螺旋波的斑图动力学_非线性科学专题之十一

20世纪物理学发展的现状和展望20世纪，物理学在众多领域得到了长足的发展，老的学科新芽满枝，新的学科蓬勃发展；并且开拓出广阔的应用领域。

下面就这几个分支：即统计物理学、低温物理学、生物物理、原子分子和光物理学、受控热核聚变、宇宙线物理学、引力物理学等领域的进展作一些综述和展望。

1、统计物理学的发展统计物理学的概念已有一百多年历史，它可以追溯到19与20世纪转折时期的玻尔兹曼，吉布斯以及许多其他现代物理学家的贡献。

统计物理学它把原子尺度（埃的尺度）的物理性质与宏观尺度的物理性质，以及所有有关的介观与宏观现象联系起来。

如果知道了原子之间的相互作用力，要计算所有感兴趣的宏观物理量，就需要处理涉及大数量的相互作用的问题。

倘若这一任务能够完成，我们不仅理解了热力学的原理，而且具备了应用于许多其他领域，如工程、材料科学以及物理化学等的理论基础。

我们知道，在基本粒子和原子尺度描述系统随时间演化的基本方程已是熟知的了。

在经典极限情况下，量子力学的运动方程还原为经典力学的牛顿方程，它们描述系统的态随时间的演化。

因此，很自然的是把宏观系统的任何可观察量看成是相应的微观量沿着相空间中系统的相轨道的时间平均。

根据统计力学的遍历性假设，时间平均可以代之以适当的统计系综的平均。

例如，完全与其环境隔绝的孤立系统的能量是守恒的，因此系统的相轨道必定落在相空间的能量超曲面上。

按照统计力学的微正则系综，在此能量超曲面上的所有区域是等几率的。

由此可以建立统计力学定义的摘，并由熵极大原理导出相应的可观察量的系综平均值。

当然，沿相轨道的时间平均与在能量超曲面上的系综平均的等价性，是高度非平庸的。

因为它意味着能量超曲面上的相轨道是充分的混饨，以致于它能在足够短的时间内充分接近超曲面上的任意点。

要使这些条件尽可能精确地实现，并认识到系统的哪些性质保证了遍历性假设得以满足，以及对少数几个相当特殊的反例，为什么遍历性假设不满足，这些都是长期以来具有挑战性的问题。

