导数的运算及几何意义

导数的几何意义及运用解密导数作为高等数学中的一个重要概念，在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

它既是一个数学工具，也是一种具有丰富几何意义的概念。

本文将从导数的几何意义和运用两个方面对导数进行深入解析，以便更好地理解这一重要概念。

一、导数的几何意义导数在几何学中有着直观的几何意义，可以反映出函数曲线在某一点的切线斜率。

以二次函数y=x^2为例，在任意一点(x0,y0)处的切线斜率为y'=2x0。

因此，当x0=1时，切线斜率为2，当x0=-2时，切线斜率为-4。

从几何意义上来说，导数就是函数曲线在某一点的切线斜率。

通过导数这个工具，我们可以更好地理解各种函数曲线的特征。

例如，曲线函数y=x^3呈现上升趋势，斜率也在不断增长，因此导数y'=3x^2也在不断增长，说明曲线的增长速度在逐渐加快。

而曲线函数y=sin(x)的导数y'=cos(x)呈现周期性变化，反映出曲线函数的特殊周期性。

此外，导数还可以告诉我们函数曲线的局部凸凹性质。

在导数为正的区域里，函数曲线呈现向上凸的形态；反之在导数为负的区域里，函数曲线呈现向下凸的形态；而切线斜率为0时，则表示函数曲线处于转折点上。

由此可见，导数的几何意义在分析函数曲线的形态和特点方面有着重要的作用。

二、导数的运用解密导数在实际应用中被广泛运用，尤其在物理、工程等领域中有着广泛应用。

例如，通过导数我们可以求出物理系统中的速度和加速度，以及电路中的电流和电压。

以下将介绍导数在实际应用中的几个典型案例。

1. 物理中的速度和加速度物理中的运动，通常需要用速度和加速度来描述。

而这些运动的变化可以通过计算导数的方式来进行描述。

例如，当对于绕圆心旋转的物体而言，它的速度在变化的同时也在改变方向。

此时，我们可以通过计算该物体的速度矢量在时间上的导数来求取该物体的加速度。

2. 经济中的边际效用经济学中，经济学家会关注某一特定产量水平下的增益变化。

由于边际效用是一种导数，因此可以通过计算导数的方式来描述增益变化的相关性质。

第九章导数及其应用命题探究(1)由 PO1 =2 知 O 1O=4PO1 =8.因为 A 1 B1 =AB=6,所以正四棱锥P-A 1 B1 C1D 1的体积V 锥 = ·A1·PO1=×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A 1 B1 C1 D1的体积V 柱 =AB 2·O1 O=62×8=288(m 3 ).所以仓库的容积V=V 锥 +V 柱 =24+288=312(m 3 ).(2)设 A 1 B1 =a(m),PO 1=h(m), 则 0<h<6,O 1 O=4h(m). 连结 O1 B1.因为在 Rt△PO1 B 1中 ,O1+P=P,所以+h2=36,即a2 =2(36-h 2).于是仓库的容积V=V 柱 +V 锥 =a2·4h+ a2·h= a2 h=(36h-h 3 ),0<h<6,从而 V'=(36-3h2 )=26(12-h 2).令 V'=0, 得 h=2或h=-2(舍 ).当0<h<2时,V'>0,V是单调增函数;当2<h<6 时,V'<0,V 是单调减函数 .故 h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此 ,当 PO1=2m 时 ,仓库的容积最大.§9.1导数的概念及几何意义、导数的运算考纲解读要求来五年高考统计来源学# 科 #网 Z#X#X#K]考点来源学+科 +网][ 来源 :Z*xx*]内容解读2013 2 01420152016常考题型预测热度源 :][ 来源学。

