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第九章导数及其应用命题探究(1)由 PO1 =2 知 O 1O=4PO1 =8.因为 A 1 B1 =AB=6,所以正四棱锥P-A 1 B1 C1D 1的体积V 锥 = ·A1·PO1=×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A 1 B1 C1 D1的体积V 柱 =AB 2·O1 O=62×8=288(m 3 ).所以仓库的容积V=V 锥 +V 柱 =24+288=312(m 3 ).(2)设 A 1 B1 =a(m),PO 1=h(m), 则 0<h<6,O 1 O=4h(m). 连结 O1 B1.因为在 Rt△PO1 B 1中 ,O1+P=P,所以+h2=36,即a2 =2(36-h 2).于是仓库的容积V=V 柱 +V 锥 =a2·4h+ a2·h= a2 h=(36h-h 3 ),0<h<6,从而 V'=(36-3h2 )=26(12-h 2).令 V'=0, 得 h=2或h=-2(舍 ).当0<h<2时,V'>0,V是单调增函数;当2<h<6 时,V'<0,V 是单调减函数 .故 h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此 ,当 PO1=2m 时 ,仓库的容积最大.§9.1导数的概念及几何意义、导数的运算考纲解读要求来五年高考统计来源学# 科 #网 Z#X#X#K]考点来源学+科 +网][ 来源 :Z*xx*]内容解读2013 2 01420152016常考题型预测热度源 :][ 来源学。
科。
网20171.导数的概念及几何 1.切线方程的有关问题B 11 题填空题★★★意义 2.导数几何意义的应用 5 分解答题2.导数的运算导数的运算B 填空题★★★解答题分析解读导数的几何意义和导数的四则运算是学习导数的基础,江苏高考偶有单独考查,但更多的是与导数解答题放在一起进行综合考查 .五年高考考点一导数的概念及几何意义1.(2017课标全国Ⅰ文 ,14,5 分)曲线 y=x 2+ 在点 (1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=02.(2017天津文改编 ,10,5 分 )已知 a∈R,设函数 f(x)=ax-ln x 的图象在点 (1, f(1)) 处的切线为 l, 则 l 在 y 轴上的截距为.答案13.(2016课标全国Ⅲ,16,5 分 )已知 f(x) 为偶函数 , 当 x≤0 时, f(x)=e -x-1-x, 则曲线 y=f(x) 在点 (1,2)处的切线方程是.答案y=2x4.(2015陕西 ,15,5 分)设曲线 y=e x在点 (0,1)处的切线与曲线 y=(x>0) 上点 P 处的切线垂直 ,则 P 的坐标为.答案(1,1)5.(2014江苏 ,11,5 分)在平面直角坐标系xOy 中,若曲线 y=ax2+(a,b 为常数 ) 过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线7x+2y+3=0 平行 ,则 a+b 的值是.答案-3教师用书专用 (6 — 9)6.(2013广东理 ,10,5 分 )若曲线 y=kx+ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于 x 轴 ,则 k=.答案-17.(2013重庆理 ,17,13 分 )设 f(x)=a(x-5) 2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线与 y 轴相交于点 (0,6).(1)确定 a的值 ;(2)求函数 f(x) 的单调区间与极值 .解析(1)因 f(x)=a(x-5) 2+6ln x,故 f '(x)=2a(x-5)+ .令 x=1, 得 f(1)=16a, f '(1)=6-8a, 所以曲线 y=f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1), 由点 (0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a= .(2)由 (1) 知, f(x)= (x-5) 2+6ln x(x>0), f '(x)=x-5+ =--.令f '(x)=0, 解得 x1=2,x 2=3.当0<x<2 或 x>3 时 , f '(x)>0, 故 f(x) 在 (0,2),(3,+ 上∞)为增函数 ; 当 2<x<3 时, f '(x)<0, 故 f(x) 在(2,3)上为减函数 .由此可知 f(x) 在 x=2 处取得极大值f(2)= +6ln 2,在 x=3 处取得极小值f(3)=2+6ln 3.8.(2015 北京 ,18,13 分) 已知函数 f(x)=ln-.(1)求曲线 y=f(x) 在点 (0, f(0)) 处的切线方程 ;(2)求证 : 当 x∈(0,1)时 , f(x)>2;(3)设实数 k 使得 f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.解析(1)因为 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以 f '(x)=+ - , f '(0)=2.又因为 f(0)=0, 所以曲线y=f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程为y=2x.(2)证明 : 令 g(x)=f(x)-2,则g'(x)=f '(x)-2(1+x 2 )= - .因为 g'(x)>0(0<x<1), 所以 g(x) 在区间 (0,1)上单调递增 .所以 g(x)>g(0)=0,x ∈(0,1),即当 x∈(0,1)时 , f(x)>2.(3)由 (2) 知,当 k ≤2 时 , f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.