答案为：3 【变式训练2】幂函数2225()(5)mm f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则f （3）(= ) A ．27B ．9C ．19D ．127【解答】解：幂函数2225()(5)mm f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，∴225125m m m m ⎧+-=⎨+-⎩是正数， 解得2m =，3()f x x ∴=， f∴（3）3327==．故选：A ．【变式训练3】若幂函数21()(5)m f x m m x -=+-在(0,)+∞上单调递减，则(m = ) A ．3-或2B ．2C ．3-D ．2-【解答】解：幂函数21()(5)m f x mm x -=+-在(0,)+∞上单调递减，∴25110m m m ⎧+-=⎨-<⎩，解得3m =-， 故选：C ．比较幂值的大小 比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．【例5】若2222555511(2),3,(),()23a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．a b c d >>>B ．b a d c >>>C ．b a c d >>>D ．a b d c >>>【解答】解：2222555511(2),3,(),()23a b c d ====，函数25y x =是(0,)+∞上的增函数，113223>>>，b a c d ∴>>>， 故选：C ．【变式训练1】已知2525()24a =，501.02b =，1001.01c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【解答】解：2525()24a =，502251.02(1.02)b ==，1004251.01(1.01)c ==， 251.04124≈，21.02 1.0404=，41.01 1.0406≈， 函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，b c a ∴<<．故选：B ．【变式训练2】若120.5a =，130.5b =，140.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．a c b >>【解答】解：构造函数()0.5xf x =，因为函数()0.5xf x =，为单调递减函数． 且111234>>，所以111()()()234f f f <<，即1113240.50.50.5<<， 所以a b c <<． 故选：B ．【变式训练3】三个数20.3a =，0.31.9b =，0.32c =之间的大小关系是( ) A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解：幂函数0.3y x =在(0,)+∞上为增函数，0.30.302 1.9 1.9∴>>，即1c b >>， 200.30.31a =<=， c b a ∴>>，故选：B ．幂函数综合问题 【例6】已知幂函数22()(317)m f x m m x -=--的图象关于y 轴对称．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数2()(2)43g x f x x=-+在[1-，2]上的值域． 【解答】解：（1）因为22()(317)m f x m m x -=--是幂函数，所以23171m m --=，解得6m =或3m =-．又()f x 的图象关于y 轴对称，所以6m =， 故4()f x x =．（2）由（1）可知，4222222111()164316()4316()84g x x x x x x =-+=-+=-+．因为[1x ∈-，2]，所以2[0x∈，4]，所以221111116()[,243]844x -+∈．故()g x 在[1-，2]上的值域为11[,243]4． 【变式训练1】已知幂函数2()(33)m f x m m x =-+的图象关于y 轴对称，集合{|131}A x a x a =-<+．（1）求m 的值； （2）当2[x ∈时，()f x 的值域为集合B ，若x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由幂函数2()(33)m f x m m x =-+，可知2331mm -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，()f x x =的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，2()f x x =的图象关于y 轴对称，满足条件，因此，2m =．（2）当[1x ∈-，2]时，()f x 的值域为1[,4]2，则集合1[,4]2B =，由题意知BA ，得131112314a a a a -<+⎧⎪⎪-<⎨⎪+⎪⎩，解得1a ，所以a 的取值范围为[1，)+∞． 【变式训练2】已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()f x 满足条件(2)(1)f a f a ->-，试求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)，∴(2)2α=，2α∴=，2()f x x ∴=．（Ⅱ）函数2()f x x =为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，且满足()(||)f x f x =，∴不等式(2)(1)f a f a ->-可化为(|2|)(|1|)f a f a ->-，|2||1|a a ∴->-，两边平方得22(2)(1)a a ->-，解得32a <，即实数a 的取值范围为3(,)2-∞．1．若函数2()(1)m f x mm x =--为幂函数，则实数(m = )A ．2B ．1-C ．1-或2D ．3【解答】解：函数2()(1)m f x m m x =--为幂函数，211m m ∴--=，求得1m =-或2， 故选：C ．2．现有下列函数：①3y x =；②1()2xy =；③24y x =；④51y x=+；⑤2(1)y x =-；⑥y x =；⑦(1)xy aa =>，其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：形如(y x αα=为常数）的函数叫做幂函数，∴①3y x =、⑥y x =是幂函数，故①⑥满足条件；而②1()2xy =、⑦(1)xy aa =>是指数函数，故②⑦不满足条件；显然，③24y x =、④51y x =+；⑤2(1)y x =-不是幂函数，故③④⑤不满足条件；故其中幂函数的个数为2， 故选：B ． 3．若函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，则实数m 的值是( )A ．1或2-B ．1-C ．2D ．1-或2【解答】解：幂函数的系数为1，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-． 故选：D ．4．设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为( ) A ．1或2或0 B ．1或2或3 C ．1或2或3或4D ．