科。

网20171.导数的概念及几何 1.切线方程的有关问题B 11 题填空题★★★意义 2.导数几何意义的应用 5 分解答题2.导数的运算导数的运算B 填空题★★★解答题分析解读导数的几何意义和导数的四则运算是学习导数的基础,江苏高考偶有单独考查,但更多的是与导数解答题放在一起进行综合考查 .五年高考考点一导数的概念及几何意义1.(2017课标全国Ⅰ文 ,14,5 分)曲线 y=x 2+ 在点 (1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=02.(2017天津文改编 ,10,5 分 )已知 a∈R,设函数 f(x)=ax-ln x 的图象在点 (1, f(1)) 处的切线为 l, 则 l 在 y 轴上的截距为.答案13.(2016课标全国Ⅲ,16,5 分 )已知 f(x) 为偶函数 , 当 x≤0 时, f(x)=e -x-1-x, 则曲线 y=f(x) 在点 (1,2)处的切线方程是.答案y=2x4.(2015陕西 ,15,5 分)设曲线 y=e x在点 (0,1)处的切线与曲线 y=(x>0) 上点 P 处的切线垂直 ,则 P 的坐标为.答案(1,1)5.(2014江苏 ,11,5 分)在平面直角坐标系xOy 中,若曲线 y=ax2+(a,b 为常数 ) 过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线7x+2y+3=0 平行 ,则 a+b 的值是.答案-3教师用书专用 (6 — 9)6.(2013广东理 ,10,5 分 )若曲线 y=kx+ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于 x 轴 ,则 k=.答案-17.(2013重庆理 ,17,13 分 )设 f(x)=a(x-5) 2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线与 y 轴相交于点 (0,6).(1)确定 a的值 ;(2)求函数 f(x) 的单调区间与极值 .解析(1)因 f(x)=a(x-5) 2+6ln x,故 f '(x)=2a(x-5)+ .令 x=1, 得 f(1)=16a, f '(1)=6-8a, 所以曲线 y=f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1), 由点 (0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a= .(2)由 (1) 知, f(x)= (x-5) 2+6ln x(x>0), f '(x)=x-5+ =--.令f '(x)=0, 解得 x1=2,x 2=3.当0<x<2 或 x>3 时 , f '(x)>0, 故 f(x) 在 (0,2),(3,+ 上∞)为增函数 ; 当 2<x<3 时, f '(x)<0, 故 f(x) 在(2,3)上为减函数 .由此可知 f(x) 在 x=2 处取得极大值f(2)= +6ln 2,在 x=3 处取得极小值f(3)=2+6ln 3.8.(2015 北京 ,18,13 分) 已知函数 f(x)=ln-.(1)求曲线 y=f(x) 在点 (0, f(0)) 处的切线方程 ;(2)求证 : 当 x∈(0,1)时 , f(x)>2;(3)设实数 k 使得 f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.解析(1)因为 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以 f '(x)=+ - , f '(0)=2.又因为 f(0)=0, 所以曲线y=f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程为y=2x.(2)证明 : 令 g(x)=f(x)-2,则g'(x)=f '(x)-2(1+x 2 )= - .因为 g'(x)>0(0<x<1), 所以 g(x) 在区间 (0,1)上单调递增 .所以 g(x)>g(0)=0,x ∈(0,1),即当 x∈(0,1)时 , f(x)>2.(3)由 (2) 知,当 k ≤2 时 , f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.当 k>2 时 ,令 h(x)=f(x)-k,则 h'(x)=f '(x)-k(1+x2 )=- -. -所以当 0<x<-时 ,h'(x)<0, 因此 h(x) 在区间-上单调递减 .