一类具有Allee效应的传染病模型时空斑图分析李桂花;李高峰【摘要】建立了具有Allee效应的反应扩散系统,并研究了系统的斑图动力学性态.首先,利用线性稳定性理论给出了图灵不稳定和Hopf分支发生的条件,分析了图灵斑图的稳定性;进一步,通过分析和数值模拟,发现系统可能出现图灵斑图、缺口状斑图、迷宫斑图、螺旋波斑图、静态斑图及混沌斑图.若寄生虫剂量作为分支参数时,发现随着寄生虫剂量的增加,有两种情况发生:一种是当易感者宿主的扩散率超过临界值时,系统依次出现图灵斑图、缺口状斑图和迷宫斑图,意味着染病者宿主的分布会由疏到密接着再变疏;另一种是当易感者宿主的扩散率低于临界值时,系统依次出现螺旋波斑图、静态斑图和迷宫斑图.若取易感者宿主的扩散率作为分支参数时,发现易感者宿主的扩散率无论大于或小于染病者宿主的扩散率,都可能发生稳定的螺旋波,并且随着染病者宿主扩散率的增加,系统螺旋波缺陷数增加导致混沌发生.【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(035)003【总页数】9页(P225-232,237)【关键词】传染病;图灵斑图;螺旋波斑图;静态斑图;混沌斑图【作者】李桂花;李高峰【作者单位】中北大学理学院,山西太原030051;西南大学数学与统计学院,重庆400715;新疆农二师库尔勒医院,新疆库尔勒841000【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言寄生虫依靠宿主而生活，它对宿主的影响是多方面的，它或者摄取宿主的营养，对附着组织产生损害，从而影响宿主的生长；或者改变宿主的行为，增加发病率，使宿主易于被捕食者捕食；或者使宿主不能获得充分的生存资源.在种群水平上就是对宿主种群的内禀增长率产生影响，这种影响与寄生虫的感染丰度和频率分布密切相关.寄生虫从一个宿主传播到另外一个宿主通常是通过自由生活的感染期而取得的.在这种情况下，潜在的宿主和感染期的寄生虫遭遇的机会无疑会受到宿主和寄生虫密度以及它们的空间分布的影响［1-2］.R.M.Anderson，P.J.Whitefied 和A.P.Dobson［3］研究了寄生在体表的复殖吸虫感染期密度对该寄生虫的传播动态的影响.R.M.Anderson［4］研究了穿透表皮的寄生虫感染期的密度对传播动态的影响.A.E.Keymer，R.M.Anderson［5］和A.E.Keymer［6］研究了通过消化道而获得感染的寄生虫的传播过程，其研究表明感染期的寄生虫的密度和空间分布、宿主密度、宿主和寄生虫接触的长短等因素都影响着寄生虫的传播过程.A.E.Keymer［7］在实验条件下证实了Hymenolepis Diminuta 的囊尾蚴有调节Tribolium Confusum 种群密度的作用.R.M.Anderson和J.Crombie［8］证实了曼氏血吸虫Schistosoma Mansoni的幼虫阶段具有调节中间宿主种群的作用.R.M.Anderson，P.J.Whitefield和ls［9］在实验室条件下研究了外寄生虫吸虫的种群动态，对于各种种群参数都进行了详细的研究，其中大量的种群过程是密度制约的.R.M.Anderson在文献［10］中提出一个数学模型，考虑宿主染病是与自由寄生虫v的接触有关，这里易感者宿主的疾病发生率是双线性的，但是许多实验表明这个疾病的发生率是与寄生虫的剂量有关的，且常常是具有S形的非线性函数，于是R.R.Regoes等［11］建立了下面的模型：式中：A0表示易感者宿主的输入量；d表示宿主的自然死亡率；β为染病的比例系数；ε为因寄生虫引起的死亡率；c为染病宿主体内自由病毒的释放率；u为寄生虫的死亡率；g（v）是寄生虫浓度v的S形函数，且这里β＝α＝1／mk，m表示染病的剂量；k为S形曲线在点m处的倾角.表明系统（2）在阈值条件下存在两个正平衡点，且一个是不稳定的，另一个是稳定的.当k连续变化时，Li Guihua等［12］发现会有更有趣的更复杂的性态发生（见文献［12］）.假设寄生虫的动力学行为比染病者宿主的动力学行为快的多，即u≫δ.令V＝uv，则模型（2）为其中：这样的话就可以将系统（1）在慢流形上来考虑（见文献［11］）.本文将考虑k＝1和k＝2时空间效应对模型（3）性态的影响，模型如下：式中：D1，D2分别为易感者宿主S与染病者宿主I的扩散系数.1 线性稳定性分析为了简便，将系统（4）作无量纲变换，令并用t代替τ，得到系统（4）的等价系统这里：首先考虑最简单的形式，即k＝1时系统（5）的动力学性态.当d1＝d2＝0时，系统（5）的正平衡点存在性及稳定性如下：定理1 若A＞c，则系统（5）存在惟一正均匀定态解由文献［12］可知，正平衡点只要存在，就一定是全局渐近稳定的.为了分析图灵不稳定的条件，首先计算微扰方程的系数由于a11，a22始终是小于0，很显然a11d2+a22d1＜0.这样由特征方程很容易知道，系统的特征值始终为负，即系统（5）的正均匀定态解是稳定的，不存在图灵分岔.接着考虑k＝2时系统（5）的动力学性态.当d1＝d2＝0时，系统（5）的正平衡点存在性及稳定性如下：定理2（a）若A2 ＝4c（1+cm），则系统（5）有惟一正均匀定态解，E＊＝（x＊，y＊）.（b）若A2 ＞4c（1+cm），则系统（5）存在两个正均匀定态解，E1＝（x1，y1），E2＝（x2，y2），且y1＜y＊＜y2.这里很容易计算当系统存在惟一的均匀定态解时，此均匀定态解为非双曲奇点，其稳定性的计算非常复杂，在这里暂不讨论，仅讨论两个均匀定态解的情形.