0或1或2或3【解答】解：取13()f x x =，3()g x x =，由133xx =可得0x =或1x =或1x =-，故()y f x =和()y g x =是有3个交点， 取12()f x x =，3()g x x =，由132xx =可得0x =或1x =，故()y f x =和()y g x =是有2个交点， 取2()f x x -=，3()g x x =，由23xx -=可得1x =，故()y f x =和()y g x =是有1个交点，任意幂函数的图像必过(1.1)点，即()y f x =和()y g x =至少有1个交点，任意两个幂函数的图像不可能有4个交点，故()y f x =和()y g x =交点个数为1或2或3， 故选：B ．5．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,8)，则(3)f -的值为( ) A ．27B ．27-C ．127D ．127-【解答】解：设幂函数()f x 的解析式为()y f x x α==，R α∈， 因为()f x 的图象过点(2,8)， 所以28α=，解得3α=， 所以3()f x x =，所以3(3)(3)27f -=-=-．故选：B ．6．如图所示的曲线是幂函数ny x =在第一象限内的图象．已知n 分别取1-，1，12，2四个值，则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的n 依次为( )A ．2，1，12，1-B ．2，1-，1，12C ．12，1，2，1-D ．1-，1，2，12【解答】解：根据幂函数ny x =在第一象限内的图象，已知n 分别取1-，1，12，2四个值，在图象中，做出直线2x =，根据直线2x =和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的n 依次为：2，1，12，1-，故选：A ．7．已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x mm m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于( ) A ．12±B ．2C ．2D ．2±【解答】解：函数1()(21)a g x a x +=-是幂函数，211a ∴-=，解得1a =，2()g x x ∴=；令0x b -=，解得x b =，∴函数1()2x bf x m-=-的图象经过定点1(,)2b ，212b ∴=，解得2b =．故选：B ．8．函数23()f x x =的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称D ．直线y x =对称【解答】解：函数()f x 的定义域是实数集合，关于原点对称，2233()()()f x x x f x -=-==，是偶函数，∴函数()f x 图象关于原点y 轴对称，故选：A ．9．已知对数函数log(0,1)ay x a a =>≠的图象经过点(3,1)P -，则幂函数ay x =的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：对数函数log(0,1)ay x a a =>≠的图象经过点(3,1)P -，1log 3a ∴-=，13a ∴=，故幂函数3a y x x ==D 所示，故选：D．10．写出一个同时满足下列性质的幂函数2()f x x-=．①偶函数；②在(,0)-∞上递增．【解答】解：根据幂函数()f x xα=是偶函数，且在(,0)-∞上递增，可以写出2()f x x-=．故答案为：2()f x x-=．11．函数21()(5)mf x m m x+=--是幂函数，且为偶函数，则实数m的值是．【解答】解：由函数21()(5)mf x m m x+=--是幂函数，得251m m--=，即260m m--=，解得2m=-或3m=；又()f x为偶函数，即1m+为偶数，所以实数m的值是3．故答案为：3．12．幂函数2225()(5)m mf x m m x+-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则f（3）(=)A．27B．9C．19D．127【解答】解：幂函数2225()(5)m mf x m m x+-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，∴225125m mm m⎧+-=⎨+-⎩是正数，解得2m =，3()f x x ∴=， f∴（3）3327==．故选：A ．13．函数()af x x =的图象经过点1(3，9)，则f （9）的值为( )A ．13B ．3C ．181D ．81【解答】解：函数()af x x =的图象经过点1(3，9)，∴1()93a=，2a ∴=-， 则f （9）21981-==， 故选：C ．14．已知幂函数22()(317)m f x mm x -=--的图象关于y 轴对称．（1）求()f x 的解析式； （2）求函数2()(2)43g x f x x=-+在[1-，2]上的值域． 【解答】解：（1）因为22()(317)m f x m m x -=--是幂函数，所以23171m m --=，解得6m =或3m =-．又()f x 的图象关于y 轴对称，所以6m =， 故4()f x x =．（2）由（1）可知，4222222111()164316()4316()84g x x x x x x =-+=-+=-+．因为[1x ∈-，2]，所以2[0x∈，4]，所以221111116()[,243]844x -+∈．故()g x 在[1-，2]上的值域为11[,243]4． 15．已知函数2255(32)aa y aa x -+=-+．（1）a 为何值时此函数为幂函数？（2）a 为何值时此函数为正比例函数？ （3）a 为何值时此函数为反比例函数． 【解答】解：（1）由于函数2255(32)aa y a a x -+=-+，故当2321aa -+=，即35a +=，或35a -=时，函数为幂函数．（2）当22320551a a a a ⎧-+≠⎨-+=⎩，即4a =时，此函数为正比例函数．（3）当22320551a a a a ⎧-+≠⎨-+=-⎩，即3a =时，此函数为反比例函数．16．已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()f x 满足条件(2)(1)f a f a ->-，试求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)，∴(2)2α=，2α∴=，2()f x x ∴=．（Ⅱ）函数2()f x x =为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，且满足()(||)f x f x =，∴不等式(2)(1)f a f a ->-可化为(|2|)(|1|)f a f a ->-，|2||1|a a ∴->-，两边平方得22(2)(1)a a ->-，解得32a <，即实数a 的取值范围为3(,)2-∞．。

