第01讲 导数的计算与几何意义(解析版)

第1讲 导数的计算与几何意义1．若直线y kx b =+是曲线2y lnx =+的切线，也是曲线(1)y ln x =+的切线，则(b = ) A ．1B ．12C ．12ln -D ．122ln -【解析】解：设y kx b =+与2y lnx =+和(1)y ln x =+的切点分别为1(x ，1)kx b +、2(x ，； 由导数的几何意义可得12111k x x ==+，得121x x =+， 再由切点也在各自的曲线上，可得， 联立上述式子解得2k =，112x =，212x =-．代入112kx b lnx +=+，解得12b ln =-． 故选：C ．2．已知函数31()34f x x ax =-+，若x 轴为曲线的切线，则a 的值为( ) A ．12B ．12-C ．34-D ．14【解析】解：设切点为(,0)m ，则31304m am -+=，① 31()34f x x ax =-+的导数为2()33f x x a '=-， 由题意可得2330m a -=，② 由①②解得12m =，14a =．故选：D ．3．过函数321()3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A ．B ．3[0,)[,)24πππ C ． D ．【解析】解：由函数321()3f x x x =-，得2()2f x x x '=-，设函数321()3f x x x =-图象上任一点0(P x ，0)y ，且过该点的切线的倾斜角为(0)ααπ<，则，tan 1α∴-， 02πα∴<或．过函数321()3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，，)π．故选：B ．4．若函数2()1f x x =-与函数()1g x alnx =-的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是( ) A ．(0,)eB ．(0，]eC ．D ．(0，2]e【解析】解：()2f x x '=，()a g x x'=， 设与曲线2()1f x x =-相切的切点为(,)m n ， 与()1g x alnx =-相切的切点为(s ，)(0)t s >， 则有公共切线斜率为2a n tm s m s-==-， 又1t alns =-，21n m =-，可得2222n t m alns m ms -=-=-，2a m s=， 即有22m ms alns =-，即224a a alns s=-，可得2244a s s lns =-，0s >， 设22()44h s s s lns =-，0s >， ，可得0s <()0h s '>，()h s 递增，当s >时，()0h s '<，()h s 递减，可得s =处()h s 取得极大值，且为最大值2e ， 则02a e <， 故选：D ．5．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线相切，则22a b -的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．[1，)+∞【解析】解：函数的导数为11y x b'==+，1x b =-，切点为，代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，， 则，令g （a ）21a a=+，则g '（a ），则函数g （a ）为增函数，．故选：C ． 6．若曲线212y x e=与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则实数(a = ) A ．B ．12C ．1D ．2【解析】解：曲线212y x e =的导数为：x y e '=，在(,)P s t 处的斜率为：s k e=． 曲线y alnx =的导数为：ay x'=，在(,)P s t 处的斜率为：a k s =．曲线212y x e=与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线， 可得s a e s =，并且212t s e=，t alns =，即，解得12lns =，解得2s e =． 可得1a =． 故选：C ．7．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，，若曲线在1x =处的切线的斜率为34-，则f （1）(= )A ．0B ．1C ．38D ．15【解析】解：当0x >且1x ≠时，， 可得：1x >时，；10x >>时，． 令2()()g x x f x =，(0,)x ∈+∞．2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x ∴'=+'=+'．可得：1x >时，()0g x '>；10x >>时，()0g x '<． 可得：函数()g x 在1x =处取得极值，g ∴'（1）2f =（1）f +'（1）0=，f '（1）34=-，f ∴（1）133()248=-⨯-=，故选：C ．8．设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则20181201822018320182017log log log log x x x x +++⋯+的值为 1- ．【解析】解：求导函数，可得()(1)n f x n x '=+ 设过(1,1)的切线斜率k ，则k f ='（1）1n =+， 切线方程为1(1)(1)y n x -=+-． 令0y =，可得1n nx n =+． 12201812201712320182018x x x ∴⋯=⋯=． 20181201822018320182017201812201820181log log log log log ()log 12018x x x x x x x ∴+++⋯+=⋯==-． 故答案为：1-．9．设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令2nn x a n =，则122015a a a ++⋯+的值为 ．【解析】解：函数的导数()(1)n f x n x '=+， 则函数在(1,1)处的切线斜率k f ='（1）1n =+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-， 不妨设0y =，1n nx n =+， 则221111(1)1n n n x n a n n n n n n +====-++， 则1220151111112015112232015201620162016a a a ++⋯+=-+-+⋯+-=-=， 故答案为：．10．设函数23()()xx axf x a R e +=∈．若()f x 在0x =处取得极值，求曲线在点(1，f （1）)处的切线方程为3y x e = ．【解析】解：函数23()()xx ax f x a R e +=∈的导数为23(6)()xx a x af x e -+-+'=， 由条件知(0)0f '=得0a =， 则，则曲线在点(1，f （1）)处的切线方程为33(1)y x e e -=-，即3y x e=．故答案为：3y x e=．11．函数2()cos f x x =在点处的切线方程为 1024x y π+--= ． 【解析】解：函数2()cos f x x =的导数为， 可得在点处的切线斜率为2sin cos144ππ-=-，即有在点处的切线方程为1()24y x π-=--， 即为1024x y π+--=． 故答案为：1024x y π+--=． 12．若一直线与曲线y lnx =和曲线2(0)x ay a =>相切于同一点P ，则a 的值为 2e ． 【解析】解：曲线y lnx =的导数为：1y x'=， 曲线2(0)x ay a =>即21(0)y x a a =>的导数为：2y x a '=，由12x x a=，0x >得：x =即切点坐标应为：，1)2，代入y lnx =得：12= 解得：2a e =， 故答案为：2e。

