九年级数学(上)重难点

九年级数学教学目标重难点(最新完整版)九年级数学教学目标重难点以下是九年级数学的教学目标及重难点：一、教学目标：1.掌握实数、方程、函数等概念，能够运用这些概念进行计算、推理和证明。

2.理解并掌握一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、一元一次不等式组等知识，能够解决实际问题。

3.理解并掌握函数及其图象，能够运用函数解决实际问题。

4.掌握圆的基本概念，能够绘制圆的平面图。

5.理解并掌握相似三角形的概念、性质和判定方法，能够解决实际问题。

6.掌握锐角三角函数的定义和计算方法，能够解决实际问题。

7.理解并掌握圆周角定理、三角形外角定理等几何知识，能够运用这些知识解决实际问题。

8.掌握概率的概念和计算方法，能够运用概率解决实际问题。

二、教学重难点：1.教学重点：方程、函数、相似三角形、锐角三角函数、几何知识等。

2.教学难点：几何知识、函数及其图象、概率等。

九年级数学总教学目标九年级数学学习的总目标：1.理解掌握基本概念：包括负数、一次函数、整式、分式、方程、不等式、三角形、圆的概念、轴对称和中心对称等。

2.掌握基本运算：包括有理数的运算、整式的运算、分式的运算、方程的运算、不等式的运算等。

3.培养学生的数学思维：包括掌握一次函数、二次函数、反比例函数的概念，学会分析问题，建立函数模型等。

4.培养学生应用数学的意识和能力：包括解决实际问题、完成实际问题等，提高学生的数学素养。

这些目标都是为了帮助学生更好地理解和掌握数学基础知识，培养他们的数学思维和应用能力，为高中数学的学习打下坚实的基础。

九年级数学教学目标要求九年级数学教学目标包括：1.获得所必需的数学基础知识和基本技能，理解基本概念，数学公式，掌握基本方法。

2.经历运用所学知识和方法解决简单问题的过程，学会使用数学教科书所呈现的数学思想和数学方法。

3.能够独立思考，能够自主完成课内外学习任务，能够交流和表达。

4.培养正确的数学态度，发展独立思考和独立学习数学的潜力。

九年级上册数学44个重难点考点：1.整数的加减法和乘法2.整数的除法3.整数的混合运算4.正数、负数的乘除法5.小数的四则混合运算6.小数的乘法7.小数的除法8.小数与分数的互换9.分数的基本概念与性质10.分数的加减法11.分数的乘法12.分数的除法13.分数的混合运算14.计算技巧15.有理数的加减法16.有理数的乘法17.有理数的除法18.比与比例19.比例的变化20.图形的认识21.平行线22.三角形的性质23.全等三角形的性质24.直角三角形的特殊性质25.相似三角形的性质26.相似三角形的判定27.三角形的计算28.四边形的性质29.平行四边形的性质30.矩形、正方形的性质31.菱形、平行四边形的性质32.梯形的性质33.五边形、六边形的性质34.多边形的内角和35.空间图形的认识36.棱、面、顶点的认识37.柱体、棱柱、棱锥的认识38.四面体、棱台、棱锥的认识39.球体、圆柱、圆锥的认识40.多面体的认识41.投影42.平移43.旋转44.对称以上是九年级上册数学的44个重难点考点，每个考点都是学习数学过程中不可或缺的重要内容。

