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表面分形维数表面分形维数是描述物体表面粗糙程度的重要指标之一，它可以用来量化物体表面的几何结构和形态。
具体来说，表面分形维数是通过测量物体表面的长度和尺度之间的关系来定义的。
随着表面分形维数的增加，物体的表面变得越来越粗糙，具有更多的细节和结构。
表面分形维数的概念最早由法国数学家贝诺瓦·曼德博（Benoit Mandelbrot）提出，并在20世纪70年代引起了广泛的关注。
他通过研究自然界中的各种不规则形状（如云朵、海岸线、山脉等）发现，它们都具有一种类似于分形结构的特征。
在物理学和材料科学领域，表面分形维数被广泛应用于研究材料的表面形貌和性质。
例如，在薄膜涂层和纳米颗粒的研究中，表面分形维数可以用来描述材料的表面粗糙度和形貌分布。
通过测量材料表面的图像或轮廓，可以计算出其表面分形维数，从而了解材料的表面特征和性能。
表面分形维数的计算方法有多种，其中最常用的是基于盒计数法。
盒计数法将物体表面分割成不同大小的正方形盒子，并统计每个盒子中包含的表面点的数目。
通过改变盒子的尺寸，可以得到不同长度尺度下的表面点数。
然后，根据这些数据，可以计算出物体的表面分形维数。
表面分形维数的值通常介于1和2之间，取决于物体表面的几何结构和形态。
当表面分形维数接近1时，表明物体表面非常光滑，几乎没有细节和结构。
当表面分形维数接近2时，表明物体表面非常粗糙，具有丰富的细节和结构。
在实际应用中，表面分形维数的值可以用来评估材料的摩擦性能、光学反射率、涂层附着力等重要性能指标。
除了在材料科学中的应用，表面分形维数还被广泛应用于地理学、生物学、经济学等领域。
例如，在地理学中，表面分形维数可以用来研究地形的形态和演化过程。
在生物学中，表面分形维数可以用来研究生物体的形态特征和生长过程。
在经济学中，表面分形维数可以用来研究市场波动和金融风险等问题。
表面分形维数是描述物体表面粗糙程度的重要指标，它可以用来量化物体表面的几何结构和形态。
摩擦学的分形摩擦学作为一门研究物体接触表面间相互作用的学科，揭示了许多有趣的现象和规律。
其中，分形是摩擦学中一个令人着迷的概念。
分形是一种几何形态，其具有自相似性和无限细节的特点，与摩擦学的研究息息相关。
分形的美妙之处在于其无限的细节。
就像大自然中的树叶和花朵一样，我们发现分形结构在物体的接触表面上也同样存在。
当我们观察一块岩石或一片树皮时，我们会发现无数微小的凹凸、起伏和纹路，它们组成了一个个微小的分形单位。
这些分形单位在不同尺度上重复出现，形成了一个整体上具有分形结构的表面。
在摩擦学中，分形结构对于物体的摩擦性能起到了重要的影响。
分形结构使得物体的接触表面更加复杂，增加了接触面积，从而增强了摩擦力的作用。
同时，分形结构也使得物体的表面不规则，形成了更多的微观接触点，提高了摩擦系数。
这种分形结构的优势在工程设计中得到了广泛的应用，例如在轮胎的花纹设计中、机械零件的表面处理中等。
分形结构的存在也为我们提供了更深入地理解摩擦学的机理的机会。
通过研究分形结构，我们可以揭示物体在接触过程中微观接触点的行为，进而优化摩擦性能。
分形结构的研究不仅仅局限于地面摩擦，还可以应用于润滑剂的开发、摩擦材料的改良等领域。
通过深入理解分形结构的特性，我们可以更好地控制和调节物体之间的摩擦行为。
尽管分形在摩擦学中起到了重要的作用，但我们仍然只是揭开了这一领域的冰山一角。
分形结构的形成机理、分形参数的优化等问题仍然值得深入研究。
只有不断探索和理解分形的奥秘，我们才能更好地利用分形结构来改善摩擦学的性能。
摩擦学的分形之美是一门令人着迷的学科。
分形结构的存在使得摩擦学更加有趣和复杂，同时也为我们提供了更多的机会来改善摩擦性能。
通过深入研究和理解分形结构，我们可以不断推动摩擦学的发展，为人类创造更好的摩擦学应用。
让我们一起走进摩擦学的分形世界，探索其中的奥秘吧！。
粗糙表面上的移动接触线和动态接触角王晓东;彭晓峰;李笃中【期刊名称】《化工学报》【年(卷),期】2004(055)003【摘要】提出一个粗糙表面上移动接触线和动态接触角的数理模型:毛细数较低时表观接触线前缘存在极薄的前驱膜,表观接触线在"湿"固体表面上移动,不同于传统模型中认为表观接触线在"干"固体表面上移动.在Moffatt角区内部流动解的基础上,通过引入接触线特征参数表征表观接触线在前驱膜上的滑移程度,导出动态接触角的速度关系.与不同研究者实验数据对比发现量纲1特征参数反映固体材料特性和表面特性对动态湿润过程的影响,与液相的性质无关.结合前期提出的滞后张力模型,对动态法和静态法测量静接触角产生的差异给出合理解释.【总页数】6页(P402-407)【作者】王晓东;彭晓峰;李笃中【作者单位】清华大学热能工程系,北京,100084;清华大学热能工程系,北京,100084;台湾大学化学工程系,台湾,台北,106【正文语种】中文【中图分类】TK124【相关文献】1.规则粗糙固体表面液体浸润性对表观接触角影响的研究 [J], 程帅;董云开;张向军2.纯钛表面微弧氧化膜的粗糙度与接触角 [J], 王磊;陈建治;唐建国;贾暮云;石玉龙;闫风英3.CO/CO在金属Pd和Rh表面上的气相-表面交换——Ⅰ.CO在金属表面上化学吸附的动态性质 [J], 郭燮贤;辛梅;翟润生;张林虎;曹玉明4.接触角测试技术及粗糙表面上接触角的滞后性Ⅱ:粗糙不锈钢表面接触角的滞后性 [J], 王晓东;彭晓峰;陆建峰;王补宣5.接触角测试技术及粗糙表面上接触角的滞后性Ⅰ:接触角测试技术 [J], 王晓东;彭晓峰;陆建峰;王补宣因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
3D粗糙表面的数字化表征与接触特性分析杨国庆;熊美华;洪军;刘会静;王飞【摘要】为了研究粗糙表面的复杂接触力学行为,提出了一种关于微观两粗糙表面接触的有限元分析方法.通过3D粗糙表面的数字化表征方法,获得了具有不同统计特征的高斯或非高斯粗糙表面,在此基础上,通过自下而上的三维建模与六面体网格划分,构建了两粗糙表面接触的精细有限元分析模型.在不同法向载荷的作用下,分析了微观结合面的变形、接触压力、真实接触面积等接触特征及其加载卸载特性,揭示了结合面的力学行为规律,为微观粗糙表面的性能预测提供了一种有效的途径.%A finite element analysis for simulating the contact performance between two micro-rough surfaces is proposed. The numerical characterization of Gaussian or non-Gaussian rough surfaces is introduced to lay the foundation of this analysis. Then bottom up solid modeling and hexahedral meshing lead to an accurate finite element model. The normal deformation, nominal contact pressure, real contact area, contact pressure distribution of the interface under different normal loads are discussed and their loading/unloading characteristics are investigated to reveal the mechanical behavior laws, which provides a new approach to predict or evaluate the performances of micro-rough interfaces.【期刊名称】《西安交通大学学报》【年(卷),期】2012(046)011【总页数】6页(P58-63)【关键词】粗糙表面;数字化表征;接触特性【作者】杨国庆;熊美华;洪军;刘会静;王飞【作者单位】西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室,710049,西安;湖南科技大学机械工程学院,411201,湖南湘潭;湖南科技大学机械工程学院,411201,湖南湘潭;西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室,710049,西安;西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室,710049,西安;西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室,710049,西安【正文语种】中文【中图分类】TH123粗糙表面的接触面积、接触压力分布等接触特性，会直接影响接触刚度、接触热阻、配合精度与密封等结合面的性能.目前，学者们在微观粗糙表面的法向静接触研究中提出了许多理论解析模型，如GW 模型、CEB模型、MB模型［1－3］等，这些模型均依赖于一定的假设条件，如所有的微凸体都具有相同的峰顶曲率半径、其变形相互独立、微凸体之间的接触全部是峰对峰正接触等.文献［4－7］虽考虑了粗糙表面接触时微凸体间的相互作用，但同样对粗糙表面的接触进行了等效与简化，如将粗糙表面的接触简化成刚性光滑表面与等效粗糙表面的接触，将微凸体的侧接触全部转化为正接触，将微凸体等效成球体、椭球体等形状，因此仍有很大的局限性.由于大量的假设条件与简化限制了理论解析模型的应用范围，同时影响了粗糙表面接触分析的准确性，因此采用有限元仿真分析来解决上述问题是一种更有效的方法.文献［8－9］利用分形几何模拟的三维粗糙表面，将粗糙表面的接触等效成粗糙表面与刚性平面的接触，并进行了相关的有限元分析.但是，分形理论能否准确模拟工程实际表面仍存在争议，且现有的有限元仿真一般将粗糙表面的接触等效成为刚性光滑平面与粗糙表面的接触，因此不能真实地反映接触的状态.随着表面形貌检测技术与信号分析处理技术的发展，为3D粗糙表面形貌的测量与数字化建模清除了障碍，并有学者采用有限元法研究了测量表面与光滑表面的弹塑性接触问题［10］.相对于表面形貌的测量方法，粗糙表面的数字化模拟不受测量设备、试件、操作者等的影响，可以快速、准确地获得满足给定统计特征的粗糙表面［11－14］.本文通过对粗糙表面形貌的数字化模拟，获得了满足一定统计特征（自相关函数、标准偏差、偏斜度与峰度）的接触表面的形貌数据，在此基础上，构建了两粗糙表面接触的有限元分析模型，并对粗糙表面法向静接触中的接触特性进行了分析.1 粗糙表面的数字化表征为了分析不同粗糙表面的接触情况，通过数字化模拟获得了满足一定统计特征的高斯、非高斯粗糙表面，并分别采用一定离散间距（取Δx＝Δy＝1 μm）的高度序列z1（m，n）、z2（m，n）（m、n分别表示x、y方向离散点的数目）进行表征.1.1 高斯粗糙表面的数字化表征高斯粗糙表面的数字化表征包括白噪声序列的生成及其滤波，并生成具有一定的标准偏差值σ，以及偏斜度、峰度值分别为0、3的z1，具体步骤如下.步骤1 利用白噪声发生器产生白噪声序列η（m，n），并进行傅里叶变换，获得相应的傅里叶序列.式中：Lx、Ly分别为x、y方向的自相关长度.步骤3 采用离散间距Δx＝Δy＝1μm对f（x，y）进行离散，从而获得相应的自相关函数序列步骤4 对R（m，n）进行傅里叶变换，获得相应的功率谱密度步骤5 由于白噪声的功率谱密度为常数C，假设C＝1，则可以获得相应的传递函数步骤6 利用频域点乘（A·H），采用反傅里叶变换的方法获得高斯表面的初始高度序列步骤7 根据给定的σ、z0的实际标准偏差σr，求得白噪声功率谱密度的常数实际值为C＝［σr／σ］2，从而可以得到符合给定标准偏差等要求的高斯高度序列z1＝z0σ／σr.分别取m＝n＝256、Lx＝Ly＝3μm、σ＝1.6μm，由步骤1～步骤7，获得的高斯粗糙表面如图1所示.同理，若取Lx＝2μm、Ly＝100μm，获得的各向异性高斯粗糙表面呈现出明显的表面纹理，如图2所示.图1 各向同性高斯表面1.2 非高斯粗糙表面的数字化表征高斯表面是非高斯表面的特例，实际上工程粗糙表面大部分为非高斯面.本文将利用偏斜度Sk、峰度Ku等统计参数，以高斯高度序列为基础，结合非高斯转化来实现非高斯粗糙表面的数字化表征，具体步骤如下.图2 各向异性高斯表面步骤1～步骤7与高斯粗糙表面的数字化表征步骤相同.步骤8 采用Pearson或Johnson非高斯变换系统对z1进行非高斯变换，生成非高斯高度序列z2，并通过其高度方向的比例调节来满足给定的标准偏差值.步骤9 如果z2的Sk、Ku不满足精度要求，则采用新的白噪声序列，重复高斯高度序列的模拟及其非高斯转换，直到满足精度要求，从而完成非高斯粗糙表面的数字化模拟.分别取 m＝n＝128、Lx＝Ly＝5μm、σ＝1.6μm、Sk＝－1、Ku＝4.5，根据步骤1～步骤9获得的各向同性非高斯粗糙表面如图3所示.同理，若取m＝n＝256、Lx＝2μm、Ly＝100μm、σ＝1.6μm、Sk＝0.5、Ku＝3.5，获得的各向异性非高斯粗糙表面呈现出明显的表面纹理，如图4所示.