2022年全国各省中考数学真题分类解析分式方程

分式与分式方程（34题）一、单选题1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（ ）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=2．（2024·四川雅安·中考真题）计算()013-的结果是（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．43．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行0.5h ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km ，求慢车的速度？设慢车的速度为km /h x ，则可列方程为（ ）A ．60601202x x -=+B ．60601202x x -=-C ．60601202x x -=+D ．60601202x x -=-【答案】A【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为km /h x ，则快车的速度是()20km /h x +，再根据题意列出方程即可．4．（2024·四川雅安·中考真题）已知()2110a b a b+=+¹．则a aba b +=+（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3二、填空题5．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式619x -有意义，则x 需满足的条件是 ．6．（2024·辽宁·中考真题）方程512x =+的解为 ．解得：3x =，经检验：3x =是原方程的解，∴原方程的解为：3x =，故答案为：3x =．7．（2024·重庆·中考真题）计算：011(3)(2p --+＝ ．8．（2024·重庆·中考真题）计算：023-+= ．【答案】3【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式=2+1=3，故答案为：3．【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2024·安徽·中考真题）若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ．【答案】4x ¹【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．【详解】解：Q 分式有意义的条件是分母不能等于0，\40x -¹\4x ¹．故答案为：4x ¹．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．10．（2024·青海·中考真题）若式子13x -有意义，则实数x 的取值范围是 ．【答案】3x ¹【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件列不等式解答即可．11．（2024·四川甘孜·中考真题）分式方程11x 2=-的解为 ．12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程322x x=-的解为 ．î13211a y y-=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ．14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）计算：22x y xy y x x x æö--¸-=ç÷èø．15．（2024·江苏盐城·中考真题）使分式11x -有意义的x 的取值范围是 ．【答案】x ≠1【详解】根据题意得：x -1≠0，即x ≠1. 故答案为：x ≠1．16．（2024·山东滨州·中考真题）若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．17．（2024·四川自贡·中考真题）计算：31211a aa a +-=++．18．（2024·江苏常州·中考真题）计算：111x x x +=++ ．19．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a ，b 满足1ab =，那么221111a b +++的值为 ．三、解答题20．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：7411a aa a++æö+¸ç÷+，其中4a=．21．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：221412x xx x x+-æö-¸ç÷+，其中3x=．22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：22391369x x x x -æö+¸ç÷--+，其中2x =-．23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．24．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：2121121x x x x -æö-¸ç÷--+èø，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．25．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：32222x x x x ---，其中x26．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：11x y y x y x æöæö-¸-ç÷ç÷èøèø，其中2x y =-．27．（2024·四川·中考真题）化简：11x x x x +æö-¸ç÷．28．（2024·四川雅安·中考真题）（1()111525-æö-+-´-ç÷èø；（2）先化简，再求值：2221211a a a a a -+æö-¸ç÷-，其中2a =．29．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？30．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米(2)该公司原计划最多应安排8名工人施工【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．31．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m 0.8m ´，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m 、b m 、c m 、d m ．若装裱后AB 与AD 的比是16:10，且a b =，c d =，2c a =，求四周边衬的宽度．【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 0.1m 0.2m 0.2m 、、、【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出,AB AD 的长，列出分式方程，进行求解即可．【详解】解：由题意，得： 1.2 1.22 1.24AB c d c a =++=+=+，0.80.82AD a b a =++=+，32．（2024·四川达州·中考真题）先化简：22224x x x x x x x +æö-¸ç÷-+-èø，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．33．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a -æö+¸ç÷+èø．【答案】(1)222x y +；34．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：22422324x xxx x-æö+-¸+ç÷+-，其中72x=-．。

2022广东深圳中考数学试卷分类解析汇编专项3-方程（组）和不等式专题3：方程（组）和不等式（组）一、选择题1. （深圳2003年5分）下列命题正确的是【 】A 、3x －7>0的解集为x>73B 、关于x 的方程ax=b 的解是x=ab C 、9的平方根是3 D 、(12+)与(12-)互为倒数【答案】D 。

【考点】命题与定理，解一元一次不等式，一元一次方程的定义，平方根的定义，倒数的概念。

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案：A 、3x －7＞0的解集为x ＞73，错误； B 、关于x 的方程ax=b 的解是x=a b 需加条件a≠0，错误； C 、9的平方根是±3，错误；D 、∵(12+)12-)=2－1=1，∴依照倒数的概念，(12+)与(12-)互为倒数，正确。

故选D 。

2.（深圳2004年3分）不等式组⎩⎨⎧≤-≥+12x 01x 的解集在数轴上的表示正确的是【 】A BC D【答案】D 。

-1-1-1-1【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

由第一个不等式得x≥－1，由第二个不等式得x≤3，∴不等式组的解集为-1≤x≤3。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，假如数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段确实是不等式组的解集．有几个就要几个。

在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

故选D 。

3.（深圳2005年3分）方程x 2 = 2x 的解是【 】A 、x=2B 、x 1=2-，x 2= 0C 、x 1=2，x 2=0D 、x = 0【答案】C 。