在学习这些知识点的应注重理论联系实际，善于举一反三，灵活运用所学知识解决实际问题。

希望同学们在学习过程中能够将这些知识点牢牢掌握，不断提高数学解决问题的能力。

九年级上册数学重难点考点内容丰富多样，涵盖了整数、小数、分数、有理数、比与比例、图形的性质、空间图形的认识、投影、平移、旋转、对称等多个方面。

在学习这些知识点的过程中，我们应该注重理论联系实际，善于举一反三，灵活运用所学知识解决实际问题。

整数的加减法和乘法、整数的除法以及整数的混合运算是我们学习数学的基础。

我们要掌握整数的运算规则和技巧，例如同号相乘为正，异号相乘为负，同号相除为正，异号相除为负等。

在解决实际问题时，我们要能够准确地运用这些规则，正确地进行计算。

小数的四则混合运算、小数的乘法、小数的除法以及小数与分数的互换也是重点考点。

21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2）学生答：直接开平方法：x2=a (a≥0)，配方法：(x+m)2=n (n≥0)，公式法：x=2ba-±（b2-4ac≥0）.2. 什么叫因式分解?学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（出示课件3）学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ².（3）十字相乘法.教师问：下面的方程如何使解答简单呢？x2+25x=0.出示课件5：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）教师问：你能根据题意列出方程吗？学生答：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m ，即10x -4.9x 2=0.教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？（二）探索新知探究 因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.（两生板演）配方法解方程10x -4.9x 2=0. 解：2100049x x -=，22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=± 50504949x =±+110049，=x 20.=x公式法解方程10x -4.9x 2=0.解：24.9100x x -=，a=4.9，b=－10，c=0.b 2－4ac= (－10)2－0=100，a acb b x 242-±-=()10102 4.9--±=⨯110049，=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7）x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单？教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0，①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8）可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．教师提示：（出示课件9）1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”.师生共同归纳：（出示课件10）分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式；2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1 解下列方程：（出示课件11）（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34. 师生共同解答如下： 解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;（2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12. 想一想 以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后，教师总结如下：（出示课件12）一.因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13：解下列方程：2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).（）x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.（六生板演）解：⑴因式分解，得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x 1=0,x 2=－1.⑵因式分解，得x （x）=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2－2x+1 = 0. 因式分解，得(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.⑷因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0，x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2－x－2=0. 因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0. 于是得3x－2=0或2x+1 = 0，x1=23，x2=12.⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0.因式分解，得(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.于是得3x－9=0或1-x=0，x1=3，x2=1.出示课件16：用适当方法解下列方程：−x)2；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．师生共同解答如下.（出示课件17,18,19）解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1∴x1＝1x2＝1.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.∴x－3＝±.∴x1＝3＋，x2＝3－.(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x＝−（−4）±√（−4）2−4×3×（−1）2×3＝2±73.∴x1＝2＋73，x2＝2－73.(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0. ∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0. ∴(x－3)(4x－1)＝0.∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝1 4 .6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0. ∴(11x－8)(x＋12)＝0.∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝811，x2＝－12.出示课件20,21：用适当的方法解下列方程：(1)x2－41＝0；(2) 5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．学生自主思考并解答.解：(1)∵x2－14＝0，∴x2＝14，即x＝±14.∴x1＝12，x2＝－12.⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.∴3x＋2＝0或12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.（三）课堂练习（出示课件22-30）1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．2. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2－x＝0 时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4 B．x＝3C．x＝2 D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案：1.-32.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=32．3.解：⑴x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±5 2.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.若选择②，②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－ 3. 若选择③，③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择④，④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.开方，得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4 时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.（四）课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.（五）课前预习预习下节课（21.2.4）的相关内容。

初三数学知识点第一章二次根式1二次根式：形如a(a0)的式子为二次根式;性质：a(a0)是一个非负数;aaa0;2a2aa0。

2二次根式的乘除：ababa0,b0;aaa0,b0。

bb3二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

4海伦-秦九韶公式：S是三角形的面积，Sp(p)(pb)(pc)，p为pabc。

2第二章一元二次方程1一元二次方程：等号两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的最高次是2的方程。

2一元二次方程的解法配方法：将方程的一边配成完全平方式，然后两边开方;bb24ac公式法：某2a因式分解法：左边是两个因式的乘积，右边为零。

3一元二次方程在实际问题中的应用4韦达定理：设某1,某2是方程a某2b某c0的两个根，那么有某1某2,某1某2第三章旋转1图形的旋转旋转：一个图形绕其中一点转动一个角度的图形变换性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角旋转前后的图形全等。

