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求函数解析式的五种方法及其例子在数学领域中，求解函数解析式是一项重要的任务。
本文将介绍五种常用的方法来求解函数解析式，并通过例子来展示其应用。
1. 数列法：该方法适用于已知函数的输出序列，并希望找到一个函数解析式来描述它。
通过观察函数输出值之间的规律，可以尝试找到相应的数学模式。
例如，若某函数的输出序列为1，4，9，16，25，...，我们可以观察到这是个平方数序列，因此函数解析式为f(x) = x^2。
2. 经验法：该方法适用于已知函数的输入和输出值，但不清楚具体的数学关系。
通过绘制出函数的散点图，可以尝试通过经验找到适合的函数类型。
例如，若某函数的输入和输出值如下表所示：| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 ||-------|-------|-------|-------|-------|-------|| y | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |我们可以观察到y值递增2，因此猜测函数解析式为f(x) = 2x + 1。
3. 代数法：该方法适用于通过已知函数的性质和结构来推导函数解析式。
例如，若需要求解一个线性函数，已知它通过点(1, 3)和(2, 5)，可以使用直线的斜率公式来得到函数解析式。
根据两点之间的斜率公式，我们可以得到函数解析式f(x) = 2x + 1。
4. 差分法：该方法适用于已知函数的差分序列，即函数输出值之间的差异。
通过观察差分序列之间的规律，可以尝试找到函数的解析式。
例如，若某函数的输出值差分序列为1, 3, 5, 7，我们可以观察到差分序列的差值为2，因此猜测函数解析式为f(x) = 2x。
5. 推理法：该方法适用于已知函数的一些特殊性质或限制条件。
通过寻找函数性质和限制条件的推理，可以得到函数解析式。
例如，若某函数是一个偶函数且通过原点(0, 0)，我们知道偶函数具有对称性，并且f(0) = 0。
因此，猜测函数解析式为f(x) = ax^2。
通过以上五种方法中的一种或多种方法，我们可以在求解函数解析式时获得准确的结果。
求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.x ≥0， x ＜0. 四、消去法例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 五、特殊值法例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-xx x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.。
函数解析式的求解及常用方法
1.直接法：当函数的表达式比较简单时，可以通过观察函数在一些特定点上的值来找到函数的解析式。
例如，给定函数的函数值和定义域，通过观察函数的值与自变量之间的关系来确定函数的解析式。
2. 反函数法：对于一些特殊函数，可以通过求解函数的反函数来得到函数的解析式。
例如，对于幂函数y=x^n，可以通过求解其反函数
y=\sqrt[n]{x}来得到幂函数的解析式。
3.已知条件法：对于一些已知条件，可以通过利用这些条件来求解函数的解析式。
例如，已知函数的导函数或者积分表达式，可以利用这些条件来求解函数的解析式。
4.递归法：有些函数可以通过递归的方式来定义，即函数的值依赖于前面的函数值。
例如，斐波那契数列就是通过递归来定义的，可以通过递归的方式来求解函数的解析式。
5.求导和积分法：对于一些函数，可以通过求导和积分的方式来求解函数的解析式。
特别是对于一些常见的函数，可以通过求导和积分的规则来求解函数的解析式。
以上是常用的函数解析式求解方法，不同函数的特点和已知条件可能需要采用不同的方法来求解函数的解析式。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来求解函数的解析式。
一、函数解析式的常用求解方法（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。
待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g （x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f （x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
二、函数解析式的求解九种方式：1.代入法：已知f(x)的解析式,求f[g(x)] 的解析式.[例1] 若f(x)=2x＋1,g(x)=x－1, 求f[g(x)],g[f(x)].2. 换元法已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式.令g(x)=tx=(t),则f(t)=h[(t)],再将t换成x即可.但要注意换元前后变量的等价性。
[例2] 已知f( +1)= x+2 ,求f(x),f(x+1).3.配凑法已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式。
若能将h(x)用g(x)表示, 然后用x去代换g(x),则就可以得到f(x)的解析式。
[例3] 已知f(x+ )= x3 + , 求f(x)，f(x+1).4.待定系数法根据已知函数的类型或者特征,求函数解析式。
求函数解析式的六种常用方法精编版函数解析式是描述函数数学规律的公式或表达式。
在数学中，常用的方法有很多，但以下列举的六种方法是最常见且常用的。
一、直接给出公式或表达式最简单直接的方法是通过给出函数解析式来描述函数的规律。
例如，对于一元二次方程 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，就是一种直接给出函数解析式的方法。
这种方法适用于已知函数规律的情况，可以方便地求函数的值和图像。
二、通过函数图像导出函数解析式对于一些函数，可以通过观察函数的图像来导出其解析式。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，如果已知函数的图像，并能确定顶点坐标和开口方向，那么就可以根据函数图像反推函数解析式。
这种方法适用于已知函数图像的情况，可以通过观察图像特点来确定函数解析式。