2022年江西省中考数学试卷参考答案一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列各数中，负数是（）A．﹣1B．0C．2D．2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a＝﹣b 3．（3分）下列计算正确的是（）A．m2•m3＝m6B．﹣（m﹣n）＝﹣m+nC．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n24．（3分）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．125．（3分）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（）A．B．C．D．6．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（）A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20gD．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）因式分解：a2﹣3a＝．8．（3分）正五边形的外角和为度．9．（3分）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．10．（3分）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为．11．（3分）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．12．（3分）已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B 在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB 的长为．三、参考答案题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：|﹣2|+﹣20；（2）解不等式组：．14．（6分）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：解：原式＝[﹣]×解：①＝[﹣]×②＝×③…（1）上面的运算过程中第步出现了错误；（2）请你写出完整的参考答案过程．15．（6分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；A．不可能B．必然C．随机（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．16．（6分）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作∠ABC的角平分线；（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．17．（6分）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．四、参考答案题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD＝1．（1）点B的坐标为，点D的坐标为，点C的坐标为（用含m的式子表示）；（2）求k的值和直线AC的表达式．19．（8分）课本再现（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C 的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；知识应用（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．20．（8分）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）五、参考答案题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：整理描述表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）报班数人数类别01234及以上合计“双10248755124m减”前2551524n0m“双减”后（1）根据表1，m的值为，的值为；分析处理（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题：①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为，“双减”后学生报班个数的众数为；②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．22．（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm （h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为；（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．六、参考答案题（本大题共12分）23．（12分）综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为；当OF与BC 垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为；类比探究（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP 分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．（参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）参考答案与解析一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．【参考答案】解：﹣1是负数，2，是正数，0既不是正数也不是负数，故选：A．【解析】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“﹣”得到负数是解题的关键．2．【参考答案】解：根据数轴得：a＜b，|a|＞|b|，故C选项符合题意，A，B，D选项不符合题意；故选：C．【解析】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．3．【参考答案】解：A选项，原式＝m5，故该选项不符合题意；B选项，原式＝﹣m+n，故该选项符合题意；C选项，原式＝m2+mn，故该选项不符合题意；D选项，原式＝m2+2mn+n2，故该选项不符合题意；故选：B．【解析】本题考查了整式的混合运算，掌握（a+b）2＝a2+2ab+b2是解题的关键．4．【参考答案】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3＝10，故选：B．【解析】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．5．【参考答案】解：如图，它的俯视图为：故选：A．【解析】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图．注意看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线．6．【参考答案】解：由图象可知，A、B、C都正确，当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，故选：D．【解析】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．【参考答案】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．故答案为：a（a﹣3）．【解析】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．8．【参考答案】解：正五边形的外角和为360度，故答案为：360．【解析】本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于360°．9．【参考答案】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．【解析】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．10．【参考答案】解：设甲每小时采样x人，则乙每小时采样（x﹣10）人，根据题意得：＝．故答案为：＝．【解析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．11．【参考答案】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长＝＝．故答案为：．【解析】本题考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．12．【参考答案】解：当AO＝AB时，AB＝5；当AB＝BO时，AB＝5；当OA＝OB时，设A（a，）（a＞0），B（5，0），∵OA＝5，∴＝5，解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB＝＝2或AB＝＝；综上所述，AB的长为5或2或．故答案为：5或2或．【解析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当OA＝OB时，求出点A的坐标是解题的关键．三、参考答案题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．【参考答案】解：（1）原式＝2+2﹣1，＝3．（2）解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x＜3．【解析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是参考答案此题的关键．14．【参考答案】解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为：③；（2）原式＝[﹣]×，＝[﹣]×，＝×，＝×，＝．故答案为：．【解析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．15．【参考答案】解：（1）随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；故答案为：C；（2）设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A）的结果有6种，则P（A）＝＝，【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．16．【参考答案】解：（1）如图1中，射线BP即为所求；（2）如图2中，直线l或直线l′即为所求．【解析】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17．