九年级下学期各章节重、难点
新北师大版九年级上册初中数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 正方形（基础） 【学习目标】 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法． 【要点梳理】 要点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 要点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 要点四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、正方形的性质 1、（2016?台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（） A．50 B．55 C．70 D．75 【思路点拨】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果． 【答案】C． 【解析】 解：∵四边形CEFG是正方形， ∴∠CEF=90°， ∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°， ∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）． 故选C． 【总结升华】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键． 举一反三： 【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且 CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
代数 方程（组） ★重难点★一元二次方程及其解法；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）—、基本概念 1 ?方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 二、一元二次方程 1 ?定义及一般形式： 2 ?解法：⑴直接开平方法（注意特征）⑵配方法（注意步骤一推倒求根公式） ⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0) 3.根的判别式：厶=b2 -4ac 4.根与系数的关系（韦达定理）：X-i + b x2= ，X-i c a a 逆定理：若，则以人，X2为根的一元 — -次方程是：a(X- X- ) ( X- X2 ) =0 5 ?常用等式： 三、可化为一元二次方程的方程 1 .分式方程 ⑴定义 ⑵基本思想：去分母 ⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，） ⑷验根及方法 2. 无理方程 ⑴定义 ⑵基本思想：分母有理化 ⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）购换元法（例，） ⑷验根及方法 3. 简单的二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。四、列方程解应用题 一概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： ⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 ⑵设兀（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。 ⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。 ⑹答案。 综上所述，列方程解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在
a ,x 2= a 2 2 2 数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式： ax + bx + c = 0(a ≠ 0). 其中， ax 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一 次项系数； c 是常数项。知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） ） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一 般地，对于形如 x =a(a ≥ 0) 的方程，根据平方根的定义可解得 x 1= . （2） ） 直接开平方法适用于解形如 x 2=p 或(mx+a)2 =p(m ≠ 0) 形式的方程， 如果 p ≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） ） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） ） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平 方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
北师大版九年级数学重难点梳 理 北师大版九年级数学重难点梳理 （上册） 第一章特殊平行四边 第一节菱形的性质与判定 重难点： 1.掌握菱形的概念、性质以及判定方法，理解菱形与平行四边 形之间的联系。 2. 会用菱形的性质和判定方法来进行有关的论证和计算，会用 菱形的对角线来计算菱形的面积。 3. 通过菱形与平行四边形关系的研究，进一步加深对“特殊” 与“一般”的关系。 第二节矩形的性质与判定 重难点： 1.探索并掌握矩形性质及矩形的判定定理 2. 矩形的轴对称性
3. 直角三角形斜边上的中线的性质 4. 矩形的判定（难点） 第三节正方形的性质与判定 重难点： 1.掌握正方形的概念、性质及判定方法，学会证明过程中所运 用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。 2. 能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他 相 关结论，经历探索、猜想、证明的过程，发展推理论证能力第二章一元二次方程
第一节认识一元二次方程 重难点：1.理解一元二次方程的概念，会判断一个方程是不是一元二次方 程。 2. 会将一元二次方程转化为一般形式，并能指出各项系数及常数 项。 3. 会用估算的方法求一元二次方程的近似解。（难点） 第二节用配方法求解一元二次方程 重难点：1.用直接开平方法解一元二次方程 2. 配方法解一元二次方程 3. 配方法的应用（难点） 4. 求解简单的实际问题 第三节用公式法求解一元二次方程 重难点：1?一元二次方程的求根公式（难点） 2. 公式法解一元二次方程 3. 一元二次方程ax2 +bx+c=O （a≠0）的根的情况 第四节用因式分解法求解一元二次方程 重难点：1.因式分解法解一元二次方程 2. 选择适当的方法解一元二次方程（难点） 第五节一元二次方程的根与系数的关系 重难点：1?知道一元二次方程的根与系数的关系。能运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和，两根之积及与两根有关的代数式 的值。 2. 能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出 一个根或由方程的根确定一元二次方程的系数。
