高中数学：函数解析式的十一种方法

高中数学：函数解析式的十一种方法

一、定义法

二、待定系数法

三、换元（或代换）法

四、配凑法

五、函数方程组法

七、利用给定的特性求解析式. 六、特殊值法

八、累加法

九、归纳法

十、递推法

十一、微积分法

一、定义法：

【例1】设23)1(2xxxf，求)(xf.

2]1)1[(3]1)1[(23)1(22xxxxxf =6)1(5)1(2xx

65)(2xxxf

【例2】设21)]([xxxff，求)(xf.

【解析】设xxxxxxff111111121)]([xxf11)(

【例3】设33221)1(,1)1(xxxxgxxxxf，求)]([xgf.

【解析】2)(2)1(1)1(2222xxfxxxxxxf

又xxxgxxxxxxxxg3)()1(3)1(1)1(3333

故2962)3()]([24623xxxxxxgf

【例4】设)(sin,17cos)(cosxfxxf求.

【解析】)2(17cos)]2[cos()(sinxxfxf

xxx17sin)172cos()1728cos(.

二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

【例1】 设)(xf是一次函数，且34)]([xxff，求)(xf

【解析】设baxxf)( )0(a，则

babxabbaxabxafxff2)()()]([

342baba 3212baba　或　　

32)(12)(xxfxxf　　或　　

【例2】已知1392)2(2xxxf，求)(xf.

【解析】显然，)(xf是一个一元二次函数。设)0()(2acbxaxxf

则cxbxaxf)2()2()2(2 )24()4(2cbaxabax

又1392)2(2xxxf

比较系数得：1324942cbaaba 解得：312cba32)(2xxxf

三、换元（或代换）法：已知复合函数[()]fgx的表达式时，还可以用换元法求()fx的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

【例1】 已知xxxf2)1(，求)1(xf

【解析】令1xt，则1t，2)1(tx

xxxf2)1(

,1)1(2)1()(22ttttf

1)(2xxf )1(x

xxxxf21)1()1(22 )0(x

【例2】 已知,11)1(22xxxxxf求)(xf.

【解析】设,1txx则11tx则xxxxxxxftf11111)1()(222

1)1()1(1111)11(11222tttttt1)(2xxxf

【例3】 设xxf2cos)1(cos，求)(xf.

解：令1cos,1costxxt又0201cos2,1cos1txx即

]0,2[,)1()()02(,)1()(22xxxftttf即

【例4】 若xxxfxf1)1()( （1）

在（1）式中以xx1代替x得xxxxxxfxxf11)111()1(

即xxxfxxf12)11()1( （2）

又以11x代替（1）式中的x得：12)()11(xxxfxf （3）

)1(112121)(2:)2()3()1(23xxxxxxxxxxf得)1(21)(23xxxxxf

【例5】设)0,,()1()()(ba，cbacxxbfxafxf且均不为其中满足，求)(xf。

【解析】cxxbfxaf)1()( （1）用x1来代替x，得xcxbfxaf1)()1( （2）

由xbcacxxfbaba222)()(:)2()1(得xbabcacxxfba)()(222

【例6】已知2)(21xafx，求)(xf.

【解析】设01xat，则txalog1 即1logtxa

代入已知等式中，得：3log2log2)1(log)(22ttttfaaa

3log2log)(2xxxfaa

四、配凑法

已知复合函数[()]fgx的表达式，要求()fx的解析式时，若[()]fgx表达式右边易配成()gx的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。

【例1】已知(1)2,fxxx求()fx的解析式。

【解析】2xx可配凑成

可用配凑法

由2(1)2()1fxxxx

令1tx 01xt

则2()1ftt 即2()1(1)fxxx

当然，上例也可直接使用换元法

令1tx 则1tx

得222(1)()(1)2(1)1xtftttt 即 2()1(1)fxxx

由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。

【 例 2】已知2211(),fxxxx求()fx.

【解析】此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。

由222111()()2fxxxxxx

令2110txxtxx

由0即240t得tR

2()2ftt

即：2()2()fxxxR

实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。

五、函数方程组法。

函数方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数()fx混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

【 例1】设()fx满足1()2(),fxfxx求()fx的解析式。

【解析】要求()fx可消去1()fx,为此，可根据题中的条件再找一个关于()fx与1()fx的等式，通过解方程组达到消元的目的。

1()2()fxfxx………………………①

显然，0x,将x换成1x得

11()2()ffxxx……………………………..②

由1()2()11()2()fxfxxffxxx

消去1()fx，得

12()33fxxx

小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、1()fx；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

【 例 2】已知2)(21xafx，求)(xf.

【解析】设01xat，则txalog1 即1logtxa

代入已知等式中，得：3log2log2)1(log)(22ttttfaaa

3log2log)(2xxxfaa

【例 3】设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式

【解析】)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，

)()(),()(xgxgxfxf

又11)()(xxgxf ① ，

用x替换x得：11)()(xxgxf

即11)()(xxgxf②

解① ②联立的方程组，得

11)(2xxf， xxxg21)(

六、特殊值法：（赋值类求抽象函数）

【例1】设)(xf是定义在N上的函数，满足1)1(f，对于任意正整数yx,，均有xyyxfyfxf)()()(，求)(xf.

解：由1)1(f，xyyxfyfxf)()()(

设1y得：xxfxf)1(1)(

即：1)()1(xxfxf

在上式中，x分别用1,,3,2,1t代替，然后各式相加

可得：tttttf21211)1)(2(21)(2

)(2121)(2Nxxxxf

【例2】 已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf

【解析】对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，

不妨令0x，则有1)1(1)1()0()(2yyyyyyfyf

再令 xy 得函数解析式为：1)(2xxxf

七．利用给定的特性求解析式.

【例1】设)(xf是偶函数，当x＞0时， xexexf2)(，求当x＜0时，)(xf的表达式.

【解析】对x∈R， )(xf满足)1()(xfxf，且当x∈[－1，0]时， xxxf2)(2求当x∈[9，10]时)(xf的表达式.

七．利用给定的特性求解析式.

八、累加法：（核心思想与求数列的通项公式相似）

【例1】若af1lg)1(，且当),0(,lg)()1(,21Nxaaxfxfxx满足时，求)(xf.

【解析】),0(lg)1()(1Nxaaxfxfx

递推得：2lg)2()1(xaxfxf

3lg)3()2(xaxfxf

……

……

2lg)2()3(aff

afflg)1()2(

以上)1(x个等式两边分别相加，得：

122lglglglg)1()(xxaaaafxf

)1()2(21lg)1(xxaf

12)1(2)1(lglg1lgxxxxaaa