当 k>2 时 ,令 h(x)=f(x)-k,则 h'(x)=f '(x)-k(1+x2 )=- -. -所以当 0<x<-时 ,h'(x)<0, 因此 h(x) 在区间-上单调递减 .-时 ,h(x)<h(0)=0, 即 f(x)<k.当 0<x<所以当 k>2 时 , f(x)>k并非对 x∈(0,1)恒成立 .综上可知 ,k 的最大值为 2.9.(2013 北京理 ,18,13 分 )设 L 为曲线 C:y=在点 (1,0)处的切线 .(1)求 L 的方程 ;(2)证明 : 除切点 (1,0)之外 ,曲线 C 在直线 L 的下方 .解析 (1)设 f(x)=,则 f '(x)=-.所以 f '(1)=1. 所以 L 的方程为 y=x-1.(2)证明 : 令 g(x)=x-1-f(x), 则除切点之外 ,曲线 C 在直线 L 的下方等价于g(x)>0( ?x>0,x ≠1).g(x) 满足 g(1)=0, 且-.g'(x)=1-f '(x)=当0<x<1 时,x2-1<0,ln x<0,所以 g'(x)<0, 故 g(x) 单调递减 ;当x>1 时 ,x2-1>0,ln x>0,所以 g'(x)>0, 故 g(x)单调递增 .所以 ,g(x)>g(1)=0( ? x>0,x ≠1).所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方 .考点二导数的运算1.(2016 天津 ,10,5 分)已知函数 f(x)=(2x+1)e x, f '(x) 为 f(x) 的导函数 ,则 f '(0)的值为.答案32.(2014 福建 ,20,14 分) 已知函数 f(x)=e x-ax(a 为常数 )的图象与y 轴交于点A, 曲线 y=f(x) 在点 A 处的切线斜率为-1.(1)求 a 的值及函数f(x) 的极值 ;(2)证明 : 当 x>0 时,x2 <e x;2x(3)证明 : 对任意给定的正数c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+ ∞)时,恒有 x <ce .x x解析(1)由 f(x)=e -ax,得 f '(x)=e -a.又f '(0)=1-a=-1, 得 a=2.所以 f(x)=e x-2x,f '(x)=e x-2.令f '(x)=0, 得 x=ln 2.当x<ln 2 时, f '(x)<0,f(x) 单调递减 ;当x>ln 2 时, f '(x)>0,f(x) 单调递增 .所以当 x=ln 2 时,f(x) 取得极小值 ,且极小值为 f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x) 无极大值 .(2)证明 : 令 g(x)=e x-x 2,则 g'(x)=e x -2x.由(1)得 g'(x)=f(x) ≥f(ln 2)>0,故g(x) 在 R 上单调递增 ,又 g(0)=1>0,因此 ,当 x>0 时,g(x)>g(0)>0, 即 x 2<e x.x x2x(3)证法一 :①若 c≥1,则 e ≤ce . 又由 (2)知,当 x>0 时,x <e .2x所以当 x>0 时 ,x <ce .取x 0=0,当 x∈(x 0,+ ∞)时,恒有 x 2<ce x.②若 0<c<1,令 k= >1,要使不等式x2<ce x成立,只要e x>kx2成立.而要使 e x>kx 2成立 ,则只要 x>ln(kx 2),只要 x>2ln x+ln k 成立 .-令 h(x)=x-2ln x-ln k, 则 h'(x)=1- = ,所以当 x>2 时 ,h'(x)>0,h(x) 在 (2,+ ∞)内单调递增 .取x 0=16k>16, 所以 h(x) 在(x 0,+ ∞)内单调递增 ,又 h(x 0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,易知 k>ln k,k>ln 2,5k>0, 所以 h(x0)>0.即存在 x 0=,当 x ∈(x 0,+ ∞)时,恒有 x2<ce x.综上 ,对任意给定的正数c,总存在 x0,当 x∈(x0,+ ∞)时,恒有 x 2<ce x .证法二 : 对任意给定的正数c,取 x0= ,由(2)知, 当 x>0 时 ,e x >x2,所以 e x=· >,当 x>x 0时,e x>>= x2,因此 ,对任意给定的正数c,总存在 x0,当 x∈(x0,+ ∞)时,恒有 x 2<ce x .证法三 : 首先证明当x∈(0,+ ∞)时,恒有 x3<e x.证明如下 :令 h(x)= x 3-e x,则 h'(x)=x 2-e x.由(2)知, 当 x>0 时 ,x2 <e x,从而 h'(x)<0,h(x) 在 (0,+ ∞)内单调递减 ,所以 h(x)<h(0)=-1<0, 即 x 3<e x.取x 0= , 当 x>x 0时,有 x2< x 3<e x.2x 因此 ,对任意给定的正数c,总存在 x0,当 x∈(x0,+ ∞)时,恒有 x <ce .教师用书专用(3)3.(2013 福建理 ,17,13 分 )已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).(1)当 a=2 时 ,求曲线 y=f(x) 在点 A(1, f(1)) 处的切线方程 ;(2)求函数 f(x) 的极值 .解析函数 f(x) 的定义域为 (0,+ ∞ ),f '(x)=1- .(1)当 a=2 时 , f(x)=x-2ln x, f '(x)=1- (x>0),因而 f(1)=1, f '(1)=-1,所以曲线 y=f(x) 在点 A(1, f(1)) 处的切线方程为y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0.(2)由 f '(x)=1- = - ,x>0 知:①当 a≤0 时 , f '(x)>0, 函数 f(x) 为(0,+ ∞)上的增函数 ,函数 f(x) 无极值 ;②当 a>0 时 ,由 f '(x)=0, 解得 x=a.