2020届高中数学分册同步讲义(选修4-5) 第1讲 一 第2课时 基本不等式

一、选择题1．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则c c a b> C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >，则a c b c ->-2．若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3317,22⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭B ．(][) ,21,-∞-+∞C ．[]1,2D ．(][),12,-∞+∞3．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3-B ．[]2,6-C ．[]6,2-D ．[]3,4-4．若不等式()()2||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．25．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b<B ．ac bc ≥C ．20c a b >-D ．()20a b c -≥6．已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<7．若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <D ．c c a b <8．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >， 则22ac bc >9．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y-> D ．ln x +ln y >010．不等式5310x x -++≥的解集是( )A ．[-5,7]B ．[-4,6]C ．(][),57,-∞-+∞ D ．(][),46,-∞-+∞11．已知,a b ∈R ，且2a bP +=，222a b Q +=，则P ，Q 的关系是（ ） A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <12．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >二、填空题13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．已知平面向量a ，b ，c 满足1a =，||1b =，()c a b a b -+≤-，则||c 的最大值为___________．15．若不等式2240x x m +--≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______.16．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_______．17．若110a b>>有下列四个不等式①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；b a b a -④3322a b ab +>.则下列组合中全部正确的为__________ 18．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________19．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为_____________．20．若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角形函数，下面四个函数：①()()20f x x x =>；②())0f x x x =>；③()sin 02f x x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；④()cos 02f x x x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭为保三角形函数的序号为___________．三、解答题21．已知函数()36f x x =+，()3g x x =-． （Ⅰ）求不等式()()f x g x >的解集；（Ⅱ）若()3()f x g x a +≥对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的最大值． 22．函数()212f x x x =-++.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()f x 的最小值为M ，()220,0a b M a b +=>>，求证：141213a b +≥++. 23．（1）设1≥x ，1y ≥，证明：111x y xy xy x y++≤++； （2）设1a b c ≤≤≤，证明：log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++. 24．已知()13f x x x =++-．（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积； （2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围． 25．已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围. 26．已知0a >，0b >，函数()|||2|f x x a x b =++-的最小值为1. （1）求2a b +的值；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若2,1,1a b c ===，则c ca b<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.2．D解析：D 【分析】由题意可转化为()2min311a a x x -≥+--，转化为求11x x +--的最小值，解不等式，求a 的取值范围. 【详解】若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，可知()2min311a a x x -≥+--当1x ≤-时，11112x x x x +--=--+-=-，当11x -<<时，11112x x x x x +--=++-=，222x -<<， 当1≥x 时，11112x x x x +--=+-+=， 所以11x x +--的最小值为-2， 所以232a a -≥-，解得：2a ≥或1a ≤. 故选：D 【点睛】本题考查不等式能成立，求参数的取值范围，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是将不等式能成立，转化为求函数的最小值.3．C解析：C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．4．D解析：D 【分析】可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解.【详解】当220x x -≥时，即[]02x ,∈时，||0x a b --≤恒成立，所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，综上，2a b += 故选：D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题5．D解析：D 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解. 【详解】由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b > A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则11a b>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确； C . 若0c,则20c a b=-，故本选项不成立；D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥ 故选：D 【点睛】本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2eb ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<， 故选：B . 【点睛】 本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.7．B解析：B 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】 对于A ：当112a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确； 对于B ：当112a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，所以log log 0b a c c >>，因112a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确； 对于C ：当112a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；对于D ：当112a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.8．D解析：D 【分析】根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，根据不等式传递性可知，A 选项命题正确.对于B 选项，由于ln y x =在定义域上为增函数，故B 选项正确.对于C 选项，由于2x y =在定义域上为增函数，故C 选项正确.对于D 选项，当0c 时，命题错误.故选D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.9．A解析：A 【分析】结合选项逐个分析，可选出答案. 【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析： 对于选项A ，0x y ->，110y x x y xy--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，110y xx y xy--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.10．D解析：D 【分析】零点分段后分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】 分类讨论：当5x ≥时，不等式即：5310x x -++≥，解得：6x ≥； 当35x -<<时，不等式即5310x x ---≥，此时不等式无解； 当3x ≤-时，不等式即：5310x x -+--≥，解得：4x ≤-； 综上可得，不等式的解集为(][),46,-∞-⋃+∞. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C 【解析】分析：因为P 2﹣Q 2=﹣2()4a b -≤0，所以P 2≤Q 2，则P≤Q ，详解：因为a ，b ∈R ，且P=2a b +，，所以P 2=2224a b ab ++，Q 2=222a b +，则P 2﹣Q 2=2224a b ab ++﹣222a b +=2224ab a b --=﹣2()4a b -≤0， 当且仅当a=b 时取等成立，所以P 2﹣Q 2≤0，即P 2≤Q 2，所以P≤Q ， 故选：C ．