《数系的扩充》教学设计

数系的扩充高中数学选修2—2教案第一部分：引言数系是数学的基础，它由整数、有理数和无理数组成。

这些数形成了数轴上的无穷多个点，构成了我们熟悉的数字系统。

然而，在高中数学选修2课程中，我们将继续探索数系的扩充，进一步拓展我们的数学视野。

第二部分：综述数系在开始学习数系的扩充之前，我们需要回顾一下已经学过的数系。

整数是由正整数、负整数和零组成，它们可以进行加、减和乘法运算。

有理数则包括整数和分数，可以进行除法运算。

无理数是不能表示为两个整数之比的数，例如π和√2。

第三部分：实数系的扩充实数系是数学中最基本的数系，它包括了整数、有理数和无理数。

然而，实数系仍然存在一些限制。

为了解决这些限制，数学家们提出了一些数系的扩充。

1. 复数复数是实数系的扩充，它由实数和虚数构成。

虚数定义为负数的平方根，记作i。

复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。

复数可以进行加、减、乘和除的运算。

2. 球面数系球面数系是通过在实数系上添加了无穷远点来扩充实数系的。

它用来描述三维空间中的点和向量，常用于几何学和物理学的研究中。

3. 四元数四元数是一种更为复杂的数系扩充，它由实数和虚数构成。

四元数可以表示为a+bi+cj+dk的形式，其中a、b、c和d为实数部分和虚数部分。

四元数可以进行加、减、乘和除的运算，被广泛应用于计算机图形学和机器人学领域。

第四部分：数系扩充的应用数系的扩充不仅仅是数学理论上的概念，它们在实际生活和科学研究中具有重要的应用价值。

1. 复数的应用复数在电路分析、信号处理和量子力学等领域中得到广泛应用。

例如，复数可以表示交流电路中的电压和电流，通过复数运算可以方便地计算电路的各种参数。

2. 球面数系的应用球面数系可以用来描述天体运动和地球的形状。

例如，使用球面数系可以计算天体的位置和速度，以及地球上各地的经纬度。

3. 四元数的应用四元数在计算机图形学和机器人学领域中起着重要作用。

例如，使用四元数可以进行三维物体旋转的运算，通过四元数插值可以实现平滑的物体动画效果。

课题：数系的扩充授课教师：吴晶教材：苏教版选修1-2第三章第一节【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结.教学手段：结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台.【教学程序】以问题为载体，以学生活动为主线.创设情境→建构数学→知识运用→归纳总结→巩固作业创设情境：用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路-------笛卡尔.名人名言引入，投影出为数系扩充作出贡献的一些数学家的照片和名字.让学生把自己所了解的一些数学家作简要介绍，教师适时总结：他们都是科学巨匠，他们都曾为人类文明的进步做出过巨大贡献，同时，他们也为数的概念的发展做出过巨大贡献.回忆学过的数的类型.建构数学：数的概念来源于生活，为了计数的需要产生了自然数；为了表示相反意义的量，有了负数；为了解决测量、分配中的等分问题，有了分数；为了度量（例如边长为1km 的正方形田地的对角线长度）的需要，产生了无理数.数的概念的发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学科学本身发展的需要.矛盾是事物发展的根本动力.看以下几个方程：1x 2x1201x 22=+===+x规定：（1）i 2=-1 虚数单位：i（2）实数可以与i 进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.找到了方程012=+x 的解.试一试：依据规定，写出实数3与i 进行四则运算后得到的数.设计意图：适当了解一些与数系扩充有关的数学伟人和数学史，激发学生学习兴趣，引入新课.设计意图：认识到数系扩充的必要性. 发展学生求知、求实、勇于探索的情感和态度，体会数学体系的系统性和严密性.复数),(i R ∈+=b a b a z ，复数集：C 实部：a 虚部： b 复数),(i R ∈+b a b a ⎩⎨⎧=≠=)0)(0()0(时是纯虚数虚数实数a b b .练习 用文氏图表示N 、Z 、Q 、R 、C 的关系N →Z →Q →R →C ,这就是近代数学在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而得到的数系的一般扩充过程.知识运用： 例1 写出复数6i,i 25,i ,πsin i ,0,i 322+-的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.例2 实数m 是什么值时，复数)1()1(-+-=m m m z i 是 (1) 实数? （2）虚数? （3）纯虚数? （4）6+2i? 解：(1) 当m-1=0即m=1时，复数z 是实数.(2) 当m-1≠0即m ≠1时，复数z 是虚数.