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复摆实验研究

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复摆实验装置研究

代 伟，陈太红

（西华师范大学物理与电子信息学院 四川、南充 637002）

摘 要 : 复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系。只要满足这一要求便是复摆。本文提出两种复摆模型，并通过测重力加速度的对比实验来对复摆的原理加以研究，得出复摆模型不同，但实验结果会相同这一结论。从而使大家对复摆模型及实验原理的理解更加透彻。

关键词 ：复摆；回转半径；等值摆长

引言

复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系。只要能满足这一要求就可以构成一个复摆。图1表示一个形状不规则的刚体，挂于过O点的水平轴（回转轴）上，若刚体离开竖直方向转过θ角度后释放，它在重力力矩的作用下将绕回转轴自由摆动，这就是一个复摆。

一、两种结构形式不同的复摆实验装置

在满足复摆动力运动体系要求的前提下，复摆模型的结构形式可以不相同。本文提出了图2和图3所示的两种结构形式不同的复摆。在图2所示的实验装置中，刚体是通过水平固定轴连接，让刚体在重力的作用下作微小摆动；而在图3所示的实验装置中，则是在刚体上对称地钻一些均匀的圆孔，刚体通过水平刀刃与支架进行连接，刚体在重力的作用下作微小摆动。原理上它们都能满足复摆的要求，所以它们是两种不同结构形式的复摆。但是它们的结构型式却不相同，那么这种结构上的差异会不会对实验的结果产生影响呢？为了弄清这一问题，下面我们分别用这两种实验装置来测量重力加速度，通过对比实验来对这一问题进行研究。因为复摆实验的最终目的在于测量周期后利用周期与加速度的关系式计算g值。

图2 复摆的杆 图3 复摆的杆

二、利用图2所示的复摆实验装置测重力加速度

在图2所示的复摆实验装置中，复摆的杆长为L，杆上有一孔，处于离杆下端的1L处。装置中有两个质量为1m的砝码块，根据实验需要可固定在杆上不同位置。如图4所示。刚体绕固定轴O在竖直平面内作左右摆动，C是该物体的质心，与轴O的距离为1h，为其摆动角度。若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，即有

hmgMsin

若很小时（在5°以内）近似有

mghM （1）

作者简介：代伟（1964--），男，四川遂宁人，西华师范大学物理与电子信息学院副教授，主要从事大学物理实验仪器与实验教学的研究。 O

G

h

θ

mg

图1 又据转动定律，该复摆又有

IM （2）

其中I为该物体转动惯量。由（1）和（2）可得

2 （3）

其中Imgh2。此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆周期为

mghIT2 （4）

设cI为转轴过质心且与O轴平行时的转动惯量，那么根据平行轴定律可知

2mhIIc （5）

代入上式得：

mghmhITc22 (6)

对于固定的刚体而言，cI是固定的，因而用该复摆装置测量重力加速度g时，只需改变质心到转轴的距离21,hh。则刚体周期分别为

12112mghmhITc (7)

22222mghmhITc (8)

为了使计算公式简化，故意取122hh，合并(2-7)式和(8)式得：

)2(12212212TThg (9)

为了测量重力加速度g，将两砝码块置于孔的上下对称处，如图4。孔至上转轴的距离为1h=30cm，微微摆动复摆杆，用周期测量仪测出周期，，测量3次，求出平均值，测量所得数值如表1。变动砝码距离如图5，使图示距离为12h=60cm，重复上述步骤测出2T，实验测量数据如表1。

表1 复摆的摆动周期

Tab.1 Duplicate pendulum swinging cycle

次数 T1(s) T2(s)

1 1.502 1.713

2 1.501 1.713

3 1.501 1.712

平均 1.5013

1.7126

于是由公式(9)可计算出由该复摆测出的重力加速度g为：

782.95013.17126.123.012)2(12222212212TThg 2/sm

我们南充地区的重力加速度为：2/795.9smg理，于是可算出重力加速度g的相对误差为：

%133.0%100795.9795.9782.9%100理理gggE 2h1

图5 杆上砝码变换位置示意 三、利用图3所示的复摆实验装置测重力加速度

从前面的分析知道，对图3所示的复摆实验装置，当摆动角度θ较小时，摆动也近似为谐振动。振动周期为

mghIT2 （10）

式中h为回转轴到重心G的距离；I 为刚体对回转轴O的转动惯量；m为刚体的质量；g是当地的重力加速度。设刚体对过重心G，并且平行于水平的回转轴O的转动惯量为Ic，根据平行轴定理得

