基于接触分形理论的机械结合面法向接触刚度模型

基于分形理论的结合面法向接触刚度模型陈虹旭; 董冠华; 殷勤; 谭峰; 殷国富【期刊名称】《《振动与冲击》》【年(卷),期】2019(038)008【总页数】7页(P218-224)【关键词】分形; 结合面; 法向接触刚度; 模态实验【作者】陈虹旭; 董冠华; 殷勤; 谭峰; 殷国富【作者单位】四川大学制造科学与工程学院成都610000【正文语种】中文【中图分类】TH113.1动态特性是制约高端机床发展的重要因素，目前对机床动态特性的研究主要采用实验和有限元相结合的方法[1]。

研究表明，机床结合面提供了机床60%～80%的柔度特性，如何对结合面准确的建模是建立机床有限元模型的关键问题[2]。

目前结合面法向接触刚度模型大多基于M-B分形理论，该理论认为微凸体变形前的顶端曲率半径R是一个随微凸体变形量δ变化的值[3-6]，这导致对变形量δ求导时不能把曲率半径R视为常数[7]。

然而，从微凸体变形前的顶端曲率半径的实际含义出发，该参数应仅受微凸体尺度的影响，不应该与微凸体的接触变形量有关。

之所以出现该矛盾，是因为M-B模型在推导过程中忽略了微凸体的压缩过程。

Morag等[8]对该问题提出了一个修正的分形理论，遗憾的是在他们在推导过程中存在错误，同时也未能给出最终的力学表达式。

本文基于修正的分形理论模型，推导出了结合面法向接触刚度模型。

该模型考虑了微凸体的接触变形过程，解释了微凸体变形前的顶端曲率半径R与接触变形量的关系。

基于该模型，计算出了结合面法向接触刚度值并录入有限元模型进行仿真，进而与实验结果进行对比。

对比结果表明，仿真结果与实验结果基本一致，该模型可有效的进行结合面法向接触刚度值计算。

1 粗糙表面接触模型1.1 W-M函数对于具有连续、自仿射、不可微的分形特征的表面轮廓，可用W-M函数描述[9](1)式中：z(x)为粗糙表面轮廓的高度；D为粗糙表面轮廓的分形维度，1<D<2；G为反映z(x)大小的特征长度尺度参数；γ为大于1的常数，对于服从正态分布的随机表面，取γ=1.5较合适；γn为表面轮廓的空间频率，它决定了粗糙表面的频谱；n1为与最低截止频率γn1对应的系数；而最低截止频率γn1=1/L；L为分形样本长度；分形样本面积A=L2。

混合润滑状态下结合面法向动态接触刚度与阻尼模型作者：李玲裴喜永史小辉蔡安江段志善来源：《振动工程学报》2021年第02期摘要：机械结合面的动态接触特性对评估机床整机性能有着重要的意义。

针对混合润滑状态下固定结合面复杂的接触特性，提出了一种结合面的法向接触刚度与阻尼模型。

采用三维Weierstrass⁃Mandelbrot函数获得粗糙表面形貌，并基于分形理论建立了结合面固体部分的接触刚度与接触阻尼模型;根据平均流动的广义雷诺方程建立了液体油膜接触刚度与阻尼模型，其中油膜接触刚度是固体表面接触刚度的函数，实现了油膜接触刚度与固体接触刚度的耦合。

通过仿真分析了固体、液体油膜以及结合面的刚度阻尼特性，结果表明：液体油膜接触阻尼远大于固体接触阻尼，结合面的接触阻尼特性主要取决于油膜接触阻尼;在接触前期油膜接触面积所占比例较大，结合面的接触刚度主要由油膜接触刚度主导，随着固体真实接触面积的增加，液体油膜接触刚度占结合面接触刚度的比率越来越小，最后转变为固体接触刚度主导结合面的接触刚度。

关键词：结合面; 混合润滑; 等效厚度; 接触刚度; 接触阻尼; 分形理论中图分类号： TH113.1; TB123 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2021）02-0243-10DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2021.02.004引言结合面是构成机床整机的关键组成部分，在机床结构件之间起着传递运动、载荷和能量的重要作用。

研究表明，整个机床中，结合面的接触刚度约占机床总刚度的60%⁃80%[1]，结合面的接触阻尼占机床全部阻尼的90%以上[2]。

因此，开展结合面刚度阻尼特性的研究对整机性能的预测至关重要。

机械结构中的结合面可等效为两个粗糙表面的接触，国内外学者已对粗糙表面的接触问题进行了广泛的研究[3⁃6]，但仍然存在很多问题。

其中应用最广泛的接触模型是Greenwood和Williamson[7]提出的统计学接触模型（GW模型），GW模型将单个刚性球体与弹性半空间的接触扩展为一个刚性平面与一个粗糙表面间的接触，通过统计学方法分析了多种因素对结合面的影响规律，但该模型中采用的统计学参数会受到测量仪器分辨率的影响[8]，使得测量结果具有尺寸依赖性。

机械结合面切向接触参数的织构效应分析张艺;史熙【摘要】接触刚度和接触阻尼是表征机械结合面动力学性能的两个重要参数，而机械结合面的动力学性能很大程度上影响着整个机械系统的振动水平，因此对于接触参数的研究一直是相关学者关注的方向。

介绍了一种测试机械连接界面切向接触刚度和接触阻尼的实验装置和方法，并将表面织构技术运用到机械结合面设计，通过实验测量分析初步探索了机械结合面切向接触参数的表面织构效应。