图3 各向同性非高斯表面图4 各向异性非高斯表面通过粗糙表面的数字化表征，获得了不同统计特征的高斯或非高斯高度序列（z1（m，n）或z2（m，n）），将其保存成txt格式的数组文件，可方便有限元软件直接调用，以完成粗糙表面接触模型的几何建模.2 两粗糙表面接触的有限元模型构建2.1 几何模型构建采用自下而上的实体建模方法（从点到线、线到面、面到体）构建了2组高斯粗糙表面（点数均为128×128，水平间距为1μm×1μm）.每组上、下粗糙表面的标准偏差分别为σ1、σ2，且有σ1＝σ2.2组粗糙表面的高度标准偏差分别为1.6μm、0.8μm.本文以第1组粗糙表面为例，对几何建模、网格划分等有限元模型进行了分析.由z1相应的txt文件，结合水平间距，通过ANSYS命令直接生成三维点云模型，如图5a所示.连接x、y方向相邻的点，生成粗糙的接触表面模型，如图5b所示.在此基础上，构建了两粗糙表面接触体模型（见图5c）.图5 两粗糙表面接触的几何模型2.2 材料参数的定义材料参数直接影响连接基体与结合面的变形特性.本文粗糙表面接触的上、下连接体均采用铝合金材料，其弹性模量为71GPa，泊松比为0.33，相应的应力应变数据来源于文献［15］.2.3 网格划分及其边界条件的定义网格划分的质量与数量会直接影响求解的效率与精度，本文粗糙表面接触的连接体采用Solid45单元，粗糙表面接触对采用conta173、targe170单元，同时对网格的形状、数量进行了控制.如图6所示，粗糙表面接触的上、下连接体均生成了高质量的六面体网格单元，在连接体的厚度方向，根据厚度的大小划分了4层网格单元，其中每层网格单元的数量为127×127，体网格总数为12.9万.若将粗糙表面的点数增加到256×256，同样对每个连接体采用4层网格单元，则体网格总数约为52万.在有限元模型中施加边界条件会影响模型的收敛速度与求解效率，因此将粗糙表面的下接触基体的下表面固定，在相应粗糙表面的上接触基体的上表面施加z方向的位移d，来调节法向接触载荷的大小，并限制x＝0mm、y＝0mm时相应平面的法向位移，以完成了粗糙表面接触有限元模型的构建.图6 六面体网格模型3 分析与讨论3.1 微凸体的受力与变形特征利用所构建的有限元模型，分析了2组高斯粗糙表面在静态法向接触中微凸体的受力与变形特征.根据每组接触对应上连接基体上表面的法向位移，可以通过有限元的后处理来获得相应的法向载荷F，结合名义接触面积A0＝0.127mm×0.127 mm，可以获得等效法向载荷（用名义接触压力P0表示，P0＝F／A0）.其中，第1组粗糙表面（σ1＝σ2＝1.6μm）的接触模型在不同P0作用下，对应结合面微凸体的等效应力σe与弹塑性变形的情况如图7所示.图中用黑白颜色直接反映了等效应力的大小及塑性变形区域的分布，即使在较小的P0作用下，也有少数微凸体发生了明显的塑性变形，且随着法向载荷的增大，发生塑性变形的区域也不断增大.在所建立的有限元模型中，由于上、下连接体的总厚度很小，因此基体弹性变形量可以忽略，结合面的法向变形量约等于上基体上表面所施加的法向位移量.图7 微凸体在不同P0时相应的等效应力与塑性变形如图8所示，P0随d的增大而呈非线性增大，当d＝2σ′（σ′为两接触粗糙表面的等效标准偏差，σ′＝）时，第1、2组结合面的法向名义接触压力分别为180、135MPa.随着d的增大，d－P0曲线的斜率不断增大，从而反映出结合面法向接触刚度的非线性增大，直至整体塑性屈服.在P0相同时，第1组结合面的载荷－变形曲线具有较小的斜率，验证了结合面表面粗糙度与法向接触刚度的关系，即结合面的表面越粗糙，法向接触刚度越小.图8 2组粗糙表面接触时相应的d－P0曲线3.2 结合面的接触压力与真实接触面积利用本文构建的有限元模型，同样可以获得结合面的接触压力与真实接触面积随载荷的变化规律.在不同名义法向载荷作用下，第1组粗糙表面接触对应的结合面的接触压力与接触区域的变化规律如图9所示.由图9可以看出：即使在较小的法向名义载荷（P0＝3.44MPa）下，最大接触压力也高达3 GPa；随着法向名义载荷的增大，最大接触压力变化较小，真实接触面积A不断增大.如图10所示，通过对A／A0与d进一步分析，可以看出A／A0随d的增大而呈非线性增大，与图8中P0的变化规律相似.当d≤0.7σ′时，实际接触面积不到名义接触面积的1%；当d接近2σ′时，实际接触面积占名义接触面积的10%左右.图9 不同P0下的结合面接触压力与接触区域图10 2组粗糙表面接触时相应的d－A／A0曲线3.3 加载卸载特征在分析微观结合面初次加载的基础上，对结合面接触特征的加载卸载特性进行了分析.P0、A／A0的加载卸载特性分别如图11、图12所示.由图11可知，当d／σ′≤1.7时，两加载曲线基本重合，随着d／σ′的增大，表面越粗糙，P0的变化越大.从曲线的斜率变化来看，卸载曲线的斜率明显高于相应加载曲线的斜率，即通过卸载加载可以明显提高结合面的法向接触刚度.进一步的研究发现，微观结合面表现出与文献［16］中的缠绕式密封垫片相类似的加载卸载特性.因此，可以采用一定厚度的垫片单元来模拟微观结合面的法向应力、应变等力学行为，从而实现微观与宏观的跨尺度耦合.图11 2组粗糙表面接触时对应的d／σ′－P0曲线图12 2组粗糙表面接触时对应的P0－A／A0曲线如图12所示，在加载过程中，A／A0与P0呈近似线性关系，且在P0相同时，粗糙的结合面（σ1＝σ2＝1.6μm）具有较小的A／A0.在卸载过程中，A／A0的变化表现出明显的非线性特性，同一粗糙结合面所对应的A／A0的加载卸载特性与文献［9］相似.4 结论本文利用3D粗糙表面的数字化表征方法，获得了微观粗糙表面的形貌数据.在此基础上构建了两粗糙表面接触的有限元模型，分析总结了结合面的变形、接触压力分布、实际接触面积及其加载卸载特征.（1）提出的粗糙表面数字化表征方法，能够快速获得满足一定统计特征的3D粗糙表面，从而为粗糙表面接触力学行为的数值模拟提供丰富的形貌数据.（2）采用合理的几何建模、网格划分技术，构建了粗糙表面接触的有限元模型，为研究两粗糙表面的接触力学行为提供了可行的途径.（3）通过两粗糙表面接触的有限元分析，揭示了结合面的变形规律，并与缠绕式密封垫片进行了对比，发现微观结合面表现出相似的加载卸载特性，归一化实际接触面积在加载过程中与名义接触压力呈近似线性关系，而在卸载过程中表现出明显的非线性特性.【相关文献】［1］GREENWOOD J A， WILLIAMS J B.Contact of nominally flat surfaces［J］.P Roy Soc Lond：A Mat，1966，295（1442）：300－319.［2］CHANG W R，ETSION I，BOGY D B.An elasticplastic model for the contact of rough surfaces 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Journal of Aerospace Engineering，2009，223（7）：863－871.［16］KRISHNA M M，SHUNMUGAM M S，PRASAD N S.A study on the sealing performance of bolted flange joints with gaskets using finite element analysis［J］.Int J Pres Ves Pip，2007，84（6）：349－357.［本刊相关文献链接］刘意，刘恒，易均，等.切向接触刚度测量方法的理论改进.2012，46（1）：66－69.王宁，李宝童，洪军，等.螺栓支承面有效半径的影响因素.2012，46（4）：132－136.李学伟，赵万华，卢秉恒.轨迹误差建模的多轴联动机床轮廓误差补偿技术.2012，46（3）：47－52.李辉光，刘恒，虞烈.粗糙机械结合面的接触刚度研究.2011，45（6）：69－74.陈光胜，梅雪松，陶涛.一种四轴联动机床转台运动误差的快速检测及分离方法.2011，45（9）：6－10.刘显军，洪军，朱永生，等.多支承轴系轴承受力与刚度的有限元迭代计算方法.2010，44（11）：41－45.刘海涛，赵万华.基于结合面的机床摄动分析及优化设计.2010，44（1）：96－99.尤晋闽，陈天宁.结合面法向动态参数的分形模型.2009，43（9）：91－94.李蕊，周丽.面向缩聚模型的结构损伤识别研究.2011，45（9）：101－107.。
24卷第17期2005年9 岩石力学与工程学报 Vol.24 No.17 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Sept.，2005粗糙表面分形维数估算的改进立方体覆盖法张亚衡1，周宏伟1，谢和平12 ，(1. 中国矿业大学(北京) 岩石力学与分形研究所，北京 100083；2. 四川大学，四川成都 610065)摘要：岩石断口表面形貌的定量描述是评价其力学行为的基础。
在粗糙表面分形维数估算的立方体覆盖法基础上，提出了估算粗糙表面分形维数的改进立方体覆盖法。
进一步根据粗糙表面形貌的有关数据，采用立方体覆盖法和改进的立方体覆盖法分别对同一粗糙表面估算其分形维数值，并进行了对比分析，发现改进的立方体覆盖法不仅具有直接覆盖法的优点，其估算过程也更加直观和方便。
关键词：岩石力学；粗糙表面；分形维数；立方体覆盖法；改进的立方体覆盖法中图分类号：TU 311.2 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2005)17–3192–05 IMPROVED CUBIC COVERING METHOD FOR FRACTALDIMENSIONS OF A FRACTURE SURFACE OF ROCKZHANG Ya-heng1，ZHOU Hong-wei1，XIE He-ping12 ，(1. Institute of Rock Mechanics and Fractals，China University of Mining and Technology，Beijing 100083，China；2. Sichuan University，Chengdu 610065，China)Abstract：Description of fracture surface of rock is the base of evaluating its mechanical behavior. Ways to determine the fractal dimensions of a fracture surface are essential for a better understanding of its complete topographic characteristics. Triangular prism surface area method，projective covering method and cubic covering method are three widely used methods at present. Both the triangular prism surface area and projective covering methods cannot avoid the problem of approximate estimation of the real area surrounded by four points on the fracture surface，because the four points considered seldom lie on a plane. Such approximate calculations will certainly result in error. However，the cubic covering method can assure that every step is accurate. Therefore，it can be regarded as a reliable method for direct determination of the fractal dimension of a fracture surface. In this paper，a laser profilometer is employed to measure the topography of a rock fracture surface. Based on cubic covering method for the fractal dimensions of a fracture surface of rock，a new method named improvedcubic covering method is proposed. Cubic covering method and improved cubic covering method are applied to computing fractal dimensions of the same fracture surface of rock. The results show that the improved cubic covering method not only has the advantage of the cubic covering method，but also has more convenient computing process.Key words：rock mechanics；fracture surface；fractal dimension；cubic covering method；improved cubic covering method～多有意义的研究成果[16]，但大多数研究成果都是1 引言分形几何在粗糙表面形貌描述领域已取得了很收稿日期：2005–02–24；修回日期：2005–04–17 对粗糙表面上剖线形貌进行分形描述，对整个粗糙表面形貌的分形描述方法较少，有些研究仅限于对一维问题的推广，Mandelbrot本人也提出用剖线的基金项目：国家重点基础研究发展规划(973)项目(2002CB412707)；国家自然科学基金资助项目(10372112，50221402)；教育部优秀青年教师资助计划项目作者简介：张亚衡(1980–)，男，2003年毕业于中国矿业大学北京校区力学与建筑工程学院土木工程专业，现为硕士研究生，主要从事岩石力学方面的研究工作。