由文献［12］可知道E1为鞍点，E2为结点或焦点，因此只需要考虑E2附近的微扰分析即可.为了计算上的方便，用a表示a2.定理3 假定d1＝d2＝0，且系统（5）存在两个正均匀定态解，则如果下面两个条件之一满足，E2就为渐近稳定的.（a）1-2c-2c2 m＜0；（b）1-2c-2c2 m＞0，且A2（1-c）（1+m+cm）＞1+2cm.系统（5）微扰方程的系数为因此给出图灵分岔的必要条件为由微扰方程的系数可知a11的值是恒小于零的，根据上面的条件可以得出这样一个结论：如果图灵分岔发生，则一定有a22＞0.这意味着易感者宿主对系统起着阻滞子的作用，染病者宿主对系统起着活化子的作用.Hopf分岔的必要条件为下面分析图灵分岔的稳定性.2 图灵斑图的稳定性首先来分析当取定一组具体参数值时，系统发生分岔的区域.设m为分支参数，令d2＝1，A＝1.2，c＝0.2.借助Maple软件计算可以得到当m＜4时正均匀定态解存在.图灵分岔发生的首要条件是系统对均匀微扰必须是稳定的，由前面可以知道Δ0＞0.只需要计算tr0＜0时，m满足的条件即可.通过计算可以知道0 ＜m＜3.884 558 064.当m＝3.884 558 064 时，tr0＝0，系统存在Hopf分岔.图灵分岔满足的另一个条件是系统对于某些模数的微扰是不稳定的，会出现鞍结点分岔.即系统满足条件通过分析计算条件，给出了参数m与扩散系数d1的示意图（见图1）.参数只有在区域Ⅰ才会出现图灵分岔，在区域Ⅱ与Ⅲ中，图灵分岔条件不满足，但系统稳定与否需要进一步确定.如果固定d1或m，稳定性如何变化，即特征值正负如何呢？若取定d1＝15，经计算可以得到m的临界值有两个，分别为m1c＝3.322，m2c ＝0.572 4.当0≤m≤0.572 4或3.322＜m＜3.884 6时，系统会出现图灵不稳定.从图2 可以看到，当m＜0.572 4时，随着m的增加图灵斑图区域逐渐减小（见图2的实线部分）；当m＞3.322时，随着m的增加，图灵斑图区域逐渐增大（见图2的虚线部分）.同时也可以发现m＞3.323 的波是m＜0.572 4时的波向左平移.图1 参数m随参数d1的变化图Fig.1 Region graph of parameter mwith d1图2 参数m与特征值实部的变化图Fig.2 Graph of parameter mand real partof eigenvalues3 时空斑图分析当d1＝d2＝0时，即常微分（ODE）系统在一定条件下存在两个平衡点，其中染病者宿主密度较小的为鞍点，较大的为结点或焦点.当存在两个正平衡点时，ODE 系统性态可能有下面几种：平衡点稳定，但不存在极限环；平衡点稳定，存在不稳定的极限环；平衡点不稳定，但不存在极限环；平衡点不稳定，存在稳定的极限环.当d1，d2≠0时，即偏微分（PDE）系统性态比较复杂，只考虑稳定与不稳定两种情形.下面取一组固定的值来分析ODE 系统与PDE 系统的可能组合.取d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，具体组合见表1.在此的稳定性指正均匀稳态解的稳定性. 作者发现，当取上面这组值时，有些组合还没有，因此取另一组值d2，A，c不变，d1＝3，具体组合见表2.由表1 和表2 发现，系统存在稳定的极限环的几种形式还不包含，在此不再列出.原因是当ODE系统存在稳定的极限环时，相应的PDE系统是不稳定的，通过数值模拟发现系统出现一般的图灵斑图，没有什么新的现象发生.下面分别对上面几种情形进行模拟，看m处在不同区域时，系统的动力学性态如何，性态是否有规律可循.从表1 直观分析系统的性态，可以得到情形1 和情形3 都属于ODE 系统平衡点稳定且不存在极限环，而相应的PDE 系统是不稳定的，因此可以知道系统满足图灵不稳定的条件.在这几种情形下图灵斑图发生，图灵斑图究竟是什么形状呢？下面利用第2部分的有限差分方程的方法来进行数值模拟.对于表1 中的情形1，分别取m＝0，0.1，0.3，0.5进行模拟.表1 当d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2时，ODE与PDE系统动力学性态分类Tab.1 The different dynamic behaviors of ODE and PDE systems when d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2表2 当d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2时，ODE与PDE系统动力学性态分类Tab.2 The different dynamic behaviors of ODE and PDE systems when d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2从图3（a）可以看到，当m＝0时，系统的图灵斑图完全是点状的；当m＝0.1时，系统基本上是条状斑图.因此可以很自然地想到，m在0与0.1之间连续变化时系统的斑图是逐渐由点状过渡到条状斑图的；当m＝0.3时，发现系统的图灵斑图是点条共存的，但是这种斑图与图3（b）的点条共存正好是相反的（见图3（c）；当m＝0.5时，系统的图灵斑图变为点状的，这种点状斑图与图3（a）的点状也是正好相反的（见图3（d）），被称为缺口状斑图.