%Contact stiffness and damping are two important parameters which affect the dynamics of mechanical joint interface.And its dynamics affects the vibration of entire mechanical system significantly. So the contact parameters is fol owed with inferestly the relevant scholars. This paper introduces an experimental method which is used to obtain its tangential contact parameters, and dis-cusses the effect of tangential load and lubrication on the stiffness and damping of tangential contact interface.【期刊名称】《机械制造与自动化》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】4页(P15-18)【关键词】机械织构;接触刚度;接触阻尼【作者】张艺;史熙【作者单位】上海交通大学机械与动力工程学院，上海200240;上海交通大学机械与动力工程学院，上海200240【正文语种】中文【中图分类】TH113.1接触刚度和接触阻尼对于机械结合面的动力学特性会产生显著的影响，有很多学者对此开展过研究。

No.4Apr.2021第4期2021年4月组合机床与自动化加工技术Modular Machine Tool & Automatic Manufacturing Techiiinue文章编号：1001 -2265(2021)04 -0036 -04DOI : 10.13462/j. cnki. mmtamt. 2021.04. 009固定机械结合面法向接触刚度分形模型谭文兵，兰国生，张学良，孙万，温淑花，陈永会（太原科技大学机械工程学院，太原030024）摘要：针对以往结合面法向接触刚度分形模型在理论计算上存在的问题，对结合面单个微凸体弹性 接触阶段法向刚度，单个微凸体弹塑性接触变形阶段的法向载荷以及法向刚度进行改进，进而建立 了综合考虑微凸体弹性、塑性以及弹塑性两个阶段此三种变形机制的结合面法向接触刚度分形模 型。

模型理论预测值与实验值的对比结果可见，所建模型能较好地预测结合面法向接触刚度，表明 了其正确性与可靠性，验证了理论改进算法的有效性。

所建模型可用于相关的分析与计算，为进一 步对结合面动态刚度特性的研究提供了理论依据。

关键词：结合面；法向接触刚度；弹塑性；分形模型中图分类号:TH113.1: TG65 文献标识码:AResearch on Normal Contah Stiffness Modeling of Mechanical InterfaccTAN Wen-bing ,LAN Guo-sheng ,ZHANG Xue-liang ,SUN Wan ,WEN Shu-hua ,CHEN Yong-hui(Schooi of Mechanical Engineecng , Taiyuan Universita of Sciencc and Technolo/a , Taiyuan 030024, China ) Abstrach : Aiming at the shoScomings of the theoretical analysis of the normal contact stiffnes s model of the toint surface , Applying the idea of extremes and basic a&tal theory , An algorithm for correcting thenormal stiffness of the elastic contact phase of a single asperity at the interface and an improved algorithm ofhh)noemaeeoad and hh)noemaeshi f n)s ofhh))eashopeashittonhathd)foemahion phas)waspeopos)d. And hh)n , anoemaetonhathshi f n)s mod)eofeoinhinhefat)swaspe)s)nhd wihh tonsid)eahion of)eashit , )eashit-peashitand peashitd)foemahion.Th)tompaeison b)hw))n hh)hh)oe)hitaepe)dithionsofhh)mod)eand the experimental values shows P s correctness and a l iability , which can be used for related theoa t ical anal- y3iand taetueahion.Key wo S s : joint surface ； normal contact stiffness ； elastoplastic ； the fractal model0引言机械结构中结合面不仅分布广泛,而且起着重要 的作用,尤其在各种高精密设备中,结合面接触刚度对 整机的精度和性能有重要影响，有研究表明，机床 60% -80%刚度［1］,来自结合面,而机床总刚度直接影响着零件的加工精度。