又当 x∈(0,a)时 , f '(x)<0; 当 x ∈(a,+ ∞)时, f '(x)>0,从而函数 f(x) 在 x=a 处取得极小值 ,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值 .综上 ,当 a≤0 时 ,函数 f(x) 无极值 ;当 a>0 时 ,函数 f(x) 在 x=a 处取得极小值a-aln a,无极大值 .三年模拟A 组2016—2018 年模拟·基础题组考点一导数的概念及几何意义1.(2018江苏常熟期中调研 )已知曲线 f(x)=ax 3+ln x 在 (1,f(1)) 处的切线的斜率为 2,则实数 a 的值是.答案2.(2018江苏东台安丰高级中学月考 )在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与函数 f(x)=2x2+a2(x>0) 和 g(x)=2x 3+a2(x>0) 的图象均相切 (其中 a 为常数 ),切点分别为 A(x 1 ,y1 )和 B(x 2,y2),则 x1+x2的值为.答案3.(2018江苏扬州中学月考 )若曲线 y=kx+ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于x 轴,则 k=.答案 -14.(2018江苏淮安宿迁高三第一学期期中)已知函数 f(x)=x 3 .设曲线 y=f(x) 在点 P(x1,f(x 1)) 处的切线与该曲线交于另一点 Q(x 2,f(x 2 )),记 f '(x) 为函数 f(x) 的导数 ,则的值为.答案5.(2018江苏常熟高三期中 )已知函数 f(x)=若直线 y=ax 与 y=f(x) 的图象交于三个不同的点A(m,f(m)),B(n,f(n)),C(t,f(t))( 其中 m<n<t),则 n+ +2 的取值范围是.答案6.(苏教选2—2,一,1,5,变式 )经过点 (2,0)且与曲线 y= 相切的直线方程为.答案 x+y-2=07.(2017江苏苏州暑期调研 ,5)曲线 y=e x在 x=0 处的切线方程是.答案 y=x+18.(2017江苏海头高级中学质检,10)已知点 P(1,m)是函数 y=ax+图象上的点 ,直线 x+y=b 是该函数图象在点P 处的切线 ,则 a+b-m=.答案29.(2017 江苏南京高淳质检,10)设 P 是函数 y= (x+1) 图象上异于原点的动点,且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围是.10.(2017 江苏苏州期中 ,4)曲线 y=x-cos x 在点处的切线方程为.答案2x-y- =011.(2016 江苏扬州中学期中 ,11)若 x 轴是曲线 f(x)=ln x-kx+3 的一条切线 ,则 k=.答案e212.(苏教选 2—2,一 ,2,4,变式 )点 P 是曲线 y=e x上任意一点 ,求点 P 到直线 y=x 的最小距离 .解析根据题意设平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=e x相切于点 (x 0,y0),该切点即为曲线y=e x上与直线 y=x 距离最近的点 ,如图 .则曲线y=e x在点 (x0 ,y0)处的切线斜率为 1.∵y'=(e x)'=e x,∴=1,得 x0=0,∴y0=1,即P(0,1).利用点到直线的距离公式得点P(0,1) 到直线 y=x 的距离为.考点二导数的运算13.(苏教选 2—2,一 ,2,8,变式 )设 y=-2e x sin x,则 y'=.答案 -2e x (sin x+cos x)14.(苏教选 2— 2,一,2,5,变式 )设曲线 y=-在点 (3,2)处的切线与直线ax+y+1=0 垂直 , 则 a=.答案 -215.(2016 江苏阶段测试 ,10)若函数 f(x)=x3-f '(-1)x 2+x, 则 [f '(0)+f '(1)]f'(2)=.答案 91B 组2016— 2018 年模拟·提升题组(满分 :15 分时间 :10 分钟 )填空题 (每小题 5 分,共 15 分)x 的图象与圆 M:(x-3) 2+y2 =r2的公共点 ,且它们在1.(2017 江苏南京、盐城一模 ,13) 在平面直角坐标系xOy 中,已知点 P 为函数 y=2ln点 P 处有公切线 ,若二次函数 y=f(x) 的图象经过点O,P,M, 则 y=f(x) 的最大值为.答案2.(2017 南京、盐城第二次模拟考试,14)已知函数f(x)= ln x+(e-a)x-b, 其中 e 为自然对数的底数.若不等式f(x) ≤0 恒成立 ,则的最小值为.答案-3.(2016 江苏无锡期末 ,12)曲线 y=x- (x>0) 上一点 P(x0,y0 )处的切线分别与x 轴,y 轴交于点 A 、 B,O 是坐标原点 , 若△OAB 的面积为,则 x 0=.C 组2016 —2018 年模拟·方法题组方法 1求函数的导数的方法1.求下列函数的导数:(1)y=x 2sin x;(2)y=-;(3)y=.解析(1)y'=(x 2)'sin x+x 2(sin x)'=2xsin x+x 2cos x.- ---(2)y'==.--( 3)y'=-= ------=.方法 2利用导函数求曲线的切线方程2.已知函数 f(x)=,g(x)=aln x,a∈R.若曲线 y=f(x) 与曲线 y=g(x) 相交 ,且在交点处有相同的切线,求该切线方程 .解析 f '(x)=,g'(x)=(x>0),设两曲线交点的横坐标为x, 则由已知得解得 a= ,x=e2 ,∴两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率 k=f'(e2)=,∴切线的方程为 y-e=(x-e2),即 x-2ey+e2=0.D 组2016—2018 年模拟·突破题组(2016 江苏扬州中学质检 ,19)对于函数 f(x),g(x), 如果它们的图象有公共点P,且在点 P 处的切线相同 ,则称函数 f(x) 和 g(x) 在点 P 处相切 ,称点 P 为这两个函数的切点 .