授课主题：幂函数教学目标1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质.2．类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质.3．体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性，并能进行简单的应用.教学内容1．幂函数的定义：一般地，形如()Ry xαα=∈的函数称为幂函数，其中α是常数．2．幂函数的图象：函数y x=2y x=3y x=12y x=1y x-=的图象-1-111y=xy=x3y=x2y=xy=1xyxOy x=2y x=3y x=12y x=1y x-=定义域R R R[0,)+∞(0)(0)-∞+∞，，值域R[0,)+∞R[0,)+∞(0)(0)-∞+∞，，奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性单调递增在(0]-∞，上减在[0)+∞，上增单调递增单调递增在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递减公共点(11)，(11)，(11)，(11)，(11)，图象所在象限一、三一、二一、三一一、三3．幂函数的性质：（1）所有的幂函数在(0)+∞，都有定义，并且图象都通过点(11)，； （2）0a >时，幂函数的图象通过原点，并且在[0)+∞，上是增函数； （3）0a <时，①幂函数在(0,)+∞上是减函数；②在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近．（4）任何幂函数图象都不经过第四象限； （5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． （6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （7）幂函数nm y x =奇偶性①当n 为偶数时，nm y x =为偶函数；②当n 为奇数，m 为奇数时，nm y x =为奇函数； ③当n 为奇数，m 为偶数时，n m y x =为非奇非偶函数．特别地，幂函数n y x =（Z n ∈），当n 为偶数时，n y x =为偶函数；当n 为奇数时，n y x =为奇函数．题型一 幂函数概念的理解应用例1 函数223()(1)mm f x m m x +-=--是幂函数，且当()0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，求()f x 的解析式.点评：幂函数y ＝x α(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验根，以免增根．巩 固 函数221()(2)mm f x m m x +-=+是幂函数且是奇函数，则实数m 的值是___________.答案：-1题型二 利用幂函数的性质比较大小例2 比较下列各组中两个数的大小：点评：比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相同，若底数相同，利用指数函数的性质比较大小；若指数相同，利用幂函数的性质比较大小；若底数指数均不同，考虑利用中间值来比较大小．巩固比较下列各组数的大小：题型三求幂函数的解析式例3巩固幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(9)＝________.答案：3A组2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是() A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．二次函数解析：本题考查幂的运算性质f(x)f(y)＝a x a y＝a x＋y＝f(x＋y).答案：C3．函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋2是幂函数且函数f(x)为偶函数，求m的值．解析：∵f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋2是幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，∴m＝1或m＝2.当m＝1，f(x)＝x3为奇函数，不符合题意；当m＝2时，f(x)＝x4为偶函数，符合题意，∴m＝2.B组1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是()A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－1答案：B答案：B 3．函数y ＝x－2在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是( )A.14 B ．－14 C ．4 D ．－4答案：①＜ ②＜ ③＞ ④＜答案：AC 组1．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线；(2)幂函数y ＝x α的图象都经过(0,0)和(1,1)点，则正确的判断是( )A ．(1)对(2)错B ．(1)错(2)对C ．(1)(2)都错D ．(1)(2)都对 答案:C2．上图所示的曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α分别取－1,1，12，2四个值，则相应图象依次为：______.答案:C 4，C 2，C 3，C 1 3．设f (x )＝(a －3)x (a＋1)(a －2)，当a 为何值时，(1)f (x )为常数函数？ (2)f (x )为幂函数？(3)f (x )为正比例函数？ 答案:1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．2．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：选B.当x ＝2时，22＞212＞2－12＞2－2， 即C 1：y ＝x 2，C 2：y ＝x 12，C 3：y ＝x －12，C 4：y ＝x －2. 3．以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错 解析：选C.∵y ＝x 0，可知x ≠0， ∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点． 4．函数f (x )＝(1－x )0＋(1－x )12的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠01－x ≥0，∴x <1.答案：(－∞，1)5．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (4)的值为( ) A ．16 B.116 C.12D ．2解析：选C.设f (x )＝x n ，则有2n ＝22，解得n ＝－12，即f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12. 6．下列幂函数中，定义域为{x |x ＞0}的是( )A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13D ．y ＝x －34解析：选D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x ≥0；C.y ＝x －13＝13x ，x ≠0；D.y ＝x －34＝14x3，x ＞0.7．已知幂函数的图象y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z ，x ≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ．－1或1B ．－1,1或3C ．1或3D ．3解析：选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点，所以m 2－2m －3≤0，即－1≤m ≤3.