2中心对称：一个图形绕一个点旋转180度，和另一个图形重合，则两个图形关于这个点中心对称;中心对称图形：一个图形绕其中一点旋转180度后得到的图形能够和原来的图形重合，则说这个图形是中心对称图形;3关于原点对称的点的坐标第四章圆1圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义2垂直于弦的直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧;平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。

3弧、弦、圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所baca对的弦也相等。

4圆周角在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半;半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。

5点和圆的位置关系点在dr点在圆上d=r点在圆内d相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

九年级数学上一元二次方程的解法教案(优秀5篇)数学《一元二次方程》教案设计篇一教学目标1、了解整式方程和一元二次方程的概念；2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3、通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。

难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。

教学建议：1、教材分析：1)知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。

2)重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。

方程，只有当时，才叫做一元二次方程。

如果且，它就是一元二次方程了。

解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1)一元二次方程的条件是确定的，如方程( ），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。

（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。

如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。

（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。

如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。

初三上册数学教学工作计划篇二【学习目标】1、了解整式方程和一元二次方程的概念。

2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3、通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

【重点、难点】重点:一元二次方程的概念和它的一般形式。

难点:对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定【学习过程】一、知识回顾1、什么是整式方程？_什么是-元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程:它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程。

九年级上册数学重点难点难点一：二次函数○二次函数的图象性质：注意二次函数一般形式中，a、b、c所表示的含义，对称轴与顶点的表达式，开口的方向和大小，增减性与对称性，函数图像的平移和翻折等基本内容。

在解决综合题目时，多结合函数图像，利用数形结合的思想解决。

○二次函数与一次函数、反比例函数综合：求两个函数的交点采用联立解析式的方法，联立所得方程的解就是交点的横坐标，解的个数即对应交点的个数。

另外，如果所研究的函数自变量有取值范围，一定要认真考虑最后的结果是否符合这个范围。

相关的面积问题要先将题目中点的坐标表示出来，再利用面积公式对应计算。

重点要掌握两点间的距离公式和中点坐标公式，在解题时很有用。

○二次函数与几何综合：从点的坐标入手，结合几何特点，如勾股定理、等腰三角形的两腰相等等，将几何条件转化为代数表达式进行计算。

动点问题多需要考虑动点的轨迹，可以利用几何特征去找，也可以利用代数计算出动点轨迹的解析式。

难点二：圆○熟悉圆的基本概念，涉及到弧、弦、圆周角等时，注意对应关系。

○熟悉圆内常见的辅助线，如构造直径所对圆周角为90°，连接过切点的半径等。

○垂径定理及其推论的知二推三要理解透彻。

○切线的性质和判定，了解连半径做垂直和作垂直证半径两种常见切线证明方法。

遇到题目中已有切线条件时，连接过切点的半径。

○切线长定理的运用，常用于线段的计算。

○圆内线段长度的计算，重点注意圆内的模型，双垂直、平行线成比例、弦切角等。

并且要注意相似三角形部分知识在圆内的运用。

另外，见到三角函数的条件时，注意如何将相应的角放在直角三角形中。

难点三：相似三角形○熟练掌握相似三角形的性质和判定，了解位似和位似中心的概念。

遇到比例问题时，注意A字形和8字形中比例的对应关系。

○在找相似条件时，注意分析已有条件，在已有条件的基础上进行补充，边的方面注意等线段之间的互相转化，角度方面要掌握常见的倒角模型。

○注意相似与旋转的综合，对之前掌握的旋转模型进行深化拓展，将相似的部分补充进自己的知识体系。

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最全数学九年级上册重点知识点(精选6篇)在我们平凡无奇的学生时代，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。

为了帮助大家更高效的学习，熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟，以下是美丽的编辑给大家整编的较全数学九年级上册重点知识点【精选6篇】，欢迎参考阅读，希望对大家有所启发。

单元圆篇一一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”二、弦、弧等与圆有关的定义1弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

如图中的AB2直径经过圆心的弦叫做直径。

如途中的CD直径等于半径的2倍。

3半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⊙”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧多用三个字母表示；小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