(3) 当m （m-1）=0 且m-1≠0即m=0时，复数z 是纯虚数. (4) 如何解决，请同学们讨论后给出解决方案.两复数相等的充要条件),,,(.,i i R ∈⎩⎨⎧==⇔+=+d c b a d b c a d c b a .例3 已知)2()(y x y x -++i=)3()52(y x x ++-i .求实数y x ,的值. 解：根据两复数相等的充要条件，可得⎩⎨⎧+=--=+yx y x x y x 32522，解得⎩⎨⎧-==23y x .评述：把复数问题转化为实数问题. 试一试：仿照例3自编题目，并求解.复数相等的内涵：复数b a +i ),(R ∈b a 可用有序实数对),(b a 表示. 练习：1、说出下列复数中，哪些是实数，哪些是虚数.).,(i )(,π,i ),31(i ,i 72223R ∈+-+b a b a2、实数m 是什么值时，复数)1()1(2-++=m m m z i 是(1) 实数? （2）虚数? （3）纯虚数?3、已知)()(y x y x -++i=42-i.求实数y x ,的值.归纳总结： 1、数系的扩充 2、复数的基本概念 3、复数相等的充要条件挑选好一个确定的研究对象，锲而不舍，你可能永远达不到终点，但是一路上准可以发现一些有趣的东西------克莱因.设计意图：巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息． 设计意图：学生发现自己的方案与课本中的结论完全一致，自信心大增且记忆更牢固.设计意图：及时巩固概念，让学生体会到互动式学习的快乐，理解转化的思想在解题中的应用，并为复数的几何意义的理解打好基础.巩固作业:1.搜集与本节课有关的数学史知识，感受知识的发生、发展.2.完成习题3.1 1-4.【板书设计】数系的扩充）规定：（1）（2),,,(i i )0)(0()0(),,(i R C R ∈⎩⎨⎧==⇔+=+⎩⎨⎧=≠=∈+=d c b a db ca d cb a a b b ba b a b a z 时是纯虚数虚数实数复数；虚部：实部：复数集：复数3例.23,3252⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧+=--=+y x y x y x x y x 解得条件，可得要解：由两复数相等的充教学设计说明一 确定教学目标的主要依据(1)依据教学大纲和教材内容的特点，确定第一个教学目标； (2)数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，有利于发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识，由此确定第二个教学目标；(3)数系扩充的过程体现了数学发生发展的客观需求和背景，学生将在学习过程中认识数学的应用价值.重点：数系扩充的过程和方法，复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入. 二 教学的过程设计说明 1 情境引入激发学生学习兴趣，引入新课.指出“矛盾是事物发展的根本动力”，以此为契机，自然顺畅地展开研究.设计了从N 到R 的三次扩充历程的回顾，在面对求解方程012=+x 的问题时，为解决矛盾创造一个新数，自然成了学生的一种心理预期，是学生提出了解决问题的想法.2 新课推进从简单而又深刻的问题出发，到引出虚数单位、复数的有关概念，再到复数相等的充要条件，构成了一条稳妥、科学的理论构建的知识线.3 例题讲解及练习掌握基本解题方法，巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息.精心设计了环环相扣、步步深入、层层渐进的练习题，既巩固了知识，又构成了思维训练问题链.知识线与问题链巧妙交叉、搭配组合，使学生的认知水平、理解能力、思维品质、解决问题的操作能力、数学思想的树立与意志品质的优化，均得到长足的发展提高.4 课堂小结与作业 对前面研究的问题，进行总结、反思、交流，使学生体会数学解决问题的方法，深入体会复数扩充的思想和应用价值.三 板书设计说明合理布局，重点突出.将主要概念一一呈现，与课件交相辉映.本节课将数系扩充的知识与复数知识有机地结合起来，通过教学，让学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学科学中的科学价值、人文价值，开阔视野，寻求数学科学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，提高自身的文化素养和创新意识.。

数系的扩充和复数的概念教学设计1. 引言在数学的世界里，数系就像是一条漫长的河流，我们每个人都是这条河流上的小船。

今天，我们要聊的是这条河流的扩展，尤其是复数的概念。

让我们一起“扬帆起航”，探寻数系的奥秘吧！2. 数系的扩充2.1 从自然数到整数首先，我们来回顾一下，数系的起点是自然数，也就是大家熟悉的1、2、3、4……这就是我们平时用来计数的基本数字。