导数的几何意义及导数的计算导数的几何意义（1）函数y=f （x ）在x0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点（x0 ，f （x0））处的切线的斜率。

(2)求曲线上某点处的切线的方程的一般步骤和方法：1.求函数值的增量00()()y f x x f x =+-；2.求y x ；3.令x 趋于0，求出y=f （x ）在0x 处的导数，即为切线的斜率；4.写出切线的点斜式方程。

注意：过点在曲线上与点在曲线外切线的求法。

（3）若曲线y=f （x ）在某点处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直，函数在某点可导是曲线上过该点存在切线的充分而不必要条件。

导数的计算(4).求函数的导数的流程图。

1.求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆2.求平均变化率xx y ∆=∆∆ 3.取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim (5).导函数定义：(6).常见函数的导数例1：若2)1()(-=x x f ，求)2('f 和((2))'f例2：已知函数x x f =)(，求)(x f 在2=x 处的切线。

例3：求曲线y =3，2）的切线方程.例4：已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x ≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。

例5.若直线y x b=-+为函数1yx=图象的切线,求b的值和切点坐标.总结切线问题：找切点求导数得斜率变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.变式2:求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程变式3:求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程变式4:已知直线1y x=-,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.小结：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x 0处的变化率'0()f x ，得到曲线在点(x 0,f(x 0))的切线的斜率。

（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即追踪练习题1.下列等式成立的是（ ）A.'(3)3=B.3'22()5X X =C.3'22()6x x -=- D.5'52()10x x = 2.由曲线在点（1，43）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19 B ．29 C ．13 D.23 3.cos y x =在6x π=处的切线的斜率为（ ）A.2B. 2-C.12-D. 124.若函数f （x ）的导数为'()sin f x x =-，则函数图像在点(4,(4))f 处的切线的倾斜角为（ ）A.90B.0C.锐角D.钝角5.求曲线1y x =4，-74）处的切线方程。

解析:因为v=s′=3t2+2t,所以此物体在t=3时的瞬时速度为 3×32+2×3= 33.故选D.
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2.曲线y=x3在原点处的切线( B ) (A)不存在 (B)有1条,其方程为y=0 (C)有1条,其方程为x=0 (D)有2条,其方程为x=0和y=0
11
3.函数 y= 1 在区间[1,2],[2,3],[3,4]的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则( A )
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5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2
14
6.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为
.
答案: 1 e
15
2
知识链条完善
网络构建
把散落的知识连起来
一、函数的平均变化率
1.概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的
x2 x1
x
平均 变
化率.
2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . 3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2] 上的 平均 速度.
高频考点突破
6
2.与导数几何意义有关的结论 (1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程. (2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线 斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线 斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0. (3) 已 知 曲 线 f(x) 的 切 线 斜 率 为 k, 则 切 点 (x0,f(x0)) 的 横 坐 标 x0 就 是 方 程 f′(x0)=k的解. (4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.

