2009年11月农业机械学报第40卷第11期结合面法向接触刚度分形模型建立与仿真3温淑花 张学良 武美先 文晓光 王鹏云(太原科技大学机械电子工程学院,太原030024) 【摘要】 基于接触分形理论和微接触大小分布函数,建立了计及微接触大小分布的域扩展因子影响的结合面法向接触刚度的分形模型,并通过对所建模型的数字仿真,直观地揭示了结合面法向接触刚度与结合面诸参数之间的非线性关系,探讨了这些相关参数对法向接触刚度的影响规律。
研究仿真结果表明,结合面法向接触刚度随着结合面法向载荷的增大而增大,随结合面分形特征长度尺度参数的增大而减小,但随结合面分形维数的变化规律比较复杂。
关键词:结合面 法向接触刚度 分形模型 仿真中图分类号:TH11311文献标识码:AFractal Model and Simulation of Normal Contact Stiffnessof Joint Interfaces and Its SimulationWen Shuhua Zhang Xueliang Wu Meixian Wen Xiaoguang Wang Pengyun(Mechanical &Elect ronic Engineering College ,Taiyuan U niversity of Science &Technology ,Taiyuan 030024,China )AbstractBased on contact fractal theory and micro 2contact size distribution function ,a fractal model of normal contact stiffness of joint interfaces was proposed ,considering the influence of the domain extension factor for micro 2contact size distribution.Furthermore ,numerical simulation was carried out to obtain the nonlinear relationships between normal contact stiffness and characteristic parameters of joint interfaces.And the effect of these parameters on the normal contact stiffness was also analysed.The results show that the normal contact stiffness of joint interfaces increases with the normal load on joint interface ,decreases with the fractal characteristic length scale parameter G ,however ,complicatedly varies with the fractal dimension D .K ey w ords Joint interfaces ,Normal contact stiffness ,Fractal model ,Simulation收稿日期:2009202209 修回日期:20092032263国家自然科学基金资助项目(50775153)作者简介:温淑花,副教授,主要从事机械结构动态特性和现代优化理论研究,E 2mail :kd -wsh @ 引言粗糙表面形貌对结合面接触刚度有重要的影响,而结合面的接触刚度在机械结构静动态特性中占有显著的地位。
长期以来人们从理论上对此进行了大量的研究工作。
1991年,Majumdar 等的研究表明,机械加工表面具有自仿射分形特征,并据此提出了著名的接触分形理论和接触分形模型———MB 模型[1],其最大的特点是,粗糙表面的表征参数———分形维数D 和特征长度尺度参数G 具有尺度独立性。
基于这一接触分形理论和分形模型,文献[2～4]于2000～2003年分别提出了结合面的法向和切向接触刚度的分形模型。
但无论是MB 模型还是文献[2～4]提出的接触刚度分形模型,其中所涉及到接触面积为a 的接触点大小分布函数为n (a ),而当分形维数D →1时利用n (a )推导出的最大微接触面积a l 与粗糙表面的真实接触面积A r 之比a l /A r 近似为1。
1994年,Wang 和K omvopoulos [5]证明了当D →1时,a l /A r 的极限值一定小于1。
为了更精确地反映当D →1时a l /A r的比值,他们引入了微接触截面积为a ′的接触点大小分布函数n (a ′)。
本文基于这一分布函数n (a ′),进一步研究建立结合面法向接触刚度的分形模型,并通过数字仿真探讨结合面的各相关参数对法向接触刚度的影响规律。
1 结合面法向接触刚度分形模型结合面实质上是由两个粗糙表面组成的,可以将其简化为一个粗糙表面与一个真实平面的接触问题[2～4]。
对于粗糙表面上的单个微凸体,可以将其近似等效为球体,其等效曲率半径为R 。
当不受载荷作用时,球体与平面的接触状态如图1a 所示;当球体在法向载荷p 作用下与真实平面保持接触时,将产生法向接触变形δ,其接触状态如图1b 所示。