青岛版数学九年级上册重难点汇总 第 1 章图形的相似 1．1相似多边形 教学重点：深刻理解和掌握相似多边形的对应点、对应角、对应边以及表示方式。 教学难点：找对应边及对应角。根据定义求线段长和角度。 1．2相似三角形的判定 教学重点：会应用相似三角形的判定方法。 教学难点：怎样选择合格的判定方法来判定两个三角形相似。 1．3相似三角形的性质 教学重点：相似三角形的性质。 教学难点：探究相似三角形的性质。 1．4图形的位似。 教学重点：利用位似图形的定义能判断两个图形是否是位似图形及位似图形的性质的运用。 教学难点：判断位似图形。 第 2 章解直角三角形 2．1 锐角三角比 教学重点：通过实例明确并认识锐角三角比的概念，正确理解三角比符号的含义，掌握锐角三角比的表示方法，能根据定义求锐角的三角比。 教学难点：正弦、余弦、正切概念的建立及表示。 2．2 30°,45°，60°角的三角比 教学重点：特殊角与其三角函数之间的对应关系。 教学难点：利用特殊角的三角函数值进行求值和化简。 2．3 用计算器求锐角三角比 教学重点：用计算器求出任意一个锐角的三角比值。 教学难点：由三角比的值求相应的锐角。 2．4 解直角三角形 教学重点：直角三角形的解法。 教学难点：正确选用边、角关系求解。 2．5 解直角三角形的应用 教学重点：解直角三角形的方法。
教学难点：三角比在解直角三角形中的灵活运用。 第 3 章对圆的进一步认识 3．1 圆的对称性 教学重点：理解圆的对称性及有关性质。 教学难点：会运用圆心角、弧、弦之间的关系、垂径定理等解决有关问题。3．2 确定圆的条件 教学重点：理解不在同一直线上的三个点确定一个圆。 教学难点：了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念，提高应用数学知识解决实际问题的能力。 3．3 圆周角 教学重点：掌握圆周角定义，并会熟练运用定义进行判断。 教学难点：理解半圆 (或直径) 与圆周角的关系 , 并会熟练运用关系解决问题。 3．4 直线与圆的位置关系 教学重点：了解直线与圆的三种位置关系，掌握切线的概念。 教学难点：了解三角形的内切圆、内心等概念，会画一个三角形有内切圆，并能解决与内心有关的计算题。 3．5 三角形的内切圆 教学重点：理解三角形内切圆的概念，掌握三角形内切圆的性质，能准确辨析内心和外心的不同 教学难点：掌握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。 3．6 弧长与扇形面积计算 教学重点：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程。 教学难点：了解弧长计算公式及扇形面积的计算公式，并会应用公 式解决问题。 3．7 正多边形与圆 教学重点：能利用正多边形的性质进行有关的计算。 教学难点：会用基本作图作圆的的内接正方形和正六边形。 第 4 章一元二次方程 4．1 一元二次方程 教学重点：认识一元二次，会辨认一元二次方程。学会把一元二次方程化成一般形式，并能找出二次方程系数、一次项系数和常数项。 教学难点：判断一个数是不是一元二次方程的根。
人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）） （4）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （5）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。
九年级下册重难点梳理 学习重点： 1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系。理解正切、倾斜程度、坡度、锐角三角函数正弦、余弦的数学意义，密切数学与生活的联系。能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比。 2．能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算。能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算，会比较锐角三角函数值的大小。 3．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用。发展学生数学应用意识和解决问题的能力。 学习难点： 1．理解正切的意义，并用它来表示两边的比。 2．用函数的观点理解正弦、余弦和正切。 3．根据相关术语，常用的方向角度准确的画出图像。 学习重点： 1．能够表示简单变量之间的二次函数。利用描点法作出y=x2的图像过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质。 2．二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图像和性质，推导和研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图像和性质。学习时结合图像分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析． 3．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题。 4．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值。 5．把握二次函数图像与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系。理解二次函数y=ax2＋bx＋c图像与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可。
北师大版九年级数学重难 点梳理 The latest revision on November 22, 2020
北师大版九年级数学重难点梳理 （上册） 第一章特殊平行四边 第一节菱形的性质与判定 重难点：1.掌握菱形的概念、性质以及判定方法，理解菱形与平行四边形之间的联系。 2.会用菱形的性质和判定方法来进行有关的论证和计算，会用 菱形的对角线来计算菱形的面积。 3.通过菱形与平行四边形关系的研究，进一步加深对“特殊” 与“一般”的关系。 第二节矩形的性质与判定 重难点：1.探索并掌握矩形性质及矩形的判定定理 2.矩形的轴对称性 3.直角三角形斜边上的中线的性质 4.矩形的判定（难点） 第三节正方形的性质与判定 重难点：1.掌握正方形的概念、性质及判定方法，学会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。 2.能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相 关结论，经历探索、猜想、证明的过程，发展推理论证能力。 第二章一元二次方程 第一节认识一元二次方程 重难点：1.理解一元二次方程的概念，会判断一个方程是不是一元二次方程。 2.会将一元二次方程转化为一般形式，并能指出各项系数及常 数项。 3.会用估算的方法求一元二次方程的近似解。（难点） 第二节用配方法求解一元二次方程 重难点：1.用直接开平方法解一元二次方程 2.配方法解一元二次方程 3.配方法的应用（难点） 4.求解简单的实际问题 第三节用公式法求解一元二次方程 重难点：1.一元二次方程的求根公式（难点） 2.公式法解一元二次方程 3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况 第四节用因式分解法求解一元二次方程 重难点：1.因式分解法解一元二次方程 2.选择适当的方法解一元二次方程（难点）