因此有m在0.1与0.572 4之间连续变化时，系统由前一种的条状图灵斑图逐步变为后一种的条状图灵斑图，然后由条状逐渐变为后一种点状图灵斑图.换句话说，随着染病者剂量m∈（0，0.572 4）由小到大变化，染病者宿主的密度分布由疏到密.表1 的情形2，对于ODE 与PDE 系统的正均匀平衡解均稳定，这种情形不是本文考虑的重点.对于表1的情形3和情形4，通过数值模拟发现，m在这两个区域内的图灵斑图类似（尽管情形4 中ODE系统存在极限环）.分别给出m＝3.6与m＝3.8 时，系统的斑图（见图4），可以看到图4（b）是缺口状斑图到迷宫斑图的过渡.图3 d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0，2时，系统（5）的图灵斑图Fig.3 Turing pattern of system（5）when d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2图4 d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2时，系统（5）的斑图Fig.4 Spatial pattern of system（5）when d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2对于表1 的最后一种情形，取m在这个区间的一个值3.95，其它参数不变.用同样的方法进行数值模拟发现，反应扩散方程出现迷宫斑图，如图5 所示.由文献［13］知道迷宫斑图的形成需要两个必要条件：①系统经历横向失稳；②当两个波峰互相靠近时，它们之间会产生相互排斥作用.这种排斥作用能够使波峰靠近的速度放慢以至最后停止.也就是说，两个波峰不会因合并而湮灭.在此，我们想是不是由于极限环的存在，引起图灵斑图失稳而引起波峰的变化，从而产生迷宫斑图. 图5 d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.95时，系统（5）的迷宫斑图Fig.5 Labyrinth patterns of system（5）when d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.95进一步，对表2中的几种情形分别进行了讨论.第1种情形不做讨论，首先从第2种情形来讨论.对于情形2，与情形1的区别是存在一个不稳定的极限环，就由于这点区别，系统的动力学性态发生了很大的改变.取m＝3.8，利用有限差分的方法进行数值模拟发现：在这组参数值下，系统（5）有螺旋波发生（如图6 所示）. 图6 d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.8时，系统（5）的螺旋波斑图Fig.6 Spiral waves pattern of system（5）when d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.8对于表2的情形3，发现尽管不存在极限环，但在这个区间上会由共振形成一种静态波，如图7 所示.另外，给出了变量y随时间t的变化图（如图7（b）），发现随着时间的增加，变量y最终趋于一稳态.图7 d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.9时，系统（5）的斑图与变量y随时间t变化的关系图Fig.7 Spatial patterns of system（5）and relationship diagram of variable y and time twhen d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.9对于情形4，发现在这个区间上会出现迷宫斑图，给出了m＝3.95时分别取空间步长为1，时间步长为0.05，运行1万次和10万次时斑图的变化情况（见图8）.由图8 可以发现，随着时间的增加，染病者宿主的分布逐渐变得稀疏.另外，从表2 的这几种情形分析，将宿主的扩散率固定在某一数值时，随着染病者剂量函数m的由小变大，系统（5）的斑图由行波、静态波到迷宫斑图.图8 d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.95时，系统（5）的迷宫斑图Fig.8 Labyrinth patterns of system（5）when d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.95通过上面的数值模拟可以发现，螺旋波的出现是由于扩散率的变化引起的，因此考虑扩散率的变化对系统斑图的变化是非常自然的事情.固定m＝3.8来分析扩散系数d1的变化，动力学性态会有什么改变.当m＝3.8，A＝1.2，c＝0.2，d2＝1时，常微分系统始终存在一不稳定的极限环.分别取d1＝0.1，0.5，1，3，3.5，4，利用有限差分法进行数值模拟（如图9），其中（a）～（e）为典型的螺旋波斑图，（f）为混沌斑图.由图9 可以发现，当d1＝0.1，1，3.5时，系统中的缺陷数目有多个；当d1＝0.5，3时，系统中的缺陷数目只有一个；当d1＝4时，发现螺旋波失稳导致时空混沌（见图9（f））；继续增大d1，化为表1的第4种情形.我们知道螺旋波是由缺陷为中心自组织形成的一类特殊的行波，对于一个稳定的螺旋波斑图态，系统中的缺陷（或缺陷密度）很少，并且他们的数目不随时间变化.