数学选修2-2人教A讲义：第一章 导数及其应用1.7

解得 a＝1.
综上所述，得 f(x)＝xsin x－3. 2
(2)f(x)在(x)＝xsin
x－3，从而有 2
f(0)＝－32＜0，fπ2＝π－2 3
＞0，
又 f(x)在0，π2上的图象是连续不断的，
所以 f(x)在0，π2内至少存在一个零点．
利用导数证明不等式或已知不等式恒成立，求参数的取值
范围，这两个问题通常转化为函数的最值问题解决．
例4 (2012·高考天津卷)已知函数 f(x)＝x－ln(x＋a)的 最小值为 0，其中 a＞0. (1)求 a 的值； (2)若对任意的 x∈[0，＋∞)，有 f(x)≤kx2 成立，求实数 k 的最小值；
当13<a<1 时，方程 g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a＝0 的判别式 Δ
＝ 9a2－ 30a＋ 9<0，
∴ D＝ (0，＋∞ )．
综上所述：当 a≤0 时，
D＝3 1＋ a＋
9a2－ 4
30a＋
9，＋∞
；
当 0<a≤13时，D＝0，31＋a－
9a2－ 4
30a＋
4 ＋a)x＋6a＝0 的解 x1，x2 满足
x1＝3 1＋ a－
9a2－ 30a＋ 9
4
<0<x2
＝31＋a＋ 9a2－30a＋9， 4
∴ D＝ (x2，＋∞)＝3 1＋ a＋
9a2－ 4
30a＋
9，＋∞
.
当－1<a≤0 时，x＝3(1＋a)>0，g(0)＝6a≤0， 4
1)≤
2 2i－
12<
2i－
2 32i－
1(i∈
N*，
i≥
2)，