【参考答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝6，AC＝4，∴＝，∴AE＝＝9．【解析】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．四、参考答案题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．【参考答案】解：（1）由题意得：B（0，2），D（1，0），由平移可知：线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，∵点A（m，4），∴C（m+1，2），故答案为：（0，2），（1，0），（m+1，2）；（2）∵点A和点C在反比例函数y＝的图象上，∴k＝4m＝2（m+1），∴m＝1，∴A（1，4），C（2，2），∴k＝1×4＝4，设直线AC的表达式为：y＝nx+b，，解得：，∴直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6．【解析】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．19．【参考答案】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠ACO+2∠BCO＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠AOB；如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝2∠ACO﹣2∠BCO＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠AOB；（2）如图4，连接OA，OB，OP，∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°，∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝（180°﹣120°）＝30°，∵OA＝2，∴OP＝2OA＝4，∴PA＝＝2．【解析】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．20．【参考答案】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，Rt△APG中，sinA＝，∴＝0.96，∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高为7.5m．【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题．五、参考答案题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．【参考答案】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，n＝m﹣（255+15+24）＝6，∴＝＝0.02，故答案为：300；0.02；（2）汇总表1和图1可得：01234及以上总数172821188246500“双减”前4232440121500“双减”后×100%＝2.4%，答：“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为2.4%；（3）①“双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，第250个和第251个数据均为1，∴“双减”前学生报班个数的中位数为1，“双减”后学生报班个数出现次数最多的是0，∴“双减”后学生报班个数的众数为0，故答案为：1；0；②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．【解析】本题考查统计的应用，理解题意，对数据进行采集和整理，掌握中位数和众数的概念是解题关键．22．【参考答案】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；（2）①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案为：b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．【解析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．六、参考答案题（本大题共12分）23．【参考答案】解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝正方形ABCD的面积＝1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝正方形ABCD 的面积＝1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S．理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O 作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM＝ON，∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM＝ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON＝∠EOF＝90°，∴∠MOJ＝∠NOK，∵∠OMJ＝∠ONK＝90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ＝S△ONK，∴S四边形OKBJ＝S正方形OMBN＝S正方形ABCD，∴S1＝S．故答案为：1，1，S1＝S．（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT＝CT，∵BM＝CN，∴MT＝TN，∵OT⊥MN，∴OM＝ON，∵∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM＝∠CON＝30°，∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°，∵BJ＝JC＝OJ＝1，∴JM＝OJ•tan15°＝2﹣，∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴S四边形OMCN＝2××CM×OJ＝﹣1．（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．在Rt△MOQ中，MQ＝OQ•tan＝tan，∴MN＝2MQ＝2tan，∴S2＝S△OMN＝×MN×OQ＝tan．如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大．同法可证△COM≌△CON，∴∠COM＝α，∵∠COQ＝45°，∴∠MOQ＝45°﹣α，QM＝OQ•tan（45°﹣α）＝tan（45°﹣α），∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°﹣α），∴S2＝2S△CMO＝2××CM×OQ＝1﹣tan（45°﹣α）．【解析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

（2022•怀化中考）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y =a−1x（a ＞1）的图象于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】选D ．设点B 的坐标为（a ，a−1a），∵S △BCD ＝5，且a ＞1，∴12×a ×a−1a =5，解得：a ＝11， 经检验，a ＝11是原分式方程的解.（2022•扬州中考）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y 与该校参加竞赛人数x 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁（2022•德阳中考）一次函数y＝ax+1与反比例函数y=−ax在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【解析】选B．分两种情况：（1）当a＞0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y=−ax图象在第二、四象限，无选项符合；（2）当a＜0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y=−ax图象在第一、三象限，故B选项正确．1501（2022•宿迁中考）如图，点A在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（）A．1 B．√2 C．2√2 D．4【解析】选C．∵三角形OAB是等腰直角三角形，∴当OB最小时，OA最小，设A点坐标为（a，2a ），∴OA=√a2+4a2，∵(a−2a )2≥0，即：a2+4a2−4≥0，∴a2+4a2≥4，∴当a2=4a2时，OA有最小值，解得a1=√2，a2=−√2（舍去），∴A点坐标为（√2，√2），∴OA＝2，∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，∴OB=√2OA＝2√2．（2022•十堰中考）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）和y =k2x（k 2＞0）的图象上．若BD ∥y 轴，点D 的横坐标为3，则k 1+k 2＝（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【解析】选B ．连接AC 交BD 于E ，延长BD 交x 轴于F ，连接OD 、OB ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝BE ＝CE ＝DE ， 设AE ＝BE ＝CE ＝DE ＝m ，D （3，a ），∵BD ∥y 轴，∴B （3，a +2m ），A （3+m ，a +m ）， ∵A ，B 都在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）的图象上，∴k 1＝3（a +2m ）＝（3+m ）（a +m ）， ∵m ≠0，∴m ＝3﹣a ，∴B （3，6﹣a ）， ∵B （3，6﹣a ）在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）的图象上，D （3，a ）在y =k 2x（k 2＞0）的图象上，∴k 1＝3（6﹣a ）＝18﹣3a ，k 2＝3a ， ∴k 1+k 2＝18﹣3a +3a ＝18.