3平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

【考点1 菱形的性质】如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则的度数是A ．B ．C ．D ．如图，菱形中，，于，交于，于．若的周长为4，则菱形的面积为A ．B ．C ．16D ．【考点2 矩形的性质】如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则A ．B ．C ．D ．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为ABCD AC BD O DE BC ⊥E OE 50BCD ∠=︒OED ∠()35︒30︒25︒20︒ABCD 135D ∠=︒BE CD ⊥E AC F FG BC ⊥G BFG ∆ABCD ()ABCD AC BD C AE BO AE =(OD =)2cm 3cm 4cm 6cm P ABCD AC P //EF BC AB CD E F PB PD 3AE =9PF =()A ．12B ．24C ．27D ．54如图，矩形对角线、相交于点0，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，若，，则的值为A ．10B ．9.6C ．4.8D ．2.4【考点3 正方形的性质】已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为A ．B ．C ．D ．如图，在正方形中，，点分别在，上，，，相交于点．若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为A ．7B ．C ．8D ．正方形的边长为2，在其的对角线上取一点，使得，以为边作正方形，如图所示，若以为原点建立平面直角坐标系，点在轴正半轴上，点在ABCD AC BD P AD P PE AC ⊥E PF BD ⊥F 3AB =4BC =PE PF +()M ABCD MC MD AD ==AMB ∠()120︒135︒145︒150︒ABCD 3AB =EF CD AD CE DF =BE CF G ABCD 2:3BCG ∆()33+ABCD AC E AE AB =AE AEFG B A y C轴的正半轴上，则点的坐标为A ．，B ．，C ．D ．，【考点4 菱形的判定】如图，在中，点是边上一点，，连接．点是中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，连接．求证：四边形是菱形．【变式4-3】（2019春•霍林郭勒市期末）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、． （1）求证：；（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由．【考点5 矩形的判定】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接． （1）求证：△；（2）当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．x G ()3(23)3.(27)22ABC ∆D AB AC AD =CD O CD AO AO BC E ED D //DF BC AE F CF CEDF Rt ABC ∆90ACB ∠=︒C //MN AB D AB D DE BC ⊥MN E F CD BE CE AD =D AB BECD ABCD AC BD O E F OB OD AE G EG AE =CG ABE ∆≅CDF ∆AB AC EGCF如图，点、分别是不等边三角形（即的边、的中点．点是内的动点，连接、，点、分别是、的中点，顺次连接点、、、．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由．如图，在中，是上的一个动点（不与点、重合），过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． （1）试说明：；（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．【考点6 正方形的判定】如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分．（1）求证：．（2）若．求证：四边形是正方形．D E ABC )AB BC AC ≠≠AB AC O ABC ∆OB OC G F OB OC D G F E DGFE OA BCDGFE ABC ∆O AC A C O //MN BC MN BCA ∠E BCA ∠F OE OF =OAECF ABCD E F G H AB BC CD DA AE CG =AH CF =EG HEF ∠AEH CGF ∆≅∆90EFG ∠=︒EFGH如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接． （1）求证：是的中点．（2）当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由．如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点． （1）判断与的大小关系？并说明理由；（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形会是正方形．【考点7 中点四边形】已知：四边形，，，，是各边的中点． （1）求证：四边形是平行四边形；（2）假如四边形是一个矩形，猜想四边形是什么图形？并证明你的猜想．ABC ∆D BC E AD A BC CE F AF BD =BF D BC ABC ∆AFBD ABC ∆O AC O //MN BC ACB ∠E ACB ∠F OE OF O AECF ABC ∆AECF ABCD E F G H EFGH ABCD EFGH已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）． （1）四边形的形状是 ，证明你的结论．（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足 条件时，四边形是矩形；证明你的结论．（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）． （1）四边形的形状是 ，证明你的结论；（2）当四边形的对角线满足 条件时，四边形是矩形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？