设函数 f(x)=ax 2-bx(a ≠0),g(x)=ln x.(1)当 a=-1,b=0 时 , 判断函数 f(x) 和 g(x) 是否相切 ,并说明理由 ;(2)已知 a=b,a>0,且函数 f(x) 和 g(x) 相切 ,求切点 P 的坐标 .解析(1)当 a=-1,b=0 时, 函数 f(x) 和 g(x)不相切 .理由如下 :由条件知f(x)=-x 2,由 g(x)=ln x,得 x>0,因为 f '(x)=-2x,g'(x)= , 所以当 x>0 时,f '(x)=-2x<0,g'(x)= >0,所以对于任意的x>0,f '(x) ≠g'(x).故当 a=-1,b=0 时 ,函数 f(x) 和 g(x) 不相切 .(2)若 a=b,则 f '(x)=2ax-a, 由题意得 g'(x)=,设切点坐标为 (s,t),其中 s>0,由题意 ,得 as 2-as=ln s①,2as-a=②,由②得a=,代入①得-- =ln s(*). 因为 a=->0,且 s>0,所以 s> .--设函数 F(x)=- -ln x,x ∈,则 F'(x)= - -- .-令F'(x)=0, 解得 x=1 或 x= ( 舍).当 x 变化时 ,F'(x) 与 F(x) 的变化情况如下表所示:x1(1,+ ∞)F'(x)+0-F(x)↗极大值↘所以当 x=1 时 ,F(x)取到最大值F(1)=0, 且当x ∈∪(1,+∞)时,F(x)<0.因此 ,当且仅当 x=1 时 ,F(x)=0. 所以方程 (* )有且仅有一解s=1.于是 t=ln s=0,因此切点 P 的坐标为 (1,0).。
3.1.3 导数的几何意义学习目标核心素养1．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2．理解导函数的概念，会求简单函数的导函数．(重点)3．理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点) 1．通过学习导数的几何意义，培养学生数学抽象的素养.2．借助导数的几何意义解题，培养学生的数学运算素养.1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(1)(2)(3)(4)(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，则k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)．(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示]不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝()A．4 B．－4C．－2 D．2D[由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D．]2．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．45°[设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.]3．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．x＋y－3＝0[切线的斜率为k＝－1.∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]导数的几何意义A BA．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1(1)B(2)A[(1)由导数的几何意义，f′(x A)，f′(x B)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．(2)由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A ．]1．本例(2)中主要涉及了两点：①f ′(0)＝1，②f (0)＝b . 2．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．3．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．[跟进训练]1．(1)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12C ．－12D ．－1(2)如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )A ．－4B ．3C ．－2D ．1(1)A (2)D [(1)由题意可知，f ′(1)＝2. 又lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →a (1＋Δx )2－aΔx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a .故由2a ＝2得a ＝1.(2)直线l 的方程为x 4＋y4＝1，即x ＋y －4＝0.又由题意可知f (2)＝2，f ′(2)＝－1， ∴f (2)＋f ′(2)＝2－1＝1.]求切点坐标(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．[思路点拨] 先求出函数的导函数f ′(x )，再设切点(x 0，y 0)，由导数的几何意义知切点(x 0，y 0)处的切线的斜率为f ′(x 0)，然后根据题意列方程，解关于x 0的方程即可求出x 0，又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上，易得y 0.