（2022•娄底中考）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的有（ ）①点P 、Q 在反比例函数y =mx 的图象上； ②△AOB 为等腰直角三角形； ③0°＜∠POQ ＜90°；④∠POQ 的值随m 的增大而增大．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【解析】选D ．∵点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），则m •1＝1•m ＝m ， ∴点P 、Q 在反比例函数y =m x 的图象上，故①正确；设直线PQ 为y ＝kx +b ，则{mk +b =1k +b =m ，解得{k =−1b =m +1，∴直线PQ 为y ＝﹣x +m +1，当y ＝0时，x ＝m +1；当x ＝0时，y ＝m +1，∴A （m +1，0），B （0，m +1），∴OA ＝OB ， ∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，故②正确；∵点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），∴P 、Q 都在第一象限，∴0°＜∠POQ ＜90°，故③正确； ∵直线OP 为y =1m x ，直线OQ 为y ＝mx ，∴当0＜m ＜1时，∠POQ 的值随m 的增大而减小，当m ＞1时，∠POQ 的值随m 的增大而增大，故④错误.（2022•邵阳中考）如图是反比例函数y =1x的图象，点A （x ，y ）是反比例函数图象上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．2D ．32【解析】选B ．∵A （x ，y ）， ∴OB ＝x ，AB ＝y ，（2022•贺州中考）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与y=bx的图象为（）A．B．C．D．【解析】选A．根据一次函数y＝kx+b的图象位置，可判断k＞0、b＞0．所以﹣k＜0．再根据一次函数和反比例函数的图像和性质．（2022•龙东中考）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数y =3x的图象上，顶点A 在反比例函数y =k x的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2 【解析】选D ．设B （a ，3a ），∵四边形OBAD 是平行四边形，∴AB ∥DO ，∴A （ak3，3a），∴AB ＝a −ak3，∵平行四边形OBAD 的面积是5，∴3a（a −ak3）＝5，解得k ＝﹣2.（2022•内江中考）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y =8x和y =k x的图象交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（ ）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣22【解析】选D ．设点P （a ，b ），Q （a ，ka ），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ =−ka ，∴PQ ＝PM +MQ ＝b −ka．（2022•桂林中考）如图，点A 在反比例函数y =kx的图象上，且点A 的横坐标为a （a ＜0），AB ⊥y 轴于点B ，若△AOB 的面积是3，则k 的值是 ﹣6 ．【解析】设点A 的坐标为（a ，ka），∵△AOB 的面积是3，∴−a⋅ka2=3，解得k ＝﹣6，答案：﹣6．（2022•玉林中考）如图，点A 在双曲线y =kx（k ＞0，x ＞0）上，点B 在直线l ：y ＝mx ﹣2b （m ＞0，b ＞0）上，A 与B 关于x 轴对称，直线l 与y 轴交于点C ，当四边形AOCB 是菱形时，有以下结论： ①A （b ，√3b ）；②当b ＝2时，k ＝4√3 ；③m =√33；④S 四边形AOCB ＝2b 2； 则所有正确结论的序号是 ①②③ ．【解析】如图，①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，∴C（0，﹣2b），∴OC＝2b，∵四边形AOCB是菱形，∴AB＝OC＝OA＝2b，∵A与B关于x轴对称，∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，∴OD=√(2b)2−b2=√3b，∴A（√3b，b）；故①正确；②当b＝2时，点A的坐标为（2√3，2），∴k＝2√3×2＝4√3，故②正确；③∵A（√3b，b），A与B关于x轴对称，∴B（√3b，﹣b），∵点B在直线y＝mx﹣2b上，∴√3bm﹣2b＝﹣b，∴m=√33，故③正确；④菱形AOCB的面积＝AB•OD＝2b•√3b＝2√3b2，故④不正确；所以本题结论正确的有：①②③.答案：①②③．（2022·安徽中考）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y=1x 的图象经过点C，y=kx（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ 3 ．【解析】由题知，反比例函数y=1x的图象经过点C，设C点坐标为（a，1a），作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，∴OH＝CG＝BG＝a，即B（3a，1a），∵y=kx（k≠0）的图象经过点B，∴k＝3a•1a=3，答案：3．（2022•江西中考）已知点A在反比例函数y=12（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三x角形，且腰长为5，则AB的长为5或2√5或√10．【解析】当AO＝AB时，AB＝5；当AB＝BO时，AB＝5；当OA＝OB时，设A（a，12）（a＞0），B（5，0），a∵OA＝5，)2=5，∴√a2+(12a解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB=√(3−5)2+42=2√5或AB=√(4−5)2+32=√10；综上所述，AB的长为5或2√5或√10．答案：5或2√5或√10．（2022•绍兴中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y=k（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．x【解析】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG =12DQ ＝2，EG =12EQ =32，∴四边形HFGO 的面积为2（a +32）， ∴k ＝4a ＝2（a +32），解得：a =32，∴k ＝6． 答案：6．（2022•舟山中考）如图，在直角坐标系中，△ABC 的顶点C 与原点O 重合，点A 在反比例函数y =kx （k ＞0，x ＞0）的图象上，点B 的坐标为（4，3），AB 与y 轴平行，若AB ＝BC ，则k ＝ 32 ．【解析】∵点B 的坐标为（4，3），C （0，0），∴BC =√42+32=5，∴AB ＝BC ＝5， ∵AB 与y 轴平行，∴A （4，8），把A （4，8）代入y =kx 得：8=k4，解得k ＝32. 答案：32．（2022•株洲中考）如图所示，矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上，顶点C 在第一象限，x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6．若反比例函数y =kx的图象经过点C ，则k 的值为 3 ．【解析】设BC 交x 轴于E ，如图：∵x 轴为矩形ABCD 的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6， ∴四边形DOEC 是矩形，且矩形DOEC 面积是3， 设C （m ，n ），则OE ＝m ，CE ＝n ， ∵矩形DOEC 面积是3， ∴mn ＝3，∵C 在反比例函数y =kx的图象上，∴n =km，即k ＝mn ，（2022•凉山州中考）如图，点A在反比例函数y=k x（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB 的面积为3，则k＝6．【解析】由题知，△OAB的面积为3，点A在反比例函数y=k x（x＞0）的图象上，∴12OB•AB＝3，即OB•AB＝6，∴k＝6，答案：6（2022•湖州中考）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是y=−3x．【解析】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．∵tan∠ABO=AOOB=3，∴可以假设OB＝a，OA＝3a，∵四边形ABCD是正方形，（2022•宁波中考）如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点B ，D都在函数y =6√2x（x ＞0）的图象上，BE ⊥x 轴于点E ．若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为9√2时，EFOE的值为12，点F 的坐标为 （3√32，0） ．【解析】如图，作DG ⊥x 轴于G ，连接OD ，设BC 和OD 交于I ， 设点B （b ，6√2b ），D （a ，6√2a），【解析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°，设OC＝b，则BC=√3b，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，√3b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣2b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣2b）＝2b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN=12AN=b﹣5，AD=√32AN=√3b﹣5√3，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣b，∴A（15﹣b，√3b﹣5√3），∵A、B两点都在反比例函数数y=kx（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣b）（√3b﹣5√3）＝b•√3b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•√3b＝9√3.