高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2

3.1.1 数系的扩充和复数的概念一、选择题1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( )A ．－2B.23 C ．－23 D ．22．方程1－z 4＝0在复数范围内的根共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－1或24．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠25．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0.A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题6．设x ，y ∈R ，且满足(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i ，则x ＋y ＝________.7．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，则实数m ＝________.8．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________．三、解答题9．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．——★参考答案★——1．[解析]复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2.[答案]D2．[解析]由已知条件可得z 4＝1，即z 2＝±1，故z 1＝1，z 2＝－1，z 3＝i ，z 4＝－i ，故方程有4个根．[答案]D3．[解析]∵复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.[答案]D4．[解析]若此复数是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，|a －1|－1≠0，得a ＝－1，所以当a ≠－1时，已知的复数不是纯虚数．[答案]C5．[解析]对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋y i 的实部和虚部，故①是假命题；对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.[答案]A6．[解析]因为x ，y ∈R ，所以利用两复数相等的条件有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－x －3，x －2y ＝y －19， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝5，所以x ＋y ＝1. [答案]17．[解析]因为log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0， 所以m ＝4.[答案]48．[解析]由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0.[答案]09．解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数． (2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．10．解：∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.。

3．1 数系的扩充和复数的概念3．1.1 数系的扩充和复数的相关概念1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．基础梳理1．复数的概念及代数表示(1)复数的定义：把集合C＝{a＋b i|a，b∈R|}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．(3)复数集全体复数所构成的集合叫做复数集．记作C＝{a＋b i|a，b∈R}．想一想：为了解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题？解析：设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i ·i ＝－1，那么方程x 2＋1＝0就有解x ＝i 了．2．两个复数相等的充要条件(1)在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R}中任取两个复数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，规定a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d ．(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．想一想：由3>2能否推出3＋i>2＋i ？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？解析：由3>2不能推出3＋i>2＋i ，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．3．复数的分类：(1)复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0），非纯虚数（a ≠0）. (2)集合表示：想一想：(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，当b ＝0时，z 是什么数？(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，当a ＝0且b ≠0时，z 是什么数？(1)解析：当b＝0时，z＝a为实数．(2)解析：当a＝0，b≠0时，z＝bi为纯虚数．自测自评1．复数a＋b i(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＋b i(a，b∈R)为纯虚数，则a＝0，b≠0.∴a＋b i(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的充分不必要条件．2．下列说法正确的是(A)A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．若a，b∈R且a＞b，则a i＞b iC．如果复数x＋y i是实数，则x＝0，y＝0D．复数a＋b i不是实数解析：由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.故选A.3．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(D)A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}C．R＝C∩I D．R∩I＝∅基础巩固1．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是(D)A．A∪B＝C B．∁U A＝BC．A∩∁U B＝∅D．B∪∁U B＝C2．以2i－5的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是(A) A．2－2i B．2＋iC．－5＋5i D.5＋5i解析：2i－5的虚部为2，5i＋2i2＝－2＋5i的实部为－2，所以新复数为2－2i.3．下列说法正确的是(A)A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．若a，b∈R且a＞b，则a i＞b iC．如果复数x＋y i是实数，则x＝0，y＝0D．复数a＋b i不是实数解析：由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.4．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0，∴m ＝0或1. 答案：0或1 能力提升5．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a (D )A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析：因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.6．已知集合M ＝{1，2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1，3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为(B )A ．4B ．－1C ．－1或4D ．－1或6解析：由M ∩N ＝{3}得3∈M ，故(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3，因此得⎩⎨⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得⎩⎨⎧m ＝4或m ＝－1，m ＝6或m ＝－1.所以m 的值为－1，故选B.7．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析：∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎨⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，∴x ＝－2. 答案：－28．复数z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θi ，且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，若z 是实数，则θ的值为________；若z 为纯虚数，则θ的值为________．