《1.3.1函数的单调性》的教学设计 - 副本

1.3.1函数的单调性与导数（2）（教学设计）（含参数问题）教学目标：知识与技能目标：原函数与导函数之间的关系，会求含参数的导数问题。

过程与方法目标：利用图象为结论提供直观支持，通过观察分析、归纳总结等方式，培养学生的数形结合意识和应用数学知识解决问题的数学思维。

情感、态度与价值观目标：通过学习本节内容，增强对数学的好奇心与求知欲；在教学过程中，培养学生勇于探索、善于发现的创新思想。

教学重点：含参数问题的求解方法：（1）分离参数法；（2）恒成立问题。

教学难点：利用导数研究函数单调性的实质。

教学过程： 一、复习回顾1.函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 2．求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；通分、因式分解。

（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 二、新课：类型一 导数与单调性的关系例1 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是图中的( )答案 C解析由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：↗↙↗由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，在x轴下方；当x∈(b，a)时，在x轴上方；当x∈(a,1)时，在x轴下方．故选C.反思与感悟 1.利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图象研究函数的单调性的方法：(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．跟踪训练1已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是如图所示的()答案 C解析本题考查根据导函数与原函数的关系判断图象增减的大致趋势．由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：↗↘↗由表可知f(x)在(－∞，0)内递增，在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增，故满足条件的只有C，故选C.类型二 利用导数研究函数的单调性例2 讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x .(1)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0得0<x <1.∴f (x )在点(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． (2)当a >0时，f ′(x )＝a (x ＋a ＋1a)(x －1)x ，∵a >0，∴－a ＋1a<0，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．反思与感悟 1.本题易忽略a ＝0的情况而致错，同时，求函数的单调性一定要注意函数的定义域．2．利用导数研究函数单调性的方法： 第一步：求定义域，对函数求导； 第二步：解导数等于0时的方程；第三步：导数大于0的区间与定义域求交集为增区间，小于0的区间与定义域求交集为减区间，即“正增负减”．跟踪训练2 设函数f (x )＝e x －ax －2，求f (x )的单调区间． 解 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 类型三 已知函数的单调性求参数的范围例3 (1)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．(2)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解 函数求导得f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a －1， 因为函数在区间(1,4)内为减函数， 所以当x ∈(1,4)时，f ′(x )≤0，又因为函数在区间(6，＋∞)上为增函数，所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0，所以4≤a －1≤6，所以5≤a ≤7.即实数a 的取值范围为[5,7]．反思与感悟 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路 (1)m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； (2)m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练3已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，12)解析 因为f (x )＝ax ＋1x ＋2，所以f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2.由函数f (x )在(－2，＋∞)内单调递减知f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立， 即2a －1(x ＋2)2≤0在(－2，＋∞)内恒成立，因此a ≤12. 当a ＝12时，f (x )＝12，此时函数f (x )为常数函数，故a ＝12不符合题意舍去．所以a 的取值范围为a <12.故实数a 的取值范围为(－∞，12)．三、课堂小结已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四、【课时作业】 一、选择题1．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )答案 D解析 根据原函数单调递增部分对应的导函数图象应在x 轴上方，而原函数单调递减部分对应的导函数图象应在x 轴下方，可知D 不符合．2．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )答案 B解析 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确． 3．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中y ＝f (x )的图象大致是( )答案 C解析 当x <－1时，xf ′(x )<0，∴f ′(x )>0， ∴当x <－1时，函数y ＝f (x )单调递增； 当－1<x <0时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )<0， ∴当－1<x <0时，函数y ＝f (x )单调递减； 当0<x <1时，xf ′(x )<0，∴f ′(x )<0， ∴当0<x <1时，函数y ＝f (x )单调递减； 当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，∴当x >1时，函数y ＝f (x )单调递增．故C 项符合．4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是 ( )A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)答案 D解析 由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立， 又f ′(x )＝2x ＋a －1x2，所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立， 分离参数得a ≥1x2－2x ，若满足题意，需a ≥⎝⎛⎭⎫1x 2－2x max . 令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 因为h ′(x )＝－2x3－2，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0， 即h (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减， 所以h (x )＜h ⎝⎛⎭⎫12＝3，故a ≥3. 二、填空题：5．已知f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－3，3]解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1， 由题意知在R 上f ′(x )≤0恒成立， 则Δ＝(2a )2－4×(－3)×(－1)≤0， 得－3≤a ≤ 3.6．函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点， 得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1， 解得a <－1或a >1.7．已知f (x )满足f (4)＝f (－2)＝1，f ′(x )为其导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则f (x )<1的解集是________．答案 (－2,4)解析 由f (x )的导函数图象知，f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 当x ≤0时，f (x )<1＝f (－2)，∴－2<x ≤0， 当x ≥0时，f (x )<1＝f (4)，∴0≤x <4. 综上所述，f (x )<1的解集为(－2,4)．三、解答题：8、(tb10005003)若函数f(x)=ax 3-x 2+x-5在R 上为单调递增函数，求a 的取值范围。