Journal of Mechanical Strength2023,45(2):430-437DOI :10.16579/j.issn.1001.9669.2023.02.024∗20210811收到初稿,20210909收到修改稿㊂国家自然科学基金项目(51275328),山西省自然科学基金项目(201901D111248),太原科技大学校级研究生教育创新项目(XCX212074)资助㊂∗∗赵海路,男,1994年生,河北成安人,汉族,太原科技大学硕士研究生,主要研究方向为机械结合面接触特性㊂∗∗∗张学良(通信作者),男,1964年生,山西新绛人,汉族,太原科技大学教授,博士研究生导师,主要研究方向为机械结合面接触特性㊁智能优化算法及应用㊁机电系统结构动态特性与测试技术等㊂考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面接触刚度和阻尼模型∗MODEL OF NORMAL CONTACT STIFFNESS AND DAMPING OFJOINT SURFACES CONSIDERING FRICTION ANDASPERITY INTERACTION赵海路∗∗㊀张学良∗∗∗㊀许雍泰(太原科技大学机械工程学院,太原030024)ZHAO HaiLu ㊀ZHANG XueLiang ㊀XU YongTai(School of Mechanical Engineering ,Taiyuan University of Science and Technology ,Taiyuan 030024,China )摘要㊀基于三维分形理论,建立了同时考虑摩擦和微凸体相互作用影响的结合面法向接触刚度和接触阻尼分形模型㊂通过对所建模型仿真,分析了摩擦因数㊁分形维数㊁分形粗糙度参数和接触载荷对接触刚度和接触阻尼的影响㊂研究结果表明,该模型的接触刚度和接触阻尼随着法向载荷和分形维数的增大而增大,且会随着分形粗糙度参数的增大而变小;接触刚度随着摩擦因数的增大而减小,而接触阻尼则随着摩擦因数的增大而先增大后减小㊂另外将仅考虑微凸体相互作用和既无摩擦又无微凸体相互作用的情况进行了对比分析,进而得到当分形维数D =2.4时,微凸体相互作用会稍微增大接触刚度;当D ȡ2.5时,微凸体相互作用会减小接触刚度,且减小的程度越来越大;当2.4ɤD ɤ2.9时,微凸体相互作用会减小接触阻尼㊂此外,将所建模型的仿真计算结果与实验数据进行对比分析,验证了所建模型的正确性㊂关键词㊀摩擦㊀相互作用㊀结合面㊀刚度㊀阻尼中图分类号㊀TH113Abstract ㊀Based on the three-dimensional fractal theory,a fractal model of normal contact stiffness and contact damping ofjoint surfaces considering simultaneously the influence of the friction and the asperity interaction was established.Through the simulation of the built model,the influence of friction coefficient,fractal dimension,fractal roughness parameter and contact load on contact stiffness and contact damping was analyzed.The results show that the contact stiffness and contact damping of this model increase with the increase of normal load and fractal dimension,and decrease with the increase of the fractal roughness parameter;and the contact stiffness decreases with the increase of friction coefficient,but contact damping increases first and then decreases with the increase of friction coefficient.In addition,the cases of interaction only considering the asperity and interaction without the friction and the asperity are compared and analyzed,and it is concluded that the interaction of asperitiescan slightly increase the contact stiffness when the fractal dimension D =2.4,and at that time D ȡ2.5,the asperity interactioncan reduce the contact stiffness,and the degree of reduction can become larger and larger.At that time 2.4ɤD ɤ2.9,the asperity interaction can reduce the contact damping.In addition,the simulation calculation results of the built model are compared with the experimental data to verify the correctness of the built model.Key words㊀Friction ;Interaction ;Joint surfaces ;Stiffness ;DampingCorresponding author :ZHANG XueLiang ,E-mail :zhang _xue _l @ ,Tel :+86-351-6998330,Fax :+86-351-6998330The project supported by the National Natural Science Foundation of China (No.51275328),the Natural Science Foundation of Shanxi Province (No.201901D111248),and the School-level Postgraduate Education Innovation Project of Taiyuan University of Science and Technology (No.XCX212074).Manuscript received 20210811,in revised form 20210909.