解析：z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θi ＝－sin θ＋icos θ.当z 是实数时，cos θ＝0.∵θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴θ＝±π2；当z 为纯虚数时⎩⎨⎧－sin θ＝0cos θ≠0，又θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴θ＝0. 答案：±π20 9．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解析：由(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i 得⎩⎨⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得x ＝52，y ＝4. 由2x ＋ay －(4x －y ＋b )i ＝9－8i ，得⎩⎨⎧2x ＋ay ＝9，4x －y ＋b ＝8， 即⎩⎨⎧5＋4a ＝9，10－4＋b ＝8.解得a ＝1，b ＝2.10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 分别取什么值时，z 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析：(1)由题意得即⎩⎨⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，即⎩⎨⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，故当a ＝6时，z 为实数． (2)依题意有⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，所以⎩⎨⎧a ≠－1，a ≠±1且a ≠6， 所以a ≠±1且a ≠6.故当a ∈R 且a ≠±1，6时，z 为虚数．(3)依题意有⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0， 所以⎩⎨⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6.所以不存在实数a 使z 为纯虚数．。

3．1数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念内 容 标 准学 科 素 养1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程；2.理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.严格数学定义 适当转化化归 提升数学运算 [基础认识]知识点一复数的概念及代数表示 预习教材P 102－103，思考并完成以下问题为解决方程x 2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？提示：设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i ＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．知识梳理 (1)复数①定义：把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i.(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 知识点二两个复数相等的充要条件知识梳理在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .知识点三复数的分类知识梳理 (1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：思考：虚数为什么不能比较大小？提示：引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下：若i＞0，则2i＞i，两边同乘i，得2i2＞i2，即－2＞－1，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i＜0，则－2＜－1⇒－2i＞－i⇒－2i·i＜－i·i⇒2＜1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的．故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分．[自我检测]1．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝()A．－1 B．1C．±1 D．不存在解析：(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，所以a＝±1.答案：C2．已知2－a i＝b＋3i(a，b∈R)(i为虚数单位)，则a＋b＝()A．5 B．6C．1 D．－1解析：由题意得b＝2，a＝－3，所以a＋b＝－1.答案：D3．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________．解析：a2＞2a＋3，解得a＞3或a＜－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)授课提示：对应学生用书第50页探究一复数的概念[例1](1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3(2)若a∈R，i为虚数单位，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i为纯虚数”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件[解析](1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．(2)当a ＝1时，复数(a －1)(a ＋2)＋(a ＋3)i ＝4i 为纯虚数，当复数(a －1)(a ＋2)＋(a ＋3)i 为纯虚数时，a ＝1或a ＝－2，所以选C.[答案] (1)B (2)C方法技巧(1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实数，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪探究 1.写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：4,2－3i ，－12＋43i,5＋2i,6i.解析：4,2－3i ，－12＋43i,5＋2i,6i 的实部分别是4,2，－12，5,0；虚部分别是0，－3，43，2，6.其中4是实数；2－3i ，－12＋43i,5＋2i,6i 是虚数，其中6i 是纯虚数．探究二复数的分类[例2]当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数．[解析] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0即m ≠5且m ≠－3时，z 是虚数． (2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，即m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数．延伸探究1.本例中条件不变，当m 为何值时，z 为实数？解析：当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15＝0，即m ＝5时，z 是实数．2．本例中条件不变，若z ＞0，求m 的值.解析：因为z ＞0，所以z 为实数， 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＞0，m 2－2m －15＝0，解得m ＝5.方法技巧解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0； ③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.跟踪探究2.记I 为虚数集，设a ，b ∈R ，x ，y ∈I ，则下列类比所得的结论正确的是( ) A ．由a ·b ∈R ，类比得x ·y ∈IB ．由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，类比得(x ＋y )2＝x 2＋2xy ＋y 2C ．由a 2≥0，类比得x 2≥0D ．由a ＋b ＞0⇒a ＞－b ，类比得x ＋y ＞0⇒x ＞－y解析：A ：取x ＝y ＝i ，可知A 错误；B ：正确；C ：取x ＝i ，可知C 错误；D ：错误，虚数是不能比较大小的．答案：B 探究三复数相等[例3]已知集合P ＝{5，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，Q ＝{4i,5}，若P ∩Q ＝P ∪Q ，求实数m 的值．[解析]由题意知P ＝Q ，所以(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m＝2.方法技巧(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．跟踪探究3.(1)若(x ＋y )＋y i ＝(x ＋1)i ，求实数x ，y 的值； (2)已知a 2＋(m ＋2i)a ＋2＋m i ＝0(m ∈R )成立，求实数a 的值； (3)若关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．解析：(1)由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.