第三章 导数及其应用
1 一、变化率与导数
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()()()()()()()()
000000000000000
10,0lim
lim lim
.
x x x x x y f x x x x x y
y x x x x
x y x x f x x f x y
x x
y x x f x y f x x f x f x x
∆→∆→=∆→==∆∆≠∆∆+∆∆∆→=+∆-∆=∆∆=+∆-=∆＇＇＇、定义：设在处取得一个增量.
函数值也得到一个增量称
为从到的平均变化率.若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为，也称为函
数在处的导数，记作或,
即
3
4 ()0y f x x x ==说明：导数即为函数在处的瞬时变化率.
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()()00.
PT x f x P PT f x k ∆→=＇2、几何意义:时，Q 沿图像无限趋近于点时，切线的斜率.即
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()()()()003==lim
lim .
x x f x x f x y
y f x y f x y x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆＇＇＇＇、导函数（简称为导数）称为导函数，记作，即
10 二、常见函数的导数公式
11 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 12 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=; 13 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 14 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 15 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 16 6 若()x f x e =,则()x f x e '=
17
7 若()log x
a f x =,则1
()ln f x x a '=
18 8 若()ln f x x =,则1
()f x x
'=
19 三、导数的运算法则
20 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±
21 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+• 22 3. 2
()()()()()
[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'=
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四、复合函数求导
25 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数，则
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28 五、导数在研究函数中的应用
29 1.函数的单调性与导数:
30 （1）在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 31 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.
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()()()()()()()()()()()()()()33=0000,000,f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f f x f x x ==>==>=＇＇＇＇＇＇＇＇说明：①若在定义域区间上不是单调的，则常常用的点划分的单调区间.
②若在某个区间恒有，则是常函数；若在某个区间内只有有限个点使，其余恒有则仍为增函数.
例如：在R 上有，其余恒有，仍为R 上的增函数，
其函数图像为：
33 34 35 36
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(())()y f g x g x '''=•
()()()()20.0.
f x f x f x f x ><＇＇＇（）求单调区间的步骤：
①求的定义域；②求导；
③令，解集在定义域内的部分为增区间④令，解集在定义域内的部分为减区间
38 “”“”“”“”.说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用、或相连，应该用，隔开或用和
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()()()()3“00?f x f x f x f x ≥≤＇＇（）一种常见的题型：
已知函数的单调性求参数的取值范围，利用若单调递增，则；若单调递减，则来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！
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44 2.函数的极值与导数 45 （1）极大、极小值得定义：
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47 ()()()()()00000=0.x f x f x f x f x f x x <①若对附近的所有的点，都有且，则称是函数的一个极 大值称是极大值点.
()()()()()00000=0.x f x f x f x f x f x x >②若对附近的所有的点，都有且，则称是函数的一个极
小值称是极小值点.
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49 说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点. 50
51 （2）求函数的极值的步骤：
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()()()()()()()()()()00000000=0I 0,0,;II 0,0,;III f x f x x x f x x f x f x f x x f x f x f x x f x x <>><＇＇＇＇＇＇＇①确定定义区间，求导；②求方程的解；③检查左右两边的符号：
、如果在附近的左侧右侧那么是极大值、如果在附近的左侧右侧那么是极小值、如果在左右两侧导函数不改变符号，那么在处无极值.
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