（3）当四边形的对角线满足 条件时，四边形是菱形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？ ．ABCD E F G H EF FG GH HE EFGH ABCD EFGH ABCD AC BD AC BDEFGH ABCD E F G H EF FG GH HE EFGH ABCD EFGH ABCD EFGH ABCDEFGH【考点8 四边形中的最值问题】正方形的边长为12，点在上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．点是菱形的对角线上的一个动点，已知，，点，分别是，边上的中点，则的周长最小值是 ．如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ．【考点9 四边形中的折叠问题】如图，将矩形纸片折叠，使点刚好落在线段上，且折痕分别与边，相交于点，，设折叠后点，的对应点分别为点，． （1）判断四边形的形状，并证明你的结论；（2）若，且四边形的面积是20，求线段的长．ABCD E BC 5BE =P BD PE PC+P ABCD AC 1AB =120ADC ∠=︒M N AB BC MPN∆ABCD 8AB =4BC =90A ∠=︒E F G H ABCD AE CG =BF DH =EFGH ()ABCD AD AB >C AD BC AD E F C D G H CEGF 4AB =CEGFEF如图，在矩形中，，点和点为边上两点，将矩形沿着和折叠，点和点恰好重合于矩形内部的点处， （1）当时，求的度数； （2）若，，求的长．如图，在四边形纸片中，，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，点，恰好都和点重合，．（1）求证：四边形是正方形；（2）求证：三角形的周长是四边形周长的一半； （3）若，求的长度．【考点10 四边形中的旋转问题】已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、，于点，如图，，求的长．如图，正方形的对角线和相交于点，正方形的边交于点，交于点．（1）求证：；ABCD 2AB BC >E F AD BE CF A D G AB BC =GEF∠AB 2BC =EF ABCD 90B D ∠=∠=︒E F BC CD AB AD AE AF B D G 45EAF ∠=︒ABCD ECF ABCD 1EC FC ==AB ABCD 45MAN ∠=︒MAN ∠A CB DC M N AH MN ⊥H 2MH =3NH =AH ABCD AC BD O 111A B C O 1OA AB E 1OC BC F 22()2BE BF OB +=（2）如果正方形的边长为，那么正方形绕点转动的过程中，与正方形重叠部分的面积始终等于 （用含的代数式表示）如图，在正方形中，、是对角线上两点，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，，且使得． （1）求证：；（2）求证：．如图1，已知四边形是正方形，对角线、相交于点，以点为顶点作正方形．（1）如图1，点、分别在和上，连接、，和有何数量关系，并说明理由；（2）将正方形绕点顺时针方向旋转，如图2，判断和的数量关系，并说明理由．ABCD a 111A B C O O ABCDa ABCD E F BD ADF ∆A 90︒ABM ∆EM AE 45MAE ∠=︒ME EF =222EF BE DF =+ABCD AC BD E E EFGH A D EH EF BH AF BH AF EFGH E BH AF【考点11 一元二次方程的概念】下面关于x 的方程中：①220ax x ++=；①223(9)(1)1x x --+=；①13x x+=；①22(1)0a a x a ++-=； 1x =-．一元二次方程的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4已知关于x 的方程21(1)230mm x x +++-=是一元二次方程，则m 的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．不能确定【考点12 一元二次方程的解】如果关于x 的一元二次方程22(3)390m x x m -++-=有一个解是0，那么m 的值是( ) A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a ，b ，c 满足0a b c ++=和0a b c -+=，则方程的根是(） A ．1，0 B ．1-，0 C ．1，1- D ．无法确定m 是方程210x x +-=的根，则式子3222018m m ++的值为( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020【考点13 用指定方法解一元二次方程】 ）按照指定方法解下列方程：（1）2(21)9x -= （用直接开平方法）（2）22980x x -+= （用配方法）（3）2230x x --= （用求根公式法）（4）7(52)6(52)x x x +=+（用因式分解法） 【考点14 一元二次方程根的判别式】已知关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10a x a x a ---++=有两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若a 为最大的正整数，求此时方程的根．关于x 的一元二次方程为22(2)0x x m m --+=（1）求证：无论m 为何实数，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正数．已知228160(0)x x m m -+-=≠是关于x 的一元二次方程（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若等腰ABC ∆的一边长6a =，另两边长b 、c 是该方程的两个实数根，求ABC ∆的面积．【考点15 一元二次方程根与系数的关系】已知1x ，2x 是方程23350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值；（1）2212x x +（2）1211x x + 已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程24410kx kx k +++=的两个实根，是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的两实数根，且1x ，2x 恰好是ABC ∆另外两边的边长，已知等腰ABC ∆的一边长为7，求这个三角形的周长．