(2)因为a ，m ∈R ，所以由a 2＋am ＋2＋(2a ＋m )i ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋am ＋2＝0，2a ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，m ＝－22或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，m ＝22，所以a ＝±2.(3)设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或－715.授课提示：对应学生用书第51页[课后小结](1)对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．(2)两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．[素养培优]忽略复数的概念比较大小致误易错案例：已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围． 易错分析：虚数不能比较大小，因此，若已知两个复数大小，则两复数必须是实数，忽略这一点很容易混淆概念致误．考查数学概念、数学运算等核心素养．自我纠正：因为x 2－1＋(y ＋1)i ＞2x ＋3＋(y 2－1)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，且x 2－1＞2x ＋3，解得y ＝－1且x ＜1－5或x ＞1＋5，即实数x ，y的取值范围是x ＜1－5或x ＞1＋5，y ＝－1.。

3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念[学习目标]1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．[知识链接]为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．[预习导引]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋b i的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .要点一 复数的概念例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． ①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．规律方法 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪演练1 已知下列命题： ①复数a ＋b i 不是实数； ②当z ∈C 时，z 2≥0；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数； ⑤若a 、b 、c 、d ∈C 时，有a ＋b i ＝c ＋d i ，则a ＝c 且b ＝d . 其中真命题的个数是________． 答案 0解析 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数．②是假命题，如当z ＝i 时，则z 2＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a ，b ∈R .⑤是假命题，只有当a 、b 、c 、d ∈R 时，结论才成立．要点二 复数的分类例2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2.规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪演练2 实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解 由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1. (2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.要点三 两个复数相等例3 (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x 、y 的值．(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. (2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为 3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.规律方法 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪演练3 已知x ，y 均是实数，且满足(x ＋y )＋(y －1)i ＝2x ＋3y ＋(2y ＋1)i ，求x 与y . 解 由复数相等的充要条件得x ＋y ＝2x ＋3y 且y －1＝2y ＋1，解得x ＝4，y ＝－2.1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B ．2，5 C ．±2，5 D ．±2，1答案 C解析 令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A ．±1 B ．±i C ．±2i D ．±2i答案 C3．下列命题正确的是( ) A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数 B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小 答案 D解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )， 当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在A 中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故A 错误； 在B 中，两个虚数不能比较大小，故B 错误； 在C 中，若x ＝－1，不成立，故C 错误；D 正确． 4．在下列几个命题中，正确命题的个数为( ) ①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R )是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个答案 B解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.一、基础达标1．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或1答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.2．(2013·青岛二中期中)设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为a ，b ∈R .“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A ．2－2i B ．－5＋5i C ．2＋i D ．5＋5i答案 A解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A.12 B ．2 C ．0 D ．1答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.5．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________. 答案 2 ±2解析 由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝n 2－3m －1－4＝n 2－m －6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝±2.6．(2013·上海)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0m 2－1≠0⇒m ＝－2.7．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2.二、能力提升8．若(x 3－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．－1或－2答案 A解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 3－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.解得x ＝1.9．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k 2π＋π4(k ∈Z )答案 B解析 由题意，得⎩⎨⎧sin 2θ－1＝02cos θ＋1≠0，解得⎩⎨⎧θ＝k π＋π4θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z .10．在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________． ①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根． 答案 1解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i ，故④错．11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，解得m ≠6且m ≠－3，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数． (3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ， 当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2. 当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4， ∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1. 三、探究与创新13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？解 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ② 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1。