三、通过给定函数值求解析式有时候，我们已知函数在一些特定点的函数值，可以通过这些函数值来求解析式。
例如，已知一元一次函数的两个点的函数值，可以通过求解线性方程组来确定函数解析式。
这种方法适用于已知一些特定点的函数值，可以通过点与点之间的关系来求解析式。
四、通过已知函数性质求解析式有时候，我们已知函数满足一些特定的性质，可以通过这些性质来求解析式。
例如，对于一元一次函数y = kx + b，如果已知函数过点(1, 2)和(3, 4)，可以利用点斜式或两点式来求解析式。
这种方法适用于已知函数的性质和特点，可以通过这些性质和特点来求解析式。
五、通过已知导数求解析式对于函数的解析式，如果已知其导数的解析式，可以通过积分来求解析式。
例如，对于函数y=2x^2+3x+1，如果已知其导数为y'=4x+3，可以通过积分来求得原始函数的解析式。
这种方法适用于已知函数的导数解析式，可以通过反向求导来求解析式。
六、通过泰勒级数展开求解析式对于一些特殊的函数，如三角函数、指数函数和对数函数等，可以通过泰勒级数展开来求解析式。
泰勒级数展开是利用函数的导数来逼近函数的方法，通过取泰勒级数展开的前几项，就可以得到函数的近似解析式。
一)求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,就是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式就是y ＝f(x),不能把它写成f(x,y)＝0;2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;3、求函数解析式的一般方法有:(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y 。
(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;(3)换元法:若给出了复合函数f ［g(x)］的表达式,求f(x)的表达式时可以令t ＝g(x),以换元法解之;(4)构造方程组法:若给出f(x)与f(－x),或f(x)与f(1/x)的一个方程,则可以x 代换－x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(－x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。
(二)求函数定义域1、函数定义域就是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;2、常见题型就是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;4、对复合函数y ＝f ［g(x)］的定义域的求解,应先由y ＝f(u)求出u 的范围,即g(x)的范围,再从中解出x 的范围I1;再由g(x)求出y ＝g(x)的定义域I2,I1与I2的交集即为复合函数的定义域;5、分段函数的定义域就是各个区间的并集;6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;(三)求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域与对应法则确定,常用集合或区间来表示;2、在函数f:A→B 中,集合B 未必就就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C 就是B 的子集;若C ＝B,那么该函数作为映射我们称为“满射”;3、分段函数的值域就是各个区间上值域的并集;4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
求函数解析式的九种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （ｘ)]的解析式,求原函数f(ｘ）的解析式, 把g （ｘ)看成一个整体t ，进行换元,从而求出f(x)的方法。
例1 已知ｆ(xx 1+）= x x x 1122++,求ｆ（x)的解析式． 解： 设x x 1+＝ t ,则 x= 11-t (t ≠1), ∴f （ｔ）＝ 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +(ｔ-１)＝ t 2－t+１ 故 f （x)=x ２-x ＋1 （x ≠１). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围，即为函数的定义域．二、配凑法例2 已知ｆ(x +1)= x+２x ,求f （x)的解析式．解: f （x +1）= 2)(x +２x +1-1=2)1(+x -1,∴ ｆ（x +1）＝ 2)1(+x -1 (x ＋1≥1)，将x ＋1视为自变量ｘ，则有f(x)= x 2-1 (x ≥１)． 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错.三、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。
例3 已知二次函数ｆ（x)满足ｆ(0)＝０,ｆ（x+1）＝ f(ｘ）+2x+８,求f （x ）的解析式．解：设二次函数f(x ）＝ ａx ２+bx+c,则 f(０）= c= 0 ①f （x+1)= a 2)1(+x +b （x+1)= ａx 2＋（2a ＋b)ｘ+a+b ② 由ｆ（ｘ+1)= f （x)+2x ＋8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f(x)= x 2+7ｘ.评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.四、消去法(方程组法）例4 设函数f （x ）满足ｆ（x ）+2 f(x 1)= x (x ≠０），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求ｆ（ｘ），必须消去已知中的f(x 1)，若用x 1去代替已知中x,便可得到另一个方程,联立方程组求解即可.解：∵ ｆ(x ）＋2 ｆ(x1）＝ ｘ (x ≠0） ① 由x 1代入得 ２f(ｘ)+ｆ(x 1)=x1（x ≠0) ② 解 ①② 构成的方程组，得 ｆ（x ）=x 32-3x （x ≠０). 评注:方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程 练习：已知定义在R 上的函数满足,求的解析式。
