第01讲 导数的计算与几何意义(解析版)

第1讲 导数的计算与几何意义1．若直线y kx b =+是曲线2y lnx =+的切线，也是曲线(1)y ln x =+的切线，则(b = ) A ．1B ．12C ．12ln -D ．122ln -【解析】解：设y kx b =+与2y lnx =+和(1)y ln x =+的切点分别为1(x ，1)kx b +、2(x ，； 由导数的几何意义可得12111k x x ==+，得121x x =+， 再由切点也在各自的曲线上，可得， 联立上述式子解得2k =，112x =，212x =-．代入112kx b lnx +=+，解得12b ln =-． 故选：C ．2．已知函数31()34f x x ax =-+，若x 轴为曲线的切线，则a 的值为( ) A ．12B ．12-C ．34-D ．14【解析】解：设切点为(,0)m ，则31304m am -+=，① 31()34f x x ax =-+的导数为2()33f x x a '=-， 由题意可得2330m a -=，② 由①②解得12m =，14a =．故选：D ．3．过函数321()3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A ．B ．3[0,)[,)24πππ C ． D ．【解析】解：由函数321()3f x x x =-，得2()2f x x x '=-，设函数321()3f x x x =-图象上任一点0(P x ，0)y ，且过该点的切线的倾斜角为(0)ααπ<，则，tan 1α∴-， 02πα∴<或．过函数321()3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，，)π．故选：B ．4．若函数2()1f x x =-与函数()1g x alnx =-的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是( ) A ．(0,)eB ．(0，]eC ．D ．(0，2]e【解析】解：()2f x x '=，()a g x x'=， 设与曲线2()1f x x =-相切的切点为(,)m n ， 与()1g x alnx =-相切的切点为(s ，)(0)t s >， 则有公共切线斜率为2a n tm s m s-==-， 又1t alns =-，21n m =-，可得2222n t m alns m ms -=-=-，2a m s=， 即有22m ms alns =-，即224a a alns s=-，可得2244a s s lns =-，0s >， 设22()44h s s s lns =-，0s >， ，可得0s <()0h s '>，()h s 递增，当s >时，()0h s '<，()h s 递减，可得s =处()h s 取得极大值，且为最大值2e ， 则02a e <， 故选：D ．5．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线相切，则22a b -的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．[1，)+∞【解析】解：函数的导数为11y x b'==+，1x b =-，切点为，代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，， 则，令g （a ）21a a=+，则g '（a ），则函数g （a ）为增函数，．故选：C ． 6．若曲线212y x e=与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则实数(a = ) A ．B ．12C ．1D ．2【解析】解：曲线212y x e =的导数为：x y e '=，在(,)P s t 处的斜率为：s k e=． 曲线y alnx =的导数为：ay x'=，在(,)P s t 处的斜率为：a k s =．曲线212y x e=与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线， 可得s a e s =，并且212t s e=，t alns =，即，解得12lns =，解得2s e =． 可得1a =． 故选：C ．7．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，，若曲线在1x =处的切线的斜率为34-，则f （1）(= )A ．0B ．1C ．38D ．15【解析】解：当0x >且1x ≠时，， 可得：1x >时，；10x >>时，． 令2()()g x x f x =，(0,)x ∈+∞．2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x ∴'=+'=+'．可得：1x >时，()0g x '>；10x >>时，()0g x '<． 可得：函数()g x 在1x =处取得极值，g ∴'（1）2f =（1）f +'（1）0=，f '（1）34=-，f ∴（1）133()248=-⨯-=，故选：C ．8．设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则20181201822018320182017log log log log x x x x +++⋯+的值为 1- ．【解析】解：求导函数，可得()(1)n f x n x '=+ 设过(1,1)的切线斜率k ，则k f ='（1）1n =+， 切线方程为1(1)(1)y n x -=+-． 令0y =，可得1n nx n =+． 12201812201712320182018x x x ∴⋯=⋯=． 20181201822018320182017201812201820181log log log log log ()log 12018x x x x x x x ∴+++⋯+=⋯==-． 故答案为：1-．9．设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令2nn x a n =，则122015a a a ++⋯+的值为 ．【解析】解：函数的导数()(1)n f x n x '=+， 则函数在(1,1)处的切线斜率k f ='（1）1n =+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-， 不妨设0y =，1n nx n =+， 则221111(1)1n n n x n a n n n n n n +====-++， 则1220151111112015112232015201620162016a a a ++⋯+=-+-+⋯+-=-=， 故答案为：．10．设函数23()()xx axf x a R e +=∈．若()f x 在0x =处取得极值，求曲线在点(1，f （1）)处的切线方程为3y x e = ．【解析】解：函数23()()xx ax f x a R e +=∈的导数为23(6)()xx a x af x e -+-+'=， 由条件知(0)0f '=得0a =， 则，则曲线在点(1，f （1）)处的切线方程为33(1)y x e e -=-，即3y x e=．故答案为：3y x e=．11．函数2()cos f x x =在点处的切线方程为 1024x y π+--= ． 【解析】解：函数2()cos f x x =的导数为， 可得在点处的切线斜率为2sin cos144ππ-=-，即有在点处的切线方程为1()24y x π-=--， 即为1024x y π+--=． 故答案为：1024x y π+--=． 12．若一直线与曲线y lnx =和曲线2(0)x ay a =>相切于同一点P ，则a 的值为 2e ． 【解析】解：曲线y lnx =的导数为：1y x'=， 曲线2(0)x ay a =>即21(0)y x a a =>的导数为：2y x a '=，由12x x a=，0x >得：x =即切点坐标应为：，1)2，代入y lnx =得：12= 解得：2a e =， 故答案为：2e。