-时 ,h(x)<h(0)=0, 即 f(x)<k.当 0<x<所以当 k>2 时 , f(x)>k并非对 x∈(0,1)恒成立 .综上可知 ,k 的最大值为 2.9.(2013 北京理 ,18,13 分 )设 L 为曲线 C:y=在点 (1,0)处的切线 .(1)求 L 的方程 ;(2)证明 : 除切点 (1,0)之外 ,曲线 C 在直线 L 的下方 .解析 (1)设 f(x)=,则 f '(x)=-.所以 f '(1)=1. 所以 L 的方程为 y=x-1.(2)证明 : 令 g(x)=x-1-f(x), 则除切点之外 ,曲线 C 在直线 L 的下方等价于g(x)>0( ?x>0,x ≠1).g(x) 满足 g(1)=0, 且-.g'(x)=1-f '(x)=当0<x<1 时,x2-1<0,ln x<0,所以 g'(x)<0, 故 g(x) 单调递减 ;当x>1 时 ,x2-1>0,ln x>0,所以 g'(x)>0, 故 g(x)单调递增 .所以 ,g(x)>g(1)=0( ? x>0,x ≠1).所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方 .考点二导数的运算1.(2016 天津 ,10,5 分)已知函数 f(x)=(2x+1)e x, f '(x) 为 f(x) 的导函数 ,则 f '(0)的值为.答案32.(2014 福建 ,20,14 分) 已知函数 f(x)=e x-ax(a 为常数 )的图象与y 轴交于点A, 曲线 y=f(x) 在点 A 处的切线斜率为-1.(1)求 a 的值及函数f(x) 的极值 ;(2)证明 : 当 x>0 时,x2 <e x;2x(3)证明 : 对任意给定的正数c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+ ∞)时,恒有 x <ce .x x解析(1)由 f(x)=e -ax,得 f '(x)=e -a.又f '(0)=1-a=-1, 得 a=2.所以 f(x)=e x-2x,f '(x)=e x-2.令f '(x)=0, 得 x=ln 2.当x<ln 2 时, f '(x)<0,f(x) 单调递减 ;当x>ln 2 时, f '(x)>0,f(x) 单调递增 .所以当 x=ln 2 时,f(x) 取得极小值 ,且极小值为 f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x) 无极大值 .(2)证明 : 令 g(x)=e x-x 2,则 g'(x)=e x -2x.由(1)得 g'(x)=f(x) ≥f(ln 2)>0,故g(x) 在 R 上单调递增 ,又 g(0)=1>0,因此 ,当 x>0 时,g(x)>g(0)>0, 即 x 2<e x.x x2x(3)证法一 :①若 c≥1,则 e ≤ce . 又由 (2)知,当 x>0 时,x <e .2x所以当 x>0 时 ,x <ce .取x 0=0,当 x∈(x 0,+ ∞)时,恒有 x 2<ce x.②若 0<c<1,令 k= >1,要使不等式x2<ce x成立,只要e x>kx2成立.而要使 e x>kx 2成立 ,则只要 x>ln(kx 2),只要 x>2ln x+ln k 成立 .-令 h(x)=x-2ln x-ln k, 则 h'(x)=1- = ,所以当 x>2 时 ,h'(x)>0,h(x) 在 (2,+ ∞)内单调递增 .取x 0=16k>16, 所以 h(x) 在(x 0,+ ∞)内单调递增 ,又 h(x 0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,易知 k>ln k,k>ln 2,5k>0, 所以 h(x0)>0.即存在 x 0=,当 x ∈(x 0,+ ∞)时,恒有 x2<ce x.综上 ,对任意给定的正数c,总存在 x0,当 x∈(x0,+ ∞)时,恒有 x 2<ce x .证法二 : 对任意给定的正数c,取 x0= ,由(2)知, 当 x>0 时 ,e x >x2,所以 e x=· >,当 x>x 0时,e x>>= x2,因此 ,对任意给定的正数c,总存在 x0,当 x∈(x0,+ ∞)时,恒有 x 2<ce x .证法三 : 首先证明当x∈(0,+ ∞)时,恒有 x3<e x.证明如下 :令 h(x)= x 3-e x,则 h'(x)=x 2-e x.