求函数解析式的四种常用方法函数是数学中的重要概念，它描述了变量之间的关系。
函数解析式是用代数表达式来表示函数的定义域、值域和具体的变化规律。
常用的四种方法来得到函数的解析式是：通过公式、通过图像、通过数据和通过给定条件。
一、通过公式：一些函数的解析式可以通过简单的数学公式来得到。
例如，直线函数y = kx + b、二次函数y = ax^2 + bx + c以及指数函数y = a^x等。
这些函数可以根据已知的系数和常数来确定解析式。
例如，对于直线函数y = 2x + 3，我们可以知道它的斜率是2，截距是3，因此解析式为y = 2x + 3二、通过图像：函数的解析式可以通过观察图像来确定。
例如，可以根据函数的特点，如对称性、切线的斜率等，来确定解析式。
对于一元函数来说，可以通过绘制函数的图像来判断函数的特点，从而得到函数的解析式。
例如，对于一次函数来说，可以通过观察图像的直线特点来确定解析式；对于二次函数来说，可以根据开口方向、抛物线的顶点位置等来确定解析式。
三、通过数据：有时候可以通过给定的数值表格或函数的值来确定函数的解析式。
通过列举一组合适的输入和输出值，然后观察数值的规律，可以找到函数的解析式。
例如，已知函数的自变量为x，函数的值为y，通过给定一些具体的x和对应的y值，可以通过观察它们之间的关系来确定函数的解析式。
四、通过给定条件：在一些具体的问题中，函数的解析式可以通过给定的条件来确定。
例如，在几何问题中，根据给定的几何条件和函数的特性，可以建立函数的解析式。
例如，根据直线过点的条件和斜率的特性，可以确定直线的解析式。
综上所述，函数解析式的四种常用方法是通过公式、通过图像、通过数据和通过给定条件。
通过这些方法，可以确定函数的解析式，进而研究函数的性质和变化规律，以及解决一些实际问题。
函数解析式的七种求法一、通过给定的输入和输出求解析式。
这是最简单直接的方法，当给定了函数的输入和输出时，可以利用这些已知信息求解析式。
例如，如果一个函数在输入为1时输出为3，在输入为2时输出为5，我们可以直接写出函数解析式为f(x)=2x+1二、基于已知函数的变换求解析式。
对于已知的一些基本函数，例如线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等，我们可以通过对它们进行变换得到其他函数的解析式。
例如，如果已知函数f(x)=x^2，我们可以通过对f(x)进行变换得到f(x)=(x-1)^2+1三、利用函数的性质和特点求解析式。
对于一些特殊函数，例如奇函数、偶函数、周期函数等，可以利用它们的性质和特点来求解析式。
例如，如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中只包含奇次幂项，可以利用这个特点来求解析式。
四、利用已知函数的级数展开求解析式。
对于一些复杂的函数，可以利用已知函数的级数展开进行逼近，从而得到函数的解析式。
例如，可以利用泰勒级数展开求得函数的解析式，只需要计算到足够高的阶数即可。
五、利用已知函数的导数和积分求解析式。
对于一些函数，可以通过对它们的导数和积分进行运算得到其他函数的解析式。
例如，如果已知一个函数的导数或积分，可以通过对这个导数或积分进行逆运算来求得函数的解析式。
六、基于已知函数的函数逼近求解析式。
对于一些复杂的函数，可以利用一些已知的简单函数进行逼近，从而得到函数的解析式。
例如，可以利用多项式函数对一个非多项式函数进行逼近，从而得到函数的解析式。
七、利用差分方程或微分方程求解析式。
对于一些具有差分方程或微分方程性质的函数，可以通过求解这些方程来得到函数的解析式。
例如，可以利用差分方程或微分方程求解线性递推函数的解析式。
以上是七种常用的求解函数解析式的方法。
不同方法适用于不同情况，根据具体的问题和已知信息选择合适的方法可以更高效地求解函数的解析式。
求函数解析式的六种常用方法函数解析式是用数学语言描述数学函数的一种方法。
它可以方便地表示函数的定义域、值域、性质等，并且能够通过函数图像和方程表达式等形式直观地展现函数的特征。
下面将介绍六种常用的方法来求函数的解析式。
1.常函数法：常函数法是求解常函数的一种简单方法。
常函数表示所有的输入值都对应着相同的输出值。
常函数的解析式通常形如"f(x)=c"，其中c是常数。
常函数的定义域和值域都是全体实数值。
例如，函数f(x)=3就是一个常函数，它的输出始终为32.幂函数法：幂函数是一种具有形如y=x^a的解析式的函数。
幂函数法是通过给定了函数的一些特定点来推导出整个函数的解析式。
常见的幂函数包括正幂函数、负幂函数和倒数函数。
例如，给定函数f(x)通过点（1,2）和（2,4），我们可以通过观察得出f(x)=2^x。
3.分段函数法：分段函数是一种具有不同解析式在不同区间上的函数。
分段函数法是通过将函数的定义域按照不同的区间划分，然后在每个区间上分别确定函数的解析式来得到函数的解析式。
例如，函数f(x)=，x，在x<0时取值为-x，在x≥0时取值为x，这就是一个分段函数。
4.复合函数法：复合函数是通过使用一个函数的输出结果作为另一个函数的输入来得到的函数。
复合函数法是通过将两个或多个函数的定义域和值域相互组合，然后确定新函数的解析式来求解函数的解析式。
例如，给定函数f(x)=x+1和g(x)=2x，我们可以求得f(g(x))=2x+15.反函数法：反函数是指一个函数的自变量和因变量对换后得到的新函数。
反函数法是通过将一个函数的自变量和因变量交换位置，然后求解得到函数的解析式。
例如，给定函数f(x)=2x，我们通过交换x和y的位置，可以求得反函数f^(-1)(x)=x/26.曲线拟合法：曲线拟合法是通过已知函数的一些点来找到一个与这些点最接近的函数的解析式。
它可以应用于实验数据分析和模型建立等领域。
求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法：已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。
2、凑配法若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的3、待定系数法若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。
式子，再换元求出)(x f 的式子。