点睛：比较大小的常用方法 （1）作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. （2）作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.（3）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系. （4）借助第三量比较法12．D解析：D 【解析】分析：根据不等式的性质，通过举例，可判定A 、B 、C 不正确，根据指数函数的性质，即可得到D 是正确的.详解：当1,2a b ==-时，满足a b >，此时2211,,a b a b a b<，所以A 、B 、C 不正确；因为函数x y e =是单调递增函数，又由a b >，所以a b e e >，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的性质的应用和指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和指数函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、填空题13．【分析】先去绝对值转化为再转化为求的最大值与最小值得到答案【详解】由得又由则则的最大值为的最小值为则故答案为：【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法对数函数的值域的求法还考查了将恒成立问题转化为求最值 解析：()1,7-【分析】先去绝对值，转化为22log 5log 5x a x -<<+，再转化为求2log ,[4,16]y x x =∈的最大值与最小值，得到答案. 【详解】由2log 5x a -<，得22log 5log 5x a x -<<+，又由2log ,[4,16]y x x =∈， 则[2,4]y ∈，则25log x -的最大值为1-，2log 5x +的最小值为7，则17a -<<. 故答案为：()1,7- 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的值域的求法，还考查了将恒成立问题转化为求最值问题，转化与化归思想，属于中档题.14．【分析】只有不等号左边有当为定值时相当于存在的一个方向使得不等式成立适当选取使不等号左边得到最小值且这个最大值不大于右边【详解】当为定值时当且仅当与同向时取最小值此时所以因为所以所以所以当且仅当且与解析：【分析】只有不等号左边有c ，当||c 为定值时，相当于存在c 的一个方向使得不等式成立． 适当选取c 使不等号左边得到最小值，且这个最大值不大于右边． 【详解】当||c 为定值时，|()|c a b -+当且仅当c 与a b +同向时取最小值， 此时|()|||||||c a b c a b a b -+=-+-，所以||||||c a b a b ++-．因为||||1a b ==，所以2222()()2()4a b a b a b ++-=+=，所以22222(||||)()()2||||2[()()]8a b a b a b a b a b a b a b a b ++-=++-++-++-= 所以||||||22c a b a b ++-，当且仅当a b ⊥且c 与a b +同向时取等号．故答案为 【点睛】本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本不等式等，综合性很强，属于中档题．15．【分析】构造函数得出函数表示为分段函数的形式并求出函数的最小值可得出实数的取值范围【详解】构造函数由题意得当时当且仅当时等号成立；当时此时函数单调递增则所以函数的最小值为因此故答案为【点睛】本题考查 解析：3m ≤【分析】构造函数()224f x x x =+-，得出()min m f x ≤，函数()y f x =表示为分段函数的形式，并求出函数()y f x =的最小值，可得出实数m 的取值范围． 【详解】构造函数()224f x x x =+-，由题意得()min m f x ≤.当2x ≤时，()()2224133f x x x x =-+=-+≥，当且仅当1x =时，等号成立； 当2x >时，()()222415f x x x x =+-=+-，此时，函数()y f x =单调递增，则()()24f x f >=.所以，函数()y f x =的最小值为()min 3f x =，因此，3m ≤，故答案为3m ≤． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查参变量分离与分类讨论思想，对于这类问题，一般转化为最值来求解，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中等题．16．【解析】试题分析：由题意得对任意总成立即对任意总成立而当且仅当时取=则实数的取值范围是考点：基本不等式求最值 解析：()2,π-+∞【解析】试题分析：由题意得()=()f x x a x π-<对任意0x <总成立，即a x xπ>+对任意0x <总成立，而2x xππ+≤-，当且仅当x π=-时取“=”，则实数的取值范围是()2,π-+∞考点：基本不等式求最值17．①③【分析】由条件可知利用作差或是不等式的性质或是代特殊值判断不等式是否正确【详解】则正确故①正确；但不确定和的大小关系所以的正负不确定故②不正确；即故③正确；当时当时故④不正确；故答案为：①③【点解析：①③ 【分析】由条件可知0b a >>，利用作差，或是不等式的性质，或是代特殊值，判断不等式是否正确. 【详解】1100a b a b>>⇒<<，则33a b <正确，故①正确；()()()()()()33213333log 1log 211log 3log 3log 2log 1log 2log 1a b b a a b a b +++-+-=-=++++，()()33log 20,log 10a b +>+>，但不确定1b +和2a +的大小关系，所以()()33log 1log 2b a +-+的正负不确定，故②不正确；0b a >>，0>，(()22b a b a -=+---，20a =-=<<③正确； 当1,2a b ==时，33220a b ab +-> 当2,3a b ==时，33220a b ab +-<，故④不正确；故答案为：①③【点睛】方法点睛：1.利用不等式的性质判断，把要判断的结论和不等式的性质联系起来考虑，先找到与结论相近的性质，再判断.2.作差（或作商）比较法，先作差（商），变形整理，判断符号（或与1比较），最后判断大小；3.特殊值验证的方法，运用赋值法排除选项.18．【分析】由题意得由绝对值三角不等式求出函数的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】由题意得由绝对值三角不等式得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查不等式恒成立问题同时也考查了利用绝对值三角不 解析：(],3-∞-【分析】 由题意得()min 12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式求出函数12y x x =+--的最小值，从而可求出实数m 的取值范围.【详解】 由题意得()min 12m x x ≤+--， 由绝对值三角不等式得()()12123x x x x +--≥-+--=-，3m ∴≤-， 因此，实数m 的取值范围是(],3-∞-，故答案为(],3-∞-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，同时也考查了利用绝对值三角不等式求最值，解题时要结合题中条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.19．【分析】由等式x+4y ﹣xy ＝0变形得将代数式x+y 与代数式相乘并展开利用基本不等式可求出x+y 的最小值从而可求出m 的取值范围【详解】由于x+4y ﹣xy ＝0即x+4y ＝xy 等式两边同时除以xy 得由基解析：9m ≤【分析】由等式x +4y ﹣xy ＝0，变形得411x y +=，将代数式x +y 与代数式41x y+相乘并展开，利用基本不等式可求出x +y 的最小值，从而可求出m 的取值范围．【详解】由于x +4y ﹣xy ＝0，即x +4y ＝xy ，等式两边同时除以xy 得，411x y+=，由基本不等式可得()414559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y=，即当x ＝2y=6时，等号成立， 所以，x +y 的最小值为9．因此，m ≤9．故答案为m ≤9．【点睛】本题考查基本不等式及其应用，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力与变形能力，属于中等题．20．②③【分析】欲判断函数是不是保三角形函数只需要任给三角形设它的三边长分别为则不妨设判断是否满足任意两数之和大于第三个数即任意两边之和大于第三边即可【详解】任给三角形设它的三边长分别为则不妨设①可作为 解析：②③【分析】欲判断函数()f x 是不是保三角形函数，只需要任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，判断()()()f a f b f c ，，是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可【详解】任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，①()()20f x x x =>，335，，可作为一个三角形的三边长，但222335+<，则不存在三角形以222335，，为三边长，故此函数不是保三角形函数②())0f x x =>，b c a +>>>())0f x x =>是保三角形函数 ③()02f x sinx x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，02a b c π>+>>，()()()sin sin sin f a f b a b c f c +=+>=()02f x sinx x π⎛⎫∴=<< ⎪⎝⎭是保三角形函数 ④()02f x cosx x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，当512a b π==，12c π=时，55 121212cos cos cos πππ+<，故此函数不是保三角形函数综上所述，为保三角形函数的是②③【点睛】要想判断()f x 是保三角形函数，要经过严密的论证说明()f x 满足保三角形函数的概念，但要判断()f x 不是保三角形函数，仅需要举出一个反例即可三、解答题21．（Ⅰ）93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）15. 【分析】（1）两边平方，再利用一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集；（2）转化为min (3633)x x a ++-≥对于任意x ∈R 恒成立，利用绝对值三角不等式求出min (3633)15x x ++-=，进而可得答案．【详解】（Ⅰ）由()()f x g x >，得363x x +>-，平方得()()22363x x +>-， 得2842270x x ++>，即()()29430x x ++>，解得92x <-或34x >-. 