人教版高中数学(理科)选修导数的概念(二)

数学选修导数知识点总结导数是微积分的重要概念之一，对于理解和解决数学中的许多问题都起着至关重要的作用。

在这篇文章中，我们将对导数的基本概念、性质和计算方法进行总结，并通过一些例题来加深对导数的理解。

一、导数的基本概念1. 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率。

如果函数y=f(x)在x点附近有定义，在这个点的邻域内存在，则称函数在x点处可导。

如果这个极限存在，那么这个极限的值就是函数在x处的导数，通常用f'(x)或者dy/dx来表示。

2. 几何意义导数反映了函数在某一点处的切线斜率。

在直角坐标系中，如果函数在x处可导，则函数在该点的切线斜率即为该点的导数值。

3. 物理意义导数还有着物理意义，例如速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。

二、导数的性质1. 可导必连续如果函数在某一点可导，则该点也是连续的，反之则不一定成立。

2. 导数的运算法则- 常数的导数为0：(k)'=0- 幂函数的导数：(x^n)'=nx^(n-1)- 一次函数的导数：(kx+b)'=k- 指数函数的导数：(a^x)'=a^x*lna- 对数函数的导数：(loga x)'=1/(xlna)- 三角函数的导数：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx，(tanx)'=sec^2x3. 乘法法则如果函数u(x)和v(x)在x点可导，则它们的乘积在该点可导，且有(uv)'=u'v+uv'4. 除法法则如果函数u(x)和v(x)在x点可导，且v(x)≠0，则它们的商在该点可导，且有(u/v)'=(u'v-uv')/(v^2)5. 复合函数的导数如果y=f(u), u=g(x)，且f(u)和g(x)在对应的点可导，则复合函数y=f(g(x))在x点可导，且有(y)'=f'(g(x))*g'(x)三、导数的计算方法1. 利用基本导数公式计算利用已知的基本导数公式，根据要求计算函数的导数值。