1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第1.3.1节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。

1.3.1.1函数的单调性教学设计（第一课时）XXX中学：XXXXXXX年X月XX日教材分析本节课是人教版第一章《集合与函数概念》§1.3.1单调性与最大（小）值的第一课时。

函数的性质是研究函数的基础，函数的单调性是首先研究的一个性质，函数的单调性在教材中起着承上启下的作用，是研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等等都有着紧密的联系。

学情分析学生虽然才刚刚进入高中学习，但是对一次函数，二次函数以及反比例函数在初中已经进行了详细的学习，对于这些函数的图像也十分熟悉，所以应该能够很好的理解这里的图像“上升”与“下降”，函数值随自变量的增大而增大（减小）。

学生虽然基础较差，但是学习积极性很好。

教学目标知识与技能：（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征. （2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明。

过程与方法：由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识.用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念。

情感、态度与价格观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质。

教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用。

教学辅助工具多媒体，黑板教学过程一、创设情境，引入课题某地24小时内气温随时间变化的曲线图.（引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。

）观察图形，能得到什么信息？<教师>：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。

还能举出生活中其他的数据变化情况吗？水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等。

用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值要么变大要么变小。

1.3.1（1）函数的单调性（教学设计） 教学目标（一）学问与技能目标同学通过经受观看、归纳、总结、证明等数学活动能够： 1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义 2、会依据函数的图像推断函数的单调性3、能依据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数 （二）过程目标1、培育同学利用数学语言对概念进行概括的力气2、同学利用定义证明单调性，进一步加强规律推理力气及推断推理力气的培育 （三）情感、态度和价值观1、通过本节课的教学，启发同学养成细心观看，认真分析，严谨论证的良好习惯2、通过问题链的引入，激发同学学习数学的爱好，同学通过乐观参与教学活动，获得成功的体验，熬炼克服困难的意志，建立学习数学的自信念教学重点：函数单调性的定义及单调性推断和证明 一、复习回顾，新课引入 1、函数与映射的定义。

2、函数的常用表示方法3、观看下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？ 4、作出下列函数的图象：（1）y=x ； (2)y=x 2； 二、师生互动，新课讲解：观看函数y=x 与y=x 2的图象，当x 渐渐增大时，y 的变化状况如何？ 可观看到的图象特征：（1）函数x x f =)(的图象由左至右是上升的；（2）函数2)(x x f =的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；也就是图象在区间]0,(-∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大．归纳：从上面的观看分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映．1．如何用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小”，“随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大”？在区间),0(+∞上任取x 1,x 2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？对于函数2)(x x f =，经过师生争辩得出：在区间),0(+∞上，任取两个21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f <．这时，我们就说函数2)(x x f =在区间),0(+∞上是增函数．课堂练习请你仿照刚才的描述，说明函数2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数．2．增函数和减函数的定义 设函数)(x f 的定义域为I ：（1）假如对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数（increasing function ）．区间D 叫做函数的增区间。