㊀第45卷第2期赵海路等:考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面接触刚度和阻尼模型431㊀㊀0㊀引言㊀㊀机械结构零部件㊁组件之间相互接触的表面称为结合面[1]㊂机械结构中存在着大量的结合面,并且结合面的接触刚度和接触阻尼对结构的特性有重大影响[2-3]㊂已有研究表明,高达90%的机械结构系统阻尼来自结合面,60%~80%的机械结构系统刚度来自结合面[4-5]㊂因此,有必要对结合面的接触刚度和接触阻尼进行进一步建模研究㊂最初由MAJUMMDAR A 等[6]提出了结合面接触分形模型(M-B 模型),采用与尺度无关的分形参数代替统计参数来描述粗糙表面形貌㊂陈永会等[7]以分形理论为基础,采用M-B 修正模型,引入微接触大小分布域扩展因子,提出了考虑域扩展因子的结合面法向接触阻尼分形模型㊂LI L 等[8]通过考虑微凸体变形连续光滑的接触特性和微凸体相互作用的影响,建立了一种新的求解机械结合面接触刚度的模型㊂孙献光等[9]626-633基于三维分形理论,建立了考虑摩擦因数和微凸体相互作用的粗糙表面接触热导分形模型㊂陈赟[10]在考虑微凸体相互作用的结合面切向接触刚度分形模型的基础上,依据单个微凸体切向接触阻尼耗能计算方法及切向接触阻尼迟滞耗能机理,建立了考虑微凸体相互作用的结合面切向接触阻尼分形模型㊂然而,以往所建结合面法向接触刚度和接触阻尼模型大都没有同时考虑结合面摩擦和微凸体之间相互作用的影响㊂鉴于此,本文将研究建立综合考虑摩擦和微凸体相互作用影响的结合面法向接触刚度与接触阻尼三维分形模型,并对所建模型进行仿真分析比较研究㊂1㊀微凸体接触模型1.1㊀微凸体的弹性和塑性接触㊀㊀结合面问题可以等效简化为一当量粗糙表面和一理想刚性平面的接触问题㊂单个微凸体与刚性平面的接触如图1所示,在法向载荷F 作用下,r 为微凸体的实际接触半径;rᶄ为微凸体的截断半径;a 为微凸体的实际接触面积;aᶄ为微凸体的截断接触面积㊂需要说明的是,a 和aᶄ都是与法向载荷F 有关的量,这是由于不同大小的法向载荷F 决定了刚性平面与微凸体不同的相对位置,从而对应着微凸体不同的变形量δ,也就对应着不同的a 和aᶄ㊂此外,微凸体的变形量δ为[9]626-633δ=2G D -2(ln γ)12(2rᶄ)3-D =24-D G D -2(ln γ)12π3-D 2aᶄ3-D 2(1)式中,D 为分形维数;G 为分形粗糙度参数;γ为轮廓的空间频率,常取γ=1.5㊂在图1中,由勾股定理可得(R -δ)2+rᶄ2=R 2(2)式(2)也可写成2R -δ=rᶄ2δ(3)㊀㊀由于微观变形量δ远小于微凸体的曲率半径R ,即δ≪R ,故存在近似关系为R ʈrᶄ22δ=aᶄ2πδ=aᶄD -1225-D πD -12G D -2(ln γ)12(4)图1㊀微凸体与刚性平面接触Fig.1㊀Contact between the asperity and the rigid plane㊀㊀当微凸体为Hertz 弹性接触时,微凸体的实际接触半径为[11]108-122r =3f e R4E()13(5)㊀㊀单个微凸体的法向弹性载荷也可写成f e =43ER 12δ32(6)由式(5)和式(6)可得r 2=Rδ(7)将式(4)代入式(7)可得r =rᶄ2(8)㊀㊀从而由式(8)可得在弹性变形状态下,随着法向载荷的逐渐增大,微凸体的实际接触面积与截断接触面积满足关系a e =aᶄ2(9)㊀㊀由文献[11]108-122可知,微凸体在塑性变形下的实际接触面积为a p =πRδ2-δc δ()(10)㊀㊀当δ≫δc 时,可得微凸体在完全塑性变形下的实际接触面积变为a p =2πRδ(11)㊀432㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀由式(7)和式(8)可得微凸体的截断面积aᶄ为aᶄ=2πRδ(12)从而由式(11)和式(12)可得a p =aᶄ(13)㊀㊀WANG R 等[12]基于弹性理论和Hertz 接触理论建立了考虑微凸体相互作用的微凸体接触力学模型㊂考虑微凸体之间的相互作用后,微凸体在弹性变形状态下的接触载荷可以表示为[9]626-633f e =Ea 32e πR1-3π16()(14)式中,E 为等效弹性模量,1E =1-ν21E 1+1-ν22E 2,E 1和E 2分别是两种接触材料的弹性模量;ν1和ν2分别是两种接触材料的泊松比㊂将式(4)和式(9)代入式(14)得f e (aᶄ)=1-3π16()27-2D2G D -2(ln γ)12E π3-D 2aᶄ4-D 2(15)㊀㊀在弹性变形状态下考虑微凸体相互作用的微凸体接触压力为p e (aᶄ)=f e (aᶄ)a e=1-3π16()29-2D 2G D -2(ln γ)12E π3-D 2aᶄ2-D 2(16)㊀㊀考虑摩擦因数的微凸体初始屈服状态下的临界接触压力为[13]p m =1.1k u σy(17)式中,σy 为较软材料的屈服强度;k u 为摩擦力修正因子,其表达式为k u =1-0.228u 0ɤu ɤ0.30.932e -1.58(u -0.3)0.3<u ɤ0.9{㊀㊀由式(16)和式(17)可得考虑摩擦和微凸体相互作用的临界截断接触面积和临界变形量为aᶄc =1-3π16()229-2D G 2D -4ln γ1.12φ2k 2uπ3-D éëêêùûúú1D -2(18)δc =1.1πk u φ1-3π16()éëêêêêùûúúúú2R(19)式中,材料的特性参数φ=σy /E ㊂当δȡδc 或aᶄɤaᶄc 时,微凸体发生塑性变形㊂此时,随着法向载荷的不断增大,微凸体所承受的接触载荷满足以下关系[9]626-633f p =H aᶄ(20)式中,较软材料的硬度H =2.8σy ㊂1.2㊀微凸体的接触刚度和接触阻尼㊀㊀由式(4)和式(14)得微凸体的法向接触刚度为k e =d f ed aᶄd δd aᶄ=1-3π16()3E 22aᶄ12(21)㊀㊀弹性接触区单个微凸体所存储的弹性应变能为q e =ʏδ0f e(δ)d δ=1-3π16()28.5-2D EG 2D -4ln γ5π3-Daᶄ3.5-D(22)㊀㊀塑性接触区单个微凸体所消耗的塑性应变能为q p =ʏδf p (δ)d δ=23-DHGD -2(ln γ)12π3-D 2aᶄ5-D 2(23)2㊀考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面接触模型2.1㊀结合面接触载荷㊀㊀微凸体的面积大小分布密度函数为n (aᶄ)=D -12aᶄD -12l aᶄ-D +12(24)式中,微凸体的最大截断面积aᶄl =3-DD -1A r ,A r 为结合面真实接触面积㊂考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面弹性接触载荷如下:当D ʂ2.5时F e =ʏaᶄl aᶄcf e (aᶄ)n (aᶄ)d aᶄ=1-3π16()D -15-2D27-2D2GD -2E (ln γ)12π3-D 2aᶄ4-D 2l1-aᶄc aᶄl ()5-2D 2éëêêùûúú(25)㊀㊀考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面塑性接触载荷为F p=ʏaᶄc aᶄsf p (aᶄ)n (aᶄ)d aᶄ=D -13-D H aᶄl aᶄcaᶄl()3-D2-aᶄsaᶄl()3-D 2éëêêùûúú(26)式中,微凸体的最小截断面积aᶄs =π(L s /2)2,L s 为截断长度㊂当D =2.5时F e =ʏaᶄl aᶄcf e (aᶄ)n (aᶄ)d aᶄ=321-3π16()π-14EG 12(ln γ)12aᶄ34l lnaᶄlaᶄc()(27)㊀第45卷第2期赵海路等:考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面接触刚度和阻尼模型433㊀㊀F p=ʏaᶄc aᶄsf p (aᶄ)n (aᶄ)d aᶄ㊀㊀㊀㊀3H aᶄl aᶄcaᶄl()14-aᶄsaᶄl()14éëêêùûúú(28)㊀㊀考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面接触载荷为F =F e +F p 则结合面无量纲接触载荷为F∗=F EA a(29)式中,A a 为结合面名义接触面积,A a =L 2,L 为取样长度㊂2.2㊀结合面接触刚度和接触阻尼㊀㊀考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面接触刚度为K =K e =ʏaᶄlaᶄck e (aᶄ)n (aᶄ)d aᶄ=1-3π16()3E (D -1)22(2-D )aᶄD -12l aᶄ2-D 2l-aᶄ2-D 2c ()(30)则结合面无量纲法向接触刚度为K∗=KEA