(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1， 当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53， 当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某 点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包 括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图 所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．

t1
t2
t
l2
三.典型例题
例2 归纳小结
h l0
(1)以直代曲：
大多数函数就一小段范围看，大致
l1
可以看作直线，某点附近的曲线可
以用过该点的切线近似代替；
o t3 t4 t0 t1 t2
t
l2
(2)函数的单调性与其导函数正负的关系 ；
(3)曲线的变化快慢及切线的斜率的内在联系 .
三.典型例题
变式：根据跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t) = -4.9t 2+6.5t+10图象，估计t=0.4，0.7，1.0 时，运动员的瞬时速度（精确到0.1）将数据填到表格中。
求导数的一般步骤：
(1)求△y=f(x0+ △x)-f(x0) (2)求 y
x y
(3) lim x0 x
y=f(x) y
B
△y
A △x o
M x
二.新知探究
(一)切线定义
y
当点 B 沿着曲线趋近于
点A，即 x 0时，割线AB
趋近于一个确定的位置，
这个确定位置的直线AT 称为点A处的切线。
A o
导数的几何意义
一.复习引入
导数知多少？
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或
,即
f
( x0
)
lim
x0
f (x0 Δx) f (x0 ) x
lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二.新知探究
y=f(x)
B1 B2 B3 B4

思考？
观察函数y=f(x)的图象，平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) 表示什么？
x
x
瞬时变化率
f '(x0)xlim0 yxxlim0
f (x0
x) f (x0) x
表示什么？
我们容易发现，平均变化率
y f (x0 x) f (x0)
x
x
表示割线P0P的斜率
如图，在曲线y=f(x）任取一点P（x,f(x))，如果当点P（x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时， 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的 。
数学上常用简单的对象刻画复杂的 对象。例如，用有理数3.1416近似 代替无理数π，这里，我们用曲线上 某点处的切线近似代替这一点附近 的曲线，这是微积分中重要的思想 方法——以直代曲。
例1.如图，是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 h ( t )＝一 4.9t2十4.8t十11的图象。根据图象，请描述、比较曲线 h(t )在t=t0 ,t1,t2，附近的变化情况．
解析：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切 线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个小刻 附近的变化情况。 （1）当t=t0时，曲线h(x)在t=t0处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)=0.这时，在t=t0附近 曲线比较平坦，几乎没有升降。 （2）当t=t1时，曲线h(x)在t=t1处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t1附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递 减。 （3）当t=t2时，曲线h(x)在t=t2处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t2附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递 减。 可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2 的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近 比在t=t2附近下降得缓慢。

导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数；;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e xx x x ln )(;)(''==；e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。

称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =，就是导函数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。

文科提重———导数的几何意义与导数的计算1．导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式f (x )＝log a x(a ＞0且a ≠1)f (2)导数的四则运算 ①[u (x )±v (x )]′＝ ②[u (x )v (x )]′＝)③⎣⎢⎡⎦⎥⎤u x v x ′＝例1.导数的计算（1）求下列函数的导数1.y=log 3x.2.y=5x； 3. y=(3x 3－4x)(2x ＋1) 4.y=x 7； 5.x x y =；； 7.y=x 2sinx 8. y=xcosx －sinx ；9.2cos 2sin xx x y -=10.14+=x e y11. 12. )62sin(π+=x y13. 已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则lim Δx →0f （x 0－Δx ）－f （x 0）Δx ＝( )A ．11B ．－11 C.111D ．－111（2）设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N ，则f 2018(x)＝（ ）A ．sinxB ．－sinxC ．cos xD ．－cosx（3）、已知函数f （x ）的导函数为f /（x ），且满足f （x ）=2xf'（1）+lnx ，则)1(/ef =（ ）A. B.e ﹣2 C.﹣1 D.e（4）、已知，则. （5）设，若，则________________.（6）若函数32)1(21)(2+--'=x x f x f ，则=-')1(f （ ） A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2（7）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 016)＝( )A ．1B ．2 C.12 016D.2 0172 016（8）已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，所以f(π4)的值为________．例2. 导数的几何意义及其切线的问题1.曲线在点处的切线方程是（ ） A. 或 B. C. 或 D.()ln 21y x =-()31f x x x =-+()11，210x y --=450x y +-=210x y --=20x y +-=450x y +-=20x y +-=2.曲线在点处的切线方程为 ( ) A ． B ． C ． D.3.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4. 函数的图像在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．5.曲线y ＝x ex －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．16.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．7.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8..若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则． 9．设曲线在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为,则的值为( )A ．B ．C ．D ．110.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设动点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为（ ）A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0πB ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛43,2ππ11.已知点P 在曲线y=上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是21xy x =-()1,120x y --=20x y +-=450x y +-=450x y --=()cos xf x e x =+0x =()()2g f x x x =+()y g x =()()1,1g 21y x =+()y f x =()()1,1f 214-412-y kx b =+ln 2y x =+ln(1)y x =+b =1*()n y xn N +=∈n x 12n x x x ⋅⋅⋅ 1n 11n +1nn +41x e +( )A ．[0,) B ． C ． D ．12. 曲线上的点到直线的最短距离是__________．13．已知函数在R 上满足，则曲线在点处的切线方程是( )A ．B ．C ．D ．14.已知是定义在上的单调函数，满足，则在处的切线方程为（）A. B. C. D. 15.过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条 16.过点与曲线相切的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.17.对任意的，总有，则的取值范围是（ ） A.B.C. D.4π[,)42ππ3(,]24ππ3[,)4ππ()ln 21y x =-280x y -+=()f x 2()2(2)88f x f x x x =--+-()y f x =(1,(1))f 21y x =-y x =32y x =-23y x =-+()f x R ()1xf f x e ⎡⎤-=⎣⎦()f x ()()0,0f 1y x =+1y x =-1y x =-+1y x =--()33f x x x =-0x >()lg 0f x a x x =--≤a ()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，(]1-∞，()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，。

