第三章 数系的扩充与复数的引入教材分析

《数系的扩充和复数的概念》教案及说明教学目标：1.了解数系的扩充，并能够理解自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数之间的关系。

2.掌握复数的定义、运算规则和表示方法。

3.能够应用复数解决实际问题。

教学重点：1.数系的扩充和复数的定义。

2.复数的运算规则和表示方法。

教学难点：1.理解数系的扩充对于数学的意义。

2.掌握复数的运算规则和应用技巧。

教学内容：一、数系的扩充1.自然数：正整数，用于计数。

2.整数：包括正整数、负整数和0。

3.有理数：可表示为两个整数之比的数。

4.无理数：不可表示为两个整数之比的数。

5.实数：包括有理数和无理数。

6. 复数：形如a+bi的数，其中a和b为实数，i为虚数单位。

二、复数的定义和表示1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

2.复数的表示：复数可以用平面直角坐标系中的点表示，a为横坐标，b为纵坐标。

3.复数的运算：复数的加减乘除法规则同实数运算，注意i的平方为-1三、复数的应用1.解方程：复数可以解决一些实数无解的方程。

2.代数表达式：复数可以简化代数表达式，并且在求根过程中十分有用。

3.物理问题：在电路、波动等问题中，复数有着广泛的应用。

教学步骤：一、引入复数的概念2.解释为什么需要引入复数。

3.引导学生构建复数概念。

二、复数的定义和表示1.讲解复数的定义和表示方法。

2.给出几个例子，让学生练习表示复数。

3.带领学生画出复数在平面直角坐标系中的位置。

三、复数的运算1.讲解复数的加减乘除法规则。

2.演示如何计算复数的运算。

3.给出一些练习题，让学生巩固运算技巧。

四、复数的应用1.解方程：举例说明复数如何解决一些实数无解的方程。

2.代数表达式：展示复数简化代数表达式的过程。

3.物理问题：讲解复数在物理问题中的应用实例。

五、综合练习和实践1.设计一些综合性的练习题，包括复数的定义、表示和运算。

2.提供一些实际问题，让学生尝试用复数解决。

第3讲 数系的扩充与复数的引入一、 基础知识梳理：1．复数的有关概念：(1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R，i 叫作 ，a 叫作复数的 ，b 叫作复数的 ．②表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a ，b ∈R)．(2)复数集①定义： 组成的集合叫作复数集．②表示：通常用大写字母C 表示．2．复数的分类及包含关系(1)分类：复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示： .3．两个复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当 .4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)Z (a ，b ) 复平面内的点 ；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) OZ →＝(a ，b )平面向量 ．5．复数的模：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝ .二．问题探究探究点一：复数的概念例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪训练1：符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．探究点二：复数的分类例2：当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练2：实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点三：两复数相等例3：已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .跟踪训练3：已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．探究点四：复数的几何意义例4：在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．跟踪训练4： 已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求复数z .三.方法小结：1.复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫作复数的虚部．2.两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．3.按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值四.练一练1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。