15年期中考试重难点突破 15年期中考试与往年相比，具有传承性，亦有突破，会是传统与创新、变革激烈碰撞的一年，要想取得好成绩，必须开阔视野，明确考试命题的方向，熟悉中考考点，章节重难点，易错点，易混淆点，自己问题所在，逐一突破，才能在考试中立于不败之地——稳定可靠，藉此讲义，助你成功。 中考考点： 一、一元二次方程： 三大陷阱：①二次项系数a ≠0;②利用关于x 1，x 2的等式求未知字母系数的值时，验△；③关于方程的类型的分类讨论； 中考考点：①利用方程根的定义求代数式的值；（整体代入法，若结合一元二次方程根与系数的关系，还需要注意降次思想）②解一元二次方程；（配方法，熟练理解记忆公式法，含字母系数的十字相乘因式分解法，二次项系数不为1的因式分解法，可化为一元二次方程的分式方程的解法及步骤，高次方程与整体思想注意验△）③韦达定理及根与系数的关系；（据根的分布，求字母系数的取值或范围时注意字母所在位置或利用配方法判断方程根的分布，会求含x 1，x 2的对称式的值及利用构造法求值（非对称式要结合根的定义），注意含x 1，x 2的绝对值的问题的常用解题策略，⑤一元二次方程的应用；常见题型：面积问题（注意平移，分割拼接转化为特殊图形，立体转化为平面）、经济型问题（归一法），单循环、双循环问题（会以选择题形式出现）。 新变化：一元二次方程解决几何图形中的计算问题；（动点位置或运动时间，线段最值，等腰三角形分类讨论，直线与圆的位置关系） 一、一元二次方程： 1、如图，正方形ABCD 的边长为2，M 为AD 的中点，N 在边CD 上且∠NMB=∠MBC ，MN 的延长线与BC 的延长线交于点G ，则GN 的长是 。 2、如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线c bx x y ++= 221的顶点，则方程12 1 2=++c bx x 的解的个数是（ ） A 、0或2 B 、0或1 C 、1或2 D 、0或1或2 3、二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）图象如图，下列结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③当m ≠1时，a+b ＞am 2 +bm ；④a-b+c ＞0；⑤若ax 12 +bx 1=ax 22 +bx 2，且x 1≠x 2，x 1+x 2=2．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．②④ C ．②⑤ D ．②③⑤ 4、已知方程x 2 -2（m 2 -1）x+3m=0的两个根是互为相反数，则m 的值是（ ） A ．m=±1 B ．m=-1 C ．m=1 D ．m=0 G N D C B A
第二十一章 二次根式 21.1二次根式 1、二次根式的概念 形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式 二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。 ★常考点：求被开方数a 的取值范围 2、二次根式的性质 （1）)0(≥a a ≥0 （2）)0()(2 ≥=a a a )0(≥a a （3）==a a 2 )0(<-a a ★常考点： 1、2a 与（a ）2的区别 2、例题：=---x x 11（x+y ）2， 求x 、y 的值 21.2二次根式的乘除 1、二次根式乘除运算法则： （1） 二次根式乘法法则b a ab ?==b a ab ?=(0,0)a b ≥≥ （2） 积的算术平方根的性质)0,0(≥≥?= b a b a ab （3）二次根式除法法则)0,0(≥≥=b a b a b a ， （4） 除法法则逆运算a b =a b （a ≥0，b>0） 2、最简二次根式 若二次根式满足：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把这样的二次根式叫做最简二次根式。 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、二次根式的加减 （1）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 （2）二次根式加减法步骤： a.先将二次根式化成最简二次根式 b.找出同类二次根式 c.合并同类二次根式 （3）二次根式混合运算法则：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 常考题型： 1、如果 2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是________ 2、实数p 在数轴上的位置如图所示： 化简： 22)2()1(p p -+-= p-1+2-p=1 二十二章 一元二次方程 22.1一元二次方程 1、一元二次方程概念 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 )0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 ★常考点：一元二次方程的一般形式中b 、c 能否等于0 22.2降次——解一元二次方程 0 1 2 p · · · ·
人教版九年级数学上册讲义（全册） 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点 1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式3课时 21．2 二次根式的乘法3课时 21．3 二次根式的加减3课时 教学活动、习题课、小结2课时
初三年级下册数学重难点分析 聪明出于勤奋，天才在于积累。尽快地掌握科学知识，迅速提高学习能力,接下来查字典数学网为大家提供的初三年级下册数学重难点分析。 锐角三角函数定义 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。 正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c 余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c 正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b 余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a 正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90-)=cos, cos(90-)=sin, tan(90-)=cot, cot(90-)=tan. 平方关系： sin^2()+cos^2()=1 tan^2()+1=sec^2() cot^2()+1=csc^2() 积的关系： sin=tancos
cos=cotsin tan=sinsec cot=coscsc sec=tancsc csc=seccot 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 两角和与差的三角函数： sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ? cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 三角和的三角函数： sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-ta
初三数学上册知识点总 结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
九年级数学上册知识点 （ 为重中之重） 第一章 二次根式 二次根式：形如a (0≥a )的式子为二次根式； 1 性质：a （0≥a ）是一个非负数； ()()02≥=a a a ； ()02≥=a a a 。 2 二次根式的乘除： ()0,0≥≥=?b a ab b a ； ()0,0>≥=b a b a b a 。 3 4 二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并。 5 二次根式的混合运算 第二章 一元二次方程 1 一元二次方程：等号两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的最高次是2的方程。 2 一元二次方程的解法 ① 配方法：将方程的一边配成完全平方式，然后两边开方； ② 公式法：a ac b b x 242-±-=（其中当△=ac b 42-＞0时，方程有两个不同的实数根：a ac b b a ac b b x x 24,242221---=-+-=；当△=ac b 42-=0时方程有两个相等的实数根：a b x x 221-= =；当△=ac b 42-＜0时，方程无实数根 ） ③ 因式分解法：左边是两个因式的乘积，右边为零。 3 一元二次方程在实际问题中的应用