4、赋值法在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法5、消元法若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
典型题例示范讲解 例1 如果45)1(2+-=+x x x f ，那么f(x)=______________________.例2 设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求f(x)的解析式。
例 3 设y=f(x)是实数函数，且x xf x f =-)1(2)(，求证：232|)(|≥x f 。
例4 已知bx x f x af n n =-+)()(，其中n a ,12≠奇数，试求)(x f 。
例5 已知)12()()(+++=+b a a b f b a f ，且,1)0(=f 求)(x f 的表达式。
解：令0=b ,由已知得：.1)1()0()(2a a a a f a f ++=++=1)(2++=∴x x x f例6 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式(2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;0<a <1,t <0),则x =a t因此f (t )=12-a a (a t －a －t )∴f (x )=12-a a (a x －a －x )(a >1,x >0;0<a <1,x <0) (2)由f (1)=a +b +c ,f (－1)=a －b +c ,f (0)=c 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a 并且f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或－1， 所以所求函数为f (x )=2x 2－1 或f (x )=－2x 2+1 或f (x )=－x 2－x +1或f (x )=x 2－x －1 或f (x )=－x 2+x +1 或f (x )=x 2+x －1例7已知f (2－cos x )=cos2x +cos x ,求f (x －1) 解法一 (换元法）∵f (2－cos x )=cos2x －cos x =2cos 2x －cos x －1令u =2－cos x (1≤u ≤3),则cos x =2－u∴f (2－cos x )=f (u )=2(2－u )2－(2－u )－1=2u 2－7u +5(1≤u ≤3) ∴f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +4(2≤x ≤4) 解法二 (配凑法）f (2－cos x )=2cos 2x －cos x －1=2(2－cos x )2－7(2－cos x ）+5∴f (x )=2x 2－7x －5(1≤x ≤3),即f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +14(2≤x ≤4) 例8设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图像是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图像中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图像 命题意图 本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图像的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力 因此，分段函数是今后高考的热点题型 知识依托 函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线 错解分析 本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱 技巧与方法 合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式 解 (1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b∵射线过点(－2，0) ∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2(2)当－1<x <1时，设f (x )=ax 2+2∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a ·(－1)2+2,即a =－1∴f (x )=－x 2+2(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2 综上可知 f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成学生巩固练习 1 若函数f (x )=34-x mx (x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,则m 等于( ) A 3 B 23C －23D－3 2 设函数y =f (x )的图像关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,则x >1时f (x )等于( ) A f (x )=(x +3)2－1 B f (x )=(x －3)2－1 C f (x )=(x －3)2+1 D f (x )=(x －1)2－1 3 已知f (x )+2f (x1)=3x ,求f (x )的解析式为_________ 4 已知f (x )=ax 2+bx +c ,若f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=_________ 5 设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且其图像在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为2，求f (x )的解析式 6 设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间［2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈［1,2］时f (x )的解析式 若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图像上，求这个矩形面积的最大值 7 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P点的行程，f (x )表示P A 的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),并作出g (x )的简图 8 已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5(1)证明 f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈［1,4］的解析式；(3)试求y =f (x )在［4，9］上的解析式 参考答案 1 解析 ∵f (x 34-x mx ∴f ［f (x )］=334434--⋅-⋅x mx x mxm =x ,整理比较系数得m =3 答案 A2 解析 利用数形结合，x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1的对称轴为x =－1,最小值为－1，又y =f (x )关于x =1对称，故在x >1上，f (x )的对称轴为x =3且最小值为－1答案 B 3 解析 由f (x )+2f (x 1)=3x 知f (x 1)+2f (x x1 由上面两式联立消去f (x 1)可得f (x )=x2－x 答案 f (x )= x 2－x 4 解析 ∵f (x )=ax 2+bx +c ,f (0)=0,可知c =0 又f (x +1)=f (x )+x +1,∴a (x +1)2+b (x +1)+0=ax 2+bx +x +1,即(2a +b ）x +a +b =bx +x +1 故2a +b =b +1且a +b =1,解得a =21,b =21,∴f (x )=21x 2+21x 答案 21x 2+21x 5 解 利用待定系数法，设f (x )=ax 2+bx +c ,然后找关于a 、b 、c 的方程组求解，f (x )=178722++x x 6 解 (1)设x ∈［1,2］,则4－x ∈［2,3］,∵f (x )是偶函数，∴f (x )=f (－x ),又因为4是f (x )的周期，∴f (x )=f (－x )=f (4－x )=－2(x －1)2+4(2)设x ∈［0，1］，则2≤x +2≤3,f (x )=f (x +2)=－2(x －1)2+4, 又由(1）可知x ∈［0,2］时，f (x )=－2(x －1)2+4,设A 、B 坐标分别为(1－t ,0）,(1+t ,0)(0＜t ≤1),则|AB |=2t ,|AD |=－2t 2+4,S 矩形=2t (－2t 2+4)=4t (2－t 2),令S 矩=S ，∴82S =2t 2(2－t 2)·(2－t 2)≤(3222222t t t -+-+)3=2764, 当且仅当2t 2=2－t 2,即t =36时取等号 ∴S 2≤27864⨯即S ≤9616,∴S max =9616 7 解 (1)如原题图，当P 在AB 上运动时，P A =x ;当P 点在BC 上运动时，由Rt △ABD 可得P A =2)1(1-+x ;当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 易得P A =2)3(1x -+;当P 点在DA上运动时，P A =4－x ,故f (x )的表达式为 f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤)43( 4)32( 106)21( 22)10( 22x x x x x x x x x x (2)由于P 点在折线ABCD 上不同位置时，△ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P 点的位置进行分类求解如原题图，当P 在线段AB 上时，△ABP 的面积S =0；当P 在BC 上时，即1＜x ≤2时，S △ABP =21AB ·BP =21(x －1）； 当P 在CD 上时，即2＜x ≤3时，S △ABP =21·1·1=21；当P 在DA 上时，即3＜x ≤4时，S △ABP =21(4－x ) D P C A D P CA故g (x )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<≤<-≤≤)43( )4(21)32( 21)21( )1(21)10( 0x x x x x x8 (1)证明 ∵y =f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)=f (4－5)=f (－1),又y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)=－f (－1)=－f (4),∴f (1)+f (4)=0(2)解 当x ∈［1,4］时，由题意，可设f (x )=a (x －2)2－5(a ≠0),由f (1)+f (4)=0得a (1－2)2－5+a (4－2)2－5=0，解得a =2,∴f (x )=2(x －2)2－5(1≤x ≤4)(3)解 ∵y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)=－f (－0),∴f (0)=0,又y =f (x ) (0≤x ≤1)是一次函数，∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),∵f (1)=2(1－2)2－5=－3, f (1)=k ·1=k ,∴k =－3∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x ,当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15,当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2［(x －5)－2］2－5=2(x －7)2－5 ∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x课前后备注1124321o y x。