a(31)㊀㊀考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面弹性接触区所存储的弹性应变能为Q e =ʏaᶄl aᶄcq e (aᶄ)n (aᶄ)d aᶄ=1-3π16()D -18-3D28.5-2D EG 2D -4ln γ5π3-DaᶄD -12l aᶄ8-3D 2l -aᶄ8-3D 2c ()(32)㊀㊀考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面塑性接触区所消耗的塑性应变能为Q p =ʏaᶄc aᶄsq p (aᶄ)n (aᶄ)d aᶄ=D -13-D22-D HG D -2(ln γ)12π3-D 2aᶄD -12l (aᶄ3-D c -aᶄ3-Ds)(33)㊀㊀则考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面的法向接触阻尼损耗因子为η=Q p Q e(34)㊀㊀将结合面法向接触动力学特性等效为弹簧和黏性阻尼器,如图2所示㊂由图2可得,结合面动力学方程为f (t )=Kx (t )+C x ㊃(t )(35)式中,t 为时间;f (t )为激励力,f (t )=F cos ωt ;K 为结合面法向接触刚度;C 为结合面法向接触阻尼;x (t )为结合面法向动态相对位移,x (t )=X cos(ωt -φn ),ω为角频率,φn 为相位差㊂因此,η=Q p Q e=|f c x (t )||f k x (t )|=CωK,即C =ηKω(36)㊀㊀对式(36)进行无量纲化处理,从而得到结合面法向接触阻尼为C ∗=CωHA a=K EA a ηE H=ηK ∗EH (37)图2㊀结合面动力学简化模型Fig.2㊀Simplified model of joint surface dynamics3㊀考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面接触刚度和阻尼模型的仿真分析㊀㊀这里采用文献[9]626-633的部分参数数据,取分形维数D =2.4~2.9,分形粗糙度参数G =10-11~10-13m,等效弹性模量E =192GPa,较软材料的硬度H =23.5GPa,取样长度L =7.04ˑ10-6m,截断长度L s =1ˑ10-12m,摩擦因数u =0.3,0.6,0.9;对式(30)㊁式(31)和式(36)㊁式(37)所建的模型进行计算仿真,结果如图3~图6所示㊂需要说明的是下列图中横坐标的载荷为孤立的理想载荷,即不考虑载荷在不断加载过程中对摩擦因数和分形参数的影响㊂3.1㊀F ∗㊁D ㊁G 和u 对接触刚度的影响㊀㊀由图3和图4可知,在分形维数2.4ɤD ɤ2.9下,同时考虑摩擦和微凸体相互作用影响的结合面无量纲法向接触刚度K ∗,随着无量纲法向接触载荷F ∗的增大而增大;并且在一定载荷F ∗下,K ∗随着D 的增大而增大,随着分形粗糙度参数G 和摩擦因数u 的增大而减小,这是由于随着G 的不断减小,D 的不断增大,导致粗糙表面越光滑,抵抗弹性变形的能力越强,故接触刚度越大㊂3.2㊀F ∗㊁D ㊁G 和u 对接触阻尼的影响㊀㊀由图5和图6可知,在分形维数2.4ɤD ɤ2.9下,同时考虑摩擦因数和微凸体相互作用的结合面无量纲法向接触阻尼C ∗,随着无量纲法向接触载荷F ∗的增大而增大;在一定载荷F ∗下,C ∗随着D 的增大而增大,而随着分形粗糙度参数G 的增大而减小,且㊀434㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀图3㊀F ∗和G 对K ∗的影响Fig.3㊀Influence of F ∗and G on K∗图4㊀F ∗和u 对K ∗的影响Fig.4㊀Influence of F ∗and u on K ∗C ∗随着摩擦因数u 的增大而先增大(D ɤ2.5时)后减小(D ȡ2.6时)㊂3.3㊀微凸体相互作用对接触刚度和接触阻尼的影响㊀㊀如图7和图8所示,Neither:都不考虑,表示既无摩擦又无微凸体相互作用的情况;Interaction:相互作用,表示仅考虑微凸体相互作用的情况㊂由图7可知,在不同的D 下,上述两种不同情况所仿真出来的K ∗都随着F ∗和D 的增大而增大;在一定载荷F ∗下,当D =2.4时,微凸体相互作用会使K ∗稍微增大的原因是微凸体相互作用使较小的相邻微凸体重新结合成较大的微凸体,而此时微凸体所在的基体产生的变形相对较小,从整体来讲,较大的微凸体会使其抵抗变形的能力增强,故而K ∗变大;在一定载荷F ∗下,当2.5ɤD ɤ2.9时,微凸体相互作用会使K ∗减小的原因是粗糙表面的变形由微凸体和基体共同承担,此时的微凸体的接触变形会使微凸体所在的基体产生相对较大的变形,从整体来讲会导致微凸体的变形减小,故此时考虑微凸体相互作用影响的接触刚度会变小㊂由图8可知,在不同的D 下,两种不同情况所仿真㊀第45卷第2期赵海路等:考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面接触刚度和阻尼模型435㊀㊀图5㊀F ∗和G 对C ∗的影响Fig.5㊀Influence of F ∗and G on C∗图6㊀F ∗和u 对C ∗的影响Fig.6㊀Influence of F ∗and u on C ∗出来的C ∗都随着F ∗和D 的增大而增大;且当2.4ɤD ɤ2.9时,随着D 的不断增大,微凸体相互作用都会使C ∗减小;且在一定载荷F ∗下,当2.4ɤD ɤ2.6时,微凸体相互作用使C ∗减小的程度逐渐减小,而当2.7ɤD ɤ2.9时,微凸体相互作用使C ∗减小的程度又逐渐变大㊂4　模型的实验验证㊀㊀采用文献[14]中的实验数据对本文所建模型进行验证㊂两接触材料表面经过磨削处理,两材料的弹性模量E 1=E 2=100GPa,泊松比ν1=ν2=0.25,硬度H =2.16GPa,分形维数D =2.4058,分形粗糙度参数G =2.2826ˑ10-10m,仿真计算结果与实验数据对比如图9所示㊂由图9可知,所建结合面接触刚度模型的计算结果要比实验数据小㊂这是由于本模型仅考虑了微凸体的弹性和塑性两种变形机制,没有考虑微凸体发生弹塑性变形的情况,而微凸体的弹塑性变形也会增加其刚度;另外由本文第3节可知,考虑摩擦和微凸体相互作用也会降低其刚度;此外,本文所建刚度模型与实验数据的总体变化趋势是相同的,从而验证了所建结合面接触刚度模型的合理性和正确性㊂㊀436㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀图7㊀微凸体相互作用对接触刚度的影响Fig.7㊀Influence of asperity interaction on contactstiffness图8㊀微凸体相互作用对接触阻尼的影响Fig.8㊀Influence of asperity interaction on contactdamping图9㊀所建模型与实验数据的对比Fig.9㊀Comparison of the built model and experimental data5　结论㊀㊀基于结合面三维分形理论,建立了新的综合考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面法向接触刚度与接触阻尼三维分形模型,其相应结论如下:1)同时考虑摩擦和微凸体相互作用的K ∗和C ∗会随着F ∗和D 的增大而增大;K ∗和C ∗随着G 的增大而变小;K ∗随着u 的增大而减小,而C ∗则会随着u 的增大而先变大(D ɤ2.5时)后减小(D ȡ2.6时)㊂2)在同等载荷F ∗下,当D =2.4时,微凸体相互作用会稍微增大K ∗;当D ȡ2.5时,微凸体相互作用使K ∗减小,且减小的程度会逐渐增大㊂3)在同等载荷F ∗下,当2.4ɤD ɤ2.9时,随着D的不断增大,微凸体相互作用都会使C ∗减小,且使C ∗减小的程度先变小后变大㊂㊀第45卷第2期赵海路等:考虑摩擦和微凸体相互作用的结合面接触刚度和阻尼模型437㊀㊀4)将所建结合面接触刚度模型的仿真计算结果与实验数据进行对比,验证了该模型的合理性和正确性㊂参考文献(References)[1]㊀张学良.