２０２０年１２月第３８卷第６期西北工业大学学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＤｅｃ．Ｖｏｌ．３８２０２０Ｎｏ．６ｈｔｔｐｓ：／／ｄｏｉ．ｏｒｇ／１０．１０５１／ｊｎｗｐｕ／２０２０３８６１１８８收稿日期：２０１９⁃１２⁃３１基金项目：国家自然科学基金（５１６７５４２７，５０８７５２１４）资助作者简介：刘楷安（１９７９ ），西北工业大学博士研究生，主要从事摩擦学㊁界面接触力学研究㊂分形表面加卸载法向接触刚度演变行为分析刘楷安，徐颖强，吴正海，肖立（西北工业大学机电学院，陕西西安㊀７１００７２）摘㊀要：针对分形粗糙表面加卸载过程中法向接触刚度的演变问题，依据改进的Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ⁃Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ（Ｗ⁃Ｍ）函数生成分形粗糙表面数字化模型，引入基于时间历程的变形修正量等效金属基体形变的影响，建立精确的刚性平面与分形表面弹塑性接触有限元模型㊂探讨分形维数㊁尺度参数㊁材料属性等对法向接触刚度的影响，提出加卸载时法向接触刚度评价方法并进一步分析其演变规律㊂数值模拟表明：分形表面法向接触刚度与载荷之间符合正相关的幂律函数关系；相同载荷下，分形维数Ｄ为２．４ ２．７，尺度参数Ｇ为１．３６ˑ１０－１３ １．３６ˑ１０－１０ｍ时，加载时法向接触刚度随着分形维数㊁切线模量的增大而增大，随着尺度参数的增大而减小；卸载时法向接触刚度随着材料应变硬化而增大，变化幅度与分形维数正相关，与尺度参数和切线模量负相关㊂关㊀键㊀词：粗糙表面；接触刚度；材料属性；分形参数；弹塑性接触中图分类号：ＴＨ１１７㊀㊀㊀文献标志码：Ａ㊀㊀㊀文章编号：１０００⁃２７５８（２０２０）０６⁃１１８８⁃１０㊀㊀粗糙表面接触过程中，接触行为发生在有限的离散点上，实际接触面积远小于名义接触面积，导致粗糙表面微凸体出现复杂的应力状态［１］㊂加载过程的接触参数，如最大变形量㊁接触面积㊁应力状态和材料属性等对卸载接触行为产生较大的影响，从而改变粗糙接触表面的几何形貌和材料的力学本构关系，进一步影响粗糙表面的接触刚度与能量耗散等特性㊂因此，探究粗糙表面加卸载时法向接触刚度的演变行为，对研究齿轮㊁轴承㊁凸轮等机械零部件的摩擦学与动力学性能具有重要意义［２］㊂研究粗糙表面法向接触刚度演变问题，需要建立精确的粗糙表面接触模型㊂众多学者开展了相关研究，先后提出了多种接触模型㊂Ｇｒｅｅｎｗｏｏｄ和Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ［３］基于严格的假设条件，首先建立了经典统计学模型（ＧＷ模型），将粗糙表面接触等效为高度服从高斯分布且具有相同曲率半径的弹性球体与刚性平面接触问题，研究中提出的粗糙表面建模与简化方法为众多学者所采用㊂在此基础上，研究人员尝试将ＧＷ模型扩展到弹塑性接触，相继提出了Ｗ⁃Ａ模型［４］㊁ＣＥＢ模型［５］㊁ＭＢ模型［６］㊁ＫＥ模型［７］等，上述模型均依赖于一定的假设条件，如微凸体具有相同的曲率半径㊁微凸体发生小变形且相互独立㊁忽略材料的非线性特点等㊂国外学者Ｂｈｕｓｈａｎ㊁Ｅｔｓｉｏｎ等较早开展了粗糙表面数值模拟方面的研究㊂Ｅｔｓｉｏｎ等［７］采用有限元法建立光滑球体与刚性平面弹塑性接触有限元模型，发现了微凸体弹塑性变形机制，为解决单个微凸体力学行为与真实粗糙表面接触特性的内在联系奠定了基础㊂Ｓａｈｏｏ等［８］借助Ｗ⁃Ｍ分形函数生成分形表面形貌数据，建立分形表面与刚性平面接触有限元模型，分析弹性接触时分形参数对接触面积和变形量的影响㊂粗糙表面加卸载或循环接触特性研究主要集中在理论分析与单个微凸体接触特性的研究㊂Ｅｔｓｉｏｎ等［９］建立刚性平面与光滑球体弹塑性接触有限元模型，给出了加卸载过程中不同接触状态下量纲一接触载荷㊁接触面积与变形量之间关系的表达式㊂Ｋａｄｉｎ等［１０］提出一种粗糙表面弹塑性接触卸载时的统计学模型，分析卸载后粗糙表面的残余形貌并给出粗糙表面高度分布函数㊂Ｃｈａｔｔｅｒｊｅｅ和Ｚａｉｔ等［１１⁃１２］分别建立弹塑性球体与刚性平面循环接触有限元模型，分析材料属性与应变硬化现象对接触特性影响，并指出接触行为的演变集中在第一次加第６期刘楷安，等：分形表面加卸载法向接触刚度演变行为分析卸载，后续循环加卸载具有重复性㊂李小彭和陈建江等［１３⁃１４］分别基于分形理论建立了三维分形表面法向接触刚度理论解析模型，推导出法向接触刚度的解析表达式，分析分形参数㊁微凸体等级等对法向接触刚度的影响㊂李辉光等［１５］采用有限元数值模拟方法研究了微元体粗糙表面的接触刚度㊂Ａｍｏｒ等［１６］建立了考虑基体形变和幂律强化的粗糙表面接触有限元模型，分析表面粗糙度对法向接触刚度的影响㊂综上所述，理论解析模型存在过多的假设条件，很难有效地解决微凸体之间相互作用的问题㊂数值模拟研究则更多集中在单个微凸体或粗糙表面加载接触特性的研究，对粗糙表面加卸载时法向接触刚度的研究并不多见㊂本文针对分形表面加卸载时法向接触刚度的演变问题，通过数字建模和数值模拟分析，解析了分形表面量纲一接触载荷与变形量之间的非线性关系，推导加卸载时接触刚度的表征形式并给出评估方法㊂同时，揭示了粗糙表面分形维数，尺度参数和切线模量等因素对法向接触刚度的影响规律，进一步探究了加卸载过程中法向接触刚度的演变问题㊂１㊀理论基础１．１㊀分形理论运用分形理论，Ｙａｎ和Ｋｏｍｖｏｐｏｕｌｏｓ［１７］提出了修正的Ｗ⁃Ｍ函数，可准确地描述三维分形表面的所有特征，其表达式为ｚ（ｘ，ｙ）＝ＬＧＬæèçöø÷（Ｄ－２）ｌｎγＭæèçöø÷１／２ðＭｍ＝１ðｎｍａｘｎ＝０γ（Ｄ－３）ｎˑ㊀ｃｏｓϕｍ，ｎ－ｃｏｓ２πγｎ（ｘ２＋ｙ２）１／２Ｌéëêê{ˑ㊀ｃｏｓｔａｎ－１ｙｘæèçöø÷－πｍＭöø÷æèç＋ϕｍ，ｎùûúú}（１）式中：ｚ（ｘ，ｙ）为分形表面的轮廓高度函数；Ｌ为样本长度；ＬＳ为截断长度；Ｄ为分形维数（２＜Ｄ＜３），反映的是粗糙表面占据空间的大小；Ｇ为高度尺度参数，反映粗糙表面幅值的大小；γ（γ＞１）缩放参数；ｎ为频率因子，且ｎｍａｘ＝ｉｎｔ［ｌｇ（Ｌ／ＬＳ）／ｌｇγ］；Ｍ为分形表面的脊线数；ϕｍ，ｎ为［０，２π］的随机相位㊂１．２㊀微凸体加卸载变形机制２个粗糙表面的接触问题，可以等效为一个刚性平面与粗糙平面的接触［３］㊂图１为单个微凸体加卸载模型，虚线表示微凸体和刚性平面的初始状态，Ｆ为刚性平面载荷，Ｒ为微凸体曲率半径，δ为微凸体接触变形量，δｍａｘ为最大接触变形量，δｒｅｓ为完全卸载时残余变形量㊂图１㊀微凸体加卸载模型根据赫兹接触和分形理论［１７］，若微凸体的实际接触面积为ａ，则微凸体的变形量为δ＝２ＧＤ－２（ｌｎγ）１／２（２ａ）３－Ｄ（２）㊀㊀微凸体曲率半径为Ｒ＝２（Ｄ－５）π（１－Ｄ）／２Ｇ２－Ｄａ（Ｄ－１）／２（ｌｎγ）１／２（３）㊀㊀当微凸体出现初始屈服点时，则临界变形量㊁接触面积和接触载荷可以分别表示为［７］δｅｃ＝πＫＨ２Ｅᶄæèçöø÷２Ｒ（４）ａｅｃ＝πＲδｅｃ（５）Ｆｅｃ＝４３ＥᶄＲ１／２δ３／２ｅｃ（６）式中：Ｋ为硬度系数，与材料的泊松比υ有关，其值为Ｋ＝０．４５４＋０．４１υ；Ｈ为较软材料的硬度，Ｈ＝２．８σｙ，σｙ为材料屈服强度；Ｅᶄ为等效弹性模量，且有Ｅᶄ＝Ｅ／（１－υ２），Ｅ为微凸体材料的弹性模量㊂根据微凸体相对刚性平面位置的不同，其接触状态划分为完全弹性变形㊁弹塑性变形和完全塑性变形３种形式㊂１）完全弹性变形微凸体变形量满足δɤδｅｃ时，由Ｈｅｒｔｚ接触理论，微凸体的接触载荷和接触面积分别为［８］Ｆｅ＝Ｆｅｃδδｅｃæèçöø÷３／２（７）ａｅ＝ａｅｃδδｅｃ（８）㊃９８１１㊃西㊀北㊀工㊀业㊀大㊀学㊀学㊀报第３８卷㊀㊀此时，微凸体发生完全弹性变形，卸载后恢复到初始状态，即残余变形量为零㊂２）弹塑性变形Ｅｔｓｉｏｎ等［９］研究表明微凸体发生的弹塑性变形可以划分为第一弹塑性变形和第二弹塑性变形２个阶段㊂微凸体变形量满足δｅｃ＜δɤ６δｅｃ时，属于第一弹塑性变形阶段，接触载荷和接触面积分别为Ｆｅｐ１＝１．０３Ｆｅｃδδｅｃæèçöø÷１．４２５（９）ａｅｐ１＝０．９３ａｅｃδδｅｃæèçöø÷０．１３６（１０）㊀㊀此时，第一和第二弹塑性变形阶段的临界接触面积为［１８］ａｅｐｃ１＝１１０１／（２－Ｄ）ａｅｃ（１１）㊀㊀微凸体变形量满足６δｅｃ＜δɤ１１０δｅｃ时，属于第二弹塑性变形阶段，接触载荷和接触面积分别为Ｆｅｐ２＝１．４０Ｆｅｃδδｅｃæèçöø÷１．２６３（１２）ａｅｐ２＝０．９４ａｅｃδδｅｃæèçöø÷１．１４６（１３）㊀㊀此时，第二弹塑性变形阶段与完全塑性变形的临界接触面积为［１８］ａｅｐｃ２＝６１／（２－Ｄ）ａｅｃ（１４）㊀㊀卸载过程中，接触载荷为［１７］Ｆｅｐｕ＝Ｆｍａｘδｕδｍａｘ－δｒｅｓæèçöø÷１．５（δｍａｘ／δｅｃ）－０．０３３１（１５）式中：Ｆｍａｘ为最大变形量时的接触载荷；δｕ为卸载时相对完全卸载状态的变形量；δｍａｘ为加载时最大变形量；δｒｅｓ为完全卸载残余变形量㊂残余变形量与最大变形量满足以下关系δｒｅｓδｍａｘ＝１－δｍａｘδｅｃæèçöø÷－０．２８éëêêùûúú１－δｍａｘδｅｃæèçöø÷－０．６９éëêêùûúú（１６）由（１６）式可得发生弹塑性变形的微凸体卸载时的残余变形量㊂３）完全塑性变形微凸体变形量满足δ＞１１０δｅｃ，微凸体发生完全塑性变形，接触载荷和接触面积分别为Ｆｐ＝Ｈａ（１７）ａ＝２πＲδ（１８）㊀㊀当忽略微凸体之间的相互影响时，发生完全塑性变形的微凸体卸载轮廓与完全加载时一致㊂１．３㊀分形表面接触刚度分形粗糙表面接触过程中，实际接触面积的分布密度函数为［１８］ｎ（ａ）＝Ｄ－１４ａ（Ｄ－１）／２ｌａ－（Ｄ＋１）／２（１９）式中：ａｌ为最大接触点面积㊂由分形理论，分形粗糙表面的法向接触刚度为ｋｎ＝ʏａｌａｅｃｋｅｎ（ａ）ｄａ＋ʏａｅｃａｅｐｃ２ｋｅｐ１ｎ（ａ）ｄａ＋ʏａｅｐ２ａｅｐｃ１ｋｅｐ２ｎ（ａ）ｄａ＋ʏａｅｐ２０ｋｐｎ（ａ）ｄａ（２０）式中：ｋｅ为弹性变形微凸体的法向接触刚度；ｋｅｐ１为第一弹塑性变形微凸体的法向接触刚度；ｋｅｐ２为第二弹塑性变形微凸体的法向接触刚度；ｋｐ为完全塑性变形微凸体的法向接触刚度㊂将（２）式㊁（３）式代入（７）式㊁（９）式㊁（１２）式㊁（１７）式，并对变形量求微分可以计算微凸体不同接触状态下的法向接触刚度，由（２０）式计算分形表面法向接触刚度㊂２㊀有限元模型与验证２．１㊀分形表面有限元模型结合Ｔｈｏｍｐｓｏｎ［１９］提出的４种粗糙表面有限元建模方法，采用改进的基于点云数据处理技术与三维曲面拟合方法建立分形表面与刚性平面接触有限元模型㊂首先，由公式（１）生成分形表面形貌点云数据；然后，采用ＡＰＤＬ编程处理数据，经过Ｃｏｏｎｓｐａｔｃｈ三维曲面拟合与布尔运算，生成三维分形表面几何模型㊂识别分形表面最高点坐标定义为刚性平面Ｚ向位置，创建刚性平面；最后，建立分形表面接触有限元模型，选择单元类型为Ｓｏｌｉｄ１８５单元，该单元具有计算超弹性㊁应力强化㊁大变形和大应变的能力㊂定义双线性等向强化材料，材料属性见表１㊂表１㊀分形表面材料属性材料参数值弹性模量Ｅ／ＧＰａ２００泊松比υ０．３屈服强度σｙ／ＭＰａ２５０切线模量Ｅｔ／ＧＰａ５，１０，６０，１００采用ｖｏｎＭｉｓｅｓ屈服准则判断弹性变形和塑性变形间的转变，通过Ｐｒａｎｄｔｌ⁃Ｒｅｕｓｓ本构关系控制塑性区域的应力应变状态㊂将刚性平面定义为目标面，粗糙面定义为接触面，使用Ｔａｒｇｅ１７０和㊃０９１１㊃第６期刘楷安，等：分形表面加卸载法向接触刚度演变行为分析Ｃｏｎｔａ１７４单元建立面－面接触对㊂金属体底面添加全约束，刚性平面通过控制节点约束且仅具有Ｚ方向自由度㊂有限元分析求解算法采用增广Ｌａｇｒａｎｇｅ算法，可以有效地控制表面之间的穿透，设置力的收敛准则为０．００１㊂通过控制节点施加载荷，其大小随求解载荷子步按斜坡曲线依次递增，最大载荷步和最小载荷步为２００和１０㊂接触载荷由金属体约束底面所有节点法向（沿Ｚ方向）力循环叠加获得，并通过对接触单元接触面积求和计算真实接触面积，变形量由刚性平面控制节点Ｚ向位移量确定㊂同时，对分析参数做量纲一化处理：ｆｎ＝Ｆ／ＥᶄＡ０，δｎ＝Ｚ／Ｌ，其中，Ｆ为刚性平面载荷，Ａ０为名义接触面积，Ｚ为刚性平面法向位移量，反映分形表面接触变形量㊂根据文献［１７］实验数据，分析模型参数分别取Ｄ＝２．５，Ｇ＝１．３６ˑ１０－１２ｍ，Ｌ＝９ˑ１０－７ｍ，Ｌｓ＝１．５ˑ１０－７ｍ，Ｍ＝１０，γ＝１．５，生成分形表面与刚性平面弹塑性接触有限元模型，如图２所示㊂图２㊀分形表面弹塑性接触有限元模型２．