故不等式()()f x g x >的解集是93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅱ）若()()3f x g x a +≥恒成立，即3639x x a ++-≥恒成立. 只需min (3633)x x a ++-≥即可. 而()3639363915x x x x ++-≥+--=，所以15a ≤故实数a 的最大值为15.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在y g x 上方即可)；③ ()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立22．（1）52；（2）证明见解析. 【分析】 （1）采用零点分段的方法将定义域分为三段：(],2-∞-、12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，由此求解出每一段定义域对应的()f x 的值域，由此确定出()f x 的最小值；（2）由（1）确定出M 的值，采用常数代换的方法将14213a b +++变形并利用基本不等式完成证明.【详解】解：（1）()31,212123,22131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩， 当2x -≤时，()5f x ≥； 当122x -<<时，()552f x <<； 当12x ≥时，()52f x ≥. 所以()f x 的最小值为52. （2）由（1）知52M =，即25a b +=， 又因为0a >，0b >， 所以()()141142132139213a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()4211359213a b a b +⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭1519⎛ ≥+= ⎝ 当且仅当()253221a b b a +=⎧⎨+=+⎩，即1a =，3b =时，等号成立， 所以141231a b +≥++. 【点睛】本题考查绝对值函数的最值以及运用基本不等式证明不等式，难度一般.（1）求解双绝对值函数的最值常用的方法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）利用基本不等式完成证明或者求解最值时，要注意说明取等号的条件.23．（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）根据题意，首先对原不等式进行变形，()()21xy x y x y xy ++≤++，再做差，通过变形、整理化简，利用已知条件判断可得结论，从而不等式得到证明；（2）首先换元，设log ,log a b b x c y ==，利用换底公式转化为关于,x y 的式子，即为111x y xy xy x y++≤++，借助（1）的结论，可得证明． 【详解】证明：（1）由于1≥x ，1y ≥， 则111x y xy xy x y++≤++()()21xy x y x y xy ⇔++≤++， 将上式中的右边式子减左边式子得：()()21x y xy xy x y ⎡⎤++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()111xy xy x y xy =+--+-()()11xy xy x y =---+()()()111xy x y =---，又由1≥x ，1y ≥，则1xy ≥；即()()()1110xy x y ---≥，从而不等式得到证明．（2）设log ,log a b b x c y ==，则1,1x y ≥≥， 由换底公式可得：111log ,log ,log ,log b c a c a b c xy a x y xy====， 于是要证明的不等式可转化为111x y xy xy x y ++≤++， 其中log 1,log 1a b b x c y =≥=≥，由（1）的结论可得，要证明的不等式成立.【点睛】本题主要考查了不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（2）证明在变形后用到（1）的结论．属于中档题.24．（1）24；（2）4433a -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出直线8y =与函数()y f x =的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.（2）先求得()f x 的最小值，由此得到4211a a ≥++-，由零点分段法进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）因为()22,14,1322,3x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，如图所示：直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形是一个等腰梯形，令228x -+=，得3x =-；令228x -=，得5x =， 所以等腰梯形的面积()1484242S =⨯+⨯=． （2）要使()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，只须()min 211f x a a ≥++-，而()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以()min 4f x =，故4211a a ≥++-．①由122114a a a ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩，得4132a -≤<-； ②由1122114a a a ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+≤⎩，得112a -≤≤； ③由12114a a a >⎧⎨++-≤⎩，得413a <≤， 故4433a -≤≤．【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.25．（1）(0,2)；（2）[2,)+∞【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可. 【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，， 当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-， 令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 则max 1()12g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞ 【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题. 26．（1）22a b +=（2）92t ≤【分析】（1）用分段函数表示()f x ，分析单调性，得到min ()122b b f x f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，即得解（2）原式转化为2a b t ab+≤，结合22a b +=，252a b a b ab b a +=++利用均值不等式即得解【详解】 （1）令0x a +=得x a =-，令20x b -=得2b x =， ∵0a >0b >，∴2b a -<， 则3,(),23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+≤-⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩， ∴()f x 在,2b ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴min ()122b b f x f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，22a b +=； （2）∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab +≤恒成立， ∵22a b +=，∴112a b +=， ∴1212255922222a b a b a b a b ab b a b a b a +++=+=+=++≥+=，（当且仅当a b =时取等号） ∴2a b ab +的最小值为92， ∴92t ≤. 【点睛】 本题考查了绝对值函数的最值问题和均值不等式的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题。

一、选择题1．已知函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．12．下列命题中，正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则a c > B ．若ac bc >，则a b > C ．若22a b c c<，则a b < D ．若a b >，c d >，则ac bd >3．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（ ） A ．22b a b a ab ->+> B ．22b a ab b a ->>+ C ．22b a b a ab +>->D ．22ab b a b a >->+4．设不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．15a <-或47a >B ．15a <-C ．47a >或01a <<D ．15a <-或1064a <<5．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤6．已知1a >，实数,x y 满足x y a a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11x y x y+>+ B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y >D ．33x y >7．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1x y>；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．48．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y-> D ．ln x +ln y >09．若()0,2x π∈，则不等式sin sin x x x x +<+的解集为( )A ．()0,πB ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ10．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A ．01ab<< B ．a b c c > C ．0ac bc -<D ．ln0ab> 11．已知实数,a b ，且a b >，则以下不等式恒成立的是（ ） A ．33a b >B ．22a b >C ．1133ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11a b< 12．