1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1．几个常见函数的导数2．基本初等函数的导数公式3．导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)．4．导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f1±f2±…±f n)′＝□17f1′±f2′±…±f n′.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为[mf (x )±ng (x )]′＝□18mf ′(x )±ng ′(x )(m ，n 为常数)．基本初等函数的四类求导公式(1)第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝α·x α－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．(3)第三类为指数函数，y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ，当a ＝e 时，e x 的导数是(a x )′的一个特例．(4)第四类为对数函数，y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a ，也可记为(log a x )′＝1x ·log a e ，当a ＝e 时，ln x 的导数也是(log a x )′的一个特例．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( ) (2)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x .( ) (3)若f (x )＝－1x ，则f ′(x )＝12x x.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝________. (2)(2x )′＝________.(3)若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x ，则f ′(x )－g ′(x )＝________. 答案 (1)－3x 4 (2)2x ln 2 (3)3x 2－1x ln 3探究1 利用导数公式及运算法则求导 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝5x 3；(2)y ＝log 5x ；(3)f (x )＝(x ＋1)2(x －1)；(4)f (x )＝2－2sin 2x2；(5)f (x )＝e x ＋1e x －1.[解] (1)y ′＝(5x 3)′＝(x35 )′＝35x －25 ＝355x 2.(2)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.(3)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(4)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ，所以f ′(x )＝－sin x .(5)解法一：f ′(x )＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.解法二：因为f (x )＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1，所以f ′(x )＝2′(e x －1)－2(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.拓展提升(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y ＝13x 2；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx .解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2′＝(x － 23 )′＝－23x －23－1 ＝－23x － 53 .(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝x 2e x (3＋x )．(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2 ＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2.探究2 曲线切线方程的确定与应用例2 过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．[解] 因为(e x )′＝e x，设切点坐标为(x 0，e x 0)， 则过该切点的直线的斜率为e x 0， 所以所求切线方程为y －e x 0＝e x 0 (x －x 0)． 因为切线过原点，所以－e x 0＝－x 0·e x 0，x 0＝1. 所以切点为(1，e)，斜率为e.[条件探究] 已知点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[解] 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1. y ′＝(e x)′＝e x，e x 0＝1，得x 0＝0， 代入y ＝e x ，y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得距离为22. 拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标．【跟踪训练2】 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′| x ＝x 0＝2x 0. 又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k＝2x0＝1，即x0＝12，所以切点为M⎝⎛⎭⎪⎫12，14.所以所求的切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.探究3导数的综合应用例3已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解](1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0. (2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.拓展提升求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．【跟踪训练3】已知f(x)＝13x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f′(1)＝0，当x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值．解f′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，且f′(1)＝1＋2b＋c＝0.①若－b≤－1，即b≥1，则f′(x)在[－1,3]上是增函数，所以f′(x)min＝f′(－1)＝－1，即1－2b＋c＝－1，②由①②，解得b＝14，不满足b≥1，应舍去．若－1＜－b＜3，即－3＜b＜1，则f′(x)min＝f′(－b)＝－1，即b2－2b2＋c＝－1，③由①③，解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.若－b≥3，即b≤－3，f′(x)在[－1,3]上是减函数，所以f′(x)min＝f′(3)＝－1，即9＋6b＋c＝－1，④由①④，解得b＝－94，不满足b≤－3，应舍去．综上可知，b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想划归.2.准确记忆导数的运算法则是进行导数运算的前提，但在解题过程中要注意如何使用运算法则可使运算较为简单，例如求y＝x·x的导数，若使用积的导数公式可以求出结果，但不如先化简为y＝x·x＝x 32，再求y′＝32x12简单.3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时，常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.1．已知函数f(x)＝5，则f′(1)等于()A．5 B．1 C．0 D．不存在答案 C解析因为f(x)＝5，所以f′(x)＝0，所以f′(1)＝0.2．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)为()A．3x2＋3x B．3x2＋3x·ln 3＋1 3C．3x2＋3x·ln 3 D．x3＋3x·ln 3 答案 C解析(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)＝13的错误，∵f(x)＝x3＋3x＋ln 3，∴f′(x)＝3x2＋3x·ln 3.3．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程为________．答案 x ＋2y －3－π6＝0解析 因为y ′＝(cos x )′＝－sin x ，所以k ＝－sin π6＝－12，所以在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0.4．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 答案 1解析 ∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4， 即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，从而有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1，故填1.5.已知直线y ＝kx 是函数y ＝ln x 的一条切线，试求k 的值． 解 设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′| x ＝x 0＝1x 0＝k .∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上， ∴⎩⎨⎧y 0＝kx 0，①y 0＝ln x 0，②把k ＝1x 0代入①式得y 0＝1，再把y 0＝1代入②式求出x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .。

第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。

要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。 说穿了，其实提高成绩并不难，就看你是不是肯下功夫积累——多做题，多总结。 生命的道路上永远没有捷径可言，只有脚踏实地走下去。 忍是一种眼光，忍是一种胸怀，忍是一种领悟，忍是一种人生的技巧，忍是一种规则的智慧。 志坚者，功名之柱也。登山不以艰险而止，则必臻乎峻岭。 人的一生，可以有所作为的时机只有一次，那就是现在。 好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 就算你的朋友再多，人脉再广，其实真正对你好的人，你一辈子也遇不到几个。 要克服生活的焦虑和沮丧，得先学会做自己的主人。 自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 钱可以帮穷人思维的人解决温饱，却可以帮富人思维的人制造财富。 君子成人之美，不成人之恶。——《论语》 勤学和知识是一对最美的情人。 如果知识不是每天在增加，就会不断地减少。 上帝从不埋怨人们的愚昧，人们却埋怨上帝的不公。 不要拿我跟任何人比，我不是谁的影子，更不是谁的替代品，我不知道年少轻狂，我只懂得胜者为。 成功永远属于马上行动的人。 每一件事都要用多方面的角度来看它。 忍是一种眼光，忍是一种胸怀，忍是一种领悟，忍是一种人生的技巧，忍是一种规则的智慧。 要生活得漂亮，需要付出极