但是，如果系统中的控制变量超过某些临界值时，螺旋波会自发地产生出新的缺陷，而每个缺陷都趋向于产生新的螺旋波.因此，系统中的缺陷数目会随着时间以指数的形式增加，直到系统达到一个饱和的缺陷密度.此时系统中被缺陷充满，它的长期有序现象不复存在，系统进入时空混沌态.图9 不同d1，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.8 时，系统（5）螺旋波的不同斑图Fig.9 Different spiral waves patterns of system（5）when different d1，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.84 讨论讨论了当k＝1 和k＝2 时系统（5）的时空斑图.当k＝1时，系统始终是稳定的，不会发生图灵斑图；当k＝2时，根据系统稳定性及极限环的存在性进行了分类.发现一些非常有趣的现象，当ODE系统稳定，且不存在极限环相应的PDE系统不稳定时，则PDE 系统出现图灵斑图，且图灵斑图可能有两种形式，每种形式包括点状与条状斑图.若ODE系统存在一不稳定的极限环，而PDE系统是稳定的话，出现螺旋波.若ODE 系统尽管不存在极限环，但平衡点是不稳定的，而PDE系统是稳定的时，系统同样会出现行波，但这种行波是静态的.若ODE 系统不存在极限环，但平衡点是不稳定的，而PDE 系统也是不稳定的时，则系统出现迷宫斑图.通过数值模拟猜测这种规律是可循的.在本文中，由于时间的关系，仅考虑了一种特殊形式的系统的性态，即k＝2.若对于k取更大的值，PDE系统的性态可能更复杂，详细分析可以查阅文献［14］.关于考虑空间因素的传染病模型的研究，已有一些文献，有考虑一般传染病模型（见文献［15-16］），有考虑具体疾病的模型（见文献［17-18］）.若考虑空间因素还可以应用到各个领域，比如生态环境等（见文献［19］）.另外，考虑反应扩散的传染病模型还有很多文献，在此不一一列出.参考文献：［1］Crofton H D.A quantitative approach to parasitism［J］.Parasitology，1971，62：179-194.［2］Anderson R M.The regulation of host population growth by parasitic speies［J］.Parasitology，1978，76：119-157.［3］Anderson R M，Whitefield P J，Dobson A P.Experimental studies of infection dynamics：infection of the definitive host by the cercariae of transversotrema patialense［J］.Parasitology，1978，77：189-200.［4］Anderson R M.Population dynamics of snail infection by microcidia ［J］.Parasitology，1978，77：201-224.［5］Keymer A E，Anderson R M.The dynamics of infection of tribolium confusum by hymenolopis diminuta：the influence of infective-stage density and spatial distribution［J］.Parasitology，1979，79：195-207. ［6］Keymer A E.The dynamics of infection of tribolium confusum by hymenolopis diminuta，the influence of exposure time and host density ［J］.Parasitology，1982，84：157.［7］Keymer A E.Population dynamics of hymenolepis diminutain the intermediate host［J］.Journal of Animal Ecology，1981，50：941-950. ［8］Anderson R M.Experimental studies of age-prevalence curves of schistosoma mansoni infection in populations of biomphalaria glabrata ［J］.Parasitology，1984，89：79-104.［9］Anderson R M，Whitefield P J.An experimental study of the population dynamics of anectoparasitic digenean transversotrema patialense（soparker）：cercarial and adult stages［J］.Journal 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不同结构六边形斑图演化过程光谱特性冯建宇;董丽芳;魏领燕;郝芳;杜天;崔义乾【摘要】采用发射光谱法，研究了水电极介质阻挡放电中具有相同对称性的3种不同结构的六边形斑图演化过程的光谱特性。