[解] 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94. (3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14.解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.[跟进训练]2．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?[解]设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx，∴y′|x＝x0＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(4x0＋2Δx)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).求曲线的切线方程1．如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？提示：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？提示：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．【例3】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．[思路点拨](1)求y′|x＝1―→求切点―→点斜式方程求切线(2)设切点(x 0，y 0)―→求y ′|x ＝x 0―→由y ′|x ＝x 0＝y 0－1x 0－1求(x 0，y 0)―→写切线方程[解] (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．y ′|x ＝1＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →(1＋Δx )3－1Δx＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3.∴k ＝y ′|x ＝1＝3.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)设切点为Q (x 0，y 0)，由(1)可知y ′|x ＝x 0＝3x 20，由题意可知k PQ ＝y ′|x ＝x 0，即y 0－1x 0－1＝3x 20，又y 0＝x 30，所以x 30－1x 0－1＝3x 20，即2x 20－x 0－1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12. ①当x 0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x －y －2＝0.②当x 0＝－12时，切点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－18，相应的切线方程为y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12，即3x －4y ＋1＝0.(变结论)本例第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8，从而求得公共点为P (1,1)或M (－2，－8)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．1．求曲线在某点处的切线方程的步骤2.求过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤(1)设切点(x0，y0)；(2)求f′(x0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；(3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，y0及f′(x0)；(4)写出切线方程．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．1．判断正误(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．()(2)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．()(3)f′(x0)(或y′|x＝x0)是函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．()(4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在B [由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.]3．曲线f (x )＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为________．x ＋2y ＋4＝0 [f ′(－2)＝lim Δx →f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →02－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →1－2＋Δx ＝－12，∴切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.]4．已知直线y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值． [解] 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝lim Δx →(x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ， ∴a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5，因此切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)，a 的值为12127或－5.。