由(2)知, 当 x>0 时 ,x2 <e x,从而 h'(x)<0,h(x) 在 (0,+ ∞)内单调递减 ,所以 h(x)<h(0)=-1<0, 即 x 3<e x.取x 0= , 当 x>x 0时,有 x2< x 3<e x.2x 因此 ,对任意给定的正数c,总存在 x0,当 x∈(x0,+ ∞)时,恒有 x <ce .教师用书专用(3)3.(2013 福建理 ,17,13 分 )已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).(1)当 a=2 时 ,求曲线 y=f(x) 在点 A(1, f(1)) 处的切线方程 ;(2)求函数 f(x) 的极值 .解析函数 f(x) 的定义域为 (0,+ ∞ ),f '(x)=1- .(1)当 a=2 时 , f(x)=x-2ln x, f '(x)=1- (x>0),因而 f(1)=1, f '(1)=-1,所以曲线 y=f(x) 在点 A(1, f(1)) 处的切线方程为y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0.(2)由 f '(x)=1- = - ,x>0 知:①当 a≤0 时 , f '(x)>0, 函数 f(x) 为(0,+ ∞)上的增函数 ,函数 f(x) 无极值 ;②当 a>0 时 ,由 f '(x)=0, 解得 x=a.又当 x∈(0,a)时 , f '(x)<0; 当 x ∈(a,+ ∞)时, f '(x)>0,从而函数 f(x) 在 x=a 处取得极小值 ,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值 .综上 ,当 a≤0 时 ,函数 f(x) 无极值 ;当 a>0 时 ,函数 f(x) 在 x=a 处取得极小值a-aln a,无极大值 .三年模拟A 组2016—2018 年模拟·基础题组考点一导数的概念及几何意义1.(2018江苏常熟期中调研 )已知曲线 f(x)=ax 3+ln x 在 (1,f(1)) 处的切线的斜率为 2,则实数 a 的值是.答案2.(2018江苏东台安丰高级中学月考 )在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与函数 f(x)=2x2+a2(x>0) 和 g(x)=2x 3+a2(x>0) 的图象均相切 (其中 a 为常数 ),切点分别为 A(x 1 ,y1 )和 B(x 2,y2),则 x1+x2的值为.答案3.(2018江苏扬州中学月考 )若曲线 y=kx+ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于x 轴,则 k=.答案 -14.(2018江苏淮安宿迁高三第一学期期中)已知函数 f(x)=x 3 .设曲线 y=f(x) 在点 P(x1,f(x 1)) 处的切线与该曲线交于另一点 Q(x 2,f(x 2 )),记 f '(x) 为函数 f(x) 的导数 ,则的值为.答案5.(2018江苏常熟高三期中 )已知函数 f(x)=若直线 y=ax 与 y=f(x) 的图象交于三个不同的点A(m,f(m)),B(n,f(n)),C(t,f(t))( 其中 m<n<t),则 n+ +2 的取值范围是.答案6.(苏教选2—2,一,1,5,变式 )经过点 (2,0)且与曲线 y= 相切的直线方程为.答案 x+y-2=07.(2017江苏苏州暑期调研 ,5)曲线 y=e x在 x=0 处的切线方程是.答案 y=x+18.(2017江苏海头高级中学质检,10)已知点 P(1,m)是函数 y=ax+图象上的点 ,直线 x+y=b 是该函数图象在点P 处的切线 ,则 a+b-m=.答案29.(2017 江苏南京高淳质检,10)设 P 是函数 y= (x+1) 图象上异于原点的动点,且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围是.10.(2017 江苏苏州期中 ,4)曲线 y=x-cos x 在点处的切线方程为.答案2x-y- =011.(2016 江苏扬州中学期中 ,11)若 x 轴是曲线 f(x)=ln x-kx+3 的一条切线 ,则 k=.答案e212.(苏教选 2—2,一 ,2,4,变式 )点 P 是曲线 y=e x上任意一点 ,求点 P 到直线 y=x 的最小距离 .解析根据题意设平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=e x相切于点 (x 0,y0),该切点即为曲线y=e x上与直线 y=x 距离最近的点 ,如图 .