●课题§3.5.1 对数函数与指数函数的导数(一)——对数函数的导数●教学目标(一)教学知识点对数函数的导数的两个求导公式：(ln x )′=x 1、(log a x )′=x 1log a e . (二)能力训练要求1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数.(三)德育渗透目标1.培养学生的推理论证能力.2.培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，应用对数函数的求导公式.●教学难点对数函数的导数的记忆，以及运用对数函数的导数法那么.●教学方法讲、练结合.●教具准备幻灯片两X第一X ：(ln x )′=x1的证明记作§3.5.1 A第二X ：(log a x )′=x1log a e 的证明记作§3.5.1 B●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们已经学习了六种基本初等函数中的三种:常数函数，幂函数，三角函数的导数.这节课就来学习一下另一种基本初等函数的导数，对数函数的导数.Ⅱ.讲授新课［师］我们先给出以e 为底的自然对数函数的导数，然后介绍一下它的证明过程，不过要用到一个结论x x x 10)1(lim +→=e［板书］(一)对数函数的导数 1.(ln x )′=x 1 (打出幻灯片§3.5.1 A ，给学生讲解)［师］下面给出一般的对数函数的导数.这里要用到对数函数的换底公式a x x b b alog log log = (b ＞0，b ≠1).证明过程只作了解.2.(log a x )′=x1log a e . (打出幻灯片§3.5.1 B ，给学生讲解).［师］我们运用学过的函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，来看一下有关含有对数的一些函数的导数.(二)课本例题［例1］求y =ln(2x 2+3x +1)的导数.分析：要用到对数函数的求导法那么和复合函数的求导法那么，以及函数四那么运算的求导法那么. 解：y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′ =132342+++x x x ［例2］求y =lg21x -的导数. 解法一：y ′=(lg 21x -)′=211x -lg e ·(21x -)′ =21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x -·(－2x ) =1lg 1lg 22-=--x e x x e x 分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法那么进行求导.解法二：y =lg 2112=-x lg(1－x 2) ∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x-lg e (1－x 2)′ =)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x e x (三)精选例题［例1］求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法那么：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数. ［学生板演］解：)1(1122'-+⋅-+='x x x x y111111)11(11)12)1(21[112222222122+-=++-⋅-+=-+-+=-⋅+-+=-x x x x x x x x x x x x x x ［例2］假设f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e =.(B)A.eB.e 1C.1D.以上都不对解：f ′(x )=［ln(ln x )］′=x ln 1·(ln x )′=xx ln 1 f ′(x )|x =e =e e ln 1⋅=e1 ［例3］y =ln ［ln(ln x )］的导数是 (C) A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x 解：y ′=)ln(ln 1x ［ln(ln x )］′=)ln(ln 1x ·xln 1 (ln x )′ =)ln(ln 1x ·x ln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x ⋅ ［师生共议］所以用复合函数的求导法那么时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止.［例4］求y =ln|x |的导数.［生甲］y ′=(ln|x |)′=||1x ［生乙］当x ＞0时，y =ln x .y ′=(ln x )′=x1 当x ＜0时，y =ln(－x )，y ′=［ln(－x )］′=x -1 (－1)= x 1， ∴y ′=x1 ［师生共评］学生乙的做法是正确的.学生甲做的时候，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.［例5］求y =n x x )(ln 的导数.［师析］这类函数是指数上也是含有x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了.以前指数是常数的幂函数.像形如(u (x ))v (x )的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x 求导.解：y =n x x )(ln 两边取自然对数.ln y =ln n x x )(ln =(ln x )n ·ln x =(ln x )n +1.两边对x 求导，y1 y ′=(n +1)(ln x )n ·(ln x )′=(n +1)x x n )(ln ∴y ′=x x n n ))(ln 1(+·y =x x n n))(ln 1(+·nx x )(ln =(n +1)(ln x )n ·1)(ln -n x x .［例6］求y =log a 21x +的导数. ［学生板演］解：y ′=(log a 21x +)′=211x +log a e ·(21x +)′221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=⋅+⋅+=-. Ⅲ.课堂练习求以下函数的导数.1.y =x ln x解：y ′=(x ln x )′=x ′ln x +x (ln x )′=ln x +x ·x1=ln x +1 2.y =ln x1 解：y ′=(ln x1)′=x11 (x 1)′ =x ·(－1)·x －2=－x －1=－x1. 3.y =log a (x 2－2). 解：y ′=［log a (x 2－2)］′=2log 2-x e a (x 2－2)′=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y ′=［lg(sin x )］′=xe sin lg (sin x )′ =xe sin lg cos x =cot x lg e .5.y =ln x -1.解：y ′=(ln x -1)′)1(11'--=x x )1()1(211121---=-x x )1(21)1(21-=--=x x 6.y =ln 12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x ⋅+⋅+=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x x x －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x x x )′－［ln(x +1)］′ 2222)1(ln )1(1ln 1ln ln 11)1(ln )1)(1(ln 11)1()1(ln )1)(1(ln +=+---+++=+-+-++=+-+'+-+⋅+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x8.y =aa x x a a x x 22222ln 22++⋅++. 解：y ′=)ln 2()2(22222'+++'+aa x x a a x x22222222222222222222222222222122222222222222221222222)(22)1()(2221]2)(211[)(2221)(122)(21221a x a x a a x a x x a x a x x a a x x a x a x x a x x a a x x a x x a x a x x a a x x a x a x x aa x x a a x a x x a x +=+++=+++++++++=++⋅++++++=⋅++++++++='++⋅++⋅+⋅+⋅++=-- Ⅳ.课时小结(学生总结)本节课主要学习了对数函数的两个公式(ln x )′=x 1(log a x )′=x 1log a e .以及运用函数的四那么运算的求导法那么和复合函数的求导法那么，求一些含有对数的函数的导数.Ⅴ.课后作业(一)课本P 127、1、3(2)(4)(二)预习内容.课本P 127指数函数的导数.2.预习提纲.(1)预习(e x )′=e x 及它的应用.(2)预习(a x )′=a x ln a 及它的应用.●板书设计。

3.1.2 导数的概念课前预习学案预习目标：什么是瞬时速度，瞬时变化率。

怎样求瞬时变化率。

预习内容：1：气球的体积V与半径r之间的关系是()r V=V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t的关系为：2=-++. 求在12h t t t() 4.9 6.510t≤≤这段时间里，运动员的平均速度.3：求2中当t=1时的瞬时速度.提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标1.会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．学习重难点：1、导数概念的理解；2、导数的求解方法和过程；3、导数符号的灵活运用二、学习过程合作探究探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是新知：1．瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts ∆∆当t ∆趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0 (3)xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求ts ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求t s ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：。