２㊀模型验证完成弹性球体与刚性平面接触有限元分析，并与赫兹接触理论计算结果对比验证分析模型的有效性㊂验证模型参数分别为：弹性球体半径为１０ｍｍ，弹性模量为２００ＧＰａ，泊松比为０．３，载荷为３０ｋＮ，单元类型㊁参数设置与分形表面有限元模型一致㊂接触半宽与法向变形量对比结果见表２，分析误差小于３％，说明分析方案可行㊂表２㊀赫兹接触理论与有限元分析结果比较验证参数接触变形量ｄ／ｍｍ接触半宽ｒ／ｍｍ赫兹理论０．１０１６１．００７９ＦＥＡ０．０９９３０．９８１０误差／％２．２６２．６７㊀㊀Ｋｕｃｈａｒｓｋｉ等［２０］针对喷砂处理的粗糙表面，进行有限元分析与实验研究㊂实验样件的材料属性分别为：弹性模量Ｅ＝２００ＧＰａ，切线模量Ｅｔ＝２０ＧＰａ，泊松比υ＝０．３，屈服极限σｙ＝４００ＭＰａ㊂对比实验样件的表面粗糙度值，选择与其对应的分形表面建立有限元模型，其中分形维数Ｄ为２．５，尺度参数Ｇ为１．３６ˑ１０－１２ｍ㊂对比实验研究与有限元分析，得到量纲一接触变形量与接触载荷的关系，如图３所示㊂图３㊀实验数据与数值模拟结果对比图３显示，分形表面有限元分析的变形量与实验结果的取值区间与变化趋势一致，进一步验证了分析方法的有效性㊂３㊀法向接触刚度表征与评价３．１㊀法向接触刚度表征分形表面与刚性平面加卸载接触时，接触载荷与变形量关系曲线，如图４所示［９］㊂易知，随着分形表面形貌参数的演变，加卸载时法向接触刚度（曲线斜率）发生变化㊂同时，分形表面接触总刚度ｋｔｏｔ可等效为金属基体刚度ｋｂ与分形表面接触刚度ｋｎ的耦合，二者满足关系［１６］：１／ｋｔｏｔ＝１／ｋｂ＋１／ｋｎ㊂图４㊀量纲一接触载荷与变形量关系㊃１９１１㊃西㊀北㊀工㊀业㊀大㊀学㊀学㊀报第３８卷基于上述原因，本研究在表征㊁分析分形表面法向接触刚度时作如下处理：１）为克服采用离散差分方法引起局部病态结果，采用非线性最小二乘法拟合数值结果表征法向接触刚度，并将卸载曲线左移δｒｅｓ（分形表面残余变形量）到原点后拟合，可简化运算且不影响结果㊂２）求解运算时，在不同参数的有限元模型上施加相同的载荷，该处理方法符合工程表面加卸载时界面接触动力学载荷的规律特点㊂３）加卸载时分形表面法向接触刚度的演变，主要出现在第一次加卸载过程中，后续加卸载时的接触行为具有重复性，即可以认为卸载时的接触刚度与后续加载时接触刚度一致㊂因此，规定接触载荷为零时，作为法向变形量坐标零点㊂４）由于金属基体截面为名义接触面积且远大于实际接触面积，金属基体只发生弹性变形或低数量级的塑性变形，因此，引入基于时间历程的变形修正量等效金属基体形变的影响㊂在粗糙表面最低谷的次表面定义一个平面，面内任意一点法向高度为ｚｉ，ｊ（ｔ），其值与平面内位置坐标（ｉ，ｊ）和反映求解子步的时间ｔ有关，则有ｚａｖｅ（ｔ）＝１ｎðｎｋ＝１ｚｉ，ｊ（ｔ）（２１）㊀㊀定义刚性平面控制节点的法向位移为ｚｇ（ｔ）㊂粗糙表面网格划分引起的数值舍入误差为ｚｉｃ（ｔ），则有δ（ｔ）＝ｚｇ（ｔ）－ｚａｖｅ（ｔ）－ｚｉｃ（２２）图５㊀基体与分形表面变形量关系图５表示加卸载时分形表面总变形量ｚｇ（ｔ）与基体变形量ｚａｖｅ（ｔ）随时间载荷步变化曲线㊂可以看出，ｚｇ（ｔ）随载荷增加非线性递增㊂ｚａｖｅ（ｔ）随载荷增加近似线性增加，其最大值为ｚｇ（ｔ）最大值的５．９２％㊂网格划分引起的数值舍入误差ｚｉｃ，与表面形貌㊁单元类型㊁网格划分精度等因素有关，其大小为ｚｇ（ｔ）最大值的０．５１％，大变形接触分析中可以忽略㊂由文献［２１］可知，分形表面法向接触载荷和变形量之间存在幂律函数关系，可表示为ｆｎ＝ａδｂ（２３）式中：ｆｎ为量纲一法向接触载荷；δ为量纲一法向变形量（δ（ｔ）简写形式）；常数ａ和ｂ取决于接触物体的材料属性和表面几何形貌特征㊂（２３）式可转换为δ＝１ａæèçöø÷１／ｂｆ１／ｂｎ（２４）（２３）式对δ求微分，并将（２４）式代入，整理可得ｋｎ＝ｄｆｎｄδ＝ａ１／ｂ㊃ｂ㊃ｆ（１－１／ｂ）ｎ（２５）㊀㊀由此可见，法向接触刚度可以表征为接触载荷和常数ａ，ｂ的函数，其中，ａ，ｂ通过对接触载荷和变形量数据进行最小二乘法数据拟合确定㊂３．２㊀法向接触刚度评价方法由于加载时材料的应变硬化现象和表面形貌演变引起的几何非线性接触问题，导致加卸载时分形表面法向接触刚度呈现复杂的非线性特点㊂如何评价加卸载过程中法向接触刚度演变成为一个难题㊂分析可知，加载和卸载时接触载荷具有相同的取值范围㊂由此，定义刚度指数ｋｉｎｄｅｘ评价加卸载过程中法向接触刚度的演变，其表达式为ｋｉｎｄｅｘ＝ʏｆｍａｘ０［ｋｘ（ｆ）－ｋｊ（ｆ）］ｄｆʏｆｍａｘ０ｋｍｉｎ（ｆ）ｄｆ（２６）式中：ｆｍａｘ为量纲一最大接触载荷；ｋｘ（ｆ）为卸载时法向接触刚度；ｋｊ（ｆ）为加载时法向接触刚度；ｋｍｉｎ（ｆ）为分析对比数据中最小法向接触刚度㊂同理，也可以计算加载或卸载时的刚度指数㊂以下分析讨论中，采用刚度指数与最大法向接触刚度变化综合评价加卸载时法向接触刚度的演变行为㊂例如：取分形维数Ｄ为２．５，尺度参数Ｇ为１．３６ˑ１０－１２ｍ，弹性模量Ｅ＝２００ＧＰａ，切线模量Ｅｔ＝６０ＧＰａ，泊松比υ＝０．３，屈服极限σｙ＝２５０ＭＰａ，分别建立弹性和弹塑性分形表面接触有限元模型，绘制弹性模型㊁弹塑性模型加卸载时法向接触刚度与接触载荷之间关系曲线，如图６所示㊂由图中可以㊃２９１１㊃第６期刘楷安，等：分形表面加卸载法向接触刚度演变行为分析图６㊀弹性体与弹塑性体法向接触刚度看出，弹塑性模型加载时法向接触刚度最小，故将其定义为（２６）式分母项㊂同时，将弹塑性模型加载时接触刚度指数作为归一化参考值，则对应弹塑性加载㊁弹性㊁弹塑性卸载３种接触状态的刚度指数比值为１ʒ１．７４ʒ２．６８，最大法向接触刚度比值为１ʒ１．４９ʒ２．０１㊂因此，采用刚度指数和最大接触刚度变化可以定量评价分形参数和材料属性对法向接触刚度的影响㊂４㊀法向接触刚度分析针对分形表面加卸载时法向接触刚度演变问题，建立不同分形参数㊁材料属性的有限元模型，研究参数变量对法向接触刚度的影响，并揭示加卸载过程中的演变规律㊂选择具有真实表面属性的分形参数建立分析模型［１７］，分形维数Ｄ的取值为２．４２．７，尺度参数Ｇ为１．３６ˑ１０－１３ １．３６ˑ１０－１０ｍ，切线模量Ｅｔ的取值为５ １００ＧＰａ㊂统一设置材料的弹性模量Ｅ为２００ＧＰａ，泊松比υ为０．３，屈服强度σｙ为２５０ＭＰａ㊂通过有限元分析，获得加卸载时接触载荷和变形量的数值模拟结果，通过（２３）式的数据拟合，确定接触载荷和变形量之间的关系，见表３㊂表３㊀分形表面接触载荷与变形量关系拟合系数ＤＧ／ｍＥｔ／ＧＰａ加载ａｂ卸载ａｂ２．４１．３６ˑ１０－１２６０８．０１ˑ１０３３．５２２０．８７１．６０２．５１．３６ˑ１０－１２６０２．６１ˑ１０４３．１６６４３．８１．９４２．６１．３６ˑ１０－１２６０１．０８ˑ１０４２．６０２．０１ˑ１０３１．９６２．７１．３６ˑ１０－１２６０２．６２ˑ１０５２．７９１．３８ˑ１０４２．０８２．５１．３６ˑ１０－１３６０１．２８ˑ１０５３．００３．９７ˑ１０３２．７９２．５１．３６ˑ１０－１１６０２１６．４２．６３２２．０１１．６８２．５１．３６ˑ１０－１０６０４．６０３２．１９２．８９１．４７２．５１．３６ˑ１０－１２５４２．６０２．１３９．４０ˑ１０４２．５８２．５１．３６ˑ１０－１２１０１４５．４２．３３４．１０ˑ１０４２．５１２．５１．３６ˑ１０－１２１００１．２０ˑ１０５３．３９１４．３１１．３９４．１㊀分形维数影响研究分形维数对加卸载时法向接触刚度的影响，选择的尺度参数Ｇ为１．３６ˑ１０－１２ｍ，分形维数Ｄ依次为２．４，２．５，２．６，２．７，切线模量Ｅｔ＝６０ＧＰａ，分别建立有限元模型㊂将表３中数据，带入（２５）式和（２６）式，计算加卸载时的法向接触刚度和刚度指数㊂图７㊀法向接触刚度与分形维数关系㊀㊀图７表示加卸载过程中分形表面法向接触刚度与分形维数之间的关系㊂图７ａ）显示，加载时法向接触刚度随接触载荷和分形维数的增大而增大，且分形维数越大非线性特征越明显，上述规律与文献［１４］分析结果一致㊂图７ｂ）显示，卸载时法向接触刚度与载荷㊁分形维数之间的关系与加载时一致，卸载时法向接触刚度明显增大㊂随着分形维数增大，最大接触刚度的增量分别为０．５１，１．２３，２．１３，３．８０㊂㊃３９１１㊃西㊀北㊀工㊀业㊀大㊀学㊀学㊀报第３８卷图７ｃ）显示，随着分形维数的增大，加卸载刚度指数变化量分别为１．４，２．７，４．６，８．２，卸载时刚度指数分别为加载时的２．４，２．２，２．１５，１．９２倍㊂加卸载时法向接触刚度出现上述演变规律原因是：由分形理论可知，分形维数越大，则表面越光滑，相同载荷作用下分形表面的接触面积越大，法向变形量减小，分形表面具有更大的法向接触刚度㊂同时，光滑表面卸载时残余变形量与法向变形量的比值更小，即表现为卸载时法向接触刚度相对变化量降低㊂４．２㊀尺度参数影响尺度参数反映粗糙表面幅值的大小，尺度参数越大表面越粗糙㊂分析加卸载时不同尺度参数对分形表面法向接触刚度及其演变规律的影响㊂分析模型的参数分别为：分形维数Ｄ为２．５，尺度参数Ｇ分别选择为１．３６ˑ１０－１３，１．３６ˑ１０－１２，１．３６ˑ１０－１１，１．３６ˑ１０－１０ｍ，切线模量Ｅｔ为６０ＧＰａ㊂完成有限元建模与分析，并对数值结果进行量纲一化与数据拟合处理，接触载荷与变形量之间的关系，见表３㊂图８㊀法向接触刚度与尺度参数关系㊀㊀图８表示加卸载过程中分形表面法向接触刚度与尺度参数之间的关系㊂图８ａ）显示，加载时法向接触刚度随接触载荷增大而增大，随尺度参数增大而减小，且尺度参数越小非线性特征越明显㊂图８ｂ）显示，卸载时法向接触刚度与接触载荷㊁尺度参数之间关系与加载时一致㊂随着尺度参数的增大，加卸载时最大法向接触刚度的增量分别为２．０１，１．２３，０．６８，０．２７㊂图８ｃ显示，随着分形尺度参数增加，加卸载刚度指数变化量分别为１４，８．７，４．７，２．１㊂由此可以看出，相同载荷作用下，尺度参数越大表面越粗糙，接触面积越小，变形量越大，其表现为分形表面的法向接触刚度越小㊂４．３㊀切线模量影响选择分形参数不变，切线模量为变量，建立有限元模型，分析切线模量对加卸载时法向接触刚度的影响㊂选择分形维数Ｄ为２．５，尺度参数为Ｇ＝１．３６ˑ１０－１２ｍ，切线模量见表１，经数值模拟与数据拟合可得接触载荷与变形量之间的关系，见表３㊂图９㊀法向接触刚度与切线模量关系㊀㊀图９表示加卸载过程中分形表面法向接触刚度与切线模量之间的关系㊂图９ａ）显示，加载时法向㊃４９１１㊃第６期刘楷安，等：分形表面加卸载法向接触刚度演变行为分析接触刚度随着载荷和切线模量的增加而增加㊂图９ｂ）显示，卸载时法向接触刚度显著增大，且随着切线模量的增加其增量逐渐减小㊂卸载时最大接触刚度增量分别为４．６９，３．８１，１．２３，０．７９㊂图９ｃ）显示，随着切线模量的增加，加卸载时法向接触刚度指数变化量分别为９，７．４，２．８，１．９㊂由此可以看出：加载时切线模量越小，反映应力大于屈服强度后，应力与应变关系曲线的斜率越小，即相同载荷下，分形表面变形量较大，其宏观表现为具有较小的接触刚度，即法向接触刚度与切线模量正相关㊂卸载时，切线模量越小，残余变形量越大，法向接触刚度反而越大㊂因此，分形表面弹塑性变形与应变硬化现象对卸载法向接触刚度影响很大，而且卸载法向接触刚度的提升幅度与切线模量负相关㊂５㊀实例分析以圆柱滚子轴承Ｎ３０４为研究对象，分析加卸载过程中法向接触刚度的演变问题㊂考虑到模型中宏观几何尺寸与微观形貌叠加问题，选择轴承内圈与单个滚子进行接触分析，并假设滚子为理想刚体㊂圆柱滚子轴承Ｎ３０４参数分别为：内径Ｄ１＝２０ｍｍ，外径Ｄ２＝５２ｍｍ，滚子直径Ｄｗ＝１０ｍｍ，滚子数Ｚ＝１２，有效长度ｌ＝１５ｍｍ，材料为轴承钢ＧＣｒ１５，精度等级为Ｐ０，轴承内圈外表面粗糙度Ｒａ＝０．８μｍ㊂图１０显示，轴承内圈与滚子加卸载接触过程中，法向接触刚度随接触载荷非线性递增，且增量与接触载荷正相关㊂当加载最大变形量为４μｍ时，图１０㊀轴承滚子与轴承内圈接触分析结果卸载时最大法向接触刚度增加了１．４５倍㊂卸载后，最大残余变形量为２．１μｍ㊂６㊀结㊀论１）运用分形理论和数字建模方法，完成了精确的分形表面弹塑性接触有限元建模与分析，解析了量纲一接触载荷与变形量之间的关系，可用于定量分析轴承㊁齿轮㊁微纳机械等机械零部件多尺度耦合的循环接触问题㊂２）分形表面法向接触刚度与载荷之间为正相关的幂律函数关系㊂相同载荷下，加载时法向接触刚度随着分形维数㊁切线模量的增大而增大，随尺度参数的增大而减小㊂３）卸载时法向接触刚度随着载荷的增大而增大㊂由于材料的应变硬化现象，卸载时法向接触刚度明显增大，其变化幅度与分形维数正相关，与尺度参数和切线模量负相关㊂参考文献：［１］㊀ＢＨＵＳＨＡＮＢ．ＣｏｎｔａｃｔＭｅｃｈａｎｉｃｓｏｆＲｏｕｇｈＳｕｒｆａｃｅｓｉｎＴｒｉｂｏｌｏｇｙ：ＭｕｌｔｉｐｌｅＡｓｐｅｒｉｔｙＣｏｎｔａｃｔ［Ｊ］．ＴｒｉｂｏｌｏｇｙＬｅｔｔｅｒｓ，１９９８，４（１）：１⁃３５［２］㊀ＺＡＩＴＹ，ＫＬＩＧＥＲＭＡＮＹ，ＥＴＳＩＯＮＩ．ＵｎｌｏａｄｉｎｇｏｆａｎＥｌａｓｔｉｃ⁃ＰｌａｓｔｉｃＳｐｈｅｒｉｃａｌＣｏｎｔａｃｔｕｎｄｅｒＳｔｉｃｋＣｏｎｔａｃｔＣｏｎｄｉｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｌｉｄｓａｎｄＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２０１０，４７（７／８）：９９０⁃９９７［３］㊀ＧＲＥＥＮＷＯＯＤＪＡ，ＷＩＬＬＩＡＭＳＯＮＪＢＰ．ＣｏｎｔａｃｔｏｆＮｏｍｉｎａｌｌｙＦｌａｔＳｕｒｆａｃｅｓ［Ｊ］．ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＲｏｙａｌＳｏｃｉｅｔｙｏｆＬｏｎｄｏｎ：ＳｅｒｉｅｓＡＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎｄＰｈｙｓｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ，１９６６，２９５（１４４２）：３００⁃３１９［４］㊀ＷＨＩＴＥＨＯＵＳＥＤＪ，ＡＲＣＨＡＲＤＪＦ．ＴｈｅＰｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆＲａｎｄｏｍＳｕｒｆａｃｅｓｏｆＳｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｉｎＴｈｅｉｒＣｏｎｔａｃｔ［Ｊ］．ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＲｏｙａｌＳｏｃｉｅｔｙＡ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ，ＰｈｙｓｉｃａｌａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｃｉｅｎｃｅｓ，１９７０，３１６（１５２４）：９７⁃１２１［５］㊀ＣＨＡＮＧＷＲ，ＥＴＳＩＯＮＩ，ＢＯＧＹＤＢ．ＡｎＥｌａｓｔｉｃ⁃ＰｌａｓｔｉｃＭｏｄｅｌｆｏｒｔｈｅＣｏｎｔａｃｔｏｆＲｏｕｇｈＳｕｒｆａｃｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｒｉｂｏｌｏｇｙ，１９８７，１０９（２）：２５７⁃２６３［６］㊀ＭＡＪＵＭＤＡＲＡ，ＢＨＵＳＨＡＮＢ．ＦｒａｃｔａｌＭｏｄｅｌｏｆＥｌａｓｔｉｃ⁃ＰｌａｓｔｉｃＣｏｎｔａｃｔｂｅｔｗｅｅｎＲｏｕｇｈＳｕｒｆａｃｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｒｉｂｏｌｏｇｙ，１９９１，１１３（１）：１⁃１１㊃５９１１㊃㊃６９１１㊃西㊀北㊀工㊀业㊀大㊀学㊀学㊀报第３８卷［７］㊀ＫＯＧＵＴＬ，ＥＴＳＩＯＮＩ．Ｅｌａｓｔｉｃ⁃ＰｌａｓｔｉｃＣｏｎｔａｃｔＡｎａｌｙｓｉｓｏｆａＳｐｈｅｒｅａｎｄａＲｉｇｉｄＦｌａｔ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ，２００２，６９（５）：６５７⁃６６２［８］㊀ＳＡＨＯＯＰ，ＧＨＯＳＨＮ．ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＣｏｎｔａｃｔＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＦｒａｃｔａｌＳｕｒｆａｃｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＰｈｙｓｉｃｓＤＡｐｐｌｉｅｄＰｈｙｓｉｃｓ，２００７，４０（１４）：４２４５⁃４２５２［９］㊀ＥＴＳＩＯＮＩ，ＫＬＩＧＥＲＭＡＮＹ，ＫＡＤＩＮＹ．ＵｎｌｏａｄｉｎｇｏｆａｎＥｌａｓｔｉｃ⁃ＰｌａｓｔｉｃＬｏａｄｅｄＳｐｈｅｒｉｃａｌＣｏｎｔａｃｔ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｌｉｄｓａｎｄＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００５，４２（１３）：３７１６⁃３７２９［１０］ＫＡＤＩＮＹ，ＫＬＩＧＥＲＭＡＮＹ，ＥＴＳＩＯＮＩ．ＵｎｌｏａｄｉｎｇａｎＥｌａｓｔｉｃ⁃ＰｌａｓｔｉｃＣｏｎｔａｃｔｏｆＲｕｇｈＳｕｒｆａｃｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓｏｆＳｏｌｉｄｓ，２００６，５４（１２）：２６５２⁃２６７４［１１］ＣＨＡＴＴＥＲＪＥＥＢ，ＳＡＨＯＯＰ．Ｆｉｎｉｔｅ⁃Ｅｌｅｍｅｎｔ⁃ＢａｓｅｄＭｕｌｔｉｐｌｅＮｏｒｍａｌＬｏａｄｉｎｇ⁃ＵｎｌｏａｄｉｎｇｏｆａｎＥｌａｓｔｉｃ⁃ＰｌａｓｔｉｃＳｐｈｅｒｉｃａｌＳｔｉｃｋＣｏｎｔａｃｔ［Ｊ］．ＩＳＲＮＴｒｉｂｏｌｏｇｙ，２０１４，２０１３（１）：１⁃１３［１２］ＺＡＩＴＹ，ＺＯＬＯＴＡＲＥＶＳＫＹＶ，ＫＬＩＧＥＲＭＡＮＹ，ｅｔａｌ．ＭｕｌｔｉｐｌｅＮｏｒｍａｌＬｏａｄｉｎｇ⁃ＵｎｌｏａｄｉｎｇＣｙｃｌｅｓｏｆａＳｐｈｅｒｉｃａｌＣｏｎｔａｃｔｕｎｄｅｒＳｔｉｃｋＣｏｎｔａｃｔＣｏｎｄｉｔｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｒｉｂｏｌｏｇｙ，２０１０，１３２（１０）：１⁃７［１３］李小彭，王雪，运海萌，等．三维分形固定结合面法向接触刚度的研究［Ｊ］．华南理工大学学报，２０１６，４４（１）：１１４⁃１２２ＬＩＸｉａｏｐｉｎｇ，ＷＡＮＧＸｕｅ，ＹＵＮＨａｉｍｅｎｇ，ｅｔａｌ．ＩｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎｉｎｔｏＮｏｒｍａｌＣｏｎｔａｃｔＳｔｉｆｆｎｅｓｓｏｆＦｉｘｅｄＪｏｉｎｔＳｕｒｆａｃｅｗｉｔｈＴｈｒｅｅ⁃Ｄｉ⁃ｍｅｎｓｉｏｎａｌＦｒａｃｔａｌ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２０１６，４４（１）：１１４⁃１２２（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）［１４］陈建江，原园，成雨，等．尺度相关的分形结合面法向接触刚度模型［Ｊ］．机械工程学报，２０１８，５４（２１）：１４１⁃１５１ＣＨＥＮＪｉａｎｊｉａｎｇ，ＹＵＡＮＹｕａｎ，ＣＨＥＮＧＹｕ，ｅｔａｌ．ＳｃａｌｅＤｅｐｅｎｄｅｎｔＮｏｒｍａｌＣｏｎｔａｃｔＳｔｉｆｆｎｅｓｓＦｒａｃｔａｌＭｏｄｅｌｏｆＪｏｉｎｔＩｎｔｅｒｆａｃｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１８，５４（２１）：１４１⁃１５１（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）［１５］李辉光，刘恒，虞烈．粗糙机械结合面的接触刚度研究［Ｊ］．西安交通大学学报，２０１１，４５（６）：６９⁃７４ＬＩＨｕｉｇｕａｎｇ，ＬＩＵＨｅｎｇ，ＹＵＬｉｅ．ＣｏｎｔａｃｔＳｔｉｆｆｎｅｓｓｏｆＲｏｕｇｈＭｅｃｈａｎｉｃａｌＪｏｉｎｔＳｕｒｆａｃｅ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉᶄａｎＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２０１１，４５（６）：６９⁃７４（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）［１６］ＡＭＯＲＭＢ，ＢＥＬＧＨＩＴＨＳＢ，ＭＥＺＬＩＮＩＳＭ．ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｏｄｅｌｉｎｇｏｆＲＭＳＲｏｕｇｈｎｅｓｓＥｆｆｅｃｔｏｎｔｈｅＣｏｎｔａｃｔＳｔｉｆｆｎｅｓｓｏｆＲｏｕｇｈＳｕｒｆａｃｅｓ［Ｊ］．ＴｒｉｂｏｌｏｇｙｉｎＩｎｄｕｓｔｒｙ，２０１６，３８（３）：３９２⁃４０１［１７］ＹＡＮＷ，ＫＯＭＶＯＰＯＵＬＯＳＫ．ＣｏｎｔａｃｔＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＥｌａｓｔｉｃ⁃ＰｌａｓｔｉｃＦａｃｔａｌＳｕｒｆａｃｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｐｐｌｉｅｄＰｈｙｓｉｃｓ，１９９８，８４（７）：３６１７⁃３６２４［１８］ＬＩＯＵＪＬ．ＴｈｅＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌＳｔｕｄｙｆｏｒＭｉｃｒｏｃｏｎｔａｃｔＭｏｄｅｌｗｉｔｈＶａｒｉａｂｌｅＴｏｐｏｇｒａｐｈｙＰａｒａｍｅｔｅｒｓ［Ｄ］．Ｔａｉｗａｎ：ＣｈｅｎｇＫｕｎｇＵｎｉｖｅｒ⁃ｓｉｔｙ，２００６［１９］ＴＨＯＭＰＳＯＮＭＫ．ＡＭｕｌｔｉ⁃ＳｃａｌｅＩｔｅｒａｔｉｖｅＡｐｐｒｏａｃｈｆｏｒＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｏｄｅｌｉｎｇｏｆＴｈｅｒｍａｌＣｏｎｔａｃｔＲｅｓｉｓｔａｎｃｅ［Ｄ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：ＭａｓｓａｃｈｕｓｅｔｔｓＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００７［２０］ＫＵＣＨＡＲＳＫＩＳ，ＫＬＩＭＣＺＡＫＴ，ＰＯＬＩＪＡＮＩＵＫＡ，ｅｔａｌ．Ｆｉｎｉｔｅ⁃ＥｌｅｍｅｎｔｓＭｏｄｅｌｆｏｒｔｈｅＣｏｎｔａｃｔｏｆＲｏｕｇｈＳｕｒｆａｃｅｓ［Ｊ］．Ｗｅａｒ，１９９４，１７７（１）：１⁃１３［２１］ＰＯＨＲＴＲ，ＰＯＰＯＶＶＬ．ＮｏｒｍａｌＣｏｎｔａｃｔＳｔｉｆｆｎｅｓｓｏｆＥｌａｓｔｉｃＳｏｌｉｄｓｗｉｔｈＦｒａｃｔａｌＲｏｕｇｈＳｕｒｆａｃｅｓ［Ｊ］．ＰｈｙｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗＬｅｔｔｅｒｓ，２０１２，１０８（１０）：１⁃４㊃７９１１㊃第６期刘楷安，等：分形表面加卸载法向接触刚度演变行为分析ＥｖｏｌｕｔｉｏｎＢｅｈａｖｉｏｒＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＮｏｒｍａｌＣｏｎｔａｃｔＳｔｉｆｆｎｅｓｓｏｆＦｒａｃｔａｌＳｕｒｆａｃｅｕｎｄｅｒＬｏａｄｉｎｇａｎｄＵｎｌｏａｄｉｎｇＬＩＵＫａｉａｎ，ＸＵＹｉｎｇｑｉａｎｇ，ＷＵＺｈｅｎｇｈａｉ，ＸＩＡＯＬｉ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉᶄａｎ７１００７２，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｎｏｒｍａｌｃｏｎｔａｃｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓｕｎｄｅｒｌｏａｄｉｎｇａｎｄｕｎｌｏａｄｉｎｇ，ａｎａｃｃｕｒａｔｅｅ⁃ｌａｓｔｉｃ⁃ｐｌａｓｔｉｃｃｏｎｔａｃｔｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｏｄｅｌｂｅｔｗｅｅｎｒｉｇｉｄｐｌａｎｅａｎｄｆｒａｃｔａｌｓｕｒｆａｃｅｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｂｙｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇｔｈｅｅ⁃ｑｕｉｖａｌｅｎｔｍｅｔａｌｍａｔｒｉｘｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｉｎｔｅｒｍｓｏｆｔｈｅｍｏｄｉｆｉｅｄＷｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ⁃Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｓｏｆｔｈｅｆｒａｃ⁃ｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，ｓｃａｌｅｐａｒａｍｅｔｅｒ，ｍａｔｅｒｉａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｎｔｈｅｎｏｒｍａｌｃｏｎｔａｃｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓｗｅｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ａｍｅｔｈｏｄｆｏｒｅ⁃ｖａｌｕａｔｉｎｇｔｈｅｎｏｒｍａｌｃｏｎｔａｃｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｒｍａｌｃｏｎｔａｃｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｒｅｉｓａｐｏｓｉｔｉｖｅｐｏｗｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｎｏｒｍａｌｃｏｎｔａｃｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓａｎｄｔｈｅｌｏａｄｏｆｆｒａｃｔａｌｓｕｒｆａｃｅ．Ｕｎｄｅｒｔｈｅｓａｍｅｌｏａｄ，ａｔｔｈｅｆｒａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ（Ｄ）ｏｆ２．４－２．７ａｎｄｓｃａｌｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓ（Ｇ）ｏｆ１．３６ˑ１０－１３－１．