第11课时定积分的概念1.在求由x=a、x=b(a<b)、y=f(x)(f(x)≥0)及y=0围成的曲边梯形的面积S时,在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个分点,分别过这些分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形.下列说法中正确的是().A.①B.②C.③D.④①n个小曲边梯形的面积和等于S;②n个小曲边梯形的面积和小于S;③n个小曲边梯形的面积和大于S;④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定.2.汽车以v=v(t)在[0,t]内作直线运动经过的路程为S,则下列叙述正确的是().A.将[0,t]等分成n份,若以每个小区间左端点的速度近似替代时,求得的s是S的不足估计值B.将[0,t]等分成n份,若以每个小区间右端点的速度近似替代时,求得的s是S的过剩估计值C.将[0,t]等分成n份,n越大,求出的s近似替代S的精确度越高D.将[0,t]等分成n份,当n很大时,求出的s就是S的准确值3.若∫a0x d x=1(a>0),则实数a的值为. 4.求定积分∫2-22d x的大小.探究1:求曲边梯形的面积【例1】求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x(x-1)围成的图形面积.【针对训练1】求由直线x=0,x=2,y=0和曲线y=2x-x2围成的图形面积.探究2:变速运动路程的计算【例2】有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,在时刻t(单位:h)的速度为v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该汽车在0≤t≤2这段时间内行驶的路程S(单位:km)是多少?【针对训练2】已知汽车做变速直线运动,在时刻t(单位:h)的速度为v(t)=-t2+2t(单位:km/h),求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少?探究3:利用定积分的几何意义求定积分【例3】利用定积分的几何意义求下列定积分.(1)∫3-3√9−x2d x;(2)∫3(2x+1)d x;(3)∫1-1(x3+3x)d x.【变式设问】将(1)(3)结合为∫3-3(x3+3x+√9−x2)d x,试求此定积分的值.【针对训练3】利用定积分的几何意义求下列各式的值.(1)∫1-1√4−x2dx; (2)∫5π2π21+sinx)dx.1.∫41x d x表示平面区域的面积,则该平面区域用阴影表示为().2.在求由函数y=1x 与直线x=1、x=2、y=0所围成的平面图形的面积时,把区间[1,2]等分成n 个小区间,则第i 个小区间为( ).A .[i -1n ,in ] B .[n+i -1n,n+i n] C .[i -1,i ]D .[i n ,i+1n]3.利用定积分的几何意义,则∫ 30√9−x 2x= .4.已知∫ b a f (x )d x=2,∫ b a g (x )d x=3.求(1)∫ b a [f (x )+g (x )]d x ;(2)∫ ba [2f (x )-3g (x )]d x.【案例】如图,已知直线l :y=x 及曲线C :y=x 2,C 上的点Q 1的横坐标为a 1(0<a 1<1).从C 上的点Q n (n ≥1)作直线平行于x 轴,交直线l 于点P n+1,再从点P n+1作直线平行于y 轴,交曲线C 于点Q n+1,且Q n (n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{a n }.问题1:请说明∑k=1n(a k -a k+1)a k +2的几何意义.问题2:请说明∫ 10x 2d x 的几何意义.问题3:试比较∑k=1n(a k -a k+1)a k +2与∫ 10x 2d x 的大小关系.基础达标(水平一)1.定积分∫ 31(-3)d x=( ).A.-6 B.6C.-3D.32.汽车以10 m/s 的速度行驶,在某处需要减速停车,设汽车以-2 m/s 2的加速度刹车,若把刹车时间5等分,则从开始刹车到停车,汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为( ).A.80 m B.60 m C.40 m D.30 m3.根据定积分的定义,则∫ 30x 2d x=( ).A.∑i=1n(i -1n )2·1n B.lim n →+∞∑i=1n(i -1n )2·1n C.lim n →+∞(3i n )2·3n D.lim n →+∞∑i=1n(3i n )2·3n4.下列等式不成立的是( ).A.∫ b a [mf (x )+ng (x )]d x=m ∫ b a f (x )d x+n ∫ b a g (x )d xB.∫ b a [f (x )+1]d x=∫ ba f (x )d x+b-a C.∫ ba f (x )g (x )d x=∫ ba f (x )d x ·∫ ba g (x )d x D.∫ 2π-2πsin x d x=∫ 0-2πsin x d x+∫ 2π0sin x d x 5.如图所示,曲线y=f (x )与直线x=a ,x=b ,y=0围成的阴影部分的面积S 为.6.若a=∫x π40dx,b =∫sin π40xdx,c =∫ π40tan x d x ,则三者之间的大小关系为 . 7.