若0a b >>，则（ ）A ．11a b>B ．22log log a b <C ．22a b <D ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题13．若不等式2240x x m +--≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______.14．已知不等式116a x y x y+≥+对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_______. 15．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．16．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接)17．对任意实数x ，不等式|1|||1x x a a ++-≥-+恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 18．若函数()()01af x ax a x =+>-在()1,+∞上的最小值为15，则函数()1g x x a x =++-的最小值为___．19．若关于x 的不等式||(,)x a b a b R +<∈的解集为{|35}x x <<，则a b -=________. 20．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________三、解答题21．解不等式：122x x -+-≤． 22．已知函数()|1|2|3|f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使得不等式23()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围.23．已知1a ≠且a R ∈，试比较11a-与1a +的大小． 24．求下列关于x 的不等式的解集 （1）|21|3x x +>-； （2）2|5|5x x -．25．已知()13f x x x =++-．（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积； （2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围． 26．（1）解不等式239x x -++≥； （2）若1a <，1b <，求证：1ab a b +>+.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 考虑12x =，1，2的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值． 【详解】 函数()()1,f x ax b a b R x=++∈，当1[2x ∈,2]时，()f x 的最大值为(,)M a b ，可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++，11(,)()|2|22M a b f a b ≥=++，(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++，可得1(3M a ,2)(3b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++211124113363332a b a b a b ≥+++++---=， 即()12,2M a b ≥，即有()1,4M a b ≥，则(,)M a b 的最小值为14， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解到最大值的含义，熟练掌握绝对值的三角不等式.2．C解析：C 【分析】利用不等式的基本性质进行逐项判断即可,不成立的举反例. 【详解】对于选项A:若2,3,1,2a b c d =-=-==-,满足a b >,c d >,但是a c >不成立,故选项A 错误;对于选项B ：若1,3,2c a b =-=-=-,满足ac bc >,但a b >不成立,故选项B 错误; 对于选项C ：因为22a b c c<,整理化简可得20a bc -<,因为20c >,所以0a b -<,即a b <成立,故选项C 正确;对于选项D:若1, 1.1,2a b c d ==-=-=-,满足a b >,c d >,但是ac bd >不成立,故选项D 错误; 【点睛】本题考查不等式与不等关系;不等式的基本性质的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．A解析：A 【分析】容易判断出0a <，0b >，从而得出0ab <，并可得出 1221b a b aba++=<，从而得出2b a ab +>，并容易得出22b a b a ->+，从而得出结论. 【详解】因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <，因为666612log 0.32log 2log 1.2log 61a b+=+⨯=<=，即21b aab +<， 又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->，所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>， 故选：A. 【点睛】本题主要考查对数的换底公式，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及不等式的性质，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,取2x =时,可得2431a ->,解得15a <-或47a >,利用换元法把不等式换为281t a t ->-,分47a >和15a <-两种情况讨论2()81h t t t =+-的最大值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】解:因为不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,当2x =时,312x +-有最大值31,不等式显然要成立,即2431a ->,解得15a <-或47a >,当[1,2]x ∈时,令2[2,4]x t =∈, 则24[4,16]x t =∈,328[16,32]x t +=∈,所以3412x x a +->-等价于281t a t ->-,①当47a >时,即281a t t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即281()a t t h t >+-=,即求2()81h t t t =+-的最大值,max ()(4)47h t h ==,所以47a >; ②当15a <-时,281t a t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即281()a t t f t <-+=,即求2()81f t t t =-+的最小值,min ()(4)15f t f ==-; 综上:15a <-或47a >. 故选:A 【点睛】本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.5．A解析：A 【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.6．D【分析】根据指数函数的单调性，得到x y >，再利用不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【详解】根据指数函数的单调性，由1a >且x y a a >，可得x y >， 对于A 中，由111()()(1)x y x y x y x y x y xy xy-+--=--=--，此时不能确定符号，所以不正确；对于B 中，当x 1,y 2==-时，2211x y +<+，此时()()22ln 1ln 1x y +<+，所以不正确；对于C 中，例如：当2,32x y ππ==时，此时sin sin x y <，所以不正确； 对于D 中，由33222213()()()[()]024x y x y x xy y x y x y y -=-++=--+>，所以33x y >，所以是正确的．故选D ． 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，以及不等式的性质的应用，其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理判断，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，正实数,x y 是正数，且x y >， ①中，可得2xy y >，所以2xy y <是错误的； ②中，由x y >，可得22x y >是正确的； ③中，根据实数的性质，可得1xy>是正确的； ④中，因为0x x y >->，所以11x x y<-是正确的， 故选C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．A解析：A结合选项逐个分析，可选出答案. 【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析：对于选项A ，0x y ->，110y xx y xy--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，110y xx y xy--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.9．D解析：D 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出sin 0x x <，由02x π<<，得出sin 0x <，借助正弦函数图象可得出答案． 【详解】因为sin sin x x x x +<+成立，所以sin 0x x <， 又(0,2)x π∈，所以sin 0x <，(,2)x ππ∈，故选D ． 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题．10．D解析：D 【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：由于a ＞b ＞0，1ab>，A 错； 当0＜c ＜1时，c a ＜c b ；当c ＝1时，c a ＝c b ；当c ＞1时，c a ＞c b ，故c a ＞c b 不一定正确，B 错；a ＞b ＞0，c ＞0，故ac ﹣bc ＞0，C 错．lnln10ab>= ，D 对；【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性判断A ；令1a =，1b =-判断,B D ，根据指数函数的单调性判断C ．【详解】因为()3f x x =是增函数，所以由b a >可得33b a >，选项A 正确；当1a =，1b =-时，22a b >不成立，选项B 错误；因为1y ()3x =是减函数,由a b >可得11()()33a b<，选项C 错误，1a =，1b =-时，11a b<不成立，选项D 错误，故选A ． 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于中档题．利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.12．D解析：D 【解析】分析：对每一个选项逐一判断得解. 