３６ˑ１０－１０ｍ，ｔｈｅｌｏａｄｉｎｇｎｏｒｍａｌｃｏｎｔａｃｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓｉｎｃｒｅａｓｅｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｏｆｆｒａｃｔａｌｄｉ⁃ｍｅｎｓｉｏｎａｎｄｔａｎｇｅｎｔｍｏｄｕｌｕｓ，ｂｕｔｄｅｃｒｅａｓｅｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｏｆｓｃａｌｅｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｔｈｅｕｎｌｏａｄｉｎｇｎｏｒｍａｌｃｏｎｔａｃｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓｉｎｃｒｅａｓｅｓｗｉｔｈｔｈｅｍａｔｅｒｉａｌｓｔｒｅｎｇｔｈｅｎｉｎｇ，ａｎｄｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｍｐｌｉｔｕｄｅｉｓｐｏｓｉｔｉｖｅｌｙｃｏｒｒｅｌａｔｅｄｗｉｔｈｔｈｅｆｒａｃ⁃ｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，ａｎｄｎｅｇａｔｉｖｅｌｙｃｏｒｒｅｌａｔｅｄｗｉｔｈｔｈｅｓｃａｌｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓａｎｄｔａｎｇｅｎｔｍｏｄｕｌｕｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｏｕｇｈｓｕｒｆａｃｅ；ｃｏｎｔａｃｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓ；ｍａｔｅｒｉａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ；ｆｒａｃｔａｌｐａｒａｍｅｔｅｒ；ｅｌａｓｔｉｃ⁃ｐｌａｓｔｉｃｃｏｎｔａｃｔ©２０２０ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．ＴｈｉｓｉｓａｎＯｐｅｎＡｃｃｅｓｓａｒｔｉｃｌｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄｕｎｄｅｒｔｈｅｔｅｒｍｓｏｆｔｈｅＣｒｅａｔｉｖｅＣｏｍｍｏｎｓＡｔｔｒｉｂｕｔｉｏｎＬｉｃｅｎｓｅ（ｈｔｔｐ：／／ｃｒｅａｔｉｖｅｃｏｍｍｏｎｓ．ｏｒｇ／ｌｉｃｅｎｓｅｓ／ｂｙ／４．０），ｗｈｉｃｈｐｅｒｍｉｔｓｕｎｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄｕｓｅ，ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ａｎｄｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｉｎａｎｙｍｅｄｉｕｍ，ｐｒｏｖｉｄｅｄｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｗｏｒｋｉｓｐｒｏｐｅｒｌｙｃｉｔｅｄ．。
国际表面粗糙度标准分析表面粗糙度标准的提出和发展与工业生产技术的发展密切相关，它经历了由定性评定到定量评定两个阶段。
表面粗糙度对机器零件表面性能的影响从1918年开始首先受到注意，在飞机和飞机发动机设计中，由于要求用最少材料达到最大的强度，人们开始对加工表面的刀痕和刮痕对疲劳强度的影响加以研究。
但由于测量困难，当时没有定量数值上的评定要求，只是根据目测感觉来确定。
在20世纪20,30年代，世界上很多工业国家广泛采用三角符号(?)的组合来表示不同精度的加工表面。
为研究表面粗糙度对零件性能的影响和度量表面微观不平度的需要，从20年代末到30年代，德国、美国和英国等国的一些专家设计制作了轮廓记录仪、轮廓仪，同时也产生出了光切式显微镜和干涉显微镜等用光学方法来测量表面微观不平度的仪器，给从数值上定量评定表面粗糙度创造了条件。
从30年代起，已对表面粗糙度定量评定参数进行了研究，如美国的Abbott就提出了用距表面轮廓峰顶的深度和支承长度率曲线来表征表面粗糙度。
1936年出版了Schmaltz论述表面粗糙度的专著，对表面粗糙度的评定参数和数值的标准化提出了建议。
但粗糙度评定参数及其数值的使用，真正成为一个被广泛接受的标准还是从40年代各国相应的国家标准发布以后开始的。
首先是美国在1940年发布了ASA B46.1国家标准，之后又经过几次修订，成为现行标准ANSI/ASME B46.1-1988《表面结构表面粗糙度、表面波纹度和加工纹理》，该标准采用中线制，并将Ra作为主参数;接着前苏联在1945年发布了GOCT2789-1945《表面光洁度、表面微观几何形状、分级和表示法》国家标准，而后经过了3次修订成为GOCT2789-1973《表面粗糙度参数和特征》，该标准也采用中线制，并规定了包括轮廓均方根偏差(即现在的Rq)在内的6个评定参数及其相应的参数值。
另外，其它工业发达国家的标准大多是在50年代制定的，如联邦德国在1952年2月发布了DIN4760和DIN4762有关表面粗糙度的评定参数和术语等方面的标准等。
粗糙表面接触面积和承载规律的研究王世军;何花兰;郭璞;赵金娟【摘要】基于有限元方法研究了磨削粗糙表面的真实接触面积和承载分布规律.首先通过表面轮廓仪获得两个45钢磨削表面的轮廓数据,建立了粗糙表面的二维有限元接触模型,通过计算获得了两个粗糙表面在0～1 MPa法向载荷作用下的接触变形,与法向载荷及变形的试验结果比较,计算结果与实验结果有较好的一致性.此外,还将该模型计算的真实接触面积与接触电阻试验获得的真实接触面积进行了比较,发现二者数据也能够较好地吻合,表明该模型能够用于粗糙表面微观接触性质的研究.通过该模型发现,接触点的承载不均匀,而且不均匀的程度随载荷升高而降低,说明在低载荷条件下,真实的接触面积并不能反映接触表面的承载能力.计算结果还显示,真实接触区的面积很小,并且只出现在轮廓高度平均值以上的位置,轮廓高度在平均值附近及其以下的高度分布并不影响接触的状态和性质,表面轮廓符合正态分布应该不是GW模型的必要条件.【期刊名称】《西安理工大学学报》【年(卷),期】2014(030)001【总页数】6页(P22-27)【关键词】粗糙表面;接触;面积;承载;有限元【作者】王世军;何花兰;郭璞;赵金娟【作者单位】西安理工大学机械与精密仪器工程学院,陕西西安710048;西安理工大学机械与精密仪器工程学院,陕西西安710048;西安理工大学机械与精密仪器工程学院,陕西西安710048;西安理工大学印刷包装工程学院,陕西西安710048【正文语种】中文【中图分类】O344.1;O343.3零件之间相互接触的表面称为机械结合面。
宏观上光滑的机械结合面，在微观上仍然是粗糙的，其宏观的载荷-变形关系与基体部分明显不同，例如机床60%～80%的刚度、90%以上的阻尼都来自结合面。
要建立准确的机械整机结构模型，就必须了解结合面的静态和动态特性。
结合面静态和动态特性的研究一直是机械整机性能分析的难点之一，目前仍没有一套比较成熟的理论与方法，大多数情况下仍然是靠经验估计。
第16卷 第4期摩擦学学报V o l.16, N o.4 1996年10月TR I BOLO GY O ct.,1996评述与进展(375～384)粗糙表面接触分形模型的提出与发展3贺 林 朱 均(西安交通大学润滑理论及轴承研究所 西安 710049)摘要 自表面接触塑性变形模型问世以来,经过近40年的发展,已经形成以分形几何理论为基础的M2B粗糙表面接触分形模型.M2B模型以分形参数代替统计学参数表征粗糙表面,推导出了实际接触面积与载荷的关系,以及实际弹性接触面积和实际塑性接触面积的计算公式,指出了影响接触面变形性质的因素与规律1由于分形参数的尺度独立性,可望利用M2B模型对接触面积的预测不受测量仪器分辨率和取样长度等因素的影响,故其比基于统计分析的G2W接触模型更为合理1尽管如此,M2B模型还有待完善,多方面的问题尚待进行深入研究.关键词 粗糙表面 接触模型 分形几何 分维 形貌参数 真实接触面积表面形貌对摩擦、磨损及润滑都有重要影响,因而对表面形貌的研究受到人们的广泛关注,表面接触理论是发展摩擦学理论的一个重要出发点.作者拟对粗糙表面接触分形模型的提出、主要内容及其发展进行综合介绍与评述.1 粗糙表面接触分形模型的提出人们在试图解释经典Am on ton摩擦定律之初,就认识到在微观尺度上摩擦面是粗糙的,实际接触是发生在摩擦面的微凸体上,实际接触面积与名义面积之比非常小.为了计算实际接触面积、预测接触面积随载荷的变化,早期是将球体之间接触的赫兹理论应用于单个接触点上进行研究,直至Ho l m提出接触点上的局部应力可以高到足以超过较软材料的弹性极限而使微凸体塑性屈服这一观点后,Bow den等〔1〕才建立了接触的塑性变形模型,可以对经典摩擦定律作出解释.但在此后不久,A rchard〔2〕就提出了完全不同的弹性变形模型,他进行了多重接触的假设,得到了即使在完全弹性变形条件下,真实接触面积与载荷之间也非常接近于线性关系的结论.A rchard模型的重要贡献是首次实现了对经典Am on ton摩擦定律较好的解释,而不一定依赖于塑性变形的假设.试验结果表明,这2种模型都还不很符合实际.1966年,Greenw ood与W illiam son共同提出了基于统计分析的接触模型,即G2W模型〔3〕.这种模型首次将表面形貌的高度分布看成随机变量,没有以绝对弹性或绝对塑性变形为前提,而是引入了塑性指数Ω=EΡ B H(其中,E为赫兹接触的复合弹性模量,H为较软材料的硬度,Ρ为微凸体高度分布的标准差,Β为微凸体顶端的平均曲率半径)的概念.通过Ω将材料本身的特性与接触面的几何形状联系起来,Ω是衡量弹性接触和塑性接触面积3国家自然科学基金资助项目1996201228收到初稿,1996205205收到修改稿本文通讯联系人贺林大小的判据.在载荷一定时,Ω值越大塑性变形比例越大,而弹性变形比例越小,由Ω的定义式可以看出,表面形貌参数Ρ和Β对决定弹性与塑性变形比例起着重要作用.G 2W 模型是首次考虑表面形貌参数而建立的,比以前的模型更接近于实际,而且在表面高度分布为高斯型时能对经典摩擦定律作出满意的解释,故其对接触理论的研究具有重要影响,至今依然广为人们所接受.随着表面检测技术,以及模型和数字分析技术的迅速发展,人们可以相当方便地通过轮廓分析获得更多表面形貌的统计学信息和参数,如除高度分布外的斜率分布、曲率分布、功率谱密度曲线和自相关函数等,从而能够对G 2W 模型的假设条件进行更加切合实际的修正.W h itehou se 与A rchard 共同建立的W 2A 模型〔4〕,M cCoo l 〔5〕,N ayak 〔6〕和B hu shan 等〔7〕在表面接触分析中,都使用了除表面高度标准差Ρ外的表面斜率标准差Ρ′和曲率标准差Ρ″等统计学参数.应该指出,Greenw ood 等〔3〕在其建立G 2W 模型时就曾认为,微凸体平均曲率半径Β是试验仪器分辨率的函数.此外,M ajum dar 等〔8〕的研究结果表明,表面形貌参数Ρ,特别是Ρ′和Ρ″都明显地受仪器分辨率的影响1本世纪70年代末S ay les 等〔9〕已经发现,表面形貌的高度分布具有非稳定的随机特性,并且指出高度分布的标准差Ρ还与取样长度有关1由此可见,表面形貌的统计学参数对确定的表面不是唯一的,以这些参数为基础建立的接触模型对接触面积的预测结果也就不是唯一的.这是由于表面粗糙度具有多重尺度(毫米、微米和纳米级甚至更小)的特性,在一定的测量条件下获得的统计学表征参数,只能反映与仪器分辨率及取样长度有关的粗糙度信息,而没有反映表面粗糙度全部信息的缘故.可以设想,如果能够找到一种可以将所有尺度的粗糙度信息都包含于其中的表征参数,则其就是尺度独立的,对于确定的表面也就是唯一的,建立于这种参数上的接触理论势必更为合理.F ig .1 Q ualitative descri p ti on of statistical self 2affinityfo r a surface p rofile 图1 表面轮廓统计自仿射性的定性描述示意图由以上所述可以看出,粗糙表面是否有唯一的、确定的性质,这是一个值得进行深入研究的课题.若将粗糙表面的轮廓线反复放大,就能够观察到纳米级甚至更小的粗糙度不断增加的细节,如图1所示.可以看出,在不同放大倍数下的粗糙度轮廓结构非常相似,这说明粗糙表面在不同尺度的相似性可能是唯一的、确定的.这一特性可由分形几何来表征.研究结果表明,粗糙表面的分形特性与尺度无关,可以提供存在于分形面上所有尺度范围内的全部粗糙度信息〔8,10〕.因此,利用表面分形特性建立的接触模型,可望对表面接触的分析结果具有确定性、唯一性.2 表面形貌统计自仿射分形特性的数学表征2.1 分形几何学的产生维数是图形最基本的不变量,传统的欧氏几何采用0,1,2,3维数分别描述有序的几何形状点、线、面、体,有序几何形状大小的测量与其维数有关,而与测量时使用的尺度无关.例如,在1维线的长度测量时,其长度L 与测量单位∈之间的关系为:对于直线段L =∈θ,(1)673摩 擦 学 学 报第16卷L 的大小与∈的大小无关;对于曲线L =li m ∈→0∑∈11(2)当∈→0时,L 收敛于一确定值.但是,M andelb ro t 〔11〕在研究自然海岸线的长度时发现,海岸线的测量长度随所用尺度而变化,当测量单位∈减小时,海岸线长度单调增加,原因是此时有越来越多的小海湾和小海角被测量到,∈→0时海岸线长度L →∝.