则曲线y=e x在点 (x0 ,y0)处的切线斜率为 1.∵y'=(e x)'=e x,∴=1,得 x0=0,∴y0=1,即P(0,1).利用点到直线的距离公式得点P(0,1) 到直线 y=x 的距离为.考点二导数的运算13.(苏教选 2—2,一 ,2,8,变式 )设 y=-2e x sin x,则 y'=.答案 -2e x (sin x+cos x)14.(苏教选 2— 2,一,2,5,变式 )设曲线 y=-在点 (3,2)处的切线与直线ax+y+1=0 垂直 , 则 a=.答案 -215.(2016 江苏阶段测试 ,10)若函数 f(x)=x3-f '(-1)x 2+x, 则 [f '(0)+f '(1)]f'(2)=.答案 91B 组2016— 2018 年模拟·提升题组(满分 :15 分时间 :10 分钟 )填空题 (每小题 5 分,共 15 分)x 的图象与圆 M:(x-3) 2+y2 =r2的公共点 ,且它们在1.(2017 江苏南京、盐城一模 ,13) 在平面直角坐标系xOy 中,已知点 P 为函数 y=2ln点 P 处有公切线 ,若二次函数 y=f(x) 的图象经过点O,P,M, 则 y=f(x) 的最大值为.答案2.(2017 南京、盐城第二次模拟考试,14)已知函数f(x)= ln x+(e-a)x-b, 其中 e 为自然对数的底数.若不等式f(x) ≤0 恒成立 ,则的最小值为.答案-3.(2016 江苏无锡期末 ,12)曲线 y=x- (x>0) 上一点 P(x0,y0 )处的切线分别与x 轴,y 轴交于点 A 、 B,O 是坐标原点 , 若△OAB 的面积为,则 x 0=.C 组2016 —2018 年模拟·方法题组方法 1求函数的导数的方法1.求下列函数的导数:(1)y=x 2sin x;(2)y=-;(3)y=.解析(1)y'=(x 2)'sin x+x 2(sin x)'=2xsin x+x 2cos x.- ---(2)y'==.--( 3)y'=-= ------=.方法 2利用导函数求曲线的切线方程2.已知函数 f(x)=,g(x)=aln x,a∈R.若曲线 y=f(x) 与曲线 y=g(x) 相交 ,且在交点处有相同的切线,求该切线方程 .解析 f '(x)=,g'(x)=(x>0),设两曲线交点的横坐标为x, 则由已知得解得 a= ,x=e2 ,∴两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率 k=f'(e2)=,∴切线的方程为 y-e=(x-e2),即 x-2ey+e2=0.D 组2016—2018 年模拟·突破题组(2016 江苏扬州中学质检 ,19)对于函数 f(x),g(x), 如果它们的图象有公共点P,且在点 P 处的切线相同 ,则称函数 f(x) 和 g(x) 在点 P 处相切 ,称点 P 为这两个函数的切点 .设函数 f(x)=ax 2-bx(a ≠0),g(x)=ln x.(1)当 a=-1,b=0 时 , 判断函数 f(x) 和 g(x) 是否相切 ,并说明理由 ;(2)已知 a=b,a>0,且函数 f(x) 和 g(x) 相切 ,求切点 P 的坐标 .解析(1)当 a=-1,b=0 时, 函数 f(x) 和 g(x)不相切 .理由如下 :由条件知f(x)=-x 2,由 g(x)=ln x,得 x>0,因为 f '(x)=-2x,g'(x)= , 所以当 x>0 时,f '(x)=-2x<0,g'(x)= >0,所以对于任意的x>0,f '(x) ≠g'(x).故当 a=-1,b=0 时 ,函数 f(x) 和 g(x) 不相切 .(2)若 a=b,则 f '(x)=2ax-a, 由题意得 g'(x)=,设切点坐标为 (s,t),其中 s>0,由题意 ,得 as 2-as=ln s①,2as-a=②,由②得a=,代入①得-- =ln s(*). 因为 a=->0,且 s>0,所以 s> .--设函数 F(x)=- -ln x,x ∈,则 F'(x)= - -- .-令F'(x)=0, 解得 x=1 或 x= ( 舍).当 x 变化时 ,F'(x) 与 F(x) 的变化情况如下表所示:x1(1,+ ∞)F'(x)+0-F(x)↗极大值↘所以当 x=1 时 ,F(x)取到最大值F(1)=0, 且当x ∈∪(1,+∞)时,F(x)<0.因此 ,当且仅当 x=1 时 ,F(x)=0. 所以方程 (* )有且仅有一解s=1.于是 t=ln s=0,因此切点 P 的坐标为 (1,0).。