详解：对于选项A,11110,b a a b ab a b--=<∴<，所以选项A 错误. 对于选项B,因为0a b >>，对数函数2log y x =是增函数，所以22log log a b ＞，所以选项B 错误.对于选项C,2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以选项C 错误.对于选项D, 因为0a b >>，指数函数1()2x y =是减函数，所以 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项D 正确. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查不等式的性质和函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，一般利用作差法和作商法，本题利用的是作差法,注意函数的图像和性质的灵活运用.二、填空题13．【分析】构造函数得出函数表示为分段函数的形式并求出函数的最小值可得出实数的取值范围【详解】构造函数由题意得当时当且仅当时等号成立；当时此时函数单调递增则所以函数的最小值为因此故答案为【点睛】本题考查 解析：3m ≤【分析】构造函数()224f x x x =+-，得出()min m f x ≤，函数()y f x =表示为分段函数的形式，并求出函数()y f x =的最小值，可得出实数m 的取值范围． 【详解】构造函数()224f x x x =+-，由题意得()min m f x ≤.当2x ≤时，()()2224133f x x x x =-+=-+≥，当且仅当1x =时，等号成立； 当2x >时，()()222415f x x x x =+-=+-，此时，函数()y f x =单调递增，则()()24f x f >=.所以，函数()y f x =的最小值为()min 3f x =，因此，3m ≤，故答案为3m ≤． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查参变量分离与分类讨论思想，对于这类问题，一般转化为最值来求解，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中等题．14．【解析】试题分析：由题设知对于任意正实数xy 恒成立所以1+a+≥16由此能求出正实数a 的最小值【解答】解：∵不等式对任意正实数xy 恒成立∴对于任意正实数xy 恒成立∵∴1+a+≥16即又a ＞0从而故答解析：【解析】试题分析：由题设知()min 116a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对于任意正实数x ，y 恒成立，所以，由此能求出正实数a 的最小值．【解答】解：∵不等式116a x y x y+≥+对任意正实数x ，y 恒成立， ∴()min116a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ 对于任意正实数x ，y 恒成立 ∵()111a y ax x y a a x y x y ⎛⎫++=+++≥++ ⎪⎝⎭∴即)530≥ ，又a ＞0，min 3,9.a ≥=故答案为9点睛：：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.15．【解析】试题分析：由已知得即所以故答案为考点：不等式选讲 解析：【解析】试题分析：由已知得，2(2)4(1)0a a ∆=--++≥，即11a a ++≤，所以2111,10a a a a +≤++≤-≤≤，故答案为[1,0]-.考点：不等式选讲.16．【解析】因为所以与1的大小关系是故答案为 解析：1S >【解析】因为,,a b c R +∈，所以1a b c a b c S b c a c a b a b c a b c a b c=++>++=+++++++++，S 与1的大小关系是1S > ，故答案为1S >.17．【分析】结合绝对值三角不等式得即求即可【详解】由绝对值三角不等式得即恒成立当时去绝对值得解得故；当时此时无解综上所述故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查由绝对值不等式恒成立求参数取值范围绝对值三角不 解析：0a ≥【分析】结合绝对值三角不等式得|1|||1x x a a ++-≥+，即求11a a +≥-+即可 【详解】由绝对值三角不等式得()()|1|||11x x a x x a a ++-≥+--=+，即11a a +≥-+恒成立，当1a ≥-时，去绝对值得11a a +≥-+，解得0a ≥，故0a ≥；当1a <-时，11a a --≥-+，此时无解，综上所述，0a ≥ 故答案为：0a ≥ 【点睛】关键点睛：本题考查由绝对值不等式恒成立求参数取值范围，绝对值三角不等式的使用，应掌握以下公式：a b a b a b +≥±≥-，使用绝对值三角不等式的目的在于，消去无关变量，如本题中的x .18．6【分析】首先利用基本不等式求函数的最小值解得的值再根据含绝对值三角不等式求函数的最小值【详解】当且仅当时即时取等号此时满足所以函数的最小值是6故答案为：6【点睛】方法点睛：本题考查基本不等式求最值解析：6【分析】首先利用基本不等式求函数的最小值，解得a 的值，再根据含绝对值三角不等式求函数()g x 的最小值.【详解】()11131f x a x a a x ⎛⎛⎫=-++≥= ⎪ -⎝⎭⎝， 当且仅当111x x -=-时，即2x =时取等号， 此时满足3155a a =⇒=，()()()51516g x x x x x =++-≥+--=，所以函数()g x 的最小值是6.故答案为：6【点睛】方法点睛：本题考查基本不等式求最值以及含绝对值不等式求最值，其中基本不等式求最值需注意一下几点：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方19．【分析】利用绝对值的性质解不等式后与已知比较可求得【详解】由得即所以解得所以故答案为：【点睛】本题考查解绝对值不等式掌握绝对值的性质是解题关键 解析：5-【分析】利用绝对值的性质x a a x a <⇔-<<解不等式后与已知比较可求得,a b ．【详解】由||x a b +<得b x a b -<+<，即a b x a b --<<-+，所以35a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得41a b =-⎧⎨=⎩，所以5a b -=-． 故答案为：5-．【点睛】本题考查解绝对值不等式，掌握绝对值的性质是解题关键．20．【分析】由题意得由绝对值三角不等式求出函数的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】由题意得由绝对值三角不等式得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查不等式恒成立问题同时也考查了利用绝对值三角不解析：(],3-∞-【分析】 由题意得()min 12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式求出函数12y x x =+--的最小值，从而可求出实数m 的取值范围.【详解】 由题意得()min 12m x x ≤+--， 由绝对值三角不等式得()()12123x x x x +--≥-+--=-，3m ∴≤-， 因此，实数m 的取值范围是(],3-∞-，故答案为(],3-∞-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，同时也考查了利用绝对值三角不等式求最值，解题时要结合题中条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.三、解答题21．15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】按1,2x x --的零点分区间，分类讨论转化为解一元一次不等式即可.【详解】当1x ≤时，122x x -+-<，解得1>2x ，所以112x <≤； 当12x <<时，122x x -+-<，即10-<，所以12x <<； 当2x ≥时，1+22x x --< ，解得52x <，所以522x ≤<； 综上，原不等式的解集是15,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，分类讨论去绝对值是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.22．（1）(,6)(2,)-∞--+∞；（2）(1,4)-.【分析】（1）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，然后分3x ≤-、31x -<<、1≥x 三段求解不等式()1f x <，综合可得出不等式()1f x <的解集；（2）求出函数()y f x =的最大值max ()f x ，由题意得出2max 3()m m f x -<，解此不等式即可得出实数m 的取值范围.【详解】7,3()12335,317,1x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪--≥⎩. （1）当3x ≤-时，由()71f x x =+<，解得6x <-，此时6x <-；当31x -<<时，由()351f x x =--<，解得2x >-，此时21x -<<；当1≥x 时，由()71f x x =--<，解得8x >-，此时1≥x .综上所述，不等式()1f x <的解集(,6)(2,)-∞--+∞.（2）当3x ≤-时，函数()7f x x =+单调递增，则()(3)4f x f ≤-=；当31x -<<时，函数()35f x x =--单调递减，则(1)()(3)f f x f <<-，即8()4f x -<<；当1≥x 时，函数()7f x x =--单调递减，则()(1)8f x f ≤-=-.综上所述，函数()y f x =的最大值为max ()(3)4f x f =-=，由题知，2max 3()4m m f x -<=，解得14-<<m .因此，实数m 的取值范围是(1,4)-.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值的不等式的求解，以及和绝对值不等式有关的存在性问题的求解，意在考查学生分类讨论思想的应用，转化能力和运算求解能力，属于中等题. 23．答案见解析【分析】利用“作差法”，通过对a 分类讨论即可得出． 【详解】 21(1)11a a a a-+=--． ①当0a =时，201a a=-，∴111a a =+-． ②当1a <且0a ≠时，201a a>-，∴111a a >+-． ③当1a >时，201a a<-，∴111a a <+-． 综上所述，当0a =时，111a a =+-； 当1a <且0a ≠时，111a a >+-； 当1a >时，111a a<+-． 【点睛】本题考查“作差法”比较两个数的大小、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．24．（1）()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）55,2⎡+⎢⎣⎦⎣⎦【分析】 （1）分30x -<和30x -，把绝对值的不等式转化为关于x 的不等式组求解； （2）把2|5|5x x -转化为关于x 的不等式组求解．【详解】解：（1）由|21|3x x +>-，得30x -<①，或30213x x x-⎧⎨+>-⎩②，或30213x x x -⎧⎨+<-+⎩③． 