机械结合面动态特性及应用[M].北京:中国科学技术出版社,2002:1-2.ZHANG XueLiang.Dynamic characteristics and application ofmechanical joint surfaces.[M].Beijing:Science and Technology ofChina Press,2002:1-2(In Chinese).[2]㊀张广鹏,史文浩,黄玉美.机床导轨结合部的动态特性解析方法及其应用[J].机械工程学报,2002(10):114-117.ZHANG GuangPeng,SHI WenHao,HUANG YuMei.Analyticalmethod of dynamic characteristics of machine tool guide rail joint andits application[J].Journal of Mechanical Engineering,2002(10):114-117(In Chinese).[3]㊀张广鹏,史文浩,黄玉美,等.机床整机动态特性的预测解析建模方法[J].上海交通大学学报,2001(12):1834-1837.ZHANG GuangPeng,SHI WenHao,HUANG YuMei,et al.Predictive analytical modeling method for dynamic characteristics ofmachine tool[J].Journal of Shanghai Jiaotong University,2001(12):1834-1837(In Chinese).[4]㊀ZHAO Y,XU J,CAI L,et al.Stiffness and damping model ofbolted joint based on the modified three-dimensional fractaltopography[J].Proceedings of the Institution of MechanicalEngineers,Part C:Journal of Mechanical Engineering Science,2017,231(2):279-293.[5]㊀温晓宇,张学良,谭文兵,等.混合润滑结合面法向接触刚度三维分形模型研究[J].组合机床与自动化加工技术,2020(11):49-53.WEN XiaoYu,ZHANG XueLiang,TAN WenBing,et al.Researchon three-dimensional fractal model of normal contact stiffness ofhybrid lubrication joint surface[J].Modular Machine Tool andAutomatic Manufacturing Technique,2020(11):49-53(InChinese).[6]㊀MAJUMDAR A,BHUSHAN B.Fractal model of elastic-plasticcontact between rough surfaces[J].Journal of Tribology,1991,113(1):1-11.[7]㊀陈永会,张学良,温淑花,等.考虑分布域扩展因子的结合面法向接触阻尼建模[J].西安交通大学学报,2019,53(7):126-135.CHEN YongHui,ZHANG XueLiang,WEN ShuHua,et al.Modeling of normal contact damping of joint surface consideringdistribution domain expansion factor[J].Journal of Xiᶄan JiaotongUniversity,2019,53(7):126-135(In Chinese).[8]㊀LI L,WANG J,SHI X,et al.Contact stiffness model of jointsurface considering continuous smooth characteristics and asperityinteraction[J].Tribology Letters,2021,69(2):43. [9]㊀孙献光,孟春晓,段田堂.考虑摩擦因数和微凸体相互作用的粗糙表面接触热导分形模型(英文)[J].摩擦学学报,2020,40(5):626-633.SUN XianGuang,MENG ChunXiao,DUAN TianTang.A fractalmodel of contact thermal conductance on rough surfaces consideringfriction coefficient and the asperity interaction[J].Journal ofTribology,2020,40(5):626-633(In Chinese).[10]㊀陈㊀赟.考虑微凸体相互作用的结合面切向接触刚度与接触阻尼建模研究[D].太原:太原科技大学,2020:1-2.CHEN Yun.Research on modeling of tangential contact stiffness andcontact damping of joint surfaces considering asperity interaction[D].Taiyuan:Taiyuan University of Science and Technology,2020:1-2(In Chinese).[11]㊀田红亮,钟先友,秦红玲,等.依据各向异性分形几何理论的固定结合部法向接触力学模型[J].机械工程学报,2013(21):108-122.TIAN HongLiang,ZHONG XianYou,QIN HongLing,et al.Normalcontact mechanics model of fixed joint interface adopting anisotropicfractal geometrical theory[J].Journal of Mechanical Engineering,2013(21):108-122(In Chinese).[12]㊀WANG R,ZHU L,ZHU C.Research on fractal model of normalcontact stiffness for mechanical joint considering asperity interaction[J].International Journal of Mechanical Sciences,2017(134):357-369.[13]㊀LI X,BING Y,ZHAO G,et al.Fractal prediction model for normalcontact damping of joint surfaces considering friction factors and itssimulation[J].Advances in Mechanical Engineering,2014,2014(2):1-5.[14]㊀XIAO H,SUN Y,CHEN Z.Fractal modeling of normal contactstiffness for rough surface contact considering the elastic-plasticdeformation[J].Journal of the Brazilian Society of MechanicalSciences and Engineering,2019,41(1):1-13.。