实验结果表明，随着外加电压的增加，放电首先形成六边形点阵斑图，然后是空心六边形斑图，最后是蜂窝六边形斑图。

利用氩原子696.5 nm(2P2→1S5)谱线的展宽、氩原子763.2 nm(2P6→1S5)与772.1 nm(2P2→1S3)两条谱线强度比法和氮分子第二正带系( C3Πu→B3Πg )的发射谱线，研究上述3种斑图的电子密度、电子激发温度及分子振动温度。

结果发现，随着外加电压的升高，六边形点阵斑图、空心六边形斑图和蜂窝六边形斑图的电子密度逐渐减小，而电子激发温度和分子振动温度逐渐增加。

等离子体状态的改变直接影响着斑图的自组织。

%The spectral characteristics of different kinds of hexagon pattern with the same symmetry in evolutionary process were studied in dielectric barrier discharge by optical emission spectrum. It is found that the discharge undergoes hexagon superlattice pattern, hollow hexagon pattern and hon-eycomb pattern with the increasing ofthe applied voltage. The electronic density, electron excitation temperature and molecular vibration temperature of the three kinds of patterns were investigated by the broadening of spectral line 696. 5 nm, the relative intensity ratio method of spectral lines of ArⅠ763. 2 nm (2P6→1S5) and Ar Ⅰ772. 1 nm (2P2→1S3) and the emission spectra of nitrogen band of second positive system ( C3Πu→B3Πg ) , respectively. The results showthat the electronic density of the hexagon superlattice pattern, hollow hexagon pattern and honeycomb pattern gradually decreases, while theelectron excitation temperature and molecular vibration temperature ofthe three kinds of patterns gradually increase with the applied voltage increasing. It is found that the change of the plasma state has effect on the self-organization of the pattern.【期刊名称】《发光学报》【年(卷),期】2016(037)009【总页数】6页(P1076-1081)【关键词】介质阻挡放电;斑图;发射光谱;电子密度;电子激发温度;分子振动温度【作者】冯建宇;董丽芳;魏领燕;郝芳;杜天;崔义乾【作者单位】河北大学物理科学与技术学院，河北保定 071002;河北大学物理科学与技术学院，河北保定 071002;河北大学物理科学与技术学院，河北保定071002;河北大学物理科学与技术学院，河北保定 071002;河北大学物理科学与技术学院，河北保定 071002;河北大学物理科学与技术学院，河北保定 071002【正文语种】中文【中图分类】O461介质阻挡放电(DBD)是一种典型的非平衡态交流气体放电，已经成为低温等离子体的一个重要的研究领域[1-4]。