导数基本概念与公式1．导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/． 2．导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率．因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-．3．导函数（导数）：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．4．可导： 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导．5．可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立． 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．6．求函数)(x f y =的导数的一般方法：①求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆； ②求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(；③取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim ． 7．常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=．8．法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭． 9．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅=．10．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．11．对数函数的导数： x x 1)'(ln =；e x x a a log 1)'(log =． 12．指数函数的导数：x x e e =)'( ； a a a x x ln )'(= ．13．函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y =f (x ) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的减函数．14．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．15．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．16．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．17．极大值与极小值统称为极值．（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．18．判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 19．求函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ；(2)求方程f ′(x )=0的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值．20．函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．21．利用导数求函数的最值步骤：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．。

数学选修2导数知识点总结导数是微积分中的一个重要概念，它是函数在某一点上的变化率，反映了函数在这一点的斜率。

在数学选修2课程中，学生需要掌握导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等知识点。

本文将对这些知识点进行详细的总结和讲解。

一、导数的定义1.1 导数的基本概念导数在数学上的定义是函数在某一点处的变化率。

一个函数在某一点的导数可以理解为该函数在这一点附近的线性近似。

具体地，对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)，即f在x处的导数为f'(x)。

导数的几何意义可以理解为函数在这一点处的切线斜率，也可以理解为对应点的瞬时速度。

1.2 导数的定义公式对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以通过极限的定义来求得。

导数的定义公式如下：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中h表示自变量的微小变化，当h趋近于0时，就可以计算得到函数在点x处的导数f'(x)。

1.3 导数的几何解释对于函数y=f(x)，它在点x处的导数f'(x)表示了函数图像在这一点处的切线斜率。

也就是说，如果我们在点(x, f(x))处画一条切线，那么这条切线的斜率就是函数在这一点的导数。

1.4 导数的物理意义对于描述物体运动的函数，它导数的物理意义可以理解为对应点的瞬时速度。

例如，对于位置函数s(t)，它的导数s'(t)就表示了物体在时刻t的瞬时速度。

二、求导法则2.1 导数的基本运算法则对于一些基本的函数，我们可以通过一些简单的法则来求导。

这些基本运算法则包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。

2.2 基本导数法则的总结常数函数f(x)=c（c为常数）的导数为f'(x)=0幂函数f(x)=x^n（n为常数）的导数为f'(x)=nx^(n-1)指数函数f(x)=a^x（a为常数且不等于1）的导数为f'(x)=a^x * ln(a)对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x三角函数f(x)=sin(x)的导数为f'(x)=cos(x)反三角函数f(x)=arcsin(x)的导数为f'(x)=1 / sqrt(1 - x^2)2.3 复合函数的求导对于复合函数，我们可以利用链式法则来求导。