I＝Ic＋mh2

将此公式代入（10）式，得

mghmhITC22 （11）

由此可见，周期T是重心到回转轴距离h的函数，且当 h→0或h→∞时，T→∞。因此，对下面的情况分别进行讨论：

（1）h 在零和无穷大之间必然存在一个使复摆对该轴周期为最小的值，我们将此值叫做复摆的回转半径，用a表示。由（11）式和极小值条件0dhdT得

mIaG

代入公式（11）又得最小周期为

gaT22min （12）

（2）在ah两边必存在无限对回转轴，使得复摆绕每对回转轴的摆动周期相等。我们把这样的一对回转轴称为共轭轴，假设某一对共轭轴分别到重心的距离为h1、h2(h1≠h2)，测其对应摆动周期为T1、T2。将此数据分别代入（11）式并利用T1＝T2得

IG＝mh1h2 （13）

ghhT212 （14）

把公式（14）与单摆的周期公式glT2比较可知，复摆绕距重心为h1（或其共轭轴h2）的回转轴的摆动周期与所有质量集中于离该轴为h1＋h2点的单摆周期相等，故称h1＋h2为该轴的等值摆长。可见，在图3所示的复摆实验装置中只要测出复摆的摆动周期T及该轴的等值摆长h1＋h2，由公式（14）就可求出当地的重力加速度g的值。

本实验装置中的复摆为一均匀钢板，在它上面从中心向两端对称地开一些小孔。测量时分别将复摆通过小圆孔悬挂在固定刀刃上，如图3所示，便可测出复摆绕不同回转轴摆动的周期T以及回转轴到重心的距离h，得到一组T1、h1数据，再通过实验数据作T～h图，如图6所示，从而直观地反映出复摆摆动周期与回转轴到重心距离的关系。

由于钢板是均匀的，复摆上的小圆孔也是对称的，所以在复摆的重心两侧测量T随h的变化时，也该是相同的，则实验曲线必为两条。且与垂直重心的直线交于H点。不难看出：AH＝HD＝h1，BH＝HC＝h2，即AC＝BD＝h1＋h2为等值摆长。所以，通过作出的T～h图，便可找出某一周期T所对应的h1和h2的数值，然后代入公式（14）就可求出当地的重力加速度g的大小来。实验按以下步骤进行： 2a h1 h1

