高中数学全套讲义 选修1-2 数系扩充难 学生版

目录目录 (1)考点一虚数单位i、复数 (2)考点二复数的代数表示法及其几何意义 (3)课后综合巩固练习 (4)考点一 虚数单位i 、复数1. i 是数学中的虚数单位，i 2=-1，所以i 是-1的平方根．我们把a+bi 的数叫做复数，把a=0且b ≠0的数叫做纯虚数，a ≠0，且b=0叫做实数．复数的模为 2.负数的运算1）复数的加法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M+N=（a+c ）+（b+d ）i ，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．2）复数的乘法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M •N=（ac-bd ）+（ad+bc ）i ，与多项式乘法类似，只不过要加上i ．形如a+bi （a ，b ∈R ）的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi 为实数；若b ≠0，则a+bi 为虚数；若a=0，b ≠0，则a+bi 为纯虚数． 2、复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c ，b=d （a ，b ，c ，d ∈R ）．3、共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b+d=0（a ，b ，c ，d ∈R ）．4、复数的模： →OZ的长度叫做复数z=a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|= ⎷ a 2+b 21．（2019•湖北模拟）若复数232019|34|134i z i i i i i-=++++⋯+++，则复数z 对应的点在第( )象限 A ．一B ．二C ．三D ．四2．（2018秋•泉州月考）若复数z 满足(1)3z i i -=+，则z 的实部等于( ) A ．3- B ．0C ．1D ．23．（2019春•龙凤区校级月考）若ABC ∆是锐角三角形，则复数⎷ a 2+b 2(cos sin )(sin cos )z B A i B A =-+-对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2018秋•兴庆区校级月考）若复数cos sin z i θθ=+且221z z +=，则2sin (θ= ) A ．12B ．14C ．34 D ．14-5．（2018春•内江期末）下面是关于复数1(z i i =+为虚数单位）的四个命题：①z 对应的点在第一象限；②||2z =；③2z 是纯虚数；④z z >．其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．（2018春•武清区期中）i 是虚数单位，2501i i i +++⋯+等于( ) A ．0B ．iC ．1i +D ．2i +考点二 复数的代数表示法及其几何意义1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z=a+bi →复平面内的点z （a ，b ）→平面向量oz ． 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： （1）|z|=|z-0|=a （a ＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； （2）|z-z 0|表示复数z 对应的点与复数z0对应的点之间的距离．7．（2019春•安庆期末）复数2(1)21z m i i m i =-+++-对应的点在第二象限，其中m 为实数，i 为虚数单位，则实数的取值范围( )A ．(,1)-∞-B ．(1,1)-C ．(1,2)-D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞8．（2019春•松江区期末）已知复数1cos 2()z x f x i =+，2cos )z x x i =++，x R ∈，在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为( )A ．14-B ．14 C ．12-D ．129．（2019春•河南期中）设复数z 的共轭复数是z ，且||1z =，又(1,0)A -与(0,1)B 为定点，则函数()|(1)()|f z z z i =+-取最大值时在复平面上以z ，A ，B 三点为顶点的图形是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形10．（2019•安徽二模）已知i 为虚数单位，在复平面内，复数22ii+的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．（2019•河南三模）已知z 的共轭复数是z ，且||12(z z i i =+-为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．（2019春•东湖区校级月考）设复数()a iz a R a i-=∈+在复平面内对应的点位于第一象限，则a 的取值范围是( ) A ．1a <- B ．0a <C ．0a >D ．1a >课后综合巩固练习13．（2019春•扬州期末）设a R ∈，若复数(2)(2)i a i -+在复平面内对应的点位于直线y x =-上，则a = ．14．（2019春•诸暨市校级期中）已知复数(,)z x yi x y R =+∈满足|1|z x -=，那么z 在复平面上对应的点(,)x y 的轨迹方程 ； ．15．（2019春•青浦区期末）若复数z 满足||2z =，则|3||3|z z ++-的取值范围是 ． 16．（2018春•南康区校级月考）已知m R ∈，复数2(2)(1)(12)z i m m i i =+---+（其中i 为虚数单位），若复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是17．（2018春•厦门期末）如图，在复平面内，向量OA 对应的复数12z i =+，OA 绕点O 逆时针旋转90︒后对应的复数为2z ，则12||z z += ．18．（2018春•朔州期末）若i 是虚数单位，复数z 满足121zi i =+-，则复数z 在复平面内对应点的坐标为 ．19．（2018春•沭阳县期中）已知复数1(3)z m m i =-+-，()m R ∈对应的点在x 轴上方，则m 的取值范围是 ．。