第3章 数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念 §3.1.1数系的扩充和复数的概念教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 讲解新课：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即21i =-(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律成立. 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ! 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部用字母C 表示*5. 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－3;虚部分别是3，21，－31，－5;－31i 是纯虚数.例2例3例4（1）.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( D )A.A ∪B =CB. S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C（2）.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足(D )A.x =－21 B.x =－2或－21C.x ≠－2D.x ≠1且x ≠－2 （3）.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( A )A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－1例5（1）满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.（2）复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______. 例6设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值. 例7若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值. 例8已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .答案：例4（3）由题设知3∈M ，∴m 2－3m －1+(m 2－5m －6)i =3∴⎩⎨⎧=--=--06531322m m m m ，∴⎩⎨⎧-==-==1614m m m m 或或∴m =－1，故选A. 例5.（1）解析：由题意知⎩⎨⎧=+-=--,0169,03222y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==3113y x x 或∴点对有(3，31)，(－1，31)共有2个.答案：2（2） 解析：z 1=z 2⇔⎩⎨⎧==⇔||||d b ca a =c 且b 2=d 2.答案：a =c 且b 2=d 2例6.解：由题意知⎩⎨⎧≠-=--,0)3(log ,0)33(log 222m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=--03131332m m m m ∴⎩⎨⎧<≠=--320432m m m m 且∴⎩⎨⎧≠<-==2314m m m m 且或，∴m =－1.例7 解：方程化为(x 2+mx +2)+(2x +m )i =0.∴⎩⎨⎧=+=++02022m x mx x ，∴x =－2m ，∴,02242=+-mm ∴m 2=8，∴m =±22. 例8. 解：(1)m 须满足⎩⎨⎧≠-=-+.11,0322m m m 解：m =－3.(2)m 须满足m 2+2m －3≠0且m －1≠0，解：m ≠1且m ≠－3.(3)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.032,01)2(2m m m m m 解之得：m =0或m =－2.(4)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.432211)2(2m m m m m 解之得：m ∈∅§3.1.2复数的几何意义学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例9例10．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值. [解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++=故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例11．(1)（2008天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3(2)(2007全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)3(3)（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (4)（2007年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。

数系的扩充与复数的概念说课稿数系的扩充与复数的概念说课稿作为一名教学工作者，通常需要用到说课稿来辅助教学，借助说课稿可以提高教学质量，取得良好的教学效果。

那要怎么写好说课稿呢？以下是小编收集整理的数系的扩充与复数的概念说课稿，欢迎阅读与收藏。

我说课的题目是《数系的扩充与复数的概念》，我将从背景分析、教学目标、课堂结构、教学媒体设计、教学过程设计、教学评价设计共六个部分作具体的阐述。

一、背景分析（1）教材分析本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书选修1-2第3章第1节的内容，这节课的主要内容是数系的扩充与复数的有关概念。

是数系经历了三次扩充之后的又一次扩充，是本章后续学习复数四则运算的基础。

因此本节课的教学重点是：认识数系扩充必要性，理解复数的基本概念。

（2）学情分析因为学生已经掌握了整数与分数；正数与负数；有理数与无理数；以及实数这些概念；有的学生可能知道一些与数系扩充有关的数学史；但是学生对数的'分类主要依靠的是简单记忆，所以对数系扩充的过程以及扩充的必要性不甚了解。

因此教学难点是：实数系扩充到复数系的认识过程，以及复数概念的理解。

二、教学目标设计鉴于以上对教材和学情的分析，确定本节课的教学目标如下：（1）知识与技能：了解数系的扩充史，渗透数学文化；掌握复数的概念和复数相等的充要条件。

（2）过程与方法：通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等充要条件的研究过程中提高学生类比思考的能力。

（3）情感态度价值观：通过了解数系扩充的过程，使学生体会到一种鲜活的数学思维过程，激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神。

三、课堂结构设计（一）情景引入——得到学习课题，明确学习目标（二）悬疑探究——探究复数的引入的必要性（三）建构新知——探究复数的概念（四）巩固—知识的应用（五）学习小结——概括知识体系，布置作业四、教学媒体设计为了达到更好的教学效果，我准备通过多媒体演示介绍数系扩充史来激发学生的学习兴趣。

复数的有关概念说课稿大家好！今天，有幸借此平台与大家交流，希望各位专家和老师指导我的说课。

我说课的题目是《复数的有关概念》，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学过程、自我反思五个部分作具体的阐述。

一、教材分析首先是教材分析，《复数的有关概念》是北师大版新课程标准实验教科书选修系列2的模块2中第五章第一节的内容，这节课的主要内容是数系的扩充与复数的引入、以及复数的有关概念。

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造的过程，同时也体现了数学发生发展的客观需求和背景。

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。

对于高中生来说，学习一些复数的基础知识是十分必要的，这可以促使学生对数的概念有一个初步的较为完整的认识，也给他们运用数学知识解决问题增添了新的工具，同是还为进一步学习高等数学打下一定的基础。