Tmin

O B A C D H 2h2 T

h

图6 复摆T～h图 1）．用钢卷尺测出从复摆的重心到各个悬挂点的距离h1，h2，…hn（要从重心往上测），将实验所得数据记录于表2中。

2）．在复摆下端固定一个条形档光片，然后将复摆一端第一个小圆孔挂在固定的水平刀刃上，使其铅直。调节光电计时装置使其符合测周期的要求；

3）．测每个悬挂点的周期T1，T2，… Tn 。将在每个悬挂点下测得的周期值记录于表2中。

表2：各悬挂点下测得的摆动周期值

Tab.2 Under various points of suspension obtains swinging cycle value

h(cm) 13.5 14.5 15.5 16.5 17.5 18.5 19.5 20.5 21.5 22.5

T(s) 1.233 1.223 1.218 1.208

1.207 1.206 1.208 1.211 1.218

1.223

由于实验时是从重心往上测，所以按表2测得的数据作h-T曲线图时只能得到图6的右半部分曲线，如图7所示 。其左半部分曲线沿过重心的垂线与右半部分曲线对称。

由h-T曲图知：sT208.1时，cmhcmh5.19,5.1621将数据代入公式（14），则有

ghhT212

=g01.0)5.195.16(14.32＝208.1

解得：2/730.9smg

由于南充地区的重力加速度为：2/795.9smg理，于是可算出重力加速度g的相对误差为：

%664.0%100795.9795.9730.9%100理理gggE

四、结论

从以上用两个不同复摆装置测量重力加速度g的实验数据可以看出，虽然两个复摆的实验装置的结构有所不同，依据的原理也有所差异，但是利用它们来测量重力加速度g时误差是很小，结果基本相同。所以，可以得出这样一个结论：复摆模型可以不同，只要能满足刚体绕固定的水平轴在重力的作用下，作微小摆动这一复摆动力运动体系的基本要求，都是复摆。在利用它们来测量重力加速度g时实验结果都会相同。因此我们在用复摆测量重力加速度g时，上面两种复摆实验装置都可以选用。另外，在对上面两个实验装置进行研究时发现，用图2所示的实验装置测量g时，只需将实验装置调平衡即可，测量方便、快捷。但是，在用图3所示的实验装置测量g时，首先得将实验装置调平衡，再一个点一个点地测量对应的周期，得出一组对应的数据，然后根据数据作曲线，在从图中找出某一T时对应的1h和2h后，才能代入公式算出重力加速度g来。如果曲线拟和得不好，结果误差会比较大。所以，通过比较得出用图3所示的复摆实验装置测量重力加速度g，效果好，速度快。

[参考文献]

[1]葛松华，唐亚明.大学物理实验教程.[M].北京：电子工业出版社，2003.

[2]张进治.大学物理实验.[M].北京：电子工业出版社，2003.

[3]肖苏，任红.实验物理教程.[M].合肥：中国科技大学出版社，1998.

[4]周殿清.物理实验.[M].上海：华东理工大学出版社，2003. Duplicate pendulum test installation research DAI Wei

(College of physical and electronic information，China West Normal University, Nanchong

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用复摆测重力加速度实验报告

用复摆测重力加速度实验报告

- 1 - 用复摆测重力加速度实验报告

本次实验的主要目的是通过复摆实验来检测地心引力的大小，并确定出地球上的重力加速度。实验过程中运用基本物理原理，通过实验数据求出重力加速度大小。

二、实验原理

复摆，又称双摆，是由英国物理学家牛顿在1700年实验发现的。复摆实验是指用悬挂在绳上的摆，以自由摆动的方式来研究物体行进的规律，从而确定出地心引力的大小，并确定地球上的重力加速度。

复摆运动，采用受到重力力的作用，由弹性力和摩擦力的作用，摆会由一定的速度一直摆动，并且摆的角度也保持不变。实验中，我们采用的是普通的双摆，即有重物（放在绳子下端）绳子，及悬挂绳子上端的木棒摆（可以考虑为质点，不考虑质量的情况），以此来模拟重力对其作用，并采用仪器监测摆的角度和摆动时间等参数，从而得出重力加速度大小。

三、实验准备

1、具和材料：

（1）准备一根绳子，长度可以根据实际情况调整；

（2）准备一个悬挂在绳子上的木棒，需要满足：a）尽量质量轻，以减少摩擦力；b）木棒摆的重心要尽量准确（以让其在飞檐走壁时平行于地面）；

（3）一个木架，用于悬挂绳子； - 2 - （4）一个可以测量悬挂物角度的仪器，比如摆仪、水平尺等；

（5）一个加速度计，用来测定摆动时间；

2、考虑安全：

在进行实验时，要考虑到安全问题，确保位置安全，防止摆动致人受伤，仪器在实验过程中要牢固安装，不能把实验过程中的任何摆动速度和角度等参数影响到实验精度。

四、实验步骤

1、装：

①木架安装在平整平稳的地面上；

②木架上安装一根绳子，两端各要固定牢固；

③木棒摆放在绳子的上端，并使木棒摆的重心和中心线完全重合，确保木棒摆的重心在飞檐走壁时平行于地面；

④加速度计安装在木架上；

⑤测量悬挂物角度的仪器安装在木架上；

复摆实验

复摆实验

重力加速度的测量

前言

重力加速度g 是一个反映地球引力强弱的地球物理常数，它与地球上各个地区的经纬度、海拔高度及地下资源的分布有关（两极的g 最大，赤道附近的g 最小，两者相差约1/300）。重力加速度的测定在理论、生产和科学研究中都具有重要意义。

选择的研究课题

1、测定本地区重力加速度g 值，测量结果至少有4 位有效数字，并要求百分误差小于0.1％。

2、试比较各种实验测量方法的优缺点。讨论各种实验测量方法中，哪些量可测得精确？哪些量不易测准？并说明如何减小或消除影响精确测量的各种因素等。

选择的仪器

单摆、三线摆、J-LD23 型复摆实验仪、自由落体测定仪、HPCI-1 物理实验微机辅助教学系统、钢球、重锤、米尺、游标卡尺、光电门、霍尔开关、数字毫秒计、杨氏模量测量仪等。