答案：9√3．（2022•广元中考）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y=kx的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是﹣4 ．【解析】过B作BD⊥OA于D，∵点B 在反比例函数y =kx 的图象上，∴设B （﹣m ，n ），点B 在第二象限内，∵△OAB 的面积为6，∴OA =12n，∴A （−12n，0），∵点C 是AB 的中点，∴C （−mn+122n，n2），∵点C 在反比例函数y =kx 的图象上，∴−mn+122n•n 2=−mn ，∴﹣mn ＝﹣4，∴k ＝﹣4.答案：﹣4．（2022•山西中考）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p （Pa ）是它的受力面积S （m 2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S ＝0.25m 2时，该物体承受的压强p 的值为 400 Pa ．【解析】设p =kS ，∵函数图象经过（0.1，1000），∴k ＝100，∴p =100S，当S ＝0.25m 2时，物体所受的压强p =1000.25=400（Pa ）. 答案：400（2022•随州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x +1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y =kx 的图象在第一象限交于点C ，若AB ＝BC ，则k 的值为 2 ．【解析】过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．（2022•乐山中考）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=kx（k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=32，则k＝ 3 ．【解析】设BC与x轴交于点E，连接DE、OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴S△ODE＝S△EBC，S△ADE＝S△ABC，∴S△OAD＝S△ABE=3 2，∴k＝3，答案：3．（2022•毕节中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，对角线交于点E ，反比例函数y =kx （x ＞0，k ＞0）的图象经过点C ，E ．若点A （3，0），则k 的值是 4 ．【解析】设C （m ，km ），∵四边形ABCD 是正方形，∴点E 为AC 的中点，∴E （m+32，k 2m），∵点E 在反比例函数y =kx上，∴m+32×k 2m=k ，∴m ＝1，作CH ⊥y 轴于H ，∴CH ＝1，∵四边形ABCD 是正方形，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠OBA ＝∠HCB ， ∵∠AOB ＝∠BHC ，∴△AOB ≌△BHC （AAS ）， ∴BH ＝OA ＝3，OB ＝CH ＝1，∴C （1，4），∴k ＝4，（2022•黔东南州中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y=kx（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2√2，则k＝−32．【解析】如图，过点A作AE⊥BC于E，∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，∴CE＝BE，∴AE=12BC=√2，∴A（0，√2），C（−√2，2√2），∵D是AC的中点，∴D（−√22，3√22），∴k=−√22×3√22=−32．答案：−3 2．（2022•齐齐哈尔中考）如图，点A是反比例函数y=kx（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝﹣4．【解析】连接OA，如图所示：∵AB⊥y轴，∴AB∥OC，∵D是AB的中点，∴S△ABC＝2S△ADO，（2022•鄂州中考）如图，已知直线y＝2x与双曲线y=kx（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA=√5，则k的值为2．【解析】设A（x，y），∵点A在直线y＝2x上，且OA=√5，∴A点坐标为（1，2），∵点A在双曲线y=kx（x＞0）上，∴2＝k，答案：2．（2022•威海中考）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，则k的值为24．【解析】作CE⊥OB于E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠OBA+∠CBE＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠CEB，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OA＝BE，OB＝CE，∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．∴OA＝2，OB＝4，∴BE＝2，CE＝4，∴C（4，6），∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，∴k＝4×6＝24，答案：24．（2022•梧州中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A（﹣2，2），B（n，﹣1）．当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．【解析】∵反比例函数y2=mx的图象经过点A（﹣2，2），B（n，﹣1），∴﹣1×n＝（﹣2）×2，∴n＝4．∴B（4，﹣1）．由图象可知：第二象限中点A的右侧部分和第四象限中点B的部分满足y1＜y2，∴当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．答案：﹣2＜x＜0或x＞4．【解析】∵反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，∴1×6＝3b，∴b＝2，∴B（3，2），设直线AB的解析式为y＝mx+n，{m+n=63m+n=2，解得：{m=−2n=8，∴y＝﹣2x+8，令y＝0，﹣2x+8＝0，解得：x＝4，∴C（4，0），∵AB=√(1−3)2+(6−2)2=2√5，BC=√(3−4)2+(2−0)2=√5，AD•BC＝AB•DO，∴AD•√5=2√5•DO，∴AD＝2DO，∴S1＝2S2，∴S1﹣S2＝S2，∵S1+S2＝S△AOC，∴S1﹣S2＝S2=13S△AOC=13×12×4×6＝4．答案：4．（2022•内江中考）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y=2x的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是23＜m＜2．【解析】过点P作P A∥x轴，交双曲线与点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线与点B，如图，∵P （2，3），反比例函数y =2x ， ∴A （23，3），B （2，1）．∵一次函数y 的值随x 值的增大而增大， ∴点Q （m ，n ）在A ，B 之间， ∴23＜m ＜2．答案：23＜m ＜2．（2022•武威中考）如图，B ，C 是反比例函数y =kx （k ≠0）在第一象限图象上的点，过点B 的直线y ＝x ﹣1与x 轴交于点A ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，CD 与AB 交于点E ，OA ＝AD ，CD ＝3．（1）求此反比例函数的表达式； （2）求△BCE 的面积．【解析】（1）当y ＝0时，即x ﹣1＝0，∴x ＝1， 即直线y ＝x ﹣1与x 轴交于点A 的坐标为（1，0）， ∴OA ＝1＝AD ，又∵CD ＝3，∴点C 的坐标为（2，3）， 而点C （2，3）在反比例函数y =kx 的图象上， ∴k ＝2×3＝6，∴反比例函数的图象为y =6x ； （2）方程组{y =x −1y =6x的正数解为{x =3y =2，∴点B 的坐标为（3，2）， 当x ＝2时，y ＝2﹣1＝1，∴点E 的坐标为（2，1），即DE ＝1， ∴EC ＝3﹣1＝2，∴S △BCE =12×2×（3﹣2）＝1.（2022•连云港中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数y =kx （k ≠0）的图象交于P 、Q 两点．点P （﹣4，3），点Q 的纵坐标为﹣2． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求△POQ 的面积．【解析】（1）将点P （﹣4，3）代入反比例函数y =kx 中，解得：k ＝﹣4×3＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为：y =−12x ；当y ＝﹣2时，﹣2=−12x ，∴x ＝6，∴Q （6，﹣2），将点P （﹣4，3）和Q （6，﹣2）代入y ＝ax +b 中得：{−4a +b =36a +b =−2，解得：{a =−12b =1，∴一次函数的表达式为：y =−12x +1；（2）如图，y =−12x +1，当x ＝0时，y ＝1，∴OM ＝1，∴S △POQ ＝S △POM +S △OMQ =12×1×4+12×1×6＝2+3＝5．