第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念高频考点二：导数的运算高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）②求切线方程（过型）③已知切线方程（或斜率）求参数④导数与函数图象⑤共切点的公切线问题⑥不同切点的公切线问题⑦与切线有关的转化问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲导数的概念及运算（精练）1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. （2）平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 2、导数的概念（1）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝. （2）定义法求导数步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； ② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.4、基本初等函数的导数公式5若()f x '，()g x '存在，则有 （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ （3）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''⋅-⋅'= 6、复合函数求导复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x . 第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。

＋4＝0平行，求P点的坐标及切线方程．
上
页
导 数 及 其
【分析】 解答本题可先设切点坐标，再利用 切线斜率及切点在抛物线上列方程组求解．
下 页
应
用
规律方法总结 随堂即时巩固 课时活页训练
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【解】 设点 P(x0，y0)．由
第 一 章
y′＝li m Δx→ 0
Δy Δx
＝li m Δx→ 0
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课堂互动讲练
第 一
题型一 导数定义的应用
章
例1 设函数 f(x)在点 x0 处可导，试求下列各极限的值． 上
导 数
(1) lim Δx→0
fx0－Δx－fx0； Δx
及 其
(2)lim h→0
fx0＋h2－hfx0－h.
页
下 页
应
用
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第 一 章
解析：选 D.lim h→0
fa＋3h－fa－h 2h
＝lim h→0
fa＋3h－fa＋fa－fa－h 2h
上 页
导
数 及
＝lim h→0
f a＋33hh－fa·32＋f a－－hh－fa·12
其
下 页
应 用
＝32·f′(a)＋12f′(a)＝2f′(a)．
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第
一 章
【点评】 求曲线的切线要注意“过点P的切线”
与“P点处的切线”的差异：过点P的切线中，点
上
页
导 P不一定是切点，点P也不一定在曲线上；而在点

经济决策
弹性分析：通 过导数计算需 求弹性、供给 弹性等，分析 市场供需关系
动态分析：通 过导数计算动 态均衡、动态 优化等，分析 经济动态变化
经济增长模型： 通过导数建立 经济增长模型， 分析经济增长
规理论：导数在控制系统 中用于计算控制参数，实现 精确控制
优化设计：通过导数计算， 找到最优解，提高工程效率
导数的几何意义
导数与切线斜率的关系
导数是函数在某一点的切线斜率 导数等于函数在该点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的切线斜率的极限
导数与函数图像的变化趋势
导数是函数在某一点的斜率 导数的正负决定了函数图像的变化趋势 导数为正，函数图像上升 导数为负，函数图像下降 导数为零，函数图像在该点处可能存在拐点
导数与极值点的关系
导数是函数在某一点的斜率
导数为0的点可能是极值点
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极值点是函数在某一点处的最大 值或最小值
导数为正或负的点可能是极值点
导数与函数增减性的关系
导数是函数在某一点的切线斜 率
导数大于0，函数在该点递增
导数小于0，函数在该点递减
导数等于0，函数在该点可能存 在极值
导数的概念及其几何意义
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CONTENTS
1 单击添加目录项标题 2 导数的概念 3 导数的几何意义 4 导数的应用
单击此处添加章节标题
导数的概念
导数的定义
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的极限值 导数是函数在某一点的微分值
导数的应用