导数的几何意义及导数的计算导数的几何意义（1）函数y=f （x ）在x0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点（x0 ，f （x0））处的切线的斜率。

(2)求曲线上某点处的切线的方程的一般步骤和方法：1.求函数值的增量00()()y f x x f x =+-；2.求y x ；3.令x 趋于0，求出y=f （x ）在0x 处的导数，即为切线的斜率；4.写出切线的点斜式方程。

注意：过点在曲线上与点在曲线外切线的求法。

（3）若曲线y=f （x ）在某点处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直，函数在某点可导是曲线上过该点存在切线的充分而不必要条件。

导数的计算(4).求函数的导数的流程图。

1.求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆2.求平均变化率xx y ∆=∆∆ 3.取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim (5).导函数定义：(6).常见函数的导数例1：若2)1()(-=x x f ，求)2('f 和((2))'f例2：已知函数x x f =)(，求)(x f 在2=x 处的切线。

例3：求曲线y =3，2）的切线方程.例4：已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x ≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。

例5.若直线y x b=-+为函数1yx=图象的切线,求b的值和切点坐标.总结切线问题：找切点求导数得斜率变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.变式2:求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程变式3:求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程变式4:已知直线1y x=-,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.小结：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x 0处的变化率'0()f x ，得到曲线在点(x 0,f(x 0))的切线的斜率。

（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即追踪练习题1.下列等式成立的是（ ）A.'(3)3=B.3'22()5X X =C.3'22()6x x -=- D.5'52()10x x = 2.由曲线在点（1，43）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19 B ．29 C ．13 D.23 3.cos y x =在6x π=处的切线的斜率为（ ）A.2B. 2-C.12-D. 124.若函数f （x ）的导数为'()sin f x x =-，则函数图像在点(4,(4))f 处的切线的倾斜角为（ ）A.90B.0C.锐角D.钝角5.求曲线1y x =4，-74）处的切线方程。

导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数；;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e xx x x ln )(;)(''==；e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。

称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =，就是导函数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。

文科提重———导数的几何意义与导数的计算1．导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式f (x )＝log a x(a ＞0且a ≠1)f (2)导数的四则运算 ①[u (x )±v (x )]′＝ ②[u (x )v (x )]′＝)③⎣⎢⎡⎦⎥⎤u x v x ′＝例1.导数的计算（1）求下列函数的导数1.y=log 3x.2.y=5x； 3. y=(3x 3－4x)(2x ＋1) 4.y=x 7； 5.x x y =；； 7.y=x 2sinx 8. y=xcosx －sinx ；9.2cos 2sin xx x y -=10.14+=x e y11. 12. )62sin(π+=x y13. 已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则lim Δx →0f （x 0－Δx ）－f （x 0）Δx ＝( )A ．11B ．－11 C.111D ．－111（2）设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N ，则f 2018(x)＝（ ）A ．sinxB ．－sinxC ．cos xD ．－cosx（3）、已知函数f （x ）的导函数为f /（x ），且满足f （x ）=2xf'（1）+lnx ，则)1(/ef =（ ）A. B.e ﹣2 C.﹣1 D.e（4）、已知，则. （5）设，若，则________________.（6）若函数32)1(21)(2+--'=x x f x f ，则=-')1(f （ ） A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2（7）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 016)＝( )A ．1B ．2 C.12 016D.2 0172 016（8）已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，所以f(π4)的值为________．例2. 导数的几何意义及其切线的问题1.曲线在点处的切线方程是（ ） A. 或 B. C. 或 D.()ln 21y x =-()31f x x x =-+()11，210x y --=450x y +-=210x y --=20x y +-=450x y +-=20x y +-=2.曲线在点处的切线方程为 ( ) A ． B ． C ． D.3.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4. 函数的图像在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．5.曲线y ＝x ex －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．16.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．7.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8..若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则． 9．设曲线在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为,则的值为( )A ．B ．C ．D ．110.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设动点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为（ ）A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0πB ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛43,2ππ11.已知点P 在曲线y=上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是21xy x =-()1,120x y --=20x y +-=450x y +-=450x y --=()cos xf x e x =+0x =()()2g f x x x =+()y g x =()()1,1g 21y x =+()y f x =()()1,1f 214-412-y kx b =+ln 2y x =+ln(1)y x =+b =1*()n y xn N +=∈n x 12n x x x ⋅⋅⋅ 1n 11n +1nn +41x e +( )A ．[0,) B ． C ． D ．12. 曲线上的点到直线的最短距离是__________．13．已知函数在R 上满足，则曲线在点处的切线方程是( )A ．B ．C ．D ．14.已知是定义在上的单调函数，满足，则在处的切线方程为（）A. B. C. D. 15.过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条 16.过点与曲线相切的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.17.对任意的，总有，则的取值范围是（ ） A.B.C. D.4π[,)42ππ3(,]24ππ3[,)4ππ()ln 21y x =-280x y -+=()f x 2()2(2)88f x f x x x =--+-()y f x =(1,(1))f 21y x =-y x =32y x =-23y x =-+()f x R ()1xf f x e ⎡⎤-=⎣⎦()f x ()()0,0f 1y x =+1y x =-1y x =-+1y x =--()33f x x x =-0x >()lg 0f x a x x =--≤a ()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，(]1-∞，()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，。

第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念高频考点二：导数的运算高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）②求切线方程（过型）③已知切线方程（或斜率）求参数④导数与函数图象⑤共切点的公切线问题⑥不同切点的公切线问题⑦与切线有关的转化问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲导数的概念及运算（精练）1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. （2）平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 2、导数的概念（1）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝. （2）定义法求导数步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； ② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.4、基本初等函数的导数公式5若()f x '，()g x '存在，则有 （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ （3）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''⋅-⋅'= 6、复合函数求导复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x . 第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。