Journal of Mechanical Strength2020, 42(3) ：648-653DOI : 10. 16579/j.issn.l001. 9669. 2020. 03. 020机械结合面法向接触刚度分形理论模型******20181016收到初稿.20190220收到修改稿 国家自然科学基金项目(51275328),山西省自然科学基金项目(201601D011062)资助**王颜辉.女，1987年生，山东聊城人，汉族.太原科技大学博士生，山西能源学院教师，研究方向为机械接触动力学。

***张学良.男.1964年生.汉族，太原科技大学教授，博士生导师.研究方向为机械系统动力学。

FRACTAL THEORETICAL MODEL OF NORMAL CONTACT STIFFNESS OF MECHANICAL JOINT INTERFACES王颜辉张学良温淑花' 陈永会'兰国生'(1.太原科技大学机械工程学院，太原030024)(2.山西能源学院机电工程系，晋中030600)WANG YanHui 12 ZHANG XueLiang 1 WEN ShuHua' CHEN YongHui 1 LAN GuoSheng 1(1. College of Mechanical Engineering , Taiyuan University of Science and Technology , Taiyuan 030024, China )(2. Department of Electrical and Mechanical Engineering , Shanxi Institute of Energy , Jinzhong 030600, China )摘要基于分形理论同时考虑微凸体的弹性、第一弹塑性、第二弹塑性、完全塑性四个阶段的变形状态，得出单个微凸体在各变形阶段的接触刚度模型，从而得出影响单个微凸体法向接触刚度的相关参数“引入频率指数并得出各变形 阶段频率指数的临界值.推导出频率指数值处于不同区间时结合面的接触刚度模型。

基于勒让德-扫描法的机械结合部法向接触刚度区间分析
刘勇;渠杰;张青;王大伟;闫方超
【期刊名称】《振动与冲击》
【年(卷),期】2024(43)8
【摘要】由于机械结合部实际接触时存在诸多不确定因素,利用传统接触刚度模型对机械结合部进行分析时,难以确定其法向接触刚度的合理区间。

为此,将微凸体曲率半径、分布密度和微凸体高度方差视为不确定性参数,基于KE弹塑性接触刚度模型和勒让德-扫描法,建立结合部法向接触刚度区间模型并进行求解。

通过与接触刚度试验数据及传统模型求解结果的对比,验证了该模型的有效性和准确性。

基于该模型对结合部法向接触刚度进行分析,结果表明:勒让德-扫描法具有较高的求解精度,粗糙表面形貌参数不确定性对于结合部法向接触刚度有着明显影响,且随着无量纲接触距离的减小,影响程度逐渐增加,其中微凸体高度方差的不确定性对粗糙表面法向接触刚度影响程度最大。