解①得3x >，解得②得233x <，解③得4x <-． |21|3x x ∴+>-的解集为()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭； （2）由2|5|5x x -，得225555x x x x ⎧--⎨-⎩①②， 解①5352x +②得552x -或552x +． 取交集，得2|5|5x x -的解集为，55,2⎡+⎢⎣⎦⎣⎦【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法与数学转化思想方法，属于中档题．25．（1）24；（2）4433a -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出直线8y =与函数()y f x =的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.（2）先求得()f x 的最小值，由此得到4211a a ≥++-，由零点分段法进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）因为()22,14,1322,3x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，如图所示：直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形是一个等腰梯形，令228x -+=，得3x =-；令228x -=，得5x =， 所以等腰梯形的面积()1484242S =⨯+⨯=． （2）要使()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，只须()min 211f x a a ≥++-，而()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以()min 4f x =，故4211a a ≥++-．①由122114a a a ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩，得4132a -≤<-； ②由1122114a a a ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+≤⎩，得112a -≤≤； ③由12114a a a >⎧⎨++-≤⎩，得413a <≤， 故4433a -≤≤．【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.26．（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）见解析.【分析】（1）按照3x ≤-、32x -<<、2x ≥分类讨论，分别解不等式即可得解；（2）两边同时平方后作差可得()()22221110ab a b a b +-+=-->，即可得证.【详解】（1）当3x ≤-时，原不等式可转化为239x x ---≥解得5x ≤-；当32x -<<时，原不等式可转化为239x x -++≥，不等式不成立；当2x ≥时，原不等式可转化为239x x -++≥，解得4x ≥； 所以原不等式的解集为{5x x ≤-或}4x ≥；（2）证明：由题意()()2222111ab a b a b +-+=--， 因为1a <，1b <，所以210a -<，210b -<，所以()()22110a b -->，所以2210ab a b +-+>即221ab a b +>+， 所以1ab a b +>+.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解与证明，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于中档题.。

一、选择题1．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．11a b< B ．55a b > C ．22ac bc >D ．a b >2．已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，那么下列选项中正确的是（ ） A ．ab ac >B ．ac bc <C ．22ab cb >D ．22ca ac >3．已知实数0a b >>，R c ∈，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ac bc <B ．11b ba a+<+ C ．11b ba a+>+ D ．ac bc ≥4．已知x y z >>，2x y z ++=，则（ ） A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．x y z y >5．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（ ） A ．11x y> B ．11()()22xy<C ．1122x y <D ．sin sin x y >6．已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b >D ．1ab b>+ 7．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >， 则22ac bc >8．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>；②a b a b -<+；③2(0)b a ab a b+≠；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．若0a <b <，则下列不等式中成立的是（ ）A ．|a |>b -B ．1a b< C <D ．11a b< 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝1，则“a 3＞5”是“S 3＋S 9＞93”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11()()22ab<D ．1a b> 12．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 2二、填空题13．若0x y >>，则()412x y x y +-的最小值是________.14．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．15．设函数()1f x x x a =-+-，如果x R ∀∈，()2f x ≥，则a 的取值范围是__________．16．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 17．已知221:12:210(0)3x p q x x m m --≤-+-≤>，，且p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为_________．18．若关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是___________． 19．设x ∈R ，如果()lg 37a x x <++-恒成立，那么实数a 的取值范围是________. 20．全集U =R ，且2{}0|6A x x x =-++≥，}0{|34B x x =-->，则()UA B =________．三、解答题21．设不等式|1||1|2x x +--<∣∣的解集为A （1）求集合A ； （2）若,,a b c A ∈，证明：11abcab c->-． 22．设函数()22f x x x =+--. （1）解不等式()2f x ≥；（2）当x ∈R ，0<y <1时，证明：11221x x y y+--≤+-. 23．已知,,a b c 均为正实数. （I ）求证：32++≥+++a b c b c a c a b ； （II 1≥. 24．已知函数()|23||1|f x x x =+--. （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若不等式()2|33|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 25．（1）设1≥x ，1y ≥，证明：111x y xy xy x y++≤++；（2）设1a b c ≤≤≤，证明：log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++. 26．已知函数()()2f x x m x m R =--+∈，不等式()20f x -≥的解集为(],4-∞． （1）求m 的值；（2）若存在正实数0a >，0b >，且126a b m +=，使不等式21123x x a b-+-≥+成立，求实数x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则1a 与1b的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．A解析：A 【分析】根据不等式的性质推理即可得出. 【详解】c b a <<，且0ac <， 0c ∴<，0a >，0b a -<，ab ac ∴>.故选：A. 【点睛】本题考查不等式与不等关系，解题关键是熟练掌握不等式的性质，属于基础题.3．C解析：C 【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案. 【详解】当0c ≥时，不等式不成立，A 错误；()()10111b b ab a ab b a ba a a a a a ++----==>+++，故B 错误C 正确； 当0c <时，不等式不成立，D 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.4．C解析：C 【分析】由放缩法可得出0x >，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误. 【详解】x y z >>，23x y z x ∴=++<，可得203x >>.取0y =，3x =，1z =-，则A 、D 选项中的不等式不成立； 取0z =，32x =，12y =，则B 选项中的不等式不成立； 0x且y z >，由不等式的基本性质得xy xz >，C 选项中的不等式成立.故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质或特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.5．B解析：B 【分析】取特殊值排除ACD 选项，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性证明不等式，即可得出正确答案. 【详解】当11,2x y ==时，1112x y =<=，则A 错误；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R上单调递减，x y >，则11()()22x y <，则B 正确；当4,1x y ==时，112221x y =>=，则C 错误；当3,22x y ππ==时，sin 1sin 1x y =-<=，则D 错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查了由条件判断不等式是否成立，属于中档题.6．