【考点16 有关一元二次方程传播问题】今年春季某地区流感爆发，开始时有4人患了流感，经过两轮传染后，共有196人患了流感．若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．（1）若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为5，则共握手 次；（2）若参加聚会的人数为(n n 为正整数），则共握手 次；（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB 上共有m 个点（不含端点A ，)B ，线段总数为多少呢？请直接写出结论．【考点17 有关一元二次方程面积问题】某农场要建一个饲养场（矩形)ABCD两面靠现有墙(AD位置的墙最大可用长度为27米，AB 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形)ABCD的一边AB长为x米．（1）饲养场另一边BC 米（用含x的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．如图所示，有一长方形的空地，长为x米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园．（1）请用含x的代数式表示正方形乙的边长：米；（2）若丙地的面积为32平方米，请求出x的值．【考点18 有关一元二次方程增长率问题】2019年中国北京世界园艺博览会于4月28日晚在北京延庆隆重开幕，本届世园会主题为“绿色生活、美丽家园”．自开园以来，世园会迎来了世界各国游客进园参观．据统计，仅五一小长假前来世园会打卡的游客就总计约32.7万人次．其中中国馆也是非常受欢迎的场馆．据调查，中国馆5月1日游览人数约为4万人，5月3日游览人数约为9万人，若5月1日到5月3日游客人数的日增长率相同，求中国馆这两天游客人数的日平均增长率是多少？今年，我区某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2017年单价为200元，2019年单价为162元．（1）求2017年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在标价162元的基础上，两个文体用品商店有下列不同的促销方案，试问去哪个商店买足球更优惠？【考点19 有关一元二次方程利润问题】某公司销售一种产品，进价为20元/件，售价为80元/件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于50元/件，设一次性购买x万件(10)x>（1）若15x=，则售价应是元/件；（2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为728万元；电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元/件的新商品，在试销中发现：销售单价x（元)与每天销售量y（件)之间满足如图所示的关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价x的值．某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？【考点20 有关一元二次方程动点问题】如图，在矩形ABCD中，6AB cm=，12=，点P从点A出发沿AB以1/cm s的速度BC cm向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2/∆的cm s的速度向点C移动，几秒种后DPQ面积为231cm？如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，16=，动点P，Q分别AD cmAB cm=，6从点A，C同时出发，点P以3/cm scm s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2/的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为233cm？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？【考点21 概率与方程】在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（）A．27B．23C．22D．18不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（）A．4个B．6个C．8个D．10个一个不透明盒子里装有a只白球、b只黑球、c只红球，这些球仅颜色不同．从中随机摸出一只球，若P（摸出白球）＝，则下列结论正确的是（）A．a＝1B．a＝3C．a＝b＝c D．a＝（b+c）【考点22 利用树状图求概率】有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．（1）随机抽取一张卡片，则抽到数字“2”的概率是；（2）从四张卡片中随机抽取2张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到“数字和为5”的概率．爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏：拿出三张正面写有数字﹣1，0，1且背面完全相同的卡片，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲先随机抽取一张，将所得数字作为p 的值，然后将卡片放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将所得数字作为q 值，两次结果记为（p，q）．（1）请你帮他们用树状图或列表法表示（p，q）所有可能出现的结果；（2）求满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率．【考点23 游戏公平性】现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．【考点24 比例线段的概念】下列四组线段中，不成比例线段的是（）A．2cm，5cm，10cm，25cm B．