1．1.2 导数的概念1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．关于平均变化率应注意以下几点：①x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大(小)，函数在给定区间上的变化越快(慢)．②在求函数的平均变化率时，当x 1取定值后，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．③平均变化率的几何意义：观察函数f (x )的图象(如图)，我们可以发现x 2－x 1＝|AC |，f (x 2)－f (x 1)＝|BC |，所以平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示的是直线AB 的斜率．【做一做1－1】 设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)D ．f (x 0)Δx【做一做1－2】 一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt ＋4C ．2Δt －4D ．－2Δt －4 2．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的______称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作____________，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx＝______.对导数概念的理解：①Δx →0是指Δx 从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. ②若lim Δx →ΔyΔx存在，则称f (x )在x ＝x 0处可导． ③令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0，于是f ′(x 0)＝lim x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0，与概念中的f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx意义相同．【做一做2】 设函数y ＝f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则f ′(x 0)＝__________.答案：1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 [x 1，x 2] 0lim x ∆→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δxx 0点【做一做1－1】 C 函数值的改变量Δy 是表示函数y ＝f (x )在x ＝x 0＋Δx 处的函数值与x ＝x 0处的函数值之差，因此有Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．故选C.【做一做1－2】 D Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt＝－4Δt －2(Δt )2Δt＝－2Δt －4.2．瞬时变化率 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx【做一做2】 a f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 a Δx ＋b (Δx )2Δx＝lim Δx →(a ＋b Δx ) ＝a .1．如何理解平均变化率？剖析：(1)Δx 的意义：Δx 是相对于x 1的一个增量，可以是正数，也可以是负数，可以用x 1＋Δx 代替x 2.(2)Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0，式子中Δx ，Δy 的值都可正可负，但Δx 的值不能为0，Δy 的值可以为0，当f (x )为常数函数时，Δy ＝0.(3)一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述，所以这些实际问题的变化率的问题可以转化为函数的变化率．(4)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达形式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．2．如何理解瞬时变化率？ 剖析：瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋向于0时的值，其作用是刻画函数值在x 0点处变化的快慢．3.如何理解导数的概念？剖析：(1)函数f(x)在x 0处可导，是指Δx →0时，Δy Δx 有极限．如果ΔyΔx 不存在极限，就说函数在点x 0处无导数．(2)导数是研究在点x 0处及其附近函数的改变量Δy 与自变量的改变量Δx 之比的极限，它是一个局部性的概念，即lim Δx →ΔyΔx存在，表示一个定数，函数f(x)在点x 0处的导数应是一个定数．当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx 变形到Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．4．如果函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增(或减)函数．那么函数f(x)在任意闭区间[x 1，x 2]上的平均变化率的值的正负如何？剖析：如果函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增(或减)函数，那么函数f(x)在任意区间[x 1，x 2]上的平均变化率为正(或负)数，反之，如果函数f(x)在任意区间[x 1，x 2]上的平均变化率为正(或负)数，则f(x)在区间(－∞，＋∞)上也一定是增(或减)函数．证明：任取x 1∈R ，x 2∈R ，且x 1＜x 2.∵函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增(或减)函数， ∴f (x 1)＜f (x 2)(或f (x 1)＞f (x 2))．∴f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝Δy Δx ＞0⎝ ⎛⎭⎪⎫或f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝Δy Δx ＜0， 即函数f (x )在任意区间[x 1，x 2]上的平均变化率为正(或负)数．如果函数f (x )在任意区间[x 1，x 2]上的平均变化率为正(或负)数， 那么f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＞0(或＜0)．又∵x 2＞x 1，∴f (x 2)＞f (x 1)(或f (x 2)＜f (x 1))．∴函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增(或减)函数．题型一 平均变化率的求法【例题1】 求y ＝f (x )＝2x 2＋1在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值． 分析：解答本题要紧扣平均变化率的定义，先求自变量的增量，再求函数值的增量，然后代入公式求解．反思：求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy ，求平均变化率的主要步骤是：题型二 函数平均变化率的应用【例题2】 已知正弦函数y ＝sin x ，求该函数在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明其含义．分析：计算Δy →化简ΔyΔx→对Δx 分类讨论→比较大小→说明含义反思：(1)比较平均变化率的大小，可按作差法或作商法的步骤进行，关键是对差式进行合理的变形，以便探讨差的符号．(2)平均变化率的大小类似于函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度． (3)由于Δx 可正可负，在比较大小时需分类讨论． 题型三 求函数在某点处的导数【例题3】 求函数y ＝f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数．分析：解答本题要紧扣导数的定义，函数f (x )＝x －1x 在x ＝1处的导数就是f (x )＝x －1x 在x ＝1处的瞬时变化率．反思：由导数的定义，我们可以得到求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的方法： ①求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；②求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx. 题型四 函数变化率的应用【例题4】 若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3，29＋3(t －3)2，0≤t ＜3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度． 分析：解答本题可先根据要求的问题选好使用的函数解析式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和瞬时速度．反思：求物体的初速度，即求物体在t ＝0时刻的速度，很容易误认为v 0＝0，有些函数表达式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直线运动．答案：【例题1】 解：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝2(x 0＋Δx )2＋1－(2x 20＋1)＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2， ∴函数f (x )＝2x 2＋1在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4x 0＋2Δx ， 当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率为4×1＋2×12＝5.【例题2】 解：当自变量从0变到Δx 时，函数的平均变化率为k 1＝sinΔx －sin 0Δx ＝sinΔxΔx .当自变量从π2变到Δx ＋π2时，函数的平均变化率为k 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋Δx －sin π2Δx ＝cosΔx －1Δx .由于是在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率，可知|Δx |较小，但Δx 既可为正，又可为负．当Δx ＞0时，k 1＞0，k 2＜0，此时有k 1＞k 2； 当Δx ＜0时，k 1－k 2＝sinΔx Δx －cosΔx －1Δx＝sinΔx －cosΔx ＋1Δx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫Δx －π4＋1Δx .∵Δx ＜0，∴Δx －π4＜－π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫Δx －π4＜－22. 从而有2sin ⎝⎛⎭⎫Δx －π4＜－1，2sin ⎝⎛⎭⎫Δx －π4＋1＜0， ∴k 1－k 2＞0，即k 1＞k 2.综上可知，正弦函数y ＝sin x 在x ＝0附近的平均变化率大于在x ＝π2附近的平均变化率．以上数据说明：正弦函数y ＝sin x 在x ＝0处附近的平均变化率较大，图象比较陡峭；而在x ＝π2附近变化率较小，图象比较平缓．【例题3】 解：∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11 ＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx .∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx，∴0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→ ⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2. 从而f ′(1)＝2.【例题4】 解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近路程的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处路程的瞬时变化率为lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度v 0＝－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为物体在t ＝1处路程的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近路程的平均变化率为 Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt ＝3Δt －12，∴物体在t ＝1处路程的瞬时变化率为lim Δt →＝ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.1已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.442若已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则yx∆∆的值为( )A ．4B ．4xC ．4＋2Δx 2D ．4＋2Δx 3设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－34函数y ＝f (x )＝1x x+在x ＝1处的导数是__________． 5航天飞机发射后的一段时间内，第t s 时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4，其中h 的单位为m ，t 的单位为s.(1)h (0)，h (1)分别表示什么？(2)求第1 s 内高度的平均变化率；(3)求第1 s 末高度的瞬时变化率，并说明它的意义．答案：1．B ∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.2．D 222(1)21y x x x∆+∆-⨯=∆∆＝4＋2Δx . 3．C ∵f ′(x )＝0()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆＝0()3(3)lim x a x x ax a x∆→+∆+-+=∆， ∴f ′(1)＝a ＝3. 4．0 ∵f ′(x )＝0()()limx f x x f x x∆→+∆-∆＝011limx x x x x x x x∆→⎛⎫+∆+-+ ⎪+∆⎝⎭∆＝211lim 11()x x x x x ∆→⎡⎤-=-⎢⎥+∆⎣⎦， ∴y ′|x ＝1＝1－1＝0.5．分析：先确定h (0)，h (1)的含义，再利用平均变化率和瞬时变化率的定义求解． 解：(1)h (0)表示航天飞机未发射时的高度，h (1)表示航天飞机发射1 s 后的高度．(2)(1)(0)10h h h t ∆-=∆-＝80，即第1 s 内高度的平均变化率为80 m/s. (3)h ′(1)＝000(1)(1)lim lim lim t t t h h t h t t∆→∆→∆→∆+∆-==∆∆[5(Δt )2＋45Δt ＋120]＝120，即第1 s 末高度的瞬时变化率为120 m/s.它说明在第1 s 末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s 的速度增加．。