4 韦达定理：设21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根，那么有 a c x x a b x x =?-=+2121, 第三章 旋转 1 图形的旋转 旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，就叫做图 形的旋转。 性质：①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角 ③旋转前后的图形全等。 会画出一个图形顺时针或逆时针旋转30°、60°、90°后的图形。 2 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°， 如果它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个图形中心对称。 中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图 形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对 称图形。 会画出一个图形关于原点对称得图形，也就是中心对称图形。 3 关于原点对称的点的坐标 已知点P 的坐标是（x ，y ）：关于原点对称的点的坐标是（-x,-y ） 关于x 轴对称的点的坐标是( x,-y ) 关于y 轴对称的点的坐标是( -x,y ) 第四章 圆 1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义 2 垂直于弦的直径 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴； 垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧； 平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。 3 弧、弦、圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也 相等。 4 圆周角 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半； 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是 直径。 5 点和圆的位置关系 点在圆外 r d >
九年级上册知识点总结 （数学） 2017年12月
第二十一章 一元二次方程 2２.１ 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ① 只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式:)0(02≠=++a c bx ax 其中，2ax 是二次项,a 是二次项系数； bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 ２2．2 降次——解一元二次方程 22．2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如)0(2≥=a a x 的方程，根据平方根的定义可解得a x a x -=+=21 . （２） 直接开平方法适用于解形如p x =2或 )0(2≠=+m p a mx ）（形式的方程,如果 ｐ≥0，就可以利用直接开平方法。 （3) 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 １；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法，配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （１） 把常数项移到等号的右边; （2） 方程两边都除以二次项系数;
2018人教版初中数学教材 重难点分析 (名师总结教材重点，绝对精品，建议大家下载学习) 一、构建完整的知识框架——夯实基础 1、构建完整的知识框架是我们解决问题的基础，想要学好数学必须重视基础概念，必须加深对知识点的理解，然后会运用知识点解决问题，遇到问题自己学会反思及多维度的思考，最后形成自己的思路和方法。但有很多初中学生不重视书本的概念，对某些概念一知半解，对知识点没有吃透，知识体系不完整，就会出现成绩飘忽不定的现象。 2、正确理解和掌握数学的一些基本概念、法则、公式、定理，把握他们之间的内在联系。由于数学是一门知识的连贯性和逻辑性都很强的学科，正确掌握学过的每一个概念、法则、公式、定理可以为以后的学习打下良好的基础，如果在学习某一内容或解某一题时碰到了困难，那么很有可能就是因为与其有关的、以前的一些基本知识没有掌握好所造成的，因此要经常查缺补漏，找到问题并及时解决之，努力做到发现一个问题及时解决一个问题。只有基础扎实，解决问题才能得心应手，成绩才会提高。 二、初中数学中考知识重难点分析 1、函数（一次函数、反比例函数、二次函数）中考占总分的15%左右。
函数对于学生来说是一个新的知识点，不同于以往的知识，它比较抽象，刚接受起来会有一定的困惑，很多学生学过之后也没理解函数到底是什么。特别是二次函数是中考的重点，也是中考的难点，在填空、选择、解答题中均会出现，且知识点多，题型多变。而且一道解答题一般会在试卷最后两题中出现，一般二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。有一定难度。如果学生在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对中考的分数会造成很大的影响。 2、整式、分式、二次根式的化简运算 整式的运算、因式分解、二次根式、科学计数法及分式化简等都是初中学习的重点，它贯穿于整个初中数学的知识，是我们进行数学运算的基础，其中因式分解及理解因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。中考一般以选择、填空形式出现，但却是解答题完整解答的基础。运算能力的熟练程度和答题的正确率有直接的关系，掌握不好，答题正确率就不会很高，进而后面的的方程、不等式、函数也无法学好。 3、应用题，中考中占总分的30%左右 包括方程（组）应用，一元一次不等式（组）应用，函数应用，解三角形应用，概率与统计应用几种题型。一般会出现二至三道解答题（30分左右）及2—3道选择、填空题（10分—15分），占中考总分的30%左右。现在中考对数学实际应用的考察会越来越多，数学与生活联系越来越紧密，因为这样更能让学生感受学