4cm，7cm，4cm，7cmC．2cm，cm，cm，4cm D．cm，cm，2cm，5cm如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（）A．4：3B．3：4C．2：3D．3：2甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【考点25 黄金分割】已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，则P A＝cm．（精确到0.1）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．【考点26 比例的基本性质】已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，a+b+c＝12，试判断△ABC的形状．若k＝＝＝，且a+b+c≠0，求k的值．【考点27 平行线分线段成比例】如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．（1）若BD＝20，求BG的长；（2）求的值．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求证：AF：FD＝AD：DB；（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．如图所示，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，且，射线CF交AB于E点，求．【考点28 作位似变换】如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，6）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）（1）画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，直接写出点C2的坐标和△A2B2C2的面积．在坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照2：1放大后的位似图形△A2B2C2；（3）△A2B2C2面积为．（直接写出答案）【考点29 相似三角形的判定】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）△ABE与△BEF相似吗？为什么？【考点30 相似三角形的性质】如图，在△ABC和△DBE中，＝＝，且∠DBA＝∠CBE．（1）若△ABC与△DBE的周长之差为10cm，求△ABC的周长；（2）若△ABC与△DBE的面积之和为170cm2，求△DBE的面积．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，求S△DOE：S△AOC的值．【考点31 相似三角形的应用】如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．如图，小华和小康想用标杆来测量河对岸的树AB的高，两人在确保无安全隐患的情况下，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小华在C 处蹲下，小康平移标杆到H处时，小华恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH ＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，CH⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量过程及测量数据，请你求出树AB的高度．【考点32 相似三角形的判定和性质】如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD＝BE＝4，AE＝3，求CD的值．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，BC＝nAC（1）如图1，当n＝时，则的值为；（直接写出结果）（2）如图2，点P是BC的中点，过点P作PF⊥AP交AB于F，求的值；（用含n 的代数式表示）（3）在（2）的条件下，若PF＝BF，则n＝．（直接写出结果）如图，在锐角△ABC中，高AD与高BE相交于点F，∠EBC的平分线BG与AC相交于G，与AD相交于点H，且点H是BG的中点．（1）图中与∠DAC相等的角是；（2）求证：EG＝2DH；（3）若DH＝1，AH＝kBH，求CG的长（用含k的代数式表示）．【考点33 相似证明中的比例式】如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM 交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．求证：FD2＝FB•FC．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（1）求证：△ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．【考点34 利用相似三角形的性质解决动点问题】如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（3）当点M运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？【考点35 一线三等角】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞0）．P为边BC上一动点（不与B、C重合），过P点作PE⊥AP交直线CD于E．（1）求证：△ABP∽△PCE；（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点，求m的值；（3）若m＝12，DE＝1，求BP的长．如图1，点D为正△ABC的BC边上一点（D不与点B，C重合），点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝∠B．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）设BD＝a，CD＝b，△BDE的面积为S1，△CDF的面积为S2，求S1•S2（用含a，b 的式子表示）；（3）如图2，若点D为BC边的中点，求证：DF2＝EF•FC．