机械结合部法向接触刚度区间模型的建立与分析,可为结合部的研究提供参考。

【总页数】8页(P70-77)
【作者】刘勇;渠杰;张青;王大伟;闫方超
【作者单位】中国民航大学航空工程学院;天津布尔科技有限公司
【正文语种】中文
【中图分类】O343.3
【相关文献】
1.基于Hertz接触的滚珠丝杠副结合部刚度特性分析
2.基于接触分形理论的机械结合面法向接触刚度模型
3.基于接触有限元法的齿轮多齿时变啮合刚度数值分析
4.基于区间层次分析法的机械加工绿色工艺方案决策
5.基于泛形理论机械结合面法向接触刚度的表征
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基于分形理论的结合面微观接触特性分析
孙钧成;何博侠;杨雨诗;韩阳
【期刊名称】《机械与电子》
【年(卷),期】2017(035)010
【摘要】为了研究结合面微观接触特性,基于分形理论,建立粗糙表面轮廓模型,进行结合面接触趋近耦合研究.通过二维粗糙表面与光滑表面微观接触趋近过程的仿真分析,研究分形维数、表面粗糙度、位移栽荷对结合面接触状态的影响机理.提出利用激光声表面波检测粗糙结合面接触的方法,并进行了实验验证.研究结果表明,粗糙表面微凸体形貌是决定材料接触性能的关键因素;微凸体接触形成的真实接触面积远小于名义接触面积.工程问题中,通过名义接触面积计算出的载荷与材料表面实际承受的载荷存在较大差异.
【总页数】5页(P7-11)
【作者】孙钧成;何博侠;杨雨诗;韩阳
【作者单位】南京理工大学机械工程学院,江苏南京210094;南京理工大学机械工程学院,江苏南京210094;南京理工大学机械工程学院,江苏南京210094;南京理工大学机械工程学院,江苏南京210094
【正文语种】中文
【中图分类】TG142;TH117
【相关文献】
1.基于接触分形理论的机械结合面法向接触刚度模型 [J], 张学良;黄玉美;韩颖
2.基于接触分形理论的结合面切向接触刚度分形模型 [J], 张学良;温淑花
3.基于分形几何与接触力学理论的结合面法向接触刚度计算模型 [J], 杨红平;傅卫平;王雯;杨世强;李鹏阳;王伟
4.基于分形接触理论的结合面法向接触参数预估 [J], 尤晋闽;陈天宁
5.基于分形理论的导轨结合面微观形貌模拟研究 [J], 何雨松;王立华;张楠;陆梓因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

基于分形理论的齿轮结合面法向接触刚度研究赵林林; 黄小平; 周忠旺【期刊名称】《《重庆理工大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(033)008【总页数】6页(P78-83)【关键词】分形理论; 法向刚度; 法向载荷; 齿轮【作者】赵林林; 黄小平; 周忠旺【作者单位】南京林业大学机械电子工程学院南京 210037; 江苏财经职业技术学院机械电子与信息工程学院江苏淮安 223003【正文语种】中文【中图分类】TH113机械结合面参数会影响整机设备的性能，而齿轮接触是最常见的一种接触，广泛应用于大型机械中，因此研究齿轮接触性能将有利于提高大型机械设备的加工性能。

齿轮的啮合面属于运动结合面，当受到动载荷时，齿轮结合面间会产生微小的相对位移或角位移，使得结合面间既存储能量，又消耗能量，表现出既有弹性又有阻尼，即存在接触刚度和接触阻尼，这种动态特性将对齿轮轮齿的动态特性产生很大的影响[1]。

虽然可以采用有限元法来实现齿轮的动态特性的仿真，其接触单元为齿轮结合面的计算提供了一种方法，但是刚度、阻尼等物理参数的确定对结合面来说很困难，造成了结合面的精确计算是齿轮性能预估的瓶颈。

齿轮结合面的切向接触刚度是机械结构整体刚度的重要组成部分，甚至称为整体刚度的薄弱环节，因此需要对齿轮结合面的接触刚度进行研究，而齿轮结合面的接触刚度包含法向接触刚度和切向接触刚度。

本课题组在文献[2]中，已对齿轮结合面的接触刚度进行过分析研究，本文重点对齿轮结合面的法向接触刚度进行研究。

以前齿轮结合面的法向接触模型[3-5]相对简单，本文则考虑了域扩展因子Ψ的影响，并引入了微接触截面积a′，研究齿轮的齿面形貌对齿轮法向接触刚度的影响。

1 齿轮粗糙表面的分形模拟齿轮的接触表面大多数是通过各种机加工的方法来实现的，机加工的表面质量对齿轮结合面的接触行为影响很大。

文献[6]给出了45碳钢不同加工精度的磨削表面轮廓曲线。

利用W-M函数可以描述各向同性均匀粗糙表面[7-8]，其表达式为：(1<D<2,γ>1)(1)式中：D为分形维数，G为表面特征长度尺度参数，γn决定表面粗糙度的频谱。

结合面首次加载过程的法向接触刚度分形模型
殷东华;张学良;温淑花;兰国生;陈永会
【期刊名称】《组合机床与自动化加工技术》
【年(卷),期】2022()12
【摘要】基于接触分形理论,采用Hermite插值法建立单个微凸体弹塑性变形阶段的接触面积模型,同时引入平均接触压力参数,弥补了单一微凸体接触载荷建模时存在的不连续缺陷,进而建立了接触刚度模型,在此基础上提出了一种固定结合面加载过程中的法向接触刚度分形模型,并通过对模型的仿真计算直观地揭示了各相关参数的影响规律,以及法向接触刚度和法向接触载荷的关系。

仿真结果表明,加载过程中固定结合面无量纲法向接触刚度随着分形维数的增大而增大,且分形维数取值范围不同时增长速率不同;随着特征尺度系数的增大而减小,但是在分形维数取值
1.1~1.4时,特征尺度系数的变化对无量纲法向接触刚度的影响不明显;随着塑性指数的增大而增大;随着接触载荷的增大而增大。

【总页数】4页(P6-9)
【作者】殷东华;张学良;温淑花;兰国生;陈永会
【作者单位】太原科技大学机械工程学院;山西工学院智能制造产业学院
【正文语种】中文
【中图分类】TH16;TG502
【相关文献】
1.基于接触分形理论的机械结合面法向接触刚度模型
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3.固定机械结合面法向接触刚度分形模型
4.考虑硬度变化的结合面法向接触刚度分形模型
5.基于分形几何与接触力学理论的结合面法向接触刚度计算模型
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