（2022•江西中考 ）如图，点A （m ，4）在反比例函数y =kx （x ＞0）的图象上，点B 在y 轴上，OB ＝2，将线段AB 向右下方平移，得到线段CD ，此时点C 落在反比例函数的图象上，点D 落在x 轴正半轴上，且OD ＝1． （1）点B 的坐标为 （0，2） ，点D 的坐标为 （1，0） ，点C 的坐标为 （m +1，6） （用含m 的式子表示）；（2）求k 的值和直线AC 的表达式．【解析】（1）由题意得：B （0，2），D （1，0），由平移可知：线段AB 向下平移2个单位，再向右平移1个单位，（2022•遂宁中考）已知一次函数y 1＝ax ﹣1（a 为常数）与x 轴交于点A ，与反比例函数y 2=6x 交于B 、C 两点，B 点的横坐标为﹣2．（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；（2）求出点C 的坐标，并根据图象写出当y 1＜y 2时对应自变量x 的取值范围； （3）若点B 与点D 关于原点成中心对称，求出△ACD 的面积．【解析】（1）∵B 点的横坐标为﹣2且在反比例函数y 2=6x 的图象上，∴y 2=6−2=−3， ∴点B 的坐标为（﹣2，﹣3），∵点B （﹣2，﹣3）在一次函数y 1＝ax ﹣1的图象上， ∴﹣3＝a ×（﹣2）﹣1，解得a ＝1， ∴一次函数的解析式为y ＝x ﹣1，∵y ＝x ﹣1，∴x ＝0时，y ＝﹣1；x ＝1时，y ＝0； ∴图象过点（0，﹣1），（1，0）， 函数图象如右图所示；（2）{y =x −1y =6x，解得{x =3y =2或{x =−2y =−3，∵一次函数y 1＝ax ﹣1（a 为常数）与反比例函数y 2=6x 交于B 、C 两点，B 点的横坐标为﹣2， ∴点C 的坐标为（3，2），由图象可得，当y 1＜y 2时对应自变量x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜3； （3）∵点B （﹣2，﹣3）与点D 关于原点成中心对称，∴点D （2，3），作DE ⊥x 轴交AC 于点E ， 将x ＝2代入y ＝x ﹣1，得y ＝1， ∴S △ACD ＝S △ADE +S △DEC =(3−1)×(2−1)2+(3−1)×(3−2)2=2，即△ACD 的面积是2．（2022•自贡中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =nx 的图象相交于A （﹣1，2），B （m ，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点B 作直线l ∥y 轴，过点A 作AD ⊥l 于点D ，点C 是直线l 上一动点，若DC ＝2DA ，求点C 的坐标．【解析】（1）∵A （﹣1，2）在反比例函数y =nx 的图象上，∴n ＝2×（﹣1）＝﹣2， ∴其函数解析式为y =−2x ；∵B （m ，﹣1）在反比例函数的图象上， ∴﹣m ＝﹣2，∴m ＝2，∴B （2，﹣1）．∵A （﹣1，2），B （2，﹣1）两点在一次函数y ＝kx +b 的图象上， ∴{−k +b =22k +b =−1，解得{k =−1b =1， ∴一次函数的解析式为：y ＝﹣x +1； （2）∵直线l ∥y 轴，AD ⊥l ， ∴AD ＝3，D （2，2）， ∵DC ＝2DA ，∴DC ＝6，∵点C 是直线l 上一动点，∴C （2，8）或（2，﹣4）.【解析】（1）∵点C（2，2）在反比例函数y=kx （k≠0，x＞0）的图象上，∴2=k2，解得k＝4，∵BD＝1．∴点D的纵坐标为1，∵点D在反比例函数y=4x （k≠0，x＞0）的图象上，∴1=4x，解得x＝4，即点D的坐标为（4，1）；（2）∵点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4．（2022•温州中考）已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．【解析】（1）把点（3，﹣2）代入y=kx （k≠0），得﹣2=k3，解得：k＝﹣6，∴反比例函数的表达式为y=−6x，补充其函数图像如下：（2）当y＝5时，−6x =5，解得：x=−65，∴当y≤5，且y≠0时，x≤−65或x＞0.（2）根据函数图象，直接写出不等式kx +b ＞4x 的解集；（3）若点C 是点B 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ，求△ABC 的面积．【解析】（1）∵反比例函数y =4x 的图象过点A （1，m ），B （n ，﹣2），∴4m =1，n =4−2， 解得m ＝4，n ＝﹣2，∴A （1，4），B （﹣2，﹣2）， ∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过A 点和B 点， ∴{k +b =4−2k +b =−2，解得{k =2b =2， ∴一次函数的表达式为y ＝2x +2， 描点作图如下：（2）由（1）中的图象可得，不等式kx +b ＞4x 的解集为：﹣2＜x ＜0或x ＞1； （3）由题意作图如下：由图知△ABC 中BC 边上的高为6，BC ＝4，∴S △ABC =12×4×6=12．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式kx +b ＜4x 的解集；（3）一次函数y ＝kx +b 的图象与x 轴交于点C ，连接OA ，求△OAC 的面积． 【解析】（1）∵（m ，4），（﹣2，n ）在反比例函数y =4x 的图象上， ∴4m ＝﹣2n ＝4，解得m ＝1，n ＝﹣2，∴A （1，4），B （﹣2，﹣2），把（1，4），（﹣2，﹣2）代入y ＝kx +b 中得{k +b =4−2k +b =−2，解得{k =2b =2，∴一次函数解析式为y ＝2x +2．画出函数y ＝2x +2图象如图；（2）由图象可得当0＜x ＜1或x ＜﹣2时，直线y ＝﹣2x +6在反比例函数y =4x 图象下方， ∴kx +b ＜4x 的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜1．（3）把y ＝0代入y ＝2x +2得0＝2x +2，解得x ＝﹣1，∴点C 坐标为（﹣1，0），∴S △AOC =12×1×4=2．（2022•株洲中考）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在函数y 1=2x（x ＜0）、y 2=kx （x ＞0，k＞0）的图象上，点C 在第二象限内，AC ⊥x 轴于点P ，BC ⊥y 轴于点Q ，连接AB 、PQ ，已知点A 的纵坐标为﹣2．（1）求点A 的横坐标；（2）记四边形APQB 的面积为S ，若点B 的横坐标为2，试用含k 的代数式表示S ．【解析】（1）∵点A 在函数y 1=2x（x ＜0）的图象上，点A 的纵坐标为﹣2，（2022•泰安中考）如图，点A 在第一象限，AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA ＝2√5，tan A =12，反比例函数y =kx 的图象经过OA 的中点B ，与AC 交于点D ． （1）求k 值；（2）求△OBD 的面积．【解析】（1）∵∠ACO ＝90°，tan A =12， ∴AC ＝2OC ， ∵OA ＝2√5，由勾股定理得：（2√5）2＝OC 2+（2OC ）2， ∴OC ＝2，AC ＝4，∴A （2，4）， ∵B 是OA 的中点，∴B （1，2）， ∴k ＝1×2＝2； （2）当x ＝2时，y ＝1， ∴D （2，1），∴AD ＝4﹣1＝3， ∵S △OBD ＝S △OAD ﹣S △ABD =12×3×2−12×3×1＝1.5象限内的反比例函数图象上一点，Q 是平面内一点，当四边形ABPQ 是完美筝形时，求P ，Q 两点的坐标．【解析】（1）∵一次函数y ＝﹣2x +6的图象过点A ， ∴4＝﹣2a +6， ∴a ＝1， ∴点A （1，4），∵反比例函数y =kx的图象过点A （1，4）， ∴k ＝1×4＝4；∴反比例函数的解析式为：y =4x， 联立方程组可得：{y =4x y =−2x +6，解得：{x 1=1y 1=4，{x2=2y 2=2， ∴点B （2，2）；（2）如图，过点A 作AE ⊥y 轴于E ，过点C 作CF ⊥y 轴于F ，∴AE ∥CF ， ∴△AEH ∽△CFH ， ∴AE CF =AH CH =EH FH，当AH CH=12时，则CF ＝2AE ＝2，∴点C （﹣2，﹣2）， ∴BC =√(2+2)2+(2+2)2=4√2，当AH CH=2时，则CF =12AE =12，∴点C （−12，﹣8），∴BC =√(2+12)2+(2+8)2=5√172， 综上所述：BC 的长为4√2或5√172；（3）如图，当∠AQP ＝∠ABP ＝90°时，设直线AB 与y 轴交于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于F ，设BP 与y 轴的交点为N ，连接BQ ，AP 交于点H ，∵直线y ＝﹣2x +6与y 轴交于点E ，∴点E （0，6）， ∵点B （2，2），∴BF ＝OF ＝2，∴EF ＝4， ∵∠ABP ＝90°，∴∠ABF +∠FBN ＝90°＝∠ABF +∠BEF ， ∴∠BEF ＝∠FBN ， 又∵∠EFB ＝∠ABN ＝90°， ∴△EBF ∽△BNF ， ∴BF EF=FN BF，∴FN =2×24=1，∴点N （0，1）， ∴直线BN 的解析式为：y =12x +1，联立方程组得：{y =4x y =12x +1，解得：{x 1=−4y 1=−1，{x2=2y2=2， ∴点P （﹣4，﹣1），∴直线AP 的解析式为：y ＝x +3， ∵AP 垂直平分BQ ，∴设BQ 的解析式为y ＝﹣x +4，∴x +3＝﹣x +4，∴x =12，∴点H （12，72），∵点H 是BQ 的中点，点B （2，2）， ∴点Q （﹣1，5）．的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵一次函数y ＝x +1经过点A （m ，2）， ∴m +1＝2，∴m ＝1，∴A （1，2），∵反比例函数y =k x经过点（1，2），∴k ＝2， ∴反比例函数的解析式为y =2x；（2）由题意，得{y =x +1y =2x，解得{x =−2y =−1或{x =1y =2， ∴B （﹣2，﹣1），∵C （0，1），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×1×2+12×1×1＝1.5；（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P 的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．