不同图灵模作用的几种斑图白占国;董丽芳【摘要】Mechanisms of pattern formation and pattern selection with different Turing modes interaction are investigated by using a two-layer coupled CIMA model. It is shown that hexagonal superlattice and simple hexagon arise respectively in subsysteml and subsystem 2 under the condition that two subsystems locate at supercritical or subcritical bifurcation point. Both of them in two subsystems cannot interact when the two Turing modes are supercritical and one simple stripe pattern in each of sub-systems emerges spontaneously. The identical 'bean' patterns is selected in the two subsystems when two Turing modes are subcriticl. In addition, the bifurcation types of the Turing modes also affect the spatial symmetry of the e-merging patterns in system.%采用双层耦合的CIMA模型,研究了不同图灵模相互作用时斑图的选择、形成机制.结果表明:当2个子系统分别处在超临界和次临界分岔点附近时,超临界图灵模和次临界图灵模相互作用产生耦合,得到六边形和超六边斑图；当2个子系统激发的图灵模均为超临界模时,二者之间不发生耦合,每个子系统各自形成简单的条纹斑图；当2个子系统激发的图灵模均为次临界模时,2个模产生相互作用,系统最终选择完全相同的“豆角”斑图.此外,图灵模的分岔类型还改变斑图的空间对称性.【期刊名称】《河北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(032)002【总页数】4页(P140-143)【关键词】图灵模;超点阵;超临界和次临界【作者】白占国;董丽芳【作者单位】河北大学物理科学与技术学院,河北保定071002;河北大学物理科学与技术学院,河北保定071002【正文语种】中文【中图分类】O461.2斑图（pattern）是一种典型的非线性自组织现象［1－2］，广泛地存在于自然界，也可以在不同的实验室系统中进行研究.其研究内容涉及物理学、数学、化学、生态学等各个学科，而且在心脏病的防治、材料处理和局域生长以及等离子体光子晶体等方面具有广阔的应用前景，近年来引起人们极大的兴趣.国内外学者在实验［3－7］、尤其是理论上［8－14］做了大量的研究，得到了种类丰富的斑图.例如，杨灵法等人［8－10］研究了系统处在超临界和次临界分岔时的超点阵斑图和叠加斑图的形成机理和空间共振条件.发现三波共振和相同的对称性对超点阵斑图的形成起着重要作用.Fineberg等人［11－12］研究了次临界图灵模与一个流体表面的超临界法拉第波之间的相互作用，结果表明该系统出现的自组织四边形和多种超点阵斑图都是由多个非线性的波矢构成，而且不同空间模峰值同时发生是三波共振的必要条件.Bachir小组［13］和Epstein小组［14］分别得到零模与不同空间模的相互作用，及超临界模与MASK模相互作用时的图灵斑图.从以往的研究看，前人工作大多集中研究超临界模和次临界模的相互作用，对2个图灵模均为超临界或次临界研究较少.为了进一步理解斑图形成和选择的物理机制，推进非线性科学的发展、加快其实际应用的进程，研究系统处于不同分岔点时图灵模之间的相互作用尤为重要.本工作针对此现状，采用双层耦合的CIMA模型，细致研究2个子系统激发3种分岔类型的图灵模相互作用时斑图的形成机理.采用双层耦合的CIMA模型［14］，在无量纲条件下方程可写成如下表达式：其中，i）为系统的局部动力学.式中u和v分别表示变量活化子与禁阻子，Du和D v为二变量的扩散系数，a和b是系统的控制参数，此方程组存在均匀定态解通过作线性稳定性分析得到：当控制参数b＞b H＝3a25－a125时，系统出现霍普分岔，当的条件下，系统处于图灵空间，该模型包含2个子系统：系统1（u1，v1）和系统2（u2，v2），α和β为2个子系统之间活化子和禁阻子的耦合强度，本文固定控制参量a＝15，b＝9，并选取合适的参数使2个子系统均在图灵空间，研究2个图灵模的相互作用.其他条件选择格点数为128×128，时间步长和空间步长分别为0.01和1单位进行数值模拟.图1是超临界与次临界分岔点耦合系统的色散关系及出现的斑图.从系统的色散关系（如图1a所示）可以看出，子系统1处于超临界分岔点，激发超临界图灵模k1，振幅较大为基模又叫主动模，占主导地位；子系统2则处于次临界分岔点，产生1个次临界图灵模k2，振幅较小，是次谐振模，又称从动模，二者具有不同空间尺度.超临界图灵模k1是不稳定的，在次临界图灵模k2作用下，激发出1个新的图灵模k3，三者满足三波共振关系k1＋k2＝k3，使2子系统之间发生非线性共振.长波模调制短波模，在子系统1出现超六边斑图（如图1b所示），子系统2仍然呈现简单的大点六边形斑图，如图1c所示.观察超六边的傅里叶谱发现，超点阵能量的空间分布较大点六边形更为复杂，包含3个不同空间尺度的波矢.通过调节控制参量，使得k2模由次临界的稳定模穿过虚轴变为超临界的不稳定模，子系统2经历一个非平衡相变，原来稳定的不动点变为不稳定的焦点，这种不稳定的焦点叫动力学系统的“排斥子”［1］.2个“排斥子”互相排斥，导致2个子系统不发生耦合，如图2所示.2个超临界模k1和k2之间没有相互作用，每个子系统各自出现简单的条纹斑图，而非六边形斑图.继续调节系统的控制参量，使2个不稳定的超临界模变为稳定的次临界模，考察其相互作用时对系统斑图的影响，如图3所示.从图3a可以看出，此时，2个子系统的不动点均是稳定的，都是“吸引子”.2个图灵模地位相当，二者互相竞争，相互影响，2个子系统之间出现较强的耦合现象，并且相互调制，最终出现完全相同的“豆角”斑图，即当系统处于次临界／次临界分岔点时图灵模的作用与前面2种情况均不相同.比较图1、图2和图3发现，2个子系统是否能够耦合及耦合强度的大小，敏感依赖其图灵模分岔类型：当系统处于超临界与次临界分岔点时，由于耦合作用，子系统1出现超六边斑图，子系统2则不受耦合因素影响，仍然呈现简单斑图；当2子系统激发的图灵模均为超临界模时，层与层之间不发生耦合；如果2子系统激发的图灵模均为次临界模时，2个模地位相当，二者互相竞争，相互影响，使得2个子系统强烈耦合.