-解得能第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课时过关·力提升基础巩固1已知C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C,则下面结论正确的是()A.A∪B=CB.UA=BC.A∩(U B)= D.B∪(UB)=C答案D2若z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则有()A.m=±1B.m=-1C.m=1D.m≠1解析∵z是纯虚数,∴-∴m=-1.故选B.答案B3以2i-的虚部为实部,以i-2的实部为虚部的复数是()A.2+iB.2-2iC.iD.-i解析2i-的虚部为2,i-2的实部为-2,故所求复数为2-2i.答案B4若a-2i=1+b i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则a2+b2=A.0B.21()2 2 2C.25D.5解析由复数相等的充要条件可知 a= 1,b=-2,所以 a 2+b 2= 1+ (-2) = 5.答案 D5 若 4-3a-a i=a 2+ 4ai,则实数 a= .- 解析由 得 a=-4.-答案-46 已知复数 z=log (m 2-3m-3)+ ilog(3-m)(m ∈R ).若 z 是纯虚数,则 m=.解析∵z 为纯虚数,- -∴- - -∴m=- 1.-答案-17 已知 z=(m 2-5m-6)+ (m 2-2m-3)i(m ∈R ),则当 m=时,z 为实数;当 m= 时,z 为纯虚数.解析当 z 为实数时,由 m 2-2m-3= 0,得 m= 3 或 m=- 1.- - 当 z 为纯虚数时,由 得 m= 6.--答案 3 或-168 若不等式 m 2-(m 2-3m )i< (m 2-4m+ 3)i+ 10 成立,求实数 m 的值.分析由于题目中两个复数能比较大小,故它们都是实数,由此列出关于 m 的方程组,求出 m 的值.- 或解由题意,得-即或故实数 m 的值为 3.9 定义运算 =ad-bc,如果(x+y)+ (x+ 3)i= ,求实数 x,y 的值.-解由定义运算=ad-bc,可得= (3x+ 2y)+y i.-2m 集 2 4 已知复数 z 1= sin θ+ icosθ,z 2=cos θ+ i sinθ.若 z 1=z 2,则 θ等于()2 2 2 2 2所以(x+y)+ (x+ 3)i= (3x+ 2y)+y i .由复数相等的充要条件得解得-能力提升1 已知集合 M= {1,2,(2-3m-1)+ (m 2-5m-6)i}, 合 P= {-1,3},M ∩P= {3},则实数 m 的值为( )A.-1C.6B.-1 或 4D.6 或-1解析∵M ∩P= {3},∴(m 2-3m-1)+ (m 2-5m-6)i= 3.∴- - - -∴m=- 1.故选 A.答案 A2 复数 z=a 2-b + (a+|a|)i(a,b ∈R )为实数的充要条件是( )A.|a|=|b|C.a> 0,且 a≠bB.a< 0,且 a=-bD.a≤0解析复数 z 为实数的充要条件是 a+|a|=0,故 a≤0. 答案 D3 在下列命题中,真命题的个数是()①若 x,y ∈C ,则 x+yi= 1+ i 的充要条件是 x=y= 1;②若 a,b ∈R ,且 a>b ,则 a+ i >b+i ; ③若 x 2+y 2= 0,则 x=y= 0.A.0B.1C.2D.3解析解答本题只需根据复数的有关概念判断即可.①由于 x,y ∈C ,则 x+yi 不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的前提条件,故①是假命题;②由于 i =-1,且 a>b ,所以 a+ i >b+ i 成立,故②是真命题;③当 x= 1,y= i 时,x 2+y 2= 0 也成立,故③是假命题.答案 B2A.kπ(k ∈Z )B.2kπ+ (k ∈Z )C.2kπ± (k ∈Z )D.2kπ+ (k ∈Z )3,解析由复数相等的充要条件可知∴cos θ=,sinθ= .∴θ= + 2kπ(k ∈Z ),故选 D.答案 D5 若 1+i 是关于 x 的实系数方程 x 2+bx+c= 0 的一个复数根,则()A.b= 2,c= 3B.b=-2,c= 3C.b=-2,c=-1D.b= 2,c=-1--解析由题意知 b 2-4c< 0,则该方程的复数根为,故--= 1+ i,解得 b=-2,c= 3.答案 B★ 6 已知复数 z 1=m+ (4+m )i(m ∈R ),z 2= 2cos θ+ (λ+ 3cos θ)i(λ∈R ),若 z 1=z 2,则 λ的取值范围是.解析∵z 1=z 2 ∴∴λ= 4-cos θ.又-1≤cos θ≤1,∴3≤4-cos θ≤5.∴λ∈[3,5].答案[3,5]7 是否存在实数 m ,使复数 z=(m 2-m-6)+-- i 为纯虚数?若存在,求出 m 的值;否则,请说明理由.分析先假设存在实数 m 使复数 z 为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的 问题进行求解. 解不存在.理由如下:假设存在实数 m 使 z 是纯虚数,①- -则--②由①,得 m=- 2 或 m= 3.当 m=- 2 时,②式左端无意义;当 m= 3 时,②式不成立,故不存在实数 m 使 z 是纯虚数.★8 已知关于 x 的方程 x 2-(1-i)x+m+ 2i= 0 有实根,求实数 m 的值,并解方程.40 分析本题考查复数相等和复系数一元二次方程的解.复系数一元二次方程有无实根不能用判别式Δ=b 2-4ac 进行判定,应由方程左右两边的实部与虚部分别相等转化为实数问题后再来判断.解设 x 0 为方程的实根,则有 -(1-i)x 0+m+ 2i= 0 成立,即 -x +m+ (x 0+ 2)i= 0.所以-解得--把 m=- 6 代入原方程,得 x 2-(1-i)x-6+ 2i= 0, 即 x 2-x-6+ (x+ 2)i= 0, 所以(x+ 2)(x-3)+ (x+ 2)i= 0, 即(x+ 2)(x-3+ i)= 0. 所以 x=-2 或 x= 3-i.故 m=- 6,且方程的解为 x=-2 或 x= 3-i.5。

第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5iD ．5＋5i解析 ∵2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2，∴新复数为2－2i.故选A ． 2．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( D ) A ．0B ．2C ．52D ．5解析 ∵2＋a i ＝b －i ，a ，b ∈R ，∴b ＝2，a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5.故选D ． 3．已知复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( D ) A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，故选D ．4．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( C ) A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.5．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( C ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 (a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≠0，a －b ＝0⇔a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0是该复数为纯虚数的充要条件，所以a ＝b 是该复数为纯虚数的必要不充分条件．6．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( B )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 二、填空题7．复数1－i 的虚部的平方是__1__. 解析 1－i 的虚部为－1，虚部的平方为1.8．已知复数z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为__±1__；若z 是虚数，则m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)__；若z 是纯虚数，则m 的值为__0__.解析 z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i ，若z 是实数，则m 2－1＝0，解得m ＝±1； 若z 是虚数，则m 2－1≠0，解得m ≠±1；若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m 2－1≠0，解得m ＝0.9．