自然海岸线长度的这种特性与早期一些数学家构造的“病态曲线”及“病态函数”的特性完全相同,其数学特点是处处连续而处处不可导.不可导是由于曲线被反复放大时越来越多的细节会出现,在任一点就不可能做出其切线的缘故.在双对数坐标上,M andelb ro t 发现L 与∈为简单直线关系:L ～∈(1-D ). (1<D <2)(3)对于确定的海岸线,D 为确定值,并由此得出结论:实数D 是海岸线的维数,海岸线具有分形特性,D 称为分形维数,简称分维,可以反映所有尺度上海岸线粗糙度的信息,且不随尺度的变化而变化.这一结论为分形几何学的产生奠定了基础,在科学与工程中表征及描述无序现象时得到越来越广泛的应用.2.2 表面轮廓线的分形特性自然海岸线的特点是将小尺度下的粗糙度在所有方向上放大相同倍数后,其概率分布与大尺度下的一致,这种曲线具有统计自相似特性.对于统计自相似分形曲线,分维D 可以通过长度与尺度的关系式(3)求出相似维数.但是,绝大多数实际曲线并不具有统计自相似特性,而是具有统计自仿射特性,即要使较小尺度下的概率分布与较大尺度下的一致,就必须在不同方向上放大不同的倍数,典型的例子是分子的布朗运动曲线.对于统计自仿射曲线,L ～∈(1-D )关系不成立,曲线的长度不再提供分维D 的信息,即相似维数对于统计自仿射曲线无效,这时H au sdo rff 维数、盒维数和质量维数等的计算也都很困难.因此,要方便地计算统计自仿射曲线的分维D ,就必须采用特殊方法.研究表明,许多工程表面形貌的轮廓线都具有统计自仿射分形特性〔8,10〕.2.3 表面形貌分形特性的数学表征若设一各向同性均匀粗糙表面的分维为D s ,则沿任意方向垂直截取该粗糙表面得到的轮廓曲线的分维D 满足〔12〕D =D s -1.(4)图1所示各向同性均匀粗糙表面的任一轮廓曲线的高度相对于中线的变化可用Z (x )表示,它是随机的、多重尺度的和无序的.Z (x )与海岸线相同的数学特征是处处连续而处处不可导,不同的是它具有统计自仿射分形特征.W eierstrass 2M andelb ro t 函数(简称W 2M 函数)可满足表面轮廓曲线Z (x )的上述所有数学特征,其表达式为〔8〕Z (x )=G (D -1)=∑∝n =n 1co s 2ΠΧn x Χ(2-D )n .(5)式中:D 具有维数的特性,是函数Z (x )的分维(D 与H au sdo rff 维数及盒维数等的关系至今还没有见到严格的数学证明),它描述函数Z (x )在所有尺度上的不规则性,但其不能够确定Z (x )的具体尺寸,即两个完全不同尺度上的分形曲线可以具有相同的分维,为此引入分形参数G ;G 是反映Z (x )幅值大小的尺度系数,它决定Z (x )的具体尺寸;Χn 决定Z (x )的频773第2期贺林等: 粗糙表面接触分形模型的提出与发展谱,Χ=1.5可适于高频谱密度及相位的随机性〔13〕.因此,决定Z (x )的参数是D ,G 和n 1,由于表面轮廓具有非稳定的随机特性,Χn 1=11L (此处L 为取样长度).W 2M 函数的功率谱为S (Ξ)=G 2(D -1)Πln Χ=1Ξ(5-2D ).(6)式中:Ξ为频率,即粗糙度波长的倒数.由式(6)明显可以看出,在双对数坐标上,S (Ξ)与Ξ呈直线关系,直线的斜率与Z (x )的分维D 有关,分形参数G 与直线在S (Ξ)轴上的截距有关.因此,与传统的统计学参数明显不同,W 2M 函数的分形参数D 和G 均与频率无关,是尺度独立的.3 分形参数D 和G 的获得研究表明,并非所有的粗糙表面都具有分形特性〔8〕.因此,对表面轮廓线的分析首先应当确定其是否为分形的,然后求出D 和G ,可以采用的方法有2种:a . 比较真实表面轮廓的功率谱与W 2M 函数的功率谱,若在双对数坐标上真实表面轮廓的功率谱为一直线,且直线的斜率k p 满足-3<k p <-1,则轮廓是分形的,从而可由下式计算其分维D =(k p +5) 2,(7)再由直线在S (Ξ)轴上的截距计算出G 值.b . 通过轮廓曲线Z (x )的结构函数求D 和G .结构函数的定义为S (Σ)=〈[Z (x +Σ)-Z (x )]2〉=∫∝-∝S (Ξ)(e j ΞΣ-1)d Ξ.(8)式中:Σ为x 的任意增量,〈〉表示空间平均值.将式(6)代入式(8)并积分得S (Σ)=CG 2(D -1)Σ(4-2D ).(9)式中:C =#(2D -3)sin [(2D -3)Π 2](4-2D )ln Χ.(10)当1<D <2时,对于确定的D 值,C 为常数.因此,与功率谱函数类似,结构函数也为幂函数,即在双对数坐标上S (Σ)与Σ呈直线关系,当直线的斜率k s 满足0<k s <2时,轮廓是分形的,便可由下式计算其分维D =(4-k s ) 2,(11)再由直线在S (Σ)轴上的截距计算出G 值.通过结构函数S (Σ)确定分形参数D 和G 无需进行谱分析,只要将由轮廓仪采集的数据输入计算机进行简单处理.例如,将轮廓仪测量的某一轮廓Z (x )的模拟信号通过A D 转换后输入计算机,计算机的采样间距为∃t ,共采样N 个,记为Z (x i )=Z i 1 (i =0,1,2,3,…,N -1)令式(8)中的Σ=n ∃t (此处n =0,1,2,3,…),则结构函数S (Σ)=〈[Z (x +n ∃t )-Z (x )]2〉=1N -n ∑N -n i =0(Z i +n -Z i )2.(12)求出表面轮廓的分形参数后,统计学参数Ρ,Ρ′和Ρ″也都可由谱函数S (Ξ)导出〔8〕:Ρ=∫Ξh ΞΙS (Ξ)d Ξ1 2,(13)873摩 擦 学 学 报第16卷Ρθ=∫Ξh ΞΙΞ2S (Ξ)d Ξ1 2,(14)Ρ″=∫ΞhΞl Ξ4S (Ξ)d Ξ1 2.(15)式中:ΞΙ是由取样长度L 决定的最低频率,Ξh 是由仪器分辨率和滤波决定的最高频率,一般Ξh >>Ξl ,近似地有下列关系式成立:Ρ≈ΞD -2Ι,(16)Ρ′≈ΞD -1h ,(17)Ρ″≈ΞD h .(18)由式(16～18)可知,无论统计学参数怎样测量,其值总与取样长度及仪器分辨率有关.4 粗糙表面接触分形模型1991年,M ajum dar 与B hu shan 共同提出了以分形几何为基础的接触模型(简称M 2B 模型).这种模型与G 2W 模型相同的是也将粗糙表面之间的接触简化为粗糙表面与刚性理想平面的接触,不过这一粗糙表面具有分形特性.4.1 真实接触面积M andelb ro t 〔15〕发现海洋面岛屿的面积分布有幂函数规律:N (A >a )≈a -D 2.(19)式中:N 是指面积A 大于面积a 的岛屿之总数,D 为岛屿海岸线的分维.若将粗糙表面(如金属加工表面)放大到适当尺寸,就会发现类似于地球表面的高山峡谷,用一理想平面水平切取该表面形成的接触点,也类似于海洋面的岛屿.因此,假设平面与粗糙表面接触时接触点面积的分布规律与海洋面岛屿面积的分布规律相同,即接触点的数目N 为:N (A >a )～a -D 2.这里,D 是接触点在水平截面上轮廓曲线的分维,但与岛屿的海岸线不同的是接触点的轮廓曲线不是统计自相似曲线,而是中线不为直线(为封闭曲线)的统计自仿射曲线,其分维D 的确定是比较困难的.M ajum dar 等曾经指出,由于统计自相似的海岸线分维D 与地表面分维D s 之间的关系也是D =D s -1,这和式(4)表达的均匀各向同性粗糙表面垂直轮廓线的分维与粗糙表面的分维之间的关系相同,即海岸线的分维与粗糙表面垂直轮廓的分维都以相同的方式与表面分维相联系.由此可见,垂直轮廓线的分维D 可以用于式(19)中(但对于这一点至今还缺乏严格的数学证明).若最大的接触点面积为a 1,数量为1,代入式(19)有N (A >a )=(a l a )D 2.(20)依此有接触点的面积分布n (a )=d N d a =D 2a D 2l a (D 2+1).(21)由上式可以看出,当接触点的面积a →0时,其数量趋于无穷.由于表面在纳米级,甚至更小的尺度上也是分形的,可以假设最小接触点的面积a s →0,总的真实接触面积为A r =∫a l 0n (a )a d a =D (2-D )a 1.(22)973第2期贺林等: 粗糙表面接触分形模型的提出与发展4.2 接触面的变性性质确定真实接触面积中弹性变形和塑性变形接触面积大小的研究表明〔3〕,当微凸体顶端的变形量∆(正比于接触点的面积a )大于临界变形量∆c 时,变形就由弹性转变为塑性.在这种情况下有F ig .2 M 2B f ractal contact m od el 图2 M 2B 分形接触模型示意图∆c =(ΠK Υ2)2Β.(23)式中:K =H Ρy ,Υ=Ρy E ,H 表示较软材料的硬度,Ρy 表示较软材料的屈服强度,E 表示复合弹性模量.在G 2W 模型中,假定微凸体顶端的曲率半径Β为一常数,则∆c 也是一常数,这样就很容易得出接触点面积较小时因变形量小而为弹性变形,面积较大时因变形量大而转变为塑性变形的结论.但是,微凸体顶端的曲率半径Β实际上并不是常数,按照分形理论的观点,Β取其平均值也不合适,这是因为Β的大小依赖于接触点的面积a ,后者在轮廓线上对应于接触长度l [图2(a )],二者之间的关系为l =a 1 2.(24)若忽略更小尺度上的细节,则在l 范围内的轮廓线可以由W 2M 函数确定其数学表达式近似为余弦波[参见图2(b )]:Z (x )=G (D -1)l (2-D )co s Πx l . (-l 2<x <l 2)(25)M ajum dar 等由上式推导出分形表面微凸体顶端的曲率半径为Β= 1 d 2Z d x 2 x =0 =a D 2Π2G (D -1).(26)将式(26)代入式(23),得∆c =(K Υ2)2a D 2G (D -1).(27)由式(27)可以看出,分形表面∆c 的大小取决于接触点的接触面积a ,当a 减小时因其顶端的曲率半径也减小而使临界变形量更小.由式(25)可得微凸体顶端的变形量∆与接触点面积a 的关系为:∆=G (D -1)l (2-D )=G (D -1)a (2-D ) 2.(28)比较∆和∆c 就可以确定接触点的性质.由式(27,28)得∆c ∆=[(K Υ 2)2a (D -1)] G 2(D -1).(29)当∆=∆c 时,即∆c ∆=1的接触面积为临界接触面积a c ,有a c =G 2(K Υ 2)2 (D -1),(30)∆c ∆=(a a c )(D -1). (1<D <2)(31)如果微凸体的接触面积a <a c ,即a a c <1,则由式(31)可以得到∆c ∆<1,∆<∆c ,发生的083摩 擦 学 学 报第16卷是塑性变形;如果微凸体的接触面积a >a c ,即a a c >1,由式(31)可以得到∆c ∆>1,∆<∆c ,发生的是弹性变形.可以看出上面的分析结果与G 2W 模型得出的结论正好相反.因为大接触点是通过对小接触点不断加载而获得,所以M ajum dar 等提出了图2(a )所示的接触模型.当接触面在位置a 时,1,2二接触点的曲率半径小而处于塑性接触;而当载荷增加使接触面移到位置b 时,1,2二点合成为一大点3,这一大点的曲率半径增大,应力释放而使其转变为弹性接触.谢友柏等〔16〕早在M 2B 模型问世之前就已经发现,当增加载荷而使接触面积增大时,接触性质由塑性向弹性转变,这无法用G 2W 接触模型解释,而与M 2B 接触模型的结论一致.临界接触面积a c 与接触点顶端的曲率半径Β无关,只与材料的物理参数及表面分形参数有关,即对于确定的粗糙表面是一确定值.根据临界接触点面积a c ,可以分别确定弹性接触面积A re 和塑性接触面积A rp :若a l <a c ,则有A rp =A r =D2-D a l ,(32)A re =0;(33)若a Ι>a c ,有A rp =∫a c 0n (a )a d a =D (2-D )a D 2l a (2-D ) 2c ),(34)A re =∫a l a cn (a )a d a =D (2-D )(a l -a D 2l a (2-D ) 2c ).(35)4.3 影响接触面变形性质的因素研究表明,在粘着磨损过程中,弹性接触引起的磨损速度远比塑性接触引起的小,如果用A re A r 表示接触面的性质,其值越大,总的真实接触面积中弹性的比例越大,粘着磨损越低,理想状态是A re A r →1,即为H alling 提出的“耐磨表面”〔3,17,18〕.由式(22和35)可得:A re A r =1-D a c (2-D )A r(2-D ) 2=1-D G 2(2-D )(K Υ 2)2 (D -1)A r )(2-D ) 2(2-D ) 2.(36)引入名义接触面积A a ,令G 3=G A a 和A 3r =A r A a 并代入式(36),可将其转化为无量纲表达式:A re A r =1-D G 32(2-D )(K Υ 2)2 (D -1)A 3r (2-D ) 2.(37)由式(37)可以看出,表面分形参数D 和G 3,以及材料的物理参数Υ和K ,都对接触性质有影响.M ajum dar 等〔10〕曾经计算得出了一系列D ,G 3和Υ值时的A re A r ,结果见图3所示.由图3(a 和c )可以看出,G 3值减小和Υ值增大都能改善表面接触的性质1但是,G 3值减小意味着表面粗糙度降低,Υ值增大意味着较软材料的屈服强度提高.