D解析：D 【分析】||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；||11a b b >+>+，再由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由212||b b +≥，结合选项A ，判断选项C 正确； 令5,a =3b =，满足||1a b >+，1ab b>+不成立. 【详解】||1a b >+2222||11a b b b ⇔>++>+，A 一定成立；||11a b b >+≥+122a b +⇒>，B 一定成立；又212||b b +≥，故24||4a b b >≥，C 一定成立； 令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立. 故选:D. 【点睛】本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.7．D解析：D 【分析】根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，根据不等式传递性可知，A 选项命题正确.对于B 选项，由于ln y x =在定义域上为增函数，故B 选项正确.对于C 选项，由于2x y =在定义域上为增函数，故C 选项正确.对于D 选项，当0c 时，命题错误.故选D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.8．C解析：C 【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】①1log 10lg lg 2(1)lg x x x x x+=+>，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误 ③，a b =时等号成立.正确④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确 故答案选C 【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.9．A解析：A 【解析】 【分析】对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断． 【详解】∵a ＜0，∴|a |＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a |＞﹣b ，故结论A 成立； 取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵21ab=＞，∴B 不正确； 21a b -=-=，，∴a b --＞∴C 不正确；112a =-，11b =-，∴11a b＞，∴D 不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例．10．A解析：A 【分析】利用等差数列的通项公式、求和公式与性质，以及充分条件与必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论. 【详解】设公差为d ，若21a =，315a d =+>，则43d >>，所以()3925223939312271227393S S a a a a d d +=+=++=+>+⨯=，充分性成立； 反之， 39193S S +>成立，则()22393122793,3a a d d d ++=+>>3214a a d d =+=+>，35a >不一定成立，即必要性不成立，所以35a >是39193S S +>的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.11．C解析：C 【解析】 【分析】利用不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，对四个选项逐一进行分析即可得到答案 【详解】对于A ，令0,1a b ==-，200=，()211-=，满足a b >，但不满足22a b >，故排除 对于B ，令0,1a b ==-，()lg 10a b lg -==，故排除对于C ，1 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，当a b >时，1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 恒成立对于D ，令0,1a b ==-，011a b =<-，故排除 故选C 【点睛】本题主要考查了简单的函数恒成立问题，可以根据不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，属于基础题。

专题突破二 逻辑用语中的常见误区误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．(1)x ＋2>0；(2)x 2＋2>0；(3)A ∩B ＝A ∪B ；(4)A ⊆(A ∪B )．解 (2)(4)是命题，且都为真命题．点评 判断一个语句是否为命题只需把握住两点：(1)必须是陈述句；(2)能判断真假．并非所有的不等式和集合运算式都不是命题．跟踪训练1 下列语句：①若x ∈R ，则x 2－3x ＋34≥0； ②5x ＋4>2；③(A ∩B )⊆A ；④∅A .其中是命题的为________．(填序号)答案 ①③④误区2 原命题为真，其否命题必为假例2 判断下列命题的否命题的真假：(1)若a ＝0，则ab ＝0；(2)若a 2>b 2，则a >b .解 (1)否命题为：若a ≠0，则ab ≠0，是假命题；(2)否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b ，是假命题．点评 原命题与其逆否命题的真假性相同，否命题与其逆命题的真假性相同，原命题与其否命题的真假性无关．跟踪训练2 已知命题“若q ，则p ”为假命题，则下列命题中一定是假命题的是( )A ．若p ，则qB ．若綈p ，则綈qC ．若綈q ，则綈pD ．若p ，则綈q答案 B误区3 搞不清谁是谁的条件例3 使不等式x －3>0成立的一个充分不必要条件是( )A ．x >3B ．x >4C ．x >2D ．x ∈{1,2,3}答案 B点评 我们知道：①A 是B 的充分不必要条件是指A ⇒B 且B ⇏A ；②A 的充分不必要条件是B 是指B ⇒A 且A ⇏B .这两种说法在充分条件与必要条件推理判断中经常出现且容易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误．跟踪训练3 “x >y >0”是下列哪一项的必要不充分条件( )A ．lg x >lg yB.1x <1yC.⎝⎛⎭⎫23x <⎝⎛⎭⎫23yD.x －1>y －1 答案 D误区4 考虑问题不周例4 如果a ，b ，c ∈R ，那么“b 2>4ac ”是“方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B点评 在充分、必要条件的推理判断中，要注意题中隐含的特殊情况，考虑问题要周全，稍不注意就导致答案错误．跟踪训练4 “m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当m ＝12时，两条直线的斜率分别为－53，35，－53×35＝－1，所以两条直线相互垂直； 反之，若两条直线相互垂直，需分三种情况：①当m ＝－2时，两条直线的方程分别为－6y ＋1＝0，－4x －3＝0，显然两直线相互垂直；②当m ≠－2且m ≠0时，由－m ＋23m ×2－m m ＋2＝－1，解得m ＝12； ③当m ＝0时，两条直线的方程分别为2x ＋1＝0，－2x ＋2y －3＝0，两直线不垂直．所以m ＝－2或12. 故“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件．误区5 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例5 (1)已知p ：方程(x －11)(x －2)＝0的根是x ＝11；q ：方程(x －11)(x －2)＝0的根是x ＝2，试写出“p ∨q ”．(2)p ：四条边相等的四边形是正方形；q ：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p ∧q ”． 解 (1)p ∨q ：方程(x －11)(x －2)＝0的根是x ＝11或方程(x －11)(x －2)＝0的根是x ＝2.(2)p ∧q ：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．点评 用“且”“或”联结命题时，应对两个命题用“且”“或”联结，而不应随意省略条件或结论．跟踪训练5 分别写出由下列命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”形式的命题．(1)p ：函数y ＝|x |是奇函数，q ：函数y ＝|x |是分段函数；(2)p ：公比是负数的等比数列中的项是正负项间隔出现的，q ：等比数列中可以存在“0”这一项．解 (1)p ∧q ：函数y ＝|x |是奇函数且是分段函数；p ∨q ：函数y ＝|x |是奇函数或是分段函数．(2)p ∧q ：公比是负数的等比数列中的项是正负项间隔出现的且等比数列中可以存在“0”这一项；p ∨q ：公比是负数的等比数列中的项是正负项间隔出现的或等比数列中可以存在“0”这一项．误区6不能正确否定结论例6p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．解綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．点评常见词语及其否定形式：是→不是，相等→不相等，>→≤，<→≥，都是→不都是，都不是→至少有一个是．跟踪训练6命题“若a，b都是奇数，则ab必为奇数”的等价命题是()A．若ab是奇数，则a，b都是奇数B．若ab不是奇数，则a，b不都是奇数C．若a，b都是奇数，则ab不是奇数D．若a，b不都是奇数，则ab不是奇数答案 B解析等价命题即其逆否命题，“都是”的否定是“不都是”．误区7忽略了隐含的量词例7写出下列命题的否定：(1)不相交的两条直线是平行直线；(2)奇函数的图象关于y轴对称．解(1)存在不相交的两条直线不是平行直线；(2)存在一个奇函数的图象不关于y轴对称．点评由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“∀x∈M，p(x)”的形式，再把它的否定写成“∃x0∈M，綈p(x0)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．跟踪训练7写出下列命题的否定：(1)可以被5整除的数，末位是0；(2)能被3整除的数，也能被4整除．解(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0. (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．1．下列语句是命题的是()A．今天天气真好啊！B．你怎么又没交作业？C．x>2 D．x∈R，x>2答案 D解析A是一个感叹句，不能判断真假，不是命题；B是问句，不能判断真假，不是命题；C不知道x的值是多少，所以不能判断真假，不是命题；D中x有范围，可以判断真假，因此是命题，且是假命题．2．设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点充分、必要条件的判断题点充分不必要条件的判断答案 A解析当1<x<2时，2<2x<4，∴p⇒q；但由2x>1，得x>0，∴q⇏p，故选A. 3．命题“若a＋b>1，则a，b中至少有一个大于1”的否命题为() A．若a，b中至少有一个大于1，则a＋b>1B．