又图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－2m －3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B. 8．下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③D ．①④解析：选D.y ＝x α，当α＝0时，x ≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，①④正确． 9．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．10．幂函数f (x )＝x α满足x ＞1时f (x )＞1，则α满足条件( )A ．α＞1B ．0＜α＜1C ．α＞0D ．α＞0且α≠1解析：选A.当x ＞1时f (x )＞1，即f (x )＞f (1)，f (x )＝x α为增函数，且α＞1. 11．幂函数f (x )的图象过点(3，3)，则f (x )的解析式是________．解析：设f (x )＝x α，则有3α＝3＝312⇒α＝12.答案：f (x )＝x 1212．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈R )的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．解析：结合幂函数的图象性质可知p <1. 答案：p <113．如图所示的函数F (x )的图象，由指数函数f (x )＝a x 与幂函数g (x )＝x α“拼接”而成，则a a 、a α、αa 、αα按由小到大的顺序排列为________．解析：依题意得⎩⎨⎧ a 14＝1214α＝12⇒⎩⎨⎧a ＝116，α＝12.所以a a＝(116)116＝[(12)4]116，a α＝(116)12＝[(12)32]116，αa ＝(12)116，αα＝(12)12＝[(12)8]116，由幂函数单调递增知a α＜αα＜a a ＜αa . 答案：a α＜αα＜a a ＜αa11 14．函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 的值．解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1，解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.15．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？解：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2.16．已知幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．解：由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3.又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意．∴m ＝±1或m ＝3.当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图(1)．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图(2)．。

简单的幂函数与函数的奇偶性一、简单的幂函数1．幂函数的定义如果一个函数，是自变量x，是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：从图中可以观察得到：例1.下列函数中是幂函数的是()①y＝1x3；②y＝axm(a，m为非零常数，且a≠1)；③y＝＋x4；④y＝x n；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；⑦y＝x2＋x；⑧y＝1.A．①②③⑧B．①④C．③④⑤⑥D．②④⑦例2.函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的，求f(x)的解析式．【名师指津】1．形如y ＝x a 的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x .2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值．变式练习1．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)是幂函数，求f (x )的解析式.例3.点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图像上，当x 为何值时，有①f (x )＞g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )＜g (x )?变式练习1．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点A ⎝⎛⎭⎫12，2. (1)求实数α的值；(2)用定义证明f (x )在区间(0，＋∞)内的单调性．二、函数的奇偶性1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是奇函数。

2、函数图像关于y 轴对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是偶函数。

3、奇偶性当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有 ．例4.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇函数的图像一定过原点．( )(2)定义在R 上的函数f (x )，若存在x 0，使f (－x 0)＝f (x 0)，则函数f (x )为偶函数．( )(3)函数y ＝x 2，x ∈(－1,1]是偶函数．( )例5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝13x 5； (2)f (x )＝3x 2； (3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x －3，x ＞0，x 2＋2x ＋3，x ＜0.【名师指津】判断函数奇偶性的方法变式练习1．函数f (x )＝x 2(x ＜0)的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数2.函数f (x )＝x 2＋x ( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．即是奇函数又是偶函数例6.如图2-5-3，给出了奇函数y ＝f (x )的局部图像，求f (－4)的值．例7.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图像．变式练习1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减小的，且f(3)＝0，则使f(x)<0的x的范围为________．2．定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为。