已知函数f (x )={x,x ∈[0,2),4−x,x ∈[2,3),52-x2,x ∈[3,5].求f (x )在区间[0,5]上的定积分.拓展提升(水平二)8.已知t>0,若∫ t0(2x-2)d x=8,则t=( ).A .1 B .-2 C .-2或4 D .49.下列命题不正确的是( ).A .若f (x )是连续的奇函数,则∫ a-a f (x )d x=0 B .若f (x )是连续的偶函数,则∫ a-a f (x )d x=2∫ a0f (x )d x C .若f (x )在[a ,b ]上连续且恒为正,则∫ ba f (x )d x>0D .若f (x )在[a ,b )上连续且∫ ba f (x )d x>0,则f (x )在[a ,b )上恒为正 10.如图所示,已知∫ b0f (x )d x=11,∫ b0g (x )d x=9,∫a0g(x)-f(x)]dx =5,则图中阴影部分的面积为 .11.直线x=0,x=2,y=0与曲线y=16-x 2围成一个曲边梯形.若将区间[0,2]等分成5份,试估计该图形的面积,并写出估计值的误差;要使该误差小于0.04,则至少要将区间分成多少等份?第12课时 微积分基本定理1.若F'(x )=x 2,则F (x )的解析式一定不正确的是( ).A .F (x )=13x 3B .F (x )=x 3C .F (x )=13x 3+1D .F (x )=13x 3+c (c 为常数) 2.∫ π2-π2(1+cos x )d x 等于( ).A.πB.2C.π-2D.π+23.若∫ t0x 2d x=9,则常数t 的值为 . 4.计算∫ π2-π2(x+cos x )d x 的值.探究1:求简单函数的定积分 【例1】计算下列定积分.(1)∫ 21(x-1)d x ;(2)∫ 21(2x -1x )d x ;(3)∫ 0-π(sin x+e x )d x. 【变式设问】若将例1(2)变为∫ 2-2(2x -1x )d x ,求此定积分的值. 【针对训练1】计算下列定积分. (1)∫ 211x d x ;(2)∫ 10x 3d x ;(3)∫ 1-1e x d x.探究2:求复杂函数的定积分 【例2】计算下列定积分.(1)∫211x +2x dx ;(2)∫si π20n 2x 2dx ;(3)∫30x 2-4|dx .【变式设问】将例2(2)变为∫ π20sin 2x d x ,如何求解? 【针对训练2】计算下列定积分.(1)∫ 20(4-2x )(4-x 2)d x ;(2)∫ 21x 2+2x -3x d x.探究3:求分段函数的定积分【例3】求函数f (x )={x 3,x ∈[0,1),√x,x ∈[1,2),2x ,x ∈[2,3]在区间[0,3]上的积分.【变式设问】在例3的条件下,求∫ 3-3f (|x|)d x 的值.【针对训练3】已知函数f (x )={sinx,0≤x <π2,1,π2≤x <2,x -1,2≤x ≤4,求∫ 40f (x )d x 的值.1.∫ π-π(sin x+cos x )d x 等于( ).A.0 B.-1 C.1D.22.设集合P={x|∫(3x0t 2-10t +6)dt =0,x >0},则集合P 的非空子集个数是( ).A .2B .3C .7D .83.已知f (x )=3x 2+2x+1,若∫ 1-1f (x )d x=2f (a )成立,则a= .4.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v (t )=7-3t+251+t (t 的单位:s ,v 的单位:m/s )行驶至停止.求在此期间汽车继续行驶的距离s (单位:m ).【案例】设f (a )=∫ 10|x 2-a 2|d x. 问题1:当a>1时,求f (a )的值. 问题2:当0≤a ≤1时,求f (a )的值. 问题3:当a ≥0时,求f (a )的最小值.基础达标(水平一)1.设f (x )=x 3+x ,则∫2-2f (x )d x 的值等于( ). A .0 B .8C .∫20f (x )d x D .2∫20f (x )d x2.∫ 10(e x +e -x )d x 等于( ).A.e +1e B.2e C.2e D.e -1e3.已知函数f (x )={x 2,-2≤x ≤0,x +1,0<x ≤2,则∫ 2-2f (x )d x 的值为( ).A.43B.4C.6D.2034.若a=∫ 20x 2d x ,b=∫ 20x 3d x ,c=∫ 20sin x d x ,则a ,b ,c 的大小关系是( ).A .a<c<bB .a<b<cC .c<b<aD .c<a<b5.设变力F (x )作用在质点M 上,使M 沿x 轴正向从x=1运动到x=10,已知F (x )=x 2+1的方向和x 轴正向相同,则变力F (x )对质点M 所做的功为 J (x 的单位:m ,力的单位:N ).6.已知函数f (x )满足f (x+2)=1f(x),且当0≤x<4时,f (x )=2x+∫ π60cos t d t ,则f (2017)= . 7.若f (x )是一次函数,且∫ 10f (x )d x=5,∫ 10[xf (x )]d x=176,求∫21f(x)xd x 的值.拓展提升(水平二)8.已知函数f (x )=x n +mx 的导函数f'(x )=2x+2,则∫ 31f (-x )d x=( ).A .0 B .3 C .-23 D .23 9.定义在R 上的可导函数y=f (x ),如果存在x 0∈[a ,b ],使得f (x 0)=∫f ba (x)dxb -a成立,那么称x 0为函数f (x )在区间[a ,b ]上的“平均值点”,则函数f (x )=x 3-3x 在区间[-2,2]上的“平均值点”的个数为( ).A .1 B .2C .3D .410.若函数f (x )在R 上可导,且f (x )=x 3+x 2f'(1),则∫ 20f (x )d x= . 11.