2014年（新版）九年级数学上册知识点归纳（北师大版） 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ．．。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 三个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）（书上：正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的对角线相等且互相平分） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 ※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 第二章 一元二次方程 1认识一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． 。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 2用配方法求解一元二次方程 ①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式>（配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根） ※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1； ③把常数项移到方程的右边； ④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成0)(2 =+m x 的形式； ⑥两边开方求其根。 3用公式法求解一元二次方程 ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） 4用因式分解法求解一元二次方程 ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 5一元二次方程的根与系数的关系 ※根与系数的关系：当b 2 -4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2-4ac<0时，方程无实数根。 ※如果一元二次方程02 =++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2，则有：a c x x a b x x = ?- =+2121。
新人教版九年级上册初中数学 重难点有效突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 随机事件和概率--知识讲解 【学习目标】 1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断； 2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义. 【要点梳理】 要点一、必然事件、不可能事件和随机事件 【 391875 名称：随机事件与概率初步 ：随机事件】 1.定义： （1）必然事件 在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． （3）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 要点诠释： 1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事 件”； 2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 要点二、概率的意义 概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为. 要点诠释： (1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； (2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小； (3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0 26.1二次函数教学目标：从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 26.2二次函数的图像（1）教学目标：1、经历描点法画函数图像的过程；2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；3、掌握型二次函数图像的特征；4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。教学重点：2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点：选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 26.2二次函数的图像（2）教学目标：1、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。2、了解2ax y =，2)(m x a y +=，k m x a y ++=2)(三类二次函数图像之间的关系。3、会从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2)(型二次函数的图像特征。教学重点：从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2)(型二次函数的图像特征。教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。 26.2二次函数的图像（3）教学目标：1、了解二次函数图像的特点。2、掌握一般二次函数c bx ax y ++=2的图像与2ax y =的图像之间的关系。3、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。教学重点：二次函数的图像特征教学难点：例2的解题思路与解题技巧。 2.3二次函数的性质（1）教学目标：1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性教学重点：二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.教学难点：二次函数的性质的应用. 26.3二次函数的性质（2）教学目标：1、掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式。2、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性。3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质。教学重点：二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质教学难点：利用图像观察性质 26.4二次函数的应用（1）教学目标：1、经历数学建模的基本过程。2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。 3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。重点：二次函数在最优化问题中的应用。难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。 26.4二次函数的应用(2)教学目标：1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。 26.4二次函数的应用(3)教学目标：1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。难点：例3将现实问题数学化，情景比较复杂。 27．1 图形的相似（1）知识目标通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形． 能力目标通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，能用所学的知识去解决问题． 情感目标在获得知识的过程中培养学习的自信心．教学重点 引导学生观察图形，并从中获取信息，培养他们的观察、分析及归纳能力．教学难点应用获得的数学知识解决生活中的实际问题． 27．1 图形的相似（2）知识与技能通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．过程与初三数学下册教学目标及重难点
相关主题
文本预览