可是，当我们遇到像1、2这种情况时，自然数就显得有些“力不从心”了。

这时，整数登场啦！整数包括了自然数和它们的负数，比如1、0、1、2、3等等。

这样一来，我们的数系就更加全面了。

2.2 从整数到有理数接下来，我们来看看有理数。

有理数的概念其实不难理解，它就是可以表示成两个整数之比的数。

举个例子，1/2、3/4这些都是有理数。

有理数的出现，让我们不仅可以处理整数量，还可以处理分数。

它就像是为我们的数系加上了一层新色彩。

2.3 从有理数到无理数不过，有时候我们还会遇到一些数，它们不能用两个整数之比来表示，比如√2、π。

这些数叫做无理数。

无理数的出现，就像给我们的数系带来了些许“神秘感”，它们让我们感受到数学的无限与奇妙。

3. 复数的引入3.1 复数的由来现在，我们进入了今天的重头戏：复数。

复数的诞生，是为了应对一些我们无法用实数解决的问题。

比如，方程x² + 1 = 0就没有实数解。

于是，复数的“英雄”——虚数单位i登场啦！i的平方等于1，这个看似“疯狂”的设定，让我们能够解决更多数学难题。

3.2 复数的基本概念复数其实很简单，它由两个部分组成：实数部分和虚数部分。

比如，3 + 4i就是一个复数，它的实数部分是3，虚数部分是4i。

这样一来，我们就可以用复数处理更多复杂的数学问题了。

复数的引入，犹如为数学的“工具箱”增加了新工具，让它变得更加全面。

4. 教学设计建议4.1 形象化教学为了让学生们更好地理解复数，可以使用一些形象化的教学方法。

比如，使用图像将复数表示在平面上，直观地展示复数的实部和虚部。

数系的扩充与复数的概念》教案教案：数系的扩充与复数的概念一、教学目标：1.理解数系的扩充是为了解决方程$x^2=a$(a<0)而引入复数的概念；2.掌握复数的定义与基本运算；3.了解复数在平面直角坐标系中的表示方式；4.掌握解一元二次方程及其应用。

二、教学重难点：1.复数的定义与基本运算；2.复数在平面直角坐标系中的表示；3.解一元二次方程及其应用。

三、教学过程：Step 1: 引入教师在黑板上写下方程$x^2=-1$，并询问学生这个方程有没有实数解。

引导学生思考并让他们发表自己的观点。

Step 2: 数系的扩充1.教师讲解当a<0时，方程$x^2=a$没有实数解的情况。

为了解决这个问题，数学家们引入了复数的概念，即数系从实数扩充为复数。

2.教师简要介绍复数的历史背景和意义，以增加学生对复数概念的兴趣。

Step 3: 复数的定义与表示1. 教师引导学生理解复数的定义：复数表示为 a + bi，其中 a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。

2. 通过例子引导学生掌握复数的表示方式，如 2 + 3i、-5i、$\sqrt{2} + \sqrt{3}i$。

Step 4: 复数的基本运算1.教师简要介绍复数的基本运算法则：加法、减法、乘法和除法。

2.通过例子分别演示复数的加减乘除运算，并指导学生进行练习。

Step 5: 复数的图示表示1. 教师引导学生理解复数在平面直角坐标系中的表示方法。

将实部和虚部分别看作是复平面上的横坐标和纵坐标，复数 a + bi 对应复平面上的一个点。

2.通过例子和练习让学生熟悉复数在复平面上的图示表示。

Step 6: 一元二次方程的解及其应用1. 教师复习一下一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$，其中 a、b 和 c 都是实数，且 $a \neq 0$。

2.教师讲解如何用复数解一元二次方程，通过例题引导学生理解。

四、课堂练习与讨论五、作业布置1.练习册上的相关习题；2.解一些一元二次方程。

《数系的扩充和复数的概念》教学设计一、教学内容从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.二、教材分析本节课选自人民教育出版社《普通高中教科书数学必修第二册（A版）》第七章第一节第一课时《数系的扩充和复数的概念》.复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识．复数与平面向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础. 复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用.在数学中，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 从实数系向复数系扩充，同样要符合这样的规则．复数概念的引入，从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，发现数系扩充中体现出的“规则”；进而在“规则”的引导下，考虑为使方程有解，引入新数i，从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集．这一过程，通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.复数的概念是整个复数内容的基础.复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的提出，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi实质上是有序实数对(a,b). 通过对复数实质的揭示，为后续复数的几何意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备. 因此，复数的概念，对本章具有奠基性的作用.三、教学目标：1、知识与技能目标：（1）了解引入复数的必要性；了解数系扩充的一般“规则”（2）理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的意义.2、过程与方法目标：（1）通过数系的扩充历史，了解数系的扩充过程和引入复数的必要；（2）通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等充要条件的研究过程中提高学生类比思考与转化的能力。