已知f (x )={2x +1,x ∈[-2,2],1+x 2,x ∈(2,4],∫ 3kf (x )d x=403恒成立,求k 的值.第13课时 定积分的简单应用1.如图,阴影部分的面积为( ).A.∫ ba [f (x )-g (x )]d x B.∫ ca [g (x )-f (x )]d x+∫ bc [f (x )-g (x )]d x C.∫ ca [f (x )-g (x )]d x+∫ bc [g (x )-f (x )]d x D.∫ b a [g (x )-f (x )]d x2.汽车以v=(3t+2) m/s 做变速直线运动时,在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是( ).A.272 m B.132 m C.10 mD.3 m3.由直线x=π3,x=5π6,y=0及曲线y=sin x 所围成的封闭图形的面积为 . 4.计算曲线y=x 2-2x+3与直线y=x+3所围图形的面积.探究1:不分割型图形面积的求解【例1】求由曲线y=2x-x 2与曲线y=2x 2-4x 所围成图形的面积. 【变式设问】求由例1两曲线以及直线x=12,x=1所围成图形的面积. 【针对训练1】求由曲线y 2=2x ,直线y=x-4所围图形的面积.探究2:分割型图形面积的求解【例2】计算由直线y=x-4,曲线y=√2x 以及x 轴所围成图形的面积.【变式设问】将例2变为“计算由直线x=0,y=x-4,曲线y=√2x 所围成图形的面积”. 【针对训练2】试求由抛物线y=x 2+1与直线y=-x+7以及x 轴、y 轴所围成图形的面积.探究3:定积分在物理中的应用【例3】一质点在直线上A 点处从时刻t=0(s )开始以速度v (t )=t 2-4t+3(m/s )运动,求该质点从开始到t=4 s 时运动的路程.【变式设问】求该质点在时刻t=4 s 时的位置B 与初始位置A 的距离.【针对训练3】有一动点P 从原点出发沿x 轴运动,在时刻为t 时的速度为v (t )=8t-2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致).求:(1)t=6时,点P 离开原点后运动的路程和位移;(2)经过时间t 后又返回原点时的t 值.1.如图,函数y=-x 2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是( ).A.1B.43C.√3D.22.若曲线y=√x 与直线x=a ,y=0所围成封闭图形的面积为a 2,则正实数a 为( ).A .49B .59C .43D .533.一物体受到与它的运动方向相反的力F (x )=110e x +x 的作用,则它从x=0运动到x=1时,F (x )所做的功等于 .4.求由曲线y=sin x 与x 轴在区间[0,2π]上所围成的图形的面积S.【案例】设y=f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等的实根,且f'(x )=2x+2. 提问1:求y=f (x )的表达式.提问2:求y=f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积.提问3:若直线x=-t (0<t<1)把y=f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t 的值.基础达标(水平一)1.由曲线y=x 3与直线y=x 所围成图形的面积等于( ).A.∫ 1-1(x-x 3)d x B.2∫ 10(x-x 3)d xC.∫ 1-1(x 3-x )d xD.2∫ 0-1(x-x 3)d x 2.与定积分∫ 32π0|sin x|d x 相等的是( ).A .|∫sin 32π0xdx| B .∫ 32π0sin x d xC .∫ π0sin x d x-∫ 32ππsin x d x D .∫ π0sin x d x+∫ 32ππsin x d x 3.曲线y=sin x (0≤x ≤π)与直线y=12围成的封闭图形的面积是( ).A.√3B.2-√3C.2-π3D.√3-π34.已知曲线y=x2和曲线y=√x围成一个叶形图(如图中阴影部分),则其面积为().A.1B.12C.√22D.135.在力F(x)=3x2-2x+5(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与力F(x)相同的方向由x=5 m直线动到x=10 m处所做的功是.6.曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为.7.有一动点P,在时间t时的速度为v(t)=8t-2t2,求:(1)当t=5时,点P距出发点的位置;(2)当t=0到t=5时,点P经过的路程.拓展提升(水平二)8.若某产品一天内的产量(单位:百件)是时间t的函数,若已知产量的变化率为a=√6t,那么从3小时到6小时期间内的产量为().A.12B.3-32√2C.6+3√2D.6-3√29.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形区域内的A处与C处各有一个通信基站,其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影部分,该正方形区域内无其他信号来源且这两个基站工作正常,若在该正方形区域内随机选择一个地点,则该地点无信号的概率为().A.2e B.1-2eC.1eD.1-1e10.如图,一水渠的横截面为等腰梯形,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.11.如图所示,设点P在曲线y=x2上,从原点向A(2,4)移动,直线OP,曲线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记为S1,S2.(1)当S1=S2时,求点P的坐标;(2)当S1+S2有最小值时,求点P的坐标和S1+S2的最小值.。