（2022•德阳中考）如图，一次函数y =−32x +1与反比例函数y =kx的图象在第二象限交于点A ，且点A 的横坐标为﹣2．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B 的坐标是（﹣3，0），若点P 在y 轴上，且△AOP 的面积与△AOB 的面积相等，求点P 的坐标．【解析】解（1）∵一次函数y =−32x +1与反比例函数y =kx的图象在第二象限交于点A ，点A 的横坐标为﹣2，当x ＝﹣2时，y =−32×（﹣2）+1＝4，∴A （﹣2，4），∴4=k−2，∴k ＝﹣8，（2022•泸州中考）如图，直线y =−32x +b 与反比例函数y =12x的图象相交于点A ，B ，已知点A 的纵坐标为6．（1）求b 的值；（2）若点C 是x 轴上一点，且△ABC 的面积为3，求点C 的坐标．【解析】（1）∵点A 在反比例函数y =12x上，且A 的纵坐标为6， ∴点A （2，6），∵直线y =−32x +b 经过点A ，∴6=−32×2+b ，∴b ＝9；（2）如图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，设点C （a ，0），∵直线AB 与x 轴的交点为D ， ∴点D （6，0），由题意可得：{y =−32x +9y =12x ， ∴{x 1=2y1=6，{x2=4y 2=3， ∴点B （4，3），∵S △ACB ＝S △ACD ﹣S △BCD ，2022•南充中考）如图，直线AB 与双曲线交于A （1，6），B （m ，﹣2）两点，直线BO 与双曲线在第一象限交于点C ，连接AC ．（1）求直线AB 与双曲线的解析式． （2）求△ABC 的面积．【解析】（1）设双曲线的解析式为y =k x，∵点A （1，6）在该双曲线上，∴6=k 1，解得k ＝6， ∴y =6x，∵B （m ，﹣2）在双曲线y =6x上， ∴﹣2=6m，解得m ＝﹣3， 设直线AB 的函数解析式为y ＝ax +b ，{a +b =6−3a +b =−2，解得{a =2b =4，即直线AB 的解析式为y ＝2x +4；（2）作BG ∥x 轴，FG ∥y 轴，FG 和BG 交于点G ，作BE ∥y 轴，F A ∥x 轴，BE 和F A 交于点E ，如右图所示， 直线BO 的解析式为y ＝ax ，∵点B （﹣3，﹣2），∴﹣2＝﹣3a ，解得a =23， ∴直线BO 的解析式为y =23x ， {y =23xy =6x，解得{x =3y =2或{x =−3y =−2， ∴点C 的坐标为（3，2），∵点A （1，6），B （﹣3，﹣2），C （3，2）， ∴EB ＝8，BG ＝6，CG ＝4，CF ＝4，AF ＝2，AE ＝4，∴S △ABC ＝S 矩形EBGF ﹣S △AEB ﹣S △BGC ﹣S △AFC ＝8×6−4×82−6×42−4×22＝48﹣16﹣12﹣4＝16．（2022•杭州中考）设函数y 1=k 1x，函数y 2＝k 2x +b （k 1，k 2，b 是常数，k 1≠0，k 2≠0）． （1）若函数y 1和函数y 2的图象交于点A （1，m ），点B （3，1）， ①求函数y 1，y 2的表达式；②当2＜x ＜3时，比较y 1与y 2的大小（直接写出结果）．（2）若点C （2，n ）在函数y 1的图象上，点C 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D ，点D 恰好落在函数y 1的图象上，求n 的值． 【解析】（1）把点B （3，1）代入y 1=k 1x ，3=k11，解得：k 1＝3， ∴函数y 1的表达式为y 1=3x，把点A （1，m ）代入y 1=3x ，解得m ＝3，把点A （1，3），点B （3，1）代入y 2＝k 2x +b ，{3=k 2+b 1=3k 2+b ，解得{k 2=−1b =4，∴函数y 2的表达式为y 2＝﹣x +4； （2）如图，当2＜x ＜3时，y 1＜y 2；（3）由平移，可得点D 坐标为（﹣2，n ﹣2）， ∴﹣2（n ﹣2）＝2n ，解得：n ＝1， ∴n 的值为1【解析】（1）把A （a ，2）的坐标代入y =23x ，即2=−23a ，解得a ＝﹣3，∴A （﹣3，2），又∵点A （﹣3，2）是反比例函数y =kx的图象上，∴k ＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数的关系式为y =−6x；（2）∵点P （m ，n ）在该反比例函数图象上，且它到y 轴距离小于3， ∴﹣3＜m ＜0或0＜m ＜3， 当m ＝﹣3时，n =−6−3=2，当m ＝3时，n =−63=2， 由图象可知，若点P （m ，n ）在该反比例函数图象上，且它到y 轴距离小于3，n 的取值范围为n ＞2或n ＜﹣2（2022•黄冈中考）如图，已知一次函数y 1＝kx +b 的图象与函数y 2=mx（x ＞0）的图象交于A （6，−12），B （12，n ）两点，与y 轴交于点C ．将直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度得到直线DE ，DE 与y 轴交于点F ．（1）求y 1与y 2的解析式；（2）观察图象，直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围；（3）连接AD ，CD ，若△ACD 的面积为6，则t 的值为 2 ．【解析】（1）将点A （6，−12）代入y 2=mx 中，∴m ＝﹣3，∴y 2=−3x，∵B （12，n ）在y 2=−3x中，可得n ＝﹣6，∴B （12，﹣6）， 将点A 、B 代入y 1＝kx +b ，∴{12k +b =−66k +b =−12，解得{k =1b =−132，∴y 1＝x −132； （2）∵一次函数与反比例函数交点为A （6，−12），B （12，﹣6），∴12＜x ＜6时，y 1＜y 2；（3）在y 1＝x −132中，令x ＝0，则y =−132，∴C （0，−132），∵直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度，∴直线DE 的解析式为y ＝x −132+t ，∴F 点坐标为（0，−132+t ），过点F 作GF ⊥AB 交于点G ，连接AF ，直线AB 与x 轴交点为（132，0），与y 轴交点C （0，−132），∴∠OCA ＝45°，∴FG ＝CG ，∵FC ＝t ，∴FG =√22t ， ∵A （6，−12），C （0，−132），∴AC ＝6√2， ∵AB ∥DF ，∴S △ACD ＝S △ACF ，∴12×6√2×√22t ＝6，∴t ＝2. 答案：2．（2022•宜宾中考）如图，一次函数y ＝ax +b 的图象与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，与反比例函数y =kx （x ＞0）的图象交于点C 、D ．若tan ∠BAO ＝2，BC ＝3AC ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△OCD 的面积．【解析】（1）在Rt △AOB 中，tan ∠BAO =OBOA =2， ∵A （4，0），∴OA ＝4，OB ＝8，∴B （0，8），∵A ，B 两点在直线y ＝ax +b 上，∴{b =84a +b =0，∴{a =−2b =8，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +8， 过点C 作CE ⊥OA 于点E ，∵BC ＝3AC ，∴AB ＝4AC ，∴CE ∥OB ，∴CEOB =ACAB =14，∴CE ＝2，∴C （3，2），∴k ＝3×2＝6，∴反比例函数的解析式为y =6x；（2）由{y =−2x +8y =6x，解得{x =1y =6或{x =2y =3，∴D （1，6），过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，∴S △OCD ＝S △AOB ﹣S △BOD ﹣S △COA =12•OA •OB −12•OB •DF −12•OA •CE =12×4×8−12×8×1−12×4×2＝8（2022•广元中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝x +b 的图象与函数y =kx （x ＞0）的图象相交于点B （1，6），并与x 轴交于点A ．点C 是线段AB 上一点，△OAC 与△OAB 的面积比为2：3．（1）求k 和b 的值；（2）若将△OAC 绕点O 顺时针旋转，使点C 的对应点C ′落在x 轴正半轴上，得到△OA ′C ′，判断点A ′是否在函数y =kx （x ＞0）的图象上，并说明理由．【解析】（1）∵函数y ＝x +b 的图像与函数y =kx （x ＞0）的图像相交于点B （1，6），∴6＝1+b ，6=k1，∴b ＝5，k ＝6；（2）点A ′不在函数y =kx（x ＞0）的图像上，理由如下：过点C 作CM ⊥x 轴于M ，过点B 作BN ⊥x 轴于N ，过A ′作A ′G ⊥x 轴于G ， ∵点B （1，6），∴ON ＝1，BN ＝6， ∵△OAC 与△OAB 的面积比为2：3， ∴S △OACS△OAB=12OA⋅CM 12OA⋅BN =23，∴CM BN =23，∴CM =23BN ＝4，即点C 的纵坐标为4，把y ＝4代入y ＝x +5得：x ＝﹣1，∴C （﹣1，4）， ∴OC ′＝OC =√OM 2+CM 2=√12+42=√17， ∵y ＝x +5中，当y ＝0时，x ＝﹣5，∴OA ＝5， 由旋转的性质得：△OAC ≌△OA ′C ′，∴12OA •CM =12OC •A ′G ，∴A ′G =OA⋅CM OC=5×4√17=20√1717在Rt △A ′OG 中，OG =√OA 2−A ′G 2=√52−(20√1717)2=5√1717， ∴点A ′的坐标为（5√1717，20√1717）， ∵5√1717×20√1717≠6，∴点A ′不在函数y =k x（x ＞0）的图像上．（2022•岳阳中考）如图，反比例函数y =kx （k ≠0）与正比例函数y ＝mx （m ≠0）的图象交于点A （﹣1，2）和点B ，点C 是点A 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求△ABC 的面积；（3）请结合函数图象，直接写出不等式k x ＜mx 的解集．【解析】（1）把点A （﹣1，2）代入y =kx（k ≠0）得：2=k −1，∴k ＝﹣2，∴反比例函数的解析式为y =−2x；（2）∵反比例函数y =kx （k ≠0）与正比例函数y ＝mx （m ≠0）的图象交于点A （﹣1，2）和点B ，∴B （1，﹣2），∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴C （1，2），∴CD ＝2，∴S △ABC =12×2×(2+2)=4；（3）根据图象得：不等式kx＜mx 的解集为x ＜﹣1或0＜x ＜1.