【考点36 中心投影与相似】如图，小欣站在灯光下，投在地面上的身影AB＝2.4m，蹲下来，则身影AC＝1.05m，已知小欣的身高AD＝1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度PH．如图，路灯（P 点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O 点）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？【考点37 反比例函数的定义】 若函数()21-+=m x m y 是反比例函数，则=m ( )A ．1±B ．3±C ．1-D ．1【变式1-2】（2019春•阜宁县期中）下列函数：①2y x =-，②3x y =，③1y x -=，④21y x =+，y 是x 的反比例函数的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【考点38 反比例函数的性质】 在反比例函数3my x-=的图象在某象限内，y 随着x 的增大而减小，则m 的取值范围是( )A ．3m >-B ．3m <-C ．3m >D ．3m <【变式2-3】（2019•荆州区模拟）已知关于x 的方程2(1)10x m x --+=有两个相等的实数根，且反比例函数1m y x-=的图象在每个象限内y 随x 的增大而减小，那么m 的值为( ) A ．3B ．3或1-C ．2-D ．1-【考点39 反比例函数值大小比较】设1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是双曲线3y x=-上的三点，则( )A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>【变式3-3】（2019春•西湖区校级月考）若反比例函数1(1,0)a y a x x-=><图象上有两个点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，设1212()()m x x y y =--，则y mx m =-不经过第( )象限．A ．一B ．二C ．三D ．四【考点40 与反比例函数有关的图象问题】二次函数22y kx k =--与反比例函数(0)ky k x=≠在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则-次函数24y bx c b =--+与反比例函数a b cy x-+=在同一坐标系内的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【考点41 反比例函数K 的几何意义】如图，在平直角坐标系中，过x 轴正半轴上任意一点P 作y 轴的平行线，分别交函数3(0)y x x =>、6(0)y x x=->的图象于点A 、点B ．若C 是y 轴上任意一点，则ABC ∆的面积为( )A ．9B ．6C ．92D ．3如图，平行于x 轴的直线与函数1(0,0)a y a x x =>>，2(0by b x=>．0)x >的图象分别相交于A 、B 两点，且点A 在点B 的右侧，在X 轴上取一点C ，使得ABC ∆的面积为3，则a b -的值为( )A ．6B ．6-C ．3D ．3-如图，点A 是反比例函数3(0)y x x=>的图象上任意一点，//AB x 轴交反比例函数2y x =-的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则ABCD S 平行四边形为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【考点42 求反比例函数的解析式】已知1y -与x 成反比例，当1x =时，5y =-，求y 与x 的函数表达式．【变式7-1】（2018秋•金山区期末）已知：12y y y =+，并且1y 与(1)x -成正比例，2y 与x 成反比例．当2x =时，5y =；当2x =-时，9y =-． （1）求y 关于x 的函数解析式； （2）求当8x =时的函数值．如图，已知点P 在双曲线3(0)y x x=>上，连结OP ，若将线段OP 绕点O 逆时针旋转90︒得到线段OQ ，求经过点Q 的双曲线的表达式．【考点43 反比例函数与一次函数综合】 已知(,2)A a a -、(2,)B a -两点是反比例函数my x=与一次函数y kx b =+图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求ABO ∆的面积；（3）观察图象，直接写出不等式0mkx b x+->的解集．如图，在直角坐标系xOy 中，直线y mx =与双曲线ny x=相交于(1,)A a -、B 两点，BC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积是1． （1）求m 、n 的值； （2）求直线AC 的解析式．（3）点P 在双曲线上，且POC ∆的面积等于ABC ∆面积的14，求点P 的坐标．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+与反比例函数6y x=-的图象交于(1,)A m -，(,3)B n -两点，一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点C ．（1）求一次函数的解析式；（2）若反比例函数y ＝﹣，当y ≤﹣2时，x 的取值范围是 ． （3）根据函数的图象，直接写出不等式kx +b ≥﹣的解集．（4）点P 是x 轴上一点，且△BOP 的面积是△BOA 面积，求点P 的坐标．【考点44 与反比例函数有关的存在性问题】如图，直线1y x b =+交x 轴于点B ，交y 轴于点(0,2)A ，与反比例函数2ky x=的图象交于(1,)C m ，(,1)D n -，连接OC ，OD ．（1）求k 的值； （2）求COD ∆的面积．（3）根据图象直接写出12y y <时，x 的取值范围． （4）点M 是反比例函数2ky x=上一点，是否存在点M ，使点M 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形，且CD 为直角边，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．如图所示，直线1114y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数2(0)ky x x=>的图象交于点C ，且AB BC =．（1）求点C 的坐标和反比例函数2y 的解析式；（2）点P 在x 轴上，反比例函数2y 图象上存在点M ，使得四边形BPCM 为平行四边形，求BPCM 的面积．。