此外，斑图的空间对称性也因图灵模分岔类型的不同而改变，其中当系统处于超临界分岔点时系统选择的斑图空间对称性最低，是条纹对称性；次临界分岔点次之，为类四边形对称，当2个子系统分别处于超临界与次临界分岔点时，系统形成的斑图空间对称性最高，具有六边形对称性.通过对双层耦合的反应扩散方程进行线性稳定性分析，得到系统的分岔条件，选择不同的控制参数，使2个子系统分别处于超临界和次临界、超临界和超临界、次临界和次临界3种不同分岔点，在随机的初始条件下模拟了斑图选择和时空演化.模拟结果表明，不同图灵模的相互作用在斑图的选择和形成过程中起着重要作用.当2个子系统激发的图灵模分别为超临界模和次临界模时，长波模调制短波模，二者相互作用使2个子系统发生耦合，满足三波共振条件，子系统1出现超六边斑图，同时子系统2出现简单六边.2个子系统是否能够耦合，敏感依赖其图灵模分岔类型：如果2子系统激发的图灵模均为超临界模时，层与层之间不发生耦合，每层内部满足空间共振条件，每个子系统各自形成不同尺度空间的简单条纹斑图；值得注意的是，当2个图灵模均为次临界模时，2个模地位相当，其相互作用不同于前面2种情况，二者互相竞争，相互影响，使得2个子系统最终选择完全相同的“豆角”斑图模式.此外，还发现，图灵模的分岔类型还改变斑图的空间对称性.本结果对深刻理解斑图形成和选择的物理机制，推动斑图动力学的发展具有一定意义.【相关文献】［1］欧阳颀.非线性科学与斑图动力学导论［M］.北京：北京大学出版社，2010：130－131. OUYANG Q.Nonlinear science and instroduction of pattern dynamics［M］.Beijing：Peking University Press，2010：130－131.［2］CROSS M C，HOHENBERG P C.Pattern formation outside of equilibrium［J］.Rev Mod Phys，1993，65（3）：851－1086.［3］董丽芳，谢伟霞，赵海涛，等.氩气／空气介质阻挡放电中超六边斑图［J］.物理学报，2009，58：4806－4811.DONG Lifang，XIE Weixia，ZHAO Haitao，et al.Experimental study on self－organized hexagonal superlattice pattern in dielectric barrier discharge in argon／air［J］.Acta Phys Sin，2009，58：4806－4811.［4］董丽芳，赵海涛，谢伟霞，等.介质阻挡放电中四边形超晶格斑图的实验研究［J］.物理学报，2008，57：5768－5772.DONG Lifang，ZHAO Haitao，XIE Weixia，et al.Experimental investigation of square superlattice pattern formation in a dielectric barrier discharge［J］.Acta Phys Sin，2008，57：5768－5772.［5］贺亚峰，董丽芳，尹增谦，等.介质阻挡放电中斑图的傅里叶分析［J］.河北大学学报：自然科学版，2003，23（2）：137－140.HE Yafeng，DONG Lifang，YIN Zengqian，et al.Fourier analysis of patterns in dielectric barrier dischage［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2003，23（2）：137－140.［6］宋倩，董丽芳，李媛媛，等.超六边形斑图的4种形成途径［J］.河北大学学报：自然科学版，2010，30（4）：371－374.SONG Qian，DONG Lifang，LI Yuanyuan，et al.Four pathway to formed hexagonal supperlattice［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2010，30（4）：371－374.［7］李媛媛，董丽芳，宋倩，等.超点阵斑图形成前放电丝时空特征［J］.河北大学学报：自然科学版，2010，30（6）：643－646.LI Yuanyuan，DONG Lifang，SONG Qian，et al.Spatial and temporal characteristic of filaments before formed patterns［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2010，30（6）：643－646.［8］YANG L F，DOLNIK M，ZHABOTINSKY A M，et al.Turing patterns beyond hexagons and stripes［J］.Chaos，2006，16：037114.［9］YANG L F，DOLNIK M，ZH ABOTINSKY A M，et al.Spatial resonances and superposition patterns in a reaction－diffusion model with interaction Turing modes ［J］.Phys Rev Lett，2002，88：208303.［10］BERENSTEIN I，YANG L F，DOLNIK M，et al.Dynamic mechanism of photochemical induction of Turing superlattices in the chlorine dioxide－iodine－malonic acid reaction－diffusion system［J］.J Phys Chem A，2005，109：5382－5387.［11］EPSTEIN T，FINEBERG J.Necessary conditions for mode interactions in parametrically excited waves［J］.Phys Rev Lett，2008，100：134101.［12］ARBELL H，FINEBERG J.Pattern formation in two－frequency forced parametric waves［J］.Phys Rev E，2002，65：036224.［13］BACHIR M，METENS S，BORCKMANS P，et al.Formation of rhombic and superlattice patterns in bistable systems［J］.Europhys Lett，2001，54：612－618. ［14］LENGYEL I，EPSTEIN I R.Modeling of Turing structures in the chlorite－iodide－malonic－acid－starch reaction system［J］.Science，1991，251：650－652.。