2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1：1．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C2．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B . 【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．举一反三：1．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=-∆，则0()f x '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义可得()()0000lim ()x f x f x f x x x∆→+-'=∆∆，即可得答案．【详解】 根据题意，()()0000lim()2x f x f x f x x x∆→∆+-'==-∆，故0()2f x '=-. 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题． 2．若()02f x '=，则()()000lim2h f x h f x h→+-=______．【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何定义即可计算.()()()()()000000011limlim 1222h h f x h f x f x h f x f x h h →→+-+-'===．故答案为：1.二．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。

导数的几何意义及导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在特定点的变化率。

导数的几何意义是描述函数曲线在其中一点的切线的斜率。

本文将详细介绍导数的几何意义以及导数的计算公式。

一、导数的几何意义在几何中，我们知道曲线上每一点的切线可以用斜率来描述。

而导数就是函数在其中一点的切线的斜率，它告诉我们函数在该点的变化情况。

导数的几何意义可以通过以下两个方面来理解：1.切线的斜率导数是切线的斜率，它表示函数在特定点上的变化速率。

如果导数是正数，那么函数在该点上是递增的；如果导数是负数，那么函数在该点上是递减的。

导数的绝对值越大，曲线在该点附近的变化速率越大；导数的绝对值越小，曲线在该点附近的变化速率越小。

2.切线的方向导数不仅告诉我们切线的斜率，还告诉我们切线的方向。

如果导数是正数，那么切线是向上倾斜的；如果导数是负数，那么切线是向下倾斜的。

导数等于零表示切线是水平的，也就是曲线上的极值点。

通过以上两个方面，我们可以通过导数来近似描述函数在任意点的行为，从而更好地理解函数的性质。

二、导数的计算公式导数的计算公式是一系列可以计算导数的规则。

下面是一些常见的导数计算公式：1.常数规则如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。

这是因为常数的导数为零，表示该常数没有变化。

2.幂规则如果f(x) = x^n，其中n是整数，那么f'(x) = nx^(n-1)。

这是指数函数的导数公式。

3.常见函数的导数公式- 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。

- 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。

- 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。

-如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。

- 如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。

4.和、差的导数规则如果f(x)和g(x)是可导函数，那么(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。

导数的几何意义与计算导数是微积分中的重要概念，它既有几何意义，也有计算方法。

在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率，而在计算上，导数代表了函数的变化率。

一、导数的几何意义：在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率。

具体而言，设函数f(x)在点x=a处可导。

则函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示了函数图像在点(x=a,f(a))处的切线的斜率。

这也可以理解为函数f(x)在点x=a处的瞬时变化率。

对于曲线上的任意一点，导数给出了曲线在该点处的瞬时变化情况。

以函数y=x^2为例，我们可以计算出其在点(1,1)处的导数。

首先，我们求得函数在该点的切线方程，即y-1=2(x-1)，然后求出斜率为2，表示函数在该点附近变化的速率。

在图像上，可以看到切线的斜率为正，说明函数在该点的右侧局部增加。

二、导数的计算：导数的计算方法有很多种，下面介绍两种常见的计算方法：导数定义和导数的基本公式。

1.导数定义：导数的定义是通过函数的极限来计算的。

设函数f(x)在点x=a处连续，则f(x)在点x=a处的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim(x->a) [f(x)-f(a)] / (x-a)也就是说，导数f'(a)是函数f(x)在x=a处的极限值。

以函数y=x^2为例，我们来计算其在点x=1处的导数。

根据导数定义，我们有：f'(1) = lim(x->1) [x^2-1] / (x-1)= lim(x->1) (x+1)=2所以函数y=x^2在点x=1处的导数为22.导数的基本公式：导数的基本公式可以通过一些公式和规则直接计算导数，而不需要通过极限的定义。