第9讲 导数定义及其几何意义【知识导图】知识点1 导数及导数运算 1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →000()()f x x f x x+∆−∆，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →000()()f x x f x x+∆−∆. (2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．基本初等函数的导数公式3.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．例题1.1 求下列函数的导数：(1)y ＝ln x ＋1x ；(2)f (x )＝sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4；(3)y ＝3x e x －2x ＋e. 答案 (1) y ′＝1x －1x 2，(2) f ′(x )＝－12cos x ，(3) y ′＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2解析 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (2)因为f (x )＝sin x 2⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝－12sin x ， 所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.例题1.2设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e4，则a ＝________.答案 1解析 由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x （x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.例题1.3 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________. 答案 －234解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x.令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94.∴f (1)＝1＋3×1×⎝⎛⎭⎫－94＋0＝－234.知识点2 导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．例题2.1 (1)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.(2)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.答案 (1) 3x －y ＝0，(2) 2x －y ＝0解析 (1)y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为3x －y ＝0.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，因为y ＝ln x ＋x ＋1，所以y ′＝1x＋1，所以切线的斜率为1x 0＋1＝2，解得x 0＝1.所以y 0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.例题2.2 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是_______，此时切线方程为_______.答案 (e ，1)， x －e y ＝0解析 设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m ).又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m(m ＋e).再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1.故点A 的坐标为(e ，1)，切线方程为x －e y ＝0.例题2.3 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题意可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 例题2.4 已知函数f (x )＝a e x (a >0)与g (x )＝2x 2－m (m >0)的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫4e 2，＋∞B.⎝⎛⎭⎫8e 2，＋∞C.⎝⎛⎭⎫0，4e 2D.⎝⎛⎭⎫0，8e 2 答案 D解析 设在第一象限的切点为A (x 0，y 0)，所以⎩⎨⎧a e x 0＝2x 20－m ，a e x 0＝4x 0，整理得⎩⎨⎧4x 0＝2x 20－m ，x 0>0，m >0，由m ＝2x 20－4x 0>0和x 0>0，解得x 0>2.由上可知a ＝4x 0e x 0，令h (x )＝4xe x ，x >2，则h ′(x )＝4（1－x ）e x.因为x >2，所以h ′(x )＝4（1－x ）e x<0，h (x )＝4xe x 在(2，＋∞)上单调递减， 所以0<h (x )<8e2，即a ∈⎝⎛⎭⎫0，8e 2.。

故 ， 单调递减，
单调递增.
综上，当 时 在 上单调递减;
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. .
(2)曲线 与曲线 存在唯一公切线，设该公切线与 分别切于点 ，显然 .
由于 ，
所以 ，
，
由于 ，故 ，且
因此 ，
此时 ，
设
问题等价于直线 与曲线 在 时有且只有一个公共点，
又 ，令 ，解得 ，
则 在 上单调递增， 上单调递减，
【答案】（Ⅰ） ，（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程 ： ，即 .
（Ⅱ）显然 ，
因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
即 ，
代入点 ，得 ，
即 ，
考查函数 ，当 时， ，当 时， ，
且 ，当 时， 单调递增，
注意到 ，故 存在唯一的实数根 ，此时 ，
故点 的坐标为 .
7、【2020年山东卷】已知函数 ．
（1）当 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
【答案】（1） （2）
【解析】（1） ， ， .
考点07导数的运算及几何意义
①了解导数的概念，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义；
②理解导数额概念，理解基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则，能利用导数公式和求导法则求简单的导数；
导数的运算与导数的几何意义重点体现在求函数的切线方程，在最近几年高考中经常考查，不仅体现在填空题中也体现在大题大题的第一问中。多数都是以送分题的形式出现。