【创新设计】2015-2016学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2复数课时作业 新人教A版选修1-2

- 1 - 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2复数课时作业 新人教A版选修1-2

明目标、知重点 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．

1．复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R) (1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i； (2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i； (3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；

(4)除法：z1z2＝a1a2＋b1b2a22＋b22＋a2b1－a1b2a22＋b22i(z2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；

(1±i)2＝±2i；若ω＝－12±32i，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 2．共轭复数与复数的模 (1)若z＝a＋bi，则z＝a－bi，z＋z为实数，z－z为纯虚数(b≠0)． (2)复数z＝a＋bi的模，|z|＝a2＋b2， 且z·z＝|z|2＝a2＋b2. 3．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义

若复数z1、z2对应的向量OZ1→、OZ2→不共线，则复数z1＋z2是以OZ1→、OZ2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数． (2)复数减法的几何意义

复数z1－z2是连接向量OZ1→、OZ2→的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．

题型一 复数的四则运算 - 2 -

例1 (1)计算：－23＋i1＋23i＋21＋i2 012＋ 4－8i2－－4＋8i211－7i；

(2)已知z＝1＋i，求z2－3z＋6z＋1的模． 解 (1)原式＝i1＋23i1＋23i＋21＋i21 006＋ 4－8i＋8i－44－8i＋4－8i11－7i

＝i＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.

(2)z2－3z＋6z＋1＝1＋i2－31＋i＋62＋i＝3－i2＋i＝1－i，

∴z2－3z＋6z＋1的模为2. 反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．

跟踪训练1 (1)已知z1＋i＝2＋i，则复数z等于( ) A．－1＋3i B．1－3i C．3＋i D．3－i 答案 B

解析 方法一 ∵z1＋i＝2＋i， ∴z＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i， ∴z＝1－3i. 方法二 设z＝a＋bi(a，b∈R)， ∴z＝a－bi，

∴a－bi1＋i＝2＋i，∴ a＝1b＝－3，z＝1－3i. (2)i为虚数单位，则1＋i1－i2 011等于( ) A．－i B．－1 C．i D．1 答案 A - 3 -

解析 因为1＋i1－i＝1＋i21－i2＝i， 所以1＋i1－i2 011＝i2 011＝i4×502＋3＝i3＝－i，故选A. 题型二 复数的几何意义 例2 已知点集D＝{z||z＋1＋3i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值． 解 点集D的图象为以点C(－1，

－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|OP→|＝|z|.

由图知，当OP过圆心C(－1，－3)时，与圆交于点A、B，则|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝－12＋－32－1＝2－1＝1，即|z|min＝1； |z|的最大值是|OB|＝|OC|＋1＝2＋1＝3， 即|z|max＝3. 反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离．

跟踪训练2 已知复数z1，z2满足|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝10，求|z1＋z2|的值．

解 如图所示，设z1，z2对应点分别为A，B，以OA→，OB→为邻边作▱OACB，则OC→对应的复数为z1

＋z2.这里|OA→|＝3，|OB→|＝5，|BA→|＝10.

∴cos ∠AOB＝|OA→|2＋|OB→|2－|BA→|22|OA→||OB→|

＝32＋52－102×3×5＝45. ∴cos ∠OBC＝－45. 又|BC→|＝|OA→|＝3， - 4 -

∴|z1＋z2|＝|OC→| ＝|OB→|2＋|BC→|2－2|OB→||BC→|cos ∠OBC ＝58. 题型三 两个复数相等 例3 设复数z和它的共轭复数z满足4z＋2z＝33＋i，求复数z. 解 设z＝a＋bi(a，b∈R)． 因为4z＋2z＝33＋i， 所以2z＋(2z＋2z)＝33＋i. 2z＋2z＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a， 整体代入上式，得2z＋4a＝33＋i. 所以z＝33－4a2＋i2. 根据复数相等的充要条件，得

 a＝33－4a2，b＝12.解得 a＝32，

b＝12.

所以z＝32＋i2. 反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题． 跟踪训练3 关于x的方程x2＋(3＋2i)x＋3ai＝0有非零实根，求实数a的值及方程的实数根． 解 设方程的实数根为b(b≠0)， 代入方程x2＋(3＋2i)x＋3ai＝0， 化为b2＋3b＋(2b＋3a)i＝0.

所以 b2＋3b＝0，2b＋3a＝0. 已知b≠0，解得b＝－3，a＝2. 故实数a的值及方程的实数根分别为2和－3. - 5 -

1．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 B

2．已知复数z＝1＋2i1－i，则1＋z＋z2＋„＋z2 014为( ) A．1＋i B．1－i C．i D．1 答案 C 3．设复数z满足关系：z＋|z|＝2＋i，那么z等于( )

A．－34＋i B.34＋i C．－34－i D.34－i 答案 B 解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)， 由已知a＋bi＋a2＋b2＝2＋i

由复数相等可得 a＋a2＋b2＝2b＝1，∴ a＝34b＝1， 故z＝34＋i. 4．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为________．

答案 34 解析 z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i＝(2－m)＋(3m－1)i，所以2－m＝3m－1，即m＝34，且能使2－m＝3m－1>0，满足题意．

5．设复数z＝1＋i，且z2＋az＋bz2－z＋1＝1－i，求实数a，b的值． 解 因为z＝1＋i，所以z2＋az＋b＝(a＋2)i＋a＋b，z2－z＋1＝i，所以z2＋az＋bz2－z＋1＝a＋b＋a＋2i

i＝(a＋2)－(a＋b)i. - 6 -

又z2＋az＋bz2－z＋1＝1－i. 所以 a＋2＝1，－a＋b＝－1，解得 a＝－1，b＝2. [呈重点、现规律] 1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化； 2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现； 3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．

一、基础过关 1．复数1－2＋i＋11－2i的虚部是( )

A.15i B.15 C．－15i D．－15 答案 B 解析 1－2＋i＋11－2i＝－2－i5＋1＋2i5＝－15＋15i.故选B.

2．复数2＋i1－2i的共轭复数是( ) A．－35i B.35i C．－i D．i 答案 C 3．若(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为( ) A．1 B．0或2 C．2 D．0 答案 D

解析 由 m2－5m＋4>0m2－2m＝0，得m＝0. 4．设a，b∈R且b≠0，若复数(a＋bi)3是实数，则( ) A．b2＝3a2 B．a2＝3b2 C．b2＝9a2 D．a2＝9b2 - 7 -

答案 A 解析 若(a＋bi)3＝(a3－3ab2)＋(3a2b－b3)i是实数，则3a2b－b3＝0.由b≠0，得b2＝3a2.故选A.

5．设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为( ) A．2 B．－2 C．－12 D.12 答案 A 解析 设1＋ai2－i＝bi(b∈R且b≠0)，则1＋ai＝bi(2－i)＝b＋2bi， 所以b＝1，a＝2.故选A. 6．复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行

四边形ABCD，则|BD→|等于( ) A．5 B.13 C.15 D.17 答案 B

解析 设D点对应复数为z，∵AB→＝DC→， ∴1－i＝－z＋(4＋2i)，∴z＝3＋3i，

∴BD→对应的复数为2＋3i，∴|BD→|＝13. 7．已知a∈R，则z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？ 解 由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3， －(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1， ∴复数z的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z的对应点在第四象限．设z＝x＋yi(x、y∈R)，

则 x＝a2－2a＋4，y＝－a2－2a＋2消去a2－2a得：y＝－x＋2(x≥3)． ∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，方程为y＝－x＋2(x≥3)． 二、能力提升 8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 D 解析 (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．