数系的扩充教案教案标题：数系的扩充教案教案目标：1. 引导学生理解数系的概念及其扩充；2. 帮助学生掌握数系的扩充规则；3. 提高学生在数系扩充问题上的解决能力。

教学重点：1. 数系的概念；2. 数系的扩充规则；3. 数系扩充问题的解决方法。

教学难点：1. 数系的扩充规则的理解和应用；2. 数系扩充问题的解决方法的灵活运用。

教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教案课件；2. 学生准备：教材、练习册。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过提问的方式引导学生回顾数系的概念，并与学生讨论数系的扩充是什么意思。

Step 2：概念讲解（10分钟）教师通过教案课件或板书的形式，向学生介绍数系的扩充规则，包括自然数、整数、有理数、无理数和实数的扩充关系。

Step 3：例题演练（15分钟）教师给学生提供一些数系扩充问题的例题，要求学生根据扩充规则解决问题，并进行解题讲解和讨论。

Step 4：巩固练习（15分钟）学生独立完成教材或练习册上相关的练习题，教师在学生完成后进行答案讲解和订正。

Step 5：拓展应用（10分钟）教师提供一些拓展应用题，要求学生运用数系的扩充规则解决问题，并进行解题讲解和讨论。

Step 6：归纳总结（5分钟）教师与学生一起总结数系的扩充规则和解决问题的方法，并强调学生在实际生活中的应用价值。

Step 7：作业布置（5分钟）教师布置相关的作业，要求学生练习巩固所学内容，并预告下节课的主题。

教学延伸：教师可以引导学生进行数系扩充问题的探究，提供更复杂的问题，让学生运用所学知识解决。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解数系的概念及其扩充规则，并能够运用所学知识解决数系扩充问题。

同时，教师还可以根据学生的实际情况进行个别辅导，帮助他们更好地掌握数系的扩充知识。

高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生了解数系的扩充过程，理解实数和复数的概念。

2. 培养学生运用数系知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学美的感受，培养学生的创新意识。

二、教学内容1. 数系的扩充过程：有理数、实数、复数。

2. 实数和复数的概念及其性质。

3. 复数的几何意义。

三、教学重点与难点1. 教学重点：数系的扩充过程，实数和复数的概念及其性质。

2. 教学难点：复数的几何意义，复数方程的求解。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究数系的扩充过程。

2. 运用实例讲解法，让学生理解实数和复数的概念。

3. 利用数形结合法，揭示复数的几何意义。

五、教学过程1. 导入新课：通过复习实数的概念，引出数系的扩充过程。

2. 讲解数系的扩充过程：有理数、实数、复数。

3. 讲解实数和复数的概念：实数的定义、性质；复数的定义、性质。

4. 讲解复数的几何意义：复平面、复数的几何表示。

5. 巩固练习：解决一些与实数和复数有关的实际问题。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。

7. 布置作业：布置一些有关实数和复数的练习题，巩固所学知识。

六、教学拓展1. 介绍复数在工程、物理等领域的应用，如电路分析中的复数表示法。

2. 引导学生探究复数的运算规则，如复数的乘法、除法、乘方等。

七、案例分析1. 分析实际问题，如利用复数解决几何问题、信号处理问题等。

2. 引导学生运用复数知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

八、课堂互动1. 组织学生进行小组讨论，探讨复数的几何意义。

2. 开展课堂提问，检查学生对实数和复数概念的理解。

3. 引导学生进行互动交流，分享学习心得和解决问题的方法。

九、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。

2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。

3. 课后反馈：收集学生对课堂内容的反馈，了解学生的学习效果。

十、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否符合学生的实际需求。

《3.1数系的扩充与复数的概念》教学案教学目标1、经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求。

2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

教重难点：重点：复数的基本概念.难点：虚数单位i的引进及复数的概念。

教学过程：一、课题引入数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数1、思考：我们知道，对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac＜0时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？2、引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：(1)它的平方等于-1，即21i=-；(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立。