在实际生活中，复数在电力学、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信息分析等方面都得到了广泛的运用，是现代人才必备的基础知识之一。

二、学情分析与本节教材相关的学生情况有如下几个特征：（1）我们的学生在从小学到高中的学习中已经掌握了整数、分数、正数、负数、有理数、无理数、实数这些概念，也掌握了相应的运算法则和运算律；(2)同时又从政治和历史课中了解到一些与数系扩充的有关的重要历史事件；(3)但是学生们对数的分类的掌握，主要依靠的是简单记忆，当然对数系的扩充过程以及与人类发展史的必然联系不甚了解。

三、教学目标鉴于以上对教材和学情的分析，确定本节课的教学目标如下：1、知识目标：了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件2、能力目标:通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等充要条件的研究过程中提高学生类比思考的能力；3、情感目标：提高学生学习数学的兴趣；拓展数学视野，使学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。

四、课堂设计为了达成以上教学目标，我将本节课设计成以下五个环节：首先是设置情境，演示数系扩充的过程；然后引入虚数，讲解复数的基本概念；接下来通过类比学习，掌握复数相等的充要条件；完成了以上新概念的学习环节之后，利用课堂小结巩固本节课主要内容。

《数系的扩充和复数的概念》教学设计一、教学内容从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.二、教材分析本节课选自人民教育出版社《普通高中教科书数学必修第二册（A版）》第七章第一节第一课时《数系的扩充和复数的概念》.复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识．复数与平面向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础. 复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用.在数学中，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 从实数系向复数系扩充，同样要符合这样的规则．复数概念的引入，从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，发现数系扩充中体现出的“规则”；进而在“规则”的引导下，考虑为使方程有解，引入新数i，从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集．这一过程，通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.复数的概念是整个复数内容的基础.复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的提出，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi实质上是有序实数对(a,b). 通过对复数实质的揭示，为后续复数的几何意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备. 因此，复数的概念，对本章具有奠基性的作用.三、教学目标：1、知识与技能目标：（1）了解引入复数的必要性；了解数系扩充的一般“规则”（2）理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的意义.2、过程与方法目标：（1）通过数系的扩充历史，了解数系的扩充过程和引入复数的必要；（2）通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等充要条件的研究过程中提高学生类比思考与转化的能力。

《数系的扩充与复数的引入（一）》教学设计执教者学情分析数系的扩充与复数的引入是选修1-2与选修2-2的内容，是高中生的共同数学基础之一。

学生在小学、初中分别学习了自然数、整数、有理数、实数等不同类型的数，并对这些数的关系有了初步的认识。

在这个基础上能初步的概括出：自然数集N →整数集Z →有理数集Q →实数集R ，数集的每一次扩充解决了某些代数方程在原有数集中不可以解决的矛盾，通过数系扩充过程的概括体现了数学的发现和创造过程，同时了解了数学产生、发展的客观需求，为复数的引入做好了铺垫。

这部分的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，又有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观，有助于发展学生的全新意识和创新能力。

效果分析通过课前准备环节，有理数到实数集扩充的引入，体现数系扩充的过程的特征，通过问题让学生感受的更加的明显，为复数自然而然的引入铺垫好了基础，在本节中，学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