设计方案举例：

测量重力加速度的方法很多，有单摆、开特摆、三线摆、气垫导轨法和自由落体仪法等等，它们各有特点。下面例举几种比较典型的方案。

复摆法

1．原理：

如图1，在重力作用下能绕固定水平转轴在竖直面内自由摆动的刚体称为复摆（物理摆）。设刚体的质量为m，重心G 到转轴O 的距离为h，绕O 轴的转动惯量为I，当OG 连线与铅垂线的夹角为θ 时，刚体受到的重力矩：

Mmgh （1）

式中的负号表示力矩的方向与角位移的方向相反。当摆角θ <5°时，sin ，此时：

Mmgh （2）

于是由刚体转动定律22dMIdt可得：

22dmghdtI （3）

令2mghI,可得复摆的动力学方程：

2220ddt （4）

其摆动周期： 22ITmgh （5）

复摆振动

复摆振动

复摆的振动研究

第 1 页 共 4 页 实验名称：复摆的振动研究

学生学号：_______________ 学生姓名：_______________ 学院专业班级：_______________

上课时间：_______________ 指导教师：_______________ 实验报告成绩：_______________

一、注意事项（课前认真阅读）

1.刚体必须在一个平面内摆动，不能扭动，如有扭动必须重新启动。

2.刚体偏离平衡位置的角度不能超过10度，尽量使每次的摆动角度相近。

3.认真阅读实验指导书，掌握FB213B智能型计时计数微秒仪使用方法。

4.实验结束时，固定复摆的摆杆砝码，关闭FB213B智能型数显计时计数微秒仪。

二、预习思考题（课前完成）

1.观看仪器介绍并掌握其使用方法及注意事项；

2.仔细阅读课本，初步了解实验并且能够独立回答问题；

3.左侧问题预习前完成，右侧空白处实验后完善与总结。

1.请推导复摆振动周期。（需画出刚体的受力分析图）。

2. 实验中取122hh，推导用复摆测重力加速度的公式。

复摆的振动研究

第 2 页 共 4 页

3. 写出利用复摆测重力加速度的实验步骤。

4.在该实验中，如果两砝码置于复摆的摆杆上刻线非对称处的位置固定，对该实验的有怎样的影响？

复摆的振动研究

第 3 页 共 4 页 三、实验数据处理（课后完成）

1. 计算出重力加速度g，并把测量结果与本地区的公认值比较，求实验的相对误差。

实验报告成绩单

学院：___________专业：___________学号：__________姓名：___________

预习（30分） 操作（30分） 数据处理（30分） 其他（10分） 总成绩 指导教师

四、实验思考及自我拓展（课后完成）

1. 在实验中用较大的角度（020）摆动复摆，记录其10个周期内，这每个周期与角度的关系，会得到什么样的结果？

复摆振动的研究1

复摆振动的研究1

复摆振动的研究

一、实验目的：

1、考查复摆振动时振动周期与质心到支点距离的关系；

2、测出重力加速度、回转半径和转动惯量。

二、实验仪器：

支架、复摆、秒表。

三、实验原理：

一个绕定轴转动的刚体就是复摆。当摆动的振幅甚小时，其振动周期T为mghIT2 如图所示，O为支点，G为质心，h 为摆的支点到摆的质心的距离。

2mhIIG 2mKIG I为转动惯量，K为复摆对G轴的回转半径，ghhKT222 2222244hgkghT 令hTy2 2hx

BxAy 224kgA gB24 测出T和h值，可得x 、y 值，用最小二乘法求出 BxAy 中的A、B，由A、B求出g和K。

四、实验步骤

1、测定重心G的位置。将复摆水平放在支架的刀刃上，复摆静止不动或左右摆动幅度相同时的支点位置为质心G点。（因所给复摆为匀质摆，所以可以用杠杆原理寻找G点）

2、选择不同的支点位置（改变10次支点的位置），测出支点到G点的距离h，每个支点测h三次，求平均值。

3、用秒表测出复摆在不同支点处的振动周期，用振动30次的时间来计算周期，每个支点处测周期三次，求平均值。

4、利用所测得的T和h值可得几组成部分（x，y）值，用最小二乘法求出拟合直线BxAy的A、B值，计算A和B

5、由gB24得Bg24 ，由224kgA 得2Agk

6、计算 g、k的不确定度及相对误差。 a

O G s

h sG