选修二导数知识点总结导数的定义首先，我们来看导数的基本定义。

对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用极限的形式表示：f′(x)=lim(Δx→0)Δf(x)Δx其中，Δf(x)表示函数f(x)在点x处的变化量，Δx表示自变量x的变化量。

导数表示的是函数在某一点处的变化率，即单位自变量变化时的函数值变化率。

导数的图像解释在图像上，函数在某点处的导数可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。

如果函数在某点处的导数为正，表示函数曲线在该点处的切线是向上的，即函数在该点处是增加的；如果函数在某点处的导数为负，表示函数曲线在该点处的切线是向下的，即函数在该点处是减少的；如果函数在某点处的导数为零，表示函数曲线在该点处可能是极值点或拐点。

导数的性质对于导数还有一些基本性质：1. 常数函数的导数为零，即如果f(x)=c，那么f′(x)=0。

2. 幂函数的导数，如果f(x)=xn，那么f′(x)=nxn-1。

3. 指数函数的导数，如果f(x)=ex，那么f′(x)=ex。

4. 对数函数的导数，如果f(x)=loga(x)，那么f′(x)=1/xlna。

5. 三角函数的导数，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)，tan(x)的导数是sec2(x)。

6. 复合函数的导数，如果y=f(g(x))，那么y′=f′(g(x))g′(x)。

高阶导数除了一阶导数，我们还可以定义高阶导数。

函数f(x)的n阶导数可以表示为f(n)(x)，即对函数连续求导n次得到的导数。

导数的应用导数在实际问题中有很多应用，其中比较重要的有以下几个方面：1. 最优化问题，例如求函数的极值点、确定函数的凹凸性和拐点等。

在这些问题中，导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。

2. 函数的增减性和凹凸性，导数可以告诉我们函数在什么范围内是增加的、减少的，以及函数的曲线形状。

3. 泰勒展开式，导数可以帮助我们表示函数在某一点附近的近似值，这在实际问题中非常有用。