若a＋b≤1，则a，b中至多有一个大于1C．若a＋b≤1，则a，b中至少有一个大于1D．若a＋b≤1，则a，b都不大于1答案 D解析 “a ，b 中至少有一个大于1”表示“a ，b 中只有一个大于1”或“a ，b 中两个都大于1”，故其否定为“a ，b 都不大于1”，所以所给命题的否命题为“若a ＋b ≤1，则a ，b 都不大于1”．4．给出下列命题：①至少有一个x 0，使x 20－2x 0－3＝0成立；②对任意的x ，都有x 2－2x －3＝0成立；③对任意的x ，都有x 2－2x －3＝0不成立；④存在x 0，使x 20－2x 0－3＝0不成立．其中是全称命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点题点答案 B5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.解 (1)若ac >bc ，则a >b .∵ac >bc ，c <0时，a <b ，∴该命题是假命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． ∵Δ＝1－4m <0，∴该命题是真命题．(3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，∴该命题是真命题．6．已知p ：(x ＋2)(x －3)≤0，q ：|x ＋1|≥2，若“p ∧q ”为真，求实数x 的取值范围． 解 由(x ＋2)(x －3)≤0，解得－2≤x ≤3.由|x ＋1|≥2，解得x ≥1或x ≤－3.∵“p ∧q ”为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ≥1或x ≤－3，解得1≤x ≤3， 则实数x 的取值范围是[1,3]．一、选择题1．下列语句为命题的是( )A ．求证3是无理数B ．x 2＋4x ＋4≥0，x ∈RC ．你是高一的学生吗D ．x >15考点题点答案 B2．使|x |＝x 成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ≥0B ．x 2≥－xC ．log 2(x ＋1)>0D ．2x <1答案 B解析 ∵|x |＝x ⇔x ≥0，∴选项A 是充要条件，选项C ，D 均不符合题意．对于选项B ，由x 2≥－x ，得x (x ＋1)≥0，∴x ≥0或x ≤－1.故x 2≥－x 是使|x |＝x 成立的必要不充分条件．3．设命题p：∀x>0，log2x<2x＋3，则綈p为()A．∀x>0，log2x≥2x＋3B．∃x0>0，log2x0<2x0＋3C．∃x0>0，log2x0≥2x0＋3D．∀x<0，log2x≥2x＋3考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案 C4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．①③C．②③D．③④考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假答案 B5．有关下列命题，其中说法错误的是()A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的否命题为“若x2－3x－4≠0，则x≠4”B．“x>0”是“x>5”的必要不充分条件C．若p∨q是真命题，则p，q都是真命题D．命题“若x>1且y<－3，则x－y>4”的等价命题是“若x－y≤4，则x≤1或y≥－3”考点“或”“且”“非”的综合应用题点复合命题与充分、必要条件结合答案 C解析C中p∨q是真命题，则p为真命题或q为真命题或p和q都是真命题．6．下列命题中的真命题是()e x≤0A．∃x0∈R，0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．“a ＋b ＝0”的充要条件是“a b＝－1” D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件考点 充分、必要条件的判断题点 充分、必要条件的判断答案 D解析 ∵∀x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象有交点，如点(2,2)，此时2x ＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；∵a >1，b >1，由不等式的性质可知ab >1，∴D 正确．7．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的范围答案 A解析 p ：|x |≤2等价于－2≤x ≤2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以有[－2,2](－∞，a ]，即a ≥2.8．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1<2x 0，命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m ≤0，那么( )A ．“綈p ”是假命题B ．“綈q ”是真命题C ．“p ∧q ”为真命题D ．“p ∨q ”为真命题考点 含有一个量词的命题题点 含有一个量词的命题真假判断答案 D解析 对于命题p ：x 20＋1－2x 0＝(x 0－1)2≥0，即对任意的x ∈R ，都有x 2＋1≥2x ，因此命题p 是假命题．对于命题q ，若mx 2－mx －1<0恒成立， 则当m ＝0时，－1<0恒成立；当m ≠0时，由mx 2－mx －1<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0， 即－4<m <0.故－4<m ≤0，故命题q 是真命题．因此，“綈p ”是真命题，“綈q ”是假命题， “p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，故选D.9．已知p ：x 2＋2x －3>0；q ：13－x >1.若“(綈q )∧p ”为真命题，则x 的取值范围是_____________．考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，所以q 假p 真．而当q 为真命题时，有x －2x －3<0，即2<x <3， 所以当q 为假命题时有x ≥3或x ≤2；当p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2， 解得x <－3或1<x ≤2或x ≥3.10．由命题“存在x 0∈R ，使0|1|ex －－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是________．考点 特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围答案 1解析 其否定为：∀x ∈R ，使e |x －1|－m >0，且为真命题．所以m <e |x－1|， 只需m <(e |x －1|)min ＝1.故a ＝1.11．给出如下三个命题：①“2a >2b ”是“ma >mb ”的充要条件；②命题“若x ≥4且y ≥2，则x ＋y ≥6”的否命题为“若x <4且y <2，则x ＋y <6”； ③在△ABC 中，“A >60°”是“sin A >32”的充要条件． 其中不正确的命题是________．(填序号)考点 对充分条件与必要条件的理解及判断题点 充分条件与必要条件解析 若2a >2b ，则a >b ，而此时ma >mb 不一定成立；若ma >mb ，当m >0时，则a >b ，此时2a >2b ；当m <0时，此时a <b ，此时2a <2b ，所以“2a >2b ”是“ma >mb ”的既不充分也不必要条件，命题①错误；命题“若x ≥4且y ≥2，则x ＋y ≥6”的否命题为“若x <4或y <2，则x ＋y <6”， 故命题②错误；在△ABC 中，A ＝150°时，sin A <32，故命题③错误． 三、解答题12．(1)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的范围解 (1)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件，则只需⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}， 则只需－m 2≤－1，即m ≥2， 故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只需⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊇{x |x <－1或x >3}， 这是不可能的，故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件．13．已知p ：∀x ∈R ，9x －3x －a ≥0，q ：∃x 0∈R ，x 20＋(2a ＋1)x 0＋a 2＋2≤0，若p ∨q 为假命题，求实数a 的取值范围．考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词复合命题的真假求参数的范围解 若p 为真，则对∀x ∈R ，9x －3x －a ≥0恒成立，令t ＝3x (t >0)，则t 2－t －a ≥0(t >0)恒成立，所以a ≤t 2－t (t >0)恒成立，所以当t >0时，a ≤(t 2－t )min ＝－14， 所以a ≤－14. 若q 为真，则x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有解， 则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，所以a ≥74. 又p ∨q 为假，所以p ，q 都为假， 则⎩⎨⎧ a >－14，a <74，可得－14<a <74， 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，74.14．已知函数f (x )＝x －1，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．考点 全称量词与存在量词题点 恒成立求参数范围答案 (－∞，－3]解析 由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])， 因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝1，g (x )min ＝g (2)＝4＋a ， 所以1≥4＋a ，即a ≤－3.15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围． 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围解 y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716的对称轴为x ＝34， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716在⎣⎡⎦⎤34，2上为增函数， ∴716≤y ≤2，即A ＝⎣⎡⎦⎤716，2. 又B ＝{x |x ＋m 2≥1}＝{x |x ≥1－m 2}， ∵x ∈A ⇒x ∈B ，∴A ⊆B ，∴716≥1－m 2，即m 2≥916，∴m ≥34或m ≤－34. 即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.。