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为__0__.解析 由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a ＜16，解得a ＝0.三、解答题10．若方程x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 有实根，求实数m 的值，并求出此实根．解析 设实根为x 0，代入方程，并由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，消去m ，得x 0＝±1，所以m ＝±2.因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1； 当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0，m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数． (3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m ＋3≠0，m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．如果log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，求自然数m ，n 的值． 解析 ∵log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(m ＋n )<1，m 2－3m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n <2，m ＝0或m ＝3，∵m ，n 是自然数，∴m ＝0，n ＝1.由Ruize收集整理。

高中数学人教版选修2-2（理科）第三章数系的扩充与复数的引入 3.1数系的扩充和复数的概念（包括3.1.1数系的扩充和复数的概念，3.1.2复数的几何意义）同步练习（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）若复数满足方程,则（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高三上·唐山期末) 若（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数a+bi=（）A . 1+2iB . ﹣1+2iC . ﹣1﹣2iD . 1﹣2i3. （2分）化简为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·杭州模拟) 记的最大值和最小值分別为和 .若平面向量满足则（）A .B .C .D .5. （2分）若a、b∈R且(1＋i)a＋(1－i)b＝2，则a、b的值分别为（）A . a＝1，b＝－1B . a＝－1，b＝1C . a＝1，b＝1D . a＝－1，b＝－16. （2分）(2013·湖南理) 复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限7. （2分）复数，则实数a的值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二下·济宁期中) 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2019高二下·上海月考) 若复数z满足（i是虚数单位），则＝________．10. （1分） (2019高二下·江门月考) i为虚数单位，设复数z1 ， z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2﹣3i，则z2=________．11. （1分） (2015高二下·吕梁期中) z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R．z2=3﹣2i．则m=1是z1=z2的________条件.三、解答题 (共3题；共35分)12. （10分） (2018高二下·大庆月考) 复数（1）实数为何值时该复数是实数；（2）实数为何值时该复数是纯虚数；13. （10分） (2019高二下·亳州月考) 已知复数（i为虚数单位）．（1）当时，求复数的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．14. （15分） (2019高二下·江门月考) 当为何实数时，复数，求：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共35分)12-1、12-2、13-1、答案：略13-2、答案：略14-1、14-2、14-3、。

3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R 中添加新数i ，规定：(1)i 2＝□01－1，其中i 叫做虚数单位；(2)i 可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立． 2．复数的相关概念集合C ＝{a ＋b i|a ∈R ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做□03复数，其中i 叫做□04虚数单位．全体复数的集合C 叫做□05复数集． 复数通用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a 与b 分别叫做复数z 的□07实部与虚部． 3．复数的分类对于复数z ＝a ＋b i ，当且仅当□08b ＝0时，它是实数；当且仅当□09a ＝b ＝0时，它是实数10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．0；当且仅当□4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定：a ＋b i与c＋d i的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( )(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )(3)b i是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1探究1复数的有关概念例1 给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．[答案]0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i 与实数的运算及运算律仍成立． 【跟踪训练1】 下列命题中： ①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 D解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数． 在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x ＝－1，x 2＋3x ＋2≠0不成立，故③错误； ④正确．探究2 复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[条件探究] 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？[解] 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m≠0，解得m ∈∅.即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些； (2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)； (4)求出参数的值或取值范围． 【跟踪训练2】 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究3 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2.拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．【跟踪训练3】 已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1.故实数a 的值为－1.1.在复数a ＋b i 中，a ，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b ”，不是“b i”，更不是“i”.3.当且仅当b ≠0且a ＝0时，复数a ＋b i 才是纯虚数，解题时不能只注意a ＝0而忽视了b ≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1．“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 ±2，5解析 由题意得：a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5. 4．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________． 答案 3解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.5．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，求自然数m ，n 的值．解 ∵log 12 (m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12 m ＋n ≥－1，－m 2－3m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3.∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。