在思考与讨论环节中，通过学生的讨论充分挖掘学生的思维，发挥集体智慧，加强学生的认识，效果比较突出，突破本节的复数的分类这个难点内容。

在学生的展现环节，通过学生的上台板演，充分发挥学生的积极主动意思，有助于学生学习积极主动性的提高。

教材分析本节的主要内容是数系的扩充和复数的概念。

教学目标：（1） 在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

（2） 理解复数的基本概念。

（3） 了解复数的代数表示法。

（4） 理解复数相等的充要条件。

教学重点：（3） 数系的扩充过程。

（4） 复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件。

教学难点：（2） 虚数单位i 的引入。

（3） 复数与实数、虚数的关系。

⾼中数学_数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思《数系的扩充与复数的概念》教学设计§3.1.1 数系的扩充和复数的概念⼀、学习⽬标：1.在问题的情境中让学⽣了解把实数系扩充到复数系的过程.2.理解复数的有关概念以及复数相等的充要条件，掌握复数的代数形式⼆、重点、难点：重点：复数的概念与复数的代数形式，复数的分类.难点：复数的概念及分类,复数相等.三、学习过程：1.复习回顾问题1：你知道的数集有哪些？分别⽤什么符号表⽰？它们有什么关系？2.3.问题2：⽅程012=+x 在实数集中⽆解。

联系从⾃然数系到实数系的扩充过程，你能设想⼀种⽅法，使这个⽅程有解吗？结论：引⼊⼀个新数，规定（1）（2）【复数的概念及代数形式】练习1.指出下列复数的实部与虚部。

（1）2+3i （2）1-2i （3）5i -4（4）2i （5）-3i （6）8i （7）10 （8）-8 （9）0问题3：你认为应怎样定义两个复数相等？【复数相等的充要条件】问题4：复数),(R b a bi a z ∈+=在什么条件下是实数？【复数的分类】练习2.下列各数是否是虚数，并说出各数的实部与虚部.i 3-1 i 71 31+ i ）（π-1 85-i问题5.两个复数能否⽐较⼤⼩？4、例题巩固例1.实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。

变式：将复数改为i m mm z )1(1-++=应注意什么？⽅法⼩结：例2. 下列命题中正确的有_____（1）若C z ∈,则02≥z （2） i yi x +=+1(x,y 为实数)的充要条件是 1==y x（3）1＋ai 是⼀个虚数（4）若a ＝0，则a ＋bi 为纯虚数⽅法⼩结：例3.已知i xyi y x 2222=+-，求实数y x ,的值。

变式1：已知0222=+-xyi y x ，求实数y x ,的值。

变式2：若0)1(2>-+i x x ，则=x ⽅法⼩结5、课堂⼩结6、作业布置（课本55页A 组1、2题）《数系扩充和复数的概念》学情分析在学习本节之前，学⽣对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的⽣成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。

数系的扩充和复数的概念教案一、教学目标1. 了解数系的扩充，掌握实数集、有理数集、无理数集和复数集的概念；2. 掌握复数的定义和表示方法；3. 理解复数加法和乘法的几何意义；4. 能够计算复数的模、共轭和商。

二、教学重难点1. 数系的扩充，包括实数集、有理数集、无理数集和复数集的概念；2. 复数的定义和表示方法；3. 复数加法和乘法的几何意义。

三、教学内容1. 数系的扩充（1）实数集：包括有理数和无理数两部分，用符号“R”表示。

（2）有理数集：可以表示为两个整数之比（分母不为0），用符号“Q”表示。

（3）无理数集：不能表示为两个整数之比，用符号“Q'”表示。

（4）复数集：由实部和虚部构成，形如a+bi，其中a和b均为实数，i是虚单位，用符号“C”表示。

2. 复数的定义与表示方法（1）定义：由一个实部a和一个虚部b构成的有序数组(a,b)称为一个复数z，即z=a+bi。

其中a称为z的实部，b称为z的虚部。

（2）表示方法：用复平面上的点表示。

3. 复数加法和乘法的几何意义（1）复数加法：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i。

即把两个复数看作向量，在复平面上用平行四边形法则相加。

（2）复数乘法：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1×z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。

即把两个复数看作向量，在复平面上用角度叠加原理相乘。

4. 计算方法（1）模：|a+bi|=√(a²+b²)。

（2）共轭：若z=a+bi，则其共轭为z*=a-bi。

（3）商：设z1=a+bi，z2=c+di，则它们的商为(z1/z2)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。

四、教学过程Step 1 引入新知识介绍实数集、有理数集和无理数集，并引入复数集的概念。