下面是几个常用的导数公式：(1)常数规则：若c是一个常数，则导数f(x)=c的结果为0。

(2)幂规则：若f(x)=x^n，其中n是一个非零常数，则导数f'(x)=n*x^(n-1)。

1 85
,
6 12
.
(2)因为切线平行于直线6x-y-2=0,
所以切线的斜率为6,即f'(x0)=6x0=6,得x0=1.
所以该点的坐标为(1,10).
(3)因为切线与直线x+12y-3=0垂直,
所以切线的斜率为12,即f'(x0)=6x0=12,得x0=2.
所以该点的坐标为(2,19).
反思解答此类题目,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由
切线与x轴正方向的夹角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与x轴平行或重
合.
2.“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的
直线是切线”的区别是什么?
剖析:在初中我们学习过圆的切线:当直线和圆有唯一公共点时,
我们称直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做
切点,圆是一种特殊的曲线.如果将圆的切线推广为一般曲线的切
点斜式方程求切线方程;解答第(2)小题,可把第(1)小题中求得的直
线方程与已知的曲线方程组成方程组,求方程组的解.
解:(1)将 x=2 代入曲线 C 的方程,得 y=4,
∴切点的坐标为(2,4).
y
Δx→0 x
∴y'|x=2= lim
=
1 (2 + Δx)3 + 4 - 1 × 23 - 4
需注意f'(x0)与f'(x)的意义不同,f'(x)为f(x)的导函数,而f'(x0)为f(x)在
x=x0处的导函数值.
区别
f'(x0)是具体的值,是数
值
f'(x)是 f(x)在某区间 I
f'(x) 上每一点都存在导数

导数的概念几何意义与运算一、导数的概念导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化速度的衡量工具。

对于一条曲线上的任意一点，其导数值表示了该点处的切线斜率。

导数的定义为：若函数f(x)在点x0处有定义，那么函数在该点的导数为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中 lim 表示极限，h 表示的是 x 的增加量。

导数的概念可以推广到函数的各种高阶导数，分别表示函数变化的速率、加速度、变化的变化率等。

二、导数的几何意义1.切线斜率：导数可以看作是函数曲线在其中一点处切线的斜率。

特定点处的切线斜率表示了函数在该点的变化速度。

2.函数的增减性：若函数在其中一区间内的导数恒大于0，则函数在该区间上是递增的；若导数恒小于0，则函数在该区间上是递减的。

导数的正负性能够直观地反映函数的增减趋势。

3.极值点：若函数在其中一点的导数为0，那么这个点称为函数的极值点。

导数为0相当于切线水平，函数在这一点上由增转为减或由减转为增。

三、导数的运算法则1.常数乘法：对于常数k，(k*f(x))'=k*f'(x)。

2.求和与差：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

3.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。

4.商法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^25.复合函数求导：对于复合函数y=f(g(x))，若g(x)在点x处可导，而f在g(x)处可导，则y也在点x处可导，且y'=f'(g(x))*g'(x)。

四、应用举例1.速度和加速度：对于一个物体的位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时间t的瞬时速度。

二次导数s''(t)则表示在时间t的瞬时加速度。

内也单调、连续且可导， 有
f
f (x)
( x)
在对应区间I
1.
x
( y)
证
任取
由y
x
f(
Ix
x)
, 给 x 一个增量 x，且
的单调性可知，y 0,
(x 0, x x Ix
于是有
y x
1 x
)
,
f (x) 连续，y 0 (x 0),
y
又知 (
即
y)
f
(
0， f ( x)
x) 1
( y)
也可简写为
(1u1 2u2 nun ) 1u1 2u2 nun
证明 （略）
15
定理3 设函数 y u(x)及y v(x) 都在点 x 处可导，则 f (x) u(x)v(x)也在 x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x)v( x) u( x)v( x) u( x)v( x)
( x) ( x ) (sin x) (ln π)
1 1 cos x. 2x
13
例2已知 y 2x3 5x2 3x 7，求 y.
解 y (2x3 5x2 3x 7) 2( x3 ) 5( x2 ) 3( x) (7) 2 3x2 5 2x 3 0 6x2 10x 3.
不连续,一定不可导.
4. 判断可导性
直接用定义;
连续 看左右导数是否存在且相等.
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§2-4 求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 设函数 u(x)及 v( x) 都在点x处可导，则 f ( x) u( x) v( x)也在x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x) v( x) 其中、 为常数.