图1 球与平面的接触状态Fig.1 Contact between a s phere and a plane法向载荷p 与法向接触变形δ关系为[4]p =43ER 12δ32(1)1E=1-υ21E 1+1-υ22E 2(2)式中 E ———两接触材料的当量(或复合)弹性模量E 1、E 2———两接触材料的弹性模量υ1、υ2———两接触材料的泊松比根据式(1),单个微凸体与平面接触的法向接触刚度为k n =2ER 12δ12(3)对于截面积为a ′的接触点(微凸体),据微凸体变形前的几何关系和分形粗糙度参数G 的典型值[5]可以认为,R µδ,于是有下列关系[6]a ′=2πR δ(4)将式(4)代入式(3),得k n =2Ea ′2π(5)为了能够更准确地得到最大接触点的实际接触面积a l 与粗糙表面的真实接触面积A r 之比a l /A r ,Wang 和K omvopoulos[6]引入了如下的微接触的截面积为a ′的接触点的大小分布函数n (a ′)=D2ψ(2-D )/2a ′lD/2a ′-(D +2)/2(0<a ′≤a ′l )(6)式中 a ′———微接触的截面积a ′l ———最大接触点的截面积ψ———微接触大小分布的域扩展因子(ψ>1),其大小与分形维数D 有关,详见文献[6]基于如下假设:①粗糙表面的微观形貌各向同性。
②粗糙表面上各微凸体之间的相互作用可以忽略不计。
结合面的法向接触刚度K n 可以由下式来进行计算K n =∫a ′la ′ck n n (a ′)d a ′(7)式中 a ′c ———临界接触截面积将式(5)、(6)代入式(7)得K n =∫a ′la ′c2Ea ′2πD2ψ(2-D )/2a ′lD/2a ′-(D +2)/2d a ′(8)整理得K n =2ED2π(1-D )ψ(2-D )/2a ′l D/2[a ′l(1-D )/2-a ′c(1-D )/2](9)根据接触点的实际接触面积a 与其截面积a ′之间的关系a ′=2a因此有a ′l =2a l (10)a ′c =2a c(11)式中 a c ———临界接触面积将式(10)、(11)代入式(9)得K n =2EDπ(1-D )ψ(2-D )/2a D/2l[a (1-D )/2l-a (1-D )/2c ](12)对式(12)进行无量纲化,可以得到无量纲法向接触刚度为K 3n =2πg 1(D )ψ2-D22A3D2r・2-DD1-D 2ψ-D 2+3D -24A31-D 2r-a 31-D2c(13)其中K 3n =K n EA a g 1(D )=D 2-D2(2-D )D21-DA3r=A r A a a 3c =a c A a=G 32(k φ/2)2D -1 G 3=G A a式中 A a ———名义接触面积A3r———无量纲真实接触面积891农 业 机 械 学 报 2009年A r ———真实接触面积a 3c ———无量纲临界接触面积G3———无量纲特征长度尺度参数式(12)或式(13)即为新的结合面法向接触刚度分形模型,这一新的模型与文献[2,4]提出的模型(见式(14))的主要不同之处在于考虑了微接触大小分布的域扩展因子ψ的影响,因此应更接近于实际情况,且ψ随分形维数D 变化[6]。
可见,新的结合面法向接触刚度分形模型所描述的结合面法向接触刚度与粗糙表面的分形维数D 之间的关系要更加复杂。
K 3′n =2πg 1(D )A3D2r2-DD1-D 2A 31-D 2r-a 31-D 2c(14)根据微凸体顶端的曲率半径[7～8]R =a ′D/2π2G(D -1)(15)和具有截面积a ′的微接触的微凸体的变形[5～6]δ=G (D -1)a ′(2-D )/2(16)将式(15)和(16)代入式(1)可以得到弹性接触点的截面积a ′与法向弹性接触载荷p e 的关系为p e (a ′)=2π3EG (D -1)a ′3-D 2(17)塑性接触点上截面积a ′与法向塑性接触载荷p p 的关系为[4,8]p p (a ′)=k σy a =12k σya ′(18)其中k =H/σy式中 H ———较软材料的硬度σy ———较软材料的屈服强度因此,结合面法向总载荷P 与结合面真实接触面积之间的关系为P =2πEG (D -1)3∫a ′la ′cn (a ′)a ′(3-D )/2d a ′+12k σy∫a ′cn (a ′)a ′d a ′(19)a ′l =2a l =2(2-D )Dψ-(2-D )/2A r(20)a ′c =G2(k φ/2)2/(D -1)(21)其中φ=σy /E当1<D <2,D ≠115时P =2πEDG (D -1)ψ(2-D )/23(3-2D )a ′l D2a l3-2D2-a ′c3-2D2+Dk σyψ(2-D )/22(2-D )a ′lD 2a ′c2-D 2=2(4-D )/2πEDG (D -1)ψ(2-D )/23(3-2D )a D2l (a 3-2D2l-a 3-2D 2c)+Dk σyψ(2-D )/22-Da D 2l a 2-D2c(22)当D =115时P =2πEG 12ψ144a ′l 34ln a ′l a ′c +32k σy ψ14a ′l 34a ′c 14=214πEG 12ψ14a 34l lna la c+3k σy ψ14a 34l a 14c(23)由于对于确定的粗糙表面,a c 为常数,故法向总载荷P 就取决于最大接触点的实际接触面积a l 。