值得注意的是,D 对接触性质的影响有一最佳值D opc ,在此分维数下表面的弹性接触最大,这对工程上通过控制表面形貌参数来改善表面接触性质具有指导意义,当然D opc 是与G 3及Υ等参数有关的.183第2期贺林等: 粗糙表面接触分形模型的提出与发展F ig .3 P redicti ons of the fractal model fo r fracti on of real contact area in elastic defo r m ati on图3 接触性质的分形模型预测4.4 真实接触面积与载荷的关系M ajum dar 等以赫兹接触理论为基础,参考Jahn son 〔19〕的研究结果,确定了分形表面的弹性接触点上接触面积与载荷的关系p e (a )=4ΠEG (D -1)a (3-D ) 2 3(38)和塑性接触点上接触面积与载荷的关系p p (a )=H a =K Ρy a ,(39)进而得到总载荷与真实接触面积之间的关系p =4ΠEG 3∫a l a c n (a )a (3-D ) 2d a +K Ρy ∫a c 0n (a )d a .(40)将式(21)代入式(40)积分,并将表达式处理成无量纲形式,得:当1<D <2,但D ≠1.5时p 3=4Π3G 3(D -1)g 1(D )A 3D r (2-D )A 3r D (3-2D ) 2-a 3(3-2D ) 2c 283摩 擦 学 学 报第16卷+K Υg 2(D )A 3D 2r a 3(2-D ) 2c ;(41)当D =1.5时p 3=ΠG 31 2A 3r 33 4ln A 3r 3a 3c +3K Υ4A 3r 33 4a 1 4c .(42)式中:g 1(D )=[D (3-2D )][(2-D ) D ]D 2,g 2(D )=[D(2-D )](2-D 2),P 3=P A a E ,G 3=G A a ,A 3r =A r A a ,a 3c =a c A a .可以看出,真实接触面积(摩擦力)与载荷的关系受表面形貌参数、材料物理参数等因素的影响,并非古典Am on ton 摩擦定律给出的线性关系,而且已被大量实验结果所证实.5 结束语与传统的G 2W 模型相比,M 2B 模型的先进性是利用了包含全部表面粗糙度信息的分形参数D 和G ,因而能够定量地表达总的真实接触面积A r ,弹性接触面积A re 和塑性接触面积A rp 分别与表面粗糙度的关系,以及接触面积与载荷的关系,可望对粗糙表面的接触性质预测不受仪器分辨率和取样长度的影响,使预测具有唯一性或确定性.M 2B 模型已经应用于磨损的预测〔19〕和滑动摩擦表面温度分布的确定〔20～22〕等,初步显示了这一模型的数学严格性及其实用价值.M 2B 分形接触模型是目前摩擦学领域研究的热点之一,然而要使其不只是一种“数学珍品”〔22〕,还必须做大量的基础性研究工作:a . 并非所有粗糙表面都具有分形特性,因而首先应对工程表面(如金属加工表面和机械零部件的磨损表面等)进行分形特性分析,以确定哪些工程表面具有分形特性,这是M 2B 接触模型存在的基础.b . 分形参数D 和G 的尺度独立性都是由统计自仿射分形函数W 2M 函数推导出来的,对于实际的统计自仿射分形工程表面,D 和G 的尺度独立性,即W 2M 函数中的D 和G 能否完全表征实际工程表面,还有待进一步研究.c . M 2B 接触模型给出的接触面积分别与分维数及载荷的关系等,都还缺少足够的试验验证,特别是对金属材料的研究报道更少.d . 与G 2W 接触模型一样,在M 2B 接触模型中也没有考虑配对表面的粗糙度对接触特性的影响,而是将其假设为刚性理想平面.不言而喻,同时考虑两粗糙面分形特性的系统接触模型更具有实用价值.e . 在M 2B 模型中未考虑材料的加工硬化、硬度随深度的变化、弹性变形和摩擦力,以及在高载荷作用下表面微凸体之间的相互作用等对接触的影响,这些都还有待研究.参考文献1 Bow den F P ,T abo r D .F ricti on and L ubricati on .O xfo rd :O xfo rd U niversity P ress ,19542 A rchard J F .E lastic defo r m ati on and law s of fricti on .P roc Roy Soc L ond ,1957,A 243:190～2053 Greenwood J A ,W illiam son J B P .Contact of nom inally flat surfaces .P roc Roy Soc L ond ,1966,A 295:300～3194 W h itehouse D J ,A rchard J F .T he p roperties of random surface of significance in their contact .P roc Roy Soc L ond ,1970,A 316:97～1215 M cCoo l J I.Comparison of models fo r the contact of rough surfaces .W ear ,1986,107:37～606 N ayak P R .R andom p rocess model of rough surfaces in p lastic contact .W ear ,1973,26:305～3337 Bhushan B ,D ugger M T .R eal contact area m easurem ents on m agnetic rigid disk s .W ear ,1990,137:41～50383第2期贺林等: 粗糙表面接触分形模型的提出与发展483摩 擦 学 学 报第16卷8 M ajum dar A,Bhushan B.Ro le of fractal geom etry in roughness characterizati on and contact m echanics of surfaces.J T ribo l(A S M E),1990,112:205～2169 Sayles R S,T hom as T R.Surface topography as a nonstati onary random p rocess.N ature,1978,271:431～43410 M ajum dar A,Bhushan B.F ractal model of elastic-p lastic contact betw een rough surfaces.J T ribo l(A S M E), 1991,113:1～1111 M andelbro t B B.How long is the coast of britain?statistical self-si m ilarity and fracti onal di m ensi on.Science,1967, 155:636～63812 M andelbro t B B.T he F ractal Geom etry of N ature.N ew Yo rk:F reem an,198213 M ajum dar A,T ien C L.F ractal characterizati on and si m ulati on of rough surfaces.W ear,1990,136:313～32714 Berry M V,L ew is Z V.O n the w eierstrass-m andelbro t fractal functi on.P roc Roy Soc L ond,1980,A370:459～484 15 M andelbro t B B.Stochastic models fo r the earthπs relief,the shape and the fractal di m ensi on of the coastlines,and the num ber2area rule fo r islands.P roceeding of the N ati onal A cadem y of Science(U SA),1975,72:3825～382816 谢友柏,陈国定.用测量接触电阻研究实际接触面积的变化.摩擦磨损,1986,(2):40～4417 A rchard J F.W ear theo ry and m echanics.in:Peterson M B,W iner W O eds.W ear Contro l H andbook.N ew Yo rk:A S M E,198018 Sto larsk i T A.A p robabilistic app roach to w ear p redicti on.J Phys(D),1990,24:1143～114919 Johnson K L.Contact M echanics.Cam bridge:Cam bridge U niversity P ress,198520 Zhou G Y,eu M C,B lackmo re D.F ractal geom etry model fo r w ear p redicti on.W ear,1993,170:1～1421 W ang S,Kom vopoulo s K.A fractal theo ry of the interfacial temperature distributi on in the slow sliding regi m e:Part I-E lastic contact and heat transfer analysis.J T ribo l(A S M E),1994,116:812～82322 W ang S,Kom vopoulo s K.A fractal theo ry of the interfacial temperature distributi on in the slow sliding regi m e:Part -M ulti p le dom ains,elastop lastic contacts and app licati ons.J T ribo l(A S M E),1994,116:824～832F ra c ta lM ode l fo r C onta c t of Rough S urfa ce sH e L in Zhu Jun(T heory of L ubrication and B earing Institu teX iθan J iaotong U niversity X iθan 710049 Ch ina)A bs tra c t T he p lastic defo r m ati on m odel fo r con tact of rough su rfaces has been develop2 ing fo r abou t40years since it w as p ropo sed.M2B fractal m odel fo r con tact of rough su r2 faces has been fo r m ed recen tly,w h ich is based on fractal geom etry.M2B m odel character2 ized rough su rfaces u sing fractal param eters in stead of statistical p aram eters.T he relati on betw een real con tact area and app lying load and the calcu lating fo r m u las of real elastic and p lastic con tact area w ere derived from th is m odel,the facto rs affecting the defo r m ing p rop2 erty of con tact su rfaces and their changing tendency w ere also indicated.T he p redicti on of con tact area u sing th is m odel w ou ld no t change w ith the reso lu ti on of roughness2m easu r2 ing in strum en t and the length of sam p le becau se of the scale2independence of fractal pa2 ram eters,so th is m odel is m o re reasonab le than G2W con tact m odel w h ich w as based on statistical analysis.How ever,M2B m odel needs fu rther i m p rovem en t and there are still som e p rob lem s to be deep ly investigated later.Ke y W o rds rough su rface con tact m odel fractal geom etry fractal di m en si on to2 pograph ic param eter real con tact area。