【解析】（1）设反比例函数y 2=k x ，把A （2，2）代入，得：2=k 2， 解得：k ＝4， ∴y 2=4x，由{y =xy =4x ，解得：{x 1=2y 1=2，{x 2=−2y 2=−2，∴B （﹣2，﹣2），由图象可知：当y 1＜y 2时，x ＜﹣2或0＜x ＜2；注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B 的坐标． （2）过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ， ∵A （2，2）， ∴AE ＝OE ＝2，∴△AOE 是等腰直角三角形， ∴∠AOE ＝45°，OA =√2AE ＝2√2， ∵四边形ACBD 是菱形， ∴AB ⊥CD ，OC ＝OD ，∴∠DOF ＝90°﹣∠AOE ＝45°， ∵∠DFO ＝90°，∴△DOF 是等腰直角三角形， ∴DF ＝OF ，∵菱形ACBD 的周长为4√10， ∴AD =√10，在Rt △AOD 中，OD =√AD 2−OA 2=√(√10)2−(2√2)2=√2， ∴DF ＝OF ＝1， ∴D （1，﹣1），由菱形的对称性可得：C （﹣1，1）， 设直线AD 的解析式为y ＝mx +n ， 则{m +n =−12m +n =2，解得：{m =3n =−4， ∴AD 所在直线的解析式为y ＝3x ﹣4；同理可得BC 所在直线的解析式为y ＝3x +4，AC 所在直线的解析式为y =13x +43，BD 所在直线的解析式为y =13x −43．（2022•苏州中考）如图，一次函数y ＝kx +2（k ≠0）的图象与反比例函数y =m x（m ≠0，x ＞0）的图象交于点A （2，n ），与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C （﹣4，0）．（1）求k 与m 的值；（2）P （a ，0）为x 轴上的一动点，当△APB 的面积为72时，求a 的值．【解析】（1）把C （﹣4，0）代入y ＝kx +2，得k =12，∴y =12x +2，把A （2，n ）代入y =12x +2，得n ＝3，∴A （2，3），把A （2，3）代入y =m x ，得m ＝6，∴k =12，m ＝6；（2）当x ＝0时，y ＝2，∴B （0，2），∵P （a ，0）为x 轴上的动点，∴PC ＝|a +4|，∴S △CBP =12•PC •OB =12×|a +4×2＝|a +4|，S △CAP =12PC •y A =12×|a +4|×3，∵S △CAP ＝S △ABP +S △CBP ，∴32|a +4|=72+|a +4|，（2022•乐山中考）如图，已知直线l ：y ＝x +4与反比例函数y =k x（x ＜0）的图象交于点A （﹣1，n ），直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x ＝﹣1对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【解析】∵点A （﹣1，n ）在直线l ：y ＝x +4上，∴n ＝﹣1+4＝3，∴A （﹣1，3），∵点A 在反比例函数y =kx （x ＜0）的图象上，∴k ＝﹣3，∴反比例函数的解析式为y =3x ；（2）易知直线l ：y ＝x +4与x 、y 轴的交点分别为B （﹣4，0），C （0，4），∵直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x ＝﹣1对称，∴直线l ′与x 轴的交点为E （2，0），设l ′：y ＝kx +b ，则{3=−k +b 0=2k +b， 解得：{k =−1b =2， ∴l ′：y ＝﹣x +2，∴l ′与y 轴的交点为D （0，2），∴S 阴影部分＝S △BOC ﹣S △ACD =12×4×4−12×2×1＝7．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标．【解析】（1）把A （3，1）代入y =m x 得：1=m3，∴m ＝3，∴反比例函数关系式为y =3x ；把B （﹣1，n ）代入y =3x 得： n =3−1=−3，∴B （﹣1，﹣3），将A （3，1），B （﹣1，﹣3）代入y ＝kx +b 得：{3k +b =1−k +b =−3，解得{k =1b =−2， ∴一次函数的关系式为y ＝x ﹣2；答：反比例函数关系式为y =3x ，一次函数的关系式为y ＝x ﹣2；（2）在y ＝x ﹣2中，令x ＝0得y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），设M （m ，3m ），N （n ，n ﹣2），而O （0，0）， ①以CO 、MN 为对角线时，CO 、MN 的中点重合，∴{0+0=m +n −2+0=3m +n −2， 解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M （√3，√3）或（−√3，−√3）；②以CM 、ON 为对角线，同理可得：{0+m =n +0−2+3m =n −2+0，解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M （√3，√3）或（−√3，−√3）；③以CN 、OM 为对角线，同理可得：（2022•眉山中考）已知直线y＝x与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点M（2，a）．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y=kx的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．【解析】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），∴a＝2，∴将M（2，2）代入y=kx中，得k＝4，∴反比例函数的解析式为y=4 x；（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y=4 x，∵点A（1，m）在y=4x的图象上，∴m＝4，∴A（1，4），由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；（3）【解析】：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．由（1）知，反比例函数的解析式为y=4 x，∵点A（n，﹣1）在y=4x的图象上，（2022•台州中考）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y ＝2．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【解析】（1）由题意设：y=k x，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y关于x的函数解析式为：y=12 x；（2）把y＝3代入y=12x，得，x＝4，∴小孔到蜡烛的距离为4cm（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．【解析】（1）∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（2，4），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y=8 x；（2）如图，直线m即为所求．（3）∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC，∵直线m垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠OAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB．【解析】（1）①由图象知：函数有最大值为4，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；答案：函数有最大值为4，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②假设x 1=−12，则y 1＝1，∵x 1+x 2＝0，∴x 2=12，∴y 2＝﹣8，∴y 1+y 2＝0不一定成立，答案：不一定；（2）①设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，则{−k +b =44k +b =−1，解得{k =−1b =3，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +3， 当n ＝3时，直线l 的解析式为y ＝﹣x +3﹣3＝﹣x ，设直线AB 与y 轴交于C ，则S △P AB ＝S △AOB ，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×OC ×1+12×OC ×4=12×3×5=152，∴△P AB 的面积为152； ②设直线l 与y 轴交于D ，∵l ∥AB ，∴S △P AB ＝S △ABD ，由题意知，CD ＝n ，∴S △ABD ＝S △ACD +S △BCD .=12CD ×5 =52n ．∴△P AB 的面积为5n 2．（1）求m 的值和点D 的坐标；（2）求DF 所在直线的表达式；（3）若该反比例函数图象与直线DF 的另一交点为点G ，求S △EFG ．【解析】（1）过A 点作AH ⊥BO 于H ，∵△ABO 是等腰直角三角形，A （m ，2），∴OH ＝AH ＝2，∴m ＝2，由平移可得D 点纵坐标和A 点纵坐标相同，设D （n ，2），∵D 在y =8x图像上，∴n ＝4，∴D （4，2）．（2）过D 作DM ⊥EF 于M ，∵△DEF 是等腰直角三角形，∴∠DFM ＝45°，∴DM ＝MF ＝2，由D （4，2）得F （6，0），设直线DF 的表达式为：y ＝kx +b ，将F （6，0）和D （4，2）代入得：{2=4k +b 0=6k +b ，解得：{k =−1b =6，∴直线DF 的表达式为y ＝﹣x +6． （3）延长FD 交y =8x 图像于点G ，{y =−x +6y =8x ，解得：{x 1=4y 1=2，{x 2=2y 2=4，∴G （2，4）， 由（1）得EF ＝BO ＝2HO ＝4，∴S △EFG =12EF •G y =12×4×4＝8．。